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MECANISMOS Y SISTEMAS DE AERONAVES MECANISMOS Y ELEMNTOS DE MAQUINAS Resúmen de Cinemática del Movimiento Relativo Sean dos ternas, una de ellas en movimiento relativo respecto de la otra. Se define un observador “parado” (fijo) en cada una de las respectivas ternas. Se ubica P referidoa las dos ternas. Notar que el vector OΩ permite fijar la distancia relativa entre los dos observadores. Si la longitud entre dos puntos es invariante y tampoco varia el tiempo observado desde cualquiera de los observadores se puede escribir: 0 00 321 ezeyexP PP (1) La terna móvil se considera un sistema rígido (por invariabilidad de longitud entre dos puntos) y suponemos que el punto P se mueve. Este movimiento se da con respecto a la terna fija y a la terna móvil. (Esto no quiere decir que el punto P no pueda estar fijo en alguna situación en particular con una de las ternas). ¿Cuales son los movimientos posibles de una terna móvil? - Trasnacional - Rotatorio - Rototraslacional PpV OPoVpV (2) Se supone que P tiene una trayectoria determinada, vista desde Ω y vista desde O. Ambas trayectorias vistas son verdaderas, ya que es lo que cada uno de los observadores ve en las respectivas ternas. Velocidad absoluta: Velocidad relativa al punto Ω (terna fija). dt Pd aV (3) Velocidad relativa: velocidad vista por el observador ubicado en la terna móvil (en el origen O). 321 ezeyex dt OPd rV (4) ¿Como se vinculan? Por (1), reemplazando en (3): oVezeyexezeyexaV 321321 (5) Donde: dt Od oV (6) Velocidad del origen de la terna móvil Si: ii ee (7) oVezeyexrVaV 321 (8) oVezeyexrVaV )( 321 (9) OPoVrVaV (10) Movimiento rígido de la terna móvil El termino remarcado suele llamárselo velocidad de arrastre o velocidad de transporte (Vt). tVrVaV (11) Aceleración en el movimiento relativo Como se vinculan la aceleración absoluta y la relativa? De la (10): )(321 OPoVezeyexaV (11) La aceleración absoluta es: dt dO dt dP OP dt oVd ezeyexezeyex dt Vd a aa 321321 (12) ar Se define como aceleración relativa (ar) a la aceleración de P vista por el observador de la terna móvil. Notas: 1 - Va puede aparecer en cualquiera de las dos ternas, fija o móvil, pues será el mismo vector siempre. 2 - OPOP Donde Ω es fijo VoVoOPVr oVaV dt dO dt dP dt OPd Vt De (12) aplicando Poisson OPVOPaezeyexaa rora 321 (13) Se puede escribir: OPVOPaezeyexaa rora )( 321 (14) OPVOPaVaa rorra (15) rora VOPOPaaa 2 (16) Luego, se define: 321 ezeyexar Aceleración relativa OPOPaa ot Aceleración de arrastre o de transporte rc Va 2 Aceleración complementaria o de Coriolis La deducción de la aceleración se conoce con el nombre de teorema de Coriolis ctra aaaa (17) Ejemplo: Una pieza se desplaza, a partir del punto O, con movimiento relativo uniforme a razón de 5 cm / seg sobre la paleta OAB de un molino que rota en un plano horizontal. Adoptando la terna oei de la figura, solidaria con el molinete, determinar empleando las definiciones de velocidad y aceleración relativas de un punto, y de velocidad y aceleración de arrastre del mismo las magnitudes vectoriales homónimas correspondientes al punto P para el instante to = 3 seg, en función de los versores pi, sabiendo que para el molinete es: 0 2 2 3 3 8 ( / ) 2 (1/ ) 6 (1/ ) a e cm seg cte e seg cte e seg En to = 3 seg Determinar además la aceleración complementaria de P, acp en to = 3 seg. Escribir las expresiones de la velocidad y de la aceleración absolutas de P, en función de los versores de la terna oei, para el instante to = 3 seg Si nuestra terna oei esta fija con el aspa, el movimiento relativo de la pieza será: 1 ( ) ( ) . 5 / . ( ) 5 / . . 5 / .3 15 d P O Vr P O Vr dt cm seg dt dt P O cm seg to e cm seg seg cm Para to = 3 seg Como la terna oei esta fija a la aleta, lo unico que se mueve es la pieza. 15 / .relPV cm seg e Si (Por definición) la aceleraron relativa es: 1 2 3 0 relP r r dV a xe ye ze dt a Pues todas las derivadas segundas son nulas. Para determinar la velocidad y aceleración de arrastre del punto P, este debe suponerse solidario con el triedro oei; entonces es valido plantear la ley de variación de velocidades; ( )tP o PoV V P O Donde para la pieza el instante to = 3 seg 1 3 2 2 2 2 ( ) 15 . 6. . . 8 / .3 . 24 / 114 / Po o o o tP P O cm e e V a dt a to cm seg seg e cm sege V cm sege Se define la aceleración de arrastre como: ( )t oa a P O P O Para el instante to = 3 seg 2 3 3 1 2 2 1 2 8 / . 6.1/ . 2.1/ . ( ) 15 . 540 / 38 / o t a cm seg e seg e seg e P O cm e a cm seg e cm seg e Por definición se tiene que la aceleración de Coriolis sera: 2 2 2 2.( ) 2.(6.1/ .5 / ). 60 / . cP r cP cP a V a seg cm seg e a cm seg e Se define la velocidad absoluta como: 1 25 / . 114 / abs rel t abs V V V V cm seg e cm sege Para el instante to = 3 seg Se define la aceleración absoluta como: 1 2 2 1 2 0 ( 540 / . 38 / . ) 60 / . 540 / . 98 / . abs relP tP cP abs abs a a a a a cm seg e cm seg e cm seg e a cm seg e cm seg e
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