Energia, Potência e Densidade Espectral

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E-214 COMUNICACIONES
Enerǵıa, Potencia. Densidad Espectral de Enerǵıa y Potencia
1. Modelo Determińısta para las señales.
Valor Medio, Enerǵıa y Potencia
El valor medio de una señal de VIC x(t) se define como:
〈x(t)〉 = ĺım
T→∞
1
2T
∫ T
−T
x(t) dt (1)
En el caso de una señal de variable independiente discreta, x[n]:
〈x[n]〉 = ĺım
N→∞
1
2N + 1
N∑
−N
x[n] (2)
Está claro que si x(t) o x[n] son señales periódicas, promediar en todo el tiempo (o las muestras), es
lo mismo que promediar en un solo peŕıodo.
La enerǵıa de la señal x(t):
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2 dt = ĺım
T→∞
∫ T
−T
|x(t)|2 dt (3)
la señal será de enerǵıa si se cumple que 0 ≤ Ex <∞. Puede ser que esta integral no exista, pero śı el
promedio temporal de la enerǵıa. Se define la potencia media normalizada de la señal x(t) como:
Px = 〈 |x(t)|2 〉 = ĺım
T→∞
1
2T
∫ T
−T
|x(t)|2 dt (4)
Se denominarán señales de potencia las que cumplan con 0 ≤ Px <∞.
Función de Correlación
Si x(t) e y(t) son señales de enerǵıa, definimos la intercorrelación entre x(t) e y(t) como:
rxy(τ) =
∫ ∞
−∞
x(t+ τ) y∗(t) dt (5)
A partir de esta última definición puede demostrarse que:
rxy(τ) = {x ∗ y∗}(τ) (6)
rxx(0) = Ex (7)
ryy(0) = Ey (8)
donde y∗ = y∗(−t). Finalmente, la desigualdad de Cauchy-Schwarz permite expresar:
|rxy(τ)|2 ≤ Ex Ey (9)
Cuando x(t) e y(t) son señales de potencia:
rxy(τ) = 〈x(t+ τ) y∗(t)〉 = ĺım
T→∞
1
2T
∫ T
−T
x(t+ τ) y∗(t) dt (10)
Siendo ahora:
|rxy(τ)|2 ≤ Px Py (11)
Sea ahora un SLIT caracterizado por su respuesta impulsional h(t), donde x(t) e y(t) son las señales
de entrada y salida respectivamente:
Si el sistema es estable, utilizando el criterio de EA/SA (BIBO estable), entonces h(t) es absolutamente
integrable. Por lo tanto, si la señal de entrada al sistema x(t) es de enerǵıa/potencia, la señal de salida
y(t), será de enerǵıa/potencia. La señal de salida y(t) puede obtenerse haciendo la convolución entre
la entrada y la respuesta impulsional del sistema. A partir de ello puede demostrarse que:
ryx(τ) = {rxx ∗ h}(τ) (12)
rxy(τ) = r
∗
yx(τ) = {rxx ∗ h∗}(τ) (13)
ryy(τ) = {rxx ∗ h ∗ h∗}(τ) = {rxx ∗ rhh}(τ) (14)
donde rhh(τ) es la función de autocorrelación de la respuesta impulsional, obtenida a partir de la (ec.
5), y h−(t) = h(−t).
Densidad Espectral de Enerǵıa (dee)
Sea x(t) una señal de enerǵıa y sea X(f) su transformada de Fourier. El teorema generalizado de
Parseval nos dice que: ∫ ∞
−∞
x(t) y∗(t) dt =
∫ ∞
−∞
X(f)Y ∗(f) df (15)
A partir de esta ecuación, si x(t) = y(t) tenemos:
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2 dt =
∫ ∞
−∞
|X(f)|2 df (16)
En el segundo miembro de la ecuación anterior, estamos integrando una función de f , |X(f)|2 en todo
el espectro para obtener la enerǵıa de la señal, por lo tanto el integrando es la densidad espectral de
enerǵıa sxx(f).
sxx(f) = |X(f)|2 (17)
Dado que:
rxx(τ) = {x ∗ x∗}(τ) (18)
se tiene que la TF de la función de autocorrelación es:
F{rxx(τ)} = X(f)X∗(f) = |X(f)|2 = sxx(f) (19)
Es decir, que el contenido en frecuencia de la función de autocorrelación coincide con la manera en que
se distribuye la enerǵıa de la señal en la frecuencia. Utilizando la (ec. 14), la manera de obtener la dee
a la salida de un SLIT en función de la dee de la señal de entrada es:
syy(τ) = sxx(f)H(f)H
∗(f) = sxx(f) |H(f)|2 = sxx(f) shh(f) (20)
donde shh(f) = F
{
rhh(τ)}.
Densidad Espectral de Potencia (dep)
Sea x(t) una señal de potencia. En este caso, la integral de Fourier de x(t) diverge, dado que no
cumple con la condición de Dirichlet de ser absolutamente integrable (podemos obtener la TF de cier-
tas señales de potencia si utilizamos deltas de Dirac en el dominio transformado, ej. señales con valor
medio no nulo, señales periódicas, etc). Vamos entonces a limitar la duración de la señal a un inter-
valo finito, trabajar con los conceptos de enerǵıa y luego hacer tender el intervalo a todo el tiempo.
Definimos a la señal xT (t) como:
xT (t) = x(t) u (t/2T ) (21)
es decir que restringimos x(t) al intervalo {−T, T} (truncamos la señal temporalmente). Podemos
calcular la potencia de la señal x(t) como:
Px = 〈 |x(t)|2 〉 = ĺım
T→∞
1
2T
ExT (22)
donde la ExT , puede obtenerse de la siguiente manera:
ExT =
∫ ∞
−∞
|xT (t)|2 dt (23)
y aplicando Parseval:
ExT =
∫ ∞
−∞
|XT (f)|2 df (24)
La potencia de la señal nos queda entonces:
Px = ĺım
T→∞
1
2T
∫ ∞
−∞
|XT (f)|2 df
↓
=
∫ ∞
−∞
(
ĺım
T→∞
|XT (f)|2
2T
)
df (25)
Por lo tanto, se define a la dep como:
sxx(f) = ĺım
T→∞
|XT (f)|2
2T
= ĺım
T→∞
sxT xT (f)
2T
(26)
Es interesante notar que la función de autocorrelación para señales de potencia, puede expresarse a
partir de la función de autocorrelación de la señal de enerǵıa xT (t) (señal truncada):
rxx(τ) = ĺım
T→∞
rxT xT (τ)
2T
= ĺım
T→∞
1
2T
∫ T
−T
x(t+ τ)x∗(t) dt (27)
De esta manera puede verse que:
ĺım
T→∞
F{rxT xT (τ)}
2T
↓
= F
{
ĺım
T→∞
rxT xT (τ)
2T
}
(28)
Por lo tanto:
sxx(f)
↓
= F
{
rxx(τ)
}
(29)
Volviendo al SLIT BIBO estable, tenemos de la misma manera:
ryy(τ) = {rxx ∗ rhh}(τ) (30)
syy(f) = sxx(f)H(f)H
∗(f) = sxx(f) |H(f)|2 = sxx(f) shh(f) (31)
donde ahora rxx se calcula utilizando (ec. 27), mientras que rhh utilizando (ec. 5).
Para el caso particular en que la señal es periódica (es decir ∃T �R tal que x(t) = x(t+T ), ∀t), la dep
puede calcularse como:
sxx(f) = F{〈x(t+ τ)x(t)〉} =
∞∑
k=−∞
|Ck|2 δ(f −
k
T
) (32)
Como es lógico, la potencia de la señal se distribuye en las distintas frecuencias armónicas pesadas
por el módulo cuadrado de los coeficientes de la serie de Fourier Ck. Esto se ve reflejado en la rxx(τ),
donde aparecen picos en τ = kT , con k �Z.
2. SEÑALES ALEATORIAS.
Sea el proceso estocástico X(t) = X(t, ξ), en donde ξ �Ω es una realización dada del experimento y
Ω el conjunto que contiene a todas las salidas posibles. Las definiciones que vimos anteriormente para
enerǵıa y potencia pueden aplicarse en este caso a cada realización del proceso, pero para caracterizar
al conjunto de realizaciones deberemos utilizar el promedio dado por la esperanza matemática.
Supongamos que X(t, ξ) es de enerǵıa ∀ ξ �Ω. La enerǵıa del proceso se obtiene:
Ex = E
{
EX(t,ξ)
}
= E
{∫ ∞
−∞
|X(t)|2 dt
}
=
∫ ∞
−∞
E
{
|X(t)|2
}
dt (33)
Recordando que la correlación estad́ıstica entre los procesos X(t) e Y (t) se define como:
RXY (t+ τ, t) = E
{
X(t+ τ)Y ∗(t)
}
(34)
tenemos finalmente que:
Ex =
∫ ∞
−∞
RXX(t, t) dt (35)
Podemos calcular la TF de cada realización y entonces, a partir del proceso X(t, ξ), obtendremos un
nuevo proceso pero en frecuencia (dado que la realización en ese dominio dependerá de cuál de todas
las posibles, resultó en el dominio temporal).
F{X(t, ξ)} = XF (f, ξ) (36)
donde XF (f, ξ) = F{X(t, ξ)}. Por lo tanto, la densidad espectral de enerǵıa para cada realización es:
SXX(f, ξ) = |XF (f, ξ)|2 (37)
Finalmente la enerǵıa del proceso es:
Ex = E
{∫ ∞
−∞
|XF (f, ξ)|2 df
} ↓
=
∫ ∞
−∞
E
{
|XF (f, ξ)|2
}
df (38)
por lo tanto, la DEE del proceso es:
SXX(f) = E
{
SXX(f, ξ)
}
= E
{
|XF (f, ξ)|2
}
(39)
La correlación determińıstica para distintas realizaciones, es un proceso aleatorio (PA).
rXX(τ, ξ) =
∫ ∞
−∞
X(t+ τ, ξ)X∗(t, ξ) dt (40)
La TF de esta última, también será un PA:
sXX(f, ξ) = F{rXX(τ, ξ)} (41)
Entonces, la DEE del proceso puede calcularse aplicando esperanza a la ecuación anterior:
SXX(f) = E
{
F{rXX(τ, ξ)}
} ↓
= F
{
E{rXX(τ, ξ)}
}
= F
{∫ ∞
−∞
RXX(t+ τ, t) dt
}
(42)
Supongamos ahora que X(t, ξ) es de potencia ∀ ξ �Ω (las realizaciones de los procesos estacionarios no
son de enerǵıa en general). Para cada realización la potencia puede calcularse:
PX(t,ξ) = 〈|X(t, ξ)|2〉 (43)
Para todo el proceso, la potencia media resulta,
PX = E{PX(t,ξ)} = E{〈|X(t, ξ)|2〉} = 〈E{|X(t, ξ)|2}〉 = 〈RXX(t, t)〉 (44)
En el caso en que el proceso sea estacionario en sentido amplio (PAESA) (µX(t) = µX es constante y
RXX(t+ τ, t) = RXX(τ) ), la potencia PX resulta,
PX = RXX(0) (45)También para cada realización, puede calcularse la función de autocorrelación:
rXX(τ, ξ) = 〈X(t+ τ, ξ)X∗(t, ξ)〉 (46)
y la dep:
sXX(f, ξ) = F{〈X(t+ τ, ξ)X∗(t, ξ)〉} (47)
Tomando la esperanza al PA dado por rXX(τ, ξ) se tiene:
E{rXX(τ, ξ)} = 〈RXX(t+ τ, t)〉 (48)
recordando que 〈.〉 implica el cálculo del promedio temporal. Por lo tanto, si el proceso es PAESA:
E{rXX(τ, ξ)} = RXX(τ) (49)
Luego, la potencia del proceso:
PX = E{PX(t,ξ)} = E{
∫ ∞
−∞
sXX(f, ξ) df} =
∫ ∞
−∞
E{sXX(f, ξ)} df (50)
y finalmente, la dep del proceso:
SXX(f) = E{sXX(f, ξ)} = E
{
ĺım
T→∞
|XFT (f, ξ)|2
2T
}
= E
{
F{rXX(τ, ξ)}
}
(51)
Por lo tanto:
SXX(f) = E{F{rXX(τ)}} = F
{
〈RXX(t+ τ, t)〉
}
(52)
Volviendo al SLIT estable con entrada X(t) y salida Y (t), la densidad espectral SY Y (f) puede obte-
nerse:
SY Y (f) = SXX(f)|H(f)|2 (53)
donde H(f) es la respuesta en frecuencia del sistema. Sin embargo, pedir que cada realización sea de
potencia, es una condición muy restrictiva. En realidad queremos trabajar con PA de potencia que
cumplan con RXX(t, t) <∞ (es decir que la potencia instantánea sea finita). Aśı, para algunas pocas
realizaciones ξ �Ω se cumple que PX(t,ξ) =∞ . Entonces, si queremos calcular la dep deberemos seguir
los siguientes pasos;
a) Se debe truncar el proceso al intervalo (−T, T ), por lo tanto podemos calcular |XFT (f, ξ)|2.
b) Luego hacer el promedio en las realizaciones (estad́ıstico).
c) Finalmente tomar el ĺımite haciendo tender T a ∞.
Es decir que:
SXX(f) = ĺım
T→∞
E
{ |XFT (f, ξ)|2
2T
}
(54)
De igual manera, sigue siendo válido que:
SXX(f) = F{〈RXX(t+ τ, t)〉} (55)
En el caso en que el proceso X(t) sea un PAESA, no es necesario tomar el promedio temporal, por lo
tanto tenemos:
SXX(f) = F{RXX(τ)} (56)
Para medir RXX(τ) en la práctica, necesitaŕıa tener un “número grande”de realizaciones disponibles
del proceso . Ahora, si el mismo cumple con ser ergódico en correlación, con una sola realización (la
que se ocurra) puede hacerse.
Ergodicidad en la media.
Antes de ver ergodicidad, debemos recordar la definición de función de intercovarianza:
CXY (t+ τ, t) = E
{
[X(t+ τ)− µX(t+ τ)][Y ∗(t)− µY (t)]
}
= RXY (t+ τ, t)− µX(t+ τ)µ∗Y (t) (57)
Sea X(t, ξ) un PA dado, su promedio temporal, en general, dependerá de la realización que ocurra. Por
lo tanto depende de ξ, esto es, será una variable aleatoria (VA). Por otro lado, la esperanza del proceso,
en general, dependerá del instante en el cual lo “miramos”, por lo tanto será función del tiempo. Un
PA es ergódico en media cuando se cumple que:
〈X(t)〉 = E
{
X(t)
}
= µX (58)
Lo que se pide es que el promedio temporal sea igual al promedio estad́ıstico. Para ello, el primero
no deberá depender de la realización ξ mientras que el promedio estad́ıstico (esperanza) no deberá
depender del tiempo (deberá ser constante). Estos dos valores tienen que ser iguales siempre, entonces
la varianza del promedio temporal (que como vimos es en general una variable aleatoria) deberá ser
nula. Puede demostrarse que para que un PAESA sea ergódico en media, debe cumplirse que:
〈CXX〉(τ) = 0 (59)
Esto es, que las variable aleatorias que conforman al proceso en promedio se encuentren no correlacio-
nadas. La condición anterior es similar a pedirle a la función de autocorrelación RXX(τ), que tienda a
|µX |2 cuando τ →∞, en el caso de no tener componentes periódicas.
Ergodicidad en la correlación.
Para ser ergódico en correlación, el proceso X(t) debe cumplir que:
rXX(τ) = RXX(τ) (60)
Si definimos al proceso Zτ (t) como:
Zτ (t) = X(t+ τ)X
∗(t) (61)
Entonces, el proceso X(t) será ergódico en correlación sii el proceso Zτ (t) cumple con ser ergódico en
media, para todo τ .
Para un proceso gaussiano puede demostrarse que si el mismo es ergódico en media, entonces también es
ergódico en correlación. Y volviendo al SLIT estable, si el proceso de entrada es ergódico en correlación,
entonces el proceso de salida también cumple con esa condición.