Estadistica-aplicada-exploraciAn

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Cátedra de Geología de Minas 
Facultad de Ciencias Naturales y Museo 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA 
 
 
 
APUNTES DIDÁCTICOS DE 
GEOLOGÍA DE MINAS 
 
 
 
Contenido: 
Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 
 
 
Raúl Fernández 
 
Revisión: Julio de 2015 
 
 
 
La serie de notas o apuntes didácticos de la Cátedra de Geología de Minas, constituyen sólo una guía de 
los temas abordados en la materia y no pretenden tener la categoría ni de material completo ni de libro 
de texto. En los años en que se ha dictado la materia, los hallazgos, por parte de los alumnos y docentes, 
de errores y/o desarrollos confusos así como cambios introducidos a los efectos de su actualización, 
llevan a continuas revisiones de estos apuntes. 
En ciertas ocasiones el contenido de estos apuntes cubre la totalidad del desarrollo que se da en clase, 
pero en otras sólo se presentan algunos fundamentos y su profundización y aplicación se brinda en las 
clases correspondientes. 
Estos apuntes fueron confeccionados tomando como base la experiencia y conocimientos de los docentes, 
pero también tienen una fuente bibliográfica de gran amplitud, dada la diversidad de temas que se 
tratan. Se han consultado tanto libros de texto específicos como artículos de revistas periódicas, los que 
figuran al final de cada tema. La mayor parte de esa bibliografía puede ser proporcionada a los alumnos 
de la materia por los docentes de la cátedra. 
Debe mencionarse que por ser Geología de Minas una materia optativa de la Facultad de Ciencias 
Naturales y Museo de la UNLP, que es tomada por estudiantes avanzados en la carrera o por estudiantes 
de postgrado, hay numerosos temas, definiciones y términos que se considera, fueron desarrollados 
previamente en otras materias y por lo tanto no están comprendidos en estos apuntes. 
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 2 
 
APLICACIONES ESTADÍSTICAS EN LA EXPLORACIÓN MINERA 
En cada una de las etapas de la exploración minera se obtiene una gran cantidad de información tanto 
cualitativa como cuantitativa; sin embargo esa información conforma sólo una parte muy pequeña del 
conjunto, es decir del depósito mineral. Todos esos datos, aún clasificados de acuerdo a su origen, 
difícilmente puedan manejarse en forma individual y deducir a partir de ellos las características totales 
del conjunto y de allí la importancia del tratamiento estadístico. Las herramientas estadísticas 
comenzaron a utilizarse en la exploración minera en la década del ’40 y por sus resultados su uso se ha 
ido incrementando notoriamente, tanto en las etapas de exploración preliminar como en las avanzadas 
para la determinación de leyes medias y tonelajes, así como durante la producción. Debido a que la 
estadística se desarrolla en esta Facultad en una materia específica, este apunte pretende sólo repasar 
sus aspectos fundamentales y desarrollar sus aplicaciones en la exploración minera. 
 
INTRODUCCIÓN 
La estadística analiza una población sobre la base de muestras aleatorias y equiprobables procedentes 
de ella y, a partir del conjunto de muestras (desde el punto de vista estadístico esto es una muestra de la 
población) define las principales características de la variable estudiada, por ejemplo su media y varianza. 
En un depósito mineral todos los valores que puede tomar una determinada variable (p.ej. el contenido 
en un metal) constituyen una población y por lo tanto puede ser analizada con los métodos estadísticos. 
Desde esta concepción una concentración mineral estará compuesta por numerosas variables (xi) que, en 
la práctica, pueden tomar valores entre un xi mínimo y un xi máximo y por lo tanto podría definirse por la 
distribución de los valores de la variable. En la exploración (y en una ulterior explotación) las variables 
de mayor importancia suelen ser: la ley de un metal o de varios metales (cada uno es una variable); la 
proporción de un mineral (por ejemplo el % de caolinita en yacimientos de arcillas de uso refractario); el 
espesor de la mineralización; la “acumulada” (ley x espesor); la granulometría de un determinado mineral 
y las propiedades geotécnicas. 
Los conceptos fundamentales y detallados acerca del método estadístico se brindan en numerosos 
libros de texto; particularmente entre los que desarrollan el tratamiento de datos geológicos puede 
mencionarse a Krumbein y Graybill (1965), Koch y Link (1980), Merodio (1985), Davis (1986), Wellmer 
(1998), este último orientado a la exploración minera. Alperín (2013), publicado por la editorial de la 
Universidad de La Plata (edulp) desarrolla bases teóricas y prácticas sobre el tema 
(www.editorial.unlp.edu.ar/naturales_libros_catedra). 
En este apunte sólo se abordan, a través de las metodologías uni- y bivariables, los aspectos de mayor 
relación con la investigación minera desde las etapas tempranas de la exploración hasta la de estimación 
de recursos. 
 
PARTICULARIDADES DE LOS DATOS DE EXPLORACIÓN 
Debido a razones operativas propias de la exploración minera, el conjunto de las muestras no siempre 
siguen estrictamente los requisitos establecidos por la estadística “pura”. Al respecto puede mencionarse 
que: 
- la población se estudia a partir de un pequeño número de muestras que son de un volumen (o peso) 
“insignificante” respecto a ella; 
- a menudo se tienen que tratar muestras de distinto origen, p.ej. muestras en esquirlas de trincheras, 
muestras de perforaciones con diamantina o con circulación reversa, o de distinto volumen, p.ej. 
muestras de testigos de diámetro NQ o HQ, muestras de distinta longitud de testigo, etc. 
- es normal que en zonas de alta ley se tome mayor cantidad de muestras y más cercanas entre si que 
en el resto del área, pero aunque esto infringe el concepto de aleatoriedad, es necesario para los 
objetivos de la exploración. 
http://www.editorial.unlp.edu.ar/naturales_libros_catedra
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 3 
 
Desde el punto de vista estadístico, el objetivo de la exploración será reconocer el tipo de distribución, 
los estadísticos que la definen y el error de la estimación. Por lo tanto las variantes mencionadas sobre las 
muestras deberán ser tenidas en cuenta en dicho análisis. 
 
DIFERENCIAS ENTRE ESTADÍSTICA Y GEOESTADÍSTICA APLICADAS A 
ESTUDIOS DE YACIMIENTOS 
Estas dos herramientas, actualmente muy utilizadas en la Investigación Minera, no son exactamente 
iguales: tienen distintas concepciones acerca de la distribución de los datos y por lo tanto las 
metodologías de estudio son diferentes. Es común a ambas, la recolección de una gran cantidad de datos 
numéricos (o transformados a números) y la obtención de resultados a partir de esta compleja 
información, muchas veces con arreglos muy distintos. 
La diferencia entre estadística y geoestadística radica esencialmente en ese arreglo, o sea la 
estructuración de las series de datos. 
Para la estadística hay una estructuración numérica de la información geológica. Los datos son 
tomados solamente en la estructura matemática de la variable (x) que para un fenómeno geológico 
cualquiera puede tomar valores entre x mínimo y x máximo. Si ordenamos la serie de datos confrontados 
con la frecuencia con que se presentan, se pueden estructurar numéricamente tanto en una distribución 
normal o una lognormal. El conocimiento de esa distribución, no sólo hará más fácil y barata la 
investigación, sino que también contribuirá a resolver otra importante cuestión que es el problema del 
muestreo 
La geoestadística, tiene en cuenta que las variables geológicas no solamente poseen una dimensión 
numérica (los valores que puede tomar x) sino que cada observación o cada dato (p.ej. una muestra) tiene 
una ubicación y un alcance espacial en el volumen de roca de su entorno; esta componente espacial no es 
considerada por la estadística clásica. La geoestadística esuna metodología para comprender como los 
valores de la variable se relacionan unos con otros en el campo de lo geométrico o geográfico. Es así que 
el histograma o la curva de frecuencias de la estadística clásica no son útiles ya que además de la 
distribución numérica aleatoria que ésta considera, hay una componente geométrica (espacial) que la 
afecta, por lo que la geoestadística utiliza otras herramientas (p.ej. el variograma, que se trata en otro 
apunte) para analizar esa composición doble: aleatoria y estructurada en el espacio. Debe tenerse en 
cuenta, no obstante, que la geoestadística necesita que previamente se realice el tratamiento estadístico de 
datos. 
La estadística es una herramienta indispensable en las etapas tempranas de la exploración, cuando se 
están recogiendo los datos primarios y se desea ajustar el método para el reconocimiento del blanco. En 
estas etapas debido a la calidad de los datos no es posible asignarles alcances geométricos, ni tampoco es 
conveniente o confiable utilizar métodos más complicados para evaluar unos pocos datos y un imperfecto 
conocimiento del sistema. 
En las etapas de evaluación y estimación de recursos y en la de la factibilidad del proyecto minero, 
hoy en día la geoestadística se hace indispensable ya que con ella se logra ajustar el método para 
establecer un suficiente grado de confiabilidad de la información (disminución del riesgo) sobre la cual se 
basarán todos los cálculos económicos antes de emprender inversiones de mayor importancia como la 
construcción de la planta e inicio de la explotación. 
 
VARIABILIDAD 
 
La variabilidad es inherente a cualquier tipo de mineralización (como a cualquier cuerpo geológico o 
fenómeno natural) y se debe a la distribución de la variable, que puede estar más o menos dispersa. Su 
conocimiento es de suma importancia para la exploración y eventual explotación. En un tratamiento 
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Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 4 
 
estadístico, esta variabilidad puede reconocerse en la amplitud de un histograma y definirse 
numéricamente por la varianza. 
Si bien la variabilidad siempre será considerada, tendrá distinta influencia en la estrategia de 
exploración y en la confiabilidad de los resultados, de acuerdo a la etapa de investigación. En la Fig. 1 se 
esquematizan variabilidades desde una escala regional de reconocimiento hasta la de observación puntual 
dentro de una mina; a medida que se avanza en la exploración, la variabilidad incrementará su influencia 
y será necesario establecerla con mayor certeza. 
 
 
Fig. 1. Croquis de las variaciones naturales, morfológicas y de concentración de mineral útil para distintas escalas 
de trabajo. a) regional, b) distrital, c) de mina, d) para tratamiento del mineral. 
 
CAUSAS DE LA VARIABILIDAD 
Las concentraciones minerales poseen distintas morfologías y variabilidad en las leyes, espesores, 
tamaño de grano, intercrecimientos de minerales y de las características geotécnicas de la mena y sus 
encajantes; ésta dependerá de los fenómenos geológicos que contribuyeron su formación y las 
modificaciones post-mineralización; por lo que la variabilidad debida a la génesis se denomina 
variabilidad natural (o geológica). 
La variabilidad en la ley de yacimientos vetiformes es originada por las condiciones fisico-químicas 
(temperatura, presión, pH, etc) que permiten la precipitación de los minerales, así como por la existencia 
de más de un pulso de mineralización. La variabilidad de espesores dependerá de las características 
estructurales de la fractura que los aloja; p.ej. un cuerpo vetiforme que rellena una fractura simple de 
tensión es más constante que aquel que rellena una fisura producida por cambios de orientación en un 
fallamiento de desplazamiento de rumbo (vetas “arrosariadas”, “lazos cimoides”). Los depósitos tipo 
"porphyry copper" muestran una zonación horizontal de la ley también debida a cambios en las 
condiciones de los fluidos mineralizantes, pero además es común que presenten variación de los tenores 
en el sentido vertical, debido a fenómenos sobreimpuestos de origen supergénico. En yacimientos de 
cualquier tipo puede producirse (o adicionarse) una variabilidad debida a procesos posteriores a su 
formación, los cuales pueden cambiar la morfología del cuerpo o disminuir localmente sus leyes. 
Yacimientos sedimentarios aluvionales, suelen tener una variabilidad relacionada a las condiciones 
morfológicas del cauce donde se depositaron o a condiciones físico-mecánicas del medio de transporte. 
Por otro lado hay yacimientos de origen sedimentario (p.ej. yacimientos ferríferos) que presentan baja 
variabilidad, ya que las condiciones de depositación en la cuenca fueron más o menos homogéneas. 
Además de la variabilidad natural (que se expresa como la varianza de la población) hay otras causas 
que introducen variabilidad y que están vinculadas con: a) procedimientos de muestreo y el tamaño y 
forma de las muestras, b) preparación de las muestras (cuarteo, trituración, molienda) y c) factores 
analíticos (métodos, reproducibilidad, errores). Se las engloba como variabilidad técnica. La figura 2 
ilustra como el muestreo (asumiendo que la toma de muestras es correcta) puede influenciar la 
variabilidad de acuerdo al soporte, es decir al tamaño y forma de la muestra. 
Zonas ricasZona con mineralizción
Diseminación
Cuerpos mineralizados
Mineral útil
Ganga M
en
a
a c
b d
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Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 5 
 
La variabilidad técnica debe ser correctamente definida y tratada cuidadosamente para que no resalte u 
oculte la variabilidad natural del yacimiento, lo que puede ocasionar graves imprecisiones en la 
evaluación. 
 
Fig. 2. Variabilidad ocasionada por el tamaño y forma de las muestras. 
 
El muestreo de un depósito mineral debe ser diseñado para estimar, no sólo las leyes (u otra variable) 
de los distintos sectores, sino también para reconocer su variabilidad. Por consiguiente resulta 
imprescindible que la información de campo (o de mina) que acompaña al muestreo sea lo más completa 
posible y que permita distinguir las características geológicas de los sectores muestreados; esto permitirá 
una orientación muy importante sobre la dependencia de la variabilidad, es decir geológica o técnica y 
esta información será fundamental al momento de evaluar el muestreo efectuado. En la Fig. 3 se 
esquematizan distintas variabilidades geológicas que deberán ser coherentes con los resultados del 
muestreo. 
 
Fig. 3. La información que acompaña al muestreo debe permitir identificar si la variabilidad corresponde a: (a) 
una mineralización homogénea, (b) una distribución al azar de las muestras sobre mineral distribuido 
heterogéneamente (c) relacionada a factores geológicos que controlan la mineralización (podrán ser poblaciones 
distintas). 
 
 
ESTADÍSTICA UNIVARIABLE 
 
En una exploración minera se acumula una gran cantidad de datos de diversa índole (leyes, espesores, 
diaclasas, etc.) a los que debe darse un tratamiento y realizar un análisis objetivo, de modo de obtener los 
resultados más confiables y susceptibles de contrastar. 
Las herramientas estadísticas más utilizadas en la exploración minera, son los parámetros estadísticos 
de tendencia central, de dispersión (o amplitud) y de forma. Además es fundamental establecer el modelo 
de distribución de la variable, ya que esos estadísticos y las aplicaciones del tratamiento estadístico 
dependerán de dicho modelo. Se desarrollará primero algunos aspectos estadísticos básicos y luego serán 
tratadas sus aplicaciones en la exploración, en ciertos casos con algunos ejemplos sencillos. 
 
PARÁMETROS ESTADÍSTICOS 
Los parámetros estadísticos de tendencia central (se utiliza simplemente el término estadísticos cuando 
se refieren a un conjunto de muestras y no a la población) muestran donde está el mayoragrupamiento de 
la serie de datos; los más utilizados son la media y la mediana. Los de dispersión señalan cuan amplia es 
la distribución respecto al estadístico de tendencia central; los más usados son la varianza y el desvío 
Muestras de alta Ley
mineral
mineral
Muestras de Ley intermedia Muestras estériles
canaletas de muestreo
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Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 6 
 
estándar. Los estadísticos de forma dan idea de la simetría y curtosis de la distribución y para ello se 
utilizan los coeficientes de asimetría y de variación. Las ecuaciones de estos estadísticos se muestran en 
la figura 4. 
 
Fig. 4. Ecuaciones de los estadísticos más utilizados 
 
Los estadísticos de mayor importancia en la exploración minera son la media y la varianza (o desvío 
estándar) que en la teoría estadística corresponden a los dos primeros momentos de una distribución (el 
tercer momento es el coeficiente de asimetría). 
 
DISTRIBUCIONES 
El reconocimiento del tipo de distribución de la serie de datos, es un aspecto de suma importancia 
antes de iniciar cualquier cálculo estadístico ya que la confianza en los resultados obtenidos dependerá de 
que se utilicen coherentemente con el tipo de distribución. Es por eso que las representaciones gráficas de 
las distribuciones (histogramas, curvas de frecuencias absolutas o relativas) es el inicio del tratamiento de 
los datos. 
Dos tipos de distribuciones estadísticas son las que más se ajustan a los datos geológicos y 
específicamente al comportamiento de las variables en una concentración mineral: la distribución normal 
y la lognormal. 
En la distribución normal (o Gaussiana), la variable presenta una forma de campana (“campana de 
Gauss”) cuya forma teórica es definida por la ecuación: 
( )
2
2
2).
2
1( s
mxi
e
s
y
−
−
=
π
 (1) 
donde xi es el valor de la variable, m es la media y s es el desvío estándar. La curva definida por esta 
ecuación es la función de densidad de probabilidad. 
En la distribución lognormal los valores reales de la variable presentan una forma asimétrica, pero 
cuando son transformados a logaritmos, adquiere una forma similar a la de la distribución normal. La 
función de densidad de probabilidad tiene una ecuación similar a (1) reemplazando los valores de xi, m y 
s por sus logaritmos (para profundizar sobre las distribuciones lognormales puede consultarse el texto de 
Aitchison y Brown, 1964). 
∑
=
=
n
i
ixnm
1
)/1(
2/)1( += nxM
2/)( 1)2/(2/ ++= nn xxM
∑
=
−=
n
i
i mxn
1
22 )()/1(
2=
13 QQRIQ −=
2
1
3)()/1( ∑
=
−
=
n
i
i mxn
CA
m
CV =
s
s s
s
s
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media:
Mediana:
Varianza:
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
MEDIDAS DE FORMA
Desvío estándar:
Rango intercuartil:
Coeficiente de asimetría:
Coeficiente de Variación:
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Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 7 
 
Para la construcción de esas representaciones gráficas el primer paso es ordenar la serie de datos (en 
forma creciente o decreciente según los objetivos) y dividirlos en clases (intervalos de valores) de un 
mismo tamaño; el intervalo y cantidad de clases dependerán de la diferencia entre el valor máximo y 
mínimo. Luego se cuenta el número de muestras que entra en cada clase (frecuencia). Con esta síntesis de 
los datos se construye el histograma. 
En la figura 5 se presentan tres ejemplos de histograma (hipotéticos) a partir de los cuales, 
visualmente, podemos establecer ciertas diferencias en la distribución. 
 
 
Fig. 5. Ejemplos de histograma de distintos tipos de yacimientos. En el de Fe la distribución es asimétrica 
(negativa); en el de Cu la distribución es simétrica con la forma típica de la distribución normal (se ha ajustado la 
curva de frecuencias). En el de Au, la distribución es asimétrica (positiva) con algunas pocas muestras alejadas de 
los resultados más frecuentes que sugieren que se trata de una distribución lognormal. En cada histograma se 
muestra el número de datos (N), la media (m) y el desvío estándar (s) 
 
El histograma es un gráfico de datos discretos (las clases del eje x) y también puede construirse con 
proporciones relativas de la frecuencia (llevadas a 100%, 
en el eje y). Las curvas de frecuencia (como la que se 
muestra en la distribución de Cu de la Fig. 5) representan 
datos continuos y se las construye a partir de las 
frecuencias relativas o relativas acumuladas. También 
constituyen representaciones graficas útiles para 
comprender la distribución (Fig. 6). 
 
 
Fig. 6. Histograma relativo (blanco) y relativo acumulado (gris) 
con las correspondientes curvas de frecuencia, del yacimiento 
de Cu de la Fig. 5. 
 
La diferencia entre la distribución normal y lognormal se esquematiza en la figura 7 que ilustra las 
curvas de frecuencia y de frecuencia relativa acumulada, donde el eje x son las clases y el eje y las 
frecuencias. Puede verse que la distribución lognormal, cuando se utilizan los valores reales presenta una 
“cola” a la derecha (sesgo positivo) que desaparece y se hace similar a la forma de la distribución normal 
si los valores son transformados a logaritmos. Para graficar estos valores, en vez de transformarlos 
numéricamente, suele utilizarse el eje x con escala logarítmica. La frecuencia relativa acumulada posee 
una forma de “S” si el eje y es de escala aritmética, pero si se lo transforma en una escala probabilística 
(de acuerdo a la ecuación de Gauss [1]), se obtiene una recta, que hace facilita la comparación de distintas 
series de datos (p.ej. las pendientes). 
 
fre
cu
en
ci
a
10
20
30
40
50
20 6040
N= 280
m= 47 %
s= 3,8 %
% Fe
fre
cu
en
ci
a
20
40
60
80
100
0,1 0,5 1,0
% Cu
0 15 30
fre
cu
en
ci
a
10
20
30
40
50
60
g/t Au
m= 0,74 %
s= 0,13 %
m= 11,4 g/t
s= 7,7 g/t
40
20
60
80
100
0
0,50,1 1,0
%
Fr
ec
ue
nc
ia
 
Clases % Cu
curva de frecuencias
relativas acumuladas
curva de frecuencias
relativas
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Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 8 
 
 
Fig. 7. Distribuciones Normal y Lognormal 
 
Distribución normal estandarizada 
Los valores de la variable (xi) que siguen una distribución normal (definida matemáticamente por la 
ecuación [1]) pueden transformase a valores zi de acuerdo a: 
smxz ii /)( −= 
la diferencia de la variable (xi) respecto a la media (m) será una proporción del desvío estándar (s). Esta 
transformación produce una distribución de valores estandarizados (zi) con una media igual a 0 y una 
desvío estándar igual a 1. El área bajo la curva es de un 68,26%, 95,44% y 99,74% para ±1, ±2 y ±3 
desvíos estándar, respectivamente (Fig. 8). 
 
Fig. 8. a) Distribución normal estandarizada y áreas bajo la curva, correspondientes a ±1, ±2 y ±3 desvíos 
estándar. b) Curvas de frecuencia relativa acumulada de una distribución normal estandarizada con distintas (1 y 
2) formas según la escala del eje y. 
 
La proporción de área bajo la curva para distintos desvíos estándar (además de los señalados) se 
presentan en tablas que pueden encontrarse en la mayoría de los libros de estadística. Este concepto 
estadístico es de mucha utilidad en la exploración minera, particularmente en la estimación de recursos. 
La frecuencia relativa acumulada también responde a esta función, dando una curva con forma de “S” 
si el eje y es dividido linealmente (aritmético) o una recta cuando este eje se escala de acuerdo a la 
ecuación de Gauss [1], denominada escala probabilística (Fig. 8b). En las curvas de frecuencia relativa 
acumulada la media coincide con la mediana (el 50 % de los valores) y con ellas puede obtenerse la 
proporción (%) de datos que están por encima (o por debajo) de cualquier valor del eje x. 
 
 
DISTRIBUCIÓN NORMAL DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL
Escala aritméticaEscala aritmética
E
sc
al
a 
ar
itm
ét
ic
a
E
sc
al
a 
ar
itm
ét
ic
a
Escala logarítmicaEscalalogarítmica
E
sc
al
a 
pr
ob
ab
ilí
st
ic
a
E
sc
al
a 
pr
ob
ab
ilí
st
ic
a
CURVA DE FRECUENCIA
CURVA DE FRECUENCIA
CURVAS DE FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA
CURVA DE FRECUENCIA
E
sc
al
a 
ar
itm
ét
ic
a
(valores transformados
a logaritmos)
(valores reales)
E
sc
al
a 
ar
itm
ét
ic
a
Escala aritmética Escala aritmética Escala aritmética
CURVAS DE FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA
E
sc
al
a 
ar
itm
ét
ic
a
97,7%
50
100
84%
50%
16%
2,3%
eje
transformado (Gauss)
 y
eje dividido
linealmente
y
z
68,26%
95,44%
99,74%
Distribución
Normal Estandarizada
-2s-3s -s s 2s 3s
1
2
-s
s
-2
s
2s
z
ba
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Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 9 
 
APLICACIONES DE LOS MODELOS DE DISTRIBUCIÓN Y LOS ESTADÍSTICOS EN 
LA EXPLORACIÓN MINERA 
 
DISTRIBUCIÓN NO SESGADA 
Desde el inicio del tratamiento de datos, al construir el histograma, debe prestarse atención para que la 
distribución no sea sesgada. Este sesgo es propio de la 
exploración minera debido a que suele requerir mayor 
información (se produce mayor cantidad de datos) en 
las zonas donde las leyes son más elevadas. Un ejemplo 
de esta situación se muestra en la figura 9. En un 
hipotético depósito tipo “pórfido cuprífero” se realizó 
una exploración con sondeos espaciados en una malla 
de 60 x 60 metros. Por los resultados obtenidos, se 
decidió realizar otra etapa de perforaciones de relleno 
(“infill”) separadas a 30 metros; en esta segunda etapa 
se comprobó la extensión de las zona de alta ley (> 
1,2% Cu). 
 
Fig. 9. Ubicación de sondeos en un depósito tipo “porphyry 
copper”. Etapa 1 (grilla de 60 x 60 m) y Etapa 2 (relleno en 
grilla de 30 x 30 m). 
 
La construcción del histograma con todos los datos de perforaciones producirá una distorsión (sesgo) 
debido a que en la segunda etapa de sondeos se atravesaron zonas de alta ley contiguas a las establecidas 
en la primera, por lo tanto la frecuencia de valores elevados (> 1,2% Cu) se incrementará. Esto puede 
conducir a definir una ley media más alta que la real (y también a un mayor tonelaje de alta ley), además 
puede interpretarse que se trata de una distribución lognormal cuando no lo es. Por lo tanto debe 
construirse un histograma no sesgado en el que se elimine la influencia que produce el agrupamiento de 
las muestras (los métodos de desagrupamiento se desarrollan en otro apunte). 
 
EL MODELO DE DISTRIBUCIÓN 
El reconocimiento del tipo de distribución es de gran importancia en cualquier tratamiento estadístico. 
La estimación de los estadísticos (media y varianza) así como la proporción de muestras o de bloques de 
mineral que están por encima de un valor especificado (p.ej. la ley de corte) dependerá del tipo de 
distribución. 
Como se ha mencionado los histogramas suelen dar una idea bastante aproximada del tipo de 
distribución (ver Fig. 5), pero uno de los métodos estadísticos de verificación del tipo distribución es el 
“test chi cuadrado” (x2). Sin embargo en la práctica, los gráficos de distribución de frecuencias 
acumuladas se consideran aceptables para definir este aspecto; en ellos se vuelca el límite de clases y la 
frecuencia relativa acumulada sobre un papel con las escalas adecuadas de los ejes x e y (Fig. 10). En esta 
figura, como se interpretó de los histogramas, puede verse que las leyes de Cu tienen una distribución 
normal y se ajustan bastante bien a una recta (hasta ~98 % de la acumulación) en la grilla aritmético-
probabilística, mientras no lo hacen las de Au. En la grilla log-probabilística el Au se ajusta a una recta 
indicando que se distribuye lognormalmente (estas grillas se brindan en un Anexo). 
 
60 m
30 m
0,2 - <0,6 %Cu 0,6 - 1,2 %Cu >1,2 %Cu
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Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 10 
 
 
Fig. 10. Frecuencia relativa acumulada (por clases) de los yacimientos de Cu y de Au de la figura 5. La escala del 
eje y es la división que se obtiene de la ecuación de Gauss [1] y representa el % del área bajo la curva (proporción) 
que está por encima o por debajo de un determinado valor, donde 0 y 100 % se alcanzan en valores de clase que 
tienden a infinito (son asintóticos respecto al eje x). La distribución del Au se desvía de la recta en la grilla 
aritmético-probabilística pero se ajusta a una recta en la log-probabilística (a la derecha) sugiriendo una 
distribución lognormal. 
 
Debe mencionarse que hay distintas formas de presentar los gráficos de frecuencia relativa acumulada. 
La disposición de los ejes tal como se muestra en la Fig. 10, sigue el uso europeo. Los autores de América 
del Norte, por el contrario, dividen el eje x según la escala probabilística (%) y el eje y (con los valores de 
las muestras o de las clases) en escala aritmética o logarítmica (según la distribución). Por otra parte, en la 
Fig. 10 la acumulación (sumatoria) de los valores de muestras o clases es de menor a mayor, pero hay 
casos donde esta sumatoria se realiza de mayor a menor valor, por lo que gráficamente tendrá una 
pendiente opuesta. Los resultados que se obtienen son iguales, pero debe prestarse atención a estas 
variantes. 
La forma del histograma o de la curva de frecuencia dependerá del tipo de distribución por lo que 
estos gráficos son una buena aproximación para definirla; no obstante las expresiones numéricas de los 
estadísticos de forma (ver figura 4) pueden ser más objetivos y constituyen herramientas útiles para 
establecerla. El coeficiente de asimetría (CA) en la distribución normal teórica es igual a cero; si la 
distribución es sesgada a la derecha CA>0 (sesgo positivo) y si es sesgada a la izquierda CA<0 (sesgo 
negativo). En la práctica el coeficiente de variación (CV), que es la relación entre el desvío estándar y la 
media, proporciona mucha información acerca de la distribución; cuando CV es <0,5 sugiere que la 
distribución es normal y si CV es >0,5 probablemente es lognormal (el coeficiente de variación se suele 
expresar en forma porcentual: 0,5 = 50 %). 
El coeficiente de variación toma distintos valores según los tipos de yacimientos, como demuestran los 
ejemplos del Cuadro 1 (de Wellmer, 1998). Este rango de valores del CV es, no sólo indicativo de la 
amplitud del coeficiente de variación, sino también indica que debe ser considerado para cada tipo de 
yacimiento. 
 
Cuadro 1. Coeficientes de variación comunes de algunos tipos de depósitos minerales (tomado de Wellmer, 1998) 
Localidad Depósito Coeficiente de Variación 
América del Norte Varios tipos de depósitos de Pórfidos cupríferos 0,5 – 0,8 
Ramsbeck, Alemania Vetas Pb-Zn 0,9 – 1,9 
Montcalm Depósitos magmáticos de sulfuros de Cu-Ni 0,32 
99,5
99
98
97
96
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
4
3
2
1
0,5
84
16
LIMITE SUPERIOR DE CLASE DE “x”
GRILLA ARITMÉTICO-PROBABILÍSTICA %
0,2 0,5 1,0 %Cu % Cu 0,3
1,5 3,0 g/t Au g/t Au
99,5
99
98
97
96
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
4
3
2
1
0,5
84
16
%
1,0 3,0 4,0 g/t Au
GRILLA LOG-PROBABILÍSTICA
g/t Au
LIMITE SUPERIOR DE CLASE DE “x”
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 11 
 
Nanisivik, Canadá Depósitos de Pb-Zn en carbonatos 0,3 – 0,7 
Australia occidental Vetas de cuarzo aurífero 0,8 – 1,6 
Cayelli, Turqía Depósitos vulcanogénicos Cu-Zn (Pb-Ag-Au) 0,35 
Greenbushes, Australia Pegmatitas con espodumeno 0,25 
Yeelirrie, Australia Depósitos de uranio tipo Calcrete 1,2 
Meggen, Alemania Depósitos estratiformes de Zn (Pb) barita en sedimentos 
lá i 
0,20 
 Varios depósitos de hierro Aprox. 0,25 
Hungría Varias morfologías de depósitos de bauxita 0,2 – 0,9 
 
Koch y Link (1970) propusieron un gráfico basado en las relaciones entre la ley media y el coeficiente 
de variación (Fig. 11) en el que se destaca que en los tipos de yacimientos de alta ley (p.ej. de hierro) la 
distribución puede ser normal, mientrasque en los de baja ley, es lognormal. 
 
 
Fig. 11. Tipos de depósitos (según su ley) en los que puede darse la distribución normal o la lognormal (Koch y 
Link, 1970) 
Como fue mencionado, la variabilidad de depósitos minerales tiene una gran componente en los 
aspectos genéticos o bien relacionada a la tipología de yacimientos. Dos yacimientos del mismo metal 
pero de distinto tipo (p.ej yacimientos de Cu tipo “porphyry copper” o tipo “Kupferschiefer”) tendrán 
variabilidades naturales muy distintas; y aún yacimientos del mismo metal y del mismo tipo pueden tener 
variabilidades naturales distintas, conforme a los procesos que han actuado en su formación. Por lo tanto 
la exploración, tratamiento de datos y evaluación de resultados debe ser muy cuidadosa y debe tener en 
cuenta tanto los aspectos genéticos de formación de yacimientos como los de generación de datos 
numéricos. 
 
LEY MEDIA PONDERADA (mp) Y VARIANZA PONDERADA (s2p) 
Como se ha mencionado, en la exploración minera las muestras no siempre son del mismo volumen (o 
masa). Por lo tanto la ley media y la varianza debe ser ponderada conforme a esas diferencias y las 
ecuaciones de los estadísticos presentadas en la Fig. 4 se modifican como sigue: 
∑
∑=
i
ii
p p
xp
m
.
 
[ ]
∑
∑ −=
i
pii
p p
mxp
s
2
2 ).( 
donde pi son los ponderadores. 
 
DE: Koch y Link (1970)
Valores “excepcionales”
(outliers) ejercen una
influencia significativa
Región en
la cual la nor-
malidad es impro-
bable o imposible
Región en la cual la
normalidad es posible
Límite inferior empírico
Límite superior empírico
0 10 15 25 30 35 40 (%)205
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Ley media del deposito
C
oe
fic
ie
nt
e 
de
 v
ar
ia
ci
ón
 C
v
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 12 
 
Como ejemplo esquemático, la ley media ponderada del tramo de testigo (6 m de longitud) de la figura 
12, se calcula tomando en cuenta la longitud y densidad de cada muestra; mp= 2,02 % Cu. 
 
 
Fig. 12. Ley media ponderada de muestras de testigo (3 muestras de distinta ley, longitud y densidad) 
 
 
TAMAÑO DE LAS MUESTRAS (SOPORTE) 
El tamaño y forma de las muestras recibe la denominación de soporte (término asiduamente utilizado 
en el tratamiento estadístico o geoestadístico). El soporte no produce cambios en la ley media, pero si 
cambia notablemente la varianza; cuanto mayor es el soporte menor será la varianza. Un ejemplo 
hipotético se muestra en la figura 13 
 
Fig. 13. Influencia del soporte en la varianza de un testigo muestreado cada metro y posteriormente compuesto 
cada 2 y 4 metros; estos se utilizarán para estimar la ley media de un bloque mayor (a la izquierda) que también 
será otro soporte. 
 
Ese cambio en la varianza se conoce como “efecto soporte” por 
el cual, cuanto más pequeñas son las muestras mayor será la 
dispersión de la variable. Estadísticamente este efecto producirá las 
curvas de frecuencia que se muestran en la figura 14; por lo que 
poblaciones estimadas a partir de muestras de distinto soporte no 
pueden compararse entre si. En la práctica, para el tratamiento 
estadístico o geoestadístico de datos de exploración, se prefiere 
utilizar muestras del mismo soporte y es común proceder a su 
“composición” (composite en inglés), es decir a promediar un 
conjunto de muestras para que todos los datos tengan el mismo 
soporte. 
 
Fig. 14. Ejemplo de curvas de frecuencia relativa que muestran menor 
dispersión cuanto mayor es el soporte. 
 
El tamaño de ese “composite” (p. ej. 2 m, 4 m, etc. de largo de testigo) tiene que ser cuidadosamente 
analizado, ya que también conduce a perder información sobre la variabilidad natural. Un caso diferente 
es el efecto soporte del bloque a estimar, que se verá más adelante. 
 
LIMITES DE CONFIANZA 
Como se ha mencionado, los minerales (de mena y de ganga) que constituyen un depósito se 
distribuyen conforme a los procesos de formación, y estos son los responsables de su variabilidad natural. 
La variabilidad de las leyes –en teoría- estaría comprendida en un rango que depende del o de los 
1 m 3 m2 m
p.e.: 2,9 p.e.: 4,2p.e.: 3,4
0,6 % Cu 2,7 % Cu1,9 % Cu
12
 m
1,225 1,225 1,6
1,2 1,25 1,0 1,45 2,2 1,0
1,0 1,4 0,8 1,7 1,1 0,9 1,6 1,3 2,4 2,0 0,7 1,3
Ley % Cu
1 m de largo: m= 1,35; s = 0,2572
2 m de largo: m= 1,35; s = 0,2022
4 m de largo: m= 1,35; s = 0,0472
m-s-2s 2ss
m-s-2s 2ss
Ley %
Fr
ec
ue
nc
ia
 %
Fr
ec
ue
nc
ia
 %
Soporte A
Soporte
B>A
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 13 
 
minerales de mena presentes. Por ejemplo, si en una mineralización de cobre el único mineral que lleva 
este metal es calcopirita, las leyes de las muestras estarán comprendidas entre 0 % Cu y 34,6 % Cu 
(contenido de Cu teórico de la calcopirita); en cambio si es calcocita, el máximo teórico podría alcanzar a 
~80 % Cu (contenido de Cu teórico de la calcocita). En la realidad será muy difícil que obtengamos esos 
resultados máximos (correspondientes a masas de mineral puro del tamaño de la muestra), pero 
igualmente los resultados están dentro un rango de valores más 
o menos dispersos. Esta dispersión puede establecerse por 
medio de la varianza (s2) y de allí estimar, por ejemplo, que 
proporción de los datos (Fig. 15) estará por debajo de un 
determinado límite (límite de confianza). 
 
 
Fig. 15. Proporción bajo la curva para intervalos de confianza del 68 
y 95% (± s y ± 2s) repartidos hacia ambos lados 
 
ERROR 
Conforme a los conceptos estadísticos, en una distribución normal la media de las muestras (m) puede 
desviarse de la media de la población (µ) de la cual provienen. Esto lleva a la pregunta de con que 
precisión el valor de la media de las muestras refleja el de la población, es decir cual es la incertidumbre 
del valor de la media o cual es la magnitud del error. 
El error de la media generalmente se determina a partir de la distribución de Student (tablas con el 
valor t de Student pueden encontrarse en la mayoría de los libros de estadística). Estos valores t deben 
utilizarse para muestras pequeñas (< 30) no obstante en la exploración minera, que normalmente supera 
ese número de muestras, puede reemplazarse el valor de t por 2 (para el 95% de confianza) o por 1,7 (para 
90% de confianza). 
 
Error promedio y error estándar 
Cuando se realizan mediciones con un alto grado de seguridad sobre una misma muestra (p.ej. 
determinaciones de densidad o análisis químicos) el error del promedio de esas mediciones respecto a la 
media de la población, se expresa simplemente como error promedio (e) que indica la precisión de 
numerosas mediciones. 
sme ±= 
El error de las leyes en un depósito mineral representa otro problema, ya que los datos analíticos se 
distribuyen en un rango amplio. Por esta razón debe aplicarse el error estándar de la media esm: 
ntsme ms /).(±= 
Donde m es la media, s el desvío estándar, t el valor de Student y n el número de muestras 
También, debido a que el valor del desvío estándar (s) de la muestra, es un estimador del desvío 
estándar de la población (σ) este valor oscilará dentro de ciertos límites de confianza, es decir tendrá un 
error. Una forma sencilla de calcular el error típico del desvío estándar es es mediante la fórmula: 
ntsses 2/).(±= 
Los valores de t (de Student) serán también asignados de acuerdo al intervalo de confianza elegido. 
 
Regiones de probabilidad 
Este término ha sido establecido por Hazen (1968) quien sobre la base de los errores estándar de la 
media y del desvío estándar, lo usó para señalar un espacio en el cual hay una determinada probabilidad 
de que se encuentre la verdadera media y desvío estándar de la población. El tamaño de las regiones de 
probabilidad se incrementa con el aumento del desvío estándar y disminuye con el incremento del número 
Ley % Zn
s s
9,5%Zn
m
8%Zn
-s
11%Zn
+s
-2s
6,5%Zn
+2s
14%Zn
valores
todos los
2,3% devalores
todos los
2,3% de
f
68%
94,8%
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 14 
 
de muestras. Ejemplos sencillos se muestran en la Fig. 16 (para el límite de confianza del 95 % para el 
cual, si n > 30, t= 2) 
 
Fig. 16: Regiones de probabilidad (en gris) basadas en los errores estándar de la media y del desvío estándar. 
 
VALORES EXCEPCIONALES Y DETERMINACIÓN DE ESTADÍSTICOS DE 
DISTRIBUCIONES ASIMÉTRICAS 
La gran mayoría de las distribuciones presentes en depósitos minerales no son simétricas, sino que son 
sesgadas a la derecha y muchas veces responden a una distribución lognormal. Ese sesgo positivo se debe 
a la presencia de muestras con valores elevados que sobresalen o son inconsistentes con el resto de los 
resultados del muestreo, valores que en este apunte, se denominan excepcionales (en inglés se utiliza el 
término “outliers”). 
En la exploración minera y particularmente en la etapa de estimación de recursos, se presta especial 
atención a los excepcionales debido a que: 
a) introducen una variabilidad sustancial en los parámetros estadísticos (media, varianza, etc.), 
b) tienen fuerte impacto en el tratamiento geoestadístico de los datos, 
c) provocan problemas de sobreestimación de leyes y tonelajes. 
La experiencia de minas en producción ha mostrado que, ante la presencia de excepcionales, del 
simple promedio se obtienen leyes muy altas en comparación con la ley que surge de la planta de 
procesamiento. Como manejar estos valores excepcionales en la estimación de recursos de modo de 
obtener leyes medias lo más cercanas posibles a la realidad es un problema extremadamente complejo y 
no tiene aún una solución única o aceptable; distintos procedimientos se han ensayado en depósitos 
particulares con resultados muy variables. Pero hay un acuerdo generalizado que el tratamiento de los 
excepcionales es de importancia decisiva durante la evaluación económica de un depósito. 
Ciertas consideraciones generales sobre los excepcionales deben tenerse en cuenta para desarrollar 
posteriormente su tratamiento. 
Pueden ser “errores”: p.ej. de muestreo, de tratamiento de la muestra, analíticos y/o, aún, de tipeo; o 
bien pueden ser reales y reflejar ciertas condiciones geológicas particulares dentro de un depósito mineral. 
Debe hacerse un esfuerzo por examinar estos valores inmediatamente que se detectan (p.ej. en una etapa 
temprana de exploración) de modo de distinguir si son “errores” o reales; especialmente si se trata de los 
primeros y no fueron debidamente controlados, pueden permanecer como datos fidedignos y utilizarse 
erróneamente en la estimación de recursos. 
Los problemas más serios se producirán si los excepcionales se tratan de la misma manera que el resto 
de los valores de ley notablemente más baja; por ejemplo si se les asigna el mismo ponderador generarán 
un tonelaje de mena de alta ley que no existe. Especialmente en los depósitos de metales preciosos, la 
experiencia ha demostrado que una proporción muy pequeña de excepcionales puede producir errores 
muy serios de sobreestimación de la ley media y el tonelaje por encima de una ley de corte. En muchas 
ocasiones las poblaciones excepcionales son distinguibles geológicamente y tienen una continuidad 
espacial limitada respecto al conjunto de valores de ley más baja, por lo tanto puede asumirse que no se 
0,88
0,88
0,92
0,92
0,96
0,96
1,00
1,00
1,04
1,04
1,08
1,08
1,12
1,12
1,264
0,632
0,660
0,604
1,320
1,208
-0,08
-0,04
+0,028
-0,028+0,08
+0,056
-0,056
media: m
media: m
N= 1000; m= 1,00; s= 1,264; t= 2
N= 1000; m= 1,00; s= 0,632; t= 2
de
sv
ío
 s
ta
nd
ar
d:
 s
de
sv
ío
 s
ta
nd
ar
d:
 s
0,70
0,40
0,80
0,60
0,90
0,80
1,00
1,00
1,10
1,20
1,20
1,40
1,30
1,60
1,264
1,264
1,344
1,184
1,514
1,014
-0,36
-0,11
+0,08
-0,08+0,36
+0,25
-0,25
media: m
media: m
N= 50; m= 1,00; s= 1,264; t= 2
N= 500; m= 1,00; s= 1,264; t= 2
de
sv
ío
 s
ta
nd
ar
d:
 s
de
sv
ío
 s
ta
nd
ar
d:
 s
a
b
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 15 
 
extenderán a la misma distancia. En la figura 17 puede verse 
que se ha dado una menor área de influencia a una muestra que 
puede ser un valor excepcional: 68 g/t Au (Fig. 17b); el 
promedio ponderado de estas muestras otorgará un valor de la 
media, más cercano a la realidad. 
 
 
 
Fig. 17. Veta vertical de cuarzo aurífero (gris claro) y área de 
influencia que se le otorga a la muestra de valor excepcional (gris 
oscuro) 
 
 
TRATAMIENTO DE EXCEPCIONALES 
El primer paso es controlar si los excepcionales son reales o corresponden a errores. Si son reales 
pueden seguirse los siguientes criterios: 
- Investigación: un avance muy importante es reconocer si la distribución de los valores se debe a una 
mezcla de distintas poblaciones; si este es el caso, pueden tratarse de forma independiente. La 
información geológica que acompañe a las muestras (ver Fig. 3) será imprescindible para este fin. 
- Eliminación: no es la decisión adecuada ya que tal vez estos valores excepcionales suelen conducir a 
que un depósito mineral pueda ser económico; 
- Reducción: Una forma de reducción es asignarle un ponderador de modo que tenga menos influencia 
en la estimación, como se ha visto en el ejemplo más arriba. Otras metodologías, que se desarrollan 
más adelante, proponen reducir directamente el excepcional a un valor determinado. 
- Omisión: en algunos procedimientos geoestadísticos (p. ej. en la construcción del variograma) se 
omiten los excepcionales para evitar distorsiones en la correlación espacial, aunque posteriormente se 
utilicen en la estimación. 
 
Reducción y transformación de los excepcionales 
Como se ha señalado, los excepcionales producen una sobreestimación de la ley media, por lo cual se 
han implementado metodologías que darán una ley media más baja, aplicables de acuerdo a la cantidad de 
excepcionales presentes: 
1) Cuando hay un escaso número de excepcionales, se examinan uno por uno, con el fin de 
establecer si verdaderamente tienen esa cualidad respecto al resto de los valores (más bajos) y si lo son, 
como puede reducirse su valor. Una vez reducidos la ley media se calculará como un promedio aritmético 
normal. 
2) Cuando hay un gran número de excepcionales, el conjunto se ajusta bastante a una distribución 
lognormal. En estos casos la media geométrica que puede estimarse con bastante precisión por la 
mediana (M) es siempre menor que la media aritmética y más estable, es decir menos afectada por los 
valores elevados. 
 
Evaluación de pocos excepcionales 
Es una práctica bastante común, establecer un límite para los excepcionales, algunos son empíricos y 
otros basados en conceptos estadísticos, por ejemplo los valores mayores a: (m + 2s), o al decil 90 % (en 
el histograma) se reducen a ese umbral. También se han utilizado otros procedimientos como los 
expuestos por Wellmer (1998) que parcialmente se desarrollan a continuación. 
 
Correcciones gráficas 
6,2
4,5
3,7
3,8
68
5,3
4,1
g/t Au
68 g/t Au
10
 m
4,5 m
1 m
10
 m
4,5 m
1 m
3 
m
a b
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 16 
 
Cuando se vuelcan los valores de frecuencia relativa acumulada en una grilla aritmético-probabilística, 
si la distribución es asimétrica, puede observarse que los 5-10% finales se desvían significativamente de 
la recta a la que se ajusta el resto de los datos; 
estos valores podrían ser considerados 
excepcionales y por lo tanto deben ser corregidos. 
Un método práctico (Fig. 18) es llevar “hacia 
atrás” dichos valores, en forma paralela al eje x, 
hasta cortar la recta y asignarle ese nuevo valor. 
La ley media se calcula con estos valores 
corregidos. 
 
Fig. 18. Frecuencia relativa acumulada de leyes de 
Au, en grilla aritmético-probabilística. Los valoresque se apartan de la recta de Henry pueden corregirse 
de llevándolos a dicha recta 
 
 
Correcciones numéricas 
Pueden corregirse los valores altos, llevándolos al valor inmediato inferior. Sin embargo debe 
definirse previamente cuales son los valores excepcionales que deben ser reducidos. Para ello Wellmer 
(1998) propuso el ábaco (de Doerffel) que se ilustra en la Fig. 19 con el cual se establece el límite entre 
excepcionales y el resto de los valores. 
 
Fig. 19: Ábaco de Doerffel 
Se debe calcular la media y la desviación estándar sin el valor alto. Un valor xE se considerará 
excepcional si cae fuera del rango definido por el ábaco, conforme a la siguiente ecuación: 
gsmxE .+≥ 
donde g, es el umbral que surge del ábaco mencionado. El procedimiento se desarrollará en clase, con un 
ejercicio. 
 
Series con numerosos excepcionales: distribución lognormal 
Como fue señalado precedentemente en esta distribución los logaritmos de los valores reales se ajustan 
a la distribución normal; comúnmente se usan los logaritmos naturales (base e). Esta transformación se 
ilustra en la figura 20. Este modelo de distribución es el más común en depósitos minerales. 
 
 
60
40
20
10
5,0
2,0 5,0 7,0 10 20 30 50 70 100 200 300 500 700
Si= 5%
Si= 1%
Número de muestras
U
m
br
al
99,5
99
98
97
96
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
4
3
2
84
16
FR
E
C
U
E
N
C
IA
 A
C
U
M
U
LA
D
A 
%
 D
E
 “x
”
GRILLA ARITMÉTICO--PROBABILÍSTICA 
2 10 20 30 g/t Au
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Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 17 
 
 
 
Fig. 20. Transformación de una 
curva asimétrica a una normal, 
aplicando los logaritmos de los 
valores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al trabajar con logaritmos debe tenerse en cuenta que el promedio de los 
valores sin transformar (reales) no es igual al antilogaritmo del promedio de 
los valores logarítmicos (cuadro a la derecha). El promedio de los valores 
reales es la media aritmética, mientras que del promedio de los logaritmos (α) 
se deriva la media geométrica: mg (mg= antilogaritmo α). 
 
La media geométrica (mg) tiene algunas ventajas, por un lado es siempre menor a la media aritmética 
(en distribuciones con asimetría positiva) y por lo tanto tiende a disminuir la sobrevaluación que, como se 
señaló, produce la media aritmética (o promedio) cuando hay excepcionales; pero además es mucho 
menos sensible a los valores extremos respecto a la media aritmética, por lo cual si la ley media se 
obtiene a partir de ella puede asumirse que el resultado está menos afectado por los excepcionales. Esto se 
debe a la propia composición de la media geométrica, ya que en realidad deriva del producto de los 
valores que toma la variable, como puede verse a continuación: 
El promedio de los logartimos (α) es: ∑
=
=
n
i
ixn
1
ln/1α y n
n
i
ig xem ∏
=
==
1
α 
Por ejemplo para n=3: α= (ln x1 + ln x2 + ln x3)/3 y la media geométrica es: αemg = (antilogaritmo de α) 
o mg= (3√x1.x2.x3). La influencia de valores excepcionales sobre la media aritmética se demuestra con el 
siguiente ejemplo: 
 
Supongamos que los resultados de 6 muestras de una mineralización de Au son: 
 
La media aritmética ∑= ixnm /1 , es: m= 7 g/t Au 
La media geométrica es: mg= 5,3 g/t Au 
Sólo a los efectos de demostrar la influencia de los valores extremos, se modifican los resultados 
anteriores, como sigue: 
 
La media aritmética es: m= 27,9 g/t Au, pero la media geométrica se mantiene igual: mg= 5,3 g/t Au 
 
No obstante, debe remarcarse que la ley media de un depósito está constituida por el promedio de las 
leyes individuales. Por esta razón, si la distribución es lognormal, se trabaja con la media geométrica para 
luego estimar la media aritmética (promedio) mediante algunos procedimientos de corrección. 
1 4 5 8 10 14 g/t Au
0,1 4 5 8 10 140 g/t Au
frecuencia
frecuencia
h=
h
moda
Moda
M=
M=
mediana
= media
aritmética
valores normales, 
no logarítmicos
x
x
y
y
ln (logaritmo de la media geométrica)
valores logarítmicos
Transformación a una distribución
normal por los logaritmos naturales 
de los valores
Valor
logaritmo 
natural
3 1,099
6 1,792
12 2,485
promedio 7 1,792
6antilogaritmo
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Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 18 
 
 
Correcciones gráficas 
Como cuando hay sólo unos pocos excepcionales, también se utilizan las frecuencias relativas 
acumuladas. Se ha visto (Fig. 7) que, si la distribución es lognormal estas frecuencias se ajustan a una 
recta cuando son volcadas en una grilla log-probabilística. 
Krige (1978) propuso sobre la grilla log-probabilística, una curva (centrada en la mediana: M= 50 % 
de los valores acumulados) a partir de la cual puede derivarse el valor de la media (también incluye la 
moda, aunque este estadístico no es utilizado normalmente en la exploración minera). Si bien el 
procedimiento no puede ser generalizado a todos los depósitos minerales, es sencillo y brinda una primera 
aproximación de la reducción de la ley promedio para acercarla a la real. Este método se ejemplifica a 
continuación: la ley media estimada para el depósito de Au de la Fig. 5 es: m= 11,4 g/t Au. Los datos de 
la frecuencia relativa acumulada se volcaron en la grilla log-probabilística (círculos llenos de la Fig. 21) y 
se ajustaron manualmente a una recta (línea llena en la figura mencionada). Esta recta se traslada 
paralelamente al eje x haciendo coincidir la mediana (M= 50 %= mg) y resulta la línea de trazos; esta 
recta trasladada corta la porción de la curva de Krige (línea gruesa continua) que representa a la media en 
el punto A. Este valor se traslada “hacia atrás” hasta cortar la recta original (punto B) y de allí puede 
leerse leer el valor de la media: m= 9,6 g/t Au. 
 
Fig. 21: Corrección de la media en un grilla log-probabilística a partir de la curva de Krige. En esa grilla también 
puede leerse el valor de la varianza de los logaritmos (β2) en la parte superior derecha (prolongando la recta 
trasladada). La grilla se adjunta en el Anexo 1. 
 
Factor de Corrección 
Si bien las frecuencias relativas acumuladas de los datos volcadas en la grilla log-probabilística se 
ajustan a una recta, en ocasiones esto no sucede. Krige demostró que este desvío puede corregirse con la 
suma de una constante θ (factor de corrección). Este factor de corrección puede establecerse como se 
99,5 
99 
98 
97 
96 
95 
90 
80 
70 
60 
40 
30 
20 
10 
5 
4 
3 
2 
1 
0,5 2 3 4 5 6 8 1 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 
0 
2 0 
0 
3 0 
0 
4 0 
0 
5 0 
0 
6 0 
0 
8 0 
0 
1 0 
0 0 
2 0 
0 0 
4 0 
0 0 
6 0 
0 0 
límite superior de clase de “x” 
GRILLA LOG-PROBABILÍSTICA 
1 
% 
84 
50 
16 
0 , 
0 5 
0 , 
1 0 
0 , 
1 5 
0 , 
2 0 
0 , 
3 0 
0 , 
4 0 
0 , 
5 0 
0 , 
6 0 
0 , 
7 0 
0 , 
8 0 
0 , 
9 0 
1 , 
0 0 
1 , 
2 5 
1 , 
5 0 
1 , 
7 5 
2 , 
0 0 
2 , 
2 5 
2 , 
5 0 
mediana 
m o 
d a 
m e d 
i a 
A B 
Curva de Krige (1978) 
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 19 
 
muestra en la Fig. 22: la frecuencia relativa acumulada está representada por los círculos llenos; se traza 
una recta de ajuste sobre las clases de mayor valor y puede verse que las clases de valores menores se 
desvían de esa recta; el promedio de las diferencias (tramos A-B, C-D, E-F y G-H) será el factor de 
corrección que se sumará a todos los datos (obviamente tendrá mayor influencia en los valores más 
bajos). La recta quedará ajustada con este factor de 
corrección (θ) y luego para estimar la media se procede 
como en el ejemplo visto anteriormente. Al valor que se 
obtenga debe finalmente restarse el factor de corrección. 
 
 
 
Fig. 22. Ejemplo para definir gráficamente el factor de 
corrección (θ) y estimar la ley media. Se mantienen los datos 
originales del ejemplo donde la ley está en 
pennyweights/pulgada (dwt/inch) utilizadaen la minería 
sudafricana. 
 
 
Correcciones numéricas 
A los efectos de una mayor claridad en el uso de la nomenclatura, para la distribución lognormal la 
media de los logarítmos es α y a la varianza de los logarítmos es β2. En la Fig. 20, se mostraron los 
cambios que se producen al transformar una distribución lognormal (asimétrica) a una normal utilizando 
el logaritmo de los valores: los valores de la moda, mediana y media de la distribución sufren una 
traslación debido al cambio de escala en el eje x. La diferencia entre la media aritmética y la media 
geométrica es: 2/
2βe o 2/2β , para la curva sin transformar y transformada, respectivamente; es decir 
dependerá de la varianza. En la distribución lognormal la mediana (M= 50 % de los valores acumulados) 
coincidirá con la media geométrica (mg) 
Los parámetros de la población son: 
∑
=
=
n
i
ixn
1
ln/1α → gmln=α → 
αα eMemg == ~ 
La varianza logarítmica β2 puede calcularse con la fórmula clásica (Fig. 4) pero con ln xi y α, o bien 
obtenerse gráficamente en la grilla de la figura 21 (se han propuesto otras aproximaciones que se omiten 
aquí). 
Como se ha señalado, la ley promedio “verdadera” de un depósito mineral está representada por la 
media aritmética; sin embargo cuando se trata de distribuciones lognormales o con influencia de valores 
excepcionales, se han demostrado las ventajas de emplear la media geométrica (da valores menores y no 
es afectada por los valores extremos). Por lo tanto, a partir de la media geométrica (mg) es necesario 
derivar la media aritmética (m) ya que esta será la ley media real del depósito. 
Si la distribución lognormal es una aproximación a la verdadera distribución de las muestras, la media 
aritmética de dicha distribución satisface las siguientes relaciones: 
)2/( 2. βemm g= y 
αemg = , por lo tanto: 
)2/()2/( 22. βαβα +== eeem 
Cuando se utiliza el factor de corrección (θ) se denominan distribución lognormal de tres parámetros 
(α, β y θ), la ecuación anterior es: 
θβα −= + )2/(
2
em 
0 ,
05
0 ,
10
0 ,
1 5
0 ,
2 0
0 ,
30
0 ,
40
0 ,
50
0 ,
6 0
0,
7 0
0,
80
0,
90
1,
0 0
1,
25
1,
50
1,
7 5
2,
00
2,
25
99,5
99
98
97
96
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
4
3
2
1
0,5 2 3 4 5 6 8 10 20 40 60 80 10
0
20
0
30
0
40
0
50
0
60
0
80
0
10
00
20
00
40
00
60
00
84
16
LIMITE SUPERIOR DE CLASE DE “x”
me
dia
mo
da
mediana
Factor de
Corrección
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 20 
 
Para resolver estas ecuaciones es necesario conocer los valores de α y β2 (y θ en la de tres 
parámetros). Estos valores, dado que se trata de distribuciones que se aproximan en mayor o menor 
medida a la distribución lognormal serán estimadores más o menos precisos del valor real. 
Otra forma de corregir la media aritmética a partir de la media geométrica, es con el “estimador t de 
Sichel”. Sichel (1966) calculó un factor que contribuye a solucionar el problema de la estimación de la 
media aritmética en distribuciones lognormales (aunque no es aceptado por todos). Ese estimador debe 
ser multiplicado por la media geométrica para obtener la media aritmética y ha sido tabulado por este 
autor (ver Anexo 2). Por ejemplo, con los datos de la figura 21, la media geométrica (mg) es derivada de 
la mediana (M): mg= 7,8 g/t Au; la varianza logarítmica obtenida prolongando la recta de Henry 
trasladada es: β2= 0,54 y para 12 muestras (n=12) se entra a la tabla del Anexo 2; interpolando entre β2= 
0,5 y 0,6, el valor tSichel es: 1,3032. Con estos datos la media aritmética estimada será: m= mg . tSichel= 7,8 x 
1,3032= 10,16 
La media aritmética obtenida por el simple promedio de los valores (aquellos utilizados para construir el 
histograma de oro de la Fig. 5) fue de 11,44 g/t Au. Podemos compararla con las obtenidas en dos de los 
métodos arriba mencionados: 
- media aritmética estimada gráficamente mediante la grilla log-probabilística y curva de Krige (en el 
ejemplo que acompaña a la Fig. 21): 9,6 g/t Au 
- media aritmética estimada por la media geométrica multiplicada por el factor de Sichel: 10,16 g/t Au. 
Tanto la media aritmética obtenida por el método gráfico como por el estimador de Sichel, son 
menores (entre 1,8 y 1,3 g/t Au, respectivamente) a la resultante del promedio y, aunque no hay un 
consenso total, los métodos señalados parecen apropiados para eliminar (o disminuir) el efecto de los 
valores elevados sobre la ley media que hacen que sea más alta que la ley “verdadera” 
 
POBLACIONES MÚLTIPLES 
Las distribuciones asimétricas también pueden deberse a que están integradas por dos (o más) 
poblaciones que no han sido percibidas en el tratamiento de los datos. En la figura 24 se muestran 
ejemplos (con curvas de frecuencia relativa) de 2 poblaciones distintas; si estas se tratan como un solo 
conjunto la distribución tendrá una asimetría positiva y asemejarse a una distribución lognormal, cuando 
en realidad son dos distribuciones normales (o bien dos poblaciones lognormales) parcialmente 
superpuestas. 
 
Fig. 24. Ejemplos de curvas de frecuencia relativa de múltiples (dos) poblaciones, la de baja ley (a la izquierda) es 
la más frecuente. (a) Las poblaciones no están superpuestas. (b y c) las poblaciones están parcialmente solapadas 
(mayor en b que en c). En (b) la población de alta ley tiene una dispersión (varianza) mayor que en (c). 
 
La información geológica resultará de suma utilidad para reconocer la presencia de distintas 
poblaciones, de modo de no proceder a una separación arbitraria de ellas. Una vez reconocidas se 
procederá a tratarlas independientemente tanto por métodos estadísticos como geoestadísticos. Una 
mezcla de dos poblaciones se muestra la curva de frecuencias relativas acumuladas volcada en una grilla 
log-probabilística (Fig. 25). Sinclair y Blackwell (2010) proponen algunas metodologías de tratamiento 
aplicables a estos casos (no desarrolladas en este apunte). 
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 25. Distribución de frecuencias relativas acumuladas de un 
yacimiento de Au en grilla log-probabilística (escalas según uso 
en Norteamérica). Los círculos negros son los valores de clase 
(en g/t) sobre los que se ajustó manualmente una curva (línea 
llena). El cambio de pendiente de dicha curva puede indicar la 
presencia de dos poblaciones (líneas cortadas), una de baja ley 
(A) y otra de alta ley (B) que se restringe a pequeños “clavos” 
 
 
 
ANALISIS BIVARIABLE 
Muchas veces resulta útil comparar dos distribuciones o dos variables entre sí de modo de obtener de 
resultados adicionales para el conjunto de la investigación. El primer paso para efectuar las 
comparaciones mencionadas, es asegurarse que cada una de las poblaciones a comparar tengan el mismo 
tipo de distribución (normal o lognormal) y obtener los estadísticos básicos de cada una de ellas. 
Posteriormente, al igual que en la estadística univarible, es conveniente representar gráficamente la 
información mediante el “diagrama de dispersión” (scatterplot), una herramienta que permite visualizar 
rápidamente el comportamiento conjunto de las dos variables. En estos diagramas los datos formarán una 
“nube de puntos” más o menos dispersa; cuanto más dispersa, menor será la interdependencia 
(correlación); además su pendiente respecto las coordenadas dará una idea del signo (+ ó -) de la 
correlación (Fig.26) 
 
Fig. 26: Esquema de diagramas de dispersión (scatterplots). Puede apreciarse visualmente el distinto grado de 
correlación y signo. 
 
El grado de relación entre dos variables, además, se determina numéricamente por la covarianza (Cx,y) 
y por el coeficiente de correlación (r), que tienen las siguientes ecuaciones: 
Covarianza: ∑
=
−−=
n
i
yixiyx mymxnC
1
, )).((/1 
Coeficiente de correlación (de Pearson): 
yx
n
i
yixi
ss
mymxn
r
.
)).((/1
1
∑=
−−
= 
Donde: xi e yi son los valores de las variables; mx y my son las medias de las variables x e y; sx y sy son los 
desvíos estándar de esas variables. 
Puede verse que el coeficiente de correlación es la covarianza dividida por el producto de los desvíos 
estándar; este cociente tiene el efecto de hacer que el coeficiente de correlación varíe entre +1 y –1 e 
indica el grado de correlación lineal entre las variables. 
y
x x
y y
x
r ~ 1 r ~ -1 r ~ 0
0,
02
0,
05
0,
10
0,
20
0,
50
1,
00
2,
00
3,
00
5,
00
10
,0
0
20
,0
0
30
,0
0
40
,0
0
50
,0
0
60
,0
0
70
,0
0
80
,0
0
90
,0
0
95
,0
0
97
,0
0
98
,0
0
99
,0
0
99
,5
0
99
,8
0
99
,9
0
99
,9
5
99
,9
8
0,3
0,2
0,4
0,5
0,6
0,8
1,0
3,0
2,0
4,0
5,0
6,0
8,0
10
20
40
50
60
80
100
%
s
3s
s
2s 2s
3s
A
B
g/
t
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 22 
 
El valor del coeficiente de correlación tendrá un nivel de significación (para distintos límites de 
confianza) que dependerá del número de pares de datos considerados. Estos valores se han tabulado y 
publicado en varios textos de estadística. Por debajo del nivel las variables son independientes entre sí. 
El mejor ajuste de la “nube de puntos” a una recta se establece con la recta de regresión que permite 
predecir los valores de una variable respecto a otra (análisis de regresión). La recta de regresión (lineal) 
es: 
Ecuación de la recta: bxay += . ; donde 
x
y
s
s
ra = y xy mamb .−= 
 
APLICACIONES DEL ANÁLISIS BIVARIABLE EN LA EXPLORACIÓN MINERA 
El análisis de la interrelación entre 2 variables suele ser de gran utilidad en la exploración minera. Se lo 
ha empleado en: 
- Detección de errores de “tipeo” de los datos y de valores excepcionales 
- Control de resultados analíticos de distintos laboratorios y de muestras duplicadas 
- Para establecer modelos de una variable en función de otra (p.ej. de uranio determinado por 
gammametría y de uranio determinado por análisis químicos; de leyes de plata a partir de leyes de 
plomo, etc.) 
- Para examinar interrelaciones entre muchas variables, incluyendo interpretaciones zoneográficas. 
- Para comparar resultados de muestras de distinta calidad o de distinto soporte 
- Para estimar la autocorrelación (esto se verá en un apunte específico de geoestadística) 
Algunas de estas aplicaciones se desarrollan sintéticamente a continuación. 
Los diagramas de dispersión permiten visualizar 
rápidamente muestras cuyos datos se cargaron 
erróneamente o si se trata de un excepcional (Fig. 27). 
 
 
Fig. 27. Gráficos de dispersión. En el de la derecha debe 
revisarse si se trata de un error 
 
Con el objeto de asegurar la calidad del muestreo es necesario tomar muestras duplicadas en forma 
sistemática (ver Procedimientos de Aseguramiento y Control de Calidad en apunte: Actividades en la 
Exploración minera). Es de esperar que la muestra duplicada tenga el mismo valor que la original; sin 
embargo a causa de la variabilidad natural o técnica suele haber discrepancias. La figura 28 ilustra los 
resultados de análisis químicos (Au y Ag) de muestras originales y duplicadas de testigos de perforación. 
Los resultados son comparados en gráficos de dispersión (también se muestra la recta de regresión y el 
coeficiente de determinación R2). 
 
Fig. 28. Gráficos de dispersión de resultados de muestras originales y duplicadas, recta de regresión (línea 
continua) y ecuación de regresión. Los resultados no se ajustan exactamente a la recta que indica concentraciones 
Au g/t
y = 0,9738x - 0,0005
R2 = 0,9905
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 1 2 3 4 5
original
du
pl
ic
ad
o
Ag g/t
y = 0,8763x + 0,2643
R2 = 0,8927
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
original
du
pl
ic
ad
o
150
100
50
50
0
10
00
15
00
x
y
150
100
50
50
0
10
00
15
00
x
y
Error?
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 23 
 
idénticas (línea punteada con origen en 0,0 y pendiente igual a 1= 45º), pero poseen altos coeficientes de 
correlación: rAu= 0,995; rAg= 0,945 (raíz cuadrada de R2). En principio estos resultados parecen aceptables; los de 
Au están más cerca de la línea de 45º (x=y) que los de Ag y esto puede deberse a que se analizó mediante el método 
“Au a fuego” (“fire-assay”) que es más preciso que el utilizado para Ag. 
 
Si bien hay diversas estrategias estadísticas para el tratamiento de muestras duplicadas (por ejemplo 
análisis de la varianza: ANOVA) Thompson y Howarth (1978) propusieron un método para estimar la 
precisión analítica, en el que utilizan promedios de las 
diferencias entre pares de muestras (original y duplicado) como 
aproximación al desvío estándar y el promedio de esos pares 
como aproximación de la concentración y con ellos se obtiene 
la recta regresión (Fig. 29). 
 
 
Fig. 29. Recta de regresión 
 
 
Esta recta de regresión es la base para calcular la precisión como: Precisión %= 200 
[(Ds/concentración) + K]. Un ejemplo de los resultados para duplicados de distintos tipos de perforación, 
se muestra en la figura 30 (en este caso, la precisión disminuye de 0 a 100%) 
 
 
Fig. 30. Plot de análisis de la precisión analítica de 
muestras duplicadas de testigos HQ y de cutting (en 
realidad mide la imprecisión, cuanto mayor es el 
número, menos preciso). Para bajas concentra-
ciones (~<0,3 g/t de Au) la imprecisión aumenta 
notablemente. En este caso las muestras duplicadas 
de circulación reversa (RC) fueron más precisas 
(precisión del orden de 20 %) que las de testigo (~ 
60 %) 
 
 
Los controles de calidad de los análisis químicos deben realizarse con frecuencia y sistemáticamente. 
El procedimiento normal es, a partir de muestras debidamente homogeneizadas, tomar submuestras que 
serán analizadas en el laboratorio de la mina (o al que rutinariamente envía las muestras) y en otro u otros 
laboratorios calificados. Si el laboratorio de la mina funciona bien, en un gráfico de dispersión los 
resultados se ajustarán a la línea de 45º (x=y) con una cierta dispersión debido a la variabilidad natural y 
técnica (Fig. 31, caso A), y tendrán un alto coeficiente de correlación. Con los gráficos de dispersión 
también puede detectarse algún error (Fig. 31, caso B): aunque el coeficiente de correlación también es 
alto, la recta de regresión está por encima de la línea de 45º y se aparta más en los valores altos; esto 
significa que el laboratorio de la mina registra valores más elevados que el de control; esto tendrá gran 
influencia en las leyes de producción (la estimación dará leyes más altas que las reales). A diferencia del 
caso anterior donde el error es aleatorio, este es un error sistemático y deberá calibrarse el instrumental 
y/o comprobarse los patrones de referencia. 
 
100
80
60
40
20
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
P
re
ci
si
ón
 %
(im
pr
ec
is
ió
n)
Concentración (ley g/t Au)
Muestras de testigo HQ (diám. 63,5 mm)
Muestras de RC (diám. 120 mm)
Plot Thompson-Howarth
Límite de detección
práctico
0,1
0 0,5 1 1,5 2
0,2
media de duplicados
m
ed
ia
 d
e 
di
fe
re
nc
ia
 a
bs
ol
ut
a
y= 0,0923x + 0,0129
Ds= 0,0129
K= 0,0923
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 24 
 
 
Fig. 31. Gráficos de dispersión de muestras de distintos laboratorios. Línea de 45º (x=y) cortada y recta de 
regresión continua. El caso (B) registra un error sistemático. 
 
Wellmer (1998) empleó un gráfico (Fig. 32) para evaluar las diferencias entre los resultados de 
distintos laboratorios. Se basa en el factor “t de Student” 
y el número de pares de muestras. Si dicho factor cae 
debajo del nivel de significación, las diferencias entre 
laboratorios no será significativa. 
 
 
 
Fig. 32. Factor “t de Student” para 3 niveles de significación 
 
 
 
 
También puede emplearse el análisis bivariable para predecir el valor de unavariable a partir de otra 
que tal vez es más fácil de obtener (o menos costosa). La figura 33 ilustra un gráfico de dispersión de 
mediciones instrumentales de radioactividad (ra) contra los resultados químicos de las mismas muestras 
(n= 37). Las mediciones de radioactividad son de menor costo, más fáciles y rápidas de obtener que los 
resultados de laboratorio. La recta de regresión obtenida es: y= 1,178.ra + 0,177. Suponiendo que esta 
recta está adecuadamente calibrada y probada, es decir es 
suficientemente confiable, puede obtenerse la ley de U3O8 a 
partir de los valores de radioactividad empleando esa 
ecuación de la recta. Por ejemplo: 
ra= 2: 1,178 x 2 + 0,177= 2,53 % U3O8 
ra= 3: 1,178 x 3 + 0,177= 3,71 % U3O8 
 
 
 
Fig. 33. Gráfico de dispersión radioactividad/tenor 
 
Muestras de distinto soporte 
En la exploración minera es muy común que deba analizarse información proveniente de muestras de 
distinto soporte y como se ha visto previamente, el soporte tiene una gran influencia sobre la varianza. 
Si bien durante todas las etapas de exploración deben tomarse todas las precauciones al comparar los 
datos de distinto soporte (y también de distinta calidad de muestras), el efecto soporte es particularmente 
importante en la etapa de estimación de recursos y en la producción. La experiencia ha corroborado que 
% Zn (A)
y = 0,9984x + 0,0972
R2 = 0,9624
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4 6 8 10 12 14
LabControl
La
bM
in
a
% Zn (B)
y = 1,1102x - 0,4206
R2 = 0,9694
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4 6 8 10 12 14
LabControl
La
bM
in
a
1
1
2
2
4
4
6
6
10
10
20 40 60 100
Si= 0,1= altamente
Si= 1%= significativo
Si= 5%= probablemente
significativo
significativo
Número de pares (n)
Va
lo
re
s 
de
 t
Factores t de Student para diferentes niveles de significación
radioactividad/ley
y = 1,178x + 0,1769
R2 = 0,9497
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
ra
%
 U
3O
8
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 25 
 
las leyes predichas por las muestras para los bloques de explotación (aún corrigiendo valores 
excepcionales y aplicando la dilución) no son iguales a las que resultan de la planta de tratamiento 
(corregidas por pérdidas). Por ejemplo: si a la planta de tratamiento entra un bloque de 3000 t con ley 
media (definida por perforaciones) de 1% Cu y la planta tiene una recuperación del 90%, deberían 
obtenerse 27 t de Cu metal (en el concentrado). Sin embargo se registran notables diferencias (positivas y 
negativas) entre lo que realmente se obtiene respecto a lo que debería obtenerse de acuerdo a la ley 
definida por perforaciones. 
El análisis pionero realizado por Daniel Krige a principios de los ’60 en minas de oro de Sudáfrica 
(Witwatersrand) demostró estas diferencias (Fig. 34). Allí se comparan las leyes determinadas por las 
muestras incluidas en cada bloque con las que resultaron del tratamiento de cada bloque. El ajuste de 
estos datos comparativos se logra con la “línea de comparación volumen-varianza” que tiene una 
pendiente menor a la línea de 45º, que resultaría si las leyes de muestras son exactamente iguales a las de 
bloques. 
 
Fig. 34. Gráfico histórico de Krige. Línea de Comparación Volumen-Varianza (KL) de las leyes obtenidas por el 
muestreo y las leyes “verdaderas” de los bloques. La línea punteada es de la de 45°. 
 
A partir de la menor pendiente de la “línea volumen-varianza” con respecto a la línea de 45º y 
tomando como centro la ley media estimada por las perforaciones, surgen las siguientes observaciones: 
a- Las muestras cuya ley es menor que la media, representan bloques con una ley promedio más alta 
que la de las muestras 
b- Las muestras cuya ley es mayor que la media, representan bloques con una ley promedio más baja 
que la de las muestras 
Un ejemplo que apoya estas observaciones puede verse en 
la figura 35. 
 
 
 
 
Fig. 35. Gráfico de dispersión de valores de leyes de 
perforaciones contra las leyes de los bloques estimadas por 
esas perforaciones 
 
 
1 1
1
1 1 1 1
1
1
1
1
1111
1
2
1
333
3 3 3
2
4
4 4
46
6
7 7
77
4
9
15
20 20
15
9
4
4
13
29
31
14
4
1
4
6
7 7
4
1
1
4
1
1
4
6
3
1
Ley de Muestras
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Le
y 
de
 b
lo
qu
es
 m
in
er
os
KL es la línea
Comparación
varianza-volumen
(Línea V V C)
V
V’
Distribución
total
D
is
tri
bu
ci
ón
to
ta
l
Fila 5
C
ol
um
na
 8
C
ol
um
na
 4
De: Krige (1962)
2
2
4
6
8
10
12
14
16
4 6 8 10 12 14 16 18
% Pb+Zn de
bloques en planta
% Pb+Zn estimado
por perforaciones
mb.ley alta
mb.ley baja
mp.ley baja mp.ley alta
mb
mp
línea de 45º
línea CVV
Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP 
Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 26 
 
El “efecto soporte” tiene esas consecuencias. Las muestras de pequeño volumen (muestras) con 
respecto al que se estima (bloque) producen: a) para las leyes bajas –en promedio- una sub-valoración de 
las leyes “verdaderas” y, b) para las leyes altas –en promedio- una sobre-valoración. 
Esto no es un problema de muestreo (se asume que el procedimiento fue el adecuado, así como los 
controles de pérdidas de la planta de tratamiento) sino que se debe a la variabilidad natural de la 
mineralización y al efecto soporte. Como se ha desarrollado 
previamente (ver Fig. 13) cuanto mayor es el soporte de la muestra 
menor será la varianza, por lo tanto la curva de distribución de 
frecuencias para muestras pequeñas (como testigos de perforación) 
será más amplia que la de los bloques aunque la ley media será la 
misma, como se ilustra en la figura 36. 
 
 
Fig. 36. Ley media total estimada por muestras de perforaciones (mp) y 
por bloques (mb). Leyes medias de las subpoblaciones de ley inferior 
(mimp) y superior (msmp) a la ley media de perforaciones y de la 
subpoblaciones de ley inferior (mimb) y superior (msmb) a la ley media de 
bloques. 
 
Por este motivo si en cada distribución se calcula separadamente el promedio del conjunto de valores 
menores y mayores a la media total, puede verse en la Fig. 35 que en las muestras de mayor soporte 
(bloques) esas leyes medias tienden a acercarse a la media total, entonces los bloques de ley inferior a la 
media total (<mb) tendrán en promedio una la ley (mimb) mayor que las estimadas a partir de perforaciones 
(mimp); en tanto que los bloques de ley superior a la media total (>mb) tendrán una ley (msmb) menor a las 
estimadas por perforaciones (msmp). 
Uno de los principales problemas del efecto 
soporte se verifica en la estimación local de 
bloques de estéril y de mena a partir de una 
determinada ley ya que genera el llamado “error 
de clasificación” (Fig. 37). 
 
Fig. 37. Diagrama de dispersión de la ley de bloques 
que resulta de las muestras dentro de cada bloque 
contra la ley real de los bloques conforme a la planta 
de tratamiento (la elipse envuelve todos los pares de 
valores). Se muestra la línea de comparación 
Volumen-Varianza, la línea de 45º y los bloques mal 
clasificados (2) y (4) de acuerdo a una ley estipulada 
(LC). 
 
En la figura 37 se muestra que la ley media del depósito estimada a partir de las muestras (mx) y de las 
leyes reales de los bloques (my) son iguales y corresponden al valor donde la “línea volumen-varianza” 
corta la línea de 45º. Los bloques son clasificados como mena cuando superan una determinada ley LC 
(esta puede ser la “ley de corte”: se explicará en otras clases) y como estéril cuando son iguales o 
inferiores a esa ley. En la figura del ejemplo puede verse que de acuerdo a la ley, los bloques de los 
campos 1 (mineral) y 3 (estéril) están bien clasificados. Pero cuando analizamos los bloques de los 
campos 2 y 4 vemos que hay un error de clasificación. Ese error será más grave cuanto mayor sea LC. 
Otro aspecto que surge del ejemplo de la figura 37, es que para los bloques de alta ley (p.ej. mayores a