Sistema de Equações com Parâmetro

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IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti 
 
 1 
( ) te1
1tf
+
=
OPCIÓN A 
 
 
E1.- Sea 
a) Calcular ( )∫ dttf (1’5 puntos) 
b) Sea ( ) ( ) dttfxg
x
0
∫= . Calcular 
( )
x
xglim
0x→
 (1 punto) 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1ln
e1
eln
11
1ln
e1
eln
e1
eln
e1
eln
e1
elndt
e1
1xg
)b
drdur1u
K
e1
eln
e1
1e1ln
u
1uln
u
rlnrlnuln
r
druln
1u
du
u
du
1uu
duI
1u
1
u
1
1uu
1
1A10B10A0u
1B11B11A1u
1Bu1uA
1uu
Bu1uA
1u
B
u
A
1uu
1
1u
dudt1ue
e
dudtdudteue1
1uu
du
1u
du
u
1dt
e1
1I
)a
x
x
x
x
0
0
x
xx
0
t
tx
0
t
t
t
t
t
t
t
tt
t
−
+
=
+
−
+
=





+
−
+
=





+
=
+
=
=⇒=−
+
+
=
+
−+
=
−
==+−=+−=
−
+−=
−
=
−
+−=
−



−=⇒=⋅+−⋅⇒=
=⇒=⋅+−⋅⇒=
⇒=+−⋅⇒
−
+−⋅
=
−
+=
−
−
=⇒−=⇒=⇒=⇒=+
−
=
−
⋅=
+
=
∫
∫∫∫∫
∫∫∫
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
1
11
1
e1
1
e1
1lim
1
e1
1
lim
1
e1e
e1e
lim
1
e1
eee
e1
e
1
lim
1
e1
eee1e2
e1
e2
1
lim
0
0
0
1ln
0
2
2ln
0
11
12ln
0
e1
e2ln
x
e1
e2ln
lim
e1
e2ln2ln
e1
eln2ln0
e1
eln2ln1ln
e1
eln2ln1ln
e1
elnxg
0x0x
x
0x
2xx
xx
0x
2x
x2x2x
x
x
0x
2x
xxxx
x
x
0x
Hopital'LAplicando
0
0
x
x
0x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
=
+
=
+
=+=+
+
=
+
−+
⋅
+=
=
+
⋅−+
⋅⋅
+= →====+
⋅
=+=+
+
=+
+
=+−
+
=+−
+
=−−
+
=
→→→→
→→
 
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti 
 
 2 
E2.- Dada la función ( )
x1
aexf
x2
+
= , se pide 
a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0, valga 2 
(0’5 puntos) 
b) Para a = 1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos (1 punto) 
c) Para a = 1, hallar sus asíntotas (1 punto) 
 
a) 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) 2a2
1
11a2
1
01ea
2
01
021ea20'f
x1
x21ea
x1
1x22ea
x1
ex1e2ax'f
2
0
2
02
2
x2
2
x2
2
x2x2
=⇒=
⋅
⇒=
+
⇒=
+
⋅+
⇒=⇒
+
+
=
+
−+
=
+
−+
=
⋅
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )



ℜ∈∀⇒>+
−>ℜ∈∀⇒−>⇒−>⇒>+
ℜ∈∀⇒>
⇒>
+
+
⇒>⇒⇒
+
+
=⇒
+
=
x0x1
2
1x/x
2
1x1x20x21
x0e
0
x1
x21e0x'foCrecimient
x1
x21ex'f
x1
exf
)b
2
x2
2
x2
2
x2x2
 
 ∞− 
2
1
− ∞ 
e2x > 0 ( + ) ( + ) 
2
1x −> 
( - ) ( + ) 
(1+x)2 > 0 ( + ) ( + ) 
Solución ( - ) ( + ) 
 
Crecimiento ( )1x1x
2
1/x −>∪




 −>>−ℜ∈∀ Decrecimiento 
2
1x/x −<ℜ∈∀ 
 
En relativoMínimo
e
2e2
2
1
e
2
11
e
2
1f
2
1x 1
12
12
⇒=⋅==





−+
=




−⇒−= −
−





 −⋅
 
(De decrecimiento pasa a crecimiento) 
 
( )
( )
( )
( ) ⇒
+
=
−=⇒=
−+
=−⇒−=⇒=+
−−⋅
x1
exf
1xenverticalAsíntota
0
e
11
e1f1x0x1
)c
x2
212
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti 
 
 3 
Continuación problema E.2 de la opción A 
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
−∞→
=
∞
=
−
=
−
=
−+−
=+==
∞→⇒∞===
=
∞
∞
=
+
= →=
∞
∞
=
+
=
+
=+==
−∞→=
=
∞−
=
−
=
−
=
−+
=
+
=
∞→
⇒∞=
∞
== →=
∞
∞
=
+
=
∞→
−
∞→
−⋅
∞→−∞→−∞→
∞→∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
∞→
−
∞→
−⋅
∞→−∞→
∞→∞→
xcuandooblícuaasíntotaexisteNo
01
exx
1lim
xx
elim
xx
elim
x
x1
e
lim
x
xflimm
xcuandooblícuaasíntotaexisteNoe2lim
2
e4lim
x21
e2lim
xx
elim
x1x
elim
x
x1
e
lim
x
xflimm
oblícuasAsíntotas
xcuando,0y,horizontalasíntotaExiste
01
ex1
1lim
x1
elim
x1
elim
x1
elimy
xcuandohorizontalasíntotaexisteNo
11
e2lim
x1
elimy
eshorizontalAsíntotas
ónContinuaci)c
x22x2
x2
x2
x2
x
x2
xx
x2
x
x2
x
x2
x
Hopital'LAplicfando
2
x2
x
x2
x
x2
xx
x2x
x2
x
x2
x
x2
x
x2
x
Hopital'LAplicfando
x2
x
 
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti 
 
 4 
E3.- Se considera el sistema de ecuaciones 
( )( )
( ) ( )
( ) ( )



+−=++
+−=++
+−=++
2a1aazyx
2a1azayx
2a1azyax
3
2 
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a (1’5 puntos) 
b) Resolver el sistema para a = 1 (1 punto) 
c) Resolver el sistema para a = -2 (1 punto) 
 
)
( ) ( )
( )
{ } ( )
( ) ( )
( ) ( )λλλ=⇒
=⇒−=−⇒=++−⇒=⇒=+−⇒=+−⇒










−
−
−=
µλµ−λ−=⇒⇒−−=⇒=++⇒










=
⇒=⇒=⇒










−
−
≡










−
−
−
≡










−
−
−
≡










−
−
−
−=
⇒=⇒=⇒










≡










=
⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀
⇒












−=
−−
=
=
+−
=
⇒
⋅
±−
=⇒>=+=−⋅⋅−=∆⇒=−+
=⇒=−
−
⇒=−+⋅−⇒=+−⇒
−
−
⇒=+−⇒=⇒+−=−−−++==
,,z,y,xSolución
zxz2x20zzx2zy0zy0z3y3
0
0
0
000
330
112
2aSi)c
,,z,y,xSoluciónzyx0zyx
0
0
0
000
000
111
1aSi)b
adominerdetInCompatibleSistema
0
0z0z0
0
0
0
000
330
112
0
0
0
330
330
112
0
0
0
422
242
112
0
0
0
211
121
112
2aSi
adominerdetInCompatibleSistema
0
0z0z0
0
0
0
000
000
111
0
0
0
111
111
111
1aSi
adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang0A1,2a
2
2
31a
1
2
31a
12
91a0981214102aa
1a01a
0211
02aa1a02a3a
211
2301
1
RuffiniPor02a3a0ASi2a3aaaa11a
a11
1a1
11a
A
a
22
23
333
 
 
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti 
 
 5 
E4.- Se consideran las rectas 
1
1z
1
y
3
2xs;
2
3z
2
1y
1
xr
−
+
==
−
≡
−
=
−
−
=≡ . 
a) Justificar, razonadamente, que ambas rectas se cruzan (1 punto) 
b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas (1’5 puntos) 
 
a) Si los vectores directores de las rectas son iguales o proporcionales pueden ser paralelas o 
coincidentes, en este ultimo caso, además, tendrán un punto común. 
Si no se cumple la igualdad o proporcionalidad las rectas pueden cortarse o ser secantes si tienen un 
punto común. 
De no cumplirse nada de lo analizado las rectas se cruzan 
 
( )
( )
( ) ( )[ ]
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )1,1,0v
14
35,
14
35,
14
0v
14
561110,
14
141110,
14
28335v
14
56
14
11
14
52,
14
14
14
11
14
52,
14
28
14
113
14
5v
14
5
14
12612109
14
1111
14
11
98
77779807798
081999
047
0911
049
04212693
082422423
01,1,342,12,23
02,2,142,12,23
0vvvv
0vvvv
1,1,3v
2,2,1v
42,12,23v
123,21,32vsyrenapoyansequerectaslasdedirectorVector
)b
cruzanserectaslastotanloPortancorsenorectasLascomúnpuntotienenNo
7
4
7
31
7
31
7
103
7
31
7
523
7
5
7
922
7
92
7
33
7
337
3
2
70
31
1
2
12
31
12
23
123
21
32
1z
y
32x
s
23z
21y
x
r
comúnpuntountienensiVeamos
escoincidentniparalelasnisonNo
1
2
3
1
1,1,3v
2,2,1v
rsrsrs
rs
srssrs
rrsrrs
s
r
rs
rs
s
r
=⇒




=⇒




 +−−++−+−=






+




−+




−+




−−




−−−




−−−=
⇒−=
−
=λ⇒=−




−−λ−
−=−=µ⇒=µ−⇒=−µ−⇒



=−µ−λ−
=+µ+λ
⇒



=−µ−λ−
=+µ+λ
⇒






=−µ−λ−+µ−λ−−µ−λ
=+µ+λ+−µ+λ+−µ−λ
⇒
=−⋅+µ+λ+µ−λ−−µ−λ
=−⋅+µ+λ+µ−λ−−µ−λ
⇒




=⋅⇒⊥
=⋅⇒⊥⇒





−=
−=
+µ+λ+µ−λ−−µ−λ=
µ−−−λ+µ−λ−µ+−λ=⇒
⇒⇒
−≠⇒+−≠+⇒




−−−≠⋅+⇒=−=λ⇒=+λ⇒=




−⋅−λ
⇒−=µ⇒−=µ⇒





−
−
≡




 −
⇒



=µ+λ
=µ−λ
⇒





µ−−=λ+
µ=λ−
µ+=λ
⇒















µ−−=
µ=
µ+=
≡





λ+=
λ−=
λ=
≡
⇒
−
≠⇒




−=
−=
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 6 
Continuación del problema E4 de la opción A 
 
Busquemos el punto R de corte de r con la perpendicular rs 








η+
η+
−
≡








η+
η+
η+−
≡⇒⇒









=−=−=




−⋅+=
=+=+=




−⋅−=
−=
7
16
7
12
14
5
rs
7
16
7
12
0
14
5
rslarperpendicuEcuación
7
16
7
53
14
103
14
523z
7
12
7
51
14
101
14
521y
14
5x
R
IES Mediterráneo de Málaga SoluciónJunio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti 
 
 7 
dx
3x2x
1
2∫ ++
OPCIÓN B 
 
E1.- 
a) Calcular (1’5 puntos) 
 
b) Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función 
f(x) = ax3 + 2x2 +3 en los puntos de abcisa x = 1 y x = -1 sean perpendiculares (1 punto) 
 
( ) ( )
dtdxtxtx
Kxtgarcttgarcdt
t
dt
t
dx
x
I
dx
x
dx
x
dx
xx
dx
xx
I
complejasSolucionesxx
a
221
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
22
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
21
1
212
1
32
1
081243142032
)
222
2222
22
=⇒=+⇒=
+
+




 +⋅==
+
=
+
=
+




 +
=
+
+
=
++
=
+++
=
++
=
⇒<−=−=⋅⋅−=∆⇒=++
∫∫∫
∫∫∫∫ 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )






−=
=
⇒±=⇒==⇒=⇒−=−⇒−=−⋅+
−
−=+⇒−=⇒




−=−⋅+−⋅=−=
+=⋅+⋅==
⇒+=
−−
3
15
3
15
3
5
3
5
9
15159116914343
43
1431
4314131'
4314131'
43'
)
222
1
12
1
2
12
a
a
aaaaaa
a
a
m
m
aafm
aafm
xaxxf
b
 
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti 
 
 8 
E2.- Se considera la función f(x) = ex + ln x, ( )∞∈ ,0x donde ln denota logaritmo neperiano 
a) Estudia la monotonía y las asíntotas de f(x) (1 punto) 
 
b) Demostrar que la ecuación x2ex – 1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0 , 1] 
(0’75 puntos) 
 
c) Deducir que f presenta un punto de inflexión en c. Esbozar la gráfica de f (0’75 puntos) 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
imparessiempresignodecambiosconedecrecient
ycrecienteseriacontrariocasoen,0cgqueenpuntosolounhaberpuedesolototanloPor
0x/xparacrecienteEs
x0e
0x/x0x
2x/x2x0x2
0xex20x'rCrecientexex2exx2x'g1exxg
0cgquetalb,acpuntoun,menosal,existeentonces,bgsignagsign
ervalointdelextremoslosensignoointdistdevalorestomay,b,aervalointelencontinuaes
xgsiuedicequeBolzanodeTeorema1,0c0cg
01e1e.11e11g
0111.01e00g
1exxgSiendo
)b
xcuandooblícuaasíntotaexisteNo
xeelim
1
xeelim
x
xe1lim
1
x
xe1
lim
1
e
x
1
lim
x
exlnlim
x
xflimm
oblícuaAsíntota
xcuandofunciónexisteNo
xcuandohorizontalasíntotaexisteNoelimxlnlimexlnlimy
horizontalAsíntota
0x
verticalAsíntota
0x/xCrecientexhxgxf
0x/x
x0x
x01
0x'hCreciente
x
1x'hxlnxh
x0e0x'gCrecienteex'gexg
)a
x
xxx2x2
12
02
x2
xx
x
xx
x
Hopital'LAplicando
x
x
x
x
x
x
Hopital'LAplicando
x
xx
x
xx
x
x
xxx
=
>ℜ∈∀





⇒
ℜ∈∀⇒>
>ℜ∈∀⇒>
−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+
⇒>+⇒>⇒⇒+=+=⇒−=
=∈≠
⇒∈⇒=⇒



>−=−=−=
<−=−=−=
−=
∞→
∞=∞+∞=+=
+
= →=
∞
∞
=
=
+
=
+
=
+
= →=
∞
∞
=
+
==
−∞→
∞→⇒∞=∞+∞=+=+=
=
>ℜ∈∀⇒⇒+=
⇒




>ℜ∈∀⇒



ℜ∈∀⇒>
ℜ∈∀⇒>
⇒>⇒⇒=⇒=
ℜ∈∀⇒>⇒>⇒⇒=⇒=
∞→∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
q
 
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti 
 
 9 
Continuación Problema E3 de la opción B 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Demostrado0c''f01ex0x''f
x
1ex
x
1ex''f
x
1ex'f
)c
x2
2
x2
2
xx =⇒=−⇒=⇒
−
=−=⇒+=
 
 
E3.- Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2 – 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad 
a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M -1 en términos de M e I (1’25 
puntos) 
b) Hallar las matrices M de la forma 





ab
ba
que cumplen la ecuación M2 – 2M = 3I 
(1’25 puntos) 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )I2M
3
1MI2MM3
M3I2MM3MM2MMIM3M2MMI3M2M
solucionesdoslasendaseesoy0MqueesMexistaqueparacondiciónLa
0322
2
322M
0322
2
3222M
1.2
3422M0342314203M2M
13M2MI3M2MI3M2MI3detMdetMdet
matrizladegradoelnSiendo
)a
11
111211212
1
n1n2n
n1n2n
n1n2n
n1n2n
nn2n
nn2n2nnn2
nn2nn222
−=⇒−=
⇒=−⇒=⋅−⇒⋅=⋅−⇒⋅=⋅−
≠






≠+−=
++
=
≠++=
++
=
⇒
⋅+±
=⇒>⋅+=−⋅⋅−−=∆⇒=−⋅−
⇒⋅=⋅−⇒⋅=⋅−⇒⋅=−⇒=−
−−
−−−−−−
−
−
−
−
−
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )










−=⇒=−
=⇒=−
⇒=+−⇒=−⇒=⋅−+⇒=⇒=−



−=
=
⇒
±
=⇒>=−⋅⋅−−=∆⇒=−⋅−⇒=⋅−+⇒=
⇒=−⇒





=





=





−+−
−−+
⇒





=





−+−
−−+
⇒





=





−





+
+
⇒





=





−





++
++
⇒





⋅=





⋅−





⋅





2b02b
2b02b
02b2b04b312b11a01a
1a
3a
2
162a016314203a2a3a20a0b
01ab2
30
03
30
03
a2ba1ab2
1ab2a2ba
30
03
a2bab2ab2
b2ab2a2ba
30
03
a2b2
b2a2
baab2
ab2ba
30
03
a2b2
b2a2
ababba
baabba
10
01
3
ab
ba
2
ab
ba
ab
ba
)b
222
2222
22
22
22
22
22
22
22
22
 
 
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti 
 
 10 
E4.- Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2 , 1 , 3) y Q(1 , 3 , 1); los otros dos sobre 
una recta r que pasa por el punto R(- 4 , 7 , - 6) 
a) Calcular la ecuación de la recta r (0’5 puntos) 
b) Calcular la ecuación que contiene al cuadrado (1 punto) 
c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices (1 punto) 
 
a) La recta r es una recta paralela a la recta que une P y Q, por lo tanto tiene el vector director que esta 
( ) ( ) ( ) ( )





λ+−=
λ−=
λ+−=
≡⇒−≡−−=−==
26z
27y
4x
r1,2,12,2,13,1,21,3,1PQvr 
b) El plano π contiene a los puntos P, Q y R, aunque este último no sea, seguramente, vértice del 
cuadrado. Para hallarlo obtendremos los vectores PQ, PR y el vector PG, siendo G el punto que genera al 
plano, estos tres vectores son coplanarios (pertenecen al mismo plano), entonces uno es combinación lineal 
de los otros, por ello el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuación pedida. 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 03z2yx203z21y2x2
01y32x43z43z21y42x6
0
322
221
3z1y2x
3z,1y,2x3,1,2z,y,xPG
3,2,29,6,63,1,26,7,4PR
2,2,12,2,13,1,21,3,1PQ
=+−−≡π⇒=−⋅+−+−⋅−
⇒=−⋅−−⋅+−⋅+−⋅−−⋅+−⋅−
⇒=
−
−
−−−
≡π⇒





−−−=−=
−≡−−=−−−=
−≡−−=−=
 
c) El vector director del lado desconocido es perpendicular al de la recta y al del plano, se calcula hallando 
el producto vectorial de ambos. Las rectas s de los dos lados pasaran por P o por Q y tendrá como vector 
director el hallado. 
( )
( ) ( )
( ) ( )









−=




−+=
=




−+=
−=




−+=
⇒⇒−=α⇒−=α⇒










−
−−
≡










−
−
−−
≡









 −
−
−









=




−+=
−=




−+=
−=




−+=
⇒⇒−=µ⇒−=µ⇒










−
−−
≡










−
−
−−
≡









 −
−
−

























⇒
−=α+λ−
=α+λ
−=α+λ−
⇒
λ+−=α+
λ−=α+
λ+−=α+
⇒
α+=
α+=
α+=
≡















⇒
−=µ+λ−
=µ+λ
−=µ+λ−
⇒
λ+−=µ+
λ−=µ+
λ+−=µ+
⇒
µ+=
µ+=
µ+=
≡
⇒≡−−−=
−−−=−−−+−−=
−
−=×=⇒




−≡−−=
−=
π
π
7
2
7
331z
7
9
7
343y
7
8
7
351x
2Vertice
7
337
0
3
6
00
70
51
3
3
5
70
70
51
7
2
5
32
21
51
7
12
7
333z
7
5
7
341y
7
1
7
352x
1Vertice
7
337
0
3
6
00
70
51
3
3
6
70
70
51
9
3
6
32
21
51
732
442
55
2631
2743
451
31z
43y
51x
s
932
642
65
2633
2741
452
33z
41y
52x
s
3,4,53,4,5v
k3j4i5j2ik4kj2i4
212
121
kji
vvv
2,1,22,1,2v
1,2,1v
2
1
s
rs
r