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Aproximaciones Lineales

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Actividad 2
Indicaciones: Justifique adecuadamente sus respuestas y escriba en detalle sus métodos. La
omisión de esta indicación es motivo de anulación de los puntos correspondientes del problema en
cuestión.
1.- Considera la función definida por f (x, y) = e^(x) cos (xy) y determina:
(a) [15 puntos]. La linealización o aproximación lineal de f (x, y) en el punto (0, 0).
Sabemos que para determinar una aproximación lineal tenemos la fórmula dada por:
𝐿(𝑥
0
, 𝑦
0
) = 𝑓(𝑥
0
, 𝑦
0
) + 𝑓
𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
)(𝑥 − 𝑥
0
) + 𝑓
𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
)(𝑦 − 𝑦
0
)
Entonces, para el punto (0,0) podemos decir que la aproximación lineal se determina de la
siguiente forma 𝐿(0, 0) = 𝑓(0, 0) + 𝑓
𝑥
(0, 0)(𝑥 − 0) + 𝑓
𝑦
(0, 0)(𝑦 − 0)
𝑓(0, 0) = 𝑒0𝑐𝑜𝑠(0 * 0)
𝑓(0, 0) = (1)1
𝑓(0, 0) = 1
𝑓
𝑥
= ∂𝑓∂𝑥 𝑒
𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) = [𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) * (1)] + [𝑒𝑥(− 𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦) * 𝑦)]
𝑓
𝑥
= ∂𝑓∂𝑥 𝑒
𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) − 𝑦* 𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦)
𝑓
𝑦
= ∂𝑓∂𝑦 𝑒
𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) = 𝑒𝑥 * ∂𝑓∂𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)
𝑓
𝑦
= 𝑒𝑥 * ∂𝑓∂𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) =− 𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦) * 𝑥
𝑓
𝑦
= 𝑒𝑥 * ∂𝑓∂𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) =− 𝑒
𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦) * 𝑥
Después de determinar las razones de cambios para x e y junto con el valor en el punto (0,0)
tenemos que:
𝐿(0, 0) = 1 + (𝑥)(𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) − 𝑦* 𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦)) + (𝑦)(− 𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦) * 𝑥)
𝐿(0, 0) = 1 + (𝑥𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) − 𝑥𝑦* 𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦)) − 𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦) * 𝑥𝑦)
𝐿(0, 0) = 1 + 𝑒𝑥[𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) − 2𝑥𝑦 * 𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦)]
(b) [6 puntos]. El valor de f (0, 0) y el de L(0, 0) y determina si son iguales. ¿Es algo que
esperabas que sucediera?
Para f(0,0) tenemos:
𝑓(0, 0) = 𝑒0𝑐𝑜𝑠(0 * 0)
𝑓(0, 0) = 1
Para L(0,0) tenemos:
𝐿(0, 0) = 1 + 𝑒0[0 * 𝑐𝑜𝑠(0) − 2 * 0 * 𝑠𝑖𝑛(0)]
𝐿(0, 0) = 1
Sí es algo que se esperaba que sucediera, pues tenemos el plano tangente dado en el punto y
por lo tanto coinciden en el punto (0,0) pues es donde se evalúa.
(c) [3 puntos c/u]. Compara el valor real y el valor que se obtiene usando la aproximación lineal
para los ́ puntos
i) (0.1, 0)
𝑓(0. 1, 0) = 𝑒0.1𝑐𝑜𝑠(0)
𝑓(0. 1, 0) = 1. 105170918
𝐿(0. 1, 0) = 1 + 𝑒0.1[0. 1 * 𝑐𝑜𝑠(0) − 2 * 0 * 𝑠𝑖𝑛(0)]
𝐿(0. 1, 0) = 1. 110517092
ii) (−0.1, 0)
𝑓(− 0. 1, 0) = 𝑒−0.1𝑐𝑜𝑠(0)
𝑓(− 0. 1, 0) = 0. 9048374187
𝐿(− 0. 1, 0) = 1 + 𝑒−0.1[− 0. 1 * 𝑐𝑜𝑠(0) − 2 * 0 * 𝑠𝑖𝑛(0)]
𝐿(− 0. 1, 0) = 0. 909516258
iii) (0.1, 0.1)
𝑓(0. 1, 0. 1) = 𝑒0.1𝑐𝑜𝑠(0. 01)
𝑓(0. 1, 0. 1) = 1. 10511566
𝐿(0. 1, 0. 1) = 1 + 𝑒0.1[0. 1 * 𝑐𝑜𝑠(0. 01) − 2 * 0. 01 * 𝑠𝑖𝑛(0. 01)]
𝐿(0. 1, 0. 1) = 1. 110290536
2.- [5 puntos c/u]. Una de las aplicaciones en las que aparecen las derivadas parciales de orden
superior, es en las llamadas ecuaciones diferenciales parciales, EDP. Este tipo de ecuaciones
diferenciales aparecen en diversas aplicaciones en Física, que incluyen la conducción del calor,
difusión de partículas, flujo de fluıdos, flujo de calor, entre otras.
La forma que tienen estas ecuaciones se ha estipulado en la comunidad científica como una
ecuación de la forma
Auxx + Buxy + Cyy + Dux + Euy + F = 0 (1)
y las han clasificado como:
✓ EDP hiperbólicas, si ́ B2 − 4AC > 0.
✓ EDP parabólicas, si ́ B2 − 4AC = 0.
✓ EDP él´ıpticas, si B2 − 4AC < 0.
Tomando eso en cuenta, considera las siguientes EDP y clasifíquelas como hiperbólicas,
parabólicas y elípticas. (a) La ecuación de Laplace en el plano:
Elíptica ´∂
2u
∂x
2
+∂
2u
∂y
2
= 0.
(b) La ecuación de calor en una dimensión: ´
∂u
∂t = α∂
2u
térmica, y se debe al material.
Parabólica
(c) La ecuación de onda en una dimensión:
Hiperbólica ´∂
2u
∂x
2
, donde α es un parámetro, llamado
difusividad ´
velocidad de propagación de onda.
∂t
2
= c
2
∂2u
∂x
2
, donde c es un parámetro que representa
la
Sustituyendo coeficientes para la notación de edp en los términos A, B, C, como 1 cuando lo
presentaba la ecuación y 0 si no lo presentaba, despejando de la manera adecuada y sustituyendo
valores en la ecuación B2-4AC, obtuvimos la clasificación de cada una de las EDP.
3.- - [20 puntos]. Una función´ u (x, y) se dice que es armónica ́ si satisface la ecuación de Laplace en
el plano. ́ Determina si la función: u (x,y) = es armónica en el plano:𝑙𝑛( 𝑥2 + 𝑦2)
Laplace: , es decir, si el resultado de la suma de las derivadas parciales en ‘x’ y en ‘y’𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑦𝑦 = 0
de nuestra función u(x,y) da como resultado ‘0’, entonces la función es armónica en el plano.
Por lo tanto, es seguro decir que la ecuación u (x,y) = SI es armónica en el plano.𝑙𝑛( 𝑥2 + 𝑦2)
Tecnológico de Monterrey, Campus Querétaro Febrero-Junio 2022
MA 1029 - Modelación matemática intermedia Actividad 2
4.- [35 puntos]. En una placa metálica, la temperatura (medida en◦C) depende de la ubicación en el
plano, y está dada por
T (x, y) = xy − 2
Una partícula se mueve a través del tiempo, de tal forma que la posición en x y la posición en y
dependen del tiempo, de acuerdo con la elipse definida por las ecuaciones
x (t) =
√
2cos (t), y (t) = 2
√2sen (t), t∈ [0, 2π]
Determine los puntos sobre la elipse donde ocurren las temperaturas máxima y mínima,
indicando en qué momento(s) ocurren y cuanto valen dichas temperaturas.
- En primera instancia se tiene que identificar las variables y formular un modelo matemático
con ambas variables de la siguiente manera:
∂𝑇
∂𝑡 =
∂𝑇
∂𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡 +
∂𝑇
∂𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
- En segunda instancia se soluciona el modelo utilizando las ecuaciones brindadas previamente
por el problema:
-
- Acto seguido sustituimos los valores superiores en el modelo matemático y simplificamos:
∂𝑇
∂𝑡 =
∂𝑇
∂𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡 +
∂𝑇
∂𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
∂𝑇
∂𝑡 = 𝑥 •
−𝑠𝑖𝑛(𝑡)
2𝑐𝑜𝑠(𝑡)
+ 𝑦 • 2𝑐𝑜𝑠(𝑡)
2𝑠𝑖𝑛(𝑡)
∂𝑇
∂𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠(𝑡) •
−𝑠𝑖𝑛(𝑡)
2𝑐𝑜𝑠(𝑡)
+ 2 2𝑠𝑖𝑛(𝑡) • 2𝑐𝑜𝑠(𝑡)
2𝑠𝑖𝑛(𝑡)
− 𝑠𝑖𝑛(𝑡) + 2 2𝑐𝑜𝑠(𝑡)
- El siguiente paso sería igualar a 0 para encontrar puntos críticos y de igual manera respetar la
condición que se indica en la fórmula del problema:
-
- 0 =− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛( 1
2 2
) + 𝑝𝑖
- 0 =− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛( 1
2 2
) + 2𝑝𝑖
Tecnológico de Monterrey, Campus Querétaro Febrero-Junio 2022 ´

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