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Considera que hay una estructura que tiene la forma de una superficie cuádrica dada por la ecuación 𝑥2 4 + 𝑦2 8 + 𝑧 = 8 donde x, y y z se miden en metros. Debes tener en cuenta que el edificio sólo comprende la parte que está por encima del plano xy. Para este edificio, el ingeniero Sven Knoth desea conocer algunas características; por ejemplo, cuál es el volumen de aire que encierra la superficie y cuál será la cantidad de acrílico necesaria para construir un tragaluz al centro de la superficie. Por otro lado, la artista Giovanna Capizzi desea añadir en la estructura algunos trazos que correspondan a curvas sobre la fachada: esto es, dibujar sobre trayectorias que partan de un punto específico y con la característica de que, desde ese punto, esa trayectoria esté orientada hacia la dirección donde localmente se llegue más rápido a un punto más alto de la estructura (a una altura mayor). Ella cree que esta trayectoria es la que apunta directamente a la parte más alta de la superficie, que está sobre el origen del plano xy. Ayudarás a estos profesionistas a encontrar la solución a estas preguntas, considerando que se debe reportar lo siguiente: ● Reportar el volumen de aire que encierra el edificio. [Aquí debes indicar cuál es la integral doble que permite obtener el volumen pedido, para lo cual deberás a su vez indicar claramente cuál es la región de integración tanto en R2 (la gráfica de la región), así como representando la región usando la notación de conjuntos. La integral la puedes resolver usando tecnología]. Para obtener el volumen de aire que encierra el edificio podemos plantear una integral doble de la siguiente manera: 𝐷 ∫∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Definimos nuestra función como una función de (x, y). Despejamos z sabiendo que z = f(x,y) y nos queda que: 𝑧 = 8 − 𝑥 2 4 − 𝑦2 8 Comenzamos por definir la region de integracion para la integral de tipo II analizando gráficamente la superficie en el punto de intersección, z=0 en nuestro caso: 8 = 𝑥 2 8 + 𝑦2 4 Ec. #1. Ecuación que define el comportamiento de la superficie en la intersección. Fig. #1. Nos muestra la superficie obtenida en el punto de intersección z=0 (plano xy) Para establecer un dominio de tipo II definimos los límites de y como constantes y los de x como funciones de y de la siguiente forma: Para obtener los límites de x en función de y, despejamos para x en el plano xy de intersección: 4(8 − 𝑦 2 8 ) = 𝑥 32 − 𝑦 2 2 = 𝑥 𝐷 𝐼𝐼 = {− 8 ≤ 𝑦 ≤ 8, − (32 − 𝑦 2 2 ) ≤ 𝑥 ≤ (32 − 𝑦2 2 )} Ya que contamos con los límites para la integral de tipo II podemos plantear la integral doble de la siguiente manera: −8 8 ∫ − 32− 𝑦 2 2 32− 𝑦 2 2 ∫ (8 − 𝑥2/4 − 𝑦2/8)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑉 𝑉 = 568. 689 𝑢3 El resultado se obtuvo con el software Wolfram ● ¿Consideras que un planteamiento en coordenadas polares de dicha integral resultará en algo más sencillo? ¿Por qué? En caso de que sí, indica cómo quedaría expresada la integral en coordenadas polares. No, se observa anteriormente que existen elipses en el plano xy, por tanto el planteamiento de forma polar no sería más fácil pues tenemos un radio que varía a lo largo de superficie. ● Reportar la cantidad de acrílico (en m2) que se debe utilizar para cubrir la parte donde estará el tragaluz, el cual se considera que abarcará la parte de la superficie dentro del cilindro x2+y2=1. Para determinar la cantidad de acrílico planteamos la integral doble de forma para áreas superficiales: ∫∫ 𝑓2 𝑥 + 𝑓2 𝑦 + 1𝑑𝐴 Para definir los límites en las variables x, y debemos de considerar la superficie que los delimita x2+y2=1 y en base a ello determinar los límites. Podemos plantear un conjunto para integrales de tipo dos de la siguiente forma: Fig. #2. Nos muestra los límites para las variables x, y de forma gráfica. Basándonos en la Fig. #2 podemos establecer que: 𝐷 = {− 1 − 𝑦2 ≤ 𝑥 ≤ 1 − 𝑦2, − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1} Después para satisfacer la forma de obtener el área superficial obtenemos las derivadas parciales tanto en x como en y de la ecuación de la superficie: 𝑓 𝑥 =− 𝑥2 𝑓 𝑦 =− 𝑦4 Nos queda la integral de la siguiente forma: 𝐴𝑠 = −1 1 ∫ − 1−𝑥2 1−𝑥2 ∫ (− 𝑥2 ) 2 + (− 𝑦4 ) 2 + 1𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐴𝑠 = 3. 2608 𝑚2 Resolvemos en software Wolfram. ● Como Giovanna desea incluir una trayectoria sobre la superficie considerando el punto (2,5), ella cree que la trayectoria o dirección que debe seguir desde este punto es la que apunta directamente al punto más alto de la superficie. Determina cuál es la razón de aumento en la altura debido al movimiento desde ese punto, sobre la superficie y en la dirección indicada. ¿Tenía Giovanna razón o existe otra dirección en la cual la razón de cambio es mayor? ¿Por qué? Sabiendo que la derivada direccional está definida por: 𝐷 𝑢 𝑓(𝑥 0 , 𝑦 0 ) =≪ 𝑓 𝑥 (𝑥 0 , 𝑦 0 ), 𝑓 𝑦 (𝑥 0 , 𝑦 0 ) ≫ 𝑢 Para resolver debemos obtener la derivada direccional considerando el punto (2, 5) y con fin en el punto más alto. El punto más alto se encuentra en z=8 por lo tanto: 8 = 8 − 𝑥 2 4 − 𝑦2 8 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 Por lo tanto, el punto más alto se encuentra en (0,0). Para definir la dirección podemos obtener un vector entre ambos puntos de la siguiente forma: 𝑣 = ((0 − 2), (0 − 5)) 𝑣 = (− 2, − 5) 1 𝑣| || | 𝑣 = − 2 2 + (− 52) = 𝑣/ 29 = 𝑢 ( −2 29 , −5 29 ) = 𝑢 𝑓 𝑥 (2, 5) = −22 𝑓 𝑦 (2, 5) = −54 𝐷 𝑢 𝑓(2, 5) = (− 22 , − 5 4 ) * ( −2 29 , −5 29 ) 𝐷 𝑢 𝑓(2, 5) = ( 2 29 + 25 4 29 ) 𝐷 𝑢 𝑓(2, 5) = (0. 371390676 + 1. 160595864) 𝐷 𝑢 𝑓 = 1. 53198654 Esto quiere decir que la razón de cambio es de 1.5319 metros por metro recorrido en dirección del vector (-2, 5). La máxima razón de cambio está dada por la norma del vector gradiente. Por lo tanto, podemos ver si existen razones de cambio mayores a la anteriormente planteada en dirección donde se maximiza la derivada.θ = 0 ∆𝑓| || | = −22 2 + (− 54 ) 2 = 1. 60081059 Se observa que el valor es mayor que el que se obtiene con la propuesta de Giovanna y por tanto sí existe una razón de cambio más grande ● Sven menciona que puede existir otra dirección, desde el mismo punto, donde la razón de cambio sea mayor a 1 metro por metro recorrido. Demuestra que Sven está en lo correcto o no, argumentando la elección. Sabemos que la máxima razón de cambio es de 1.6008 y está dictada por la norma del vector gradiente en la dirección de . Por tanto podemos obtener razones de cambio mayores aθ = 0 1 en direcciones que nos den una razón de cambio mayor o igual que uno. Existirá un rango con una infinidad de direcciones que se obtiene de la siguiente forma: 𝐷 𝑢 𝑓 = ∆𝑓| || |𝑐𝑜𝑠(θ) 1 = 1. 60081059(𝑐𝑜𝑠(θ)) 0. 624683 = 𝑐𝑜𝑠(Θ) θ = 0. 285228198π Por tanto, podemos establecer que en un rango de dirección . La razón0 ≤ θ ≤ 0. 28522π de cambio es mayor o igual a 1 y Sven está en lo correcto.
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