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Aplicación de Integral Doble, Derivada direccional

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Considera que hay una estructura que tiene la forma de una superficie cuádrica dada por la
ecuación
𝑥2
4 +
𝑦2
8 + 𝑧 = 8
donde x, y y z se miden en metros. Debes tener en cuenta que el edificio sólo comprende la
parte que está por encima del plano xy.
Para este edificio, el ingeniero Sven Knoth desea conocer algunas características; por
ejemplo, cuál es el volumen de aire que encierra la superficie y cuál será la cantidad de
acrílico necesaria para construir un tragaluz al centro de la superficie. Por otro lado, la artista
Giovanna Capizzi desea añadir en la estructura algunos trazos que correspondan a curvas
sobre la fachada: esto es, dibujar sobre trayectorias que partan de un punto específico y con la
característica de que, desde ese punto, esa trayectoria esté orientada hacia la dirección donde
localmente se llegue más rápido a un punto más alto de la estructura (a una altura mayor).
Ella cree que esta trayectoria es la que apunta directamente a la parte más alta de la
superficie, que está sobre el origen del plano xy.
Ayudarás a estos profesionistas a encontrar la solución a estas preguntas, considerando que
se debe reportar lo siguiente:
● Reportar el volumen de aire que encierra el edificio. [Aquí debes indicar cuál es la
integral doble que permite obtener el volumen pedido, para lo cual deberás a su
vez indicar claramente cuál es la región de integración tanto en R2 (la gráfica de
la región), así como representando la región usando la notación de conjuntos. La
integral la puedes resolver usando tecnología].
Para obtener el volumen de aire que encierra el edificio podemos plantear una integral doble
de la siguiente manera:
𝐷
∫∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
Definimos nuestra función como una función de (x, y). Despejamos z sabiendo que z = f(x,y)
y nos queda que:
𝑧 = 8 − 𝑥
2
4 −
𝑦2
8
Comenzamos por definir la region de integracion para la integral de tipo II analizando
gráficamente la superficie en el punto de intersección, z=0 en nuestro caso:
8 = 𝑥
2
8 +
𝑦2
4
Ec. #1. Ecuación que define el comportamiento de la superficie en la intersección.
Fig. #1. Nos muestra la superficie obtenida en el punto de intersección z=0 (plano xy)
Para establecer un dominio de tipo II definimos los límites de y como constantes y los de x
como funciones de y de la siguiente forma:
Para obtener los límites de x en función de y, despejamos para x en el plano xy de
intersección:
4(8 − 𝑦
2
8 ) = 𝑥
32 − 𝑦
2
2 = 𝑥
𝐷
𝐼𝐼
= {− 8 ≤ 𝑦 ≤ 8, − (32 − 𝑦
2
2 ) ≤ 𝑥 ≤ (32 −
𝑦2
2 )}
Ya que contamos con los límites para la integral de tipo II podemos plantear la integral doble
de la siguiente manera:
−8
8
∫
− 32− 𝑦
2
2
32− 𝑦
2
2
∫ (8 − 𝑥2/4 − 𝑦2/8)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑉
𝑉 = 568. 689 𝑢3
El resultado se obtuvo con el software Wolfram
● ¿Consideras que un planteamiento en coordenadas polares de dicha integral
resultará en algo más sencillo? ¿Por qué? En caso de que sí, indica cómo quedaría
expresada la integral en coordenadas polares.
No, se observa anteriormente que existen elipses en el plano xy, por tanto el planteamiento de
forma polar no sería más fácil pues tenemos un radio que varía a lo largo de superficie.
● Reportar la cantidad de acrílico (en m2) que se debe utilizar para cubrir la parte
donde estará el tragaluz, el cual se considera que abarcará la parte de la superficie
dentro del cilindro x2+y2=1.
Para determinar la cantidad de acrílico planteamos la integral doble de forma para áreas
superficiales:
∫∫ 𝑓2
𝑥
+ 𝑓2
𝑦
+ 1𝑑𝐴
Para definir los límites en las variables x, y debemos de considerar la superficie que los
delimita x2+y2=1 y en base a ello determinar los límites. Podemos plantear un conjunto para
integrales de tipo dos de la siguiente forma:
Fig. #2. Nos muestra los límites para las variables x, y de forma gráfica.
Basándonos en la Fig. #2 podemos establecer que:
𝐷 = {− 1 − 𝑦2 ≤ 𝑥 ≤ 1 − 𝑦2, − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1}
Después para satisfacer la forma de obtener el área superficial obtenemos las derivadas
parciales tanto en x como en y de la ecuación de la superficie:
𝑓
𝑥
=− 𝑥2
𝑓
𝑦
=− 𝑦4
Nos queda la integral de la siguiente forma:
𝐴𝑠 =
−1
1
∫
− 1−𝑥2
1−𝑥2
∫ (− 𝑥2 )
2
+ (− 𝑦4 )
2
+ 1𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐴𝑠 = 3. 2608 𝑚2
Resolvemos en software Wolfram.
● Como Giovanna desea incluir una trayectoria sobre la superficie considerando el
punto (2,5), ella cree que la trayectoria o dirección que debe seguir desde este
punto es la que apunta directamente al punto más alto de la superficie. Determina
cuál es la razón de aumento en la altura debido al movimiento desde ese punto,
sobre la superficie y en la dirección indicada. ¿Tenía Giovanna razón o existe otra
dirección en la cual la razón de cambio es mayor? ¿Por qué?
Sabiendo que la derivada direccional está definida por:
𝐷
𝑢
𝑓(𝑥
0
, 𝑦
0
) =≪ 𝑓
𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
), 𝑓
𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
) ≫ 𝑢
Para resolver debemos obtener la derivada direccional considerando el punto (2, 5) y con fin
en el punto más alto. El punto más alto se encuentra en z=8 por lo tanto:
8 = 8 − 𝑥
2
4 −
𝑦2
8
𝑥 = 0, 𝑦 = 0
Por lo tanto, el punto más alto se encuentra en (0,0). Para definir la dirección podemos
obtener un vector entre ambos puntos de la siguiente forma:
𝑣 = ((0 − 2), (0 − 5))
𝑣 = (− 2, − 5)
1
𝑣| || | 𝑣 = − 2
2 + (− 52) = 𝑣/ 29 = 𝑢
( −2
29
, −5
29
 ) = 𝑢
𝑓
𝑥
(2, 5) = −22
𝑓
𝑦
(2, 5) = −54
𝐷
𝑢
𝑓(2, 5) = (− 22 , −
5
4 ) * (
−2
29
, −5
29
)
𝐷
𝑢
𝑓(2, 5) = ( 2
29
+ 25
4 29
)
𝐷
𝑢
𝑓(2, 5) = (0. 371390676 + 1. 160595864)
𝐷
𝑢
𝑓 = 1. 53198654
Esto quiere decir que la razón de cambio es de 1.5319 metros por metro recorrido en
dirección del vector (-2, 5).
La máxima razón de cambio está dada por la norma del vector gradiente. Por lo tanto,
podemos ver si existen razones de cambio mayores a la anteriormente planteada en dirección
donde se maximiza la derivada.θ = 0
∆𝑓| || | = −22
2
+ (− 54 )
2
= 1. 60081059
Se observa que el valor es mayor que el que se obtiene con la propuesta de Giovanna y por
tanto sí existe una razón de cambio más grande
● Sven menciona que puede existir otra dirección, desde el mismo punto, donde la
razón de cambio sea mayor a 1 metro por metro recorrido. Demuestra que Sven
está en lo correcto o no, argumentando la elección.
Sabemos que la máxima razón de cambio es de 1.6008 y está dictada por la norma del vector
gradiente en la dirección de . Por tanto podemos obtener razones de cambio mayores aθ = 0
1 en direcciones que nos den una razón de cambio mayor o igual que uno. Existirá un rango
con una infinidad de direcciones que se obtiene de la siguiente forma:
𝐷
𝑢
𝑓 = ∆𝑓| || |𝑐𝑜𝑠(θ)
1 = 1. 60081059(𝑐𝑜𝑠(θ))
0. 624683 = 𝑐𝑜𝑠(Θ)
θ = 0. 285228198π
Por tanto, podemos establecer que en un rango de dirección . La razón0 ≤ θ ≤ 0. 28522π
de cambio es mayor o igual a 1 y Sven está en lo correcto.

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