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ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES
PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
UNA VISIÓN ANALÍTICA DEL MOVIMIENTO
VOLUMEN 1
®
Lumbreras
Editores
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA, una visión analítica del
movimiento. Volumen 1
Autor
Editor
Oise~o gráfico :
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Asociación Fondo de lrwesbgadores y Ed1tores
Área de cómputo y pubt:cadones de la Asociación Fondo
de lrwestlgadores y Editores
O Asoc i ación fondo d e Investigadores y Editores
Av. Alfonso Ligarte N.• 1426 • Bre"a. Lima-Peni. Telefax· 332·3786
Para su sello ed1torial Lumbreras Editores
Pagma web· www elumbl"eras.com.¡¡e
Pnmera edición: abril de 2010
Pnmera re1mprS16n: abril efe 20 12
nra,e: 2000 ejemplares
ISBN: 978-612-4056-74-4
Reg1stro del proyecto editonal N.0 31501051100862
~Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Peru•
N.• 2012 • 04475
Proh1bida su reproducción total o parcial
Derechos reservados O LEG. N • 822
Esta obra se terminó de impnmir en los talleres gralicos de la
Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de abril de 2012
Calle de las Herramientas N.• 1873 . Lima-Perú. Teléfono: 336-5889
Presentación
Ascc1aC•on Fondo de tnvesngadores y Editores (AftNEO), promotora de
Lumbreras Ed1tores, nene el agrado de pr~sentar el texto Problemas
resueltos de Física, una visión analítica del movimiento, volumen 1,
hbro que forma parte de una nueva sene de publicaciOnes que aportan
al desarrollo dinám•co de tos contenidos eeuué'.<Os que brindamos a
la sociedad. sobre todo en un contexto en el que la enseñanza de las
Ciencias y las huma;"tiéades ha do perdie..,c!o s~; va!or analínco·cr r.co
la sene de Problemas resueltos es el complemento ideal para los
libros de la colección de Ciencias v Humanidades, trabajo desarrollado
por lumbreras Ed1tores en conjunto con las planas de profesores del
Instituto de Ciencias y Humanidades -promotor de las academ1as
AOUNI y César ValleJo-, qu1enes se han oedicado durante generaoones
a formar estudiantes con criterio realista y capacidad analitica, además
de imparnr conoc1m1entos ob1envos y de rigor denriñco a tra11és de las
publicaciones de Lumbreras Ed1tores con una sólida presencia en los
diversos lugares del Perú, cumpliendo asi una tarea vital en el acerca·
m1ento de matenal bibliográfico de calidad a miles de estudiantes y
profesores en todo el país. De esta manera reafirmamos nuestro com·
prom1so ñrme de aportar en el desarro•lo de :os sectores mas amplios
de nuestra soc1edad
Problemas resueltos de Física, una visión analítica del movi·
m iento, volumen 1 presenta el desarrollo didáctico de cada uno de
los problemas propuestos del libro Física, una visión analítica del
movimiento, volumen 1, y ofrece un acercamiento dmamico a todos
los contenidos necesarios para obtener dominio del curso. Este hbro
es también un recorrido a t ravés de lineamientos metodologtcos que
anhelan constru~r puentes sólidos entre el estudiante y el aprendizaje
de esta materia.
La bú squeda por aportar publicaciones más didácn cas y novedosas ha
hecho posible este libro y la serie de Problemas resueltos que le seguirán
-~----------...... ----------,----
en el campo de las crencias; también revela nuestro compromiso
profesional de seguir impulsando un trabajo editorial y académico que
no esté alejado de las grandes mayorias. Lumbreras Editores quiere
raconocer el esfuerzo con¡unto que ha signi ficado esta publicación,
en la cual ha participado un gran grupo de profesionales de primer
nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nue$tro anhelo de
conseguir una educación científica y humanística integral. Finalmente,
deseamos reconocer el apoyo de la plana de Física de las academias
ADUNI y César Va llejo, por su labor en la elaboración de este material,
gracias a su valiosa trayectoria en la enseñanza preuniversitaria de
calidad. De manera especial, AFI NED desea agradecer al profesor
Teodulo Aquilino Reyes Santos y a sus colaboradores los profesores
Antonio de Jesús Montalvo Correa y Edgar Percy Saravia Valverde por
su trabajo profesional en la sistematización del presente libro.
ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES
----~
Pró~ogo
Este libro ha sido elaborado con el propósito de mejorar las habilidades
del estudiante en la resolución de problemas, y es el complemento
ideal para Física, una visión analítica del movimiento, volumen l.
Como autores, nuestro objetivo es reíorzar los conocimientos teóricos
a través de la resolución de una gran variedad de e¡ercic1os.
Este libro - fruto de la experiencia alcanzada en el ejercicio de la
enseñanza de esta materia durante años- está pensado para cubrir las
necesidades temáocas de nuestro sistema educativo especialmente
para la preparación preuniversitaria. En esta etapa, el estudiante debe
reforzar sus conocimientos básicos de los temas de física, y debe ap li -
carlos a preguntas de menor o mayor grado de dificultad, con el fin de
tener conceptos más precisos, desarrollar su capacidad de análisis y re-
solver con mayor rapidez y eficacia los problemas que se le presentan.
Problemas resueltos de Física, una visión analítica del movimiento,
volumen 1 se ha elaborado tratando de cubrir estos aspectos; para
ello, se ha consid<!rado que el estudiante, previamente, ha tra tado de
resolver los problemas propuestos. De no llegar a la respuesta cor-
recta, el solucionarlo le ayudará a corregir su error o a encontrar otras
formas de solución.
Las soluciones propuestas en este libro son de fácil entendimiento
para e l lector, y tra tan, en la mayoría de casos, de buscar e l camino
más corto de solución y de no utilizar las matemáticas superiores
(derivadas, integrales). La cantidad y variedad de preguntas que se
han resuelto hace de este material un elememo indispensable para
la preparación de estudiantes, profesores e interesados en los temas
desa rrollados. Es importan te que el estudian te sea perseverante en la
adquisición de sus conocimientos; no hay que olvidar que el trabajo
del pensamiento se parece a la perforación de un pozo: el agua es
turbia al principio, mas luego se clarifica.
Los autores
Página
'íl~ Análisis vectorial
4}~ 1 Cinemática
'W@ Movimientos de caída libre
<ii@'W Movimiento circunferencial
~&JW 1 Movimiento relativo
'íJ@~ Análisis de gráficas del movimiento
mecánico
?J@'íJ Estática y centro ele gravedad
Página
?6®&> 1 Dinámica
1
&>?J'íl ! Trabajo mecánico, energía y
1 potencia
~®~ Impulso y cantidad de
movimiento
4}4}@ Choques
4}@1! Oscilaciones mecánicas
@?J@ Ondas mecánicas
Gravitación
Capítulo
G 2
Análisis
vectorial
¿y¡>oO<- ---:.:. -. . /
/~
r-• .....
.• w,. ... ., o
Un vector es un segmento ele recta onentado que, por sus
caracteristicas (módulo y dirección), permite represe111ar
magnitudes vectoriales como velocidad, aceleración, fuer-
za e intensidad de campo eléctrico, entre otras. Es s<~biclo
que uno de los p1 ;meros en utilizar vectores f~1e Galileo
Galilei (1564-1642}, quien al estudiar el movimiento de
los proyectiles tuvo la necesidad de representar la veloci-
dad en un i11stante dado. Además. se dio cuenta de que el
movimiento horizontal no afectaba al movimiento vertical
ele caída libre; esto le permitió descomponer el movimien-
to, lo que se expresa geométricamente mediante la des-
compOSICión del vector velocidad. De igual modo, Isaac
Newton utilizó los vectores para representar las fuerzas
y operar con ellas al establecer las leyes del movimiento.
De este modo nace el análisis vectorial. que es tudia las
propiedades de los vectores, así como sm operaciones.
Estas operaciones no se rigen por las leyes (o reglas) de la
Aritmética o del Álgebra común; por el contrarro,
el ¡¡náli·
sis vectorial tiene sus propias reglas y propiedades. En este
n1aterial. el lector puede ver como se han aplicado dichas
reglas o propiedades a los diversos problemas planteados.
Es necesario que el lector se habitúe a estas reglas, ya que
ellas se utilizarán en gran parte del curso.
PROBLEMA H.0 1
Dos vectores A y B de igual módulo fo rman
un ángulo S. i En qué relación esrán los
módulos de los veccores A+ 8 y A- B ?
A) sen( I) B) cos( i) C) taJ1( I)
D) co{i)
Resolución
Nos preguntan por
K=IA+BI
l ti - 81
Condición
• Para la suma
E) sec(i)
- 111 A¡.~-- . -.-- - -- - --- . . --~
... IIICOS(G/2)
B
J;
Capítulo ~
Análisis vectorial:
Del gráfico
(!)
• Para la diferencia
msen(t)
Del gráfico
~ lfi - 81 == 2m sen ( ~) (!!)
Luego (I) + (Il)
_.l.
.... . .t
lumbreras Editores
PROBLEMA H. 0 2
Se tienen dos vectores de módulo consrante dís·
puestos sobre un plano. Se sabe que el mayor
y menor valor de ;u resultante es 31 u y 6 u,
respectivamente. ¿Qué módulo dene X- 8.
cuando A y 8 forman 6(}>?
A) zJ38'u B) 3.ff6 u
D) ISOJ76 u
Resolución
C) I.s.fi6 u
E) Jill u
En el gráfico siguiente preguntan por I:A- aj.
:(
IX-81=?
60°
B
Aplicamos la ley de cosenos
1:4 - Bl= JA 2 + 81 -2A8cos60° (a)
Para dar respuesta al problema debemos
conocer los módulos del vecror A y B (A y 8).
Para ello, utilizamos la condición del problema:
• El mayor valor de la suma es cuando los
vectores cienen la misma dirección.
:A
~ Rmu=A+8=32u (!)
• El menor valor de la suma se riene cuando
las d irecciones son opuestas.
J._ A
-7 Rm;n=A-8=6 u
Resolvemos (!) y (U)
A=l9u y B= l3u
114
(11)
Reempla: amos en (a)
~ Í.=i- 81 = J192 + 131 - 2(19Hl3lcos60°
. . lA - al = Jill u
PROBLEMA H.0 3
En el gráfico que se muestra, t\I es pumo niedío
de AB, AC=CD= 10 u. Si la resul tante de los
vectores P y Q tiene un valor de 26 u. deter-
mine la medida del ángulo J\/,ID(A8= 23 u) .
D
'.
. · ' .
·.
. . Á. · · · · · · · · -- · · · · ·.w· · -- -- · · -- · · -- ·'a
A) 60°
D) 50°
Resolución
Se quiere determinar MAD =a.
C) 53°
E) 40°
Para hallar la resultante de los veccores P y Q
procederemos a desccmponerlos en los lados
del triángulo.
D
.,
.. ,
...
lO u/ ; ·· ..
En d gráfico
R=P"-Q
P = P1 .. P1 1\ Q = Q, + Ql
En (l)
R = P1 +P2 +Qa +Q:
R. =(P1 +QJ•·(P2 +Q2)
~
a b
Donde: 1 a 1= 30 u y 1 b 1== 28 u
30 u 26 u
28 ll
Aplicamos la ley de cosenos
R] =i + b2- 2abcosa
R
261=3&+282-2(30)(28) cosa
3
cosa =-
S
PROBLEMA H.0 4
(!)
Al realizar algunas operaciones con los \oecto-
res A y 8 se logró obtene r los vectores si-
guientes:
donde los módulos de los vectores son:
Determine el módulo de /A -4B.
A) 10Ji3 u
B) 9J7 u
C)7J5u
D) 3Jf:f u
E) sJSf u
Resolución
La incógnita es I7A- 4BI. De la condición te-
nemos
I 4A-sl~.rou
~ lsii-28l=2l4:4-8l=2ou
(s;\ - 28)-(:A+ 28) = (71\ -48)
----....-....
m n
lml=20u " lñl=l0-.Í3u (daco)
ñ
.
.
sJ3:
¡
r--ts--~-----20 u----~
~
15 .
lumbreras Editores
PROBLEMA H.0 S
El gráfico representa una placa sobre la cual aC\Üan cúatro fuer:as coplanares. Determine el
módulo de la resulcanre de escas cuacro fuerzas.
A) SO.fí7N
B) 40../UN
C) 30.Jfi N
D) 120 N
E) 20 N
·········~······· h ••olJN
· .. 15N /
.......... ......... .. ... :,:·::: .. t.-.·.·;·
•.•••••.••• .. ••••• •. •.•.••••• ·.·.·'7'• ·····;
R~Zsolución
El módulo de la resulcanre se determinará descomponiendo los veccores en las direcciones X. Y.
Luego, graficamos la resultame
Lv1=l20 N
!16
'R = l:V, +Lv(
l:i/_,=(+80)+(- 40)+(-10)
LV,=+30 N
L:v, = < ... 3o> .... <+ t 5> +<+8o> + <-5)
LV y= +120 N
.. R = 30.fí7 N
PROBLEMA H.0 6
En el gráfico. los vectores dado:> están relaciO-
nados enrre sí por e= m::\+ nB. donde m y 11
; on números reales. Determine m y 71.
~ - ··:···: ... ~1\-·A:· -- ·:----:
' . ~ ... : ... ; .. , ... :, . . .. :
• • • !
. . '
1 • • • 1
. -- .. -.-,. . "' ......
• 1 • 1 •
~···r• . • • : . •• ~- - • : .. . .. :
.
' ' . . ' .
.. - .. - .. -... - .... --. . --.. --.. - -·
. . .
. . .
• 1 1 1
· · · · '· - ··~·-········ .... : : : 8 : : ; :
• ' ' • • 1
·- - - - ~- - - - -~---~ ..... J ..... J
8 2
A) --· --11 11
5 3
C) - ll; -U
8 2
D) -S; 15
R~Zsolución
Para determinar m y n, expresaremos los vecto-
res como pares ordenados.
Del gráfico
C=(2;-2); A=(-2;3) y B=(-3; - 1)
En la ecuación
e= mA + n8 = m(-2; 3) +n(- 3; -1)
Operamos
(2; -2)=(-2m; 3m)+(-3n; -n)
-t (2; - 2) =(-2m-3n; 3m - n)
Igualamos los componentes
2m+3n=-2
3m-n =-2
(!)
(TI)
Resolvemos (1) y (!!)
8 2
m=-- ,.. n=--
11 11
PROBLEMA H.0 7
El gráfico que se muestra es un rectángulo.
Determine el módulo de la resultante del
sistema de vectores mosrrados .
A) 8 u
S) 10 u
C) 12 u
D) 15 u
E) 18 u
R~Zsolución
f-- 6 li----1
Descomponemos los vectores con respecto a
los ejes X e Y
·.
8 u: Á
YL Q---=----'-'Jh
X 6u
17 Í
lumbreras Ed1tores
Del gráfico
1:v = (-6 u)
1:~, =(-Su )
Luego graficamos el vector resultante
R
• R=IO u
PROBLEMA N. 0 8
Si la resultante del sistema de vectores mostra-
dos es 2(J3 ... ¡)(-))u. determine el módulo
- - - (J3-I)-del vecror D , si verifica D = C + ---s- P .
A) 2 u
D) 4J5 u
118
y l
B) <1 u C) 2JS u
E) J5 u
Resolución
Se quie:-e encontrar li51 = D. S!
- - (J3-1 )-D=eT --- P
:>
(1)
Emonces se requieren los vectores e y P. que
se dererminaran de la condición del problema.
p
u
R= :Lv,+L v, (11)
Por condición. la resulrame es vertical; enronces
-7 e=2 u " e= 2{-n u
Por dato y el gráfico
R-= -2{.J3 +1)=8+8J3 -P
" P = lO(.J3 + 1}(-J) u
En (!)
o=[ 2(-n+( J35- 1 }lO>{ -.13 + 1)(-J)] u
En ronces
D= l-:!i - .;])u
.. li5! = -.!21 + -!1 = 2./5 u
PROBLEMA H.0 9
Se muestran tres vectores r\, B y C que ve·
fifican 1 A 1 = 1 8 1 = l; l. Si la resultante de los
tres vecrcres coma su menor \'3.lor, determine el
valor del ángulo a y el valor de la res,tltance.
Y( cm)~
X : ~24,7)
······_¡; ·x-ccm)
e . ,. .
A) 16° y H cm
C) 14° y20cm
D) 16° y 25 cm· E) 14° y SO cm
Resolución
Del dato en el gráfico
8 = (24; 7)cm -t lsl = 25cm
-) 1:41 = 25 cm y lel = so cm
Además, la dirección de 8 es 16'>.
Si los tres vectores g iran el mismo ángulo en el
mismo sentido, la resulcame no cambia.
Por conveniencia, se girará a los tres veccore3
en 16° en senc1do horario.
Y'
'~-- ~~.4 :
·. .
óoOl'. 1 /\. : ••.•
1 4~;,·¡.·~ .. : ... -,¡6o
..... ..
. . .... -'· .. ... e ·r-.!...:..:'----...,. B X(cm)
·:
-e
¡;
· .... _;
La resultante de los tres vectores es
R=A+B+C
----75
Hallamos el vector i5
Por condición la resultanre debe ser mimma.
entonces i5 y e deben ser opuesros.
Y( cm)!
e
~ a+ l6°=30°
.. a=l4°
19 1
lumbreras Ed1tores
Redibujamos los veccores
y '
D,(
25 cm
X
50 cm
La resultan te mínima es
R=C-D
~ R= S0-25
. . R= 25 cm
PROBLEMA H.0 10
En el gráfico se muestran tres vectores P, Q y
S , donde !'P I= 3 u y IQ' 1 = 2Ji0 u. Determine
el valor de m si se verifica mP + 3Q = nS.
Considere tan S= l/3
y ~
S
,J:. -Q
Izo
A) .!_±
- 3
D) 16
3
Resolución
B) 5 11 C) 3
17
E) 3
De la ecuació n mP , 3Q = nS, se construye la
s iguiente grá fica (n < 0) .
y
1
rane = -
3
De l date: IQI =2M u
Luego
K= 6u
Del grá.fico
!S_ +lm?l = 3K
3
Reemplazamos
valores
6 ~ 3+ rrz (3)=3(6)
16
.. m = -
3
K
X
PROBLEMA H.0 11
Se muestra un vector A constante. ¿cuál e s
el menor valor de un vector B que hay que
sumarle al vector A tal que la resul ranre esre
sobre el eje X?
Y(cm) '
~ - - - ------ 2
::\
5 o
X(cm )
A) l cm B) 2 cm
C) 1.5 cm
D) 2.5 cm E) 1.2 cm
R~solución
Se quiere el menor valor de un vecwr B, con
la cond ición que la resultante se encuentre en
el eje X.
Y(cm)
X(cm)
R
A cominuacion. del vector ;::¡ se pueden cra:ar
una inñnidad de vectores cal que la resultante
se e ncuentra en el eje X. pero el vector que
presenta el menor valor es el perpendicular al
eje X: en el gráfico, e l vector B.
:. lsl =2 cm
PROBLEMA H.0 1 'l
En el grárico se muestran dos vectores d is-
puestos sobre un cubo. Determine en qué re-
lación se encuentran los módulos de los vecto-
res A + i3 y A - s.
(~: · -- - - -:- - - - -- - -l\--: . . . - . : - • : B :
1 } \ ' • 1
. . ' ~
1 1 • '
' 1 • •
' . .
' ! • 1
, i • •
: .. )· . .. . .. - • • .¡ .. - . .. - . :. 'i
. ' .
' . .
... ..... -.. -- --.. -- . . . _, ...
A) - S) .Ji
3 C)
Ji
3
D) .J3
2
R~solucíón
l a incógn ita es
K JA+BI
ifi-al
Primero ha llaremos lA~ iil.
E) 3
(!)
21 i
lumbreras Ed1tores
Descomponemos los vecrores en los lados del
cubo.
' .--~ - --· --· ···· ···_:-t · ··
. '
,...., •• • • • ¡;
~lx--·-~--------~~- - -·>·! a
a ( 1 ,- ~ .. ..... •
é - --~ ---- - ---~·::/ ··· -¡
")(
Del gráfico:
jLv2 j = 2a
IL:vyl=a
1Lvxl= 2a
ILvl = J<2a)2 + <d + (2a)z
ILvl= :>a
Ahora el módulo de lA-81
Luego
.·;; · -- -----·-- - ---~
.--:~ ··: /
· ·~x:-:,:.-_·_·_-_·-· - ··:··\8
' \
a
. ... ... · ..
r ... .. '
, .. - .. - -- -
a
r ... · --...,....----,
'- a .v
.. ·x
(JI)
y
(111)
En (1). reemplaz:amos (II) y (!!1)
K= 3a
a
K=3
PROBLEMA N.0 13
Se tiene un hexágono regular de lado -t u. Si
de uno de sus vértices se empie:a a trazar
vectores dirigidos a cada uno de los vércices
resranres, ¿qué módulo riene la resultante del
sis tema de vectores?
A) 12 u
D) 24 u
Resolución
8) 18 Ll
Graficamos el problema
C) 21 u
E) 20 u
'"'··- ~:,: ..
" / ,' /"X-
- • • A
D _,::.··
.-_-_: ~~ {_ü~~::::-
Se debe calcular
isl = lii +a+ e+ o+ 'El
Trasladando convenientemente los vecmres
A y E se observa
Luego
e e
De las propiedades geométricas de un hexágo-
no rP.gular e l lado es igual al radio. enronces el
diámetro es 8 u.
~ 151 = 3lcl = 3<8>
.. lsl = 24 u
PROBLEMA H.0 14
A partir de! gráfico, determine el veccor B si
' d 1 Jf7 su m o u o es -u . 2
z
4 · · ·· -- · --·· - · · ·· · ;
1 \ ••
. . .
,' ·. t !
. '
: ;6
·.. ,' ,''
... , '
4 ,· ·. /,'; r. . . .. .. . - -- - ...... .. - - .. . - ... ·'"
y
X
C) 3i-]-k
D) i+ ]-k
Resolución
Para determinar B aplicamos
z¡
4 '~'-<9; 9; .'U .. _. _ .•
X
'•
. \fj
·.
4 :_-- . ·- . - .• . .. :·..::.··
N(4; 6; 0)
Del gráfi co
~N =(4;6;0)-(0; 0;4)
MN =(4; 6; - 4)
,\!IN = 2(27 + 3}- 2~)
..
'
:6
(!)
y
(11}
23 ¡
lumbreras fd1tores
En (11)
ü - 2(21 ... 3] -lk ) (2i+3) - 2k)
. \IN - 2../f7 = Jf7
En (1)
PROBLEMA N. 0 15
A partir del gráfico, determi ne el vector
unitario del vector A.
10
A
o
2 ( • ") A) -J34 5i+3j
l ( . ") C) ----;;:=;< Si + 3 j
..¡34
2 ( • ") O) r:-7 Si+3j
'1/34
124
'
'
"
,.
•',
: \
6 X
l ( • ") B) 2 J3'4 Si- 3 j
2 ( . ") E)_ -J34 - Si+ 2j
R~solución
El vec.or unita rio de un vecwr A se determina
según
- r\
u - -
. . ~- r\ (!)
Aplicamos las propiedades geomécricas a! grá-
fico y obtenemos:
Y•
lOsenucoset.
6-----4
Luego
A= l Osena
A= (-10senacoset>i ... (-IOsen2 ex)]
Reemplazamos en (I) , obteniendo
~" =(- cosa)Í+(-sen et.}]
De tana=3/ 5, entonces
3 S
sen a = J'34; cos ex = J34
Finalmente
.. ~.~ = -~(si ..-3])
v34
X
PROBLEMA H.0 16
Se muesn·,¡ un cuadrame sobre el cual se ha
dispuesto un conjunto de vectores. de los
CUrtles A. B, e y D tienen un origen común
SeJiale la alternativa incorrecta.
••••••• J 2:1
'
~·. .. i5 e o
A) B -A +E =C
B) X +E +e ... 8 + F = 20
C) A +E-D= - C
O) La c?mponenre horizontal de
R = A +E +e + 8 + l5 es 4e
E) A +C +E =0
R~solución
Comprobemos las siguientes alternativas:
A) Verdadera
8-A+ E =<13-;\), E
= l2A - A) ... 'E
= e
B) Verdadera
<;.¡+E> ... e+ es ... ¡:)= e-e+ o
=2C+ o
=D+D
.. A+E+e+B+F=2i5
C) Ve rdadera
A ... E-D= C4+E)- 5
=e-5
=e -<2c>
=- e
.. A+E-D= -C
O) Falsa
R=A+E+C+B+D
---e
R=2C+ Q+B
2C
La componente 8. no es nula, entonces
'R.~ " 4e
25 1
lumbreras Editores
E) Verdadera
A-C+E=A ... E-'- C
----
PROBLEMA N.0 17
Una mosca, luego de pasar por el origen
de coordenadas, sigue el trayecto moscrado
para detenerse en P. Sí OM = 15, MN = 8J3 y
NP = 4J3, determine su desplazamiento de O
hacia P en cm.
Y(cm
A) (20; -12)
B) (21; 12)
C) (-2 1; 9)
O) (-20; 12)
E) (21; 9)
R~solución
:
-~
___ ... ··p
X(cm)
La incógnita es el vector desplazamiento de la
mosca.
128
Graficamos según los valores dados:
Luego. d = (21; 12)
PROBLEMA N.0 18
Se muestra un conjunro de vectores dispues-
to sobre un cuadrado. Si OA ts de 3J2 u, de-
termine el módulo de la resultante de dichos
vectores.
o
A) 6 u
B) 6J2 u
C) 9 ll
D) 9J2 u
E) l2 u
R>!solución
Se quiere determinar el módulo de la resul-
tante de los vecwres mostrados.
' ¡
1¿¡
í
~ 1
•:~
Observe que la ,;uma de vectores que se
encuemran en !os lados del cuadrado es nula.
también la suma de vectores en una d1agonal
es nula.
Entonces, la suma de vecwres es igual a la
suma c!e los dos vectores que se encuentran en
la otra diagonal del cuadrado.
PROBLEMA N.0 19
A partir del gráfico, determine el módulo de la
resultante del sistema de vectores mostrados,
siendo 1 A 1 = S u y lE l = 6 u-
¡lA e )o ~o E .f-
A) 12 u B) 13 u Cl 14 u
0) 15 u E) 18 u
- -----------------------------~----------------------------
Resolución
Se debe delermmar el módulo de la suma
jsl = 1 ::i .._e~ F.,. 8-e- i5 .._ El
Del gráfico
o ¡;
Pero
í5 =E y l;il = i"P 1 = 5 u
' y
Luego
!P1 1 =5 u
lJ
I2EI=l2 u
.. lsl=13u
~
27
lumbreras Editores
PROBLEMA N.0 20
Se muesrra un s~scema de \'ecrores que \'enfican que 1 ;:¡: 1:0 181 = 1 51= 6 u; 1 e[= 6-J 3 u y 1 H 1 = 8 u.
Determme el módulo de la resulranre.
.-\) 5 u
B) sJ3 u
C) lO u
D) 10../3 u
E) 6../3 u
Resolución
La incógnita es el módulo de la resultante: R =A+ 8~K + J + H + L+I +E+ F ~e +C + 5
R =A +B - K~J+H+L+l+E + F+G+C+D-) R=A+B+ H+C+ i5
-----
Descomponemos los vectores C y B, obteniendo
128
lí:vJ=su
IEv,l=óu
Luego
-) R2=82+61
.. R=10 u
R
pROBLEMA H.0 21
S<! muestra un hexágono regular • .I.BCDEF
de lado 24 u. Determine el módulo de
FO -BC -OD.
F
, ___ _ , _,_.,;'i
E D
A) 12 u
B) 18 u
C) 40./3 u
D) 30J3 u
E) 36 u
Resolución
Graficamos los vectores
(-ad y (-ao)
..
. .
..
. .
..
La incógnHa es
Del gráfico
:S= F6+(-i3Cl+(-ool
A'
Pero
Luego
-) OM =20J3
. . !si= 2(2oJ3) = 4oJ3 u
291
lumbreras Editores
PROBLEMA N.0 22
A pan: ir del gráfico exprese a1 \'ecror x en fun-
ción de los vecrores A y 8.
(~-.-.-.> ;:.--r • ·~ : ::::.~ •. '8' :/• i ..... ··~·-· - --------· -~--- - - - .:· .. '.
., \1
' " 1 •
' . ~ - - · -·· - -- - - - - -· · - - - - --- -- - -- - - -~
J2(_ - ) A) -- r\ +B
2
J2(- - ) B) - -A +B
6
2J2(- - ) C) --A +B
3
J2(- -) O)-- A +B
4
E) -~J2(A' +B)
4
o
Resolución
Se debe expresar x en términos de A y B.
130
trasladamos convt!niemtm.!m~
~1 v~ror ii para sumar con A
Del gráfico
m-J'i =: rJ2 -r
También
Relacionamos (-x) y ñi
;,; = { J2 -IH-x)
En {1)
2<-x~x- J2x> =A+ s
...._,_..._..
iñ
-t x = --1-(A + 8) 2J2
- J2(- - )
.. X"' --=- A+ B
4
(!)
pROBL!:MA H.0 '23
En el gráfico, .-iBCD es un cuadrado. Exprese
al vec[or ~ en función de !os vecmres P y Q.
8
' '
1 :
' '
•, :
' .
Q
' . . .,
'
·\:
• 1
A "-- ----------··---·--'"lo
A) ~(P +2Q)
5
C) ~(P -3Q)
2
D) ~(P- 2Q)
;)
Resolución
B) ~(P +Q)
;)
E) ~(2? +Q)
;)
Al extender el cuarto de circunferencia hasta
comple[ar una semicircunferencia ( A'BD ) se
observa que:
• A'C J. HD en H
• <rCA'A=53°/2 }
-tiíAD=53°
<I:A'Hr\ =53°/2 (A'A=HA)
Sn el gráfico siguiente
5k
k:
0 ......... .... fj _______ ..
5k
S k
(1)
También
(ll}
(III)
(lll) + (11)
Pero
- -!l.11 "'llQ (rienen igual módulo y dirección)
Análogameme
- 4k- 4-1'-f= - Q=-Q
Sk S
- ?-N= = P
5
311
Lumbreras Ed1tores
En (I)
- 4- 2-
x=-Q--P S S
PROBLEMA H.0 '24
En el gráfico, PMNO es un cuadrsdo, donde S.
T Y H son puntos medios de PM, PO y PS, res·
pectivamente.
Exprese al vector x en función de los vectores
Ay B.
132
P~~- - .. - ~· -· · · · ·· · · lvl
' ,'H -
A) iUi -2A)
B) ~(!-4A)
21 2
C) 2 (28-3:4)
21
2(- - ) D) 7 B - 3A
E) 1 (- - ) - B - 4A
21
Resolución
Pa ra ..{·esolver el problema es conveniente de-
terminar las medidas de a lgunos segmentos.
B
o .... ... ... .. .... ........... ..
Al trazar HT se observa que es paralelo a OS,
por consiguiente Jos triángulos THM y SGM
son semejantes.
Consideramos GS = (2 m)
~ TH==(3 m)
El punro G es baricemro del triángulo PMO.
-7 OG=(4 m)
Por otro lado se observa que los triángulos
THF y OFG son semejantes (ángulos internos
iguales).
Reordenamos los vecwres convenientemente,
tenemos:
- -
p -A, -A - 2A \f
B
_fl / yr; ... : l ; ~ ·
• ' ? .
2' -./ /'(' ·e -L-Vx
T 3-4x
Del gráfico
- x+x+-x == -+ - 4A (3- - 7-) s ( - ¡
.¡ 2 2
- J_ (8 -) X =...:.. --4A
.. . 21 2
PROBLEMA N.0 '25
A partir del gráfico mostrado, al vector x se le
puede expresar en fu nción de los vectores A y
- - - - a B segú n X =a A +es. Determine p-·
Considere O y 0 1 los ceneros geométricos de
las circunferencias.
A) .!_
3
D) 2
3
Resolución
Piden K= E:
~
B) 3 C) 2 2
E) -3
(1)
Primero relacionamos las medidas de algunos seg-
mentos, aplicando las propiedades geométricas.
S
Del gráfico
- (- A) NM= B-2
En el triángulo P/viS
33 1
lumbreras Edrtores
Luego
CL f3
En (!)·K = (- l)
. (I)
2
.. K=--
3
PROBLEMA H.0 26
3
a =-1 : 13 =-
2
Se muesrra un triángulo equilátero MNP donde
H, 1 y J son pumos medios de MP, MN y NP,
respectívameme. Si se verifica
HN = mz\1N .,. n}P + RG, determine ~
n
N
//\ ...... 1
/
•• G : .\
:,'Ji··· . . \
······ · · ·· · ··· - ·· ·-- · - - -~ M H p
A) -1
C) 1
4
D) _?_
8
B)
2
E) _(4- ,/3)
6
,
134
Resolución
De l:o ecuación
HN - RG = mMN + n}P
- . m
::>e qu1ere -
/1
2a
N
1~.
1 "'
En el triángulo
PR=IR
También
-. ..... -}P
PR +RG 2
IR - RG l
De (1)
PR+RG 2
PR-RG
De donde obtenemos
PR=3RG
En el triángulo HJ\1}
p
(0
(IT)
o el gráfico
-MÑ HJ::: - 1
- (1)- -
- HN = 1 s'v/N +<- ll}P
En el wángulo R}P
PR+ Rj + }P = O
-
De (11)
PR = 3RG
- Ñú'l - -
-4 3RG ... - .,. ]P = O
4
- ( l )- ( 1)-RG: - ll lYIN + -3 /P
De (111)- ( IV)
(lii)
(IV)
- - ( l 1 ) - ( 1 )-HN-RG= 2.,. U MN+ - 1.._ 3 JP
- - (7 )- ( 2)-HN-RG= U MN- -3 }P
~ ..__...
m n
m 7
. . - =--
11 8
PROBLEMA N.0 27
El gráfico OABC es un cuadrado, donde M. N y
P son pumos medios de AB, BC y OC. res¡>e<ti·
vameme. Si se verifica BT .¡.OS = aOA + pPC .
derermme ~-
CL
A-' . . ....... JY.l__ . . 7 ...... B
. '
. .
. . .
y '. :
~ ~ \.
..
. ·. s .··
..
...
..
. .
..
.. o ...... .... p=-_ __ ,..,c
A) 1 B) 2
D) -2
Resolución
C) -1
E) 1
2
De BT +OS= aOA ... ~PC. se pide ( ~).
, OA ~ :a
2m '. : 2
a a
',et:
~;:
:é
-------------------->
35 1
lumbreras Editores
Observamos el gráfico
1
rana= 2; CI.Tt3=90°
Del triángulo AQB se observa que
BT=TQ
De la misma forma en el triángulo TOC
TQ=QO
En el t riángulo OCN se demuestra
OS =SR y RN=OS/2
- 5-~ ON=-OS
2
Del t riángulo OCN
-- OA ON=OC+ -
2
S- - OA
-0S=2PC + -2 2
- 4- OA
---t OS=-PC+-
5 S
Del triángulo OAB
(l)
(ll)
De (1) + (II)
- - ( 1 1 )- ( _¡ 2 )-BT- OS= S-3 OA + t-3 PC
Entonces
2 2
a =-- y ll=-
15 15
.. ~= -1
CL
PROBLEMA H. 0 28
Se tienen dos vectores concurrenres:
A= 27 - 4]-k y 8 = 2] + Bk.
Determine un vector unitario perpendicular al
plano formado por los vecwres A y 8 .
A) Jffi- (15Í - 7] +k)
C) -~(13i-8]+k}
..¡293
1 ( " " ') O) -~ 15i +8j - 2k
..¡293
E) -~(137 -7]- zk)
v297
Re1olución
El \'ecror unitario se determina a partir de un
vectOl c. donde e= A X B
.4 -
•C
8 (0;2 ;8)
~r
~
plano formado por
{ los ve-;cores .4: )' B
"'
.4 (2;-4;- 1)
i
Luego e = A X B = 2
o
Se obtiene
e= -2(1si + 8]- 2k)
lci=2Jo s>2 ~<s>2 +<-d ~ lci=2J293
.. ~e=- ~(15i+8]-2k)
PROBLEMA H." 29
En el sistema de coordenada$ XYZ se tienen rres
puntos P(3; 4; 2), Q(2; -4; 0) y R(-6; - 1; 3) .
Determine el área del triángulo formado por
dichos puntos.
A) 3./29 u2 B) 6-/19 u 2
C) sfl9 u2
D) 6.J29 u2 E) 2.. Jsi74 u2 2
Resolución
Bosquejando el triángulo
P (3; -t; 2); R (-6; -1 ; 3); Q(2; - 4; 0)
El área del triángulo es
fA:: .!.!RP X RQI
2
RQ = (8; -3; - 3)
RP =(9; 5; -1)
Cálculo del produCto vectorial
j k
RPx RQ = 9 5 -1
8 - 3 -3
(l)
RPxRQ ::(-15- 3)i -(-27 +8>] +(-27 - 40),
Resolvemos
jRP X RQj = J I82 + 192 + 67 2
~ IRPxRQj::J5174
En (1)
.. JA:: ~JSI74u2
------ ------- ----- ------- ------------
lumbreras EditorEs
PROBLEMA N. 0 30
Halle el módulo de la fuerza resulranre; s1
F1= 30 N, F1=18 N, en el sistema de vectores
mostrado.
A) 7(K+l) N B) 14(K+ l) N
C) 2l(K+l) N
D) 12(K+ 1) N E) 28(K+l) N
Resolución
La resultante se determinará sumando las
fuerzas de dos en dos, aplicando la regla del
paralelogramo. Si considerarnos que K es un
número impar. todas las fuerzas tendrán su
pareja.
138
Luego
jf1 ... F1 1= ,IFi .!. F; - 2Fl1 cose
Reempla=arnos los daws:
IF1 + F2 l = Jt30J1 + ( 18,1 ... 2 !30lCISlu)
~ R'=42N
Sumamos de dos en dos (los plimeros con los
últimos).
'
F -F I=R' ¡";'1. !';JJ
I1:FI= R'( K;1 )= 42( K;¡)
·· J1:Fj=2l(K-'-1)
® Observación
Se Uega a un mismo resullado si K es un número
1
par.
PROBLEMA H.• 31
Calcule el área coral del tetraedro cuyos vérti-
ces están en los punros A (2; -l. 1). B (S; S; 4),
C(3; 2; - 1) y D (4; 1; 3).
Resolución
El \'olumen del tetraedro es
W:: !Ah
3
(1)
Sosque¡amos el cerraedro con los datos men·
c1onados.
0(4;1:3)
e (3: 2;-1)
Cálculo del area (.lA)
IA.=.!.JACxAOl 2 -.....-...---' ¡:
Tamb1én h =-dcos9=1 ABjcose
(1) 1 - -En (!): 'W= 3 -2 JFJJA8jcose
[Z)Recuerda
1 A·BI = tAIIBicose
L producto escalar
Efectuamos
1- -W =- IF·ABI
6
w = .!. i<Ac xAD)· ABI
¡u~ucto j L producto
••eaonal escala r
(ll)
Luego
.-\C=(l. 3: -2)
AD = (2; 2; 2)
AB = (3; 6: 3)
Cálculo de
j k
F= 1 3 -1
2 2 2
Operando obtenemos
F =(10: -6: -n
Reempla::arnos en (JI)
1 w =61(10;-6;-4)(3;6;3)1
1 ~ 'W= - 130 - 36-121
6
PROB!.EMA N.• 32
El volumen de un tetraedro es 5 u3. Si rres
de cuyos vértices son los puntos A(2; 1; -1),
8(3; O; 1), C(2; -1; 3), halle las coordenadas del
cuarto vértice O si se sabe que está en el eje Y
A) (O; 8; 2)
B) (O; 8; -1)
C) (- 2; 6; S)
Q) {1; - 7; O)
E) (O; 8: O)
lumbreras Editores
Resolución
Análogameme al problema amenor
r\(2;1:-1)
8(3; O; 1)
C (2; -l ;3)
D(O;y, 0)
1 .
- en e! e¡e l'
Luego
AC "'(O; -2; -!)
AB = (1;-l; 2)
AD = (-2; y - l; 1)
Volumen del tetraedro
'iY =iicACxAD)xABI
t40
(!)
Producto vecrorial
j k
AC x AD = o -2 ' -r
-2 (y -1)
ACxr\D = -(2 H(y - 1)} -8}--+k
ACxr\D= -(..J.y-2; 8; 4)
En (!)
1
w=¡¡l-<4y - 2: 8: -lJ·<t. -1: 2ll
L produc1o esC<liJr
~ 1 ( :> =6 -!y-2 - 8.¡.8) _. )''=8
.. D={O; 8; 0)
Capitulo
os
Cinemática
La mecánica. 1,1 más antigua de las ciencias físicas, estudia
el movimiento de los cuerpos. La cinemática es parte de
la mecánica; en ella se estudian los procedimientos p,ua
la descripción del movimiento mecánico sin consi clerar·las
causas que la onginan o modifican. Al clescribir el movi·
m1ento ele los cuerpos. se observa que existen movimien·
tos ele trayectoria rectilínea y curvilínea. Lo~ movimientos
más simples de describ1r y estudiar son los rectilíneos; por
ellos se empieza. El más simple de todos, aquel en el que
la velocidad es constante, es el movimiento rectilíneo uni·
forme (MRU).
Otro movimiento recti líneo eJe mayor complejidad, en el
cual la velocidad varía pero de manera uniforme, es el mo·
vimiento rectilíneo lll1iformemente variado (MRUV). en el
que la aceleración se mantiene constante. Ambos moví·
mientos se describen mediante las llamaclas ecuaciones
del MRU y MRUV, que pueden se•· escalares o vectoriales.
La gr.1n vanedad de problemas resueltos que incluye este
capítulo permiten que nos familiaricemos con la ect~ación
del 1\IIRU y la del MRUV. Es importante destacar que el
material contiene tanto problemas ele aplicación directa
como problemas de alto grado de complej idad que, cree·
mos, despertarán en nosotros ·la capacidad de análisis.
Capitulo
Cinemática :
........ ....... ....... ................. .... .................. ······ ··
PROBL!MA N.o 1
Dos móviles A y B. se!'arados por 50 m. se
mue!\ c!ll en la misma dirección con rapide:
COJlSt.mtc de ~O y 15 m/s, respec:ivo.menre.
Señale! al cabo ce cuánto dempo mínimo, A
esca1 <i 150 m delante de B.
A) 4 s
D) 2 s
Resolución
S) 8 s C) 10 S
E) 12 s
Si a1 inicio B se encuenrra delante de A. A
cardará más en si tuarse adelante.
Para que emplee un menor tiempo debe en-
conuarse delante de B.
~S
4[8
1
~50 m 40t - ---i
: r 1~ m/
: _...---........ --.?.._..S
/ ~~8, """'(,\)
r---1 5c - --J--150 m--;
Del gráfico
l5t+l50=50+40t ~ l00=25r
.. c=4 s
PROBLEMA M.0 2
Un roedor se encuentra a 20 m debajo de un hal-
cón y. al observarlo. huye recdlíneamcnte hacia
un lgujero, que se encuentra a 1 S m delanre de él.
con una rapidez constante de 3 m/s. Detemune
la rapidez media del halcón, si este caza al roedor
justo cuando ingresaba al agujero.
A) 3 m/s
D) 6 m/ s
Resolución
Graficamos
, .....
' ('
"-'·-~ A
'
S) 4 m/ s C) S m/s
E) 8 m/s
dist3nctl :s25 m
¡··.-.
rrayecrona • • .
:3 m/s
roedor_;_--
~
1----15m---~
Para el halcón
d
Vua::: _:1!.
r . .;s
25 m
4 Vm=--
tA8
(!)
43 t
Lumbreras Editores
Para el roedor
En (I)
25m
vn,= --5s
.. v..,=5 m/s
PROBLEMA H.0 J
El altavoz situado entre dos montañas emite
un sonido hacia la derecha. El eco de dicho
sonido llega a la monraña de la izquierda en 4 s
luego de ser emicído. Determine la distancia
entre las montañas. (vs=340 m/s)
1\
r-20 m1
A) 670 m B) 650 m C) 690 m
E) 1340 m O) !360m
Resolución
Gralicamos
144
1-20 m+-d1---¡ ~ r,
1--- ;( =? ---l
El recorrido del sonido es
Del gráfico
-. 2x=340(4)+20
.. x=690 m
PROBLEMA N. 0 4
En el gráfico mosrrado el niño y la tarántula
se mueven con velocidad conscanre a partir
del instante mostrado. Indique luego de
cuántos segundos la tarántula empezará a ser
cubierca por la sombra del niño, cuya alrura
es de 1,5 m.
·~
r·· --~
1 ~
2,5 m 2 m/s
1
l----5,2m
A) 0,25 s
0) 1 s
B) 0,5 s
0.2 m/s
C) 0,7S S
E) ].S s
Resolución
Gr:\lkamos
T
lm
t
1,5 m
1
_l ,, Zl&ffl ):~·en
,_
! . "
;~2~
-J'J. ~------- ---- -~·~.P En ~~re momento. la sombrJ del icl'en comaen=a J cubnr a
la ara.1ln.
"". ,•
' - ' ~
'iombra
~- -.•
o
1--- 2r --1--- dsombra -~'----0,2<----!
r--------5,2 m ---------1
Semejanza entre los triángulos MNP y PAQ. _!_ = ( ~)
2t d¡ombra
Delgráfico: 2t+dsornbr~+0,2t=5,2 ~ S,2r==5,2
...............
3t
:. t= 1 S
PROBlEMA N.0 S
Dos móviles, A y 8, pasan simultáneamente por un mismo lugar experimentando un MRU en la
misma dirección, con rapidez de 10 m/s y S m/s respectivamente.
(Luego de cuánro tiempo los móviles equidistarán de un punto que se encuentra a 300 m deiame
del lugar por el cual pasaron simultáneamente?
A) 30 s 8) 40 s C) 35 S 0) 25 s E) SOs
451
lumbreras Editores
Resolución
Graficamos
~------- 101 ---------
10 m/s 10 m/ s
~=a- ~{.\)----- 300 m _ _ __..,¡ P- x----1
~ 1 - 1 ~ ª :> m, s __,13 ;, m, s ~.:- - -::s.,~x---1 P:punro
1---St--{ equidimnce
<ie A y 8
PROBLEMA H.0 6
Del gráfico
S.+x=300
10r= 300.Lx
l5t+x=600+x
.. e= -lOs
([)
(11)
Un tren, que se desplaza con velocidad constante, cru!a un túnel de 120 m en 8 s. Si una persona
senrada al lado de una de las ven ranas del tren nota que permanece 4 s dentro de! túnel, determine
la longitUd del eren.
A) 120m B) 180m
Resolución
Grañcamos
1\lomento en que el tren
comienz> a erutar el titnel
C) 200 m O) 110m
8 S
E) 240m
Momento en que el tren
termina de cru:Jr el n'onel
·~
4 S
l'---------- (120 + L) m------1
Para eluen
d1='V1i ~ (l20+L)=v,(8) (!)
La rapidez de la persona es igual a la del tren.
Del gráfico
120 =vp(4)
!46
Entonces vp=v,=30 m/s
En (1)
(120+ L) = 30(8)
.. L= l20m
pROBLEMA N.o 7
El gr;~tko muestra el lanzamiento simultáneo
de dos esferas.-\ y B sobre u n p1so. Determine
cuámo recorre A hasca el ins tante en que se
cru:a con B. Considere que la esfera B rebota
inscancáneameme con la misma rapidez y que
ambas expedmencclll MRU.
0"-··· ·········· ····· ··· ··f-~··· j¡;;,; ... L
A) 40 m
S) 15m
C) 30m
D) 20m
E) 35m
Resolución
El móvil 8 recorre el doble que el móvil A.
Graficamos
2v
..::#' --..._ ... •4.- · -- - - - -- .. - · ·~·-··· ..-$ s-- --'../
1---- --30m - ----1
Del gráfico
l5+3k=30 _, k=S m
Recorrido de A
e.~ = 1 5 -rk=l5-..5
.. e., = 20 m
PROBL~MA tl.0 8
Una persona. al encontrarse a orillas del mar,
se percata de que mar adentro se produjo una
explosión y reconoce que la diferencia de los
tiempos de llegada de los sonidos por el aire y
por el agua es de 11 s. ¿A qué distancia de la
persona se produjo la explosión. si la rapidez
del sonido en el aire y el agua es de 340 m/s y
1440 m/s respectivamente?
A) 3935 m
O) 5100m
Resolución
B) 3824 m C) 4920 m
E) 4896 m
La rapidez del sonido en el agua es mayor que
e n el aire.
Vsonido{3gun) = 1440 m/ S
V;.ontdo(>~re)= 340 m/s
47 1
----------------
Lumbreras Ed1tores
Dato:
De
d
r ~ - (MRU para el sonido)
V
En (1)
Reemplazamos
d( 1440-340 )= 11
(1440) (340)
.. d=4896 m
PROBL~MA N.0 9
(!)
Un tren de 60 m de longi tud se desplaza en
línea recta con una rapidez constante de 40 m/s
y demora en cruzar un puente r segundos.
Si hubiese duplicado su rapidez, habría em-
pleado dos segundos menos en cruzarlo.
Determine la longitud del puente (en km) .
A) 0,2
D) 0.1
Resolución
Graficamos
i4B
B) 0,15 C) 0,12
E) 0,08
Según los daros, el rren expenmenca un ¡\JRU
(I)
(Ji)
Si se duplica la rapidez (2vutn) emplea 2 se-
gundos menos (c-2).
t=2t-4
-+ t=4s
En (ll)
du·e11 =(40)(4) =160 m
En (!)
Lpueme = 1 00 m
· · Lpu~nt~ =0,1 km
PROBLEMA N.0 10
Un automóvil se va alejando en linea recta y
perpendicular a un muro con rapidez de 20 m/s.
Si a cierta distancia de este el conductor toca
la bocina, y escucha el eco después de 4 s,
¿a qué distancia del muro se encontrará el
conductor cuando escucha el eco? Considere
vsomdo=340 m/s
A) 640 m
B) 320m
C) 720m
D) 600 m
E) 520 m
Resolución
Grafi.:amos (, -Jm-lo= 3-!0 m, s)
Piden
.\ ==d- 80 (!)
Del gráfico
,·, :::d -1- (d.,. 80)
Para el >ontdo
- 3-10(-;} =2d+80
rl"'ó-10 m
En (ll
:. x==720m
PROBLEMA N.o 11
\ \ 1 ~ }· · f ·+·) . } ·;·· -j··t· ·;1
20 m/s ~ 20 m/s ócuchó
~1-- 1 - (-- r +· · r -- -- Í "- --:::-- el eco \ \ . =f~~ '-~-~ ._./
¡---- d ---t-----80 m----,
~--------------x------------~
Los comadores r\ y B, que regls[ran el instante de la llegada de un rayo gamma, se encuenrran separa-
dos 2m. Entre ellos (1.1YO lugar la de,;imegración de una pa.rticula subatómica conoctda como mesón
en dos forones.
iEn qué lugar sucedió la desinregración, si el comador rl registró uno de los fotones 10-~ s más tarde
que el contador B? (Considere que la rapidez de los fotones es de 3 X 108 m/s)
~------ 2 m --------r
A) 0,75 m
Resolución
Se pide x
B) 0.85 m
Date: t'=I0-9 s; c::;:3xl03 mi s
C) 1,095 m D) 1,15 m E) 1,25 m
0~~0 - . -~"t::... '· · .. - -, --- :1\~1';::-- -.¡.Jr--=a:~=- ...,- r --A ~ B
r-- x 2-x---t
----------------------------------------~--------·--
Luego
(2 - .\) =cr
x=u - cr"
PROBi.! /1\A N. • 12
(!)
(![)
Reempla.:1ndo (l) en (11)
:t•= (2 - x) - u·
__, 2x=2 .... (3x !Os)(lo-9)
.. x=l.lS m
Frente a una esrac1ón A pasan dos móviles que se desplazan en línea recca con rapidez constante
cie 5 m/5} 10 mis. para djrigirse h.tcia otra es ración 8. En ese insranre, por la estación B pasa erro
móvil que se dirige hacia,..¡ con 30 n;/s y se cruza con los ameriores. con un intervalo de dempo
de 1 mmuro . .:Qué disrancia hay entre las estaciones A y 8?
A) S km
Resolución
Graflcamos
8) 6 km
20 m/s···
--::-7
A
C) 6.5 km D) 7 km
~. , ~
l-----20c - ---+--- 30r----t
En (0
E) 7,5 km
.·
Del gráfico
d.~8=50t (1) dAB = (50)( 140) = 7QQQ m
1St l . 60 llr = ---= mm = s (S+ 30) . . d.u;=7 km
--+ t=140s
!50
B ...
pROBLEMA N.• 13
Dos automóviles, .-l. V B. realbm rv~u .:~n 7 01, S
r m - re<D,.ctiYanleme. A parm del msranre ¡r :J ~. • • -
· ·rp.Jo. dew>ni11e d tmervalo de ciempo ~ue
moo . . ·¡ debe rranscurriT para que d1chos auwmov1 es
equidisten del ongen áe coordenadas.
r · 5 m/s 1 B
--o, ~X
.
¡
50 111 1
.
ll3¡o ; m,s,s
, \
A) 3 S 8) 5 s C) 6 S
D) 8 s E) 2 S
Resolución
Graneamos
N
----·----
De! ~,áfico
.\ -5t=30 (1)
De (11)- (l)
2t:: 10
.. i"'5 S
PROBLEMA N.0 14
Un itlsecco realiza un MRU y se desp!.ua a !o
largo de la recta L Si el área lA1 es do! ~u m- v
fue barrida en 5 s, indique cuánto es e! :irca
!A1, dado que se barrió en S s. y además con
qué rapidez vuela el insecro.
A) 60 m2 • 2 m/s
S) 56 m2 • 4 m/s
C) 64 m1 : 4 m/s
D) 64 m1 ; 2 m/s
E) 60 m1 ; 1 m/s
lumbreras fd1tores
R¡:solución
Nos pirlen IA2 v 1'.
1 lA¡= - b¡h
2
(1) - (!!)
Reempla::ando daros
De(!)
64 = .!.((8v)j[8J
2
.. v=2 m/s
(I)
(ll)
PROBLEMA N. 0 1 S
Se ffilbía ::fercrmmado que la rapidc: .:onsran-
ce de un móvil en rraye::roria recrilínea era
de 1 m/s, pero después se comprobó que a la
medida de longirud usada le ialraba un decí-
metro de metro y que el cronómetro ucili:ado
se adelamaba en l/20 de segundo por cada
segundo Determine la verdadera rapide: del
móvil en m/ s.
A) ó/7
B) 10/21
C) 18/l9
D) 19/21
E) ~.'lO
Resolución
Experimemo
] S 7 reJo¡
~ d~feccuoso
__ v - I m/s __ v
--:a - ~ ,----
~
meuo
1----- 1 m ------! deJecwoso
0,9 m-----1, r¡O,l m
~------------~~tro
1------- 1 m ------1 con·ecro
Entonces la rapidez real es
0,9 18m
v=-=--
,.!.2. 19 S
20
pROBLEMA H. o 1 6
-~""'·"nerJ ;e .:lespla:aba con ·,e!o.:1dad
una'-'"'"
_ nre cor una avemda. De promo. e! cho-
con>U· . . .
, e --u·-'', un rUidO caracrenstJco (cuando las
rer ~-- ~···"
edas pa.:an de un pavimemo a mro), el cual
:S escc.:h.1do cJéa 0, 2 s. Determine la longitud
de un pa\Jm~nr.:l. si la camionera permanece
compkumenre durante ó s en él Considere
que los .:~nrro~ de la llama deianrera }' posee-
dor e:;rJr separados 3 m.
A) 90 m
D) 95 m
B) 9! rn C) 93m
E) 97 :n
R~olución
La camionera permanece compleramen:e du-
rante 6 s en el pavimemo.
6s
~V
:Z_.Q· 2 ~ ~~ ......r--
~3m d< ----;
~------ LP --------~
luego
Lp=3+dc
- Lp== 3+6(v) (1)
Para calcular v, utilizamos la otra información.
--- b,__ (~~~~~:r~ ~~ .~l rurdo )
~ 3 m --1 te escucha~
: _ 0 2 1 segundo : r- • 5 _ v ruido ·~D.~
· =·.:::.:_~-~
___ __..:..___-::_·~--
l--3 m--1
la rap1de: de la camioneta es
d 3 ¡ -
,, .. = - = -- == ~ m
- l L~)
En (l) L?=3-ó(l5)
PROBLEMA H.0 17
Un esrudiance se encuentra a 3 m del cenero
de un:l veman:t de l m de ancho, ) un bus. CJ'.!::'
experimenta MRU. se mueve por una pisra pa-
ralela a la ventana con una distancia de 87 m.
Si el bus de 10m de longitud fue observado
por<!! estudiante durante 8 s. ¿qué valor tiene
la velocidad del bus (en km!h)?
A) 10
D) 18
Resolución
Grafic.amos
B) 15 C)l2
E) 20
cuminade
obsefvat el bus
T\-lv
10m
1_,-
•'
comienza a /
ub~NM d bus •
' IV
;:¡;
53
----------------
lumbreras Editores
Para el bus
Semejanza áe mángu!os
(d 2) (0,5 )
--"=-- ~ d=<30m
90 3
En (1)
(JO.,. IO) = vb"s(S) -., Vbus=5 m/ s
~'t>u, = 1 S km/h
PROBLEMA N.0 1 S
(l)
Un ~u;:omóvil desarrolla un MRU sobre una
pista horizontal con una rapidez de 30 m/s y
logra acercarse perpendicularmente hacia una
pared. Si de pronro toca la bocina durante
cierro tiempo, ¿en qué relación se encuentra
e! tiempo durante el e1.1al se tocó la bocina y el
tiempo durance el cual el conductor escucha el
eco' (vsonldo = 330 mi s)
A) 1
D) 1,5
Resolución
B) 1,1 C) 1,33
E) 1,66
Sea tp el tiempo que roca o pulsa el timbre, en
este tiempo se forma un rren de ondas.
154
Del gráfico
(1)
Al rebotar en la pared tecc) se acerca al auto.
~.:omic:t:.J .11
ts.:uclar 1
\ el eco J
L
1 /{ 1
r~ \ \ \ \ \ 1 ;, ' 1
~- ~ . ~· J
lterminJ d1 c>euch.lr el eéo
te: tiempo que el conductor escucha el eco,
que ademas es el tiempo de encuenrro ene re el
auto y la última onda, para una separaciÓn L.
Piden
(ll)
Donde
!~:: __ L _ _ "' YsCp
(v.,uto +vs) VJU(() +V,. (ll1)
Luego
pROB!. t:i't\A N. o 19
En Jos, e.-dces de un m ángulo equilátero de lado L se encuentran tres tormigas. E!i~ empie:a.'l
2
mowro.: ;;imultáneameme con una r.ap1cic! 1 constan re Si la primera hormiga mam1ene invaria-
blenle!lte su curso hacia la segunda, la segunda hacia la
tercera r la t~rcera hac!a la pnmera. ,al
cabo de qué intervalo de nempo las hormtga:: logran o::scar en un misrr.o lug3r'
2L
B) 3v
R;~soJución
L C}
V
L .JJ D)
V 3
E) 31.
2 v
Corno cada hotmiga sigue a la orra. cada una de ellas cambia de dirección describiendo una
rr:t]"l'CtOrt·l curva.
Debido a 1.1 simetría de los movimientos en cada instante, llS hormigas se encuenrran ub1cadas en los
v¿rtices de un ttüngulo equilarero. qth! dismimtye de ram<HíO a medida que las hormigas se acercaiL
Este tri.ingulo se hace nulo cuando las hom1igas se encuemran, siendo el punto de encuentro el ba-
riccnno del triángulo eqUilátero. Además, nore que en cada instante la linea que une el vértice del
triángulo con el baricemro (pumo de encuenrro} forma 300 con la velocidad.
Descomponemos la velocidad en un tramo pequeño de AH en dirección radial y perpendicular a
la radi2l.
A
v/.7·: '.
, ., 1 •
"11' • \
.~ . ..
' . ..
l -
v, =- ../3
2
La hormiga se acerca con una rapide! consrame hacia el cenero igual a v,, recorriendo e, entonces
e,=-v ,t (!)
55
lumbreras fd11ores
En (1)
L "' V ¡-;;
- ..,3 = - v3c 3 ?
1L
.. t=-
3v
PROBLEMA N.0 20
Un escarabajo se encuentra movréndose con
rapidez constante de 2 cm/s en el inrerior
de una caja cúbic<1, tal como se muestra. Si
el escarabajo va desde el vértice P al vértice
Q moviéndose por las paredes internas de !a
caja pasando por su base, ¿qué mlnimo riempo
demorará el escarabajo en dicho recorrido?
(Considere J\!IN = JOJ3o cm)
A) 40s
B) 45 s
C) 48 S
D) SOs
E) 54 s
Resolución
Sea el lado del cubo (caja) igual a a.
~ MN= J3a
!56
Luego. d lado es
ro,J3o == J3n ~ n = JQ,jiQ cm
Como el escarabajo se desplaza por los lados
(paredes) de la caja y su base, extendemos
(abrimos) la caja para determmar el nempo
míntmo; el t iempo es mí111mo cuando el reco-
rrido es mínrmo.
c==vc
e . = emtn
nun
V
M' a
p
Del gráfico
En (I)
100
t mm = -2-
· · 'min==SO S
(I)
i.v ... / ___ _,Q'
a
p• R
pROBLEMA N. o 21
u na rvhiiJ tng.-e;a volando por la venc<lna de
un aul.l , un esrudiance nota que !a d¡sran.:ta
·-·p,1·' a la polilla del techo cambta a ra· que ~~ ....
. d~ o 5 m por segun.:!o; emre la ooliliJ v la 1on ~ ·· . ·
aied l.n,;:r,ll camb1a a ra:on d 1 merro; por se-
p ndo emre ella misma y la pared del fondo, gu .
a ra:ón de d1 merros por segunao. Despues de
3 s que h polilla ingresó, esta choca con w~a
de las e;quma> del iondo.
Derermtne que •:alor nene la velocidad de la
polilla. st las dimensiones del aula son 3 m de
aJcurJ. -!.5 m de ancho y 6 m de largo; además,
1:1 pvlii!.J IngreSÓ :t! ::lttb e5!:\!'1dc> ~ 3 !"1 Ct' 110'!
de las paredes laterales.
sfi
A) -"-mis
2
.ffí C) -m/s
2
D) A o B
Resolución
B) 3J2 1 - -m.s
2
E) BoC
Existen dos posibilidades, que la polilla se di-
rija a la esquina t\, y la otra. que se dirija a la
esquina B.
B
J:.-, --4.5 m~
\3 S ;'3 S :
(daco) / le; : 3m · , J m.
,·
. .
..
, V., · ,'
·.¡1.,. ::~.;
_... ··/ v, -v.,.
Por d,uo
·==0.5 n:
,f.\ ó m 1 ,._,_==_ m ' s
r 3 s
• Si se dmge a la esqutna r\
3m 1 ,
' =-: m,s
-' 3 S
• Si se dirige a la esquma B
l. S m
v ·=--=O.S m/s
.• 35
Primer caso
J ,, ,J2í v = (2)· +(l)- +(0,5)- = T mis
Segundo caso
J , ( 1 )2 ( 1 )! 3J2 v = (2)· ... 2: + l = l mis
PROBLEMA N.0 22
Un esquiador inicia su movimiento realizan-
do MRUV. Si recorre la segunda mitad de su
rrayecro empleando 10 s. determine el tiempo
empleado en la primera mírad de su recorrido.
A) 10 s
B) 10(I+J2)s
C) 10(J2 - l)s
D) 5 s
E) S(l+ J2) s
57
Lumbreras Editores
Resolución
Grafi camos el problema
De las ecuaciones del J'v!RUV:
Tramo AB
. 1 ,
d = - at·
2
TramoAC
( 1 ~ 2d) = - n ( t + 1 O)-
2
(!) + (1!)
2 (t+l0)2
(t+ lO)= rJ2
l0= r(J2 - 1)
. . t = 1 O( J2 + I) s
!58
(1)
([[)
PROBLEMA N,0 2 3
Un <telera inicia un mo\·lmJenco rectilíneo
con aceleracion consrame. la cual le permite
aumenrar su rapidez a ra:::ón de 5 mis cada
2 s. Det<!rm!ne el menor dempo que emplea
el arlera para recorrer los primeros 60 m, si la
máxima rap1dez que puede alcanzar es 5 m/s.
A) l2 s
8) 11 s
C) 10 S
D) 13 S
E) 1-t s
Resolución
Graneamos
-;r- -----,B.-------e~
1--d¡--+---d2-----!
1------60m ____ _,
Del dato:
ó.v=S m/s -7 ót=2 s
La aceleración del acleta es
a= t.v = S m/s
t.r 2 s
-7 a=2.5 m/s2
Tramo AB (MRVV)
-7 5 =0+(~}~
Despejamos
C¡=2 S
-(~\., d¡- 1 ) -
En 2 s ,¡l.:anz,¡ su rapide::: lírr.ice. entonces,
para recorrer lvs 60 m en el menor tiempo,
mancendr,í cS[I)S 5 m/s.
PROBLEMA ~1 .0 24
Tramo BC (MRU)
-7 (60-5) = (5)!!
Despejamos
Como
. . r=l3 s
Un cidista se desplaza con una rapidez de 15 m/ s. Si antes de llegar a un bache gira 32° el timón
de la bicicl.:ta (maniobra que realiza sin cambiar la rapidez y durante 0,15 s); determine el módulo
de IJ Jceleración media que experimenta el ciclista en dicho intervalo de tiempo
A) 80 m!s1 B) 64 m/s2 C) 84 m/s2
R2solución
Graficamos:
VF
~· - --
t1c=Oly .'
, ( /,/ L/
... Ji.~--
..
.. · ,_.
O) 60 m/s2
,- ~ --- .. --. -... -.. --. -..
:
:
lumb¡•eras Editores
Usaremos la fótmula de aceleración med1a
1\r. -v0 l ¡¡ =-~-m j¡
Del segundo gráfico tenemos
PROBLEMA H. 0 25
(I)
En (1)
- - 2(15)( is)
<1,,,- ( 1~0)
Un automóvil micia su movimiento con aceleración consrance de 2.5 m/ s1. Si luego de cieno
tiempo empieza a disminuir su rap1de: a razón de 5 mis~ hasta que se detiene y el tiempo total
empleado del aucomóvil fue de un rninuro, determine Sl! recorrido y el tiempo durante el cual
estuvo aumentando su rap1dez.
A) 2000 m; 40 s
O) 1000 m; 20 s
Resolución
Graficamos
Nos piden t y e.
TramoAB
TramoBC
o
vc=v8-a't' -. v8 ::2ar'
ISO
B) 3000 m; 20 s
1 min= 60 s
C) 1000 m; 40 s
E) 3000 m; 40 s
(1)
(TI)
También De (1} = llll
, . ., = 1•\ - <lf =(2, 5)(40) t·5=1 00 m s
e'=-
')
Por condJcion
r+r'=tiO s
t.,.!.. :60_, r=40 s
.2
pROBLEMA >1.0 2ó
(,;·+1'·) 1' e = ~ t _,. ··= ; r
.. t.' =C~0 }-wh2ooom
Dos p.miwias Py Q se mueven sobre el eje xcon velocidades consra~res de+ 30 m;s Y:: l2 mt s, res-
ectivameme. Cuando dichas panículas pasan por las posiciones .\'r = -1.20 m y x\! = .,- 180 m.
fa panícula p adquiere una aceleración consta me de -3 m/s2. ¿Qué distancia separará las panículas
cuando cengan la misma velocidad?
A) 3m B) 6 m C) 9 m D) 11m E) l2 m
Resolución
Del enu nciado se deduce que la panícula P experimenta un MRUV y. a parrir de P, Q un MRU.
En ronces se hallará la distancia cuando P adquiera la velocidad de Q.
Graticamos el p¡·oblema
·(P)
- 120, ISO m-----'1
-!s ~~~v=O
_E_ :J .1!. í)(P)
t- 126 m --4--- 24 m ----{
(P) (Q)
l2 m/ s
-
~~ X
:(Q)
!+180
'
'
Q ;
t--126 m--r 1-- 168 m--l
~ l26+x+ 168=300
. . x=6 m
61
lumbreras Editores
PROBLEMA N.0 '1.7
Un automóvil se mueve sobre una pista ho-
rizontal, e;{perimenrando MRU con 20 m/s, v
se dirige a u n camion en reposo. Cuando ;¡
automóvil esrá a SO m del camión, este inicia
su movimiento en la misma dirección del au-
tomóvil con una aceleraciÓn constante a. ¿Qué
valores debe rener a para que el auromóvi l
nunca alcance al camion?
A) a> 2 m/s2 B) a > 1,5 m!s1
C) a > 2,4 m/s2
D) a > 2,5 m!s1 E) a> 3 m/s2
Resolucion
Si la acele ración del camión es cal que en el
momenm que el auto está por a lcanzarlo pre-
senta la misma velocidad que el auto, en ronces
el au ro nunca podrá a lcanzar a l camión.
Si m ación
crí rica:
{-so m-1---d,----{
20 1 :20 m/s m s·-- a
-· -1
1 =:s:t:::rr~ ,o ..
' •p
• dauro -----1
~
i
A pare ir de P el camión se aleja del a uro porque
su velocidad se incrementa y será mayor que
la d el auto.
20t =<80 +(0 +220 }
20t=80+ lOt ~ r=8 s
Como
vF= vo+(acJmrón)c =0+ (<lcanuón) (8) =20
llc3mrón= 2,5 m/s2
IB2
Si con es ta aceleración el amo no a!can::a al
..:am..ión, rampoco lo alcan:ará con una acele.
ración mqor
a(.liT'Iron > 2. 5 m/s2
PROB!.::MA í'l .0 28
Una partícula ub1cada en el punro A (O; 75) cm
inicia su movimiento con u na ace leración
constame igual a d' "' ( 1, 5i - 2)) cm! s1. Si la
máxima rapidez que puede alcanzar la partí-
cula es de 15 cm/s. ¿qué disrar.,ia 5<:!para a la
parrícula del origen de coordenada;; 8 s des-
pués de iniciado su movimicnro?
A) sJIO cm B) ISJiO cm
C) 7,5Ji0 cm
D) IOJlo cm E) 17,SJI0cm
Resolucion
Graficamos e l problema
o¡ X
Tramo .48 (.\ lRUV)
15::0 -'- (2.5)1¡
Calculamos la distancia AB
-(0+15 )(6) d~s- 2
Tramo BC (1\IRU)
dsL'=¡·01.;x(8 -r 1) = 15(8-6)
-. d,1c=30 cm " d .•. c=75 cm
Del gráfico
OC=21~
Calculamos k
751 =111+9k2= !Ok2
75 k::--= JIO
k =7, 5M
~ oc =2(7.s)Jl0
.. OC= lSJiO cm
PROBLEMA H.0 29
Una partícula se mueve sobre el plano XY
experimentando MRUV. En el instante inicial
la panícula presenca la posición P(-12;9) m y
una velocidad v = (3i + 4 ]) mis- Si las áreas que
--~------------ '---
barre el vector posición cada 2 s d1smmu)'en en
15 m 2• d erermin¿ el módulo de ll acele;ac1ón
(en m/s1).
A) 0,25
D) 1
Resolución
Graficamos
Dato
B) 0.5
(.lA1-lA2) = 15 m1
Tramo PC
1 ( 1 b1 = v0c --a t) 2
C) 0.75
E) 1.5
(1)
(JI)
S3 ¡
lumbreras fdttores
TramoPM (b1.,.Ll1 )=1'1)t'--}.l(rf
b1 ~ b~ = 5(-t)- I(n)(..J. )2
b1 +b1=20-8n
De (11)- (!11)
ll,-bl ::..J-,1
De (1)
h(b¡-bl)=I5
(lV)
( 1 O-2,1) -b2 = 20-Sn
b1=10 - 6n
15(b, - b1)=15 -t b¡-bl=l
En {lV): 1 =4n
(lfl) :. <1=0,25 m.'s2
PROBLl:MA tl. 0 30
Dos móvil¿s r\ y 8 experimentan movimientos rectilíneos. uno hacia e! erro, con rapidez constan-
te de lO m/s y 20 m/s, respecdvJmente. Si en el instante en que están separadus 275m 8 empieza·
a frenar con una aceleración constante de módulo 1 m/s1, determine a qué d is tancia se encontra-
rán separados cuando tengan igual rapidez.
A) 20m
Resolución
Gralicamos
B) 25m C) 30m D) !S m
1--- (t.iRUV) --i
10 S
lO m/~~s
.. '
.E_ 8f~ 1 m/s· : B.i'==
1-- lOO m - -r--- x---r--- ISO m---1
1---------- 275 m ---------l
PROBLEMA H.0 31
E) 3S m
Resolvemos
27S= 2SO+x
.. x = 25 m
Un automóvil de 3m de tongiwd y un ómnibus se desplazan en la misma dirección por vías
paralelas y rectilíneas con una rapidez constante de S m/s y 10 m/ s, respectivamente. Si en
el instante mostrado el automóvil acelera a razón de 10 m/s2 con la inrención de adelanrar a!
ómnibus, determine la longmtd del ómnibus. dado que el automóvil logra su objetivo luego de 3 s
a parcir del instante mostrado.
A) 12m
:s4
B)
-~: '=-~
'
íO m C)
:;.,..s .. •••n•••""
- --Q '"":r:i
? m
25m O) 14m E) 10m
Resolución
Graficamos
d = ¡O-d,.,, + Lb\u (I) ~utJ
1 ' d "' 1·,r+-a!" Jt:fO 1..: :!
1 '
d :5(3)-,. - (10)(3)• 3UC.> 2
Luego
d o: 1·~ (r)= l 0(3) = 30m bu;, '-''·h
En (!): 60= 10+ 30+Lb11s
.. L~>u. '"10 m
PROBLEMA N.o 32
l~s2
_ SJTILs .;~ ~ ::;;;•uu~ Q'
• 1
' '
t-3 m-l-7 m~--dbu;---+-- Lbus--t
! !L. a
~--------------~~~=-~
3s
En una pisca rectilínea se desplazan dos automóviles y pasan por una estación con igual rapidez,
v= 10 m/s, y con un intervalo de tiempo de 4 s . En el instante en que pasa el segundo automóvil
frente .1 la esHción, empiezan a acelerar con 2 m/s2 y 4 m/s2, respectivamente.
Decermine, luego de cuántos segundos, desde que acelera, este logra alcanzar al primero.
A) M S
Resolución
Graficamos
B) 2../lo s C) 2Js S D) 4Js s E) SJS s
ss l
lumbreras Editores
Del gráfico
d1 - d1==40m (f)
Como
d 1 ' ,=v .... ,,c- - n,r· ->
- ~~ - 2 -
Además
d1 == 10r+r2
PROBL2MA H.0 33
Resramos
cr~-d¡ =r
En (l)
. . t =2 JI0s
U~-conductor se desplaza por una autopista recta con una rapidez constante de 25 m/s y un ca.
mton sale para adelantarlo lOS m. ¿cuál es la aceleración mínima constante que puede asegurar
la parada del vehículo para no cho.:ar con el camión, si consid::nmos que el conduccor tiene un
riempo de reacción de 0,2 s?
R12solución
Graficamos
25 ,
D) -m/s-
8
(MRU) (MRUV)
~dR----~-------- 105-dR --------~
Para el MRU
dR=vrR
Entonces
dR.=25(0,2)
d¡¡=S m
Luego de S m pisa el freno.
Para el MRUV
v¡ = v6 -2ad
168
Entonces
O== (25) 2 -2 (a)(105- 5)
25 ,
.. a =-m!s-
8
?S , Con una aceleración menor que :::_ m !s- el
8
auto tmpactaJ·ía con el camión.
..: pROBLEMA N.o 3 4
Un eren de ó~ m de longitud ~e ~ncuenrra en reposo~ _cier<a d1srancia de un túnel recrilí_neo de
101 01 de largo¿ 1n1cia su m~vuntemo con u~a acelerac1on cOJ:sra~re. ~~la paree ~el~ncera ael tren
. esa con u:ll rap1de: de o m/ s y la posrenor con 10 m/ s, 'que rap1de: (endra dtcho tren en el
:;:;rranre en ~ue la mitad de es re está saliendo del túnel?
A) !1m
Resolución
Graficamo:;
B) 12 m/s C) 13 m/ s D) 8 m/s E) 10 m/s
Comten:a J 1ngresar alrunel
TramoAB
6 m/:; .____101m ----1
p j~~~ <únel 1
A¡:- 64 m--f .
: r-64 m-+37 m-r32 mi
: ~---·- .. 1(}m/s·-·; ' }Mitaddeltren
• e - ' • _ , .~( oi515§~ -=: ~~~· s~liendodel túMI
A B : :e
1--69m---!
Tramo8C
, l Vé = v¡ • 2a(d8c)
_, V~ = 102 +2( ~ f69)
. . vc= l3 m/s
PROBLEMA N.0 H
Desde dos esradones A y 8, separadas 1 H m, inician su movimiento dos automóviles con acelera-
ción constante de módulo 4 m/s2 y 2 m/s2• respecrivarneme. Si después de 4 s parte de la estación
B un tercer automóvil. determine el módulo de la aceleración del tercer automóvil, de tal manera
que los aes automóviles se crucen simulráneamenre. Considere que los tres automóviles se mue·
ven en carriles paralelos.
B) 3,5 m/s1 D) 4,5 m/s2 E) 5,5 m!s2
67
Lumbreras Editores
R2solución
Grarlcamos
..----1-H m-----;
A B ._
.
.
'
• •
• j •
• , r 2~-~ ..
-0= -..()- o <>-
(2) t----- - d1 - ----1
4 rTvs2
-! m/ s2
ocp._o ·
{llf---------
-;;_· orx;--. o -
d, ----------------1
t-4
Del gráfico cenemos
d¡-d!= 144
Desarrollamos
1()' 1 l
- 4 r- - - (2)r- =dH 2 2
-+ t=l2 S
Además
PROBLEMA N.0 3ó
~ 113
:6:Ehr _¿ ~~~
(3) 1--------- dJ -------¡
Desarrollamos
Un automóvil se mueve con una velocidad constance de módulo 20 m/s. Si en un instame dado - a
d metros delante de él- parte orro automóvil con una aceleración constante de 2,5 m/s2 y se mueve
en la misma dirección, determine d para que A y B se crucen en una sola oponunidad.
A) lOO m B) 160m C) 70m O) 50 m E) 80 m
168
R~solución
Gra.ficJrnos
Del grático
20m ';
(AJ --
,.:x::,.._
o===o·
M , (P)
,_ .i ---,..------ dg ____ __,
8 S
(MRUI
,2~
:Ea·
A f--------- d.\ ---------1
En 8 s B alcam:a 20 mis
d.~=d..-da (!) a8 = vg!- ~ac2 = ~( ~ }sl2 _.. ds=SO m
En p se da el único encuentro. a pamr de ese
momemo B ser á más rápido que A y se alejará.
(Revise prob. 27).
Para MP
20=0+(2,5)c - r=S s
PROBLEMA H.0 37
Para el a uro A
dA = vAc
dA = 20(8) ~ dA=l6Qm
De donde: 160=d+80
:. d=BO m
Una panícula se mueve sobre el eje x donde su posición queda defmida por
x =( r; -{e!+ 16r + 10 )m; e en segundos.
Con respecto a las siguientes proposiciones, indique verdadera (V) o falsa (F), segün corresponda:
• Duranre el intervalo e
e {O; 4] la parricula se mueve hacia la derecha.
• A partir de l > -! la partícula se mueve hacia la izquierda aumemando su rapidez.
Durante el intervalo re [O; 4] el recorrido de la partícula es 64/3 m.
A) VVV B) FVV C) FVF O) VFV E) FFF
69 1
lumbreras Ed1tores
Resolución
De la ecuación;
- t] '
x ==--4r -'-lór-10
3
Derivando se riene la velocidad
v(i) = r2 -8r - 16 = (t--i)2 (!)
La segunda denvada es la aceleración
a(c)=(2r-8)m/~
• Verdadera
Para tE [O; 4] {Il)
Para este Intervalo, excepw e ==4 s, la velo-
cidad es positiva. Observe la ecuación (!).
Falsa
En codo momento el móvil se dirige a la
derecha
• Verdadera
Para t =O
c=4s
.......
1, )
x::+lOm x=+lO m x=+ 94/3 ~--e---¡
Para r=4 s
x = (4/ - 4(4)2 + 16(4) + to
94
XF=3m
Luego
94 64
e=--10= - m
3 3
PROBLEMA N.0 38
Un gusano de longitud L se desplaza con una
rapidez v sobre una superficie horizontal en lí-
nea recra y en un determinado insrame cambia
la dirección de su movimiento en 90°.
170
Determine a partir de ese insrame el riernpo
que-rranscurre hasta que la distancia enrre SUs
e.'\rremos seJ mínima y cuámo vale dicha dis.
rancia.
L L./3
A)
V 4
C) L L -2-· --1' \'. 2 -
L !::..¡¡ D) - ;
4v 2
Resolución
Graficamos el problema
Para el triángulo
d2= (L - vt)2+v2c2
B) !_. !::_Ji
2v' 2 -
E) !:. !::.jj
V • 2
L2 +2[(vd-2(vr)(i)~a r -(iJ]
(~vo -(i }f
_JíL
-7 d,,.,,- 2
rambién
L
vc= 2
L
.. (::-
21·
PROBLEMA H.0 39
Un auromovil se mueve en linea recra con una
velocidad constante avanzando una distancia
d para luego adquirir una aceleración constan-
te de módulo a, disminuyendo su velocidad
hasta que se detiene. Determine el tiempo de
movimiento del automóvil, si se sabe que es
mínimo.
A)~
D) 2~
ll B) - -2 a
E) {d y2c;
Resolución
Se pide el tiempo mínimo {t)
Tramo AB (MRU)
d= vr1
d
C¡ =-
y
Tramo BC (MRUV)
V e,=-
- a
De (ID y (I) en (a)
d V
t=-+ -
v a
Reordenamos convenientemente
r =((J~J +( ~J -2~+2l)
r. =[[l-J~T + 2~]
oun
Por lo ramo
'min =2Jf
o
(I)
(H)
71 1
lumbreras Eótores
PROBL~~A H.0 40
En el gráfico. se d.:ne una canica A de ac.:ro ··
otra B de madera nn·dadas en reposo Si solta-
mos B. A Jeco.re durame el tercer segundo de
su movimiento 5 m éEn cuánco se desmvehn
A r 8 al cabo de 3 s de abandonar A?
A) 9 m
B) 12m
C) 15m
O) 2-!-m
E) 27m
Resolución
Al soltar el sistema, la canica de acero (A) des-
ciende con la misma aceleración que la polea.
Para un MRUV con v=O
Entonces
!72
Para la polca móvil mostrada cer.emos
[ 1 r"--G· j ¡ ~f:~ jcL+L-y)
l !r:-'1 l ------ -
,1 1 1 L' ¡,~,, , f·
) - --..:. l ('T - ---· d
--------------JI _________ l
A-
Para la cuerda que rodea las poleas
(3L+L') =2 (L ... x) + (L+L'-y)
Entonces
3L+L'=3L+L'+2x - y
y=2x
u esfera sube una longitud y. y la polea des-
ciende x, emonces la separación es
d=x+y"'3X
La polea en 3 s desciende
1 > 1 ,
x = -ac· = - (2)(3)· = 9 m
2 2
.. d=3(9) = 27 m
~ Nota
La esfera de acero está fija a la polea. por
conSigUiente la esfera deSCiende la m•sma long¡tud
que la polea.
••
CapttUlO
4
)
)
Movim ientos de
caída libre
, .....
Alistóteles (38-+JZ.2 a. n. e.l pensaba que at soltar desde
una m1sma altura un objeto pesado y o1ro hv1ano. el peS."l·
do lleg<Jb,, primero a la superfiCie cleb,do a su mayor peso.
Esta forma de pensar predom1nó por dos m1lenios hasta
que Galileo Galilei 11564·1642) hizo un<1 afirmación mSs
acertada: sin la resistencia del a~re todos los objetos caen
con la misma rapidez. Ello se pudo comprobar ;ui os m.is
tarde. cuando Otto von Guericke inventó una máquina
capaz de orig.nar el vacío (medio sin aire). En un medio
sm aire. al soltar una pluma y una esfera de ,Kcro desde
una misma altura. ambas llegan a la vez a la superhcie,
verificándose la ,1firmación ele Galileo. Este hecho permite
establecer que los cuerpos. al ser aiectados úmcamente
por la atracción terreslfe. experimentan la misma acele-
ración, denominada aceleración de 1,1 gravedad (g). Bajo
esa cond1ción, este movim1ento se denomina movimiento
de caída libre. Por ello, cada vez que soltemos Lln cuerpo
o lo lancemos verticalmente (haCia arriba o haoa abajo)
despreciando la resistencia del aire. el resultado final siem-
pre será un movimiento vertiCal de caída libre (MVCL), el
cual es un caso particular del movimiento rectilíneo unifor-
memente vanado (IVIRUV); pero al lanzarlo en iorrna no
vertical. ese cuerpo desaibirá_un movimiento parabólico
de caída libre (MPCL).
------- ---------
Capítulo
~Aovimientos de caí el a libre :
.. ...... ... ... ...... ···· ·· ······. . ... ........... · - ............ ···· ··· ··· ·······
PROBLEMA H.0 1
¿Qué rapide: presenta el anillo en el instante mostrado, si luego de 3 s empieza a cruzar a la esfera
lanzada' {Desprecie la resistencia de! aire) g=lO m/ s2
A)Sm!s
B) 5 m/ s
C) 2 m/ s
D) 10 m/s
E) -! m/ s
R~so lución
Nos piden la rapidez v del anillo.
Note que la esfera a los 2 s comienza a descender.
Separando imaginariamente a la esfera y al anillo
V ! ~ (2) . • •• - - - .. • • •.•• .. • • •• • • . ••
1 • v=O v=O h ~ 3 S (9 y
' 1 S ' '
: : : 75 m
1hhlo 1fll1 ; 2 S l @ ~·~ .
insmmeen -¡3o.mi's)'r·~·¡w mlsj
queel anillo~ d¡' ,
cruzna .. ...... ... . .. . . .. (llQ .. . .. . -- -
la esf!ra ·~w 20 m/s
75 1
Lumbreras Ed1tores
Ecuación vectOrial para (1)
- - 1 - l d1=v\Jr.,.;-gr·
- d¡= (+20)(3) - 5(3)2
Despejamos
d1 =-:-i5 m
_, rl1= 15 m
luego
h~d,=75
-7 /¡=75-1 5=60m
Para (2) (ecuación escalar)
1 1 h = v0t+- gr· 2
60 =v (3) + 5 (3) 2
. . v=S m/s
PROBLEMA N.0 2
En el insranre en que se abandona una canica
se lanza otra, tal como se muestra en la gráfica.
Si cuando están separadas l./2 venicalmeme
por segunda vez presentan la misma rapidez,
determine el recorrido de la canica que se sol·
ró hasta ese insrante. (Desprecie la resistencia
que ofrece el aire).
A) 3/8 L
B) 2/5 L
C) 3/ 4L
D) 7/2L r S:1 v0=0 .
E) 1/ 2 L L
' 1 V
____ ¿
- 1n'
Í7S
Resolución
Gra1kamos el problema. separando imagina.
namenre las camcas.
Para (1)
( v0 + v,)
y = ' 2
-> r=(f)r
También
v, = v{+ gr
'o
v'=gt
Para (2)
vF=v0-gc
v'=v-gt
v'
-7 v=2v'
También del gráfico
L ( 3v ' ) y= 2.' + L--;¡ r
De(!)
( 2v'+v') 3v' x= -2- r = 1 r
(1)
' 3 L
-7 Vt ;: -
4
En (1)
3 v~-L
.. . S
PROBLEMA N.o 3
Un malab,nisra hace una demostración en un
salón y lan:a pelotitas a 1,-l m del p1so, vem-
almenre IMcia arriba con intervalos de 0,5 s. ~i el máximo número de pelotitas que pueden
estar en el aire es 3. determine la mínima altu-
ra del salón para dicha demostración.
(g= 10 m/s1) .
A) 2,1 m
B) 2,05 m
C) 2,35 m
D) 2,65 m
E) 3,15 m
Resolución
Observemos el lanzamiento
H
J
vl ) '1, 3 • v ¡11.• . . . ,IJ...!.,
.. T. . , l . ) Lv 1,._). '-/ ' l.
'f ,. ''1~'' '•u¡•' 1 v 1.4 m ·~ 1' ,
3 pelot.lS en
el aire
Del gráfico
H= 1.4-h
\'
t, = g
~ = (0,5)(10)
v=S m/ s
.-\ltura máxima
,
y·
il = -
2g
Despejamos la altura máxima
(51:
h=-
20
25 fl=-
20
/1= 1,25 m
En (1)
H= 1,4+ 1,25
.. H= 2,65 m
PROBL!'i:MA N.0 4
(!)
Un objeto se lanza venicalmenre hacia arriba
desde el borde de un edificio de 240 m de alrura.
Si luego de 5 s su rapidez se cuadruplica. ¿con
qué rapidez impacta en la base del edifi.:io?
(g= 10 m/s2) •
A) 30 m/s
B) 40 m/s
C) 50 m/s
D). 60 m/s
E) 70 m/s
771
lumbreras Editores
Resolución
Nos ptden la raptde: de
tmpacco ,.,.
Del dato
c,-~ 8=5 s
,,.
_, .. '
,, 1 g= 10 mJs-
' t
v,
Ecuactón vectorial de A -+ 8
Vs =vA +g(rr~s>
--+ (-4~)=(~v)-10(5)
v=IOm/s
Tramo A 'P (ecuación escalu)
vf"=v}'T"2g(d.-~p)
.. v1=70 mis
PROBLEMA N.0 5
Se lanzan las esferas simultáneamente, como se
muestra en el gráfico. (Luego de cuánto tiempo,
a parur del instante señalado, las esferas esta-
rán separadas S m por segunda vez? (Desprecie
la resistencia del aire; considere g= 10 m/s2)
178
:--3m--i
- - · .... : ........... -- .... ·~ B
l . 1
~m
A) 0,2 S
D) 0,8 s
Resolución
jg
r
B) 0,4 s
. 8 rn •s
C) 0,6 S
E) 1 s
Al acercarse. la distancia entre esferas dismi- ¡
nuye; la segunda ve: que están separadas S m
es cuando las esferas se alejan.
Del gráfico
+ Ya =8
_____..
Despejando
_j c(!O = S
.. r-O.S::.
PROBLEMA H. o 6
En el graiico, el eren a panir del mstante mos-
trado intcJa ~u movimiemo reali:ando un
MRUV con -l m/;2• Si dc:sde la parte delanrera
lanzamos vemcalmeme hacta arriba una pelo·
ta. detem1ine la rapidez máxima con que po·
dría ser l.tnzada para qLte caiga sobre e l tren.
(g=IO m/ s1) .
A) 10 m/s
B) 15 m/s
C) 25 m/s
D) -10 m/ s
E) 45 m/s
Resoludón
A mayor rapidez de lanzamiento, más tiempo
debe permanecer en el aire la esfera. Ell!mite
de la rapidez lo da el hecho que debe caer
en e! tren, entonces la máxima rapidez de
lanzamiento debe ser cuando la esfera impacra
en la pane posterior del tren.
Pua ello el rren debe recorrer SO m en un
uempo igual a
1 ' d= "ve --.1: ·
2
e=; s
El uempo de subida de la esfera es
Entonces la rapidez máxima de lanzanuenro es
o
vF = vo- gciub
_, Ynux(l>n:) =grsub
v.,, ... (l.ln: .) = (lO) (2,5)
.. Ym.i.;.(b=} =25 m/s
PROBLEMA H.0 7
Del borde de un pozo de !25 m de profun-
didad, un niño suelta piedras a razón de una
piedra por segundo. En el instante en que
suelta la primera piedra, una persona ubicada
en el fondo del pozo lanu venicaJmence hacia
arriba un obJem con una rapide: de 50 m/s
Determine el número de piedras que solro el
niño hasta el instante en que el objeto se cruza
con la segunda piedra. (g= lO m/s2)
A) 2
D) 5
B) 3 C)4
E) 6
79
lumbreras Ed1rores
Resolución
Esrud1amos el encuenrro emre el objeto \ la
segunda piedra. Hay gue tener en cuema que
el ObJeto le lleva de venraja 1 s a la segunda
piedra.
hp+h0 = 125
_, I g(r - 1)2 +[SOr-± gr1] = 125
S(r-1) 2+50r- Sc1= 125
Resolvemos t=3 s
Para el joven que suelta las piedras han pasado
también 3 s
U 4.l
1 S C~)
3.• u
1 s(." 0 soleó 4 piedras
V 2.~
1 s(,..
l.. t-1
PROBLEMA H.0 8
Una copa de vidrio es soltada desde cierra altu-
ra respecto del piso y luego de 4,25 s se escu-
cha el sonido del impacto. (Con qué rapidez se
!80
debe lan: ar. verticalmeme haci<1 aba¡o ia coPa
pau que el riemFO en que se es.:ucha el sonido
sea 1 segundos menos'
(Considere .!í = IJ m 51, ~ 1= 310 m/5)
A) 10 m/ s B) 18 mls C) 21 m/s
D) 1-! m's
Resolución
En el pnmer caso
Por condición
r+r'=4,25 s
H = v,c· =320r' = 2.gc2 =5c2
2
En (1)
? ¡ -
t+- = 4 25
6 ' • .,.
-4 r=4 s
E 30 m's
(1)
Observamos que t' no se modifica, solo cambia t
Luego
Entonces
;,:~undo aso
H=5r== \'(!-2) - S(r-2)~
sc-n2=d2) +5(2)1
v:=30 m s
pROBLEMA H.o 9
Una c>íer,l fue sol rada desde cierra altura y en
el sépcimo segundo de su caída recorre 11:3 de
su recorrido rora!. iQué rapidez presenta en el
insranre que golpea el piso? (g= 10 m/sl)
A) 100 m/s B) 110 mis C) 130 m/ s
D} 150 m/s E) 160 mis
Resolución
Graficamos el problema
v=O
.....
:· ,(Ó:.y· .... ·,, -
¡_o{~---------~~ 3 H
"=:· .......... 1 ... . !.. 1
A
vFj ~--· ············· ··-· · ···- - -
Del gráfico
hli,l - /;&,!
----.~ ______.
H
13
!gl711 .!.g(611
l l
4 5(7>1 - 5(6)1 =!:!.
13
H=845 m
Luego
o
vi= v5 ..-2gH
.. v_r= 130 mis
PROBLEMA N.0 1 O
Un cohete despega desde la superficie :errestre
.:on una aceleración constante de lO m/s2
Después de 10 s se agota el combustible y
el cohere se sigue elevando en caída libre.
Determine el tiempo que transcurre desde que
se acaba el combustible hasta que impacta en
la superficie. (g= 10 m/s2)
A) 12,4 s
D) 20s
Resolución
Graneamos
B} 10 s C) 16,2 s
E) 24,1 s
e·}
. .
: .
. V~>~r=O l¡ \ . l ~~ g •\
l \ -.\
100 m/sl :\s 1-;
/.:
-~~~
lOs ( ¡
Bll
Lumbreras Edrtores
En 8 se acaba el combustible.
Nos piden t 1 .,-r~=?
DeAB (MRUV)
va=v .. , +t~8 _, v8 = 1 0(10)
v8 = 100 m/s
HaUamos la distancia de .4 hacia B
d ( V~ + Vg) ~B = - ·-2- t.~B
_,. dAa=(0+;oo }lol
d.4 8 =SOO m
Tramo de BC (MVCL)
Yc =v8 - gt ¡ -4 0=(100) - lOr¡
1¡ = 10 S
Hallamos la distancia de 8 hacia C
d8c =CO~+O )o o> -4 d8c=SOO m
Tramo de CA'
o 1 l ' de.-~· = v,c, +-gt; -4 lOOO= St-
~~-~ -2-
d_.¡s+dsc
t2 = 14,14 S
Luego
c'=t¡ +tl
t'=(10)+(14,14)
.. t'=24,14 S
PROBLEMA N.0 11
Una piedra fue lanzada vercicalmeme hacia
arriba, luego de cieno tiempo pasa frente a
una vencana de 2 m de altura que se encuenrra
a 4 m de la trayectoria de la piedra.
~ 82
Si una persona al ouo lado en el cemro de la
ven~ na (a l m de discanda) ve a la piedra du.
rame l s. ¿que tiempo transcurre has ca que ¡~
persona vuelve a ver la piedra? (g= lO m/ s2).
A) 0,5 S
D) 2 s
Resolución
B) 1 s
Graficamos el problema
C) 1,5 s
E) 3 s
De A a B la piedra pierde lO m/s
~ v8 = (v-10)
Para que vuelva a ver la piedra debe transcurrir
t ro< al= 2 e' (1)
, (v- 10) (v-lO)
1\ t =--=-- (!!) g 10
TraJTlO d.: A B
l' \ '1"1'¡:: ) d = ~ r,s A8 1
V'"' !5 lll 5
(
15-10) -En(ll):r'= lO =O,:> s
En(!)
twul= 2(0.5)
.. e tot.,r= 1 $
PROBLEMA H. o 12
En un planeta se lanza verticalmente hacia
arriba un:~ piedra, de cal manera que en el ter-
cer y cuMtO segundo recorre 21 m y 1 S m, res-
pectiv.lmenre. éCon qué rapidez fue lanzado?
A) 12 m/s B) 18 m/s C) 20 m/s
D) 28 m/s E) 36 m/s
R~solución
De la información se deduce que en cada segun-
do recorre 6 m menos, por consiguiente, la ace·
leración de gravedad del planeta es g_,=6 m/s2•
(.~- -r·--4,) , 15m
.
5 (~--t ............ T
3.er S : 21 m 1
1
,~ .. 1 .. 1 ..... 1 o ~~/ 1(3 $)
' o\ ''1~1'' h (l s) l
i?-.... 1 ........ ..
'l¡i'
/1(3 s) -/1(2 s) = 21
Entonces
Reemplazando valores, cenemO$
v0 (3) - 3 (3)2 - •;0 (2) ... 3 (2) ~ = 21
.. :•0=36 m/s
PROBLEMA H.0 13
Se tiene un tubo en posición vercical que va a
ser soltado desde cierta altura, y en ese mis-
mo instante una pequeña esfera es lanzada tal
como se muestra. Si luego de 0,6 s del lanz.l·
miento este logra atravesar completamente el
rubo. determine la longitud del rubo. La esfe·
ra permanece dentro del rubo duranre O, l s.
(g= 10 m/s2)
v=O
A) 1,6 m
B) 0,4 m
C) 0,5 m
D) 0,8 m
E) 1m
83 )
lumbreras [d,tores
Resolución
Graficamos el problema
Del gráfico
L=d1+d1
Para la esfera
También
10 m/s .b.
''IW'
-+ 4=v' -{lO)(O.I)
.. v'=S m/ s
En (11)
d2 =(5 ; 4 }o.1)
184
{l)
(11)
Para el tubo
d, =(v12-r6 )o.1)
También
6= v2~ 10(0.1) -+ v1=5 m/s
Hallamos la distancia
d. =(5+6X_!_J 1 2 10
-+ d1=0,55 m
En (I)
L= (0,55) +(0,45)
.. L=1 m
A dos .:ar tea; se les. abando~ a stmu!tá.nea-
nte sobre las hoqutllas de oos tubos ll,;os.
me 1 ·- E .
131
como ;e muestra en e graneo. ' n que
lacion e>tJn los nempos que emplean las
;:nic:Js en re.:orrer la lon:;itud de los tubos'
(.-tB: éljme•¡·o)
8
A) 0.5 B)
O) 2
Resolución
Graficamos el problema
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