Anualidades

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Tercer trabajo en grupo
Nayelis Hernández Contreras
Cód. 1025020 Matemáticas Financieras
Tutor: Carlos Doria Sierra
Administración en Finanzas y Negocios Internacionales
Facultad de Ciencias Jurídicas, Económicas y Administrativas, Universidad de Córdoba
11 de nov. de 22
Introducción
Las matemáticas financieras contienen conceptos claves para comprender el funcionamiento de los instrumentos financieros que están al alcance de inversionistas, consumidores, estudiantes universitarios capacitados y personas naturales que deseen usarlos en este contexto. Algunos conceptos relacionados y necesarios son las anualidades y los gradientes escalonados. A continuación, se presenta una descripción teórica simple que estudia las anualidades en sus presentaciones, junto con una comprensión más detallada bajo el apoyo de formulas y cálculos, dirigiendo a una comprensión sencilla y eficaz. Además, describe el gradiente escalonado que es otro concepto necesario dentro del funcionamiento de la tasa de interés y los elementos financieros ya mencionados.
Objetivos
Objetivo general
Describir los conceptos y aplicaciones de las anualidades anticipadas, vencidas, diferidas y con cuotas extraordinarias. 
Objetivos específicos
· Definir qué es el gradiente escalonado.
· Representar ejemplos prácticos sobre las distintas formas de las anualidades.
· Calcular con uso de las fórmulas correspondientes, casos hipotéticos sobre las anualidades.
1. Cálculo del tiempo y tasa de interés en anualidades vencidas
Cálculo del tiempo en anualidades vencidas
Un término de anualidad es un pago, liquidación o préstamo frecuente de cada periodo de pago acordado al final del periodo de pago y puede ser al final del mes, al final del trimestre o al final del semestre. El monto de amortización del pasivo puede determinarse con base en el valor de la renta vitalicia del presente o el futuro.
Formulas
 
Ejemplo
Se pide ahorrar $22.900, para recaudar esa cantidad se decide depositar en bono convertible en un fondo mutuo trimestral con un rendimiento anual del 32%. Se paga $500 por trimestre.
Tasa de interés en anualidades vencidas
Fórmula
Ejemplo
Use la fórmula de Bailey para calcular la tasa a la que se cobra una anualidad de 500 u.m. 10 veces al final de cada mes, de modo que el valor presente de la contribución sea de 3000 u.m.
2. Anualidades anticipadas
Son aquellos retiros, depósitos o pagos realizados a intervalos regulares, como: mensuales, trimestrales, semestrales o anuales. En pocas palabras una anualidad es una cantidad fija de ingresos o gastos que ocurren regularmente y no preciso anualmente. Sin embargo, es importante que el periodo de tiempo que separa un ingreso de otro siempre sea el mismo. En este caso, el pago se efectúa al inicio del plazo, como el pago de una renta mensual, porque primero se ocupa y luego se usa el local.
El cálculo del valor presente de una anualidad anticipada, se hace basándose en la notación estándar que es P = A (1 + (P/A, i, n –1), donde el paréntesis (P/A, i, n –1), es la notación estándar para el cálculo del valor presente de una anualidad vencida la que se incluye es para un n-1.
Ejemplo
Se alquila una casa en $50.000 pagaderos por mes anticipado. Sí al momento de recibir el arriendo, se invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año? 
Solución
X= 50.000¨S 12¬2% (1.02)
X= 684.016.58
3. Anualidades diferidas
Es un contrato que garantiza ingresos a largo plazo. Una renta vitalicia diferida se diferencia de una renta vitalicia inmediata, en que los pagos de ingresos se retrasan hasta la fecha especificada en el contrato. Los ingresos por primas crecen con impuestos diferidos hasta que se retiran los fondos.
Formula
VP = VPn / (1 + i)n
Aquí VP es el Valor presente, VPn es el Valor en el Periodo n, i es la tasa de interés periódica vencida y n es el número de periodos. 
En resumen, calcular el valor amortizado de una anualidad diferida, requiere: usar la formula del valor presente de la anualidad, y convertir el valor encontrado en un valor presente a través de VP = VPn / (1 + i)
Ejemplo
Un restaurante de comida rápida quiere comprar un nuevo horno con el cual podrán incrementar su producción. La compañía de hornos le ofrece pagar a crédito el horno, serán 20 pagos trimestrales de $3.000 USD iniciando dentro de un año. Si la tasa de interés es del 3% trimestral, ¿Cuál es el valor al contado del horno? En este caso el flujo de caja sería el siguiente: Obtenida de: Finnse.com
VP = A (((1 + i)n – 1) / (i(1 + i)n))
VP = 3.000 (((1 + 0,03)20 – 1) / (0,03(1 + 0,03)20)) = 44.632,42
VP = VPn / (1 + i)n
VP = 44.632,42 / (1 + 0,03)3 = 40.844,99
Esto quiere decir que el valor de contado del horno es de $40.844,99 dólares.
4. Anualidades con cuotas extraordinarias
Serie de ingresos o pagos realizados a intervalos regulares, ya sea anual, mensual, trimestral o semestral. Lo importante en este sentido, es que el periodo que separa un ingreso del otro no cambie.
Debe contar con los siguientes elementos:
Rentas: Es el monto depositado, retirado o pagado periódicamente.
Período de pago de renta: Es el tiempo que ha sido establecido entre una renta y la siguiente.
Plazo de la anualidad: Es el período que transcurre entre la primera renta y la última.
Ejemplo 
Se pide calcular el valor de un activo que financiado se puede adquirir así: cuota inicial 
equivalente al 20% del valor de contado y 24 cuotas mensuales de $800.000. Más una cuota extraordinaria de S 2 .000.000 pagadera en el mes 6 La tasa de interés cobrada por la financiación es del 30% capitalizable mensualmente. 
X= 0.2X+ 800.000(1-(1+0.025)-24/ 0.025) + 2.000.000(1+0.025)-6
X- 0.2X= 14.307.988,67 + 1.724.593,732
X= 16.032.582,4 / 0.8 X= 20.040.728
5. Gradiente escalonado
Tipo de gradiente donde sus tarifas son constantes, normalmente durante un año y luego aumentan el porcentaje.	
Puede ser lineal o geométrico, dependiendo si el incremento cíclico es en dólares o en porcentajes. Se genera un gradiente escalonado lineal suponiendo que los pagos iguales escalonados en cada periodo son una cantidad fija en dólares. De esta forma se dan gradientes geométricos escalonados, aumentando en un porcentaje constante.
Se tiene:
P=valor inicial de la obligación
 i =tasa de interés periódica
n =número de cuotas mensuales al año
TEA = tasa efectiva anual equivalente a la tasa de interés periódica
J= tasa de incremento de las cuotas cada año
E= plazo, en años, # de la obligación
A1 = valor de las cuotas mensuales del primer periodo
Formula
P = A1 ((1+i)n -1 / i)) ((1 + TEA) E -(1+J) / (1 + TEA) E (TEA -J))
Ejemplo
Mariana tiene obligación hipotecaria de S 60.000 000 ella va a cancelar por medio de 24 cuotas mensuales, que aumentan cada ano en un 20%. Si la tasa de interés que se cobra es del 3% mensual calcule el valor de las cuotas del primer año.
El flujo de caja del ejercicio:
P= S 60.000. .O00 E = 2 años n = 12 J =20% anual
i = 3% mensual A1=?
Primero se debe calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa efectiva del 3% mensual Para tal efecto
TEA= (1 + TEM)n- 1
TEA = (1 + 0.03)12- 1
TEA = 42. 58% anual
60. 000.000 = A1 ((1+0.03)12 – 1 / 0.03)) ((1+0.4258)2 – (1+0.20) / (1+ 0.4258)2 (0.4258- 0.20))
A1 = 3.272992.13
Cálculo del valor de las cuotas para el año siguiente, aplicando la expresión:
 Cn =A1(1 +J)n-1
De acuerdo con el resultado obtenido, el valor de las cuotas mensuales del primer año es de
$3.272.992 13 Como cada año estas aumentan en un 20%, el valor de las cuotas anuales
Conforman un gradiente geométrico creciente Se calcula, entonces, el valor de las cuotas para el año siguiente.
Valor de las cuotas segundo año = 3.272.992.13 (1.20)1 = $ 3.927 590.5
Referencias
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