dENSIFICACION

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SISTEMA DE 
COORDENADAS 
SISTEMA DE COORDENADAS 
ORTOGONALES 
PLANIMÉTRICAS
 Existen tres tipos de direcciones de norte:
➢ Norte MagnéticoNorte Magnético 
Es la dirección definida por el punto de observación y 
el Polo Norte geográfico
El norte magnético no es 
fijo se desplaza y cambia 
su posición anualmente
➢ Norte Geográfico o verdaderoNorte Geográfico o verdadero
Es la dirección definida por el punto de observación y 
el Polo Norte Magnético
➢ Norte de cuadrícula o arbitrarioNorte de cuadrícula o arbitrario
Es la dirección definida por una referencia arbitraria
 Coordenadas polares 
Acimut, distancia
Coordenadas polares
Acimut de un lado P1P2 al ángulo que gira con 
vértice en P1 una paralela al semieje positivo de las 
X en sentido horario, hasta superponerse con dicho 
lado P1P2.
ACIMUT de lado P1P2, difiere de 180º del acimut del lado 
P2P1, razón por la cual es de sumamente importante el orden 
de mención de los vértices del lado
El acimut se lo simboliza , generalmente:
A (P1→P2) o Ac P1P2 o (P1→P2): Acimut del lado P1P2 
Pasaje de coordenadas Pasaje de coordenadas 
rectangulares a polaresrectangulares a polares
(T 1→T 2)=arctg( ΔYΔX )
(T 1→T 2)=arctg ( YT2-YT1XT2-XT1 )
DistT1T2=√(xT 2−xT 1)2+( yT 2− yT 1)2
SISTEMA DE 
COORDENADAS
MATEMÁTICA
SISTEMA DE 
COORDENADAS
TOPOGRÁFICAS
II
IV
Tg A>0
T1T2=A
Tg A<0
T1T2=A+180
Tg A>0
T1T2=A+180
Tg A<0
T1T2=A+360°
Cálculo de acimut
Ejemplo 3
(T 1→T 2)=arctg( ΔYΔX )
Δ X=10 ΔY=20
(T 1→T 2)=A+180 °=243°26 ' 6 ' '
A=arctg(ΔYΔX )=63 °26 ' 6 ' '
(T 1→T 2)=63 °26 ' 6 ' '
Ejemplo 1
Δ X=−10 ΔY=−20
Ejemplo 2
Δ X=−10 ΔY=20
A=arctg(ΔYΔX )=−63° 26 ' 6 ' '
(T 1→T 2)=A+180 °=116 °33 ' 54 ' '
 El rumbo de una línea es el ángulo horizontal que dicha línea forma 
con el eje x positivo o negativo
 El rumbo de una línea se indica por el cuadrante en el que se 
encuentra y por el ángulo agudo que la línea hace con el meridiano 
en ese cuadrante.
RUMBO DE UN LADORUMBO DE UN LADO
Pasaje de coordenadas polares a 
rectangulares
∆XT1T21=T1T2 . cos (T 1→T 2) ∆YT1T2=T1T2 .sen (T 1→T 2)
LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS
Densificación de puntos a partir de puntos fijos
LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS
Cuando se prepara un levantamiento topográfico, la regla fundamental es 
proceder de lo general a lo particular. 
Los diferentes tipos de levantamientos topográficos requieren precisiones 
diversas, pero es importante determinar con la mayor precisión posible los 
primeros puntos de cada levantamiento. Los trabajos sucesivos se ajustan en 
relación a dichos primeros puntos.
Puntos primarios
Puntos secundarios
 La primera etapa para la 
densificación de puntos
● Recopilación de información sobre las 
características topográficas, climáticas, 
construcciones civiles, datos hidrológicos. 
● Recopilación cartografía existente, escritura y 
antecedentes pertinentes a la actividad a 
desarrollar. 
● Puntos referenciales con sus 
coordenadas(planimétricas y altimétrica) y 
ubicación de los mismos.
● Análisis de la metodología a desarrollar e 
instrumental a utilizar según la precisión 
requerida.
En el lugar de medición 
● Realizar un meticuloso reconocimiento de la 
zona de trabajo. 
● Se selecciona los vértices pre-existentes 
que tengan coordenadas en el sistema de 
referencia en el que se realice el trabajo. 
● Se analiza la viabilidad de la metodología 
elegida y la ubicación definitiva de los 
puntos a densificar. 
● Se realiza sus materializaciones amojonándolos y 
señalizándolos. 
 La materialización puede realizarse con señales sobre la roca, clavos 
de acero, hitos o pilares hormigonados o mediante barras de acero
corrugadas, clavadas en el terreno y consolidadas en la base con 
cemento u hormigón
● Se confecciona las 
monografías de los 
mismos
Se realiza las mediciones según la 
metodología planimétrica y/o altimétrica 
programada.
Métodos planimétricos
Son los métodos que permiten 
obtener las coordenadas de un 
punto a partir de las coordenadas 
conocidas de otros puntos 
mediante la medición de 
distancias o ángulos.
Los métodos planimétricos pueden 
clasificarse en grandes grupos:
A. TRIANGULACIÓN
B. TRILATERACIÓN
C. POLIGONACIÓN
D. RADIACIÓN
E. GEOPOSICIONAMIENTO 
SATELITAL
F. FOTOGRAMÉTRICO
La metodología y el instrumental 
a utilizar para la determinación de la 
posición de los puntos del terreno 
depende de la precisión requerida 
según la finalidad técnica del plano 
topográfico y la escala a 
desempeñar.
Triángulación 
• Intersección directa
• Intersección lateral 
• Intersección inversa o 
Pothenot 
Intersección directa
EJEMPLO
Paso a seguir: 
 * Se determina la distancia T1-T2
 
 * Se define el azimut de T1 → T2 
 * Se calcula el acimut (T1P). 
 * Utilizando el Teorema del seno se obtiene la distancia T1-P 
 * Se calcula las proyecciones XT1P y YT1P 
 *Se obtiene las coordenadas X e Y del punto P 
Control en el cálculo de las coordenadas de P
Intersección lateral
Datos: 
XT1,YT1, 
XT2, YT2
Mediciones:
  y . 
Incógnitas:
 XP, YP
Intersección inversa o Pothenot
Datos: 
XA,YA, 
XB,YB, 
XC,YC
Mediciones: 
 y . 
Incógnitas: 
XP, YP
Intersección inversa o Pothenot
Trilateración 
Datos: 
XT1, YT1, 
XT2, YT2
Mediciones: 
lados T1P y T2P 
Incógnitas: XP, YP
Datos: XT1=2000 YT1=1500
 XT2=1500 YT2=3200
Incógnitas: XP y YP ubicado a la izquierda yendo de T1 a T2
Mediciones:lado T1P= 1232,765m
 lado T2P= 1543,140m
Pasos a seguir: 
 *Se determina la distancia T1-T2 
 *Se define el azimut de T1 → T2
 *Utilizando el Teorema del coseno se calcula el ángulo con 
vértice en T1 
 *Se calcula el azimut T1→P 
 * Se calcula las proyecciones XT1P y YT1P 
 *Se obtiene las coordenadas X e Y del punto P 
 Control en el cálculo de las coordenadas de P
Puntos primarios
Puntos secundarios
Levantamientos topográficos
Radiación
Método complementario 
de otro método de 
densificación.
Método topográfico para hacer relevamientos Planialtimétricos
Es un método rápido y menos preciso que la Poligonal.
Consiste en determinar la posición de los puntos del terreno en 
X en Y y la Cota
Para ello se debe medir direcciones horizontales, ángulos 
verticales y distancias
Los puntos a levantar se eligen de manera tal sean vértices de una 
superficie poliédrica irregular que se adapte al terreno. Las 
discrepancias entre el modelo levantado del terreno y el terreno, 
deben permanecer por debajo de los
límites determinados planimétricamente por la escala y 
altimétricamente por la equidistancia. Teniendo presente siempre la 
finalidad del levantamiento
El topógrafo debe determinar en el terreno la ubicación 
planialtimétricas de un número de puntos que le permitan representar 
lo más fielmente posible el mismo mediante el trazado de las curvas 
de nivel por el método de interpolación lineal.
De lo expresado, surge la importancia de la elección de los puntos en 
el terreno, ya que con un número limitado de éstos, debe 
representarse una superficie irregular.
No pueden establecerse funciones matemáticas para la determinación 
del mínimo número de puntos a levantar que representen lo más 
fielmente posible el terreno, debido a que dicho número depende de 
diversos factores entre los que citamos las características 
morfológicas del terreno y la finalidad para la que se efectúa el 
levantamiento.
 Cuando se elige el emplazamiento de 
la estación de observación, se debe 
tener cuidado y no seleccionar puntos 
que obliguen a definir ángulos de 
radiación muy pequeños (menos de 15 
grados).
Radiación
Instrumentos
*Teodolito y miras
Instrumentos
* Estación total (lo veremos en otra 
unidad)
-Se hace estación en un punto de coordenadas conocidas. Los valores X,Y y 
cota del punto estación se pudo determinar con otro métodos anteriormente visto
 
- Se vincula el Punto Estación cuyas coordenadas se conocen a 1 puntos de 
coordenadasconocidas o a un Norte. 
-Medir:
● Altura del instrumento
● Direcciones horizontales a cada punto
● Angulo vertical a cada punto
● Altura de la señal( mira Hm o altura del 
prisma)
● Distancia estación-punto(con el método 
estadimétrico con la lectura del hilo 
superior e inferior o con el método 
electrónico)
Con teodolito y mira
D= (hs-hi).100 cos2 h
𝞓H= D tang h + h inst –hilo medio
Con instrumento electrónico
D= D inclinada cos h
𝞓H= D tang h +h inst –h señal (alt del prima)
Se realizó una radiación con un teodolito zenital de altura 
1,39m haciendo estación en un punto E de coordenadas 
XE: 1234,45m, YE: 2123,20m y cota 5,23m . 
Acimut E→A es 23°24’32’’
PE PC Ángulo
Hilos estadimétricos
Horizontal Vertical Inferior Medio Superior
E A 30°43’32’’ 93°34’32´´ 144 235 326
B 45°53’26’’ 94°32´53´´ 1154 1212 1270
C 67°47´13´´ 87°34’36’’ 1181 1218 1255
D 109°56’27’’ 88°41’53’’ 1234 1374 1390
	Diapositiva 1
	Coordenadas ortogonales
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4
	Coordenadas polares
	Diapositiva 6
	Diapositiva 7
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9
	Diapositiva 10
	Diapositiva 11
	Diapositiva 12
	Diapositiva 13
	Diapositiva 14
	Diapositiva 15
	Diapositiva 16
	Diapositiva 17
	Diapositiva 18
	Diapositiva 19
	Diapositiva 20
	Diapositiva 21
	Triángulación
	Intersección directa
	EJEMPLO
	Intersección lateral
	Diapositiva 26
	Intersección inversa o Pothenot
	Trilateración
	Diapositiva 29
	Diapositiva 30
	Radiación
	Diapositiva 32
	Diapositiva 33
	Diapositiva 34
	Diapositiva 35
	Diapositiva 36
	Diapositiva 37
	Diapositiva 38