Medición de ángulos (2)

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TOPOGRAFÍA Y GEODESIA
TEODOLITO
ÁNGULOS HORIZONTALES Y VERTICALES
Agrim Virginia Arcuri Carou
INTRODUCCIÓN
La realización de un levantamiento topográfico planialtimétrico necesita una serie de
mediciones angulares tanto horizontales como verticales. El teodolito es un instrumento
topográfico de alta precisión construido para tal fin.
En esta unidad se describe las partes de dicho goniómetro, el uso del instrumental, los
errores provenientes de la limitación constructiva del aparato y limitaciones de origen
humano, el conocimiento de las técnicas de medición y cálculo sin la influencia de
errores sistemáticos.
A partir de mediciones de ángulos verticales se detalla la metodología de la
determinación del desnivel de dos puntos utilizando relaciones trigonométricas como así
también en caso de puntos es inaccesible.
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TEODOLITO
El teodolito es un goniómetro de precisión Éste instrumento óptico mecánico es
utilizado para medir ángulos verticales y horizontales. 
 El teodolito mide las proyecciones de dirección desde un punto llamado
punto estación hacia dos o más puntos. 
El ángulo horizontal surge como diferencia de dichas proyecciones.
Es decir, el ángulo horizontal entre dos puntos(A y B) es el valor de
la sección normal del diedro determinado por los dos planos que
contengan a la vertical del punto estación y pasen respectivamente
por los puntos A y B.
 El teodolito mide el ángulo de la visual del punto al horizonte o al zenit o al
nadir.
En forma indirecta se puede determinar, con los accesorios necesarios, diferencias de
elevación, alineamientos (prolongación de líneas rectas) y distancias.
Partes principales de un teodolito automático:
 la base nivelante: es el soporte del teodolito formado por:
-base nivelante: es una placa con un orificio en el centro donde se ajusta al
trípode, mediante un tornillo ad hoc. 
- nivel esférico: permite horizontalizar la base del trípode. El centrado de la
burbuja se realiza mediante el alargamiento o acortamiento de las patas
telescópicas del trípode.
 - tornillos calantes: generalmente 3, necesarios para horizontalizar el instrumento
- el limbo horizontal o azimutal: es un disco graduado dividido de 0 a 360
grados sexagesimales, o de 0 a 400 grados centesimales en sentido horario. 
Está compuesto por una placa o corona circulares graduadas generalmente de
bronce, acero, u otros metales, en la actualidad, fueron reemplazadas por vidrio
donde se los graba con procedimientos fotográficos obteniéndose mayor
precisión que con los métodos mecánicos.
 La alidada: es el elemento superior y giratorio del instrumento alrededor de la
vertical del lugar. Está conformada por 
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- Plomada óptica Es un dispositivo que garantizar ubicar al eje de rotación en
el punto estación. Está formado por un sistema de espejos primaticos y un
ocular donde se proyecta la imagen del suelo. Tradicionalmente este elemento
era una cuerda y una pesa de acero o plomo, si bien es algo sencillo su
utilización es incómoda y poco precisa en los días de viento. También existe en
la actualidad teodolitos con plomada laser 
- Nivel tubular: Permite verticalizar el instrumento mediante los tornillos
calantes. El procedimiento se denomina “calaje”
- Tornillo de grandes y pequeños movimientos horizontales: la función del
primero es fijar o liberar el movimiento horizontal de la alidada del limbo
horizontal y del segundo permite el desplazamiento fino de la parte superior del
teodolito.
- Limbo vertical: disco graduado en forma similar al acimutal. El limbo gira
solidariamente con el anteojo astronómico
- Tornillo de grandes y pequeños movimientos verticales: el primero libera o
fija el anteojo astronómico y el segundo permite movimientos pequeños del
mismo. 
- Pantalla: lugar donde se realiza las lecturas de la dirección acimutal y el
ángulo vertical 
 Anteojo astronómico: Es la parte del telescopio por medio de la cual se
visualiza desde la estación, los puntos a ser observados para su medición
Consta de las siguientes partes:
- ocular: lente por medio del cual el operario recibe la imagen del punto
observado. 
- objetivo, lente convergente colocada en el otro extremo del anteojo que
enfrenta al punto visado
- retículo: lámina de cristal ubicada dentro del anteojo, sobre la cual está
grabada un trazo vertical y uno horizontal, la intersección de ambos representa el
centro del retículo. Equidistante a él existen otras dos marcas horizontales
paralelas, más pequeñas, llamadas marcas o hilos estadimétricos
- Anillo o tornillo de enfoque: su función es aclarar la imagen del punto
observado mediante el acercamiento o alejamiento de la visual.
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La línea determinada desde el punto de intersección de los hilos de la retícula y el
centro óptico del sistema de lentes es la línea de visual llamada también línea de
colimación
Ejes principales del teodolito
Anteojo astronómico
Objetivo
Ocular
Retículo
Retículo
estadimétrico
• Eje principal: Eje alrededor del cual gira la alidada y debe coincidir con 
la vertical del lugar (dirección determinada por la plomada)
• Eje secundario: Eje alrededor del cual bascula el anteojo astronómico. 
Su construcción debe ser perpendicular al eje principal
• Eje de colimación: Eje determinado por el centro del retículo y el foco 
del sitema óptico del anteojo astronomico. El mismo es perpendicular al eje 
secundario.
Puesta en estación del teodolito
Poner en estación el teodolito implica que el eje principal del instrumento
coincidente con la línea de plomada pase exactamente sobre el punto estación.
Los pasos a seguir son:
 Aflojar los tornillos de las patas del trípode y extenderlas hasta la altura
necesaria según la altura visual del operador y ajustar los tornillos
Conviene ubicar la plataforma del trípode aproximadamente horizontal 
 Ubicar el trípode sobre el punto de estación tratando de que la base
donde apoya el teodolito quede lo mas horizontal posible y los tornillos
calantes a la mitad de su recorrido. 
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 Colocar el teodolito sobre la base del trípode y ajustar ligeramente el
tornillo de fijación correspondiente. 
 Con la ayuda de la plomada física o o láser u óptica, bascular el trípode
sobre una de sus patas de manera tal que el eje principal del teodolito
pase por el punto estación. 
 Cuando el punto este localizado, apoyar las otras dos patas sobre el
terreno e hincar las tres.
 Centrar la burbuja del nivel esférico acortando o alargando las patas
telescópicas del trípode procurando que la dirección de la vertical
indicada por la plomada siga apuntando al punto estación. Si no sucede
y el desplazamiento es pequeño, aflojar el tornillo de fijación del
teodolito con el trípode y desplazar ligeramente el aparato sobre la
plataforma nivelante hasta central el punto, luego volver a ajustar el
tornillo
 Realizar el calaje del teodolito centrando la burbuja tubular con los
tornillos calantes para verticalizar el eje principal del instrumento.
 Verificar si el eje principal verticalizado pasa por el punto estación. 
Calaje del teodolito
Este procedimiento se divide en dos 
Calaje aproximado:
 Se ubica el nivel tubular paralelo a dos tornillos calantes (cualesquiera), y se 
centra la burbuja girándolos en sentido contrario (rotando los dos tornillos hacia 
adentro o hacia afuera). La burbuja se desplazara según el sentido indicado por 
el dedo índice de la mano derecha.
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 Se gira la alidada 90º hasta que el nivel quede en la dirección del tercer
tornillocalante. Con el tercer tornillo calante se centra nuevamente la
burbuja.
Calaje fino: 
 Se ubica nuevamente el nivel tubular en la dirección de dos tornillos calantes
(cualesquiera), y se centra la burbuja
 Se gira la alidada 180º, la burbuja sigue centrada, está nivelado. Si la burbuja no
está en el medio entonces se corrige la mitad del desplazamiento de la burbuja 
con los dos tornillos calantes (Principio fundamental del nivel) y ese será el 
punto de centrado del nivel descorregido. 
Principio fundamental del nivel: Si se apoya un nivel sobre una recta y luego 
se invierten sus apoyos, el desplazamiento de la burbuja es igual al doble del 
ángulo que dicha recta de apoyo forma con la horizontal. 
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 Se gira 90º nuevamente y con el tercer tornillo se lleva la burbuja a la misma 
posición en que había quedado anteriormente.
 Luego para cualquier posición de la alidada la burbuja estará en la misma 
posición. En este caso el teodolito está nivelado pero la burbuja no 
necesariamente centrada debido a que el eje del nivel no es perpendicular a la 
vertical.
Proceso de colimación de un punto:
Un punto está colimado cuando prolongación del eje de colimación pase por dicho
punto. El proceso para lograrlo es:
 Se enfoca el retículo para que éste se vea nítidamente.
 Se libera los tornillos de grandes movimientos horizontales y verticales de la 
alidada y del anteojo.
 Se busca el punto hasta que aparezca en el campo del anteojo.
 Se fijan los tornillos de grandes movimientos (horizontal y vertical).
 Se enfoca el objetivo para objener una imagen nítida.
 Con los tornillos de pequeños movimientos horizontales y verticales se desplaza 
el anteojo hasta que la imagen del punto coincida con el retículo.
.
Errores sistemáticos del teodolito 
 
 El eje principal alrededor del cual gira la alidada debe coincidir con la vertical si
no ocurre existe un error de verticalidad
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 El eje secundario alrededor de donde bascula el anteojo debe ser perpendicular 
al eje principal en caso contrario existe un error llamado error de inclinación del 
eje secundario
i’ = i tg h
Siendo:
 i el error de inclinación del eje secundario
h el ángulo vertical con respecto al horizonte
i’ la influencia del error de inclinación del eje secundario que depende de h
 El eje de colimación determinado por el centro del retículo y el centro óptico del
objetivo del anteojo astronómico debe ser perpendicular al eje secundario sino 
hay un error de colimación
c’ = c sec h
Siendo:
 c el error de colimación
h el ángulo vertical con respecto al horizonte
c’ la influencia del error de colimación que depende de h
 El eje principal debe pasar por el centro del limbo. Esta falta de coincidencia se
llama error de excentricidad
 Graduación imperfecta del limbo determina un error de graduación
 En ángulos verticales, el movimiento del anteojo astronómico es acompañado
solidariamente por el limbo vertical y sobre él se efectúa las lecturas
correspondientes mediante un índice. si no ocupa la posición correcta
admitiendo la perfecta verticalidad del eje principal estamos en presencia del
error de índice
Estos errores se puede corregir en el instrumento o se puede compensar su influencia
con algún método de trabajo. Salvo el error de verticalidad
Determinación del error de colimación
Para determinar el error de colimación se bisecta un punto ubicado aproximadamente
en el horizonte h=0 para que la influencia de los otros errores axiales sean nulos.
* Se realiza la lectura, por convensión, con el limbo vertical a la izquierda con respecto
al anteojo astronómico para el operador (CI, circulo izquierda). 
* Se gira 180° la alidada
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* Se bascula el anteojo astronómico alrededor del eje secundario hasta bisectar
nuevamente el punto. En éste caso la lectura se realiza con el circulo horizontal a la
derecha (CD)
Éstos últimos dos movimientos se lo llama vuelta de campana.
Si el teodolito no tuviese error de colimación el eje de colimación describiría un plano
vertical al rotar en torno al eje secundario y las dos lecturas diferiría en 180°
Si el eje de colimación no es perpendicular al eje secundario, al bisectar un punto P con
el circulo a la izquierda, la lectura obtenida sobre el limbo acimutal, corresponde a la
lectura del punto Q como se indica en la figura. 
Al ejecutar la vuelta de campana, el eje de colimación describe,al bascular alrededor del
eje secundario, una superficie cónica de vértice en el punto de intersección de los dos
ejes. La lectura acimutal a circulo derecha es: CD=α – c
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Sumando CI y CD se obtiene:
CI+CD = α+c+α ± 180° -c 
CI +CD ± 180°= 2α
Se define CD’ = CD± 180°
La lectura de la dirección horizontal del punto P sin el error de colimación se obtiene
como la semisuma de CI y CD’ 
α=(CI+CD’) / 2
El error del eje de colimación se obtiene como la semirresta de CI y CD’ 
CI - CD = α+c-(α ± 180° -c )
CI - CD ± 180°= 2c
c=(CI-CD’) / 2
Si se quiere corregir el instrumento se provoca la lectura verdadera calculada, al hacer
esto se desplazara la imagen del punto visado. Se vuelve a colimar el punto moviendo el
centro de la cruz del retículo con tornillos propios del mismo.
Determinación del error de inclinación del eje secundario
Si el eje secundario no es perpendicular al eje principal, al bascular el anteojo
astronómico el eje de colimación describe un plano inclinado.
Una de las formas de detectar la presencia de éste error es recorriendo con el centro del
retículo el hilo de una plomada o la arista de un edificio, si el retículo se aparta de la
vertical evidencia la existencia del error. 
Para compensar la influencia del error de inclinación del eje secundario como
también el error de colimación, en ángulos acimutales, se utiliza el método de
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Bessel que consiste en efectuar dos lecturas de un punto en direcciones
diametralmente opuestos del círculo horizontal: una en círculo izquierda (CI) y
otra en círculo derecha (CD). 
Si se quiere corregir el instrumento se provoca la lectura verdadera calculada, habiendo
corregido en primera instancia el error de colimación, y se repone la bisección del punto
accionando los tornillos del montante del eje secundario.
Pasos a seguir en una determinación de dirección horizontal:
 1) Colimar y leer la dirección al punto en posición CI (círculo izquierda)
 2) Girar el teodolito alrededor de su eje principal , hasta colocarlo en posición 
CD (círculo derecha)
 3) Bascular el anteojo para colimar el punto.
 4) Leer la dirección en CD.
 5) calcular CD´ = CD – 180 º (conversión de la lectura CD a CI)
 6) Promediar los valores CI y CD´ obtenidos. El valor obtenido está exento de 
los errores de colimación y el error de inclinación del eje secundario
Ejemplo
En el terreno se efectúa la medición de dos direcciones A y B desde un punto estación 
en CI y CD
Pto 
visado
CI CD
CD'=CD±180
0 dirección
Ángulo =
d2-d1 error Observ
A 2130 45' 58'' 330 46' 14'' 2130 46' 14'' 2130 46'06''
 175 02' 42''
 -8'' H=0
B 280 48' 37'' 2080 48' 59'' 280 48' 59'' 280 48' 48'' -11'' 
L a dirección se calcula como (CI + CD’)/2
El ángulo, d2 - d1, si el resultado corresponde a un ángulo negativo se suma 3600
El error se halla como (CI – CD’) / 2
Error de colimación corresponde al obtenido al colimar un punto del horizonte debido a
que la influencia del error de eje secundario es cero y la influencia del error de
colimación coincide con el error de colimación, en este caso es igual a -8’’ 
No se visualiza error de eje secundario. Al bascular el anteojo astronómico recorriendo
la arista de un edificio. El centro de la cruz del retículo no se aparta de la imagen de la
construcción.
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Errores accidentales:
1) Error debisección.
2) Error de lectura.
El de bisección es inversamente proporcional al aumento del anteojo y esta dado por la
expresión empírica:
mb=
K
A
Siendo K una constante de cada anteojo de aproximadamente 20”.
El error de lectura depende del sistema de lectura empleado y su valor es 
aproximadamente
ml=
a
2
Siendo a igual a la apreciación del vernier o a la menor división de la graduación del 
limbo.
El error medio total accidental para una dirección resulta:
md=√mb2+ml2
El error en la medición de un ángulo obtenido por diferencia de dos direcciones 
obviamente medidos con la misma precisión queda expresado como:
mα=±md√2=±√2⋅(mb2+ml2)
Ejercicio 1
Dado los siguientes datos obtenidos en el terreno:
PE PC
Ángulos horizontales
CI CD
A B 11025´30´´ 191025´50´´
 C 71047´20´´ 251047´40´´
C A 20020´40´´ 200020´ 20´´
B 86007´15´´ 266007´25´´
Distancia reducida al horizonte AC= 300m 
Hallar la distancia reducidas al horizonte de AB y BC 
Se completa la tabla de ángulos horizontales
Punto
estación
Punto 
visado
CI CD
CD'=CD±1800 dirección
Ángulo =
d2-d1
A B 11025´30´´ 191025´50´´ 11025´50´´ 11025´40´´
600 21’50”
 C 71047´20´´ 251047´40´´ 71047´40´´ 71047´30´´
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C A 20020´40´´ 200020´ 20´´ 20020´20´´ 20020´30´´
650 46’50”
B 86007´15´´ 266007´25´´ 86007´25´´ 86007´20´´
En la presente medición se ha efectuado dos estaciones, colocando el teodolito en el 
punto A y en el B. Se construye un croquis de la situación:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 1800. Por ende
B̂=180 °− ( Â+Ĉ )
B̂=180°− (60 °21'5 0' '+65 ° 46'5 0' ' )
B̂=53 °51'20' '
Para calcular las distancias AB y BC se aplica el teorema del seno, el mismo afirma que
en un triángulo cada lado es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto Así
en el triángulo de la figura es válida la siguiente expresión:
 
Ā C̄
sen B̂
= Ā B̄
sen Ĉ
= B̄C̄
sen Â
La determinación del lado AB y CB surge en forma inmediata
Ā B̄= Ā C̄⋅ sen Ĉ
sen B̂
Ā B̄=300m⋅ sen65 °4 6
'50' '
sen 53°5 1'20' '
=338 ,80m
B̄C̄= Ā C̄ ⋅sen Â
sen B̂
 B̄C̄=300m⋅sen60 °21
'5 0' '
sen53 °51'2 0' '
=322 ,90m
Ejercicio 2
Dado los siguientes datos obtenidos en el terreno:
PE PC
Ángulos horizontales
CI CD
A B 357045´20´´ 177045´50´´
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 C 59027´50´´ 239028´10´´
Distancia reducida al horizonte AC= 450m y AB= 390m
Hallar la distancia reducidas al horizonte de AC 
Se completa la tabla de ángulos horizontales
Punto
estación
Punto
visado
CI CD
CD'=CD±1800 dirección
Ángulo =
d2-d1
A B 359059´40´´ 180000´10´´ 0000´10´´ 359059´55´´
590 28’05”
 C 59027´50´´ 239028´10´´ 59028´10´´ 59028´00´´
Al calcular la dirección del punto B se debe tener en cuenta que los valores del CI y
CD’ son semejantes para el cálculo del promedio por consiguiente sumamos a CD’ un
giro completo, es decir, 3600 así, CD’=360000’10”
Se confecciona un croquis con los datos:
Para hallar el lado BC se aplica el
Teorema del coseno el cual establece
que el cuadrado del lado un triángulo
es la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble del
producto de los lados por
el coseno del ángulo comprendido
B̄C̄2= Ā B̄2+ Ā C̄2−2⋅ Ā B̄⋅ Ā C̄ ⋅cos Â
B̄C̄2=3902+4502−2⋅390⋅450⋅cos59°28 ' 05
B̄C̄= 419 , 86 m
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ÁNGULOS VERTICALES
El ángulo vertical del teodolito de un punto A es el determinado por la vertical del lugar
y el eje de colimación pasante por dicho punto. 
Si el teodolito es cenital, la lectura es de 0°00'00" cuando el eje de colimación es
vertical y mira hacia arriba, si es nadiral está lectura se obtiene cuando el anteojo
astronómico se encuentra en forma vertical apuntando hacia abajo. Existen también
instrumentos que indica la altura de un punto sobre el horizonte, ángulo vertical
formado por la visual del punto y el horizonte. La figura indica el ángulo vertical del
punto A según el tipo de aparato utilizado. Con simples cálculos de restas se hace el
pasaje de uno a otro.
El limbo vertical graduado de 0° a 360 acompaña solidariamente al anteojo
astronómico al bascularlo alrededor de su eje secundario.
Medición de ángulos verticales
Colocando el teodolito en estación , suponiendo la ausencia de todos los errores
sistemáticos, al bisecta con CI un punto P cuyo ángulo cenital es Z se lee en el índice
del limbo la lectura del mismo. Al realizar vuelta de campana para leer en CD se debe
realizar 2 movimientos:
 Rotar el anteojo alrededor de eje secundario un ángulo Z hasta colocar el eje de
colimación vertical (lectura es 0°00'00") , seguir girándolo hasta colocar el
anteojo en una posición simétrica del comienzo siendo la vertical del lugar el eje
de simetría La lectura del limbo vertical decrece a partir de la dirección del cenit
desde los 3600 hasta 3600 –Z
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El eje de colimación pasa por el punto P
El eje de colimación pasa por el cenit
El eje de colimación pasa por una posición simétrica a la visual de P
 Girar la alidada 1800 alrededor del eje principal. La lectura del limbo vertical no
cambia.
Cuando el índice no ocupa su posición correcta se produce un error llamado error de
índice. En éste caso, al colimar el punto P con CI un punto P cuyo ángulo cenital es Z la
lectura es Z más un error provocado por el desplazamiento del índice siempre
considerando la perfecta verticalización del eje principal.
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Al leer en CD se obtiene: 
El ángulo cenital del punto colimado sin el error de índice se obtiene como la semisuma
de CI y CD’ debido a:
CI=Z+ε
CD=360°−Z+ε
Si resto miembro a miembro se obtiene:
CI−CD=Z+ε− (360°−Z+ε )
CI−CD=Z+ε−360°+Z −ε
CI−CD=2Z−360°
CI+360−CD=2Z
llamamosC D'a360°−CD
entonces
Z=CI+CD
'
2
El ángulo vertical sin la influencia del error de índice se calcula como la semisuma de
CI y CD. 
Si se suma miembro a miembro
CDCDsiendo
CDCI
CDCI
CDCI






360'
2
'
2
360
2360



 
El error de índice se puede calcular como la semidiferencia entre CI y CD’.
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Los teodolitos tienen un nivel testigo fijo en el círculo vertical con el objeto de
independizar el índice del eje principal que generalmente no se encuentra perfectamente
vertical. La burbuja debe ser centrada siempre antes de cada lectura. En los teodolitos
modernos cuentan con un compensador automático que coloca en posición correcta la
escala vertical cuando el instrumento está nivelado perfectamente.
Ejemplo
Se efectuó una medición de ángulos verticales desde la estación I con un teodolito
cenital.
PE PC ÁNGULO VERTICAL
CI CD
I A
850 15' 30'' 2740 44'28''
B
780 25' 40'' 2810 34' 30''
Hallar el ángulo horizontal de los puntos A y B
Se calcula el CD’, y Z completando la tabla
PE PC CI CD CD'=3600- CD Z
I A 850 15' 30'' 2740 44'28'' 85015´32´´ 85015´31´´
 B 780 25' 40'' 2810 34' 30'' 78025´30´´ 78025´35´´
El ángulo horizontal se deduce aplicando: h=900 – Z. 
PC Z h
A 85015´31´´ 4044´29´´
B 78025´35´´ 11034´25´´
NIVELACIÓN TRIGONOMETRICA
La nivelación trigonométrica tiene por objeto determinar el desnivel entre dos puntos,
por ejemplo: A y B, mediante cálculos trigonométricos. Los datos necesarios medidos
enel terreno debe ser: la distancia reducida al horizonte AB, el ángulo vertical con
puesta de estación en el punto A donde se realiza la colimación a una señal ubicada en
el puntoB , la altura del instrumento de medición medida desde el punto A hasta el eje
secundario del teodolito y la altura de la señal. 
La fórmula se puede deducir del siguiente dibujo:
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ΔHAB=S⋅ tg β+H inst−H señal
El error en el desnivel depende del error en la medición de la distancia y del ángulo (no
se considera como variablesla altura del instrumento y señal porque son constantes) y
según la expresión general de propagación de errores se obtiene:
mΔHAB=√(ϕΔHϕS )2mS2+( ϕΔHϕβ )2mβ2
mΔHAB=√( tg β⋅mS)2+(S⋅ sec2 β⋅mβ)2
Éste método puede utilizarse para establecer desniveles a puntos inaccesibles como
picos de montañas, altura de un edificio o nivelaciones que requiera una precisión al
centímetro.
 
Medición indirecta de una distancia
Si el desnivel a calcular es entre un punto A y un punto inaccesible (P) se puede
determinar la distancia AP en forma indirecta.
Si se observa el punto P desde dos estaciones distintas (A y B) se forma un triángulo en
el espacio. La distancia AP se calcula con el teorema del seno midiendo la distancia
reducida al horizonte AB y los ángulos adyacentes definidos a partir de las direcciones
en que se encuentra el punto a medir P con ambas estaciones. 
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α=direc AB−direc AP
β=direcBP−direcBA
Dist AP
sen β
=
DistAB
sen (180−α− β )
Ejemplo
Las medidas recibidas del equipo de campo están volcadas en la siguiente tabla.
Calcular el desnivel entre el punto estación 1 (E1) y un punto de la azotea del edificio
(A). 
Datos: HinstE1=1,58m, Hseñal A=1,00m Distancia E1E2 reducida al horizonte=
23,20m
PE PC
Ángulo horizontal Ángulo vertical
CI CD CI CD
E1
A 0° 00´00´´ 179°59´50´´ 65°46´30´´ 294°13´20´´
E2 48°13´50´´ 228°14´00´´ 94°07´10´´ 265°53´00´´
E2
E1 0°00´00´´ 179°59´40´´
A 56°34´30´´ 236°34´30´´
Para calcular la distancia horizontal entre E1 y A en forma indirecta se necesita los 3
ángulos horizontales del triángulo formado
PE PC CI CD CD´ d ángulo
E1
A 0° 00´00´´ 179°59´50´´ 359°59´50´´ 359°59´55´´
48°14´00´´
E2
48°13´50
´´
228°14´00´´
48°14´00´´ 48°13´55´´
E2 E1 0°00´00´´ 179°59´40´´ 359°59´40´´ 359°59´50´´
56°34´40´´A 56°34´30 236°34´30´´ 56°34´30´´ 56°34´30´´
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´´
Croquis con los datos
Con los datos se calcula:
Ángulo A =75011’20” aplicando la suma
de los ángulos interiores es igual a 1800
Distancia E1A= 20,03m empleando el
Teorema del seno
Se calcula el ángulo vertical referido al 
horizonte a partir del ángulo cenital A desde estación 1
PE PC CI CD CD’ Z h
E1 A
65°46´30´´ 294°13´20
´´
65°46´40´´ 65°46´35´´ 24013’25”
Se calcula el desnivel
ΔH AB=SE1 A⋅ tghA+H inst E1−H señal A
ΔHAB=20 ,03⋅ th 24 °13
'25' '+1 ,58−1=9 ,59m
La Altura del edificio calculada mediante el trabajo de campo, arrojó un valor de 9,59m
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Agrim. Virginia Arcuri Carou