Escala 2022 (2)

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TOPOGRAFÍA Y GEODESIA
TEMAS INTRODUCTORIOS
ESCALA Y ERRORES
Agrim Virginia Arcuri Carou
TOPOGRAFÍA Y GEODESIA 
Topográfia
La Topografía es la Ciencia que estudia el conjunto de principios y procedimientos
necesarios para la determinación de las posiciones relativa de distintos puntos sobre la
superficie de la Tierra, tanto de los accidentes naturales como obras de ingeniería civil y
de arquitectura. 
El objetivo fundamental de la topografía es la representación de una parte de la
superficie terrestre en un plano, denominado plano topográfico. Esta representación se
realiza mediante una proyección acotada que consiste en representar los puntos del
terreno por medio de una proyección ortogonal sobre un plano horizontal y por un
número, llamado cota, que indica la distancia a que se encuentra del plano de
comparación considerado como cota cero.
Para elaborar un plano topográfico es necesario determinar los métodos y los
instrumentos para tal fin. Una de las formas es efectuar mediciones de longitudes y de
ángulos que mediante relaciones geométricas permiten vincular los distintos puntos del
terreno otro procedimiento para tal fin es la utilización de la fotogrametría o imágenes
satelitales y en la última década el sistema de posicionamiento satelital. A estas
operaciones se la conoce como levantamiento. 
Existen distintos tipos de levantamientos:
 Levantamiento topográfico planimétrico: es el conjunto de operaciones
necesarias para obtener la posición relativa de los puntos en coordenadas x e y
para la confección del plano topográfico
 Levantamiento topográfico altimétrico: es el conjunto de operaciones necesarias
para obtener las alturas respecto a un plano de comparación. 
 Levantamiento topográfico planialtimétrico: es la combinación de las dos
anteriores.
 Levantamiento fotogramétrico: La confeción de la representación de la
superficie terrestre re realiza con imagenes satelitales o fotogramas aereas o
terrestres
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Otro objetivo de la topografía es ubicar o marcar sobre el terreno la información
contenida en los planos topográficos o de obras de ingeniería. A ésta operación se llama
replanteo.
Geodesia
La geodesia es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra, orientándola y
posesionándola en el espacio. Incluyendo el campo gravitacional externo de la tierra y la
superficie del fondo oceánico.
El objetivo de la geodesia es:
 determinar las coordenadas de puntos en su superficie con mediciones de
distancias y ángulos de forma muy precisa. ( geodesia geométrica)
 estudiar el campo gravitatorio de la Tierra y sus variaciones. (geodesia física)
 definir las coordenadas en la superficie terrestre a partir de mediciones
realizada a los astros. (geodesia astronómica)
 fijar las coordenadas de puntos mediante la utilización de satélites. (Geodesia
espacial)
El Instituto Geográfico Nacional es el organismo del país encargado de materializar
puntos geodésicos mediante mediciones de altísima precisión constituyendo la red
geodésica de Argentina.
Al efectuar un levantamiento topográfico se utiliza estos puntos geodésicos como apoyo
y orientación para referenciarlo al sistema de nuestro territorio. 
La topografía considera los puntos medidos geodésicamente como exactos.
Forma de la tierra
La superficie de la Tierra es irregular. La geodesia estudia la manera de asimilar ésta a
una superficie más o menos ideal que reproduzca su forma, sus dimensiones y donde el
plano tangente en un punto de su superficie sea perpendicular a la vertical de dicho
punto. Es lo que corrientemente denominamos un "modelo". 
 Modelo geométrico 
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Para hacer cálculos sencillos y aproximados, normalmente se asocia la Tierra con una
esfera con un radio 6.371 km. 
Sin embargo, la forma de nuestro planeta es más compleja: la Tierra está achatada por lo
polos, el hemisferio sur es un poco más voluminoso que el norte, y tiene una cierta
rugosidad debida al relieve del terreno. 
 Modelo físico
El modelo físico que más se asemeja a la Tierra es el geoide. Etimológicamente
geoide significa forma que tiene la Tierra (del griego gueia, “tierra”, y eidos, “forma”). 
Geoide es la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre que
corresponde al nivel medio de los mares sin la influencia de mareas ni corrientes y
es prolongada por debajo de los continentes.
El geoide representa a una tierra real con montañas, mesetas, llanuras, océanos y la
densidad de la corteza y el manto terrestre no uniforme. 
En presencia de un exceso de masa, debido a densidad o volumen, la dirección del
vector gravedad materializada por el hilo que sostiene una plomada es atraída por esa
demasía de masa determinando una desviación de la misma. La superficie
equipotencial siempre perpendicular al vector de gravedad, responde a estos
apartamientos ondulándose consecuentemente. En presencia de defectos de masa
ocurre lo contrario, la dirección del vector gravedad se desvía alejándose de esas
perturbaciones locales y se forma depresiones en la superficie del geoide. Determinando
así una superficie no homogénea con ondulaciones.
Éstas son muy pequeñas en altura, entre las sobreelevaciones y depresiones estarían en
el rango de los 80 metros aproximadamente.
 Modelo matemático
El Geoide es una figura muy compleja de expresarla matemáticamente y realizar
cálculos sobre ella, en consecuencia se define una superficie de una Tierra idealizada
con una masa homogénea y uniforme cuyo tamaño corresponde a la Tierra real. Ésta
superficie imaginaria, de fácil representación matemática y es la más adaptada al geoide,
es el elipsoide de revolución.
El elipsoide es una superficie equipotencial coincidente con el nivel medio del mar
para una tierra rotante, en el cual, todas las masas son uniformemente distribuidas
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El elipsoide es lo define mediante:
 la distancia del semieje mayor (a)
 el tamaño del semieje menor (b) 
 el aplastamiento del elipsoide mediante el coeficiente α=(a-b)/a.
No existe un único elipsoide porque ninguno puede adaptarse a todas las irregularidades
del Geoide. Cada país eligió el más adecuado para su zona. 
Algunos de los elipsoides adoptados son:
Elipsoide De Lambre de 1800 a= 6375635m b=6356564m α=1/334
Elipsoide Eerest de 1830 a= 6377276m b=6356075m α=1/300.8
En Argentina se utilizó Elipsoide Internacional de Hayford de 1909 
a=6378388m b=6356912m α=1/297
Elipsoide Heiskanen de 1929 a=6378400m b=6356010m α=1/297
Elipsoide Krassovsky de1948 a=6378245m b=6356863m α=1/298,3
En los últimos años con la aparición del GPS (sistema de posicionamiento global) se
tuvo la necesidad de definir un único elipsoide como sistema de referencia en todo la
Tierra. 
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La abundancia de datos obtenida con la medición satelital permitió mejorar el
conocimiento de la forma de la Tierra a través de los años y encontrar un modelo
matemático que mejor se adapte a todo el mundo.
En la actualidad se utiliza el WGS 84 cuyos parámetros geométricos son: semieje mayor
(a) 6378137 metros, el achatamiento 1/298.257223563 y parámetros físicos, constante de
gravitación terrestre GM=3986005 x 108m3 s-2, velocidad angular W=7292115 x 10-
11rad/seg. , coeficiente gravitacional de segundo gado normalizado C20=-484.16685 x
10-6 y velocidad de la luz en el vacío c=299792458 m s-1.
Sistema de referencia vertical: 
Las diferencias mayores de coordenadas entre un punto y la superficie de referencia del
geoide o del elipsoide son en la altura. 
h: altura elipsoidal obtenidas por mediciones con sistemas de posicionamiento satelital
H: altura o cota ortométrica referida al geoideN: altura Geoidal u ondulación del Geoide ( h – H )
Si las superficies equipotenciales del campo de gravedad terrestre fuesen horizontales y
paralelas, un punto A ubicado “más arriba” de otro punto B se puede afirmar que la
altura ortométrica del punto A es mayor al B como se observa en la siguiente figura. 
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La geometria de las superficies equipotenciales del campo de gravedad de una Tierra
real tiene ondulaciones y la cota ortométrica del punto A puede ser igual a la del punto
B como se muestra en la figura 
Al determinar la cota en topografía lo importante no es el valor según el sistema de
referencia sino lo fundamental es hacia donde fluye el agua, es conocer su aspecto
físico vinculado con el campo gravitacional y no a un asunto geométrico. Al definir una
altura se debe considerar ediciones gravimétricas, a ésta cota se lo conoce como altura
geopotencial. Si la superficie de referencia es el geoide se la denomina altura
geopotencial ortométrica.
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Unidades de medida utilizadas en topografía
 Unidades de longitud
En topografía se utiliza el sistema métrico decimal. Expresando las distancias en
centímetros (cm), metros (m) o kilómetros (Km).
 Unidades de superficie
Para expresar el valor de superficie se emplea el metro cuadrado (m2) o unidades de
medidas agrarias: centiárea (ca), área (a) y hectárea (ha)
1ca=1m2
1 a= 100m2
1ha= 10.000m2
 Unidades angulares
Existen tres sistemas angulares más utilizados:
o Sistema sexagesimal: Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos
sexagesimales. El grado sexagesimal es el ángulo que se obtiene al dividir la
circunferencia en 360 partes iguales. Un grado sexagesimal tiene 60 minutos (1°
= 60') Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos (1' = 60' ' )
o Sistema natural: La unidad es el radian definido como el ángulo que subtiende
un arco de la circunferencia que tiene como medida el radio de esta. De la
definición se desprende que el giro completo es igual a la longitud de la
circunferencia dividida el radio
o Sistema centesimal: Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos 
centesimales. El grado centesimal es el ángulo que se obtiene al dividir la 
circunferencia en 400 partes iguales. Cada grado se divide en 100 minutos y 
cada minuto en 100 segundos. Los segundos se dividen a su vez en décimas, 
centésimas y milésimas de segundo.
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1 giro=2πR
R
=2π
Equivalencias entre los sistemas angulares
ÁNGULO Sistema Sexagesimal Sistema Natural Sistema Centesimal
giro 3600 2π 400g
llano 1800 π 200g
recto 900 π/2 100 g
El pasaje de un sistema de ángulos a otro se realiza con una simple proporción
Ejemplo: Transformar a grados centesimales 35 °24
'5 6' ' 
90 ° . . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. 100g
35 °24 '5 6' ' . .. . .. .. . ..
35 °2 4 '5 6' '⋅100g
90 °
=39 .350617 g=39 g35 m6 . 17 s
Relación entre el sistema natural y el sexagesimal
Por lo tanto 
1°≈1
57
≈1
60
1'≈1
3500
o
1
3000
1' '≈1
200000
Es decir que 1’es el ángulo que se ve aproximadamente un segmento de 1cm a una
distancia de 3500cm=35m
Así un ángulo de un segundo es el
ángulo bajo el cual se ve un segmento
de 1cm a una distancia de 200000cm=
2000m=2km
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1 rd=180 °
π
=57°1 7' 44 . 81' '≈60 °
Ejemplo 1: ¿Cuál es el segmento aproximado que a los 200m se ve bajo un ángulo de 
20’’?
Ejemplo 2: ¿Cuál es el ángulo bajo el cual se ve un segmento de 20cm a la distancia de 
1200m?
ESCALA
Para representar las mediciones efectuadas en el terreno en una hoja de papel de
dimensiones notablemente menor, se debe reducir las magnitudes lineales en forma
proporcional y los ángulos conservar los mismos valores. La constante de
proporcionalidad lineal se denomina escala.
 La escala expresa la relación matemática que existe entre una distancia medida
sobre el plano y la misma longitud medida sobre el terreno real. La escala se la
indica con la letra E y están dada por la siguiente expresión:
E= P
T
= Dis tan cia medida en el plano
Dis tan cia medida en el terreno
En topografía se expresa la escala como una fracción en el cual el numerador es 1 y el
denominador un número entero múltiplo de 10.
E= 1
D
= 1
T
P
Por ejemplo E=1/100 indica que 1cm del plano representa 100cm=1m en el terreno. 
Observar que la escala es adimensional, en consecuencia la unidad de distancia tanto del
numerador como del denominador debe ser la misma 
Las escalas utilizadas generalmente son:
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2 0' '=20⋅1
200000
=x
20000
x=20⋅20000
200000
=2cm
x=20cm
120000 cm
= 1
6000
≈3 3' '
 Representación de construcciones:1/50, 1/100, 1/250
 Planos locales, o proyecto de ingeniería civil: 1/100, 1/500, 1/1000,1/1500,
1/2000, 1/2500 (menos utilizadas 1/3000 o 1/4000)
 Planos urbanos: 1/2000, 1/2500, 1/5000, 1/10000, 1/20000, 1/50000
 Cartas: 1/25000, 1/50000, 1/100000, 1/250000, 1/500000
Ejemplo 1: Determinar una escala topográfica para que un relevamiento de 250m de
ancho por 500m de largo entre en una hoja A3 cuyas dimensiones son 297mm x 420mm
Escala del lado menor del levantamiento Escala del lado mayor del 
levantamiento 
La escala a elegir debe ser la menor para que el dibujo quepa en las dos orientaciones de
la hoja y tener notación topográfica.
Respuesta: la escala mayor a adoptar es E=1/1500
Ejemplo 2: Determinar la escala de un terreno rectangular de 20Ha sabiendo que tiene
una representación de 80cm2. (Recordar que 1 hectárea=10.000 m2)
La superficie rectangular del dibujo= b x h =80 cm2
La superficie del terreno rectangular= B x H =20Ha =2.000.000.000cm2
Escala del plano=E=b
B
= h
H
La relación entre las superficies del plano y del terreno está dada por el cuadrado
de la escala. 
Reemplazando los datos
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E=P
T
=420mm
500000mm
E=1
1190
E=P
T
=297mm
250000mm
E=1
842
Re lación de superficies=sup erficie dibujo
sup erficie terreno
Re lación de superficies=bxh
BxH
=b
B
x
h
H
=E2
E=√80cm22 . 000. 000 . 000cm2
E=
1
5000
LIMITE DE PERSEPCIÓN VISUAL
Una persona con visión normal puede ver dos puntos diferentes cuando el ángulo visual
sea al menos de 1 minuto por razones de anatomía. En consecuencia, para poder
discriminar dos puntos próximos sobre un plano, a una distancia de lectura normal de 30
cm (conocida como distancia óptima de visión distinta), es necesario que estén
separados como mínimo 0,1mm.
Es decir que a simple vista no se puede medir dos puntos mínimamente ubicados con
una vacilación menor de 0,1mm. En la práctica se adopta 0,2mm como la menor
distancia perceptible a simple vista entre dos puntos del plano.
La precisión de un levantamiento planimétrico ( Δs ) para confeccionar un plano
depende de la escala, quedando de esta forma: 
Δs≤0,2mm⋅D siendo D el denominador de la escala
En planos de obras de ingeniería o arquitectura, o de agrimensura, la precisión la fija las
normas legales o exigencias del proyecto.
Ejemplo 1: Para una escala E = 1/1000 ¿Con que precisión deben medirse los puntos del
terreno?
D=1000
Δs=0,2mm⋅1000=200mm=20cm
Dos puntos del terreno separados por menos de 20cm, en el dibujo estarán representados
por un solo punto, es decir que la vacilación en el levantamiento deberá ser menor de
20cm para una escala de 1/1000
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1'≈1
3000
=a
d
a=300mm
3000
=0,1mm
 Ejemplo 2: Determinar la escala topográfica para que un sendero de 0,75m tenga
representación gráfica en el plano
El objetivo del problema es que 0,75m del terreno esté representado como mínimo
como un punto en el plano, por lo tanto: 
Δs≤0 ,75m=750mm
750mm=0,2mm⋅D
D=3750
1/3750 no corresponde a una escala topográfica, debemos elegir una más grande para
que el sendero estérepresentado en el plano 
Respuesta: La escala topográfica es 1/2500
Influencia de la esfericidad terrestre
La representación de parte de la superficie terrestre en un plano se efectúa mediante una
proyección ortogonal. 
La proyección de dos puntos de la superficie de la Tierra , poe ejemplo, A y B sobre un
plano horizontal trazado desde el punto A corresponde a los puntos A y B’. En el plano
se debe representar el segmento AB’ llamado distancia reducida al horizonte siendo
diferente a la distancia AB real representada por el arco S en la figura. La diferencia
entre estas dos magnitudes constituye el error cometido debido al efecto de la curvatura
terrestre ( Δs )
Δs=B ' B ' '
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Por trigonometría en el triángulo ACB’:
tg α=S+Δs
R 
Como el ángulo α es muy pequeño se puede expresar que:
α rad≈
S
R
Aplicando el desarrollo de Taylor de tg α y limitándolo a sus dos primeros términos
queda: 
tg α=α+ α
3
3
Remplazando 
 
α rad≈
S
R
tg α= S
R
+ S
3
3
Igualando tg α se obtiene:
S+Δs
R
=S
R
+S
3
3 R3
S
R
+Δs
R
=S
R
+S
3
3 R3
Δs=
S3
3 R2
Para S=1 kilómetro:
Δs=1
3 km3
3⋅64002⋅km2
=1 km
120 . 000. 000
ΔS=1mm
120
≈0 ,01mm
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En caso general y para que el error no tenga representación en el plano topográfico se
debe cumplir que:
Δs≈0 ,01mm⋅S
3
(km)≤0,2mm⋅D
Ejemplo 1: Una carta se encuentra a escala 1:10.000. Hallar la máxima distancia (S) que
permita considerar como plana la superficie terrestre.
0 ,01mm⋅S
3( km)≤0,2mm⋅10000
Smáx (Km )=
3√20000mm0.01mm = 58 Km
Respuesta: Toda medida lineal menos a 58 kilómetros no está afectada por la influencia
de la esfericidad terrestre
Ejemplo 2: Determinar la escala a adoptar para que el error por curvatura de la Tierra no
afecte, en un relevamiento rectangular de 60Km de largo por 50Km de ancho.
La distancia máxima corresponde a la diagonal (Smáx). Aplicando Pitágoras en el
triángulo rectángulo formado con los lados del terreno se obtiene:
Smáx=√l2+a2=√602+502=78 ,1 Km
0 ,01mm⋅S
máx3
=0,2mm⋅D
D=
0 ,01mm⋅S
max
3
0,2mm
=0 ,01mm⋅78 ,1
3
0,2mm
=23819 ,77
Éste denominador no corresponde a una escala topográfica. Se deberá tomar una escala
menor para que la influencia de la esfericidad de la Tierra no tenga representación en el
plano. Se podría adoptar como escala 1/25000
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ERRORES
Teoría de los errores 
 La Topografía tiene como finalidad el estudio de los métodos y el instrumental
necesario para poder representar en un plano una porción de la superficie terrestre,
efectuando mediciones. Los valores obtenido en esas mediciones depende de diferentes
variables:
• el objeto a medir
• la metodología empleada en la medición
• instrumental utilizados
• factores inherentes al operador
Estas variables determinan una vacilación en la medición por consecuencia el valor
exacto de una magnitud (ángulos, distancias o desnivel) no se puede determinar.
Siempre se comete errores y son imposible de evitarlos. 
El vocablo error es sinónimo de vacilación o indeterminación, y no de equivocaciones
consideradas como “errores groseros” producidos por distracciones, descuidos,
negligencia o cansancio del operador. Por tal motivo siempre se tiene que realizar
metodologías de control para detectarlos y evitar su presencia. 
El error en una magnitud es aceptable según el objetivo o finalidad de la medición. Por
ejemplo una medición con GPS debe ser más exacta en la determinación de
coordenadas de los límites de una parcela en comparación a la requerida para conocer
la ubicación de un vehículo en una ruta.
Fuentes de error 
 Errores por la falta de definición de los extremos de la magnitud que se desea
medir. Por ejemplo las dimensiones de una edificación están afectadas por las
irregularidades del revoque. 
 Errores personales relacionados por las limitaciones de los sentidos del tacto y
principalmente la vista. Ya se hizo referencia sobre la acuidad visiva del ojo humano
 Errores instrumentales debidos a la imposibilidad de fabricar los instrumentos
de forma perfecta y las diferentes partes de estos no se ajusta unas con respecto a las
otras. La mala calibración de los aparatos o el desgaste por su uso son también causa de
éste error
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 Errores por factores atmosféricos provocados por la temperatura, la humedad, la
presión, el viento y otros factores. 
Clasificación de los errores
Por su naturaleza se clasifican en:
 Errores sistemáticos: 
Son aquellos que 
 obedecen a leyes conocidas, por lo cual se los pueden anular o reducir
sustancialmente sus efectos hasta casi suprimirlo.
 permanecen igual en signo y magnitud si las condiciones físicas son constantes
durante la medición
 están asociado a los errores instrumentales , condiciones físicas o ambientales
Es decir, que conocido el origen o su efecto se pueden corregir la deficiencia que lo
provoca o en su defecto, compensar su influencia.
Se puede citar como éste error, una cinta de agrimensor cuya longitud no es la correcta
originado por una deficiencia en su fabricación y/o uso, si en vez de 50m la misma
mide 50.002m. La determinación de la medida sin la influencia de dicho error en una
medición de 140m, por ejemplo, sería:
140m⋅50 ,002m
50m
Otro ejemplo de error sistemático es la incidencia de la temperatura en la longitud de la
cinta de agrimensor cuyo material de construcción es de acero con un coeficiente de
dilatación de 1/100.000, sufre dilataciones o contracciones, según los cambios de
temperatura ambiente.La longitud de este instrumento de 50m , contrastado a 20°C de
temperatura es utilizado un día cuya temperatura es de 10°C sufrirá una contracción y la
medida obtenida será mayor a la real. El error por temperatura se determina según la
siguiente ley: Δ l=lα Δ t
donde α representa el coeficientede dilatación lineal de la cinta
Δ t la diferencia entre la temperatura de contraste y la temperatura al realizar
la medición
 l la longitud medida
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 Errores accidentales
Son aquellos que:
 Son fortuitos. Responde a leyes del azar.
 No se pueden predecir su magnitud
 Tiene igual probabilidad de ser positivos o negativos. En consecuencia siempre
van precedidos por el signo ±
 permanecen después de corregir los errores sistemáticos
 se origina por limitaciones de los sentidos del ser humano
Un ejemplo de error accidental es la apreciación de la lectura de una medida, asociados
a limitaciones (visuales, auditivos, etc.) del observador, o también a la estimación “a
ojo” que se hace de una cierta fracción de la más pequeña división de la escala de
lectura de los instrumentos de medición (lectura por exceso o por defecto).
Los errores sistemáticos y accidentales en realidad no se hallan en estado puro sino que
está compuesto por una parte controlable sistemática y la restante accidental
Exactitud y precisión
Generalmente se usa las palabras exactitud y precisión como sinónimos pero en 
topografía se refiere a conceptos diferentes.
 Precisión se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones 
repetidas de una misma magnitud. Cuanto menor es la dispersión, mayor es la precisión.
Exactitud denota a una aproximación al valor real de las cantidades medidas. Es la 
diferencia entre el valor promedio y el valor exacto de la magnitud. 
La diferencia entre precisión y exactitud se ilustra mejor con el típico ejemplo de “tiro 
al blanco”.
 Supongamos 3 tiradores
El tirador A tiene un alto grado de
precisión dado que todos los
disparos se concentran en un
espacio pequeño la exactitud es
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menor, dado que los disparos se han desviados a la derecha y arriba, separándose del
centro de la diana. 
Éste error inherente en el fusil, provoca el desvío.Este caso se lo asocia a mediciones con un fuerte error sistemático si se soluciona el
problema por ejemplo se endereza el alza o el punto de mira, el tirador hubiese
disparado muy cerca del blanco. 
En el caso del tirador B la precisión es baja, sus disparos posee una dispersión mayor
al tirador A, pero la exactitud es alta porque los disparos repartidos sobre la diana tiene
el baricentro de sus tiros próximo al centro del tiro al blanco.
 Si lo comparamos con varias mediciones de una misma magnitud, éstas están afectadas
por un alto grado aleatorio (error accidental) sin embargo el valor del promedio de las
medidas se acerca al valor exacto.
El tirador C tiene un alto grado de precisión dado que todos los disparos se concentran
en un espacio pequeño, y un alto grado de exactitud dado que los tiros se concentran
sobre el centro de la diana.
Conclusión: una serie de medidas con precisión pero no exacta (tirador A) su promedio
o media aritmética difiere significativamente del valor exacto. Para que sea precisa y
exacta a la vez se debe analizar todos los errores sistemáticos. 
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TEORÍA DE ERRORES 
La teoría de errores solo se tendrá en cuenta los errores accidentales
Media aritmética
Sea una magnitud X medida varias veces con la misma precisión , igual grado de fe y 
medida con las mismas condiciones atmosféricas, el valor más probable de X es la 
media aritmética o promedio de las observaciones (Xm). 
Su expresión es:
Clasificación de errores accidentales
Los errores accidentales se clasifican según su referencia en
 Verdaderos ei = xi - xe
 Aparentes vi = xi - xm 
Siendo x = valor de una observación
xe= valor exacto
xm= Media aritmética 
La media aritmética cumple con dos propiedades con respecto a los errores aparentes:
 Anula la sumatoria de los errores aparentes
 Minimiza la sumatoria de los cuadrados de los errores aparentes
Esta última propiedad justifica la teoría de mínimos cuadrados formulada por Gauss.
Media de los errores
La media de los errores de una serie de observaciones de una única magnitud expresa 
una idea aproximada de la precisión con la cual se midió. 
Se la define como el promedio de los módulos de los errores aparentes y su expresión 
es: 
t=
∑|v i|
n
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Xm=
x1+x2+x3+. . .+ xn
n
=
∑ x i
n
Error medio de una observación
El error medio de una observación es la magnitud indicadora de la dispersión de las
medidas realizadas y se la considera como el índice de precisión. Se lo llama “de una
observación” pues refiere a cualquiera de las observaciones efectuadas pues todas son
de igual precisión. 
Se define como la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de los errores
verdaderos (ei). Como estos son desconocidos, se emplea los errores aparentes (vi) en
cuyo caso la expresión varía en una unidad el denominador
Para un valor de n suficientemente grande, los errores aparentes tienden a coincidir con
los verdaderos por lo tanto la media aritmética (xm), tiende a coincidir con el valor
exacto (xe).
Propagación de errores
La propagación de errores corresponde a la determinación del error cometido en un 
cálculo de una magnitud a partir de valores medidos que obviamente poseen errores.
Existen muchas magnitudes que se calculan a partir de otras magnitudes medidas, por 
ejemplo, si se tiene las longitudes de los lados de una parcela rectangular se puede 
determinar su perímetro y superficie. 
Como se expresó anteriormente ninguna medición es exacta, siempre contiene errores, 
por ello la magnitud calculada también está afectada por errores que depende de la 
formula aplicada para su determinación.
 Error de una suma
Es el error de una magnitud obtenida a partir de la suma de otros valores los 
cuales poseen un error determinado.
Dada 2 medidas X1 y X2 con sus respectivos errores medios se demuestra que 
el error de la magnitud conseguida (X) a través de la suma o resta de ellas es
mX=√m12+m22
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Agrim. Virginia Arcuri Carou
m=√∑ ei2n =√∑ v i2n−1
Demostración: X = X1 + X2
Al medir por primera vez X1 y X2 están afectados de errores ε1’ y ε2’ que provoca un
error δ1 en la magnitud X. Al medir la segunda vez se comete otros errores ε1” y ε2”
y así sucesivamente hasta la enésima medición
Si se eleva al cuadrado y se desarrolla el binomio se obtiene:
Sumando miembro a miembro
∑ δ2=∑ ε12+∑ ε 22+2⋅∑ (ε1⋅ε2)
Dividiendo por n para lograr pasar a errores medios
∑ δ2
n
=
∑ ε12
n
+
∑ ε22
n
+2⋅
∑ (ε 1⋅ε2)
n
El valor del tercer término tiende a cero para n suficientemente grande al ser errores 
aleatorios se compensan 
mX
2 =mX 1
2 +mX2
2
mX=√m12+m22
En caso general
X=X1+X 2−X3−X4+.. .
mX=√m12+m22+m32+m42+. ..
22
Agrim. Virginia Arcuri Carou
δ 1=ε1′
+ε
2′
δ 2=ε
1
″+ε
2
″
.. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .
δ n=ε
1
n+ε
2
n
δ
1
2=ε
1
′
2+ε
2
′
2+2⋅ε
1
′⋅ε
2
′
δ
2
2=ε
1
″
2+ε
2
″
2+2⋅ε
1
″⋅ε
2
″
.. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . ..
δ
n2
=ε
1n
2+ε
2n
2+2⋅ε
1n 2
⋅ε
2n 2
Ejemplo: Hallar el perímetro de una parcela y su error sabiendo que sus lados miden: 
AB = 950,23 m 8cm, BC = 630,20 m 6cm, CD = 780,25 m 5cm, DA=680,34m 
7cm
Perímetro= AB+BC+CD+DA= 950,23m + 630,20m +780,25m + 680,34m =3041,02m
m perímetro=√82+62+52+72=13 ,19 cm
 RESPUESTA: Perímetro=3041,02m 14cm
 Si se midiera todas las magnitudes con la misma precisión, entonces
m1=m2=m3=.. ..=mn=m
mX=√m2+m2+m2+.. . .+m2
mX=m⋅√n
Ejemplo: Se medió cuatro segmentos consecutivos con un error de cm cada uno de 
ellos. ¿Cuál es el error del total?
mx=m⋅√n=1cm⋅√4=2cm
Respuesta: El error es 2cm
 Producto por un escalar
X=a.X1
mX= a . mX1
 Función no lineal
El error medio de una magnitud a través del cálculo de una función no lineal, formada
por varias variables, es la raíz cuadrada de la suma de las derivadas parciales de la
función respecto a cada variable elevada al cuadrado por el error medio de la variable
elevada al cuadrado. 
mX=√( ∂ f∂X1)2⋅m12+( ∂ f∂X2 )2⋅m22+. ..+( ∂ f∂ Xn)2⋅mn2
Ésta es la expresión general de la propagación de errores
Ejemplo: Calcular la superficie de una parcela rectangular y su error sabiendo que los 
lados miden: 10,50m  3cm y 40,30m 5cm 
Superficie=B.H = 10,50 m. 40,30m =423,15m2
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Agrim. Virginia Arcuri Carou
Respuesta Superficie= 423,15m2 1,32m2
Error medio del promedio
La expresión de la media aritmética es:
Xm=
x1+x2+x3+. . .+ xn
n
=
∑ x i
n
Si se aplica la expresión general de la propagación de errores se obtiene:
mXm
=M=√(1n)2m12+(1n)2m22+. . .+(1n)2mn2
Como las mediciones fueron realizadas con la misma precisión, entonces: 
m1=m2=m3=.. ..=mn=m
Se reemplaza
Si se analiza ésta última expresión se observa que al aumentar el número de
observaciones el error medio del promedio disminuye, esto implica que M se puede
reducir tan pequeño como se quiera. Pero en la práctica esto es imposible porque
comienza a influir otros factores como el cansancio del operador, las condiciones
ambientales, etc.
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Agrim. Virginia Arcuri Carou
mSUP=√B2⋅mH2+H2⋅mB2
mSUP=√ (10 ,50m )2⋅(0 ,05m)2+(40 ,30m)2⋅(0 ,03m )2
mSUP=1 ,31m
2
M=√1n2 m2+1n2 m2+. ..+1n2 m2
M=√1n2 (m2+m2+ .. .+m2)
M=√1n2 n⋅m2
M=
m
√n
Error relativo
El error relativo es igual al cociente entre el error medio o error absoluto y la magnitud
medida o calculada. 
El error relativo es indicador de la precisión lineal, pues un error absoluto de
10centímetros sería aceptable o no si la longitud medida es de 5000 metros o 10
metros respectivamente.
Se lo expresa en forma de fracción con el número 1 como numerador y se lo simboliza
con la letra ε
En magnitudes angulares, el error absoluto es el que representa la precisión angular.
Ejemplo: ¿Cuál es el error relativo de una cinta de agrimensor si al medir un segmento
de 200m se comete un error de +/- 4cm.?ε=m
L
= 4 cm
200m
= 1
20000 cm
4 cm
= 1
5000
Probabilidad de errores
 Karl Friedrich Gauss, basándose en hechos experimentales, desarrollo La Teoría de los 
Errores, exclusivamente para los accidentales. Las hipótesis planteadas por Gauss, 
surgieron como consecuencia de analizar una serie de gran cantidad de observaciones de
igual precisión, inherentes a una misma magnitud cuyos resultados los representó en un 
gráfico de frecuencia de los errores aparentes (vi) correspondiendo a una distribución 
normal o Gaussiana. 
En base al análisis de éste gráfico el matemático Johann Carl Friedrich Gauss formuló
4 postulados o premisas:
1. La Media aritmética es el valor más probable de la magnitud de la medida
2. Los errores positivos y negativos tienen la misma probabilidad de
ocurrencia por ello los errores accidentales tienden a compensarse
3. Los errores pequeños ocurre con mayor frecuencia que los grandes
4. Siempre existe la probabilidad de cometer un error comprendido entre
+∞ y -∞
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Agrim. Virginia Arcuri Carou
La campana de Gauss cumple las siguientes características:
 Los valores de las mediciones son mayores próximos al un punto central que
corresponde a la media (valor más probable)
 La representación de los datos es simétrica a ambos lados de la media
 Los valores que tienden a ser grandes tienden a aproximarse al “eje x”. 
 El valor error medio (m) es la abscisa del punto de inflexión de la curva 
 La expresión de la función es
ϕε=
h
√π
e−h
2⋅ε2
Dónde: h=módulo de precisión , constante vinculada con el error medio (m):
h= 1
m√2
⇒ h⋅m=0 ,707
ε= error aparente o desvío.
Error equiprobable
Es el error que tiene la misma probabilidad de superarlo o no en una medición, es decir, 
que tiene el 50% de probabilidad que ocurra y es aproximadamente 
eeq=
3
4
m
Error máximo En topografía, según Gauss se considera error máximo= 3.m 
(corresponde al 99,7% de probabilidad) como criterio de rechazar mediciones que 
superen a este valor. 
Ejemplo: De las siguientes 2 series de mediciones efectuadas a una misma magnitud
repetida 10 veces, hallar: 
a. Media aritmética Xm
b. Error medio de cada una de las observaciones m
c. Error medio del promedio M
d. Error máximo Emax
Serie 1: X1=2054,22m X2= 2054,23m X3=2054,15m X4=2054,24m X5=2054,97m
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Agrim. Virginia Arcuri Carou
 X6= 2054,32m X7=2054,29m X8=2054,21m X9=2054,26m X10=2054,21m
Serie 2: X1=2054,22m X2= 2054,23m X3=2054,24m X4=2054,34m X5=2054,07m
 X6= 2054,32m X7=2054,19m X8=2054, 10m X9=2054,26m X10=2054,36m
SERIE 1 Vi= Xi – Xm Vi2 SERIE 2 Vi= Xi – Xm Vi2
X1 2054,22 -9 81 2054,22m -2 4
X2 2054,23 -8 64 2054,23m -1 1
X3 2054,15 -16 256 2054,24m 0 0
X4 2054,24 -7 49 2054,34m 10 100
X5 2054,97 66 4356 2054,07m -17 289
X6 2054,32 1 1 2054,32m 8 64
X7 2054,29 -2 4 2054,19m -5 25
X8 2054,21 -10 100 2054,10 -6 36
X9 2054,26 -5 25 2054,26m 2 4
X1
0
2054,21 -10 100 2054,36m 11 121
Xm = 2054,31 0 5036 Xm= 2054,24 644
Error de la media:
t1=
∑|vi|
n
=134 cm
10
=14 cm t2=
∑|vi|
n
=62 cm
10
=7 cm
Error medio de la observación: 
Error del promedio 
Error 
máximo: 
εmáx 1
=3⋅m=3⋅24=72 cm
εmáx 2=3⋅m=3⋅9=27 cm
Criterio de excusión provisoria
En la primera serie la observación 5 tiene presumiblemente un error grosero. Para 
eliminar esta medida con rigor se debe calcular la media aritmética, el error medio y el 
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Agrim. Virginia Arcuri Carou
m2=√∑ v i2n−1 =√6449 =9 cmm1=√∑ v i
2
n−1
=√50369 =24 cm
M 2=
m
√n
= 9
√10
=3 cmM 1=
m
√n
=24
√10
=8 cm
error máximo de una nueva serie sin X5. Posteriormente se compara éste con la 
diferencia entre el valor excluido y el nuevo promedio hallado ( Δ )
Si
εmáx≺Δ se elimina la observación excluida, en caso contrario X5 debe 
pertenecer a la serie
En el ejemplo: 
SERIE 1 Vi= Xi – Xm Vi2
X1 2054,22 -1,7 2,8
X2 2054,23 -0,7 0,49
X3 2054,15 -8,7 75,69
X4 2054,24 0,3 0,09
X5
X6 2054,32 8,3 68,89
X7 2054,29 5,3 28,09
X8 2054,21 -2,7 7,29
X9 2054,26 2,3 5,29
X1
0
2054,21 -2,7 7.29
Xm = 2054,237 0 195,2
 
Δ=X5−Xm=2054 ,97−2054 ,237=73 ,3 cm
 Por ser el error máximo menor a la diferencia Δ ( 15cm < 73,3cm ) se elimina la 
observación X5.
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m=√∑ v i2n−1 =√195 ,28 =5 cm εmáx=3⋅m=3⋅5=15 cm