mecanica de fluidos problema 2 - Oscar Benitez

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Considere un tanque completamente lleno de agua, de sección transversal semicircular con 
radio R y ancho b, como se muestra en la Figura. Si el agua se bombea fuera del tanque a una 
velocidad �̇� = 𝑘ℎ2 donde K es una velocidad constante positiva [m/s] y h es la profundidad del 
agua en el momento t. Determine el tiempo necesario para que el nivel del agua descienda a 
un valor específico de h0 en términos de R, K y h0. 
 
Calculamos el radio de la sección transversal respecto a la altura: 
𝑅2 = (𝑅 − ℎ)2 + 𝑥(ℎ)2 
𝑥(ℎ)2 = 𝑅2 − (𝑅 − ℎ)2 
𝑥(ℎ)2 = 𝑅2 − (𝑅2 − 𝑅ℎ + ℎ2) 
𝑥(ℎ)2 = 𝑅ℎ − ℎ2 
El área de la sección transversal del tanque respecto a la altura esta dado por: 
𝐴(ℎ) = 𝜋𝑟(ℎ)2 
𝐴(ℎ) = 𝜋(𝑅ℎ − ℎ2) 
Asumiendo un fluido incompresible y un flujo transitorio y laminar, usando la razón de cambio 
−�̇� =
𝑑
𝑑𝑡
𝜋(𝑅ℎ − ℎ2) 
−𝑘ℎ =
𝑑
𝑑𝑡
𝜋(𝑅ℎ − ℎ2) 
−
𝑘
𝜋
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑅ℎ − ℎ2)
ℎ
 
−
𝑘
𝜋
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑅 − ℎ 
Integramos para conseguir la expresión del tiempo 
−
𝑘
𝜋
∫ 𝑑𝑡 = ∫ (𝑅 − ℎ(𝑡))𝑑𝑡 
−
𝑘𝑡
𝜋
+ 𝐶 = 𝑅𝑡 −
ℎ(𝑡)2
2
 
ℎ(𝑡)2 = 2𝑡 (
𝑘
𝜋
+ 𝑅) + 𝐶 
ℎ(𝑡) = √2𝑡 (
𝑘
𝜋
+ 𝑅) + 𝐶 
Calculamos el valor de la constante para h(0)=h0 
ℎ(0) = √2(0) (
𝑘
𝜋
+ 𝑅) + 𝐶 = ℎ0 
𝐶 = ℎ0 
La ecuación se convierte en: 
ℎ(𝑡) = √2𝑡 (
𝑘
𝜋
+ 𝑅) + ℎ0 
Despejando el tiempo 
𝑡 =
√ℎ(𝑡) − ℎ0
2 (
𝑘
𝜋
+ 𝑅)
 
 
Una computadora de escritorio debe ser enfriada por un ventilador cuyo caudal es de 0.40 
[m3/min]. Determine la tasa de flujo másico de aire a través del ventilador donde la densidad 
del aire es de 0.7 [kg/m3]. Además, la velocidad promedio del aire no debe exceder los 110 
[m/min], determine el diámetro mínimo de la carcasa del ventilador. 
Sabiendo que el flujo masico es: 
�̇� = �̇�𝜌 
Para una caudal de 0.40 y una densidad de 0.7, el flujo masico es: 
�̇� = (0.40)(0.7) = 0.28
𝑘𝑔
min
= 0.0046 
𝑘𝑔
𝑠
 
Definimos el caudal como: 
�̇� = 𝑣𝐴 
Sabiendo que el área de un círculo esta dado por: 
𝐴 =
𝜋𝐷2
2
 
Sustituyendo el Área: 
�̇� = (𝑣) (
𝜋𝐷2
4
) 
Despejamos D: 
𝐷 = √
4�̇�
𝑣 𝜋
 
𝐷 = √
 4(0.40)
𝜋(110)
= 0.068 𝑚 
El ventilador podrá tener un diámetro máximo de 0.48 m para no exceder los 110 m/s 
Un salón para fumadores tiene capacidad para 40 fumadores empedernidos. Se especifica que 
el requisito mínimo de aire fresco para las salas de fumadores es de 30 [L/s] por persona 
(ASHRAE, Norma 62, 1989). Determine el caudal mínimo requerido de aire fresco que debe 
Extraerse del salón y el diámetro mínimo del conducto si la velocidad del aire no debe exceder 
los 8 [m/s]. 
Es caudal mínimo de la sala estará dado por el caudal mínimo por persona multiplicado por la 
cantidad de personas en la sala 
�̇�𝑚𝑖𝑛 = (40) (30
𝐿
𝑠
) (0.001
𝑚3
𝐿
) = 1.2
𝑚3
𝑠
 
 
Definimos el caudal como: 
�̇� = 𝑣𝐴 
Sabiendo que el área de un círculo esta dado por: 
𝐴 =
𝜋𝐷2
2
 
Sustituyendo el Área: 
�̇� = (𝑣) (
𝜋𝐷2
4
) 
Despejamos D: 
𝐷 = √
4�̇�
𝑣 𝜋
 
𝐷 = √
 4(1.2)
𝜋(8)
= 0.437 𝑚 
El ducto debe tener un diámetro máximo de 0.437 m para que el aire no exceda los 8 m/s