Utilizo herramientas digitales para esquematizar la información TRABAJO FINAL - Jair Perez

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INSTITUTO TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO
CAMPUS COLIMA
ESTADÍSTICA ADMINISTRATIVA I
MAESTRO: NETZAHUALCOYOTL SAUCEDO MARTÍNEZ
INTRODUCCIÓN ALA PROBABILIDAD
“UTILIZO HERRAMIENTAS DIGITALES PARA ESQUEMATIZAR LA INFORMACIÓN.
INVESTIGACIÓN DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS, TÉCNICAS DE CONTEO, DIAGRAMAS DE ÁRBOL Y ANÁLISIS DE COMBINARIO”.
EQUIPO:
FANTASTICOS DEL T08
VILLA DE ÁLVAREZ, COLIMA A 22 DE ABRIL DE 2021.
TEORIA DE CONJUNTOS
Definición de La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa.
Definición de un conjunto es la agrupación, clase, o colección de objetos o en su defecto de elementos que pertenecen y responden a la misma categoría o grupo de cosas, por eso se los puede agrupar en el mismo conjunto.
Propiedades de los conjuntos
Conjunto Finito: Es el conjunto al que se le puede determinar su cardinalidad o puede llegar a contar su último elemento.
Ejemplo:
M= {*/x es divisor de 24}
M= {1,2,3,4,6,8,12,24}
Conjunto Infinito: Es el conjunto que, por tener muchísimos elementos, no se le puede llegar a contar su último elemento.
Ejemplo:
A= {*/x sea grano de sal}
Conjunto Vacío: Es el conjunto cuya cardinalidad es cero ya que carece de elementos. El símbolo del conjunto vacío O o { }.
Ejemplo:
C={*/x sea habitantes del sol}
Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento. Su cardinalidad es uno (1).
Ejemplo:
D={*/x sea vocal de la palabra "pez"}
Operaciones con conjuntos
Unión de conjuntos:
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:
A U B = {x / x € A o x € B}
Intersección de conjuntos: 
La intersección es el conjunto formado por los elementos que son comunes entre dos o más conjuntos dados. Se denota por A∩B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:
 A∩ B = { x / x € A y x € B }
TÉCNICAS DE CONTEO
Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas usadas en probabilidad y estadística que permiten determinar el número total de resultados que pueden haber a partir de hacer combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos.
Por ejemplo, si para ganar una lotería se requiere elegir 5 números enteros diferentes entre 1 y 39, la probabilidad de ganar esa lotería es de 1 sobre el número de distintas formas de seleccionar 5 números de 39. Las Técnicas de conteo nos permiten obtener esa cantidad.
Principio de multiplicación
Si un evento E puede ocurrir de m formas, e independiente de este evento un evento F puede ocurrir de n formas, entonces los eventos juntos pueden ocurrir un total de m x n formas.
Ejemplo: Menú en restaurant
Supongamos que un restaurant ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas formas un cliente puede ordenar una comida?
Respuesta: Se aplica el principio de multiplicación, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de ordenar una comida: 40 formas.
Regla factorial
Una colección de n elementos distintos se pueden acomodar de n! formas diferentes. Es decir, el primer elemento se puede seleccionar de n maneras distintas, el segundo de n-1 maneras, y así sucesivamente.
Ejemplo: Mesa de honor
Se requiere acomodar a 8 personas en una mesa de honor y se le solicita que haga un listado de las diferentes formas de ordenar a las personas. Antes de aceptar la tarea decide investigar cuántas formas diferentes existen.
Respuesta: Se aplica la regla factorial. Para el primer puesto hay 8 opciones, para el segundo, 7, para el tercero 6, y así sucesivamente. Entonces hay 8! Formas de acomodar a las personas: 40320. (No sería sencillo tratar de hacer la lista completa).
Permutaciones
Se le llama permutación a cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dato. Un ordenamiento de r de estos objetos se denomina permutación r o permutación de n objetos tomados r a la vez.
La siguiente fórmula aplica…
· Si existe n elementos diferentes disponibles. (No aplica si algunos elementos son iguales)
· Se selecciona r de los n elementos
· Los reordenamientos de los mismos elementos se consideran secuencias diferentes
_{n}P_{r} = \frac {n!} {(n-r)!}n​Pr​=(n−r)!n!​
Ejemplo: 4 sitios disponibles
¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?
Respuesta:
_{10}P_{4} = \frac {10!}{(10-4)!}10​P4​=(10−4)!10!​
= 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 maneras.
Permutaciones con repeticiones
Cuando se desea conocer el número de permutaciones de un conjunto de objetos, algunos de los cuales son iguales.
La siguiente fórmula aplica cuando…
· Existen n elementos disponibles, y algunos de ellos son idénticos a otros
· Seleccionamos todos los n elementos (sin reemplazo)
· Consideramos que los reordenamientos son secuencias diferentes.
 
=\frac{n!}{n1! n2! ... nk!}=n1!n2!...nk!n!​
Ejemplo: Señales con banderas
En un barco se  pueden izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4 verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 9 banderas?
Respuesta:
\frac {9!} {3! 2! 4!}3!2!4!9!​ = 1260 señales diferentes.
LOS DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Los diagramas de árbol permiten representar la estructura de muchos problemas combinatorios y probabilísticos, facilitando su resolución. 
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados de un experimento que tiene varios pasos. Nos permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento de una manera muy sencilla.
Es una herramienta que se utiliza para determinar si en realidad en el cálculo de muchas opciones se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.
En una fábrica, la máquina A fabrica el 25% de la producción con un 5% de defectuosos, la máquina B fabrica el 35% de la producción con un 4% de defectuosos y la máquina C fabrica el 40% de la producción con un 2% de defectuosos. Se extrae un elemento de la producción al azar. Hallar la probabilidad de que, a) sea defectuoso y provenga de la máquina A, b) sea defectuoso, c) sea defectuoso sabiendo que provino de la máquina B, d) provenga de la máquina B, sabiendo que es defectuoso. 
Árbol de probabilidades condicionales 
Directo (Máquina-Defectuoso)
Árbol de probabilidades condicionales 
Naturalmente las P(D) y P(D') se obtienen aplicando la RS a los valores de las probabilidades conjuntas que se visualizan en la columna de la derecha, resultando: 
P (D ) 0.0125+ 0.014+ 0.008= 0.0345 
P (D) 0.2375+ 0.336+ 0.392= 0.9655
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Una moneda tiene en sus caras un gato y un perro. Se lanza 2 veces la moneda, calcular:
a) la probabilidad de obtener 2 gatos.
b) la probabilidad de obtener solo 1 gato.
Solución:
Vamos a elaborar el diagrama de árbol para este experimento. Calculamos la probabilidad para cada uno de los posibles casos, cuando avanzamos a la derecha, multiplicamos.
a) La probabilidad de obtener 2 gatos, la podemos observar en el gráfico.
b) La probabilidad de obtener solo 1 gato, se calcula sumando 2 probabilidades, ya que hay 2 maneras de obtener solo 1 gato:
– Obtener gato y perro. 
– Obtener perro y gato. 
Recuerda que cuando avanzamos hacia abajo, entonces sumamos:
Por lo tanto, la probabilidad de obtener 1 solo gato será:
Ejercicio 3
En una academia hay 3 aulas: el aula roja, el aula azul y el aula negra. El aula roja tiene al 50 % de losestudiantes de la academia, el aula azul al 30 % y el aula negra al 20 %. Además, en cada aula hay un 40 % de hombres. Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante hombre del aula azul?
Solución
Empezamos con nuestro diagrama de árbol a partir de la información del problema.
Ahora calculamos la probabilidad de que si se selecciona un estudiante al azar, este sea un hombre del aula azul.
La probabilidad sería de 0,12 o 12 %.
ANÁLISIS COMBINARIO
Resuelve problemas estadísticos haciendo uso de las fórmulas para las Permutaciones, Combinaciones y ordenaciones, las cuales son útiles en las diversas áreas de conocimiento en la que se aplique el análisis de datos.
VARIACION, PERMUTACION Y COMBINACION. Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o agrupaciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, formándolas y calculando su número permitiéndonos resolver problemas de la vid real.
Aplicar el análisis combinatorio a través de las fórmulas generales de ordenaciones, combinaciones y permutaciones para la resolución de problemas estadísticos. 
Las técnicas de conteo se convierten en una poderosa y fuerte herramienta para la toma de decisiones debido a ello es indispensable aplicarlas de una manera eficaz y objetiva.
· Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
· Las técnicas de conteo son utilizadas en Probabilidad y Estadística para determinar el número total de resultados.
El principio fundamental de conteo establece que si hay p formas de hacer una cosa, y q formas de hacer otra cosa, entonces hay p × q formas de hacer ambas cosas. Resultados posibles del experimento. El principio de conteo puede extenderse a situaciones donde tenga más de 2 opciones.
Aplicaciones del análisis combinatorio
· Plantear problemas
· Especificación de clases combinatorias
· Traducción a funciones generadoras
· Comportamiento asintótico
Es el número de arreglos posibles en donde no interesa el orden. Son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: NO influye el orden en que se colocan.
Combinación con repetición
Son las distintas agrupaciones formadas con r elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una distinta a otra sólo si difieren en algún elemento (No influye el orden de colocación de sus elementos).
Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.
Combinación con repetición ejemplo:
Con el conjunto X= {1, 2, 3, 4} formar pares. De manera gráfica vemos:
 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3;3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
Como no importa el orden, da lo mismo (1,2) que (2,1), entonces solo consideramos una de ellas. Y es con repetición puesto que repite (1,1) o (2,2)…
Nº de arreglos = 10
Ejercicio 1
Combinación con repetición:
 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3;3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 
Aplicando fórmula 
Nº de arreglos = 10
n = 4
r =2
 Ejercicio 2
Combinación sin repetición:
Son las distintas agrupaciones formadas con r elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, y NO influye el orden de colocación de sus elementos.
Con el conjunto X= {1, 2, 3, 4} formar pares. De manera gráfica vemos:
 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3;3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
Como no importa el orden, da lo mismo (1,2) que (2,1), entonces solo consideramos una de ellas.
Pero sin las repeticiones como (1,1) ,(2,2)…
Nº de arreglos = 6
Ejercicio 3
Un alumno decide presentar 3 de las 5 evaluaciones (aritmética, español, inglés, religión, sociales) que tiene pendientes en su colegio. ¿De cuantas maneras diferentes puede elegir esas evaluaciones?
Mapa mental
https://mm.tt/1870491526?t=A72QIOvcXM 
Profesor una disculpa con el mapa mental, en la página que usamos no se podía descargar entonces le mando el enlace. 
CONCLUSIONES
Pudimos concluir en equipo y analizar que la probabilidad nos sirve en nuestra vida diaria, y nos ayuda a resolver situación de interés para diferentes áreas de nuestra vida personal y para las empresas, así como en diferentes ciencias exactas como lo es la matemática. Pues bien cómo podemos recordar la probabilidad es el cálculo matemático que evalúa las posibilidades que existen de que una cosa suceda cuando interviene el azar.
Pero dentro del estudio de la probabilidad también está la teoría de conjuntos y esta trata o es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
También analizamos las técnicas de conteo pues no son más que estrategias matemáticas usadas en probabilidad que nos permiten determinar el número total de resultados que puede haber cuando realizamos combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos.
Por otra parte tenemos los diagramas de árbol que nos son más que herramientas gráficas que nos ayudan a comprender mejor, reconocer y determinar si en realidad en el cálculo de muchas opciones se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral.
Y observaos por último que el análisis combinario o de muestreo no permite resolver problemas estadísticos haciendo uso de las fórmulas para las Permutaciones, Combinaciones y ordenaciones, las cuales son útiles en las diversas áreas de conocimiento en la que se aplique un análisis de datos.
Por lo tanto cabe señalar que, las técnicas de conteo se convierten en una poderosa y fuerte herramienta para la toma de decisiones, debido a ello es indispensable aplicarlas de una manera eficaz y objetiva.
BIBLIOGRAFIA:
· Teoría de conjuntos. (2021, 18 abril). Probabilidad y Estadística. https://probabilidadzl.weebly.com/probabilidad/teoria-de-conjuntos
· Rubio, N. M., & Montagud Rubio, N. (2021, 8 abril). Técnicas de conteo: tipos, cómo utilizarlas y ejemplos. Psicología y Mente. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo
· Naps. (2017, 16 noviembre). Técnicas de conteo en Probabilidad y Estadística -. Naps Tecnología y educación. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/
· Batanero, C., Godino, J. D. y Navarro-Pelayo, V. (1994). Razonamiento combinatorio. Ma-drid: Sintesís. https://matemática.blogspot.com/2017/02/análisis-combinario.html
· Pluvinage, F. (2005). Árboles de transiciones etiquetadas en cálculo de probabilidades. Re-vista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 8(1), 91-99. https://matematicasconmuchotruco.wordpress.com/2014/07/18/probabilidad-diagramas-de-venn-rbol-y-binomial/