Tabla de Factorización - sweet peach

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Factorización: es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una expresión algebraica en forma de producto. 
NOMBRE REGLAS EJEMPLO 
 
1. Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea 
número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio. 
 
2. Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es 
igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por 
ese factor. 
 
3. Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para 
los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor 
exponente de todas. 
 
 
 
 
1. Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio 
pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. 
 
2. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada 
uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos 
entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una 
multiplicación de polinomios. 
 
3. Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos 
hará más sencillo el resolver estos problemas. 
 
 
(a-3b) (4x+3) 
 
4ax-b+3ª-12bx= a(4x+3) -3b (4x+3) = 
 
a(4x+3) (a-3b) 
López Escobedo Tania 3°1 
Turno Matutino 
29/09/2021 
ACTIVIDAD 
5 
1) Realiza una tabla con las diferentes formas de factorizar 
 
 
1. Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, 
dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de 
las bases de esos cuadrados. 
 
2. En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en 
cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser 
negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado. 
 
3. Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera 
y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos 
y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. 
 
4. Si tenemos un binomio cuyos dos factores tengan raíces cuadradas se siguen los 
siguientes pasos para la creación de un trinomio cuadrado perfecto: 
 
 Se les extrae la raíz cuadrada a los dos términos. 
 Se encuentra el doble producto de estas raíces. 
 Este doble producto se suma y se resta a los dos términos que son cuadrados 
perfectos. 
 
5. Si tenemos un binomio de la forma x2 + bx hace falta completarlo con el cuadrado de 
la mitad del coeficiente de la raíz del término de la derecha. 
x²-26x+169 
a+b=-26 ab = 1 x 169=169 
-1,-169 -13,-13 
-1-169=-170 -13-13=-26 
a=-13 b=-13 
(x²-13x) + (-13x+169) 
x(x-13)-13 (x-13) 
(x-13)(x-13) 
(x-13)² 
 
x²+bx+c
 
1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz 
cuadrada del término x². 
 
2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del 
segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”. 
 
3. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma 
x2 + 5x + 6 
x2 + 2x + 3x + 6 
(x2 + 2x) + (3x + 6) 
x(x + 2) + (3x + 6) 
x(x + 2) + 3(x + 2) 
(x + 2)(x + 3) 
 
López Escobedo Tania 3°1 
Turno Matutino 
29/09/2021 
sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor 
absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores 
binomios. 
 
4. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya 
diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea 
igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo 
término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo 
término del segundo factor binomio. 
 
ax²+bx+c 
 
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado ( x²) 
se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se 
trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación: 
 
1. Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “ax²” por cada termino del trinomio, 
dejando esta multiplicación indicada en el término “bx” de la manera “b(ax)”, y en 
el término “ax²” de la manera (ax²). 
 
2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la 
raíz cuadrada del término “(ax²)” la que sería “ax”. 
 
3. Al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor 
del polinomio. 
 
4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo 
del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”. 
 
5. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro 
del caso del trinomio anterior. 
 
12z²- 4z - 8 
4(3z²-z-2) 
a+b=-1 ab=3(-2)=-6 
1-6=-5 2-3=-1 
a=-3 b=2 
(3z²-3z)+(2z-2) 
3z(z-1)+2(z-1) 
(z-1) (3z+2) 
4(z-1)(3z+2) 
López Escobedo Tania 3°1 
Turno Matutino 
29/09/2021 
 
 
Una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra es un cubo perfecto, si 
cumple las siguientes condiciones: 
 
1. Tener cuatro términos 
 
2. El primer y último término sean cubos perfectos (tienen raíz cúbica exacta). 
 
3. El segundo término es tres veces el producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer 
término por la raíz cúbica del último término. 
 
4. El tercer término sea tres veces, el producto de la raíz del primer término por el 
cuadrado de la raíz del último término. 
 
5. El primer y tercer términos son positivos, el segundo y el cuarto términos tienen el 
mismo signo (positivo o negativo). 
 
a³+3a²b+3ab²+b³ = (a+b)³ 
 
1. La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la 
suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera 
raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. 
 
2. La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la 
diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la 
primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. 
 
27(x + y)³ - 216(x - y)³ = 
[3(x+y) - 6(x-y)][9(x+y)² + 18(x+y)(x-y) 
+36(x-y)²]= 
 (3x+3y-6x+6y)(9x² +18xy+9y² +18x² -
18y² +36x² -72xy+36y²) = 
(9y-3x)(63x² -54xy +27y²) 
Son 2 potencias iguales, es decir, 2 potencias con la misma base y el mismo exponente 
tienen el mismo valor. 
 
1. Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son positivas y 
pares no se pueden realizar por este método). 
x¹⁰ + 32y⁵ 
(x²+2y)(x⁸-8x²y³+16y⁴+4y²-x⁴-2yx⁶) 
López Escobedo Tania 3°1 
Turno Matutino 
29/09/2021 
 
2. Se sacan las raíces de cada término. 
 
3. Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer término es la raíz del 
primer término dado y el segundo término es la raíz del segundo término dado. 
 
4. El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión dada. 
 
5. Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número de 
términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos son solo 
para el segundo factor). 
 
6. En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la 
derecha de la expresión dada 
 
7. En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un 
exponente igual a “n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero. 
 
8. Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la 
izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del término de la derecha irán 
aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los dos 
términos siempre será igual a n-1). 
 
9. Si el binomio esnegativo todos los términos del polinomio son positivos, si el 
binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –) 
comenzando por el “+”. 
10. Cuando en el polinomio, el exponente del término de la derecha sea igual a n-1 
damos por terminada la respuesta. 
 
López Escobedo Tania 3°1 
Turno Matutino 
29/09/2021 
 
 
1. Se denominan diferencias de cuadrados perfectos, ya que los términos que lo forman 
tienen raíz cuadrada exacta. 
2. La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos binomios, 
uno como suma y otro como resta. Los términos de estos binomios son las raíces 
cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia planteada al principio. 
 
3. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de 
estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del 
sustraendo. 
 
16x²-36y⁴= (4x-6y²)(4x+6²) 
1. Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al 
primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 
2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado. 
 
2. Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado 
perfecto. Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de 
la siguiente manera: 
 
 Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a 
producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el 
trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el 
trinomio. 
 
3. Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados 
perfectos 
 
x⁴+x²y²+y⁴ = (x²+xy+y²) (x²-xy+y²) 
López Escobedo Tania 3°1 
Turno Matutino 
29/09/2021