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Contenido 1. Vectores y Matrices 1 1.1. Operaciones Fundamentales con Vectores . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. De�nición de Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Interpretación Geométrica de los Vectores . . . . . . . . 2 1.1.3. Norma de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4. Multiplicación Escalar y Vectores Paralelos . . . . . . . 4 1.1.5. Adición y Sustracción de Vectores . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.6. Propiedades Fundamentales de la Adición y Multipli- cación Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.7. Combinación Lineal de Vectores . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Producto Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1. De�nición y Propiedades del Producto Punto . . . . . . 14 1.2.2. Desigualdades que Involucran al Producto Punto . . . 15 1.2.3. Ángulo entre dos Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4. Casos especiales: Vectores Paralelos y Vectores Orto- gonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.5. Proyección de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Operaciones Fundamentales con Matrices . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1. Tipos Especiales de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.2. Suma de Matrices y Multiplicación Escalar . . . . . . . 28 1.3.3. Propiedades Fundamentales de la Suma yMultiplicación Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.4. Transpuesta de una Matriz y sus Propiedades . . . . . 29 1.3.5. Matrices Simétricas y Antisimétricas . . . . . . . . . . . 30 1.4. Multiplicación de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4.1. De�nición de Multiplicación de Matrices . . . . . . . . . 34 Contenido 1.4.2. Combinaciones Lineales en la Multiplicación de Matrices 36 1.4.3. Propiedades Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.4. Potencias de Matrices Cuadradas . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.5. Transpuesta de un Producto de Matrices . . . . . . . . 40 1.5. Matrices Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.5.1. Inverso Multiplicativo de una Matriz . . . . . . . . . . . 44 1.5.2. Propiedades de la Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . 45 1.5.3. Inversas para Matrices 2� 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2. Sistemas de Ecuaciones Lineales 51 2.1. Eliminación Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1.1. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . 52 2.1.2. Número de Soluciones de un Sistema . . . . . . . . . . . 53 2.1.3. Eliminación Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.1.4. Operaciones por Filas y su Notación . . . . . . . . . . . 55 2.1.5. La Estrategia en el Caso más Simple . . . . . . . . . . . 58 2.1.6. Uso de Operaciones del Tipo III . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1.7. Ignorando una Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.8. Sistemas Inconsistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.9. Conjuntos Solución In�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.1.10. Aplicación: Ajuste de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.1.11. Operaciones por Filas y Multiplicación de Matrices . . 66 2.2. El método de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.2.1. Introducción a la reducción por �las de Gauss-Jordan 71 2.2.2. Forma Escalonada Reducida por Filas . . . . . . . . . . 73 2.2.3. Número de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.2.4. Sistemas Homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.2.5. Solución de Varios Sistemas Simultáneamente . . . . . 76 2.2.6. Cálculo de la Matriz Inversa por Medio del Método de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.2.7. Reducción por �las y Matrices Singulares . . . . . . . . 78 2.2.8. Justi�cación del Método Inverso . . . . . . . . . . . . . . 79 2.2.9. Solución de un Sistema por Medio de la Inversa I . . . 80 2.3. Sistemas Equivalentes, Rango y Espacio Fila . . . . . . . . . . 88 2.3.1. Sistemas Equivalentes y Matrices Equivalentes por Filas 88 2.3.2. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.3.3. Relación entre matriz inversa y rango . . . . . . . . . . . 91 2.3.4. Solución de un Sistema por Medio de la Inversa II . . 91 2.3.5. Sistemas Homogéneos y Rango . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.3.6. Combinaciones Lineales de Vectores . . . . . . . . . . . . 92 2.3.7. Espacio Fila de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.3.8. Relación Entre Equivalencia por Fila y Espacio Fila . . 96 ii Contenido 2.4. Dependencia e Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.4.1. Espacio Generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.4.2. Simpli�cación de span (S) por Medio de la Reducción por Filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.4.3. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . 103 2.4.4. Determinación de la Independencia Lineal por Medio de la Reducción por Filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.5. Espacio Vectorial, Base y Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.5.1. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.5.2. Subespacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.5.3. Combinaciones Lineales y Subespacios. Conjunto Gen- erado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.5.4. Base de un Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.5.5. Dimensión de un Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . 124 2.5.6. Conjunto Linealmente Independiente Maximal y Con- junto Generador Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.5.7. Dimensión de un Subespacio . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3. Determinantes y Autovalores 137 3.1. Introducción a los Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.1.1. Determinantes de Matrices 1� 1; 2� 2 y 3� 3 . . . . . . 138 3.1.2. Aplicación: Áreas y Volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.1.3. Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.1.4. De�nición Formal de Determinante . . . . . . . . . . . . 142 3.2. Determinantes y Reducción por Filas . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.2.1. Determinantes de Matrices Triangulares Superiores . . 146 3.2.2. El Efecto de las Operaciones por Filas en el Determinante147 3.2.3. Cálculo del Determinante por Medio de Reducción por Filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.2.4. Criterio del Determinante para Matrices Singulares . . 151 3.3. Propiedades Adicionales de los Determinantes . . . . . . . . . 155 3.3.1. Determinante de un Producto de Matrices . . . . . . . 155 3.3.2. Determinante de la Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . 156 3.3.3. Una Expansión más General de Cofactores . . . . . . . 157 3.3.4. La Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.3.5. Cálculo de Inversas con la Matriz Adjunta . . . . . . . . 159 3.3.6. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.4. Autovalores y Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.4.1. Autovalores y Autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.4.2. El Polinomio Característico . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.4.3. Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.4.4. Matrices no Diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 iii Contenido 3.4.5. Multiplicidad Algebraica de un Autovalor . . . . . . . . 177 3.4.6. Aplicación: Potencias Grandes de Matrices . . . . . . . 177 3.4.7. Error de Redondeo en Autovalores . . . . . . . . . . . . 178 A. Introducción a las Técnicas de Demostración 183 A.1. Técnica de Demostración Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 A.2. Técnica del �Final al Inicio�. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 A.3. La Demostración de �A entonces B�. . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.4. La Demostración de �A si y solo si B� . . . . . . . . . . . . . . 186 A.5. La Demostración de �Si Aentonces (B o C)� . . . . . . . . . . 188 A.6. La Demostración Contrapuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 A.7. El Recíproco y el Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 A.8. La Demostración por Contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . 190 A.9. Negación de A�rmaciones con Cuanti�cadores y Conectores 191 A.10.Demostración de la A�rmación Falsa . . . . . . . . . . . . . . . 192 B. Demostraciones Misceláneas 197 iv 1 Vectores y Matrices En el álgebra lineal, el objeto fundamental es el vector. De�niremos los vectores en las Secciones 1.1 y 1.2 y describiremos sus propiedades algebraicas y geométricas. La conexión entre la manipulación algebraica y la intuición geométrica es un tema recurrente en el álgebra lineal, la cual será usada para establecer muchos resultados importantes. En el apéndice A examinaremos las técnicas que son útiles en la lectura y escri- tura de las demostraciones. En las secciones 1.3 y 1.4 introduciremos el concepto de matriz, cuyas propiedades básicas son similares a las de los vectores. Sin embargo, encontraremos eventualmente muchas diferencias entre propiedades más avanzadas de los vectores y las matrices, especialmente con respecto a la multiplicación de matrices. 1.1. Operaciones Fundamentales con Vectores En esta sección introduciremos los vectores y consideraremos dos operaciones con ellos: multiplicación por escalar y la adición. Sea R el conjunto de los números reales (esto es, todas las posibles coordenadas en la recta real). 1.1.1. De�nición de Vector De�nición 1.1 (Vector) un vector real de dimensión n es una sucesión ordenada de n números reales (algunas veces llamada una n� tupla ordenada de números reales). El conjunto de todos los vectores de dimensión n se representa por Rn. Cada elemento del vector es llamado una coordenada, entrada o componente del vector. Por ejemplo, R2 es el conjunto de todos los vectores de dimensión 2 (par ordenado) de números reales; contiene a [2;�1] y � �; p 2 � . R3 es el conjunto de todos los vectores 1 Vectores y Matrices de dimensión 3 (triada ordenada o terna ordenada) de números reales; contiene a [1;�1; 3] y �p 3; e; � � .1 El vector en Rn que tiene las n entradas iguales a cero es llamado el vector cero. En R2y R3 los vectores cero son [0; 0] y [0; 0; 0] respectivamente. Dos vectores en Rn son iguales si y solo si todas las entradas correspondientes en las n� tuplas son iguales. Esto es, los vectores [x1; x2; : : : ; xn] y [y1; y2; : : : ; yn] son iguales si y solo si x1 = y1; x2 = y2; : : : ; y xn = yn. Esto puede ser representado en forma abreviada como xi = yi; i = 1; 2; : : : ; n. Un simple número, tal como 5 ó p 7 es a menudo llamado un escalar a �n de distinguirlo de un vector. 1.1.2. Interpretación Geométrica de los Vectores Los vectores en R2 representan con frecuencia movimiento de un punto a otro en el plano coordenado. Del punto inicial (3; 2) al punto terminal (1; 5), hay un descenso de 2 unidades a lo largo del eje x y un incremento de 3 unidades en el eje y. Un vector representando este cambio podría ser el vector [�2; 3] como lo indica la �echa en la Figura 1.1 FIGURE 1.1. Movimiento representado por el vector [�2; 3] Los vectores pueden ser posicionados en cualquier punto inicial. Por ejemplo el vector [�2; 3] puede ser representado como un movimiento del punto inicial (9;�6) al punto terminal (7;�3).2 Los vectores en R3 tienen una interpretación geométrica similar: los vectores pueden ser usados para representar movimiento en el espacio tridimensional. Por ejemplo, el vector [2;�2; 6] puede representar el movimiento del punto inicial (2; 3;�1)al punto �nal (4; 1; 5) como se muestra en la Figura 1.2 1Muchos textos distinguen entre vectores �la, tal como [2; 3] y vectores columna, tal como � 2 3 � . Sin embargo, en este texto, expresaremos los vectores como �las o columnas dependiendo en el contexto en que se esté trabajando. 2Usaremos letras mayúsculas itálicas y paréntesis para los puntos en un sistema coordenado, por ejemplo A = (3; 2), y letras minúsculas en negritas y corchetes para los vectores, por ejemplo x = [3; 2]. 2 1.1 Operaciones Fundamentales con Vectores FIGURE 1.2. El vector [2;�2; 6] con punto inicial (2; 3;�1) El movimiento tridimensional es usualmente gra�cado en una hoja bidimensional girando el eje x para crear la ilusión óptica de que los tres ejes son mutuamente perpendiculares. Los movimientos son determinados en la grá�ca al descomponerlos en componentes paralelos a cada uno de los ejes de coordenadas. Visualizar vectores en R4 y dimensiones mayores es imposible. Sin embargo, los mismos principios algebraicos son usados. Por ejemplo, el vector x = [2; 7;�3; 10] puede representar un movimiento del punto (5;�6; 2;�1) al punto (7; 1;�1; 9) en un sistema tetradimensional. 1.1.3. Norma de un Vector Recordemos que la fórmula de la distancia en el plano entre los puntos (x1; y1) y (x2; y2) está dada por d = q (x2 � x1)2 + (y2 � y1)2, Figura 1.3. Esta fórmula es el Teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos. El vector entre los dos puntos es [a1; a2] donde a1 = x2 � x1 y a2 = y2 � y1 por lo que d = p a21 + a 2 2. Esta fórmula motiva la siguiente de�nición: De�nición 1.2 (Norma de un Vector) La norma de un vector (longitud o mag- nitud) a = [a1; a2; : : : ; an] en Rn es kak = p a21 + a 2 2 + � � �+ a2n. Ejemplo 1.1 La longitud del vector a = [4;�3; 0; 2] está dada por kak = p 16 + 9 + 0 + 4 = p 29 Notemos que la norma de cualquier vector en Rn es no negativa, esto es kak � 0, además el único vector con norma 0 en Rn es el vector cero [0; 0; : : : ; 0]. Los vectores con norma igual a 1 (de longitud 1) juegan un papel importante en el álgebra lineal. Procederemos con otra de�nición. 3 1 Vectores y Matrices FIGURE 1.3. El segmento de línea (vector) que conecta los puntos A y B con longitudq (x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 = p a21 + a 2 2 De�nición 1.3 (Vector Unitario) Cualquier vector con norma igual a 1 es llama- do un vector unitario. En R2, el vector u = � 3 5 ; 4 5 � es un vector unitario ya que kuk = q� 3 5 �2 + � 4 5 �2 = 1. Similarmente, el vector v = � 0;�4 5 ; 0; 3 5 � es un vector unitario en R4. Ciertos vectores son particularmente útiles: aquellos que tienen solamente una coordenada igual a 1 y las restantes igual a 0. En R2 estos vectores son denotados por i = [1; 0] ; j = [0; 1]; en R3son denotados por i = [1; 0; 0; ] ; j = [0; 1; 0], y k = [0; 0; 1]. En Rn estos vectores, los vectores unitarios estándar, son denotados por e1 = [1; 0; 0; : : : ; 0] ; e2 = [0; 1; 0; : : : ; 0] ; : : : ; en = [0; 0; 0; : : : ; 1]. 1.1.4. Multiplicación Escalar y Vectores Paralelos De�nición 1.4 (Multiplicación Escalar) Sea x = [x1; x2; : : : ; xn] un vector en Rn y c cualquier escalar (número real), entonces cx, la multiplicación de x por c es el vector cx = [cx1; cx2; : : : ; cxn]. Por ejemplo, si x = [4;�5], entonces 2x = [8;�10] ;�3x = [�12; 15] y �1 2 x = � �2; 5 2 � . Estos vectores son gra�cados en la Figura 1.4. De la grá�ca se puede observar que el vector 2x apunta en la misma dirección que x pero es dos veces más largo. Los vectores �3x y �1 2 x indican el movimiento en la dirección opuesta a x con �3x siendo tres veces más largo que x y �1 2 x siendo la mitad de largo que el vector original. En general, la multiplicación por c expande la longitud del vector cuando jcj > 1 y la contrae si jcj < 1. La multiplicación por los escalares 1 y �1 no afectan la longitud del vector. La multiplicación por el escalar 0 siempre es igual al vector cero. Estas propiedades son casos especiales del siguiente teorema 4 1.1 Operaciones Fundamentales con Vectores FIGURE 1.4. Múltiplos escalares de x = [4;�5]. Todos los vectores están gra�cados con el origen como punto inicial Teorema 1.1 Sea x 2 Rn, y c cualquier número real. Entonces kcxk = jcj kxk. Esto es, la longitud de cx es el producto de la longitud de x multiplicado por el valor absoluto de c. La demostración de este teorema es dejadaal lector como el Ejercicio 8. Se puede notar en R2 que el vector cx apunta en la misma dirección que el vector x cuando c es positiva y apunta en la dirección opuesta cuando c es negativo, pero no hemos discutido todavía el concepto de dirección en sistemas coordenados de mayor dimensión. Usaremos la multiplicación por escalar a �n de tener una de�nición precisa de vectores que tienen la misma dirección o dirección opuesta. De�nición 1.5 (Vectores con Misma Dirección y Dirección Opuesta) Dos vectores no cero x y y en Rn tienen la misma dirección si y solo si existe un número real positivo c tal que x = cy. Dos vectores no cero x y y en Rn tienen direcciones opuestas si y solo si existe un número real negativo c tal que x = cy. Dos vectores no cero son paralelos si y solo si tienen la misma dirección o dirección opuesta. Los vectores [1;�3; 2] y [3;�9; 6] tienen la misma dirección porque [1;�3; 2] = 1 3 [3;�9; 6] como puede observarse en la Figura 1.5 y los vectores [�3; 6; 0; 15] y [4;�8; 0;�20] tienen direcciones opuestas ya que [�3; 6; 0; 15] = �3 4 [4;�8; 0;�20]. El siguiente resultado se obtiene directamente del Teorema 1.1: Corolario 1.2 Si x es un vector no cero en Rn;entonces u = � 1 kxk � x 5 1 Vectores y Matrices FIGURE 1.5. Los vectores paralelos [1;�3; 2] y [3;�9; 6] es un vector unitario con la misma dirección que x. Demostración: El vector u en el corolario tiene la misma dirección que x ya que es un múltiplo escalar de x y el escalar es positivo:También del Teorema 1.1 se tiene que kuk = � 1kxk � x = 1kxk kxk = 1 por lo que u es un vector unitario El proceso de �dividir�un vector por su norma a �n de obtener un vector unitario con la misma dirección es llamada la normalización del vector (Figura 1.6) FIGURE 1.6. Normalización de un vector Ejemplo 1.2 Consideremos el vector [2; 3;�1; 1] en R4. Dado que k[2; 3;�1; 1]k = p 15, la normalización del vector es el vector unitario u con la misma 6 1.1 Operaciones Fundamentales con Vectores dirección que [2; 3;�1; 1]y está dado por u = 1p 15 [2; 3;�1; 1] = � 2p 15 ; 3p 15 ;� 1p 15 ; 1p 15 � 1.1.5. Adición y Sustracción de Vectores De�nición 1.6 (Adición de Vectores) Sean x = [x1; x2; : : : ; xn] y y = [y1; y2; : : : ; yn] dos vectores en Rn. La suma de x y y, representada por x+ y, es el vector x+ y = [x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn] La suma de vectores se efectúa sumando sus coordenadas respectivas, por ejemplo, si x = [2;�3; 5] y y = [�6; 4;�2] entonces x+ y = [2� 6;�3 + 4; 5� 2] = [�4; 1; 3]. Los vectores no pueden ser sumados si no tienen las mismas dimensiones. Existe una interpretación natural geométrica para la suma de vectores en el plano o en el espacio. Dibujamos el vector x y en seguida el vector y a partir del punto terminal de x. La suma de x y y es el vector cuyo punto inicial es el del vector x y cuyo punto terminal es el punto terminal del vector y. La Figura 1.7 ilustra estas ideas en R2. FIGURE 1.7. Adición de vectores en R2 Sea �y el múltiplo escalar (�1)y. Podemos de�nir la sustracción de vectores de una forma muy natural: si x y y son vectores en Rn, de�nimos la sustracción como x� y = x+ (�1)y La interpretación geométrica de esto se muestra en la Figura 1.8. Una interpretación alternativa está dada en el Ejercicio 5. 7 1 Vectores y Matrices FIGURE 1.8. Sustracción de vectores en R2: x� y = x+ (�1)y 1.1.6. Propiedades Fundamentales de la Adición y Multiplicación Escalar El Teorema 1.3 establece las propiedades básicas de la adición y la multiplicación escalar de vectores. Las leyes conmutativa, asociativa y distributiva son llamadas así porque son similares a las correspondientes para los números reales. Teorema 1.3 Sean x = [x1; x2; : : : ; xn] ;y = [y1; y2; : : : ; yn] y z = [z1; z2; : : : ; zn] vectores cualesquiera en Rn, y sean c y d dos escalares cualquiera. Sea 0 el vector cero en Rn, entonces (1) x+ y = y + x Ley conmutativa de la suma (2) (x+ y) + z =x+(y + z) Ley asociativa de la adición (3) 0+ x = x+ 0 = x Existencia del elemento identidad de la adición (4) x+(�x) = (�x) + x = 0 Existencia del elemento inverso para la adición (5) c (x+ y) = cx+ cy Leyes distributivas para la multiplicación (6) (c+ d)x =cx+dx escalar sobre la adición (7) (cd)x =c (dx) Asociatividad de la multiplicación escalar (8) 1x = x Propiedad de la identidad para la multiplicación escalar En la parte (3) el vector 0 es llamado el elemento identidad para la suma. Simi- larmente para el escalar 1 en la parte (8). En (4) el vector �x es llamado el inverso aditivo de x. Cada parte del teorema puede ser demostrada al calcular las entradas de cada vector y aplicando las leyes correspondiente para los números reales. Ilustramos esta forma de trabajo demostrando la parte (6). Las partes restantes quedan como ejercicios para el lector en el Ejercicio 9. Demostración: Demostración de la parte (6) 8 1.1 Operaciones Fundamentales con Vectores (c+ d)x =(c+ d) [x1; x2; : : : ; xn] = [(c+ d)x1; (c+ d)x2; : : : ; (c+ d)xn] De�nición de multiplicación escalar = [cx1 + dx1; cx2 + dx2; : : : ; cxn + dxn] Ley distributiva en R = [cx1; cx2; : : : ; cxn] + [dx1; dx2; : : : ; dxn] De�nición de adición de vectores = c [x1; x2; : : : ; xn] + d [x1; x2; : : : ; xn] De�nición de multiplicación escalar = cx+dx El siguiente teorema es muy útil, la demostración se deja como Ejercicio 10: Teorema 1.4 Sea x un vector en Rn y c un escalar. Si cx = 0, entonces c = 0 o x = 0. 1.1.7. Combinación Lineal de Vectores De�nición 1.7 Sean v1;v2; : : : ;vk vectores en Rn. El vector v es llamado una com- binación lineal de los vectores v1;v2; : : : ;vk si y solo si existen escalares c1; c2; : : : ; ck tal que v =c1v1 + c2v2 + � � �+ ckvk. Una combinación lineal de vectores es una suma de múltiplos escalares de esos vectores. Por ejemplo, el vector [�2; 8; 5; 0] es una combinación lineal de [3; 1;�2; 2], [1; 0; 3;�1] y [4;�2; 1; 0] porque 2 [3; 1;�2; 2] + 4 [1; 0; 3;�1]� 3 [4;�2; 1; 0] = [�2; 8; 5; 0] : Nótese que cualquier vector en R3 puede ser expresado en forma única como com- binación lineal de los vectores i; j y k. Por ejemplo [3;�2; 5] = 3 [1; 0; 0]� 2 [0; 1; 0] + 5 [0; 0; 1] = 3i� 2j+ 5k. En general [a; b; c] = ai + bj + ck. Además, cualquier vector en Rn puede ser ex- presado como una combinación lineal de los vectores estándar e1 = [1; 0; 0; : : : ; 0], e2 = [0; 1; 0; : : : ; 0] ; : : : ; en = [0; 0; 0; : : : ; 1]. Una forma útil de visualizar las combinaciones lineales de los vectores v1;v2; : : : ;vk es recordar que cada vector representa cierta cantidad de movimiento en una direc- ción particular. Cuando combinamos esos vectores usando multiplicación escalar y adición, el punto �nal de cada combinación lineal representa un destino que puede ser alcanzado usando esas operaciones. La combinación lineal w = 2 [1; 3]� 1 2 [4;�5] + 3 [2;�1] = � 6; 11 2 � se muestra en la Figura 1.9 Podemos también considerar el conjunto de todos los posibles destinos que pueden ser alcanzados usando combinaciones lineales de cierto conjunto de vectores. Por ejemplo, el conjunto de todas las combinaciones lineales en R3 de v1 = [2; 0; 1] y 9 1 Vectores y Matrices FIGURE 1.9. w = 2 [1; 3]� 12 [4;�5] + 3 [2;�1] = � 6; 112 � v2 = [0; 1;�2] es el conjunto de todos los vectores (basados en el origen) cuyos puntos �nales están en el plano que pasa por el origen y contiene a los vectores v1 y v2. Ver Figura 1.10 Vocabulario Adición de vectores Multiplicación escalar Combinación lineal de vectores Norma de un vector Contracción de un vector Normalización de un vector Dilatación de un vector Punto inicial de un vector Distancia Punto terminal de un vector Direcciones opuestas de vectores Sustracción de vectores Escalar Vector cero Inverso aditivo de un vector Vectores en la misma dirección Ley asociativa para la mult. escalar Vectores paralelos Ley asociativa para la adición vectorial Vector real Ley conmutativa para la adición vectorial Vector unitario Leyes distributivas para vectores Vectores unitariosestándar Hechos importantes Los vectores en Rn pueden usados para representar movimiento de un punto a otro en un sistema coordenado n-dimensional. 10 1.1 Operaciones Fundamentales con Vectores FIGURE 1.10. El plano en R3 conteniendo todas las combinaciones lineales de [2; 0; 1] y [0; 1;�2] La norma de un vector es la distancia de su punto inicial al punto �nal y es no negativa. Multiplicación de un vector no cero por un escalar no cero resulta en un vector que es paralelo al original. Para cualquier vector no cero, existe un único vector unitario en la misma dirección. La suma o diferencia de dos vectores en R2 puede ser calculada usando diago- nales en el paralelogramo adecuado. Las leyes conmutativa, asociativa y distributivas se cumplen para la adición de vectores en Rn. Si el múltiplo escalar de un vector es el vector cero, entonces o el escalar es cero, o el vector es el vector cero. Cada vector en Rn es una combinación lineal de los vectores unitarios estándar de Rn. Las combinaciones lineales de un conjunto de vectores dado representan el con- junto de todos los posibles destinos que pueden ser alcanzados usando esos vectores: 11 1 Vectores y Matrices Cualquier vector v en R2 puede ser expresado como [kvk cos �; kvk sen �], donde � es el ángulo formado por v y el eje positivo x. Ejercicios para la Sección 1.1 1. En cada uno de los siguientes casos, determine un vector con punto inicial (primer punto) y punto terminal (segundo punto). Use ese vector para determi- nar la distancia entre los puntos dados a) (�4; 3) ; (5; 1) b) (2;�1; 4) ; (�3; 0; 2) c) (1; 2; 1; 2; 1) ; (2; 0; 3; 0; 4) d) (5; 3; 1) ; (�2; 4;�3) 2. Demuestre que los puntos (7;�3; 6), (11;�5; 3) y (10;�7; 8) son los vértices de un triángulo isósceles. ¿Es este triángulo equilatero?. 3. En cada uno de los casos siguientes, determine un vector unitario en la dirección del vector dado. ¿Es el vector resultante (normalizado) más largo o más corto que el original? a) [3; 5; 4] b) � 1 2 ; 1 3 � c) h 5p 51 ;� 1p 51 ; 4p 51 ;� 3p 51 i d) � 5 10 ;� 1 10 ; 4 10 ;� 3 10 � 4. ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores son paralelos? a) [6;�3] ; [�8; 4] b) [�2; 3; 1] ; [6;�4;�3] c) [5; 4;�3; 2] ; [10; 8; 6; 4] d) [1;�1; 1] ; h � p 3 3 ; p 3 3 ;� p 3 3 i 5. Demuestre que si x y y son vectores en R2; entonces x + y y x � y son dos diagonales del paralelogramo cuyos lados son x y y. 6. Considere los vectores en R3 de la Figura 1.11. Veri�que que x+(y + z) es una diagonal del paralelepípedo con lados x;y; z. ¿El vector (x+ y) + z representa la misma diagonal? Justi�que su respuesta. 12 1.2 Producto Punto FIGURE 1.11. Paralelepípedo con lados x;y y z 7. Muestre que cualquier vector u enR2 puede ser escrito en la forma [kuk cos �; kuk sen �] donde � es el ángulo entre el vector y el eje positivo x. 8. Demuestre el Teorema 1.1 9. Demuestre las partes (2), (4), (5) y (7) del Teorema 1.3 10. Demuestre el Teorema 1.4 11. Si x 2 Rn, y c1 6= c2, muestre que si c1x = c2x entonces x = 0. 12. Verdadero o Falso: a) La norma de a = [a1; a2; a3] es a21 + a 2 2 + a 2 3. b) Para cualesquier tres vectores x;y y z en Rn; (x+ y) + z = z+(y + x). c) [2; 0;�3] es una combinación lineal de [1; 0; 0] y [0; 0; 1]. d) Los vectores [3;�5; 2] y [6;�10; 5] son paralelos. e) Sea x 2 Rn, y d un escalar. Si dx = 0 y d 6= 0, entonces x = 0. f ) Si dos vectores no cero en Rn son paralelos, entonces tienen la misma dirección. g) Las propiedades en el Teorema 1.3 son solamente verdaderas para todos los vectores que tienen su punto inicial en el origen. 1.2. Producto Punto Discutiremos ahora otra operación importante entre vectores: el producto punto. Después de señalar diferentes propiedades del producto punto, mostraremos como calcular el ángulo entre dos vectores y como �proyectar�un vector en otro. 13 1 Vectores y Matrices 1.2.1. De�nición y Propiedades del Producto Punto De�nición 1.8 (Producto Punto) Sean x = [x1; x2; : : : ; xn] y y = [y1; y2; : : : ; yn] dos vectores en Rn. El producto punto (o producto interior) de x y y está dado por x � y = x1y1 + x2y2 + � � �+ xnyn = nX k=1 xkyk Por ejemplo, si x = [1; 3;�2] y y = [2;�4;�1], entonces x � y = (1) (2) + (3) (�4) + (�2) (�1) = �8: Notemos que el producto punto involucra dos vectores y el resultado es un escalar mientras que en la multiplicación escalar involucra un escalar y un vector y el resultado es también un vector de la misma dimensión que el original. Notemos además que, el producto punto no está de�nido para vectores que tienen diferente dimensión. El siguiente teorema establece algunos de los resultados elementales que involucran al producto punto. Teorema 1.5 Si x;y y z son vectores cualesquiera en Rn y c cualquier escalar, en- tonces (1) x � y = y � x Conmutatividad del producto punto (2) x � x = kxk2 � 0 Relación entre norma y producto punto (3) x � x = 0 si y solo si x = 0 (4) c (x � y) = (cx) �y = x� (cy) Relación entre la multiplicación escalar y el producto punto (5) x� (y + z) = x � y + x � z Leyes distributivas del producto punto (6) (x+ y) �z = x � z+ y � z sobre la adición Las demostraciones de las partes (1), (2), (4), (5), y (6) se pueden efectuar ex- pandiendo las expresiones en cada lado de la ecuación para mostrar que son iguales. Ilustramos esto con la demostración de la parte (5). Las demostraciones restantes se establecen en el Ejercicio 4. Demostración: Sean x = [x1; x2; : : : ; xn] ;y = [y1; y2; : : : ; yn] y z = [z1; z2; : : : ; zn], entonces x� (y + z) = [x1; x2; : : : ; xn] � ([y1; y2; : : : ; yn] + [z1; z2; : : : ; zn]) = [x1; x2; : : : ; xn] � ([y1 + z1; y2 + z2; : : : ; yn + zn]) = x1 (y1 + z1) + x2 (y2 + z2) + � � �+ xn (yn + zn) = (x1y1 + x1z1) + (x2y2 + x2z2) + � � �+ (xnyn + xnzn) = (x1y1 + x2y2 + � � �+ xnyn) + (x1z1 + x2z2 + � � �+ xnzn) Además x � y + x � z = [x1; x2; : : : ; xn] � [y1; y2; : : : ; yn] + [x1; x2; : : : ; xn] � [z1; z2; : : : ; zn] = (x1y1 + x2y2 + � � �+ xnyn) + (x1z1 + x2z2 + � � �+ xnzn) 14 1.2 Producto Punto Por lo tanto x� (y + z) = x � y + x � z Las propiedades en el Teorema 1.5 nos permiten simpli�car expresiones que con- tengan productos punto tal y como se trabaja en álgebra elemental. Por ejemplo (5x� 4y) � (�2x+ 3y) = (5x� 4y) � (�2x) + (5x� 4y) � (3y) = [(5x) � (�2x)� (4y) � (�2x)] + [(5x) � (3y)� (4y) � (3y)] = �10 (x � x) + 8 (y � x) + 15 (x � y)� 12 (y � y) = �10 (x � x) + 8 (x � y) + 15 (x � y)� 12 (y � y) = �10 kxk2 + 23 (x � y)� 12 kyk2 1.2.2. Desigualdades que Involucran al Producto Punto El siguiente teorema nos da una cota superior y una cota inferior del producto punto. Teorema 1.6 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si x y y son vectores en Rn, entonces jx � yj � kxk kyk3. Demostración: Si x = 0 o y = 0, el teorema se cumple. Por lo que necesitamos exa- minar el caso solamente cuando x;y 6= 0. Se tiene que kxk 6= 0 y kyk 6= 0. Además, de jx � yj � kxk kyk se sigue que es equivalente a demostrar que �kxk kyk � x � y � kxk kyk. Esta a�rmación es cierta si y solo si �1 � x � ykxk kyk � 1 �1 � xkxk� y kyk � 1 Dado que xkxk y y kyk son vectores unitarios, es su�ciente demostrar que �1 � a � b � 1 para cualesquier vectores unitarios a y b. El término a � b aparece como una parte en la expansión de (a+ b) � (a+ b) ; así como en la expansión de (a� b) � (a� b). La primera expansión es (a+ b) � (a+ b) = ka+ bk2 � 0 parte (2) de Teorema 1.5 a � a+ a � b+ b � a+ b � b � 0 kak2 + 2a � b+ kbk2� 0 partes (1) y (2) de Teorema 1.5 1 + 2a � b+ 1 � 0 a y b son vectores unitarios a � b � �1 3Recordemos que para cualesquier dos números reales a y b: jaj � b si y sólo si �b � a � b 15 1 Vectores y Matrices Un argumento similar con (a� b) � (a� b) = ka� bk2 � 0 muestra que a � b � 1 (ver Ejercicio 7). Por lo tanto �1 � a � b � 1 Ejemplo 1.3 Sean x = [�1; 4; 2; 0;�3] y y = [2; 1;�4;�1; 0]. Comprobaremos que la desigualdad de Cauchy-Schwarz se veri�ca en este caso especí�co. Se tiene que x � y = (�1) (2) + (4) (1) + (2) (�4) + (0) (�1) + (�3) (0) = �6 por lo que jx� yj = j�6j = 6. Además kxk = q (�1)2 + (4)2 + (2)2 + (0)2 + (�3)2 = p 30 y kyk = q (2)2 + (1)2 + (�4)2 + (�1)2 + (0)2 = p 22 y kxk kyk = p 30 p 22 � 25:69. Por lo que jx � yj � kxk kyk. Otro resultado útil, algunas veces llamado desigualdad de Minkowski, es: Teorema 1.7 (Desigualdad Triangular) Si x y y son vectores en Rn, entonces kx+ yk � kxk+ kyk. Podemos demostrar este teorema geométricamente en R2 y R3 al notar que la longitud de x + y, uno de los lados de los triángulos mostrados en la Figura 1.12, nunca es mayor que la suma de las longitudes de los otros lados x y y. La demostración algebraica siguiente extiende este resultado a Rn para n > 3. FIGURE 1.12. Desigualdad triangular en R2: kx+ yk � kxk+ kyk Demostración: Es su�ciente demostrar que kx+ yk2 � (kxk+ kyk)2. Pero kx+ yk2 = (x+ y) � (x+ y) = x � x+ 2x � y + y � y = kxk2 + 2x � y + kyk2 � kxk2 + 2 jx � yj+ kyk2 � kxk2 + 2 kxk kyk+ kyk2 (des. de Cauchy-Shwarz) = (kxk+ kyk)2 16 1.2 Producto Punto 1.2.3. Ángulo entre dos Vectores El producto punto nos permite determinar el ángulo � entre dos vectores x y y no cero en R2 o R3 los cuales comienzan en el mismo punto inicial. Existen dos ángulos formados por los vectores x y y, pero siempre elegimos el ángulo � como el ángulo que tiene una medida entre 0 y � radianes.4 Consideremos el vector x� y en la Figura 1.13, el cual inicia en el punto terminal de y y termina en el punto terminal de x. Dado que 0 � � � �, se sigue de la ley de los cosenos5 que kx� yk2 = kxk2+ kyk2 � 2 kxk kyk cos �. Pero kx� yk2 = (x� y) � (x� y) = x � x� 2x � y + y � y = kxk2 � 2x � y+ kyk2 por lo que �2 kxk kyk cos � = �2x �y lo que implica kxk kyk cos � = x �y y por tanto cos � = x � y kxk kyk FIGURE 1.13. El ángulo � entre los vectores x y y en R2 Ejemplo 1.4 Para x = [6;�4] y y = [�2; 3], sea � el ángulo entre x y y. Entonces cos � = x � y kxk kyk = (6) (�2) + (�4) (3)q (6)2 + (�4)2 q (�2)2 + (3)2 = �24p 52 p 13 = �24p (52) (13) = �24p 676 = �24 26 � �0:923 08 4Los radianes son una medida de ángulo al igual que los grados. La relación existente entre ellos es g = 180r � donde r es la medida del ángulo en radianes y g es la medida del ángulo en grados. 5La ley de los cosenos establece que para cualquier triángulo con lados de longitud a; b; y c se tiene que a2 = b2 + c2 � 2ab cos � donde � es el ángulo comprendido entre los lados de longitud a y longitud b: 17 1 Vectores y Matrices Usando una calculadora, encontramos que � � 157:4� (recordemos que 0 � � � �). En espacios de dimensión mayor que 3, no contamos con la representación geométri- ca de los vectores y por tanto del ángulo entre ellos. Sin embargo, de la desigualdad de Cauchy-Schwarz x�ykxkkyk siempre tiene valores entre �1 y 1 para cualesquiera vectores x y y diferentes de cero en Rn. Entonces, este valor es igual al coseno de un ángulo para ese ángulo entre 0 y � radianes. Por lo tanto, podemos de�nir el ángulo entre vectores en Rn de modo que sea consistente con los casos en R2 y R3. De�nición 1.9 Sean x y y dos vectores no cero en Rn, con n � 2. El ángulo entre x y y es el único ángulo � entre 0 y � radianes de�nido por cos � = x � y kxk kyk . Ejemplo 1.5 Sean x = [�1; 4; 2; 0;�3] y y = [2; 1;�4;�1; 0], tenemos que x � y kxk kyk = �6p 30 p 22 = �6p 660 � �0:233 55 Usando la calculadora, encontramos que el ángulo � es aproximadamente � � 103:5�. El siguiente teorema es una consecuencia inmediata de la última de�nición: Teorema 1.8 Sean x y y dos vectores no cero en Rn, y sea � el ángulo entre x y y. Entonces (1) x � y > 0 si y solo si 0 � � < � 2 (ángulo cero o ángulo agudo) (2) x � y = 0 si y solo si � = � 2 (ángulo recto) (3) x � y < 0 si y solo si � 2 < � � � (ángulo obtuso o 180�) 1.2.4. Casos especiales: Vectores Paralelos y Vectores Ortogonales De�nición 1.10 Dos vectores x y y no cero en Rn son ortogonales (perpendiculares) si y solo si x � y = 0. Ejemplo 1.6 Los vectores x = [2;�5] y y = [�10;�4] son ortogonales porque x � y = 0. Del Teorema 1.8 x y y forman un ángulo recto, como puede observarse en la Figura 1.14 En R3 los vectores i; j y k son mutuamente ortogonales, esto es, el producto punto de cualquier par de ellos es cero. En general, en Rn los vectores unitarios estándar e1 = [1; 0; 0; : : : ; 0], e2 = [0; 1; 0; : : : ; 0] ; : : : ; en = [0; 0; 0; : : : ; 1] forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales. El siguiente teorema establece una forma alternativa de describir vectores paralelos en términos del ángulo entre ellos. Una demostración para el caso x � y = + kxk kyk aparece en el ejercicio 5c y la demostración en el otro caso es similar. 18 1.2 Producto Punto FIGURE 1.14. Los vectores ortogonales x = [2;�5] y y = [�10;�4] Teorema 1.9 Sean x y y dos vectores no cero en Rn. Entonces x y y son paralelos si y solo si x �y = �kxk kyk (esto es, cos � = �1, donde � es el ángulo entre x y y). Ejemplo 1.7 Sea x = [8;�20; 4] y y = [6;�15; 3]. Si � es el ángulo entre x y y, entonces cos � = x � y kxk kyk = 360p 480 p 270 = 360p 129600 = 1 Se sigue del Teorema 1.9 que x y y son paralelos. Podemos también observar que son paralelos a partir de la de�nición, ya que [8;�20; 4]=4 3 [6;�15; 3]. 1.2.5. Proyección de vectores La proyección de un vector en otro vector es una idea útil en la física, ingeniería, grá�cas computacionales y estadística. Supongamos que a y b son dos vectores no cero en R2 o en R3 dibujados en el mismo punto inicial. Sea � el ángulo entre ellos. Tracemos un segmento perpendicular del punto terminal de b a la línea l que contiene al vector a como se muestra en la Figuras 1.15 y 1.16. La proyección p de b en a es el vector que comienza en el punto inicial de a y termina en el pie de la perpendicular en l FIGURE 1.15. La proyección p del vector b en el vector a (� es agudo) 19 1 Vectores y Matrices FIGURE 1.16. La proyección p del vector b en el vector a (� es obtuso) Se puede ver que el vector p tiene longitud kbk cos � y tiene la dirección de akak por lo que puede ser escrito como p = kbk cos � akak = kbk kak a � b kak kbk a = a � b kak2 a La proyección p del vector b en el vector a es denotada por proja b. Ejemplo 1.8 Sea a = [4; 0;�3] y b = [3; 1;�7] entonces proja b = a � b kak2 a = (4) (3) + (0) (1) + (�3) (�7)�q (4)2 + (0)2 + (�3)2 �2 a = 33 25 a = 33 25 [4; 0;�3] = � 132 25 ; 0;�99 25 � De�niremos ahora la proyección de vectores en Rn a �n de que sea consistente con la de�nición geométrica en R2 y R3. De�nición 1.11 Si a y b son dos vectores en Rn con a 6= 0, el vector proyección de b en a es proja b = a � b kak2 a El vector proyección puede ser usado para descomponer un vector dado b en la suma de dos vectores componentes. Supongamos que a 6= 0, si proja b 6= 0, entonces proja b es paralelo a a por de�nición ya que es un múltiplo escalar de a (ver Figura 20 1.2 Producto Punto 1.17). Además b� proja b es ortogonal a a porque (b� proja b) � a= b � a� proja b � a = b � a�a � b kak2 (a � a) = b � a�a � b kak2 kak2 = 0 Dado que proja b+(b� proja b) = b, hemos demostrado el teorema siguiente. FIGURE 1.17. Descomposición de un vector b en dos componentes: uno paralelo a a y el otro ortogonal a a Teorema 1.10 Sea a un vector diferente de cero en Rn, y sea b cualquier vector en Rn. Entonces b puede ser descompuesto como la suma de dos vectores, proja b y (b� proja b), donde el primero (si es diferente de cero) es paralelo al vector a y el segundo es ortogonal a a. Ejemplo 1.9 Sea a = [4; 0;�3] y b = [3; 1;�7]. Del Ejemplo 1.8 proja b = � 132 25 ; 0; �99 25 � La componente de b en la dirección de a es proja b = � 132 25 ; 0; �99 25 � y la componente de b que es ortogonal a a es b� proja b = [3; 1;�7]� � 132 25 ; 0; �99 25 � = � �57 25 ; 1;�76 25 � . Se puede observar fácilmente que b� proja b es ortogonal a a ya que� �57 25 ; 1;�76 25 � � [4; 0;�3] = � �57 25 � (4) + (1) (0) + � �76 25 � (�3) = 0 Ejemplo 1.10 Si b = [a; b] y a1= [1; 0] ; a2= [0; 1] entonces proja1 b = proj[1;0] [a;b] = [1; 0] � [a; b] k[1; 0]k2 [1; 0] = [a; 0] 21 1 Vectores y Matrices Similarmente proja2 b = proj[0;1] [a; b] = [0; 1] � [a; b] k[0; 1]k2 [0; 1] = [0; b] Vocabulario Ángulo entre dos vectores Producto punto (interior) de vectores Desigualdad triangular Proyección de un vector a otro vector Desigualdad de Cauchy-Schwarz Vectores mutuamente ortogonales Ley conmutativa del producto punto Vectores ortogonales (perpendiculares) Ley distributiva del producto punto Hechos importantes El producto punto de vectores es un escalar. El producto punto de un vector consigo mismo es el cuadrado de la longitud del vector. Las leyes conmutativa y distributiva se cumplen para el producto punto de vectores. La desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad triangular se cumplen para todos los vectores en Rn. El coseno del ángulo entre dos vectores no cero es igual al producto punto de los vectores dividido por el producto de sus longitudes. Dos vectores son ortogonales si y solo si el producto punto entre ellos es cero. Dos vectores son paralelos si y solo si el producto punto entre ellos es igual o de signo opuesto al producto de sus longitudes. La proyección de un vector b sobre un vector a es la multiplicación de a por el escalar (a � b) = kak2. 22 1.2 Producto Punto Ejercicios para la Sección 1.2 1. Use una calculadora para determinar el ángulo �, en grados, entre los siguientes pares de vectores x y y: a) x = [�4; 3] ; y = [6;�1] b) x = [0;�3; 2] ; y = [1;�7;�4] c) x = [7;�4; 2] ; y = [�6;�10; 1] d) x = [�18;�4;�10; 2;�6] ; y = [9; 2; 5;�1; 3] 2. Demuestre que los puntos A1 (9; 19; 16) ; A2 (11; 12; 13) y A3 (14; 23; 10) son los vértices de un triángulo rectángulo. (Indicación: Construya los vectores entre los puntos y cheque la ortogonalidad de algún par de ellos) 3. Demuestre que [a; b] y [�b; a] son ortogonales. Muestre además que [a;�b] y [b; a] son también ortogonales. Use estas ideas para demostrar que las rectas dadas por las ecuaciones ax + by + c = 0 y bx � ay + d = 0; a; b; c; d 2 R son perpendiculares. 4. Demuestre las partes (1), (2), (3), (4) y (6) del Teorema 1.5. 5. Sean x;y dos vectores no cero en Rn. Demuestre que a) Si x � y � 0, entonces kx+ yk � kyk. b) Si x � y � 0, entonces el ángulo entre x y y es agudo. c) x � y = kxk kyk si y solo si y es un múltiplo escalar positivo de x. 6. Si z 6= 0, demuestre que la igualdad x � z = y � z no implica que x = y. 7. Termine la demostración del Teorema 1.6 probando que para vectores unitarios a y b, (a� b) � (a� b) � 0 implica que a � b � 1. 8. Demuestre que si (x+ y) � (x� y) = 0, entonces kxk = kyk. (Por lo tanto, si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un rombo.) 9. Demuestre que 1 2 � kx+ yk2 + kx� yk2 � = kxk2 + kyk2 para cualesquier vec- tores x y y en Rn. (Esta ecuación es conocida como la Identidad del Paralelo- gramo porque a�rma que la suma del cuadrado de las longitudes de los cuatro lados del paralelogramo es igual a la suma del cuadrado de las diagonales.) a) Demuestre que para dos vectores x y y en Rn, kx+ yk2 = kxk2 + kyk2 si y solo si x � y = 0. 23 1 Vectores y Matrices b) Demuestre que si los vectores x;y y z en Rn son mutualente ortogonales, entonces kx+ y + zk2 = kxk2 + kyk2 + kzk2. c) Demuestre que para dos vectores x y y enRn, x�y = 1 4 � kx+ yk2 � kx� yk2 � . (Esta ecuación es conocida como la Identidad de Polarización, la cual nos permite de�nir el producto punto por medio de la norma de vectores.) 10. Dados los vectores x;y y z en Rn, con x ortogonal a y y z, demuestre que x es ortogonal a c1y + c2z, donde c1; c2 2 R. 11. Calcule proja b en cada caso y veri�que que b� proja b es ortogonal a a. a) a = [2; 1; 5] ; b = [1; 4;�3] b) a = [�5; 3; 0] ; b = [3;�7; 1] c) a = [1; 0;�1; 2] ; b = [3;�1; 0;�1] d) Supóngase que a es ortogonal a b en Rn. Calcule proja b. De una inter- pretación geométrica de este resultado en R2. e) Supóngase que a es paralelo a b en Rn. Calcule proja b. De una inter- pretación geométrica de este resultado en R2. 12. Para cualquier dos vectores x y y enRn, demuestre la desigualdad jkxk � kykj � kx+ yk. (Indicación: Considere separadamente los casos kxk � kyk y kxk � kyk.) 13. Sean x y y dos vectores no cero en Rn. a) Demuestre que y = cx+w para algún escalar c y algún vector w tal que w es ortogonal a x. b) Demuestre que el vector w y el escalar c en la parte a) son únicos; esto es, muestre que si y = cx + w y y = dx + v, donde v y w son ambos ortogonales a x, entonces c = d y w = v. (Indicación: calcule x � y.) 14. Verdadero o Falso: a) Para cualesquier dos vectores x y y en Rn y cualquier escalar d, x � (dy) = (dx) � y. b) Para todo x y y en Rn con x 6= 0, (x � y) = kxk � kyk. c) Para todo x y y en Rn kx� yk � kxk � kyk. d) Si � es el ángulo entre los vectores x y y en Rn y � > � 2 , entonces x �y > 0. e) Si proja b = b entonces a es ortogonal to b. 24 1.3 Operaciones Fundamentales con Matrices 1.3. Operaciones Fundamentales con Matrices Introducimos una nueva estructura algebraica: la matriz. Las matrices son arreglos bidimensionales construidos al acomodar a los vectores en �las y columnas. Examina- remos diferentes tipos de matrices fundamentales, así como tres operaciones básicas y sus propiedades De�nición 1.12 (De�nición de Matriz) Una matriz m� n es un arreglo rectan- gular de números reales, acomodados en m �las y n columnas. Los elementos de la matriz son llamados entradas. La expresión m� n (léase m por n) denota el tamaño de la matriz Por ejemplo, cada una de las siguientes en una matriz, listada con su tamaño: A = � 2 3 �1 4 0 5 � 2�3 B = 243 14 2 0 5 35 3�2 C = 24 1 2 5�1 4 0 2 �6 7 35 3�3 D = � �1 3 4 � 1�3 E = 24 20 3 35 3�1 F = [�2]1�1 Las siguientes son algunas consideraciones que debemos recordar: Usaremos letras mayúsculas en negritas con o sin subíndice para denotar una matriz (tal comoA;B;C1;C2) en contraste con las letras minúsculas en negritas usadas para representar vectores. Las letras mayúsculas I y O son usualmente reservadas para tipos especiales de matrices que serán discutidas más adelante. El tamaño de una matriz es siempre especi�cado iniciando con el número de �las y luego por el número de columnas. Por ejemplo, una matriz 5� 4 tiene 5 �las y 4 columnas. Una matriz m � n puede ser visualizada como una colección de m vectores �la, cada uno de ellos con n coordenadas, o como una colección de n vectores columna, cada uno de ellos con m coordenadas. Una matriz con solo una �la (o columna) es esencialmente equivalente a un vector con coordenadas en la forma de �la (o columna). A menudo representaremos con aij al elemento de la i� �esima �la y j � �esima columna de una matriz A. Por ejemplo, en la matriz A el elemento a23 es la entrada 5 en la segunda �la y tercer columna. Una matriz C de tamaño 3� 4 se puede representar en forma general como C = 24 c11 c12 c13 c14c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34 35 25 1 Vectores y Matrices El símboloMmn representa el conjunto de todas las matrices con entradas reales que tienen m �las y n columnas. Por ejemploM34 es el conjunto de matrices que tienen tres �las y cuatro columnas. Un elemento típico deM34 es la matriz C mostrada anteriormente. Las entradas de la diagonal principal de una matriz A son a11; a22; a33; : : : Es decir los elementos en la diagonal que inicia de la esquina superior izquierda de la matriz Las matrices aparecen en forma natural en diferentes contextos. Por ejemplo, tablas (que tienen �las y columnas) de números reales son matrices. La siguiente tabla Estado Población Área Año de admisión a la Unión Alabama 4447100 51609 1819 Alasca 626932 589757 1959 Arizona 5130632 113909 1912 ... ... ... ... Wyoming 493782 97914 1890 representa a la matriz de 50� 32666664 4447100 51609 1819 626932 589757 1959 5130632 113909 1912 ... ... ... 493782 97914 1890 3777775 Dos matricesA yBm�n son iguales si y solo si todas las entradas correspondientes son iguales. Esto es,A = B si aij = bij paratoda i; 1 � i � m y para toda j; 1 � j � n. Notemos que los siguientes pueden ser considerados como vectores iguales, pero no como matrices: [3; 2; 1] y 24 32 1 35 , dado que la primera es una matriz 1� 3 y la segunda es una matriz 3� 1. 1.3.1. Tipos Especiales de Matrices Describiremos ahora unos tipos de matrices importantes. Unamatriz cuadrada es una matriz n�n; esto es, una matriz que tiene el mismo número de �las que de columnas. Las siguientes son matrices cuadradas: A = � 2 3 �1 0 � y B = 24 1 2 34 5 6 7 8 9 35 26 1.3 Operaciones Fundamentales con Matrices Unamatriz diagonal, es una matriz cuadrada cuyas entradas fuera de la diagonal principal son cero. Esto es,D es una matriz diagonal si y solo si es una matriz cuadrada y dij = 0 para i 6= j. Ejemplos de matrices diagonales son los siguientes: A = � 2 0 0 1 � ;C = 2664 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 �1 0 0 0 0 0 3775 y B = 24 1 0 00 5 0 0 0 9 35 Usaremos Dn para representar el conjunto de todas las matrices diagonales n� n. Unamatriz identidad es una matriz diagonal cuyas entradas en la diagonal prin- cipal son iguales a 1 y el resto de las entradas son 0. Esto es, una matriz A de tamaño n � n es una matriz identidad si aij = 0, para i 6= j y aii = 1 para 1 � i � n. La matriz identidad n � n es denotada por In. Por ejemplo, las siguientes son matrices identidad: I2 = � 1 0 0 1 � e I3 = 24 1 0 00 1 0 0 0 1 35 Si el tamaño de la matriz está implícito del contexto entonces usaremos simplemente I para denotar la matriz identidad. Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada cuyas entradas abajo de la diagonal principal son cero. Esto es, A una matriz n� n es triangular superior si y solo si aij = 0 para i > j. Ejemplos de esto son: E = 24 1 3 00 4 2 0 0 �5 35 y F = 2664 8 0 0 2 0 3 3 5 0 0 0 2 0 0 0 �2 3775 Similarmente, una matriz triangular inferior es una matriz en la cual todas las entradas arriba de la diagonal principal son cero. Esto es, A una matriz n � n es triangular inferior si y solo si aij = 0 para i < j. Ejemplos de esto son: P = � 1 0 2 1 � y Q = 2664 8 0 0 0 0 0 0 0 �2 1 3 0 2 0 4 2 3775 Usaremos Un para representar al conjunto de todas las matrices triangulares superiores n� n y Ln al conjunto de todas las matrices triangulares inferiores n� n Unamatriz cero es una matriz cuyas entradas son todas iguales a cero. Usaremos Omn para denotar la matriz cero de tamaño m � n y On a la matriz cuadrada cero de tamaño n� n. Por ejemplo, O23 = � 0 0 0 0 0 0 � y O3 = 240 0 00 0 0 0 0 0 35 27 1 Vectores y Matrices Si el tamaño de la matriz es claro del contexto, usaremos simplementeO para denotar a la matriz cero. 1.3.2. Suma de Matrices y Multiplicación Escalar Iniciamos esta sección con la de�nición de la suma de matrices. De�nición 1.13 (Suma de Matrices) Sean A y B dos matrices de tamaño m�n. La suma de A y B es la matriz m� n; C = (A+B) cuya (i; j)� entrada es ci;j = aij + bij. Como se hizo con los vectores, las matrices son sumadas simplemente al sumar las entradas correspondientes. Por ejemplo,� 1 3 4 �1 5 2 � + � �3 2 1 4 3 3 � = � �2 5 5 3 8 5 � Notemos que la de�nición no permite sumar matrices con diferentes tamaños. Por ejemplo las siguientes matrices no pueden ser sumadas:� 1 3 4 �1 5 2 � y � �1 1 4 3 � dado que la primera es una matriz 2� 3 y la segunda es una matriz 2� 2. De�nición 1.14 (Multiplicación Escalar) SeaA una matrizm�n y c un escalar. La matriz cA, la multiplicación escalar de c y A, es la matriz m � n; cA cuya (i; j)� entrada es caij. Como se hizo con los vectores, la multiplicación escalar es efectuada al multiplicar cada entrada por el escalar dado. Por ejemplo, �2 � 1 3 4 �1 5 2 � = � �2 �6 �8 2 �10 �4 � . Observamos que si A es una matriz m� n, entonces 0A = Omn. Denotamos además por �A a la matriz (�1)A. Por ejemplo A = � �1 1 4 3 � , entonces �A =(�1)A = � 1 �1 �4 �3 � . De�nimos la resta de matrices como A�B = A+(�B), siempre que la última ope- ración pueda ser efectuada. Similar a los vectores, sumas de múltiplos escalares de matrices son llamadas com- binaciones lineales. Por ejemplo, 3A � 2B + 5C es una combinación lineal de las matrices A;B y C. 28 1.3 Operaciones Fundamentales con Matrices 1.3.3. Propiedades Fundamentales de la Suma y Multiplicación Escalar Las propiedades de las operaciones para matrices establecidas en el siguiente teo- rema son similares a las propiedades de los vectores dadas en el Teorema 1.3. Teorema 1.11 Sean A;B y C matrices de tamaño m � n (elementos en Mmn), y sean c y d dos escalares cualquiera. Entonces (1) A+B = B+A Ley conmutativa de la suma (2) (A+B) +C = A+(B+C) Ley asociativa de la adición (3) Omn+A = A+Omn= A Existencia del elemento identidad de la adición (4) A+(�A) = (�A) +A = Omn Existencia del elemento inverso para la adición (5) c (A+B) = cA+ cB Leyes distributivas para la multiplicación (6) (c+ d)A =cA+dA escalar sobre la adición (7) (cd)A =c (dA) Asociatividad de la multiplicación escalar (8) 1A = A Propiedad de la identidad para la multiplicación escalar Para demostrar cada propiedad, se calculan las entradas correspondientes en ambos lados y se aplican las propiedades adecuadas de los números reales para mostrar que son iguales. Demostraremos la parte (1) como ejemplo y dejamos las restantes como ejercicio en el Ejercicio 6. Demostración de la parte (1): Para cualquier i; j, donde 1 � i � m y 1 � j � n, la (i; j)� ésima entrada de A + B es la suma de aij y bij. Pero aij + bij = bij + aij por la propiedad conmutativa para la suma de los números reales. Por lo tanto A+B = B+A, porque las entradas correspondientes son iguales. 1.3.4. Transpuesta de una Matriz y sus Propiedades De�nición 1.15 Si A es una matriz m� n, la transpuesta de A, denotada por AT , es la matriz n�m cuya (i; j)� ésima entrada es la (j; i)� ésima entrada de A. Transponer A es mover la (i; j)� ésima entrada de A a la (j; i)� ésima entrada de AT . Notemos que las entradas en la diagonal principal no se mueven cuando convertimos A en AT . Sin embargo, todas las entradas arriba de la diagonal principal se mueven hacia abajo y viceversa. Por ejemplo, A = � 1 2 3 4 5 6 � ;AT = 241 42 5 3 6 35 B = 241 2 34 5 6 7 8 9 35 ;BT = 241 4 72 5 8 3 6 9 35 29 1 Vectores y Matrices Notemos que el transponer una matriz A cambia las columnas de A en las �las de AT . Similarmente, las �las de A se transforman en las columnas de AT . Observemos además que la transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa. Hay tres propiedades de la transpuesta y estas son mostradas en el siguiente teore- ma. Demostraremos solo una de ellas y el resto se deja como ejercicio en el Ejercicio 7. Teorema 1.12 Sean A y B dos matrices m� n, y c un escalar. Entonces (1) � AT �T = A (2) (A+B)T = AT+BT (3) (cA)T =cAT Demostración de la parte (2): Notemos que (A+B)T ;AT y BT son matrices de tamaño n�m. Necesitamos mostrar que las (i; j)� ésima entradas de (A+B)T y AT+BT son iguales, para 1 � i � m y 1 � j � n. Ahora, la (i; j)� ésima entrada de (A+B)T es la (j; i)� ésima entrada de A+B, por lo que esta es aji + bji. Pero la (i; j)� ésima entrada de AT+BT es la (i; j)� ésima entrada de AT más la (i; j)� ésima entrada de BT la cual es también aji+ bji por lo que ambas son iguales. 1.3.5. Matrices Simétricas y Antisimétricas De�nición 1.16 Una matriz A es llamada simétrica si y solo si AT = A. Una matriz A es llamada antisimétrica6 si y solo si AT = �A. En el Ejercicio 3 se te pedirá mostrar que cualquier matriz simétrica o antisimétrica debe ser una matriz cuadrada. Ejemplo 1.11 Consideremos las siguientes matrices A = 241 5 35 2 4 3 4 7 35 ;B = 2664 0 �4 3 5 4 0 �2 1 �3 2 0 0 �5 �1 0 0 3775 A es simétrica y B es antisimétrica, porque sus respectivas transpuestas son AT = 241 5 35 2 4 3 4 7 35 ;BT = 2664 0 4 �3 �5 �4 0 2 �1 3 �2 0 0 5 1 0 0 3775 6Las matrices antisimétricas son también llamadas skew-simétricas. 30 1.3 Operaciones Fundamentales con Matrices las cuales son igualesa A y �B, respectivamente. Sin embargo, ninguna de las si- guientes matrices son simétricas o antisimétricas C = 24 1 2 3�2 0 �1 �3 1 4 35 ;D = 241 23 4 5 6 35 Notemos que una matriz A n� n es simétrica (antisimétrica) si y solo si aij = aji (aij = �aji) para toda i; j tal que 1 � i; j � n. En otras palabras, las entradas arriba de la diagonal principal son re�ejadas a través de la diagonal con el mismo signo (simétrica) o con signo diferente (antisimétrica). Dado que los elementos de la diagonal son re�ejados en ellos mismos, todos los elementos en la diagonal principal de una matriz antisimétrica deben de ser cero. Notemos además que toda matriz diagonal es igual que su transpuesta, y por tanto son automáticamente simétricas. Otro resultado útil es el siguiente: Teorema 1.13 Toda matriz cuadrada A puede ser descompuesta en forma única como la suma de dos matrices S y V, donde S es una matriz simétrica y V es una matriz antisimétrica. Un esbozo de la demostración del Teorema 1.13 es dado en el Ejercicio 9, el cual establece que S = 1 2 � A+AT � y V = 1 2 � A�AT � . Ejemplo 1.12 Podemos descomponer la matriz A = 24 1 2 4�7 5 3 2 4 6 35 como la suma de dos matrices S y V, donde S es una matriz simétrica y V es una matriz antisimétrica, donde S = 1 2 0B@ 24 1 2 4�7 5 3 2 4 6 35+ 24 1 2 4�7 5 3 2 4 6 35T 1CA = 24 1 �52 3�5 2 5 7 2 3 7 2 6 35 V = 1 2 0B@ 24 1 2 4�7 5 3 2 4 6 35� 24 1 2 4�7 5 3 2 4 6 35T 1CA = 24 0 92 1�9 2 0 �1 2 �1 1 2 0 35 Notemos que S y V son realmente matrices simétricas y antisimétricas respectiva- mente y que A = S+V. Vocabulario 31 1 Vectores y Matrices Diagonal principal Matriz cuadrada Inverso aditivo de una matriz Matriz diagonal Ley asociativa para la adición matricial Matriz identidad Ley asociativa para la mult. escalar Matriz simétrica Ley conmutativa para la adición matricial Matriz triangular inferior Leyes distributivas para matrices Matriz triangular superior Matriz Transpuesta de una matriz Matriz cero Tamaño de una matriz Matriz antisimétrica Traza de una matriz Hechos importantes Una matriz m� n puede ser pensada como una colección de m vectores �la en Rn, o una colección de n vectores columna en Rm. Los diferentes tipos especiales de matrices incluyen a las matrices cuadradas, diagonales, triangular inferior y superior, matrices identidad y matrices cero. La adición matricial y la multiplicación escalar satisfacen las leyes conmutativa, asociativa y distributivas. La transpuesta de una suma es igual a la suma de las transpuestas, y la transpuesta de la multiplicación escalar es la multiplicación escalar del escalar y la transpuesta de la matriz original. Una matriz es simétrica si y solo si es igual a su transpuesta. Todas las entradas arriba de la diagonal principal de una matriz simétrica son re�ejadas a través de la diagonal principal. Una matriz es antisimétrica si y solo si su transpuesta es igual al negativo de la matriz. Todas las entradas en la diagonal principal deben de ser cero. Toda matriz cuadrada es la suma, en forma única, de una matriz simétrica y de una matriz antisimétrica. Ejercicios para la Sección 1.3 1. Calcule lo siguiente, si es que es posible, para las matrices: A = 24�4 2 30 5 �1 6 1 �2 35 ;B = 246 �1 02 2 �4 3 �1 1 35 ;C = � 5 �1�3 4 � D = � �7 1 �4 3 �2 8 � ;E = 243 �3 51 0 �2 6 7 �2 35 ;F = 248 �12 0 5 �3 35 32 1.3 Operaciones Fundamentales con Matrices a) A+B b) C+D c) 4A d) 2A� 4B e) C+ 3F� E f ) A�B+ E g) 2A� 3E�B h) 2D� 3F i) AT + ET j ) (A+ E)T k) 4D+ 2FT l) 2CT � 3F m) 5 � ET �DT � n) � (B�A)T + E �T 2. Demuestre que si AT = BT , entonces A = B. 3. a) Demuestre que cualquier matriz simétrica o antisimétrica es una matriz cuadrada. b) Demuestre que cualquier matriz diagonal es simétrica. c) Demuestre que (In) T = In. (Indicación: Use la parte b).) d) Describa completamente a una matriz que sea a la vez diagonal y anti- simétrica. 4. Asumamos que A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño. a) Si A y B son diagonales, demuestre que A+B es diagonal. b) Si A y B son simétricas, demuestre que A+B es simétrica. c) Si A y B son antisimétricas, demuestre que A+B es antisimétrica 5. Asumamos que A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño. Si A y B son triangulares inferiores, demuestre que A+B es triangular inferior: a) SiA es una matriz simétrica, demuestre queAT y cA son también matrices simétricas. b) Si A es una matriz antisimétrica, demuestre que AT y cA son también matrices antisimétricas. 6. Demuestre las partes (4), (5) y (7) del Teorema 1.11. 7. Demuestre las partes (1) y (3) del Teorema 1.12. 8. Sea A una matriz m � n. Demuestre que si cA = Omn, entonces c = 0 ó A = Omn. 9. Este ejercicio muestra un esbozo de la demostración del Teorema 1.13. Sea A una matriz n� n, 33 1 Vectores y Matrices a) Demuestre que 1 2 � A+AT � es una matriz simétrica. b) Demuestre que 1 2 � A�AT � es una matriz antisimétrica. c) Demuestre que A =1 2 � A+AT � + 1 2 � A�AT � . d) Explique como las partes a) a la c). son su�cientes para demostrar el Teo- rema 1.13. 10. La traza de una matriz cuadrada A es la suma de los elementos en la diagonal principal. a) Determine la traza de cada matriz cuadrada en el Ejercicio 1. b) Si A y B son matrices n� n, demuestre que 1) Traza(A+B) = Traza(A)+ Traza(B) 2) Traza(cA) = cTraza(A) 3) Traza(A) = Traza � AT � c) Supongamos que Traza(A) = Traza(B) para dos matrices. ¿Demuestra esto que A = B? Argumente su respuesta. 11. Falso o Verdadero a) Una matriz de tamaño 5�6 tiene exactamente seis entradas en su diagonal principal. b) La transpuesta de una matriz triangular inferior es una matriz triangular superior. c) Ninguna matriz antisimétrica es una matriz diagonal. d) Si V es una matriz antisimétrica, entonces �VT = V. e) Para todo escalar c y matrices m�n; A y B, � c � AT +B ��T = cBT + cA. 1.4. Multiplicación de Matrices Otra operación útil es la multiplicación de matrices, la cual es una generalización del producto punto de vectores. 1.4.1. De�nición de Multiplicación de Matrices Dos matricesA y B pueden ser multiplicadas (en ese orden) solamente si el número de columnas de A es igual al número de �las de B. En este caso, Tamaño del producto AB = (número de �las de A) � (número de columnas de B) 34 1.4 Multiplicación de Matrices Esto es, si A es una matriz m � n y B es una matriz n � p entonces AB es una matriz m� p. Las entradas de AB están dadas en la siguiente de�nición: De�nición 1.17 Si A es una matriz m � n y B es una matriz n � p, la matriz C = AB es la matriz m�p tal que la entrada (i; j) es el producto punto de la i�ésima �la de A con la j�ésima columna de B. Esto es, cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + � � �+ ainbnj = nX k=1 aikbkj. Dado que el número de columnas en A es igual al número de �las en B en esta de�nición, cada �la deA contiene el mismo número de entradas en cada columna deB. Entonces es posible efectuar los productos puntos necesarios para calcular C = AB. Ejemplo 1.13 Consideremos A = � 5 �1 4 �3 6 0 � y B = 24 9 4 �8 27 6 �1 0 �2 5 3 �4 35 Dado que A es una matriz 2�3 y B es una matriz 3�4;el número de columnas de A es igual al número de columnas de B (3 en este caso), A y B pueden ser multiplicadas y la matriz producto C = AB es una matriz 2� 4 porque A tiene dos �las y B tiene cuatro columnas. Para calcular cada entrada de C, tomamos el producto punto de la �la apropiada de A con la columna apropiada de B. Por ejemplo, para calcular c11, tomamos la primera �la de A con la primera columna de B: c11 = � 5 �1 4 � � 24 97 �2 35 = (5) (9) + (�1) (7) + (4) (�2) = 30 Para calcular c23, tomamos la segunda �la de A con la tercera columna de B: c23 = � �3 6 0 � � 24�8�1 3 35 = (�3) (�8) + (6) (�1) + (0) (3) = 18 Las otras entradas son calculadas en forma similar obteniendo C = AB = � 30 34 �27 �6 15 24 18 �6 � Ejemplo 1.14 Consideremos las cinco matrices siguientes: D = 24�2 10 5 4 �3 35 ;E = �1 �6 0 2 � ;F = � �4 2 1 � G = 24 7�1 5 35; y H = �5 0 1 �3 � 35 1 Vectores y Matrices Los únicos productos posibles de estas matrices son DE = 24�2 140 10 4 �30 35 ;DH = 24�9 �35 �15 17 9 35 ;GF = 24�28 14 74 �2 �1 �20 10 5 35 EE = � 1 �18 0 4 � ;EH = � �1 18 2 �6 � ;HE = � 5 �30 1 �12 � HH = � 25 0 2 9 � ;FG = [�25] ; y FD = � 12 3 � El Ejemplo 1.14 nos muestra que el orden en el cual la multiplicación de matrices es efectuado si es importante. De hecho, para dos matrices dadas, podemos observar lo siguiente: El producto puede no estar de�nido (por ejemplo DG o GD). Un producto puede ser de�nido, pero no el otro (DE está de�nido, pero no ED). Ambos productos pueden estar de�nidos pero los tamaños de los resultados son diferentes (FG es una matriz 1� 1 pero GF es una matriz 3� 3) Ambos productos pueden estar de�nidos, y tener el mismo tamaño, pero los resultados pueden ser diferentes (EH yHE son matrices 2�2 pero las entradas son diferentes). En casos inusuales, cuando AB = BA, decimos que A y B conmutan, o que A conmuta con B. Pero, como hemos observado, no se cumple en general la ley conmutativa para la multiplicación de matrices, aunque la ley conmutativa para la suma de matrices si se cumple. Si A es una matriz cualquiera de tamaño 2�2, entonces AI2 = I2A = A, donde I2 es la matriz identidad � 1 0 0 1 � . Por ejemplo, si A = � �4 2 5 6 � , entonces� �4 2 5 6 � � 1 0 0 1 � = � 1 0 0 1 � � �4 2 5 6 � = � �4 2 5 6 � . En el Ejercicio 7 generalizamos es- to al mostrar que si A es cualquier matriz m� n, entonces AIn = ImA = A. 1.4.2. Combinaciones Lineales en la Multiplicación de Matrices Formar una combinación lineal de las �las o columnas de una matriz puede ser efectuado en forma simple usando la multiplicación de matrices. Esto es ilustrado en el siguiente ejemplo. 36 1.4 Multiplicación de Matrices Ejemplo 1.15 Consideremos la matriz A = 24 3 �2 6 5�1 4 �1 �3 2 �5 3 �6 35 A �n de obtener una combinación lineal de las �las de A tal como 7(primera �la de A)�8(segunda �la de A)+9(tercera �la de A), solo necesitamos multiplicar A por la izquierda por el vector de coe�cientes � 7 �8 9 � . Esto es � 7 �8 9 � 24 3 �2 6 5�1 4 �1 �3 2 �5 3 �6 35 = [7 (3) + (�8) (�1) + 9 (2) ; 7 (�2) + (�8) (4) + 9 (�5) ; 7 (6) + (�8) (�1) + 9 (3) ; 7 (5) + (�8) (�3) + 9 (�6)] = 7 � 3 �2 6 5 � + (�8) � �1 4 �1 �3 � + 9 � 2 �5 3 �6 � = � 47 �91 77 5 � Similarmente, podemos crear una combinación lineal de las columnas de A tal co- mo 10(primera columna de A)�11(segunda columna de A)+12(tercera columna de A)�13(cuarta columna de A) al multiplicar A por la derecha por el vector de coe�- cientes 2664 10 �11 12 �13 3775. Esto es 24 3 �2 6 5�1 4 �1 �3 2 �5 3 �6 35 2664 10 �11 12 �13 3775 = 24 3 (10) + (�2) (�11) + 6 (12) + 5 (�13)(�1) (10) + (4) (�11) + (�1) (12) + (�3) (�13) 2 (10) + (�5) (�11) + 3 (12) + (�6) (�13) 35 = 10 24 3�1 2 35� 11 24�24 �5 35+ 12 24 6�1 3 35� 13 24 5�3 �6 35 = 24 59�27 189 35 37 1 Vectores y Matrices 1.4.3. Propiedades Fundamentales de la Multiplicación de Matrices Si la matrizO es multiplicada por cualquier matrizA o la matrizA es multiplicada por la matriz O el resultado es O (ver Ejercicio 6). El siguiente teorema muestra algunas propiedades importantes de la multiplicación de matrices: Teorema 1.14 Supóngase que A;B y C son matrices para las cuales las sumas y productos están bien de�nidos. Sea c un escalar. Entonces (1) A (BC)= (AB)C Ley asociativa de la multiplicación (2) A (B+C)= AB+AC Leyes distributivas para la (3) (A+B)C = AC+BC multiplicación sobre la adición (4) c (AB) = (cA)B = A (cB) Ley asociativa para escalares La demostración de la parte (1) del Teorema 1.14 es más difícil que las otras, y por tanto está incluida en el Apéndice B para el lector interesado. Se te pedirá demostrar las partes (2), (3) y (4) en el Ejercicio 5. Otras propiedades que esperaríamos para la multiplicación de matrices no se cumplen (tal como la ley conmutativa). Por ejemplo, las leyes de la cancelación del álgebra no se cumplen en general. Esto es, si AB = AC, con A 6= O, no necesariamente se sigue que B = C. Por ejemplo, si A = � 2 1 6 3 � ;B = � �1 0 5 2 � ;C = � 3 1 �3 0 � entonces AB = � 2 1 6 3 � � �1 0 5 2 � = � 3 2 9 6 � y AC = � 2 1 6 3 � � 3 1 �3 0 � = � 3 2 9 6 � Entonces AB = AC, pero B 6= C. Similarmente, si AB = CB, no necesariamente se cumple que A = C. Además, siAB = O, no necesariamente se tiene queA = O o B = O. Por ejemplo, si A = � 2 1 6 3 � ;B = � �1 2 2 �4 � entonces AB = � 2 1 6 3 � � �1 2 2 �4 � = � 0 0 0 0 � En este caso AB = O2 pero A 6= O2 y B 6= O2. 1.4.4. Potencias de Matrices Cuadradas Cualquier matriz cuadrada puede ser multiplicada por sí misma porque el número de �las es igual al número de columnas. De hecho, las matrices cuadradas son las únicas 38 1.4 Multiplicación de Matrices matrices que pueden ser multiplicadas por sí mismas (¿por qué?). Las potencias de enteros no negativos de una matriz cuadrada son de�nidas de forma natural. De�nición 1.18 Sea A una matriz n� n. Las potencias (no negativas) de A están dadas por A0 = In;A1 = A, y para k � 2, Ak = � Ak�1 � A. Ejemplo 1.16 Supongamos que A = � 2 1 �4 3 � , entonces A0 = � 1 0 0 1 � A1 = � 2 1 �4 3 � A2 = AA = � 2 1 �4 3 � � 2 1 �4 3 � = � 0 5 �20 5 � A3 = A2A = � 0 5 �20 5 � � 2 1 �4 3 � = � �20 15 �60 �5 � Ejemplo 1.17 La matriz identidad In es una matriz cuadrada, por lo que Ikn exis- te para k = 0; 1; 2; : : :. Sin embargo, dado que InA = A para cualquier matriz A, tenemos entonces que InIn = In. Por lo tanto Ikn = In para k = 0; 1; 2; : : :. El siguiente teorema a�rma que las leyes de los exponentes en el álgebra son válidas para potencias de matrices cuadradas. La demostración es dejada como Ejercicio 8 Teorema 1.15 Si A es una matriz cuadrada, y s y t son enteros no negativos, en- tonces (1) As+t = (As) (At) (2) (As)t = Ast = (At)s Como un ejemplo de la parte (1) de este teorema, tenemos queA4+6 = (A4) (A6) = A10. Como un ejemplo de la parte (2) tenemos que (A3)2 = (A2)3 = A6. Una ley de los exponentes del álgebra elemental que no se cumple en la álgebra de matrices es (xy)q = xqyq. De hecho, si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, usualmente (AB)q 6= AqBq si q es un entero mayor o igual a 2. Aún en el caso simple de q = 2; usualmente (AB)2 = (AB) (AB) 6= (AA) (BB) porque el orden en la multiplicación si es importante. Ejemplo 1.18 Sea A = � 2 �4 1 3 � ;B = � 3 2 �1 5 � 39 1 Vectores y Matrices Entonces (AB)2 = �� 2 �4 1 3 � � 3 2 �1 5 ��2 = � 10 �16 0 17 �2 = � 100 �432 0 289 � Sin embargo A2B2 = � 2 �4 1 3 �2 � 3 2 �1 5 �2 = � 0 �20 5 5 � � 7 16 �8 23 � = � 160 �460 �5 195 � Por lo tanto, en este caso en particular (AB)2 6= A2B2. 1.4.5. Transpuesta de un Producto de Matrices Teorema 1.16 Si A es una matriz m � n y B es una matriz n � p, entonces (AB)T = BTAT . Este resultado parece ser inusual ya que esperaríamos que (AB)T = ATBT . Pero notemos que ATBT pudiese no estar de�nida si m 6= p porque AT es una matriz n�m y BT es una matriz p� n. Se tiene que la transpuesta de un producto de dos matrices es el producto de sus transpuestas pero en orden inverso. Demostración: Dado que AB es una matriz m� p, BT es una matriz p�n y AT es una matriz n�m se sigue que (AB)T y BTAT son ambas matrices p�m. Por tanto, solo necesitamos mostrar que la entrada (i; j)� ésima de (AB)T es la (j; i)� ésima entrada de BTAT , para 1 � i � p y 1 � j � m. Ahora bien, la (i; j)� ésima entrada de (AB)T es la (j; i)�ésima entrada de AB, la cual es el producto punto de la j� ésima �la de A con la i� ésima columna de B. Sin embargo, la (i; j)�ésima entrada en BTAT es el producto punto de la i� ésima �la de BT (i�ésima columna de B) con la j� ésima columna de AT (j� ésima �la de A). Por lo tanto, las entradas de (AB)T y BTAT son iguales. Ejemplo 1.19 Para las matrices A y B del Ejemplo 1.18, tenemos A = � 2 �4 1 3 � ;B = � 3 2 �1 5 � AB = � 10 �16 0 17 � ;BT= � 3 �1 2 5 � ; y AT= � 2 1 �43 � Por lo que BTAT = � 3 �1 2 5 � � 2 1 �4 3 � = � 10 0 �16 17 � = (AB)T 40 1.4 Multiplicación de Matrices Notemos, sin embargo que ATBT= � 2 1 �4 3 � � 3 �1 2 5 � = � 8 3 �6 19 � 6= (AB)T Vocabulario Identidad para la multiplicación Multiplicación de matrices Matrices conmutantes Potencias de Matrices Matrices idempotentes Hechos importantes Dos matrices puedes ser multiplicadas solamente cuando el número de columnas de la primera es igual al número de �las de la segunda. Si dos matrices pueden ser multiplicadas, la matriz resultante tendrá el mismo número de �las que la primer matriz y el mismo número de columnas que la segunda. La (i; j)�ésima entrada de un producto de matrices es el producto punto de la i�ésima �la de la primera matriz con la j�ésima columna de la segunda matriz. En la multiplicación de matrices, el orden de las matrices es importante; esto es, un resultado diferente (o sin resultado) puede ser obtenido si el orden de las matrices es cambiado. La k�ésima �la de un producto de matrices es igual a la k�ésima �la de la primer matriz por la segunda matriz, y la l�ésima columna de un producto de matrices es igual al producto de la primer matriz con la l�ésima columna de la segunda matriz. Las leyes asociativa y distributivas se cumplen para la multiplicación de matri- ces, pero no se cumple la ley conmutativa. Las leyes de cancelación no se cumplen en general. Esto es, Si AB = AC o BA = CA esto no necesariamente implica que B = C. Cualquier producto de una matriz con la matriz cero es la matriz cero. Sin embargo, si el producto de dos matrices es cero, no necesariamente se tiene que por lo menos una de ellas sea cero. Las leyes usuales de los exponentes se cumplen para matrices cuadradas, excepto que una potencia de un producto de matrices no es igual al producto de las potencias de las matrices; esto es, En general (AB)q 6= AqBq. En particular ABAB =(AB)2 6= A2B2 = AABB. 41 1 Vectores y Matrices La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las matrices transpuestas pero en orden invertido; esto es (AB)T = BTAT Si A es una matriz m � n, B es una matriz 1 � n, y C es una matriz n � 1, entonces BA es igual a una combinación lineal de las �las de A, y AC es una combinación lineal de las columnas de A. Ejercicios para la Sección 1.4 En los ejercicios 1 al 3 las matrices a considerar son A = 24�2 36 5 1 �4 35 ;B = 24�5 3 63 8 0 �2 0 4 35 ;C = 2411 �2�4 �2 3 �1 35 D = 24 �1 4 3 72 1 7 5 0 5 5 �2 35 ;E = 2664 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 3775 ;F = 2664 9 �3 5 �4 2 0 3 �3 3775 G = 24 5 1 00 �2 �1 1 0 3 35 ;H = 24 6 3 11 �15 �5 �2 �1 10 35 ;J = 24 8�1 4 35 K = � 2 1 �5 0 2 7 � ;L = � 10 9 8 7 � ;M = � 7 �1 11 3 � N = � 0 0 0 0 � ;P = � 3 �1 4 7 � ;Q = � 1 4 �1 6 8 7 �3 3 � R = � �3 6 �2 � ;S = � 6 �4 3 2 � ;T = � 4 �1 7 � 1. ¿Cuál de los siguientes productos son posibles? Si es posible, calcule el producto. a) AB b) BA c) JM 2. Determine cuales pares de matrices conmutan. a) L yM b) G y H c) A y K d) N y P e) F y Q 3. Determine solamente la �la o columna indicada en cada producto especi�cado 42 1.5 Matrices Inversas a) La segunda �la de BG b) La tercera columna de DE c) La primera columna de SE d) La tercera �la de FQ 4. Asumiendo que en los siguientes problemas, los productos existen ¿cuáles de las siguientes ecuaciones son válidas? Si es válida, especi�que cuales teoremas (y sus partes) aplican. a) (RG)H = R (GH) b) LP = PL c) E (FK) = (EF)K d) K (A+C) = KA+KC e) � Q+ FT � ET = QET + (EF)T 5. Demuestra las partes (2), (3) y (4) del Teorema 1.14. 6. Sea A una matriz m� n. Demuestre que AOnp = Omp. 7. Sea A una matriz m� n, demuestre que AIn = ImA = A. 8. Demuestre cada parte del Teorema 1.15 usando inducción (Indicación: Use in- ducción para t en ambas partes. Parte (1) es de utilidad en la demostración de la parte (2)). 9. Falso o Verdadero: a) Si AB está de�nido, la j � ésima columna de AB es igual a A por la j� ésima columna de B. b) Si A;B;D son matrices n� n, entonces D (A+B) = DA+DB. c) Si t es un escalar y D;E son matrices n� n, entonces (tD)E = D (tE). d) Si D;E son matrices n� n, entonces (DE)2 = D2E2. e) Si D;E son matrices n� n, entonces (DE)T = DTET . f ) Si DE = O, entonces D = O ó E = O. 1.5. Matrices Inversas En esta sección estableceremos la de�nición de matriz inversa de una matriz cuadra- da y algunas de sus propiedades. Iniciamos considerando una matriz A de tamaño n � n la cual tiene una matriz que sea su inverso multiplicativo (esto es, una ma- triz A�1 tal que AA�1 = In). No todas las matrices tienen inverso multiplicativo. Examinaremos algunas propiedades de las inversas multiplicativas e ilustraremos un método para determinar esas inversas si es que éstas existen (caso 2� 2). 43 1 Vectores y Matrices 1.5.1. Inverso Multiplicativo de una Matriz Cuando usemos la palabra �inversa� con las matrices, nos referiremos especí�ca- mente al inverso multiplicativo de la siguiente de�nición, en lugar del inverso aditivo establecido en el Teorema 1.11, parte (4). De�nición 1.19 Sea A una matriz n � n. Entonces la matriz B de tamaño n � n es llamada la inversa (multiplicativa) de A si y solo si AB = BA = In. Podemos observar que si A es la inversa de B, entonces B es la inversa de A, como puede observarse al cambiar los papeles de A y B en la de�nición anterior. Ejemplo 1.20 Las matrices A = 24 1 �4 11 1 �2 �1 1 1 35 y B = 24 3 5 71 2 3 2 3 5 35 son inversas una de la otra ya que24 1 �4 11 1 �2 �1 1 1 3524 3 5 71 2 3 2 3 5 35 = 24 1 0 00 1 0 0 0 1 35 y 24 3 5 71 2 3 2 3 5 3524 1 �4 11 1 �2 �1 1 1 35 = 24 1 0 00 1 0 0 0 1 35 Sin embargo, C = � 2 1 6 3 � no tiene inversa, ya que si esta existe se debe satisfacer que � 2 1 6 3 � � a b c d � = � 1 0 0 1 � para algunos valores de a; b; c y d. Pero� 2 1 6 3 � � a b c d � = � 2a+ c 2b+ d 6a+ 3c 6b+ 3d � por lo que 2a+ c = 1 2b+ d = 0 6a+ 3c = 0 6b+ 3d = 1 Al multiplicar la primera ecuación por 3 se tiene que 6a + 3c = 3, pero la tercera ecuación establece que 6a + 3c = 0 obteniéndose una contradicción por lo que el sistema no tiene solución y por tanto la matriz inversa no existe. 44 1.5 Matrices Inversas Cuando veri�camos si dos matrices cuadradas A y B son inversas, no necesitamos multiplicar ambos productos AB y BA, como el siguiente teorema lo a�rma. Teorema 1.17 Sean A y B dos matrices n � n. Si alguno de los productos AB o BA es igual a In entonces el otro producto es igual a In y A y B son inversas una de la otra. La demostración es tediosa y se encuentra en el Apéndice B para el lector interesado. De�nición 1.20 Una matriz cuadrada es singular si y solo si no tiene una inversa. Una matriz cuadrada es no singular si y solo si tiene una inversa. Por ejemplo, la matriz C del Ejemplo 1.20 es una matriz singular dado que no tiene inversa. Otro ejemplo de una matriz n� n singular es la matriz On. Por otro lado, la matriz A del Ejemplo 1.20 es no singular porque B es la inversa de A. 1.5.2. Propiedades de la Matriz Inversa El teorema siguiente establece que si existe la matriz inversa entonces ésta debe ser única. Teorema 1.18 Si B y C son matrices inversas de una matriz A, entonces B = C. Demostración: B = BIn = B (AC) = (BA)C = InC = C. Debido a que el Teorema 1.18 establece que una matriz A no singular tiene sola- mente una inversa, denotaremos a la inversa de A como A�1. Para una matriz no singular A, podemos usar la inversa para de�nir las potencias negativas de A. De�nición 1.21 Sea A una matriz n�n no singular. Entonces las potencias negati- vas de A se de�nen como: A�1 es la inversa de A y para k = 2; 3; : : : ; A�k = (A�1)k. Ejemplo 1.21 Sabemos del Ejemplo 1.20 que A = 24 1 �4 11 1 �2 �1 1 1 35 y A�1 = 24 3 5 71 2 3 2 3 5 35 Dado que A�3 = (A�1)3, entonces A�3 = 24 3 5 71 2 3 2 3 5 353 = 24 272 445 689107 175 271 184 301 466 35 45 1 Vectores y Matrices Teorema 1.19 Sean A y B dos matrices n� n no singulares. Entonces (1) A�1 es
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