Notas de Teoria Estadistica - ANETTE RACHEL PINACHO MATIAS

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Teoŕıa Estad́ıstica
Notas del curso (en proceso)
Licenciatura en Matemáticas
Depto. de Matemáticas
Cs. Básicas, CUCEI.
Rubén Sánchez Gómez
Conceptos básicos
Desde la concentración de un medicamento en el organismo de una persona, hasta
la trayectoria que sigue una part́ıcula que es bombardeada por un haz de fotones, la
gran mayoŕıa de sistemas (biológicos, f́ısicos, sociales, medio ambiente, espacio,. . . )
exhiben patrones complejos de variaciones impredecibles. Por ejemplo, las especies
que constituyen el medio ambiente terrestre poseen propiedades que cambian de forma
impredecible bajo la influencia de un conjunto de variables meteorológicas y geográficas
que interactúan entre si: Temperatura, presión, inclusive el número de peces en un lago
o el mismo lago.
Cuando el grado de desorden en la variación impredecible es suficientemente bajo,
en comparación con la variable de estudio, los modelos determińısticos propuestos
en la literatura presentan una buena opción para analizar la variación bajo cierto
grado de error. Sin embargo, en caso de que el grado de desorden en la magnitud
de interés presente fuertes diferencias al implementar los modelos determińısticos, es
entonces cuando la teoŕıa de probabilidad y estad́ıstica juegan un papel fundamental
en el trabajo de investigación.
Importancia de la probabilidad y estad́ıstica
En la literatura cient́ıfica se puede encontrar una serie de “errores” en la ciencia que ha
generado cambios en las teoŕıas y criterios que fundamentan el conocimiento humano;
algunos atribuibles a descuidos o desconocimiento de estos componentes y remarcando
la palabra errores entre comillas porque realmente no se pueden señalar como tal. Por
ejemplo, Isaac Newton se percató de que el movimiento de los cuerpos celestes no pod́ıa
ser regular y afirmó que: “los planetas ni se mueven exactamente en elipses, ni giran
dos veces según la misma órbita”.
Para Newton, ferviente religioso, la estabilidad de las órbitas de los planetas
implicaba “reajustes” continuos sobre sus trayectorias y éstas, seguramente eran
impuestas por un poder supremo o divino.
1
2 1
Este elegantı́simo sistema del Sol, los planetas y los cometas sólo
pudo originarse en el consejo y dominio de un ser poderoso e
inteligente. . . Este rige las cosas, no como alma del mundo, sino como
dueño de los universos. . .
–Isaac Newton (PHILOSOPHIÆ NATURALIS,
PRINCIPIA MATHEMATICA, pp. 482)
Realmente el trabajo descrito por Newton en su Philosophiæ Naturalis Principia
Mathematica (∼ 1687) requeŕıa herramientas no descritas formalmente para su época, no
obstante su trabajo es basto y detallado.
A falta de argumento para resolver una perturbación en sus resultados, decide afirmar que
Dios “corrige” las cosas cada periodo de tiempo, de modo que todo retorna a su lugar y
esto le implicó observaciones directas por quienes teńıan evidencia suficiente para criticar
su hipótesis divina (v. gr. Descartes y Leibniz) y burlas posteriores por ejemplo de Laplace
tras su tratado de Mécanique Céleste (∼ 1796) señalando que para Él, “fue innecesaria una
hipótesis divina” al entregar su trabajo a Napoleón Bonaparte.
3 1
Determinismo vs Aleatoriedad
En la literatura hay una serie de sugerencias que permiten hacerse de elementos suficientes
para toma decisiones; no obstante, existen caracteŕısticas inherentes en estas magnitudes
que hacen más complejo el análisis e implican decisiones absurdas o irreales al problema.
Dichas caracteŕısticas de los datos son, por ejemplo, efectos de tendencia, efectos periódicos,
dependencia espacial y/o temporal, entre otras.
Para experimentos que se llevan a cabo en condiciones naturales at́ıpicas, tales como
condiciones controladas o con supuestos restringidos, o bien si se quiere efectuar únicamente
un experimento y no hay repeticiones, se conocen como determińısticos.
Por otro lado, si un experimento que se analiza en condiciones arbitrarias o no controladas,
se incorpora entonces variaciones impredecibles o interrelacionadas. Estas variaciones poseen
propiedades f́ısicas naturales que cambian en forma no controlada bajo la influencia de algún
conjunto de variables particulares, con cierto grado de incertidumbre o aleatoriedad.
En un evento de este tipo, en presencia de un comportamiento aleatorio, si el grado de
incertidumbre es tan pequeño que se puede suponer aproximadamente cero, los modelos
determińısticos pueden ser suficientes; sin embargo, cuando el grado de desorden en el
fenómeno de estudio es aún mayor, llegando al caso en que las técnicas determińısticas
son ineficientes, la teoŕıa de eventos aleatorios, es decir, la probabilidad y estad́ıstica
convencionales que considera patrones complejos de variación y dependencia son la
herramienta que permite analizar adecuadamente el fenómeno de estudio.
Cabe mencionar que, en caso de que la probabilidad y estad́ıstica convencionales sean
insuficientes, los modelos más sofisticados, modelos estocásticos, son el campo de acción en
estos problemas complejos, en donde la magnitud aleatoria vaŕıa en el tiempo.
Experimento aleatorio y espacio muestral
Desde su origen, la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama
de la matemática fue la elaboración de una teoŕıa suficientemente precisa como para que fuese
aceptada con la rigurosidad matemática necesaria, en donde desde su definición básica
no exist́ıa acuerdo.
Por ejemplo, partiendo de lo más elemental y aceptando que un experimento consiste en
reproducir de manera controlada un fenómeno, entonces
a) un experimento aleatorio es aquel en el que se presenta cualquier resultado de un
conjunto de posibilidades, de los cuales puede ocurrir uno y solo uno de ellos cada vez que
se repita el experimento, aún cuando se tengan exactamente las mismas condiciones y aśı,
b) el conjunto de todos los resultados posibles se puede llamar espacio muestral y se le
puede representar por Ω (o S) y
c) un evento E es un subconjunto del espacio muestral, cuyos elementos tienen alguna
caracteŕıstica común, pero puede estar formado por un solo resultado del experimento, en
cuyo caso se dice que se trata de un punto muestral o evento simple,
entonces, partiendo de ésto, ¿cómo seŕıa una definición de probabilidad?
4 1
Interpretación frecuentista de probabilidad
En la literatura se pueden encontrar diferentes definiciones cuando se estudia probabilidad,
entre las que sobresalen por ejemplo:
Clásica. Expone que si un experimento puede resultar de n formas distintas, igualmente
probables y mutuamente excluyentes, y si un evento E tiene nE posibles resultados,
entonces
Pr (E) =
nE
n
Como frecuencia relativa. Si es posible repetir el experimento en condiciones idénticas y
n denota el número de repeticiones, de los cuales el evento E se ha presentado nE veces,
entonces la probabilidad de E se calcula mediante la expresión (Von Mises, 1936)
Pr (E) = ĺım
n→∞
nE
n
Subjetiva. Usualmente considerada antes de efectuar el experimento, representa el grado de
creencia o convicción que se tiene, respecto a que ocurra una afirmación. Es un juicio
personal acerca de un fenómeno impredecible.
No obstante, bajo una observación cŕıtica:
Para la definición clásica de probabilidad: ¿cómo garantizar que todos los resultados son
igualmente probables?, ¿siempre ocurrirá ésto?, ¿qué pasa si en el experimento hay una
cantidad numerable de resultados?, es decir, si nE −→∞ ¿el ĺımite seguirá existiendo?
Bajo el enfoque frecuentista, ¿cuál es el significado de una secuencia infinita de observaciones
en relación al hecho de que, la observación experimental es en śı finita?, ¿realmente tiene
sentido una aseveración de éste tipo?
En tanto que, para el enfoque subjetivo, ¿cómo implementar este argumento para lograr
una definición formal y convincente de probabilidad?
Bajo éstas y otras cŕıticas fuertes que se haćıan al estudio de la probabilidad, no fue hasta
principios delsiglo XX en que el matemático soviético Andrei Kolmogorov la define de forma
axiomática y establece las bases para la teoŕıa moderna de la probabilidad que en la actualidad
es parte de una teoŕıa más amplia como es la teoŕıa de la medida (información consultada
en http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html el 15/11/14).
Matemática preliminar
La estructura matemática más importante creada en este periodo fue el espacio de
probabilidad denotado por la terna (Ω,A, P ), en donde Ω es un conjunto no vaćıo, A es
una σ−álgebra (o σ−campo) de subconjuntos de Ω y P es una medida de probabilidad
definida sobre A. Por tal, indudablemente es necesario repasar y revisar varios conceptos
para reconocer correctamente el concepto de espacio de probabilidad.
5 1
Teoŕıa de conjuntos
Como es costumbre, los conjuntos se representan con letra mayúscula A,B,C . . ., los
elementos de un conjunto con minúsculas a, b, c, . . . y con a ∈ A se entiende que a es elemento
de A y #(A) representa la cardinalidad de un conjunto (número de elementos). El conjunto
de los números naturales se simbolizan con IN y los números reales con IR. De aqúı, sea A
una clase no vaćıa de subconjuntos A de Ω 6= ∅, es decir A = {A : A ⊆ Ω}.
Álgebra de conjuntos: Algunas de las definiciones de teoŕıa de conjuntos que se requiere
repasar son:
a) denotemos con A ∪B (A+B) la unión de A y B,
b) A ∩B (AB) denota la intersección de A y B,
c) con Ac se representa el complemento de A sobre Ω, es decir, Ac ∪ A = Ω y
Ac ∩A = ∅, en donde ∅ representa al conjunto vaćıo,
d) A \B ≡ ABc es el conjunto diferencia y A4B ≡ (AcB + ABc) se conoce como
la diferencia simétrica,
e) como es usual, A ⊂ B denota que A es subconjunto de B.
f) La clase de todos los subconjuntos de Ω se denota por 2Ω y se conoce como el
conjunto potencia de Ω.
g) Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos si AB = ∅ y la secuencia de
conjuntos An, n ∈ IN o las clases de conjuntos At serán disjuntos, si todos los
pares (Ai, Aj), i 6= j son disjuntos.
h) Se escribe
∞⋃
n=1
An =
⋃
n∈IN
An o
∞∑
n=1
An =
∑
n∈IN
An a la unión de los elementos de la
secuencia An.
i) Se llama secuencia estrictamente creciente y se denotará con An ↗ cuando
An ⊂ An+1 para todo n ≥ 1 y si para algún i se tiene que Ai ⊆ Ai+1 se tendrá
un secuencia creciente.
Asimismo, será secuencia estrictamente decreciente si An ⊃ An+1 para todo n ≥ 1
y se denota como An↘; será secuencia decreciente si Ai ⊇ Ai+1 para algún i.
Si An es creciente o decreciente, se dice que es monótona.
j) Sea a ∈ Ω, se usará 1A(·) para representar una función indicadora de A, la cual
será 1 si a ∈ A y 0 si a /∈ A.
Estructuras matemáticas: En el caso del álgebra moderna:
m ) A es un campo (o álgebra) si satisface cerradura bajo complementos y uniones,
n ) A será un σ−campo si satisface cerradura bajo complementos y uniones contables.
ñ ) La pareja (Ω,A) se conoce como espacio siempre que A sea un σ−campo de
subconjuntos de Ω.
o ) A será un π−sistema siempre que AB esté en A para todo A, B en A y será un
π̄−sistema cuando esté garantizado que Ω está en A.
6 1
p ) Sea C una colección no vaćıa de subconjuntos de Ω. la σ−álgebra generada por C se
denota por σ(C) y es la colección formada por
⋂
{A : A es σ− álgebra y C ⊆ A}.
q ) Sea (Ω,A) un espacio tal que A es el sistema de todos los subconjuntos abiertos
de Ω. El σ−campo generado por A se llama σ−campo de Borel de Ω, se denota
por B(Ω) y sus elementos se conocen como conjuntos Borel, Borelianos o Borel
medibles de Ω,
r ) considere la colección de todos los intervalos abiertos (a, b) de IR con a < b. A la
mı́nima σ−álgebra generada por esta colección se le llama σ−álgebra de Borel y
se le denota por B(IR).
Algunos ejercicios
1. ¿Dios juega a los dados?. . . Señale la importancia del estudio de aleatoriedades.
2. Escriba dos ejemplos de fenómenos aleatorios.
3. Para sus dos ejemplos, describa sus espacios muestrales y sus respectivos espacios de
eventos.
4. Señale dos eventos (uno que sea imposible) de sus ejemplos previos.
5. Sea {An : n ∈ IN} un sucesión monótona, demuestre que: (i) si An ↗, entonces
ĺım
n→∞
An =
∞⋃
n=1
An. (ii) si An↘, entonces ĺım
n→∞
An =
∞⋂
n=1
An.
6. Sean F1, F2 σ−campos del mismo Ω. verifique si F = F1∩F2 también es un σ−campo.
7. Sea F una σ−álgebra de subconjuntos de Ω, compruebe que: (i) ∅ ∈ F . (ii) Si
A1, A2, . . . ∈ F , entonces
∞⋂
n=1
An ∈ F .
8. Sean A y B subconjuntos de Ω tales que A ⊆ B. Verifique en un diagrama de Venn que
la colección F es una σ−álgebra de subconjuntos de Ω que contiene expĺıcitamente a
los conjuntos A y B. F = {A,B,A−B, (A−B)c, B −A, (B −A)c} .
9. Demuestre que para cualquier a, b ∈ IR tales que a ≤ b, los intervalos (i) [a, b],
(ii) (a,∞), (iii) (−∞, b), (iv) (a, b], (v) [a, b) y (vi) {a}, son todos elementos de B(IR).
10. Muestre que si F es una colección de subconjuntos de Ω no vaćıo, F es una σ−álgebra
ssi satisface (i) Ω ∈ F .(ii) Si A,B ∈ F , entonces A − B ∈ F . (iii) Si A1, A2, . . . ∈ F ,
entonces
∞⋂
n=1
An ∈ F .
11. Sean Ω = {a, b, c, d}, A = {a, b}, B = {c, d} y C = {A,B} (i) Verifique que C no es un
σ−campo. (ii) Encuentre σ(C) de Ω.
12. Sean F1 y F2 dos σ−álgebras de subconjuntos de Ω. Muestre que F1 ∪ F2 no
necesariamente es una σ−álgebra y para ello use Ω = {1, 2, 3}, F1 = {∅, {1} , {2, 3} ,Ω}
y F2 = {∅, {1, 2} , {3} ,Ω}.
7 1
13. Diga falso o verdadero y justifique su respuesta,
a) σ
{(
1
n+ 1
,
1
n
]
: n ∈ IN
}
= B(0, 1], b) σ
{(
0,
1
n
]
: n ∈ IN
}
= B(0, 1],
c) σ
{(
1
n+ 1
,
1
n
]
: n ∈ IN
}
= σ
{(
0,
1
n
]
: n ∈ IN
}
.
14. Demuestre que B(IR) = σ {[a, b) : a ≤ b}.
Entrega en sábado 25 de Agosto
8 1
Medida
La Probabilidad es una disciplina matemática cuyos propósitos son de la misma
clase que, por ejemplo, los de la Geometŕıa o la Mecánica Anaĺıtica. En cada campo
debemos distinguir tres aspectos de la teoŕıa:
a) el contenido lógico-formal,
b) el antecedente intuitivo,
c) las aplicaciones.
El carácter y el encanto de toda estructura no puede ser apreciado sin considerar los
tres aspectos adecuadamente relacionados.
William Feller, 1950, [5]
An introduction to probability
theory and its applications
La Teoŕıa de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometŕıa o
el Álgebra
Andrei Kolmogorov, 1950, [?]
Foundations of the Theory of Probability
Def. 1. (Medida) Sea Ω un conjunto no vaćıo y A un σ−campo de Ω. El mapeo µ : A → IR+
(i.e. µ(A) ≥ 0 para todo A ∈ A) se conoce como medida en (Ω,A) si, y solo si µ(∅) = 0 y es
medida aditiva contable, si para toda secuencia disjunta An se tiene que
µ
( ⋃
n∈IN
An
)
=
∑
n∈IN
µ(An).
a ) La tripleta (Ω,A, µ) se llamará espacio medible (o espacio métrico) siempre que A sea
un σ−campo de subconjuntos de Ω.
b ) Los elementos de A se conocen como conjuntos medibles.
c ) Una medida µ es finita aditiva, si para todo A, B disjuntos medibles se tiene que
µ(A+B) = µ(A) + µ(B), y
d ) µ es finita sub-aditiva, si para todo A, B medibles, no necesariamente disjuntos, se tiene
que µ(A+B) < µ(A) + µ(B),
e ) µ es monótona si para A ⊂ B se tiene que µ(A) ≤ µ(B).
f ) Una medida µ en un espacio (Ω,A) se dice que es finita (o acotada) si µ(Ω) < ∞. En
tal caso, dado que para todo A ∈ A se satisface que A ⊂ Ω, si µ es finita y monótona, se
tiene que µ(A) ≤ µ(Ω) y µ : A → [0, µ(Ω)].
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g ) Un espacio medible (Ω,A, µ) es completo si para cualquier A, B medibles, con A ⊂ B y
µ(B) = 0 entonces µ(A) = 0.
h ) En un espacio medible completo (Ω,A, µ), se dice que A es un conjunto de medida cero
si existe B con µ(B) = 0 y A ⊂ B.
i ) Sea Ω un conjunto no vaćıo. Un mapeo µ∗ : 2Ω → IR+ se llama medida externa si:
i.- µ∗(∅) = 0
ii.- A ⊂ B implica que µ∗(A) ≤ µ∗(B) (es monótona) y
iii.- Si Bn es una sucesión de subconjuntos de Ω, entonces µ
∗
( ⋃
n∈IN
Bn
)
≤
∑
n∈IN
µ∗(Bn).
j ) Sea µ∗ una medida exterior en Ω. Se diceque E ⊂ Ω es µ∗−medible si para todo A ∈ Ω
se tiene que µ∗(A) = µ∗(AE)+µ∗(AEc) y se denotará con A∗ a la colección de conjuntos
µ∗−medible.
k ) Considere un experimento aleatorio con espacio muestral Ω es un conjunto cardinal (es
una generalización de IN para contar el número de elementos o cardinalidad, de cualquier
conjunto, finito o infinito) y asocie la σ−álgebra A = 2Ω, entonces a cualquier A ∈ A se
le puede asociar µ(A) = #(A).
l ) Se conoce como función de distribución a toda función F : IR → IR no decreciente
y cont́ınua por la derecha. La medida µ(a, b] = F (b) − F (a) sobre el espacio métrico
(IR, 2IR) se conoce como medida de Lebesgue-Stieltjes).
m ) Se puede generar una medida sobre B(IR) mediante una función f : IR→ IR no negativa
e integrable (al menos Riemann integrable) sobre cada intervalo finito, de modo que
F (x) =
x∫
−∞
f(t)dt,
y aśı, la medida de Lebesgue-Stieltjes satisface
µ(a, b] =
b∫
a
f(t)dt.
Def. 2. (Ejemplo: Medida de Probabilidad). Sea (Ω,A) un espacio métrico sobre Ω. Una
medida P : A → [0, 1] aditiva, acotada, monótona y completa, se conoce como medida de
probabilidad. Aśı, es evidente que (AXIOMAS):
a ) P (Ω) = 1 y P (∅) = 0,
b ) P (A) ≥ 0, ∀A ∈ A,
c ) Para una secuencia disjunta {An : n ∈ IN}, se tiene que P
( ∞⋃
n=1
An
)
=
∞∑
n=1
P (An),
d ) Si A ⊆ B, entonces P (A) ≤ P (B),
10 1
e ) (Probabilidad condicional) la base de dos de las propiedades elementales más conocidas
y de amplia aplicación es la probabilidad condicional de un evento A, dado otro B (con
P (B) ≥ 0) definida como P (A|B) := P (AB)/P (B)
i.- Teorema de probabilidad total. Sea (Ω,A, P ) un espacio de probabilidad y
sea An : n ∈ IN una partición de Ω tal que P (An) > 0 para toda n ∈ IN. Cualquier
evento B ∈ A satisface P (B) =
∞∑
n=1
P (B|An)P (An).
ii.- Teorema de Bayes. Sea (Ω,A, P ) un espacio de probabilidad y sea An : n ∈ IN
una partición de Ω tal que P (An) > 0 para toda n ∈ IN. Cualquier evento B ∈ A
con P (B) > 0, satisface
P (Am|B) =
P (B|Am)P (Am)
∞∑
n=1
P (B|An)P (An)
f ) (Eventos independientes) Dos eventos A y B son independientes, y se escribe A ⊥ B,
cuando P (AB) = P (A)P (B). Los eventos A1, . . . , An son independientes si se cumplen
todas y cada una de las siguientes condiciones:
P (AiAj) = P (Ai)P (Aj), i 6= j
P (AiAjAk) = P (Ai)P (Aj)P (Ak), i 6= j 6= k
...
P (A1 · · ·An) = P (A1) · · ·P (An).
Algunos ejercicios
1. Demuestre que para una medida aditiva, el hecho de que A ⊂ B implica que
µ(B −A) = µ(B)− µ(A).
2. Considere Ω = IN, sea A = 2IN y sea
µ(A) =
∑
n∈IN
4
5n
In∈A.
Verifique si µ es una medida de probabilidad.
3. Considere el espacio medible (IR,B(IR)) y sea f : IR → IR+ continua. Verifique si
µ(A) =
∫
A
f(x)dx es una medida y si lo es, ¿cómo podŕıa lograr que µ sea una medida
de probabilidad.
4. Muestre que si A ⊥ B entonces, a) A ⊥ Bc. b) Ac ⊥ B c) Ac ⊥ Bc.
5. Un evento es independiente a śı mismo si, y sólo si, su medida de probabilidad es cero
o uno.
6. Si un evento tiene probabilidad cero o uno, entonces es independiente de cualquier otro
evento, incluido él mismo.
11 1
7. Sean P y Q dos medidas de probabilidad definidas sobre un mismo σ−campo. Muestre
que αP + (1− α)Q es un a medida de probabilidad para α ∈ [0, 1].
8. Sea P una medida de probabilidad. Verifique cuáles de las siguientes funciones son
medidas de probabilidada) 1− P .b) P 2.c) (1 + P )/2.d) |P |.e) 4P (1− P ).
9. Considere el espacio de probabilidad (IN, 2IN). Verifique si P es una medida de
probabilidad, con a) P (A) =
∑
n∈IN
2
3n
. b) P (A) =
∑
n∈IN
1
7n
.
10. (Desigualdad de Bonferroni) La desigualdad de Bonferroni es particularmente útil
cuando es dif́ıcil o aún imposible calcular P (AB) y se requiere al menos una idea
del valor que pueda tener. Aśı, suponiendo que A y B son dos eventos tales que, cada
uno tiene probabilidad 0.95 de ocurrir, entonces
P (AB) ≥ P (A) + P (B)− 1
Note que, a menos que la probabilidad de ambos eventos sea suficientemente grande,
la cota de Bonferroni será negativa (pero correcta).
11. (Desigualdad de Boole) Demuestre que, si P es una medida de probabilidad, entonces
P
( ∞⋃
i=1
Ai
)
≤
∞∑
i=1
P (Ai) para cualquier colección de conjuntos Ai ∈ A.
12. Diga si es falso o verdadero y argumente su respuesta.
a) P (A−B) = P (B)− P (A).
b) 0 ≤ P (AB) ≤ P (A) ≤ P (A+B) ≤ P (A) + P (B) ≤ 2.
c) Si P (A) > 0⇒ P (A ∪B) > 0.
d) Si P (A) > 0⇒ P (A ∩B) > 0.
e) Si P (A) < 1⇒ P (A ∪B) < 1.
f) Si P (A) < 1⇒ P (A ∩B) < 1.
g) Si P (AB) = 0⇒ P (A) = 0.
h) Si P (A+B) = 0⇒ P (A) = 0.
i) Si P (A) = 1⇒ P (A+B) = 1.
j) Si P (A) = 1⇒ P (AB) = 1.
k) P (A+B + C) = P (A) + P (B)− P (AB)− P (AC)− P (BC) + P (ABC).
Reglas de conteo en espacios muestrales finitos
* Si un suceso A puede ocurrir de m formas distintas y un suceso B puede ocurrir de n
formas distintas, entonces el suceso A ∨ B puede ocurrir de m + n formas distintas
siempre que A y B no puedan ocurrir simultáneamente.
12 1
* Si un suceso A puede ocurrir de m formas distintas y un suceso B puede ocurrir de n
formas distintas, entonces el suceso A ∧B puede ocurrir de mn formas distintas.
* Una permutación es un arreglo ordenado en forma espećıfica de los elementos de un
conjunto de modo que, el número de permutaciones de n objetos diferentes es n!.
* Si de los n objetos diferentes sólo se toman r, con r ≤ n, entonces el número de
permutaciones está dado por
nr = nPr = P
n
r = Pn,r = P (n, r) =
n!
(n− r)!
* Dado un conjunto de n elementos, una combinación de tamaño r se puede obtener de
C(n, r) = nCr = C
n
r = Cn,r =
(
n
k
)
=
P (n, r)
r!
de modo que, en una combinación de objetos no importar el orden en que aparecen, de
manera que abc y acb son dos permutaciones distintas de una misma combinación.
Ejercicios (Casella & Berger, [4])
Explique en detalle los conceptos que presentan Casella & Berger en las páginas 14, 15,
16, 17 y comente con sus palabras la tabla (página 16)
Sin Con
Reemplazo Reemplazo
Ordenado
n!
(n− r)!
nr
No ordenado
(
n
r
) (
n+ r − 1
r
)
que corresponde al número de arreglos posibles de tamaño r, tomados de un conjunto con n
objetos (r < n).
Resolver tres ejercicios del libro de Casella & Berger seleccionando entre el 1.20–1.28. Por
ejemplo, en mi caso selecciono el:
Entrega en lunes 01 de Septiembre
13 1
Examen parcial UT1 el jueves 08 de Septiembre
Bibliograf́ıa
[1] Doob, J.L. (1953) Stochastics Processes. Wiley Classics Library. ISBN 978-0-471-52369-
7, pp 654.
[2] Brockwell, P. J. & Davis, R. A. (2002) Introduction to Time Series and Forecasting, 2nd
Edition, Springer-Verlag.
[3] Canavos, G.C. (1988) Probabilidad y Estad́ıstica, Aplicaciones y métodos. McGraw-
Hill/Interamericana de México S.A. de C.V. ISBN 968-451-856-0. México.
[4] Casella, G. & Berger, R.L (2002) Statistical Inference, Second Edition. Duxbury
Thomson Learning. ISBN 0-534-24312-6.
[5] Feller, W. (1950) An introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume I,
John Wiley & Sons, Inc., New York · London · Sydney.
[6] Hogg, R. V., McKean, J. W., & Craig, A. T. (2005). Introduction to mathematical
statistics. Upper Saddle River, N.J: Pearson Education.
[7] Hubbard & Hubbard (2002) Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms,
second edition, Prentice Hall.
[8] Kannan, D. (1979) An introduction to stochastic processes, Elsevier North Holland, Inc.,
Caṕıtulo 9.
[9] Kolmogorov, A. (1950) Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing
Company, English translation which appeared in Russian, 1936. Para los interesados,
está disponible en forma gratuita en http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/
kolmogorov_foundations.pdf
[10] Mood & Graybill (1969) Introducción a la teoŕıa de la estad́ıstica, 2da Ed., Aguilar,
España.
[11] Papoulis, A. & Pillai, S. U. (2002) Probability, Random Variables and Stochastic
Processes, McGraw−Hill, Inc.
[12] Rohatgi, V.K. (1984) Statistical Inference, Dover Publications, Inc., MIneola, NY, pp.
984.
[13] Shorak, G.R. (2000) Probabilityfor Statisticians, Springer-Verlag, New York, pp. 585.
14