LAB_1 - Juan Felipe Martín Martínez

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Universidad de San Buenaventura
Facultad de Ingenieŕıa
Programa de Ingenieŕıa Mecatrónica
Control
Clásico
2021-I
Autores:
Juan Felipe Mart́ın Mart́ınez
Juan Diego Otálora Gómez
Juan David Cruz Contreras
Informe de Laboratorio 1
Control de Posición y Velocidad
(Modalidad Simulación)
Contenido
1. Introducción 1
2. Procedimiento y Resultados 2
2.1. Control de Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1. Modelo Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2. Controlador PI Gc1(s) con el método algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3. Discretizar el controlador PI Gc1(s) con el método trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.4. Controlador PI Gc2(s) con el método de cancelación polo/cero . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.5. Discretizar el controlador PI Gc2(s) con el método trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Control de Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1. Referencia deseada de posición angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2. Modelo Lineal (Posición) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3. Controlador PIDGc3(s) para controlar la posición angular del motor . . . . . . . . . . 20
2.2.4. Discretización del controlador PIDGc3(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Conclusiones 26
1. Introducción
La industria está en constante crecimiento y desarrollo, aśı mismo a medida que alguien en la industria
esta en desarrollo tiene que encontrar una forma de satisfacer la demanda del mercado, esto conlleva a una
constante mejoŕıa en su instrumentación y maquinaria, como, por ejemplo:
“Las maquinas eléctricas de inducción son en la actualidad uno de los elementos mas importantes en los
accionamientos eléctricos modernos” , ya que son de menor tamaño, peso y coste para la misma potencia que
los motores de corriente continua, necesitan menos manteamiento gracias a todo lo anterior para la industria
esto hace que sea más ventajoso la utilización de estos frente a los motores de corriente continua Arnanz et al.
(2016), en este mismo se comenta algunos tipos de control que han progresado u otros que han ayudado al
avance del mismo como por ejemplo el método Ward-Leonard de control de velocidad que se utiliza desde
1898 Vas (1992),donde su funcionamiento es basado en mantener cargado el circuito de armadura de un
motor de excitación independiente con el uso de un generador de corriente continua, también de excitación
independiente, la cual gira a velocidad constante movido por un motor sincrónico o de inducción Arnanz et al.
(2016), El siguiente informe muestra los resultados del diseño e implementación de 3 diferentes controladores
para la posición y velocidad angular de un motor, cada controlador es discretizado e implementado usando
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ecuaciones de diferencia en simulink, se realizaron diferentes pruebas para aśı poder verificar que se cumplan
los requerimientos solicitados. El sistema mecatrónico utilizado para este laboratorio se trata de un motor con
carga y un encoder incremental de 100PPR donde los objetivos a controlar son los ya mencionados velocidad
y posición angular del motor.
En este informe como un inicio se realizará el diseño de dos controladores PI para controlar la velocidad
de un motor, uno utilizando el método algebraico, el otro utilizando el método de cancelación de polos y
ceros, ambos discretizados usando el método trapezoidal, Para obtener un ejemplo de como podemos aplicar
un controlador PI podemos evidenciar el uso de el mismo en un sistema de lazo cerrado de control automático
para el control neuronal controlado donde el controlador PI se basa en una ecuación general discreta la cual
es aplicada para corregir cada uno de los 64 errores dados en el vector de errores Fernández et al. (2013).
Por último, se realizará el diseño de un controlador PID para controlar la posición angular del motor este
también se discretizará usando el método trapezoidal”, Los controladores más utilizados en la industria son
los controladores PID clásico o alguna de sus modificaciones. Sin embargo, el algoritmo PID lineal es dif́ıcil
de sintonizar cuando el proceso a controlar presenta dinámicas complejas, zonas muertas y caracteŕısticas
altamente no lineales” Velasco et al. (2013), se realizaran diferentes pruebas para verificar que se cumplan los
requerimientos solicitados,” En este sistema de control wavenet de un motor AC los resultados arrojados se
pueden mejorar realizando una sintonización a prueba y error”Velasco et al. (2013).
2. Procedimiento y Resultados
Para este primer laboratorio (1) se pidió analizar un sistema mecatrónico el cual se trata de un motor con
carga, que es representado por su modelo matemático:
Jẍ(t) = ku(t)− α2ẋ(t)− (α0 + α1 ∗ e−(
ẋ(t)
α3
)2)sign(ẋ(t))
De este modelo matemático se dio entender que la entrada de control es u(t) y la posición angular del
motor en revoluciones es x(t), además J , k , α0 , α1 , α2 y α3 son parámetros del sistema con unidades acordes.
El valor de los parámetros anteriormente nombrados de la planta son los siguientes:
J = 0.23814
k = 0.006116
α0 = 4.069
α1 = 2.1
α2 = 0.584
α3 = 0.806
Con los datos dados, y al analizar el modelo matemático visto anteriormente, se dedujo que el sistema
presente es un sistema no lineal. En la Figura 1 se visualiza el diagrama del modelo no lineal, el cual se debe
linealizar para dar solución a la distintas incógnitas del ejercicio. También la linealización nos permitió realizar
el control de velocidad y de posición del sistema.
2
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Figura 1: Diagrama de Bloques de la Planta no lineal
2.1. Control de Velocidad
2.1.1. Modelo Lineal
Pasos ejecutados para la linealización de la Planta:
Primero se toma el modelo matemático y se dejó en función de ẍ(t).
f = ẍ(t) =
1
J
(ku(t)− α2ẋ(t)− (α0 + α1 ∗ e−(
ẋ(t)
α3
)2)sign(ẋ(t)))
Ya despejada la ecuación en función de ẍ(t) se procedió a realizar la derivada parcial de la velocidad ẋ(t)
y de la entrada u(t).
ẋ(t)→ ∂f
∂ẋ(t)
= −α2
J
+
α1 ∗ e−(
ẋ(t)
α3
)2
(α3)2 ∗ J
(1)
u(t)→ ∂f
∂u(t)
=
k
J
(2)
Ya con las formulas Ecuación 1 y Ecuación 2, se procedió a obtener un modelo lineal para la salida en
velocidad en el punto de operación de ẋ = 3rps.
Velocidad
ẋ(t)→ A =
[
−α2
J
+
α1 ∗ e−(
ẋ(t)
α3
)2
(α3)2 ∗ J
]
ẋ=3rps
u(t)→ δfδu(t) = 0.0355
A =
[
− 0.584
0.23814
+
2.1 ∗ e−( 30.806 )2
0.23814 ∗ (0.806)2
]
3
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A = −2.452326
Posición
u(t)→ B = k
J
u(t)→ B = 0.006116
0.23814
B = 0.0256823
Se procedió a aplicar la transformada de Laplace a los datos encontrados dando como resultado el Sistema
lineal:
[∆x] = [−2.4523] [x] + [0.02568] ∆u
xS = −2.4523x+ 0.02568u→ x(S + 2.4523) = 0.02568u
x
u
=
0.02568
(S + 2.4523)
(3)
Ya con el sistema linealizado como se ve en la Ecuación 3, se buscó el valor de la entrada y para esto se debió
realizar las siguientes operaciones:
0 = ku(t)− α2ẋ(t)− (α0 + α1 ∗ e−(
ẋ(t)
α3
)2)
0 = 0.006116 ∗ u(t)− 0.584 ∗ 3− (4.069 + 2.1 ∗ e−( 30.806 )
2
)
u(t) =
0.584 ∗ 3 + (4.069 + 2.1 ∗ e−( 30.806 )2)
0.006116
u(t) = 951.766190
Ya con los función de transferencia del sistema lineal y también con el valor de la entrada, se procedió a
realizar el control de velocidad (lineal). Para el proceso de comparación entre el sistema lineal y no lineal de
la velocidad, se procedió a realizar el diagrama de bloques de la Figura 2.
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Figura 2: Comparación del modelo lineal con el modelo no lineal con un punto de operación de 3 RPS
0 5 10 15
Tiempo(seg)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
V
e
lo
c
id
a
d
 a
n
g
u
la
r 
(R
P
S
)
Comparación Sistema lineal y no lineal
Sis. No Lineal
Sis. Lineal
Figura 3: Comparación gráfica del modelo lineal con el modelo no lineal
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Figura 4: Lazo de control
2.1.2. Controlador PI Gc1(s) con el método algebraico
Para diseñar este Controlador PI usando el método algebraico para controlar la velocidad del motor, se
deben cumplir los siguientes requerimientos de lazo cerrado:
Error de posición cero (error cero ante entrada paso).
Sobre nivel porcentual de 2 %.
Tiempo de estabilización de 0.5 seg
En la Figura 4 se muestra el sistema con el controlador PI que fue utilizado en este sistema de lazo cerrado:
Con el controlador ubicado en el diagrama de bloques de la Figura 4, se procedió a realizar álgebra de
bloques para obtener la ecuación del lazo cerrado del sistema. Como estos bloques están en serie, se realiza
una multiplicación dando como resultado la siguiente ecuación:
H(s) =
0.02568(Kps+Ki)
s2 + 2.4523s+ 0.02568(Kps+Ki)
Simplificado la ecuación de lazo cerrado da como resultado:
H(s) =
0.02568(Kps+Ki)
s2 + 0.02568(Kp+ 95.4945)s+ 0.02568Ki
Conociendo el controlador PI que será utilizado, se buscó encontrar los valores de Kp y Ki. Estos valores
serán hallados con los valores requeridos, los cuales son el sobre paso y el tiempo de estabilización. Se realizarán
las operaciones de la Ecuación 4 y Ecuación 5 para llegar al valor exacto tanto de Kp como de Ki, gracias a
que se halló el valor de ζ y wn.
SP = e
−( πζ√
1−ζ2
)
(4)
ts =
4
ζwn
(5)
Con la Ecuación 4 se pudo hallar ζ y con la Ecuación 5 se puede encontrar el valor de wn, que dan como
resultado:
ζ → 0.02 = e
−( πζ√
1−ζ2
)
ζ = 0.7797
wn→ wn = 4
0.5 ∗ 0.7797
wn = 10.26031
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Con estos valores anteriormente encontrados, se puede hallar Ki con la siguiente formula:
0.02568 ∗Ki = wn2
Ki =
wn2
0.02568
Ki = 4099.45616
Para hallar el valor de Kp se procede a reemplazar los datos en la siguiente función, dando como resultado:
0.02568(95.4945 +Kp) = (2 ∗ ζ ∗ wn)
Kp =
2 ∗ ζ ∗ wn
0.02568
− 95.4945
Kp = 527.55563
Ya con los valores hallados del controlador diseñado se pudieron encontrar los polos y ceros de esta
función, los cuales se puede visualizar su respuesta en la Figura 5. Los datos vistos en la figura fueron
hallados de la siguiente manera:
Polos:
S12 = −ζ ∗ wn± wn
√
1− ζ2
S12 = −(0.7797 ∗ 10.26036)± (10.6036
√
1− 0.77972)i
S12 = −8± 6.42456i
Ceros:
Ceros = −Ki
Kp
→ 4099.45616
527.55563
Ceros = −7.77069
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Figura 5: Mapa de polos y ceros
Con el controlador de la Figura 4 al reemplazar los valores ya encontrados, nos damos cuenta de que
no cumple uno de los requisitos propuestos anteriormente, ya que el cero de este controlador generaba un
sobrepaso de casi 12 %, lo cual no entraba en los requisitos propuestos. Con este error se procedió a realizar
un filtro que nos ayudara a cumplir totalmente estos requisitos, por medio del siguiente calculo, nos ayudara
a encontrar los valores de este filtro que controlará ese cero, dando como resultado:
Gfs =
−4099.45616
527.55563
Gfs = ±7.7706613803
Filtro
Gfs =
7.77066
s+ 7.77066
Ya conociendo el filtro que será utilizado, se ubica en el diagrama de bloques junto a la entrada, antes del
controlador diseñado, dando como resultado la Figura 6. Con el diagrama de bloques mencionado anteriormente
se procedió a analizar la gráfica de la Figura 7 entregada por dicho diagrama donde se ve la velocidad del
motor controlada.
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Figura 6: Implementación de controlador y filtro necesario
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tiempo(seg)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
V
e
lo
c
id
a
d
 a
n
g
u
la
r 
(R
P
S
)
Salida de la velocidad angular en operación a 3 rps
Respuesta del sistema
Entrada paso
Figura 7: Velocidad del motor controlada
2.1.3. Discretizar el controlador PI Gc1(s) con el método trapezoidal
Usando el método trapezoidal se procedió a realizar la discretización tanto del filtro como del controlador
PI hecho para controlar la velocidad del motor, esta discretización da como resultado:
Discretización del controlador PI
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s→ 2
T
∗ (z − 1)
(z + 1)
G(s) =
527.55563s+ 4099.45616
s
G(z) =
527.55563 ∗
(
2
T ∗
(z−1)
(z+1)
)
+ 4099.45616
2
T ∗
(z−1)
(z+1)
Factorizando lo obtenido da como resultado
G(z) =
(1055.11126z − 1055.11126 + 4099.45616 ∗ Tz + 4099.45616 ∗ T )0.5
z − 1
Tao tiene un valor de T = ts/10, el tiempo de estabilización puesto en los requerimientos es de 0.5 seg,
entonces el valor de tao da como resultado T = 0.5/10 → T = 0.05Seg, reemplazando en la función anterior
da como resultado:
G(z) =
0.000002(315021017z − 212534613)
z − 1
G(z) =
630.042034z − 425.06923
z − 1
Convirtiendo del controlador discretizado en ecuaciones de diferencias da como resultado:
G(z) =
U(z)
e(z)
=
630.042034z − 425.06923
z − 1
zU(z)− u(z) = 630.04203ze(z)− 425.06923e(z)
U(k + 1)− u(k) = 630.04203e(k + 1)− 425.06923e(k)
U(k + 1) = u(k)630.04203e(k + 1)− 425.06923e(k)
Realizando el respectivo atraso a la función encontrada da como resultado la conversión a ecuaciones que
se necesita para emplearla en Matlab y comprobar gráficamente los requisitos propuestos
U(k) = u(k − 1)630.04203e(k)− 425.06923e(k − 1)
Discretización del Filtro realizado anteriormente
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s→ 2
T
∗ (z − 1)
(z + 1)
G(s) =
7.77066
s+ 7.77066
G(z) =
7.77066(
2
T ∗
(z−1)
(z+1)
)
+ 7.77066
G(z) =
388533 ∗ T (z + 1)
100000z − 100000 + 388533 ∗ Tz + 388533 ∗ T
Reemplazando Tao con el valor anteriormente hallado da como resultado(T = 0.5/10→ T = 0.05Seg):
G(z) =
388533 ∗ 0.05(z + 1)
100000z − 100000 + 388533 ∗ 0.05z + 388533 ∗ 0.05
G(z) =
388533(z + 1)
2388533z − 1611467
→ 3888533z + 388533
23888533z − 1611467
G(z) =
0.016267z + 0.16267
z − 0.67467
Ya con el filtro y el controlador discretizados se hará uso de Matlab, con el fin de comprobar el cumplimiento
de los requisitos propuestos, para esto se realizo el diagrama de bloques de la Figura 8
Figura 8: Discretización de controlador y filtro necesario
Con este diagrama de bloques donde se observa tanto la discretización del filtro como la del controlador
utilizado para la solución del anterior punto, se procede a analizar la gráfica de la velocidad controlada con la
discretización la cual se muestra en la Figura 9
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Figura 9: Comparación del modelo discretizado y del modelo ideal
Figura 10: Gráfica de comparación del error del controlador discretizado y el modelo ideal
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El comportamiento visualizado en la Figura 10 el cual nos muestra la comparación del error del controlador
discretizado y del controlador en el modelo ideal, se pueden visualizar la forma de escalones en el error del
modelo discretizado, el cual, al ser de tiempo discreto, realiza la gráfica con los valores obtenidosde los cálculos
realizados en el tiempo establecido, el cual fue 0,05 segundos. Además se visualiza un incremento del error en
comparación al modelo lineal, este mismo efecto se puede ver en la Figura 9, al superar el sobrepaso estipulado
en el controlador de tiempo continuo en un 10 %. Esto se genera, ya que el modelo trapezoidal no es exacto, lo
cual puede generar errores que provocaŕıan cambios en los valores obtenidos del modelo en tiempo continuo.
2.1.4. Controlador PI Gc2(s) con el método de cancelación polo/cero
Para diseñar este Controlador PI usando el método de cancelación polo/cero para controlar la velocidad
del motor se deben cumplir los siguientes requerimientos de lazo cerrado:
Error de posición cero (error cero ante entrada paso).
Sobre nivel porcentual de 2 %.
Tiempo de estabilización de 0.5 seg
En este método se utilizara la función de transferencia del sistema lineal la cual se muestra en la Ecuación 3.
Se procede a realizar el controlador PI Gc2(s) por el método de cancelación polo/cero dando como resultado
la Ecuación 6, donde el polo de la función anteriormente nombrada es s+ i
Kps+Ki
s
→ K(s+ i)
s
(6)
Ya sabiendo el valor de la función lineal anteriormente mencionado y también el polo de la función vista en
la Ecuación 6, se procederá a realizar la respectiva multiplicación de las dos funciones con el fin de encontrar
Tao, para luego utilizar la función del tiempo de estabilización y con eso lograr encontrar k dando como
resultado:
T =
k(s+ 2.4523)
s
∗ 0.02568
s+ 2.4523
T =
0.02568 ∗ k
s+ 0.02568k
Ya encontrado Tao, se procede a encontrar el valor de k y para esto utilizaremos los datos de los requisitos
propuesto para, de esta manera despejar y encontrar el controlador PI que será utilizado para controlar la
velocidad del motor, despejando los datos en la función k obtiene el valor de:
ts = 4 ∗ T
0.5 = 4 ∗ ( 1
0.02568k
)
k = (
4
0.5 ∗ 0.02568
)
k = 311.52648
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Con este valor de K hallado, se procede a reemplazar en la Ecuación 6 la cual nos dará el controlador PI
que será utilizado para controlar la velocidad de este motor, dando como resultado el siguiente Controlado PI:
H(s) =
311.52648 ∗ (s+ 2.4523)
s
H(s) =
311.52648s+ 763.95639
s
Ya encontrado los valores del controlador PI que será utilizado se procede a realizar con estos datos el
diagrama de bloques como se muestra en la Figura 11, en este diagrama de bloque se realizará la prueba para
ver si se cumple con los requisitos propuestos o no
Figura 11: Controlador PI Gc2(s) con el método de cancelación polo/cero
Con el diagrama de bloques visto anteriormente, se procede a analizar la gráfica dada por este diagrama,
la cual se muestra en la Figura 12
Figura 12: Gráfica de Velocidad Controlador PI Gc2(s)
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2.1.5. Discretizar el controlador PI Gc2(s) con el método trapezoidal
Utilizando el método trapezoidal se procede a discretizar el controlador PI Gc2(s) que se adquirió utilizando
el método de cancelación polo/cero, para la discretización de este controlador se procede a realizar el siguiente
procedimiento:
G(s) =
311.52648s+ 763.95639
s
Reemplazando:
s→ 2
T
∗ (z − 1)
(z + 1)
G(z) =
311.52648 ∗
(
2
T ∗
(z−1)
(z+1)
)
+ 763.95639
2
T ∗
(z−1)
(z+1)
Tao tiene un valor de T = ts/10, el tiempo de estabilización puesto en los requerimientos es de 0.5 seg,
entonces el valor de tao da como resultado T = 0.5/10 → T = 0.05Seg, reemplazando en la función anterior
da como resultado:
G(z) =
311.52648 ∗
(
2
T ∗
(z−1)
(z+1)
)
+ 763.95639
2
T ∗
(z−1)
(z+1)
G(z) =
311.52648 ∗
(
2
0.05 ∗
(z−1)
(z+1)
)
+ 763.95639
2
0.05 ∗
(z−1)
(z+1)
Simplificando la ecuación encontrada da como resultado:
G(z) =
13225.01559z−11697.10281
z+1
40z−40
z+1
G(z) =
330.62539z − 292.42757
z − 1
Convirtiendo del controlador discretizado en ecuaciones para ser empleadas en Matlab da como resultado:
G(z) =
U(z)
e(z)
=
330.62539z − 292.42757
z − 1
zU(z)− U(z) = 330.62539ze(z)− 292.42757e(z)
U(k + 1)− U(k) = 330.62539e(k + 1)− 292.42757e(k)
U(k + 1) = U(k) + 330.62539e(k + 1)− 292.42757e(k)
Realizando el respectivo atraso a la función encontrada da como resultado
U(k) = U(k − 1) + 330.62539e(k)− 292.42757e(k − 1)
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Ya con el controlador discretizado, se procede a realizar la programación en Matlab obteniendo el diagrama
de bloques que se ve en la Figura 13, este diagrama de bloques nos permitirá ver la respuesta del controlador
discretizado a una entrada paso. Esta gráfica la observamos en la Figura 14
Figura 13: Discretización del controlador
Figura 14: Comparación del modelo discretizado y del modelo ideal
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Figura 15: Gráfica de comparación del error del controlador discretizado y el modelo ideal
El comportamiento visualizado en la Figura 15 el cual nos muestra la comparación del error del controlador
discretizado y del controlador en el modelo ideal, donde se observa una desfiguración del error del controlador,
esta se debe a la posible interferencia de ruido eléctrico que se genera en este sistema, en la Figura 14 también
se llega a ver unas pequeñas oscilaciones que representan lo anteriormente dicho. De igual forma, la diferencia
que se genera entre los valores de las gráficas, se debe a lo mencionado en la sección 2.1.3, en la cual se dijo,
que estos errores suceden ya que el modelo trapezoidal no es exacto.
2.2. Control de Posición
2.2.1. Referencia deseada de posición angular
Se procedió a realizar una referencia de posición angular, utilizando una suma de entradas de rampa y de
paso, ya sean constantes de forma negativa o positiva. Esta referencia realizada nos sirve para demostrar que
el controlador que se diseñó es capaz de seguirla sin ningún inconveniente. El diagrama de bloques utilizado
para la creación de dicha referencia es el que se ve en la Figura 16, el cual genera la referencia que se ve en la
Figura 17
Figura 16: Diagrama de bloques: Signal Builder
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Figura 17: Gráfica de Referencia
2.2.2. Modelo Lineal (Posición)
Para encontrar el modelo lineal de la posición, se procedió a analizar la gráfica de posición entregada por
el modelo no linea. Con la ayuda de esta se encontraron valores tales como la pendiente, el punto de corte
de la trasversal, el cual nos ayudará a encontrar la función de transferencia lineal de posición, utilizando la
siguiente función:
P (s) =
m
∆u
(τs+ 1)s
(7)
Donde: ∆u = 951.76619, para hallar la pendiente y tao se analiza la Figura 19, esta gráfica se obtuvo del
diagrama de bloques de la Figura 18. Para hallar el valor de tao se realizara una trasversal en la Figura 18 y
en el punto que esta corte con el eje x, tao obtendrá ese valor
Figura 18: Diagrama de bloques del modelo no lineal de la posición
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Figura 19: Gráfica del modelo no lineal de la posición
Calculo de la pendiente:
m =
∆y
∆x
→ 31.56− 19.56
11− 7
m = 3
Valor de tao:
τ = 0.48
Ya con los valores obtenidos, se procede a reemplazar en la Ecuación 7, obteniendo de esta forma la posicion
linealizada, dando como resultado la siguiente función:
P (s) =
3
951.76619
0.48s2 + s
Con esta función se procede a realizar el diagrama de bloques con el fin de comparar el modelo lineal con
el no lineal de la posición, el diagrama de bloques diseñado es el de la Figura20, este diagrama de bloque nos
entrega la gráfica que se visualiza en la Figura 21 donde se observa la comparación del modelo lineal obtenido
y el modelo no lineal de la posición
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Figura 20: Diagrama de Bloques: Comparación lineal y no lineal
Figura 21: Gráfica Comparación lineal y no lineal de la posición
2.2.3. Controlador PIDGc3(s) para controlar la posición angular del motor
Se procede a diseñar este Controlador PIDGc3(s), este controlador que sera diseñado debe cumplir los
siguientes requerimientos de lazo cerrado:
Error de posición cero (error cero ante entrada paso).
Error de velocidad inferior a 2 %.
Sobre nivel porcentual de 12 %.
Tiempo de estabilización de 0.7 seg
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Se procederá a simplificar el controlador PID dando como resultado el siguiente controlador
kp+
kds
(τd)
′s+ 1
+
ki
s
kpτ
′
ds
2 + kps+ kds2 + kiτ
′
ds+ ki
s((τd)
′s+ 1)
(kpτ
′
d + kd)s
2 + (kp+ kiτ
′
d)s+ ki
s(τ
′
ds+ 1)
Siendo:
k1 = kpτ
′
d + kd
k2 = kp+ kiτ
′
d
k3 = ki
k4 = τ
′
d
Ordenando la ecuación, da como resultado:
k1s
2 + k2s+ k3
k4s2 + s
Ya con la ecuación simplificada del controlador, se procede a realizar el diagrama de bloques que se ve en la
Figura 22 donde se ve el controlador y la función lineal de la posición, con este diagrama se procede a realizar
álgebra de bloques, multiplicando las dos funciones dando como resultado:
Figura 22: Lazo de control
´
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Álgebra de bloques (Multiplicación)
y
r
=
(
k1s
2 + k2s+ k3
k4s2 + s
)
∗
( 3
951.76619
0.48s2 + s
)
y
r
=
(
k1s
2 + k2s+ k3
k4s2 + s
)
∗
(
0.00656672
s2 + 2.08333s
)
y
r
=
0.00656672(k1s
2 + k2s+ k3)
k4s4 + 2.08333k4s3 + s3 + 2.08333s2
0.00656672(k1s
2+k2s+k3)
k4s4+2.08333k4s3+s3+2.08333s2
k4s4+s3+2.08333k4s3+2.08333s2+0.00656672k1s2+0.00656672k2s+0.00656672k3
s2(s+2.08333)(k4s+1)
Simplificando la formula da como resultado:
0.00656672(k1s
2 + k2s+ k3)
k4s4 + s3 + 2.08333k4s3 + 2.08333s2 + 0.00656672k1s2 + 0.00656672k2s+ 0.00656672k3
Factorizando la ecuación:
0.00656672(k1s
2 + k2s+ k3)
k4s4 + s3(2.08333k4 + 1) + s2(2.08333 + 0.00656672k1) + 0.00656672k2s+ 0.00656672k3
Ya factorizada la ecuación, se procede a encontrar el valor de k1 k2 k3 y k4, y para esto se procede a encontrar
los valores secundarios que nos llevara a encontrar estos valores de k, Se realizarán las operaciones de la
Ecuación 4 y Ecuación 5 sabiendo los siguientes valores, con estas ecuaciones se encontrara el valor de ζ y wn.
Sp = 0.12
ts = 0.7seg
Con estos valores remplazados en las Ecuación 4 y Ecuación 5, dan como resultado:
ζ = 0.55942
wn = 10.21466
Ya encontrados estos valores, se procede a encontrar el valor de los polos, para esto se procede a realizar
el siguiente procedimiento donde se pondrán los datos obtenidos, dando como resultado el valor del polo
S1,2 = s
2 + 2ζwns+ wn2
S1,2 = s
2 + 2 (0.55942) (10.21466) s+ 10.214662
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S1,2 = s
2 + 11.42857s+ 104.33927
S1,2 =
−11.42857±
√
(11.42857)
2 − 4(1)(104.33927)
2
S1,2 =
−11.42857
2
± 16.93354
2
i
Valor de los polos 1 y 2:
S1,2 = −5.71425± 8.46677i
Para el valor de los polos 3 y 4, estos polos sera 5 veces el polo real el cual tiene un valor de -5.71425,
dando como resultado
S3,4 = (s+ 28.57125)
2
S3,4 = s
2 + 57.1425s+ 816.31633
Se realiza la multiplicación de S1,2 y S3,4(
s2 + 11.42857s+ 104.33427
) (
s2 + 57.1425s+ 816.31633
)
s4 + 68.57107s3 + 1573.71286s2 + 1573.53734s+ 85173.87083
s4 +
2.08333k4 + 1
k4
s3 +
2.08333 + 0.00656672k1
k4
s2 +
0.00656672k2
k4
s+
0.00656672k3
k4
Igualando para encontrar el valor de cada ganancia, dando como resultado
Valor ganancia 4
2.08333k4 + 1
k4
s3 = 68.57107s3
2.08333k4 + 1
k4
= 68.57107
k4 = 0.01504036
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Valor ganancia 1
2.08333 + 0.00656672k1
k4
s2 = 1573.71286s2
2.08333 + 0.00656672k1
0.01504036
= 1573.71286
k1 = 3287.16283792
Valor ganancia 2
0.00656672k2
k4
s = 1573.53734s
0.00656672k2
0.01504036
= 1573.53734
k2 = 3604.01662733
Valor ganancia 3
0.00656672k3
k4
= 85173.87083
0.00656672k3
k4
= 85173.87083
0.00656672k3
0.1504036
= 85173.87083
k3 = 195081.51403999
Con los valores de las ganancias encontrados, se procede a encontrar el controlador para esto se proceden
a realizar el siguiente procedimiento, dando como resultado:
Gc =
k1s
2 + k2s+ k3
k4s2 + s
Gc =
3287.16283792s2 + 3604.01662733s+ 195081.51403999
0.01504036s2 + s
Ya encontrado el controlador, se procede a realizar un diagrama de bloques de lazo cerrado el cual nos
entregara la gráfica que seguirá la señal de referencia, este diagrama de bloques se observa en la Figura 23, el
cual entrega la gráfica de la Figura 24 donde se muestra el modelo no lineal del controlado por un PID
´
´
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Figura 23: Controlador PID de la posición angular
Figura 24: Modelo no lineal de posición controlado por un PID
2.2.4. Discretización del controlador PIDGc3(s)
Usando el método trapezoidal se procedió a realizar la discretización para el controlador PIDGc3(s) hecho
para controlar la posición angular , esta discretización da como resultado:
Discretización del controlador PIDGc3(s)
s→ 2
T
∗ (z − 1)
(z + 1)
Gc =
3287.16283792s2 + 3604.01662733s+ 195081.51403999
0.01504036s2 + s
Tao teniendo un valor de τ = 0.7/10 = 0.07 y remplzando la s por la funcion dada anteriormente, se obtiene
Gc(z) =
3287.16283792
(
2
T ∗
(z−1)
(z+1)
)2
+ 3604.01662733
(
2
T ∗
(z−1)
(z+1)
)
+ 195081.51403999
0.01504036
(
2
T ∗
(z−1)
(z+1)
)2
+ 2T ∗
(z−1)
(z+1)
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Gc(z) =
3287.16283792
(
2
0.07 ∗
(z−1)
(z+1)
)2
+ 3604.01662733
(
2
0.07 ∗
(z−1)
(z+1)
)
+ 195081.51403999
0.01504036
(
2
0.07 ∗
(z−1)
(z+1)
)2
+ 20.07 ∗
(z−1)
(z+1)
Simplificando la ecuación hallada da como resultado:
Gc(z) =
2981451.65269z2 − 4976633.44198z + 2775507.84543
40.84927z2 − 24.555568z − 16.29358
con el controlador se procede a convertirlo en ecuaciones, dando como resultado
Gc(z) =
u(z)
e(z)
=
72986.65687z2 − 1218291.668z + 67945.1027
z2 − 0.601129z − 0.398871
z2u(z)− 0.601129zu(z)− 0.398871u(z) = 72986.65687z2e(z)− 1218291.668ze(z) + 67945.1027e(z)
u(k + 2)− 0.601129u(k + 1)− 0.398871u(k) = 72986.65687e(k + 2)− 1218291.668e(k + 1) + 67945.1027e(k)
u(k + 2) = 0.601129u(k + 1) + 0.398871u(k)72986.65687e(k + 2)− 1218291.668e(k + 1) + 67945.1027e(k)
Se realiza el primer atraso a la ecuación hallada
u(k + 1) = 0.601129u(k) + 0.398871u(k − 1)72986.65687e(k + 1)− 1218291.668e(k) + 67945.1027e(k − 1)
u(k) = 0.601129u(k − 1) + 0.398871u(k − 2)72986.65687e(k)− 1218291.668e(k − 1) + 67945.1027e(k − 2)
3. Conclusiones
1. Por medio de las simulaciones en el control de velocidad, se puede concluir que el método trapezoidal,
es un método no muy exacto y susceptible a presentar errores, lo cual se puede presenciar al comparar
los resultados con los dados por las funciones de transferencia. Estos errores, pueden provocar un gran
cambio en la salida, al aumentar en una gran medida el sobre paso, o solo un pequeño porcentaje extra.
2. Con la solución de este laboratorio se comprendió el funcionamiento del controlador PI con respecto a
una estrada paso, cumpliendo con la meta, de poder controlar la velocidad angular del motor haciendo
que esta llegaraa unos requerimiento espećıficos. También se hizo uso de un filtro, el cual controlaba
un cero dominante y pońıa un polo en el lugar de este, logrando de esta forma controlar la velocidad
angular del motor y cumplir con los requisitos solicitados.
3. Se puede concluir que el uso de control tiene un amplio campo de operación como lo puede ser el control
de redes neuronales, de redes de datos o simplemente el uso de motores para la mejoŕıa de de una
producción.
4. Se visualizó la respuesta de un controlador PID, el cual cumpĺıa con al forma de la señal de referencia en la
entrada, manteniendo la magnitud y dirección de las rampas, sin embargo, no se obtuvo la estabilización
del sistema.
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Referencias
Arnanz, R., Garćıa, F. J., and Miguel, L. J. (2016). Métodos de control de motores de inducción: śıntesis de
la situación actual. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial RIAI, 13(4):381–392.
Fernández, L. P. S., Hernández, J. J. C., Pérez, L. A. S., and Charles, R. H. (2013). Control neuronal combinado
para generar espectros de oleajes. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial RIAI,
10(4):413–422.
Vas, P. (1992). Electrical machines and drives : a space-vector theory approach. Oxford University Press.
Velasco, L. E. R., Fernández, J. C. R., Gómez, O. I., Lamont, J. G., Rivera, M. E., and Vera, M. M. (2013).
Identificación y control wavenet de un motor de ca. Revista Iberoamericana de Automática e Informática
Industrial RIAI, 10(3):269–278.
27
	Introducción
	Procedimiento y Resultados
	Control de Velocidad
	Modelo Lineal
	Controlador PI Gc1(s) con el método algebraico
	Discretizar el controlador PI Gc1(s) con el método trapezoidal
	Controlador PI Gc2(s) con el método de cancelación polo/cero
	Discretizar el controlador PI Gc2(s) con el método trapezoidal
	Control de Posición
	Referencia deseada de posición angular
	Modelo Lineal (Posición)
	Controlador PID Gc3(s) para controlar la posición angular del motor
	Discretización del controlador PID Gc3(s)
	Conclusiones