CAIDA LIBRE-TIRO PARABOLICO (2) - Jhon pestaña

Vista previa del material en texto

Movimiento Uniformemente Acelerado
u
u0
u0
u
O
t
t
Pendiente = a
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
O
t
a
a
Pendiente = 0
a
Representation gráfica para el m.r.u.v 
2
	 La Mecánica Renovada 
3
caída libre 
caída libre 
. Caída libre de los cuerpos.
Los cuerpos en caída libre no son más que un caso particular del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con la característica de que La aceleración es debida a la acción de la gravedad.
Un cuerpo tiene caída libre si desciende sobre la superficie de la tierra y no sufre ninguna resistencia originada por el aire.
Caída libre de los cuerpos
Por eso, cuando la resistencia del aire sobre los cuerpos es tan pequeña que se puede despreciar, es posible interpretar su movimiento como una caída libre. 
Es común para cualquiera de nosotros observar la caída de los cuerpos sobre la superficie de la tierra, pero ¿te has preguntado que tiempo tardan en caer dos cuerpos de diferente tamaño desde una misma altura y de manera simultanea? 
Caída libre de los cuerpos
Una respuesta a esta interrogante seria, por ejemplo, experimentar con una hoja de papel y una libreta.
 Se observa que la hoja de papel cae mas despacio y con un movimiento irregular, mientras que la caída de la libreta es vertical y es la primera en llegar al suelo. 
Ahora se hace una bolita con la hoja de papel y dejémosla caer en forma simultanea con la libreta, y aquí, el resultado será que ambos cuerpos caen verticalmente y al mismo tiempo, porque al comprimir la hoja de papel casi se ha eliminado e efecto de la resistencia del aire. 
Caída libre de los cuerpos
Cuando en un tubo al vacío se dejan caer simultáneamente una pluma de ave, una piedra y una moneda, su caída será vertical y al mismo tiempo, independientemente de su tamaño y peso, por lo que su movimiento es en caída libre.
En conclusión, todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños, en ausencia de fricción, caen a la tierra con la misma aceleración.
Caída libre de los cuerpos
La aceleración gravitacional produce sobre los cuerpos con caída libre un movimiento uniformemente variado, por lo que su velocidad aumenta en forma constante, mientras que la aceleración permanece constante.
La aceleración de la gravedad siempre esta dirigida hacia abajo y se acostumbra representarla con la letra g, y para fines prácticos se les da un valor de:
S. I. g = 9.8 m/s2.
Sistema Inglés g = 32 pies/s2.
Sistema cegesimal g = 980 cm/s²
Caída libre de los cuerpos
Para la resolución de problemas de caída libre se utilizan las mismas ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente variado, pero se acostumbra a cambiar la letra a de aceleración por g, que representa la aceleración de la gravedad, y la letra d de distancia por h, que representa la altura, por lo que dichas ecuaciones se ven en la siguientes tablas.
ECUACIONES GENERALES DE LA CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS.
vf = vi + g t
h = vf + vi (t)
 2
 vf2 = vi2 +2 g d
h = vi t + a t2
 2
ECUACIONES ESPECIALES DE LA CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS.
Vi =0
vf = g t
h = ½ g t²
vf2 = 2 g hmx
Tv = 2vo /g
Hmx = v²f /g
TIRO VERTICAL
Este movimiento se presenta cuando un cuerpo se proyecta en línea recta hacia arriba. 
Su velocidad disminuirá con rapidez hasta llegar a algún punto en el cual este momentáneamente en reposo; luego caerá de vuelta, adquiriendo de nuevo, al llegar al suelo, la misma velocidad que tenía al ser lanzado. 
Esto demuestra que el tiempo empleado en elevarse al punto mas alto de su trayectoria es igual al tiempo transcurrido en la caída desde allí al suelo. 
TIRO VERTICAL
 
Esto implica que los movimientos hacia arriba son, precisamente, iguales a los movimientos hacia abajo, pero invertidos, y que el tiempo y la rapidez para cualquier punto a lo largo de la trayectoria están dados por las mismas ecuaciones para la caída libre de los cuerpos. 
Ya sea que el cuerpo se mueva hacia arriba o hacia abajo, la aceleración debida a la gravedad g es siempre hacia abajo. 
tiempo de subida
tiempo de bajada
v0
-v0
V =0
Haga click en la bolita verde
GRAFICAS DEL MOVIMIENTO
Problemas de Caída libre y Tiro Vertical.
1.- Una piedra lanzada hacia arriba tarda 2.8 seg en el aire antes de chocar contra el piso a) ¿Hasta qué altura subió? b) ¿Con qué velocidad llega al piso?
Datos
t = 2.8 seg
h =?
V1 =?
g = 9.8 m/s2
h ½ g.t2
h =½ (9.8 m/s2)(1.4 seg)2
h = ½ (9.8 m/s2)(1.96 seg)
h = 9.604 m
vf = g.t
vf = g.t
vf = (9.8 m/s2)(1.4 seg)
vf = 13.72 m/s
2.- Se deja caer una moneda desde la azotea del edificio de 50 m de altura a) ¿En cuánto tiempo recorre la mitad de altura? b) ¿A qué altura respecto del piso se encuentra a los 3 seg de haberse soltado? c) ¿Cuál es su velocidad en ese punto?
Datos
h = 50 m
t =?
h =?
T = 3 seg
V = 3
g = 9.8 m/s2
v = g.t
v = (9.8 m/s2) (3 seg)
v = 29.4 m/s
h = ½ g.t2
h = ½ (9.8 m/s2)(3 seg)
h = 14.7 m/s
t = 2h
 g
t = 2
 9.8
3.- De la azotea de un edificio se deja caer un objeto y tarda 3.1 seg. en chocar contra el piso. a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Con que velocidad choca contra el piso?
Datos
t= 3.1 seg.
g= 9.8 m/S2
h=?
vf=?
h= ½ g.t 2
h= ½ (9.8m/s2) (1.55 seg.)2
h= ½ (9.8 m/s2) (2.402 seg.)2
h= 11.76 m.
Vf = a.t.
Vf = g.t.
Vf = (9.8 m/s2) (1.55 seg.)
Vf = 15.19 m/s
4.- Un objeto se lanzó verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s, a) ¿Hasta que altura sube el objeto? b) ¿Cuánto tiempo tarda al alcanzarlo?
Problema 7
Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, determine:
a) El tiempo que permanece en el aire.
b) Su posición en el instante t = 5 s.
c) La altura máxima alcanzada.
d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s
e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad de 60 m/s a -60m/s
GALILEO GALILEI
Historia de la Ciencia, Ivan Vila - vila@ifca.unican.es
24
Galileo: La caída LIBRE
A finales del siglo XVI la teoría del movimiento de Aristóteles era fuertemente criticada.
Galileo focaliza sus intereses científicos en la mecánica tras se condenado por la inquisición (1633) y prohibirse la enseñanza de la “nueva astronomía”
El experimento (¿conceptual?) de la caída de los cuerpos desde la Torre de Pisa.
Historia de la Ciencia, Ivan Vila - vila@ifca.unican.es
25
Galileo: El movimiento uniforme acelerado
Define el movimiento uniformemente acelerado y lo plantea como hipótesis de movimiento seguido por un cuerpo en caída libre.
La verificación experimental la obtiene del estudio del plano inclinado donde los tiempos de caída se reducen y permite la medida del mismo con un rudimentario reloj de agua.
No aborda por el momento las causas del movimiento, se centra “únicamente” en la cinemática.
Historia de la Ciencia, Ivan Vila - vila@ifca.unican.es
26
La leyes de la cinemática Galileana
Todo objeto moviéndose con una velocidad constate en un plano sin rozamiento, continuará su movimiento con la misma velocidad.
En caída libre en el vacío, todos los objetos independientemente de su tamaño, peso o constitución caerán la misma distancia para tiempos de caída iguales.
El movimiento de un objeto en caída libre es un movimiento uniformemente acelerado.
Historia de la Ciencia, Ivan Vila - vila@ifca.unican.es
27
Consecuencias de la nueva cinemática
De la leyes de la caída libre de cuerpos se pueden derivar que los proyectiles han de seguir trayectorias parabólicas (nuevamente en contra de Aristóteles
Argumentación a favor de los modelos geodinámicos.
Establecimiento del principio de relatividad de Galileo.
.
Próxima temática
MOVIMIENTO PARABÓLICO
Movimiento parabólico
El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. 
Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son: proyectiles lanzados desde la superficie de la tierra o desde un avión, el de una pelota de fútbol al ser despejada por el portero, o el de una de una pelota de golf al ser lanzadao golpeada con cierto ángulo respecto del eje horizontal. 
El tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial de un movimiento horizontal uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente acelerado.
El tiro parabólico es de dos tipos: tiro parabólico horizontal y tiro parabólico oblicuo.
	 
Tiro parabólico horizontal
Tiro parabólico horizontal. Se caracteriza por la trayectoria o camino curvo que sigue un cuerpo al ser lanzado horizontalmente al vacío, resultado de dos movimientos independientes: un movimiento horizontal con velocidad constante y otro vertical, el cual se inicia con una velocidad cero y va aumentando en la misma proporción de otro cuerpo que se dejará caer del mismo punto en el mismo instante. 
Tiro parabólico horizontal
La forma de la curva descrita es abierta, simétrica respecto a un eje (eje Y) y con un solo foco, es decir una parábola. 
Por ejemplo en la figura siguiente, se grafica el descenso al mismo tiempo de dos pelotas, sólo que la pelota del lado derecho es lanzada con una velocidad horizontal de 15 m/seg.
Tiro parabólico horizontal
Al término del primer segundo ambas pelotas han recorrido 4.9 metros en su caída, sin embargo, la pelota de la derecha también ha avanzado 15 metros respecto de su posición inicial. A los dos segundos ambas pelotas ya han recorrido en su caída 19.6 metros, pero la pelota de la derecha ya lleva 30 metros recorridos como resultado de su movimiento horizontal. 
Al cabo de 3 segundos, ambas pelotas habrán descendido 44.1 metros, pero la pelota de la derecha avanza 45 metros horizontales, al transcurrir 4 segundos, las dos pelotas, habrán caído 77.1 metros, pero la pelota de la derecha habrá recorrido 60 metros horizontalmente.
Si se desea calcular la distancia recorrida en forma horizontal puede hacerse con la expresión d = v/t pues la pelota lanzada con una velocidad horizontal tendrá una rapidez constante durante su recorrido horizontal e independiente de su movimiento vertical originado por la aceleración de la gravedad durante su caída libre.
La trayectoria descrita por un proyectil cuya caída es desde un avión en movimiento, es otro ejemplo de tiro parabólico horizontal. Supongamos que un avión vuela a 250 m/seg y deja caer un proyectil, en los diferentes momentos de su caída libre, se puede determinar por medio del método del paralelogramo; para ello, basta representar mediante vectores las componentes horizontal y vertical del movimiento. 
Al primer segundo de su caída la componente vertical tendrá un valor de 9.8 m/seg, mientras la componente horizontal de su velocidad será la misma que llevaba el avión al soltar el proyectil, es decir 250 m/seg. Trazamos el paralelogramo y obtenemos la resultante de las 2 velocidades. A los 2 segundos la componente vertical tiene un valor de 19.6 m/seg y la horizontal como ya señalamos conserva su mismo valor: 250 m/seg. Así continuaríamos hasta que el proyectil llega al suelo.
Las ecuaciones que se utilizan en el tiro horizontal son las mismas de la caída libre. En el tiro horizontal se suele calcular la altura desde la cual se lanza el proyectil, el tiempo que tarda en caer, la velocidad vertical que lleva en un tiempo determinado y la distancia horizontal que recorre desde el punto en que es lanzado hasta el punto donde cae al suelo.
Problemas de tiro horizontal
1.- Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 25 m/seg desde una altura de 60 metros. Calcular: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo, b) la velocidad vertical que lleva a los 2 segundos, c) La distancia horizontal a la que cae la piedra.
Datos			Fórmulas			Sustitución
				 ____ _________________
VH = 25 m/seg		a) t caer = √2h/g	t caer = √2 (-60 m)/-9.8 m/seg2.
h = -60 metros		b) V2 seg= g t	t caer = 3.5 seg
g= - 9.8 m/seg2.			 
 V2seg = -9.8 m/seg2x 2 seg
a) t caer =?	 c) dH= VH t		V2 seg= - 19.6 m/seg
b) V2 seg= ?				dH= 25 m/seg x 3.5 seg
c) dH= ?					dH = 87.5 							metros.
2.- Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad inicial de 10 m/seg y cae al suelo después de 5 segundos: Calcular a) ¿ A qué altura se encuentra la ventana? b) ¿A qué distancia cae la pelota?
Datos		Fórmulas	Sustitución
VH = 10 m/seg	a) h = gt2/2	a) h = -9.8 m/seg2x (5 seg)2
t caer = 5 seg					2 
 b) dH = VHtcaer			
g = -9.8 m/seg2.			 a) h = -122.5 metros
a) h = ?				b) dH = 10 m/seg x 5 seg
b) dH =?						b) dH = 50 							metros.
3.- Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 800 km/h y deja caer un proyectil desde una altura de 500 m respecto al suelo. Calcular: a) ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que el proyectil se impacte en el suelo? b) ¿Qué distancia horizontal recorre el proyectil después de iniciar su caída?
Datos				Fórmulas	
VH = 800 km/h		a) t caer = √2h/g	
h = -500 m			b) dH = VH t caer.
g = -9.8 m/seg2. Sustitución y resultados.
a) tcaer=?		a) tcaer = √2 (-500 m)/ -9.8 m/seg2. 
b) dH = ?		a) tcaer = 10.10 seg.
Conversión de km/h a m/seg:
800 km x 1000 m x 1 h = 222.22 m/seg
 h 1 km 3600 seg
b) dH = 222.22 m/seg x 10.10 seg = 2244.42 m.
TIRO OBLICO
Tiro parabólico oblicuo. Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal.
	
 Resolución de un problema de tiro parabólico oblícuo.
En el siguiente dibujo vemos la trayectoria seguida por una pelota de golf, lanzada con una velocidad de 40 m/seg formando un ángulo de 60° con respecto a la horizontal.
TIRO OBLICO
Como se observa, la pelota inicia su ascenso con una velocidad inicial de 40 m/seg y con un ángulo de 60°, si descomponemos esta velocidad en sus componentes rectangulares, encontraremos el valor de la velocidad vertical que le permite avanzar hacia arriba, como si hubiera sido arrojada en tiro vertical, por esta razón la velocidad disminuye debido a la acción de la gravedad de la tierra, hasta anularse y la pelota alcanza su altura máxima. 
Después inicia su descenso y la velocidad vertical comienza a aumentar, tal como sucede en un cuerpo en caída libre, de manera que al llegar al suelo nuevamente tendrá la misma velocidad vertical que tenía al iniciar su ascenso. Por otra parte, la componente horizontal nos indica el valor de la velocidad horizontal que le permite desplazarse como lo haría un cuerpo en un movimiento rectilíneo uniforme. Por tal motivo esta velocidad permanecerá constante todo el tiempo que el cuerpo dure en el aire.
Para este problema específico, las componentes vertical y horizontal de la velocidad tienen un valor al inicio de su movimiento de:
Vov = Vo sen 60° = 40 m/seg x 0.8660 = 34.64 m/seg
VH= Vo cos 60° = 40 m/seg x 0.5 = 20 m/seg (permanece constante).
Una vez calculada la componente inicial vertical de la velocidad (Vov) y utilizando las ecuaciones del tiro vertical vistas anteriormente, podemos determinar con facilidad la altura máxima alcanzada por la pelota, el tiempo que tarda en subir, y el tiempo que permanece en el aire; así pues, el valor de la velocidad inicial vertical para la pelota de golf será igual a 34.64 m/seg. Por lo tanto, sustituyendo este valor en la ecuación de la altura máxima tenemos:
hmax = V2ov = (34.64 m/seg)2 = 61.22 metros
 	 2 g	 2 (-9.8 m/seg2)
Para calcular el tiempo que tarda en subir la pelota, hacemos uso de la ecuación correspondiente que se dedujo para el tiro vertical, sustituyendo el valor de la componente inicial vertical:
t (subir) = - Vov/g= - 34.64 m/seg/ -9.8 m/seg2.= 3.53 seg
El tiempo que dura en el aire es igual al doble del tiempo que tarda en subir:
t (aire) = - 2 Vov/g, por lo que t (aire) = 2 x 3.53 seg = 7.068 seg
Para conocer el alcance horizontal dH de la pelota, debemos considerar que mientras esté en el aire se mueve en esa dirección debido al valor de la componente horizontalde la velocidad, la cual no varía y en nuestro caso tiene un valor de 20 m/seg, por lo tanto, para calcular dH emplearemos la expresión:
dH = VH t(aire) = 20 m/seg x 7.068 seg = 141.3 metros.
El desplazamiento horizontal también puede ser calculado con la siguiente ecuación:
dH = - Vo2 sen 2 θ 
 g
Sustituyendo valores tenemos:
 – (40 m/seg)2 sen 2 (120°) =
	- 9.8 m/seg2.
dH = 141.3 metros (resultado igual al anterior).
La ecuación anterior resulta útil cuando se desea hallar el ángulo con el cual debe ser lanzado un proyectil que parte con un determinado valor de velocidad para dar en el blanco. 
Ejercicios de tiro parabólico oblicuo.
1.- Un jugador le pega a una pelota con un ángulo de 37° con respecto al plano horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 15 m/seg. Calcular a) e tiempo que dura en el aire, b) La altura máxima alcanzada, c) El alcance horizontal de la pelota.
Datos			Fórmulas			Sustitución
Vo = 15 m/seg		Vov = Vo sen θ		Vov = 15 m/seg x sen 37°
θ= 37°			VH = Vo cos θ		Vov = 15 m/seg x 0.6018
g = -9.8 m/seg2.		t (aire) = - 2Vov/g		Vov = 9.027 m/seg
t (aire) = 	?	h max = - V2ov/2g		VH = 15 m/se x cos 37°
h max=	?		dH = VH t (aire)		VH = 15 m/seg x 0.7986
dH= ?						VH = 11.979 m/seg
						t aire= - 2 (9.027 m/seg)
						 -9.8 m/seg2.
						t aire = 1.842 seg
						h max = - (9.027 m/seg)2 =
						 2 (- 9.8 m/seg2.)
						h max = 4.157 metros
						dH = 11.979 m/seg x 1.842 seg
						dH = 22.06 metros
2.- Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 200 m/seg si se desea que dé en un blanco localizado a 2500 metros, calcular: a) El ángulo con el cual debe ser lanzado b) el tiempo que tarda en llegar al blanco (tiempo en el aire).
Datos			Fórmulas			Sustitución
Vo = 200 m/seg	- sen 2 θ= dHg 	 - sen 2 θ= 2500 m x(- 9.8 m/seg2).
dH = 2500 m			 Vo2.		 (200 m/seg)2.
g = -9.8 m/seg2.	 Vov = Vo sen θ	 sen 2 θ = 0.6127
a) θ= 			t (aire)= -2Vov 2 θ = ángulo cuyo seno es 				 g			0.6127 
b) t aire =?			 		 2 θ= 37.76°
						θ= 18.88°
				Vov = 200 m/seg x sen 18.88°
				Vov = 200 m/seg x 0.3230= 64.6 m/seg
				t (aire) = - 2 x 64.6 m/seg = 13.18 seg
					- 9.8 m/seg2.
3.- ¿Cuál será la velocidad inicial con que se batea una pelota de beisbol, si es golpeada con un ángulo de 40° respecto a la horizontal, si la altura máxima que alcanza es de 10.2 metros y su desplazamiento horizontal es de 48.62 metros?
Datos				Fórmula
Vo = ?			dH = - Vo2 sen 2 θ 
Θ = 40° 			 g
h max = 10.2 m		despejando Vo tenemos:
dH = 48.62 m		Vo = √dHg
g = -9.8 m/seg2. sen 2 θ
Sustitución y resultado:
Vo = √ 48.62 m x -9.8 m/seg2. = √ 476.476 m2/s2.
 sen (80°) 0.9848
Vo = 22 m/seg.
t
v
v
o
(t)
a
+
=
at
2
o
o
(t)
t
2
1
t
v
x
x
a
+
=
-