inbound2324762501222848044 - Adrián Peñaloza

Vista previa del material en texto

Práctica 1: La recta real y las funciones elementales (primera parte)
Ejercicio 1. Factorizar las siguientes expresiones:
a) x3 + x2 − 2x
b) 4x2 − 25
c) x4 − 9x2
d) x2 + 2x + 1
Ejercicio 2. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) (a + b)2 = a2 + b2 para todo a, b ∈ R
b)
√
a2 = a para todo a ∈ R
c)
√
a2 + b2 = a + b para todo a, b ∈ R
d)
√
ab =
√
a
√
b para todo a ≥ 0, b ≥ 0
e)
1
a− b
=
1
a
− 1
b
para todo a 6= 0,
b 6= 0, a− b 6= 0
f)
1 + ab
b
= 1 + a para todo b 6= 0
g) anam = an+m para todo a > 0, n,m ∈ R
h) a2 − b2 = (a− b)(a + b) para todo a, b ∈ R
Ejercicio 3. Dados los intervalos A = [1,+∞), B = (3, 5] y C = (−∞, 2), hallar y representar
en la recta real A ∪B, A ∩B, A ∪ C, A ∩ C, B ∪ C y B ∩ C.
Ejercicio 4. Se sabe que x es mayor que 2 y menor que 6. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones
sobre x son necesariamente ciertas y cuáles no?
a) 0 < x < 4
b) 0 < x− 2 < 4
c) 1
6
< x < 6
d) 1
6
< 1
x
< 1
2
e) −3x + 5 > −1
f) −6 < −x < −2
Ejercicio 5. Frodo, Bilbo y Sam quedaron en pasar la tarde bebiendo en la taberna El Pony
Pisador. Arreglaron encontrarse a las siete de la tarde en el salón de la taberna para aprovechar
el happy hour de hidromiel, que se extiende hasta las nueve de la noche. Mas como es sabido,
los hobbits son tremendamente impuntuales. Frodo llega 25 minutos tarde y se retirará de la
taberna 15 minutos antes que Sam. Bilbo llega 10 minutos antes que Frodo y se queda en la
taberna media hora más que Sam. Sam está complicado con el trabajo y tiene el tiempo justo:
sólo pasa en la taberna 45 minutos. Si Bilbo termina yéndose de la taberna 20 minutos antes
que termine el happy hour
a) ¿Cuánto tiempo pasan juntos los hobbits bebiendo y contando historias plagadas de exage-
raciones?
b) ¿Cuánto tiempo pasan a solas Bilbo y Sam preocupándose por Frodo?
Ejercicio 6. Resolver las siguientes inecuaciones, escribir el conjunto solución como intervalo
o unión de intervalos y marcarlo en la recta real:
a) 4− x < 7x + 2
b) 3 < −2x + 5 < 9
c) 3 + 4x ≤ 6x + 1 ≤ 37
d) (3x− 1)(4 + 2x) ≥ 0
e) x2 ≤ 5x
f) −3 < 9x2 − 4 ≤ 5
g)
5x− 2
x + 2
≥ 0
h)
3x
4x− 1
<
1
2
i)
1
6
<
1
x
<
1
2
Ejercicio 7. En las especificaciones técnicas de medidas, éstas se reportan contemplando algún
grado de incerteza. La incerteza puede provenir de limitaciones en el instrumental de medición,
defectos de fabricación o de la materia prima con la que está confeccionado un bien u objeto.
Por ejemplo, un fabricante de caños de acero especifica la longitud de su producto como
L = LN ±∆L
donde LN es lo que se denomina ((longitud nominal )) - usualmente la lectura directa de un
instrumento de medición - y ∆L es la incerteza absoluta en la medición (depende de la potencia
del instrumental utilizado y la bondad de la hechura). Otras veces la longitud se reporta con
una incerteza expresada en términos porcentuales :
L = LN , ((con una exactitud del r porciento))
y en este caso r = ∆L
LN
· 100.
El volumen de un cubo está especificado con una incerteza del 1 %.
a) Si el valor nominal del volumen es de 12cm3, hallar los valores máximo y mı́nimo que puede
tomar el volumen del cubo y la arista del cubo respectivamente.
b) ¿Cuál es la superficie máxima y mı́nima del cubo?
Ejercicio 8. Sean a ≥ 0, b ≥ 0. Demuestre que
√
ab ≤ a + b
2
.
Esta desigualdad es muy importante en matemática y recibe el nombre de desigualdad de la
media aritmética-geométrica. ¿Cuándo vale la igualdad?
Ejercicio 9. Una empresa de loǵıstica naval decide invertir en la construcción de una nueva
ĺınea de containers de metal. Los contenedores son de base y lados rectangulares, de modo tal
que su ancho es de 4 metros y su capacidad es de 36 metros cúbicos, con la particularidad que
se fabricarán sin tapa. Si el costo de fabricación de la base es de $150 por metro cuadrado y de
$75 por metro cuadrado para los lados, hallar el costo del tanque más barato de producir.
Ejercicio 10. Encontrar una fórmula y su dominio para cada una de las siguientes funciones.
a) El área de un rectángulo de 20 metros de peŕımetro en función de la longitud de uno de sus
lados.
b) El área de un triángulo equilátero como función de la longitud de un lado.
2
Ejercicio 11. Sean f(x) =
x2 − x
x− 1
y g(x) = x.
a) ¿Cuál es el dominio de f y cuál el de g?
b) Analizar si 5 pertenece a la imagen de f y si pertenece a la imagen de g.
c) ¿1 pertenece a la imagen de f?
d) ¿Es verdad que f = g?
Ejercicio 12. Dado el gráfico de una función f
a) ¿Cuáles son el dominio y la imagen de f?
b) Calcular f(−4), f(0) y f(2).
c) ¿Para qué valores de x la función vale 3? ¿y para cuáles vale 4?
d) ¿En cuáles intervalos f es creciente? ¿Y en cuáles decreciente? ¿En qué intervalo es cons-
tante?
e) ¿En cuál punto alcanza un máximo local y en cuál un mı́nimo local?
f) Estimar aproximadamente el valor de x para el cual f(x) = 0.
g) ¿En qué intervalo f es positiva? ¿En cuál es negativa?
Ejercicio 13. Calcular las composiciones f ◦ g y g ◦ f en los siguientes casos:
a) f(x) = x2 y g(x) = x− 4
b) f(x) =
1
x
y g(x) = x + 2
c) f(x) = x3 y g(x) =
x
2x + 1
3
Ejercicio 14. Expresar las siguientes funciones en la forma f ◦ g o en la forma f ◦ g ◦ h:
a) (x + 1)2 + 3
b)
√
x2 + 1
c)
1
2x + 1
− 5
d) (5x2 + 1)3
Ejercicio 15. Analizar si las funciones cuyos gráficos se dan a continuación son inyectivas,
sobreyectivas y/o biyectivas.
Ejercicio 16. Sea f : [−1, 1]→ [−1, 3] una función cuyo gráfico es el siguiente.
a) Explicar por qué f es biyectiva. Dar dominio e imagen de f−1 y graficarla.
b) ¿Cuál es el valor de f−1(1)? Estimar el valor de f−1(2).
4
Ejercicio 17. a) Hallar y graficar la función lineal f : R→ R cuya gráfica es la recta que pasa
por el punto A = (−2, 3) y tal que ante una variación en la variable independiente ∆x = 2
se corresponde una variación ∆y = −4 en la variable dependiente.
b) ¿Para que valores de x la función toma valores en el intervalo (−3, 4]?
Ejercicio 18. [Presión bajo el agua] La presión p (medida en atmósferas) que sufre un buzo
táctico mientras desciende en el agua está relacionada con su profundidad (medida en metros)
mediante la ecuación p = kd + 1 donde k es una constante. Se sabe que en la superficie, la
presión es de 1 atmósfera y que a los 100 metros de profundidad es 10.94 atmósferas.
a) Hallar la presión a los 50 metros.
b) Hallar la profundidad en función de la presión.
Ejercicio 19. Considere la recta L que pasa por lo puntos A = (2, 3), B = (6, 9).
a) Hallar la función lineal f : R→ R tal que Graf(f) = L.
b) Sin hacer ninguna cuenta: hallar la imagen por f−1 del intervalo (3, 9) y decidir si f−1 es
una función creciente.
c) Calcular el cambio promedio en f cuando la variable independiente pasa de 2 a 4. ¿Qué
sucede con el cambio promedio de la inversa?
Ejercicio 20. [Farenheit y Celsius] La conversión entre las unidades de medición de la
temperatura es lineal. Si se sabe que despreciando el efecto de la altura sobre el nivel del mar
y la presión atmosférica el punto de congelamiento del agua es de C = 0 grados Celsius o bien
F = 32 grados Farenheit, mientras que el hervor del agua ocurre a los C = 100 grados Celsius
o F = 212 grados Farenheit.
a) Obtener una función lineal que convierta grados Farenheit en grados Celsius. Si se incrementa
la temperatura en 30 grados Farenheit - ¿Cuál es el incremento en grados Celsius?
b) Obtener una función lineal que convierta grados Celsius en grados Farenheit. ¿Habrá alguna
temperatura para la cual la medición en ambos sistemas de la misma lectura?
Ejercicio 21. [Automovilistas] Un auto sale de la ciudad A a las 13 hs y conduce con
velocidad constante hacia la ciudad B que se encuentra a 500km de distancia. A las 13:30hs se
encuentra a 50km de distancia de A.
a) Expresar la distancia recorrida por el auto (en km) en función del tiempo transcurrido (en
horas). Graficar. ¿Cuál es la pendiente de esta recta? ¿Qué representa?b) Otro auto sale de A a las 14hs y recorre 40 km en 20 minutos. Suponiendo que su velocidad
es constante, dar una fórmula para la distancia recorrida en función del tiempo. ¿El segundo
auto alcanza al primero antes de llegar a la ciudad B?
c) Un tercer auto sale a las 13 hs desde B con dirección a A a una velocidad constante de 65
km/h. ¿En qué momento se cruza con el primer auto?¿Cuántos km hab́ıa recorrido desde la
ciudad B?
5
Ejercicio 22. [Consumo de electricidad] Una compañ́ıa de electricidad cobra a sus clientes
una tasa base de 1000 pesos al mes, más 6 pesos por kilovatio-hora (kWh) por los primeros
1200kWh y 7 pesos por kWh para todo uso sobre 1200kWh. Expresar el costo mensual E en
función de la cantidad x de electricidad utilizada y graficar la función E para 0 ≤ x ≤ 2000.
Ejercicio 23. [Impuesto a la renta] En un determinado páıs, el impuesto sobre la renta
se calcula como sigue. No hay impuesto sobre la renta para ingresos de hasta $100000. Los
ingresos de más de $100000 se gravan con una tasa del 10 % sobre el excedente de los $100000
(es decir, sobre la diferencia entre el ingreso y $100000) , hasta un ingreso de $200000. Los
ingresos superiores a $200000 se gravan en 15 % sobre el excedente de los $100000.
a) ¿Qué impuesto corresponde a un ingreso de $140000? ¿Y de $260000?
b) Graficar la función que describe el impuesto total T en función del ingreso x.
Ejercicio 24. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto:
a) |x| = 3
b) |2x + 3| = 12
c) |x| < 4
d) |x| ≥ 5
e) |x− 2| > 3
f) |4x− 2| ≤ 14
Ejercicio 25. a) Completar:
i) Para todo x ∈ (1, 5), la distancia entre x y 3 es menor a · · · unidades.
ii) Para todo x ∈ (−∞, 2) ∪ (6,+∞), la distancia entre x y · · · es mayor a dos unidades.
b) Dado el intervalo cerrado I = [7, 12], hallar valores de a y b ∈ R de modo tal que los
elementos de I disten de a en a lo sumo b unidades.
c) Dado el conjunto A = (−∞,−2) ∪ (3,∞), hallar valores de a y b ∈ R de modo tal que los
elementos de A disten de a en más de b unidades.
Ejercicio 26. Considere las funciones:
I) f(x) = |x|+ 1 II) g(x) = |x− 3| III) h(x) = |(x− 1)(x− 2)|
a) Graficar cada una de las funciones dadas.
b) Resuelva e interprete geométricamente la inecuación f(x) < g(x).
c) Resuelva e interprete geométricamente la inecuación (f(x)− 3)(g(x)− 4) > 0.
Ejercicio 27. Una función f(x) tiene el siguiente gráfico.
6
A partir de él, realizar el gráfico de las siguientes funciones:
a) f(x)− 2
b) f(x− 2)
c) f(x + 1)
d) −2f(x)
e) f(−x)
f) f(2x)
Ejercicio 28. Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas:
1. f1(x) = −2(x + 2)(x + 4)
2. f2(x) = 3(x + 1)
2 − 12
3. f3(x) = x
2 − 8x + 16
4. f4(x) = −x2 + 2x− 3
a) Hallar el vértice de la parábola, escribir la forma canónica de la función y graficarla.
b) Hallar su imagen y los conjuntos de positividad y de negatividad.
c) Hallar, si existen, las ráıces o ceros de la función. En caso que existan, escribir la factorización
o forma factorizada de la función.
d) Dar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y el máximo o mı́nimo de la función.
Ejercicio 29. [Tiro vertical] Una pelota se lanza hacia arriba desde el nivel del piso con una
velocidad inicial de 3 m/s. La altura que alcanza la pelota con respecto al suelo está dada por
la función cuadrática s(t) = −3
4
t2 + 3t.
a) ¿En qué instante la pelota cae al suelo? Grafique s(t) sobre el intervalo de tiempo para el
cual s(t) ≥ 0.
b) ¿En qué instantes la pelota está a 2,25 metros por arriba del piso? ¿Cuán alto asciende la
pelota?
Ejercicio 30. [Construcciones I] Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo
coronado por un semićırculo. Si el peŕımetro de la ventana es de 9 metros, expresar el área A
de la ventana en función del ancho x de la ventana. ¿Para cuál valor de x se obtiene la mayor
área?
Ejercicio 31. El salón de la taberna El Pony Pisador es rectangular y tiene 16 metros de
peŕımetro. Si este salón puede contener al menos 7 mesas de un metro cuadrado de superficie
cada una, hallar las posibles dimensiones de la habitación.
7
Ejercicio 32. [Construcciones II] Felipe el ganadero amateur necesita armar un corral rec-
tangular para sus vacas.
a) Si dispone de una cantidad fija P de alambre - ¿cuáles son las dimensiones de los lados del
corral que le garantizarán encerrar el mayor área posible?
b) Suponga que por disposiciones de las entidades de sanidad veterinaria, el corral debe tener
un área fija A - ¿cuáles son las dimensiones de los lados del corral que le garantizarán utilizar
la menor cantidad de alambre posible?
c) Sea R un rectángulo en el plano y llamemos A a su área y P a su peŕımetro. Pruebe que
A ≤
(
P
4
)2
¿Cuándo vale la igualdad?
Sugerencia: En algunos items puede ser útil la desigualdad del ejercicio 8.
Ejercicio 33. Encontrar el dominio, la imagen y graficar las siguientes funciones:
a) f(x) =
√
x− 2 b) g(x) =
√
x + 5 c) h(x) =
√
4− x2
Ejercicio 34. a) Graficar las funciones f(x) =
√
3x− 8 y g(x) = 4 −
√
x. ¿En qué punto se
intersecan los gráficos de dichas funciones?
b) Consideremos la siguiente resolución de la ecuación
√
3x− 8 = 4−
√
x:
(
√
3x− 8)2 = (4−
√
x)2
3x− 8 = 16− 8
√
x + x
8
√
x = 24− 2x
(4
√
x)2 = (12− x)2
16x = 144− 24x + x2
x2 − 40x + 144 = 0
x = 4 o x = 36
¿Los valores de x obtenidos son soluciones de la ecuación? Explicar por qué.
Ejercicio 35. a) Graficar f(x) = xn para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hallar en cada caso la imagen y
los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) A partir de los gráficos del item anterior, graficar las siguientes funciones. Indicar la imagen
y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una.
1) f(x) = (x− 2)3 2) g(x) = (x + 1)4 − 1 3) h(x) = −(x− 1)5 + 3
c) Una función real se dice par si verifica
f(x) = f(−x), ∀x ∈ R
y se dice impar si verifica
f(x) = −f(−x), ∀x ∈ R
¿Cuáles de las funciones de los items anteriores resultan pares y cuáles impares? ¿Qué tipo
de simetŕıa tienen los gráficos de las funciones pares y cuál los gráficos de las funciones
impares?
8
Ejercicio 36. Se quiere construir una caja sin tapa, a partir de una hoja rectangular de cartón
que tiene dimensiones de 12 por 20 cent́ımetros, recortando cuadrados iguales de lado x en cada
una de las esquinas y plegando los lados como se ilustra en la figura. Expresar el volumen V
de la caja en función de x. ¿Cuál es el dominio de la función? Con la ayuda de un graficador,
graficar la función y dar aproximadamente el valor de x para el cual se obtiene el mayor volumen
y el valor de éste.
Ejercicio 37. Las funciones homográficas pueden escribirse en la forma f(x) =
A
x−B
+ C,
con A 6= 0. Sus gráficos son hipérbolas. En la siguiente figura se observa el gráfico de f(x) = 1
x
.
Consideremos las siguientes funciones homográficas:
1. g(x) =
1
x− 1
− 3 2. h(x) = 2− x
x + 3
a) A partir del gráfico de f(x) =
1
x
, realizar el gráfico de las funciones dadas. Indicar dominio
e imagen y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una. ¿Cuáles son las
ecuaciones de las aśıntotas verticales y horizontales?
b) Calcular los ceros, conjuntos de positividad y negatividad de cada una de las funciones.
c) Hallar todos los x ∈ R para los cuales h(x) es mayor estricto que -2.
d) Hallar las funciones inversas de cada una de las funciones. Indicar dominio, imagen y aśınto-
tas de las funciones inversas.
Ejercicio 38. [Ley de Boyle] En 1650, Robert Boyle descubrió experimentalmente que si la
temperatura de cierta masa de gas se mantiene constante, entonces el producto de su volumen
(V) y presión (P) es constante. Esto generalmente se escribe: PV = constante. En un experi-
mento, se colocan 14 mg de nitrógeno gaseoso en un recipiente a 27°C y se determina que para
este gas en particular, PV = 1,25 (donde se mide el volumen en m3 y la presión en N/m2). Si el
volumen del recipiente se vaŕıa y se mide la presión, entonces la relaciónentre los dos debeŕıa
ser:
P =
1, 25
V
9
Graficar la función (tener en cuenta el dominio para este problema). Analizar que sucede con
la presión del gas cuando el volumen es cada vez mayor.
Ejercicio 39. Se quiere determinar el conjunto A =
{
x ∈ R/ 3x + 6
x− 1
< 2
}
. Analizar la si-
guiente resolución y explicar el error. Puede ser de ayuda graficar una función homográfica
adecuada.
3x + 6
x− 1
< 2
3x + 6 < 2(x− 1)
3x + 6 < 2x− 2
3x− 2x < −2− 6
x < −8
A = (−∞,−8)
10