Examen Parcial 3 - Nat Alia (1)

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Examen Parcial 1 
Cálculo Vectorial 
 
Modelo de examen de Cálculo Vectorial 
Ejercicio 18: 
 
Calcular la integral de superficie de la función escalar f(x,y,z) = x + y sobre la 
superficie S que es la parte de la esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 que se encuentra en 
el primer octante. 
 
Solución: 
 
Para calcular la integral de superficie de f sobre la superficie S, necesitamos la 
integral doble ∬S f dS. Primero, debemos encontrar una parametrización de la 
superficie S. 
 
La superficie S es la parte de la esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 que se encuentra en el 
primer octante, lo que significa que x, y y z son todos no negativos. Podemos 
parametrizar S usando coordenadas esféricas como r(θ,φ) = (2 sin φ cos θ, 2 sin φ 
sin θ, 2 cos φ) para θ en [0,π/2] y φ en [0,π/2]. 
 
Para calcular la integral de superficie ∬S f dS, necesitamos encontrar el vector 
normal a la superficie S en cada punto. Podemos calcular el vector normal usando 
el producto cruz de los vectores parciales r/θ y r/φ: 
 
n(θ,φ) = (2 sin φ cos θ, 2 sin φ sin θ, 2 cos φ) x (-2 sin φ sin θ, 2 sin φ cos θ, 0) = (-
4 sin^2 φ cos θ, -4 sin^2 φ sin θ, 4 sin φ cos φ) 
 
Luego, la integral de superficie se convierte en ∬S (x + y) |n| dφ dθ, donde |n| es 
la magnitud del vector normal. 
 
Podemos calcular |n| como la norma del vector (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ): 
 
|n| = ||(-4 sin^2 φ cos θ, -4 sin^2 φ sin θ, 4 sin φ cos φ)|| = 4 sin φ 
 
Entonces, la integral de superficie se convierte en ∫0^(π/2) ∫0^(π/2) (2 sin φ cos θ + 
2 sin φ sin θ) 4 sin φ dφ dθ. Integrando primero respecto a φ, obtenemos: 
 
∫0^(π/2) (4 cos θ + 4 sin θ) sin^2 φ dφ = 2/3 (4 cos θ + 4 sin θ) 
 
Integrando ahora respecto a θ, obtenemos: 
 
∫0^(π/2) 2/3 (4 cos θ + 4 sin θ) dθ = 2/3 (4 - 4/√2) 
 
Por lo tanto, la integral de superficie de f sobre la superficie S es 8/3 (1 - 1/√2). 
Ejercicio 19: 
 
Calcular la integral de línea de la función vectorial F(x,y,z) = (x^2 y, y^2 z, z^2 x) a 
lo largo de la curva C que es la intersección de los cilindros x^2 + y^2 = 1 y z^2 + 
y^2 = 1. 
 
Solución: 
 
Primero, necesitamos encontrar una parametrización de la curva C. Podemos usar 
coordenadas cilíndricas y parametrizar C como r(t) = (cos t, sin t, √(1 - sin^2 t)) 
para t en [0,2π]. 
 
Luego, podemos calcular la integral de línea de F a lo largo de C como ∫C F · dr, 
donde dr es el vector diferencial de r. 
 
Calculamos dr/dt como (-sin t, cos t, cos t / √(1 - sin^2 t)). Entonces, F(r(t)) = 
(cos^2 t sin t, sin^2 t √(1 - sin^2 t), (√(1 - sin^2 t))^2 cos t) y F(r(t)) · dr/dt = -sin t 
cos^3 t sin^2 t + cos t sin^3 t √(1 - sin^2 t) cos t / √(1 - sin^2 t) + cos t sin t = -sin t 
cos^3 t sin^2 t + cos^2 t sin t + cos t sin t. 
 
Por lo tanto, la integral de línea se convierte en ∫0^(2π) (-sin t cos^3 t sin^2 t + 
cos^2 t sin t + cos t sin t) dt. Para integrar esta expresión, podemos dividirla en 
tres integrales: 
 
∫0^(2π) -sin t cos^3 t sin^2 t dt + ∫0^(2π) cos^2 t sin t dt + ∫0^(2π) cos t sin t dt 
 
Podemos evaluar estas integrales utilizando la sustitución u = cos t y du = -sin t dt. 
Entonces, las integrales se convierten en: 
 
∫0^(2π) u^3 (1 - u^2) du + ∫0^(2π) u^2 du + ∫0^(2π) u du = 0 + 0 + 0 = 0 
 
Por lo tanto, la integral de línea de F a lo largo de la curva C es cero.