Actividad 6 - Cálculo Diferencial-1 - Sebastián Ruiz Chong

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Actividad 6
Cálculo Diferencial
Docente: Luis Fernando Tiscareño Villa
Grupo: 506
Equipo:
Javier Alejandro Araujo Nuño
Jonathan Uziel Medina Rodríguez
Daniel Eduardo Ríos Vásquez
Sebastián Ruiz Chong
Fecha: Sábado 17 de septiembre de 2022.
Instrucciones:
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los
ejercicios. No olvides incluir las operaciones y justificaciones necesarias.
1. Da tres ejemplos aplicados de razones de cambio, distingue quién es la
variable independiente y quién es la variable dependiente. Incluye una
explicación verbal del caso, el cálculo de la razón de cambio y gráfica.
1) En una empresa, el sueldo de los empleados depende del cuadrado
de la cantidad de ventas que hagan a la semana, multiplicado por 100,
más los $3,000 pesos que el gerente les paga.
𝑓(𝑥) = 100𝑥2 + 3, 000
Ventas en la semana Sueldo
1 3,100
2 3,400
3 3,900
Razón de cambio:
𝑓(𝑥) = (400+3,000)−(100+3,000)2−1 =
3,400−3,100
1 =
300
1 = 300
La variable dependiente es el sueldo (y) y la variable independiente
son las ventas a la semana (x).
Gráfica:
2) En la mañana, la temperatura aumenta al sumarle el cuadrado de una
hora una mientras pasa una hora. La temperatura inicial es de 25 °C.
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 25
Horas Temperatura
1 26
2 29
3 34
Razón de cambio: 𝑓(𝑥) = (2
2+25)−(12+25)
2−1 =
29−26
1 =
3
1 = 3
La variable dependiente es la temperatura (y) y la variable
independiente son las horas (x).
Gráfica:
3) La velocidad en kilómetros de un auto de carreras en una carretera
aumenta cada segundo, siendo multiplicado al cuadrado y luego por 5.
Su velocidad inicial es de 0 km.
𝑓(𝑥) = 5𝑥2
Segundos Velocidad
1 5
2 20
3 45
Razón de cambio: 𝑓(𝑥) = [5(2)
2]−[5(1)2]
2−1 =
20−5
1 =
15
1 = 15
La variable dependiente es la velocidad (y) y la variable independiente
son los segundos (x).
Gráfica:
2. ¿Cuál es la diferencia más importante entre una velocidad promedio y
una velocidad instantánea? Desarrolla tu respuesta. La velocidad
instantánea es calculada mediante un punto, mientras que la velocidad
promedio necesita dos puntos para calcularse.
3. ¿Qué dice gráficamente la razón instantánea de cambio de una
magnitud? Puedes incluir una gráfica para apoyarte en tu explicación.
La razón instantánea de cambio es definida por un punto en la gráfica y
demuestra qué tan rápido cambia la pendiente de la curva cuando llega a un
momento determinado.
4. Construye la gráfica de y = f(x) = 3x2 + 5 y dibuja la razón promedio de
cambio entre los puntos x = 1 y x = 2, ¿Qué valor tiene la razón de
cambio entre estos dos puntos?
Razón de cambio: 𝑓(𝑥) = [3(2
2)+5]−[3(12)+5]
2−1 =
17−8
1 =
9
1 = 9
5. La cantidad de clientes en un supermercado en un instante t está dado
por la siguiente expresión c = 100t3 - 400t2 + 300t + 300, donde c es la
cantidad de clientes y t es la cantidad de horas transcurridas. Con esta
información responde lo siguiente:
a. ¿Cuál es la razón promedio de llegada de los clientes entre la 1 y
las 3 horas?
𝑓(𝑡) = {[100(3
3)]−[400(32)]+[300(3)]+300} − {[100(13)]−[400(12)]+[300(1)]+300}
3−1 =
𝑓(𝑡) = (2700−3600+900+300) − (100−400+300+300) 2 =
(300) − (300) 
2 =
0
2 = 0
b. ¿Cuál es la razón instantánea de llegada en t = 1 hora?
𝑓(𝑡) = [𝑓(1+ℎ)]−[𝑓(1)] ℎ =
𝑓(𝑡) = [100(1+ℎ)
3 − 400(1+ℎ)2 + 300(1+ℎ) + 300] − [100(1)3 − 400(1)2 + 300(1) + 300]
ℎ =
𝑓(𝑡) = [100 (1+ℎ)(1+ℎ)(1+ℎ) − 400 (1+ℎ) (1+ℎ) + (300 + 300ℎ) + 300] − [100 − 400 + 300 + 300]ℎ =
𝑓(𝑡) = [100 (1+3ℎ+3ℎ
2+ℎ3)− 400 (1+2ℎ+ℎ2) + (300 + 300ℎ) + 300 − 300]
ℎ =
𝑓(𝑡) = [100ℎ
3+300ℎ2+300ℎ+100 − 400ℎ2−800ℎ−400 + 300 + 300ℎ]
ℎ =
𝑓(𝑡) = 100ℎ
3−100ℎ2−200ℎ
ℎ = 
100ℎ2−100ℎ−200
1
ℎ 0
lim
→
100ℎ2−100ℎ−200
1( ) = 100ℎ2−100ℎ−2001 = −2001 = − 200
6. Considera la función y = 3x2 + 67 y responde lo siguiente:
a. Construye la gráfica de la función.
b. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x = 0 y x = 10?
Dibújala y calcula su valor.
𝑓(𝑥) = [3(10
2)+67]−[3(02)+67]
10−0 =
367−67
10 =
300
10 = 30
c. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x = 10 y x = 20?
Dibújala y calcula su valor.
𝑓(𝑥) = [3(20
2)+67]−[3(102)+67]
20−10 =
1,267−367
10 =
900
10 = 90
d. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x = 20 y x = 30?
Dibújala y calcula su valor.
𝑓(𝑥) = [3(30
2)+67]−[3(202)+67]
30−20 =
2,767−1,267
10 =
1,500
10 = 150
e. ¿Qué se puede decir de la pendiente de y conforme x es más
grande? Cuando los valores de x aumentan, la pendiente aumenta.
7. La siguiente tabla muestra la cantidad de computadoras producidas por
una fábrica por mes. Con dicha información responde las preguntas:
Mes Computadoras
1 240
2 240
3 360
4 480
5 310
6 650
a. Representa estos valores en un sistema de ejes coordenados.
b. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 2 al
mes 4 y dibújala.
𝑓(𝑥) = 480−2404−2 =
240
2 = 120
c. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 8 al
mes 10 y dibújala.
𝑓(𝑥) = 310−48010−8 =
−120
2 = − 60
d. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 6 al
mes 12 y dibújala.
𝑓(𝑥) = 650−65012−6 =
0
6 = 0
e. ¿Qué te dicen estas razones sobre el comportamiento de la
producción en la fábrica? La producción de computadoras a través
de los meses varía, ya sea que se produzcan más, menos o la misma
cantidad que en el mes anterior.
Referencias:
● Calculadora de Polinomios. (s.f.). SnapXam.
https://es.snapxam.com/calculators/calculadora-polinomios
● Cortés, G. (2016). La derivada como razón de cambio instantánea. Cálculo
Diferencial Profr. Guillermo CoVa.
https://sites.google.com/site/carreradevidaguillermocova/home/unidad-ii-deriv
ada/la-derivada-como-razon-de-cambio-instantanea
● Cubo de una Suma. (s.f.). Polinomios.org.
https://www.polinomios.org/binomio-al-cubo/
● International Geogebra Institute. (2022). Calculadora gráfica. Geogebra.
https://www.geogebra.org/graphing?lang=es
● Laracos Math. (2011). Binomio al Cuadrado. YouTube.
https://www.youtube.com/watch?v=KiV-2orIv7M
● Tiscareño, L. (2022). Razón de Cambio. OneDrive.
https://utmedu-my.sharepoint.com/personal/fernando_tiscareno_tecmilenio_m
x/Documents/C%C3%A1lculo%20Diferencial%20506/Tema%206.%20Raz%C
3%B3n%20de%20Cambio.pdf
● USIL. (s.f.). [Imagen de una gráfica que demuestra el cambio de la pendiente
por la razón instantánea de cambio y debajo de ella está la fórmula de la
razón instantánea de cambio]. Cálculo Diferencial Profr. Guillermo CoVa.
https://sites.google.com/site/carreradevidaguillermocova/home/unidad-ii-deriv
ada/la-derivada-como-razon-de-cambio-instantanea
https://es.snapxam.com/calculators/calculadora-polinomios
https://sites.google.com/site/carreradevidaguillermocova/home/unidad-ii-derivada/la-derivada-como-razon-de-cambio-instantanea
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https://utmedu-my.sharepoint.com/personal/fernando_tiscareno_tecmilenio_mx/Documents/C%C3%A1lculo%20Diferencial%20506/Tema%206.%20Raz%C3%B3n%20de%20Cambio.pdf
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