CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-68 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

Vista previa del material en texto

CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.13 Aplicando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, obtener una cota 
superior del error que se comete al considerar que 5{34 = 2 
SOLUCIÓN: 
1 1 
Sea f(x) = 5F =xs entonces, f'(x) = -----
5 ( 5F )4 
, y=f(x) es 
una función continua y derivable para todo x > O ; aplicando el teorema 
indicado a esta función en el intervalo [ 32, 34 ] . 
f ( b)- f (a) = ( b- a) f' ( x 1 ) => 
5{34 - 5J3'2 = ( 34 - 32 ) 1 ....................................... ( 1 ) 
& 5 ( 5JX:) 4 
Si se toma x 1 = 32 , 5 ( 5 IX: ) 4 = ( 5J32 ) 4 = 5 ( 2 ) 4 = 80 
Sustituyendo este valor en ( 1 ) queda, 
V34 -2=2-1 =0.025 
80 
Esto implica que el error que se comete es menor que 0.025, ya que el valor 
exacto de x 1 es mayor que 32 , lo cual hace que f' ( x 1 ) en realidad sea 
menor que -
1 
, ( b - a ) f' ( x 1 ) será menor que 80 
192 
1 . 
-- = 0.025 
40 
CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFBRENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONaS 
IV.14 Obtener los valores máximos y mínimos relativos de la función 
SOLUCIÓN: 
1 f ( x) = 4x +-
X 
La primera derivada de la función es: f' ( x ) = 4 - - 1-
2 
X 
1 
f' (X) = 0 => 4 -~ = 0 2 1 
2 
X 
X = 
4 
1 
X¡---
2 
que son los valores críticos. 
La segunda derivada es: 
!" ( x) = 2x = _2_ 
4 3 
1 
Para x = -- · 
1 2' 
X X 
= -16 < o 
por lo cual f ( - ~ ) = 4 ( -~ ) + -~ = -4 es un máximo relativo. 
2 
1 
Para x 2 =-, 
2 
r( i) = ( Ú' = 16 >o 
Por lo cual f ( ~ ) = 4 ( ~- ) + l = 4 es un mínimo relativo 
2 
193 
CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.15 Determinar los máximos y mínimos relativos de la función 
3 { 2 
y= IJ (x-3) -5 
SOLUCIÓN: 
Derivando, d Y = ~ ( x- 3) -~ = -----~----~ 
d X 3 3 3,/ X- 3 
No hay valores de x que anulen a la derivada, pero 
discontinua. 
X > 3 ::::::> 3~ X - 3 < 0 :::::> d y > 0 
dx 
x = 3 la hace 
1 
Como la derivada cambia de signo de ( - ) a ( + ) al pasar x creciendo por 
x = 3 , se tiene un mínimo relativo para x = 3 cuyo valor es, 
1 1 
f ( 3) = vo -5 = -5 
IV.16 Para la función f ( x) = x 3 - 3x + 2 , obtener 
a) Los intervalos donde es creciente o decreciente. 
b) Sus valores máximos y mínimos relativos. 
e) La orientación de la concavidad y los puntos de inflexión de su gráfica. 
d) Trazar su gráfica. 
194