Cap 1 Fundamentos de Algebra - ANETTE RACHEL PINACHO MATIAS

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Los Números Reales y sus Propiedades
Introducción
Iniciamos este capítulo con algunas de�niciones básicas sobre el tipo de obje-
tos que usaremos. Comenzaremos con las de�niciones referentes a los conjuntos
y operaciones con ellos.
De�nición 1.1 (Conjunto, elemento, conjunto vacío)
Un conjunto es una colección de objetos bien de�nida, a cada objeto se le llama
elemento. El conjunto que no contiene elementos es llamado el conjunto vacío
y es denotado por el símbolo ?. Los conjuntos son denotados generalmente con
letras mayúsculas, mientras que los elementos de un conjunto son denotados
con letras minúsculas.
Ejemplo 1.1
Consideremos el conjunto formado por las cinco vocales. En notación de con-
juntos se escribe como
A = fa; e; i; o; ug :
Podemos escribir en forma descriptiva al conjunto anterior como
A = fx j x es una vocalg .
Decimos que u es elemento del conjunto. Simbólicamente lo denotamos por
u 2 A. Dado que c no es una vocal, el elemento c no pertenece a A y ésto es
denotado por c =2 A.
Podemos considerar solo algunos elementos de un conjunto dado, lo que nos
lleva a la siguiente de�nición.
1 Los Números Reales y sus Propiedades
De�nición 1.2 (Subconjunto)
Si todo elemento de un conjunto B es también elemento de un conjunto A,
entonces se dice que B es subconjunto de A y se denota como B � A o A � B.
Ejemplo 1.2
Consideremos al conjunto B = fa; i; ug. Se tiene que cualquier elemento de B
es también un elemento de A = fa; e; i; o; ug por lo que B � A. Si consideramos
al conjunto C = fx j x es una letra del alfabetog entonces se tiene que B � C,
A � C y B � A � C.
De�nición 1.3 (Unión)
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que
pertenecen a A o a B, denotado por A [B.
De�nición 1.4 (Intersección)
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos
que pertenecen tanto a A como a B. Ésto se denota por A \B.
De�nición 1.5 (Partición de un Conjunto)
Se dice que los subconjuntos B y C no vacíos de A 6= ? forman una partición
del conjunto A si B[C = A y B\C = ?. Este concepto puede ser generalizado
a cualquier número de subconjuntos de A.
Ejemplo 1.3
El conjunto de las letras del abecedario puede ser particionado en dos conjun-
tos, el conjunto de las vocales y el conjunto de las consonantes.
1.1. Los Números Naturales y Enteros
Los números naturales son los números que aparecen en el proceso de contar.
Procedemos a dar su de�nción formal:
De�nición 1.6 (Números naturales, N)
Es el conjunto más elemental de números que sirven para contar, inicia a partir
del uno. Este conjunto es representado con N. En forma descriptiva se tiene
N = f1; 2; 3; : : :g:
Se tiene que el conjunto de los números naturales N es un conjunto in�nito.
Tenemos dos subconjuntos de los naturales que consideramos importantes:
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1.1 Los Números Naturales y Enteros
De�nición 1.7 (Números Primos)
El conjunto de los números primos, denotado por la letra P es el conjunto de
todos los números naturales diferentes de 1 que son divisibles solamente por
el 1 y por ellos mismos, es decir,
P = f2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; : : :g :
De�nición 1.8 (Números Compuestos)
El conjunto de los números compuestos, denotado por la letra C es el conjunto
de todos los números que son divisibles por un número diferente a ellos mismos
y el 1. En forma descriptiva
C = f4; 6; 8; 9; 10; 12; : : :g :
Se puede observar que un número natural o bien es un número primo o es
un número compuesto o es el 1; y que la unión de ellos es el conjunto de los
naturales. Esto es,
P \ C = ?;
P [ C [ f1g = N:
Vale la pena observar que con los números naturales se puede resolver una
ecuación de la forma 3 + x = 8 cuya solución es el natural 5, pero no existe
natural que sea solución de la ecuación x+8 = 3 por lo que se tiene la necesidad
de introducir otro tipo de números: los enteros.
De�nición 1.9 (Números enteros, Z)
El conjunto de los números enteros, denotado por Z, es el conjunto de formado
por los números naturales, el cero y el negativo de los naturales. Esto es
Z = fxjx 2 N ó x = 0 ó x = �n para algún n 2 Ng :
Los enteros tienen subconjuntos notables tales como los enteros negativos
Z� = f: : : ;�4;�3;�2;�1g ,
los enteros positivos o los naturales
Z+ = N = f1; 2; 3; : : :g ,
los pares
2Z = f: : :� 4;�2; 0; 2; 4; : : :g = fxjx = 2k; k 2 Zg ,
y los impares
2Z+ 1 = f: : : ;�3;�1; 1; 3; : : :g = fxjx = 2k + 1; k 2 Zg .
Podemos observar además que los conjuntos de números pares y de impares
forman una partición de Z:
Procederemos a dar las de�niciones de axioma y teorema ya que estas no-
ciones serán importantes en el desarrollo de este curso.
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1 Los Números Reales y sus Propiedades
De�nición 1.10 (Axioma)
Un axioma o postulado es una proposición inicial que se presupone verdadera.
Un axioma no puede ser deducido de otro axioma.
Un ejemplo de axioma es:
Dado dos puntos distintos, existe exactamente una recta que los contiene.
De�nición 1.11 (Teorema)
Un teorema es una proposición que se desprende de otra proposición o proposi-
ciones dadas por supuestas o previamente demostradas dentro del sistema.
Así, un teorema es una proposición cuya veracidad requiere ser demostrada
a partir de otras. Un ejemplo es el clásico teorema de Pitágoras:
En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa.
Pasaremos a estudiar las propiedades de los números reales. No nos de-
tendremos a ver su construcción, simplemente consideraremos que existen y
dependiendo del autor, algunos resultados son considerados axiomas o vicever-
sa. Nosotros estableceremos nuestra propia axiomática. Los primeros axiomas
para los números reales son tan familiares que generalmente no nos referimos
a ellos explícitamente, además estos axiomas son importantes al estudiar otros
sistemas algebraicos. Iniciamos con estos.
Axioma 1.1 (Cerradura de la adición)
Para todo a y b en R la suma a+ b está en R:
Axioma 1.2 (Cerradura de la multiplicación)
Para todo a y b en R el producto a � b está en R:
Se puede observar que el subconjunto de los impares no cumple el axioma
1.1, es decir, la suma de dos números impares no es impar, pero si cumple el
axioma 1.2 el producto de dos números impares es un número impar.
Consideraremos los números reales R con las operaciones de suma y multi-
plicación. Los axiomas siguientes son los que caracterizan a los números reales
y que al ser considerados en abstracto algunos de ellos dan lugar a otras es-
tructuras algebraicas tales como grupos y anillos.
El siguiente conjunto de axiomas se re�ere a formar grupos de números
mediante paréntesis cuando se suman o multiplican más de dos números reales.
Axioma 1.3 (Asociatividad de la adición)
Para todo a; b y c en R
(a+ b) + c = a+ (b+ c) :
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1.1 Los Números Naturales y Enteros
Ejemplo 1.4
2 + (9 + 3) = (2 + 9) + 3;
2 + 12 = 11 + 3;
14 = 14:
Axioma 1.4 (Asociatividad de la multiplicación)
Para todo a; b y c en R
(a � b) � c = a � (b � c) :
Ejemplo 1.5
(2 � 3) � 5 = 2 � (3 � 5) ;
6 � 5 = 2 � 15;
30 = 30:
Observación:
1. En la utilización de estos axiomas generalmente escribimos a + b + c
ó a � b � c esto debido a que el orden en que se operan no in�uye en el
resultado.
2. Si una expresión incluye adiciones y multiplicaciones la colocación de
paréntesis es importante. Por ejemplo
(5 � 8) + 3 = 43;
5 � (8 + 3) = 55:
El siguiente conjunto de axiomas se re�ere al orden en que pueden sumarse
o multiplicarse dos números reales.
Axioma 1.5 (Conmutatividad de la adición)
Para todo a y b en R
a+ b = b+ a:
Ejemplo 1.6
3 + 5 = 5 + 3;
8 = 8:
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1 Los Números Reales y sus Propiedades
Axioma 1.6 (Conmutatividad de la multiplicación)
Para todo a y b en R
a � b = b � a:
Ejemplo 1.7
7 � 4 = 4 � 7;
28 = 28;
Observación: Al trabajar con los números reales, estos axiomas de asocia-
tividad y conmutatividad siempre se cumplen. Más adelante se estudiarán las
operaciónes de sustracción y división de números reales, las cuales no son aso-
ciativas ni conmutativas. Existen ademásotro tipo de operaciones de�nidas
sobre objetos diferentes a los números reales como la multiplicación de matri-
ces la cual no es conmutativa.
Axioma 1.7 (Distributividad del producto respecto a la adición)
Para todo a; b y c en R
c � (a+ b) = c � a+ c � b;
(a+ b) � c = a � c+ b � c:
Axioma 1.8 (Existencia de la identidad aditiva)
Existe un único número real 0 tal que
a+ 0 = 0 + a = a
para todo número real a.
Axioma 1.9 (Existencia de la identidad multiplicativa)
Existe un único número real 1 tal que
a � 1 = 1 � a = a
para todo número real a.
Procederemos ahora a mencionar cinco axiomas sobre la igualdad, los cuales
son usados en el álgebra de los números reales; estos principios son tan básicos
que rara vez nos referimos a ellos explícitamente.
Axioma 1.10 (Re�exividad de la igualdad)
Para todo a en R
a = a:
Axioma 1.11 (Simetría de la igualdad)
Para todo a y b en R, si a = b, entonces
b = a:
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1.1 Los Números Naturales y Enteros
Axioma 1.12 (Transitividad de la igualdad)
Para todo a; b y c en R, si a = b y b = c, entonces
a = c:
Cuando una relación satisface los tres axiomas anteriores, decimos que es
una relación de equivalencia.
Axioma 1.13 (Propiedad de la adición de la igualdad)
Para todo a; b y c en R, si a = b entonces
a+ c = b+ c:
Axioma 1.14 (Propiedad de la multiplicación de la igualdad)
Para todo a; b y c en R, si a = b entonces
a � c = b � c:
Vocabulario
Asociatividad de la Adición
Asociatividad de la Mutiplicación
Axioma
Cerradura de la Adición
Cerradura de la Multiplicación
Conjunto
Conjunto Vacío
Conmutatividad de la Adición
Conmutatividad de la Multiplicación
Distributividad
Elemento
Identidad Aditiva
Identidad Multiplicativa
Intersección de Conjuntos
Números Compuestos
Números Enteros
Números Naturales
Números Primos
Números Reales
Partición de un Conjunto
Propiedad de la Adición de la Igual-
dad
Propiedad de la Multiplicación de la
Igualdad
Re�exividad de la Igualdad
Simetría de la Igualdad
Subconjunto
Teorema
Transitividad de la Igualdad
Unión de Conjuntos
Hechos importantes
Los números naturales son los derivados del proceso de contar objetos.
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1 Los Números Reales y sus Propiedades
Los números primos no pueden ser factorizados más que como producto
de ellos mismos con la unidad.
Los números compuestos sí pueden ser factorizados en un producto de
factores diferentes a ellos mismos y la unidad.
Los números enteros es el conjunto formado por los números naturales,
los negativos de los números naturales y el cero.
Un axioma es una a�rmación que no se discute o se demuestra, simple-
mente se acepta o no.
Un teorema es una a�rmación que puede ser demostrada a partir de
axiomas, teoremas u otras a�rmaciones.
En general, cuando se suman o multiplican tres o más factores no uti-
lizaremos paréntesis a menos que aclaren el sentido de las operaciones.
La conmutatividad de la suma y de la multiplicación nos dicen que no
importa el orden en que se operen
0 y 1 son las identidades aditiva y multiplicativa en R respectivamente.
Ejercicios de la Sección 1.1
En los problemas del 1 al 5, indique cuál de los axiomas de los número reales
justi�ca cada una de las proposiciones:
1. 2 � 10 + 3 � 10 = (2 + 3) � 10;
2. (4 � 8) � 8 = 4 � (8 � 8) ;
3. (5 + 4) + 5 = 5 + (5 + 4) ;
4. (3 + 2) � 7 = 3 � 7 + 2 � 7;
5. 9 � (3 � 9) = 3 � (9 � 9) :
En los ejercicios del 6 al 15 supóngase que x y y representan números reales
y que x2 = x � x. ¿Cuál de los axiomas justi�ca cada una de las proposiciones?
6. 4 � (12x) = (4 � 12)x;
7. 5 � (x+ 3) = 5x+ 5 � 3;
8. (8x)x = 8x2;
9. (2x+ 1) x = 2x2 + x;
10. (y + x) + 3 = y + (x+ 3) ;
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1.1 Los Números Naturales y Enteros
11. (2 + 5) + 10 = 2 + (10 + 5) ;
12. 3 � (4 + 5 � 2) = 3 � 4 + 3 � 5 � 2;
13. (9 + 3) � (5 + 4) = (9 � 5 + 9 � 4) + (3 � 5 + 3 � 4) ;
14. 20 � (3 � 10) = 3 � (10 � 20) ;
15. 3 � (4 � 10 + 2) = (3 � 4) � 10 + 3 � 2:
16. Muestre por qué (x+ 1)2 = x2 + ( 1 + 1)x + 1; e indique qué axioma
justi�ca cada paso.
17. Muestre por qué (a � b)2 = a2 �b2; e indique qué axioma justi�ca cada paso.
18. Muestre por qué (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2; e indique qué axioma justi�ca
cada paso.
19. Hasta ahora no hemos utilizado nuestro conocimiento de las tablas de
adición y multiplicación de los números naturales. Suponemos que cono-
cemos el valor posicional de las cifras de un número. Para ilustrar el uso
de los axiomas podemos descomponer un cálculo corriente en pasos más
simples. Indique qué axioma justi�ca cada paso
37 + 22 = (3 � 10 + 7) + (2 � 10 + 2) ; Valor posicional de la cifras
= ((3 � 10 + 7) + 2 � 10) + 2;
= (3 � 10 + (7 + 2 � 10)) + 2;
= (3 � 10 + (2 � 10 + 7)) + 2;
= ((3 � 10 + 2 � 10) + 7) + 2;
= ((3 + 2) � 10 + 7) + 2;
= (3 + 2) � 10 + (7 + 2) ;
= 5 � 10 + 9; Tablas de adición
= 59:
20. Desarróllese el mismo análisis del problema 19 para los cálculos siguientes:
a. 6 + 45;
b. 8 � 32;
c. 25 � 34;
d. 82 + 33;
e. 15 � 15;
f. 34 + 17:
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1 Los Números Reales y sus Propiedades
1.2. Inverso Aditivo y Sustracción
El siguiente axioma nos permite de�nir una nueva operación en los reales a
partir de la adición de números reales. Este axioma es:
Axioma 1.15 (Existencia del inverso aditivo)
Para todo número real a existe un número denotado por �a tal que
a+ (�a) = 0:
El número �a es llamado el negativo de a.
Procederemos a demostrar con estos axiomas nuestro primer teorema. En
este caso, justi�caremos todos los pasos en la demostración, haciendo referencia
a los axiomas correspondientes.
Teorema 1.1
Para todo número real a
� (�a) = a.
Esto es, el negativo del negativo de a es a misma.
Demostración: Debemos demostrar que � (�a) = a. Para esto, dado a existe
el inverso aditivo �a tal que
a+ (�a) = 0; Axioma 1.15
(�a) + a = 0: Axioma 1.5 (1.1)
Ahora bien, dado �a, existe un unico � (�a) tal que
(�a) + (� (�a)) = 0: Axioma 1.15 (1.2)
De las ecuaciones 1.1 y 1.2, dado que ambas ecuaciones son iguales a 0;usando
el Axioma 1.12 se tiene que
(�a) + a = (�a) + (� (�a)) :
Del Axioma 1.13, sumando a en ambos lados de la ecuación
a+ ((�a) + a) = a+ ((�a) + (� (�a))) :
Utilizando la asociatividad de la adición y el inverso aditivo
(a+ (�a)) + a = (a+ (�a)) + (� (�a)) ; Axioma 1.3
0 + a = 0 + (� (�a)) ; Axioma 1.15
por lo que se tiene
(� (�a)) = a; Axioma 1.8
a = � (�a) : Axioma 1.11
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1.2 Inverso Aditivo y Sustracción
El siguiente teorema es el recíproco del Axioma 1.13. Este teorema nos dice
que podemos cancelar los mismos sumandos a ambos lados de la ecuación.
En lenguaje común, podemos restar la misma cantidad a ambos lados de la
igualdad y la igualdad se conserva.
Teorema 1.2 (Ley de la cancelación para la adición)
Para todo número real a; b y c, si
a+ c = b+ c;
entonces
a = b:
Demostración: Supongamos que a; b y c satisfacen
a+ c = b+ c: (1.3)
Dado c, existe el inverso aditivo �c (Axioma 1.15). Sumando �c a ambos lados
de la ecuación 1.3 (Axioma 1.13)
(a+ c) + (�c) = (b+ c) + (�c) :
De la asociatividad de la adición (Axioma 1.3) se tiene
a+ (c+ (�c)) = b+ (c+ (�c)) ;
a+ 0 = b+ 0; Axioma 1.15
por lo que
a = b: Axioma 1.8
El inverso aditivo de un número real es único. Esto lo estableceremos en el
siguiente teorema
Teorema 1.3 (Unicidad del inverso aditivo)
El inverso aditivo de un número real es único.
Demostración: Sea a un número real. Supongamos que existen dos inversos
aditivos de este número. Sean b y c tales números. Entonces
a+ b = 0 y a+ c = 0:
De los axiomas de simetría 1.11 y transitividad de la igualdad 1.12 se tiene
que
a+ b = a+ c;
11
1 Los Números Reales y sus Propiedades
y por el teorema anterior
b = c;
por lo que el inverso aditivo debe ser único.
Observación: El número �a es, por tanto, la única solución de la ecuación
a + x = 0. Luego la solución de 0 + x = 0 es 0 puesto que 0 + 0 = 0, por lo
que 0 es su propio inverso aditivo. Esto es, �0 = 0.
El teorema siguiente a�rma que el producto de cualquier número por 0 debe
ser 0.
Teorema 1.4
Para todo número real a se tiene que a � 0 = 0 � a = 0.
Demostración: Iniciemos del hecho de que
0 +0 = 0: Axioma 1.8
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por a (Axioma 1.14)
a � (0 + 0) = a � 0; Axioma 1.8
a � 0 + a � 0 = a � 0; Axioma 1.7
a � 0 + a � 0 = a � 0 + 0: Axioma 1.8
Del teorema 1.2 considerando al número a � 0
a � 0 = 0:
Considerando la conmutatividad de la multiplicación (Axioma 1.6) se sigue
que
a � 0 = 0 � a = 0:
A partir del teorema anterior, podemos justi�car la mayoría de las propiedades
algebraicas de los signos.
Teorema 1.5
Para todos los números reales a y b
(�a) b = � (ab) :
Demostración: Dado el número real ab, existe el inverso aditivo � (ab) tal
que
ab+ (� (ab)) = 0: Axioma 1.15 (1.4)
Pero
ab+ (�a) b = (a+ (�a)) b; Axioma 1.7
= 0 � b; Axioma 1.15
= 0: Teorema 1.4
12
1.2 Inverso Aditivo y Sustracción
Por lo que
ab+ (�a) b = 0: (1.5)
Comparando las ecuaciones 1.4 y 1.5, dado que ambas ecuaciones son iguales
a 0. Usando el Axioma 1.12 se tiene que
ab+ (� (ab)) = ab+ (�a) b:
Del teorema 1.2 de la cancelación para la adición se sigue
� (ab) = (�a) b.
Este teorema también puede ser establecido como sigue:
Teorema 1.6
Para todos los números reales a y b
(�a) b = a (�b) = � (ab) :
La demostración es una consecuencia del teorema anterior. Se sigue inme-
diatamente el teorema:
Teorema 1.7
Sea b un número real, entonces
1.
(�1) b = �b: (1.6)
2.
(�1) (�b) = b: (1.7)
3.
(�1) (�1) = 1: (1.8)
Demostración: Demostraremos las partes 2 y 3 como consecuencia directa
de la parte 1:
1. Sea a = 1 en el teorema anterior, entonces
(�1) b = � (1 � b) ; Teorema 1.6
= � (b) ; Axioma 1.9
= �b:
13
1 Los Números Reales y sus Propiedades
2. Sea a = 1 en el teorema anterior y considerando �b, entonces
(�1) (�b) = � (1 � (�b)) ;
= � (�b) ; Axioma 1.9
= b: Teorema 1.1
3. Sea b = 1 en el caso anterior, entonces
(�1) (�1) = 1:
Con el siguiente teorema completamos las llamadas leyes de los signos. Esto
es, el producto de dos números con signos iguales es positivo y el producto de
dos números con signos diferentes es negativo.
Teorema 1.8
Para todos los números reales a y b
(�a) (�b) = ab:
Demostración: Considerando la ecuación 1.6 del teorema 1.7 se tiene que
�a = (�1) a;
�b = (�1) b:
Por lo tanto
(�a) (�b) = ((�1) a) ((�1) b) ;
= (�1) a (�1) b; Axioma 1.4
= (�1) (�1) ab; Axioma 1.6
= 1ab; Ecuación 1.8 del teorema 1.7
= ab: Axioma 1.9
Consideraremos ahora la suma de los negativos de dos números. El siguiente
teorema establece que la suma de dos negativos es igual al negativo de la suma
de los números.
Teorema 1.9
Para todos los números reales a y b
� (a+ b) = (�a) + (�b) :
14
1.2 Inverso Aditivo y Sustracción
Demostración: Consideraremos el negativo de a+ b. Usando la ecuación 1.6
del Teorema 1.7
� (a+ b) = (�1) (a+ b) :
De la distributividad de la suma (Axioma 1.7) y la ecuación 1.6 del Teorema
1.7
� (a+ b) = (�1) a+ (�1) b;
= (�a) + (�b) :
Denotaremos a la suma de a con el negativo de b con el símbolo a� b. Esto
es
a+ (�b) = a� b:
Esta notación nos permite de�nir la sustracción de dos números reales.
De�nición 1.12 (Sustracción de dos números reales)
Dados dos números reales a y b de�nimos la sustracción o resta de a y b,
denotada por a� b como
a� b = a+ (�b) :
El resultado del teorema anterior puede ser escrito como
� (a+ b) = �a� b:
El axioma 1.15 nos asegura que para cada par de números reales a y b
existe una única solución para cualquier ecuación de la forma a + x = b. Su
demostración nos dirá quién es esa solución.
Teorema 1.10
Para cada par de números reales a y b existe una única solución para la ecuación
a+ x = b:
Demostración: Consideremos la ecuación a+ x = b, del axioma 1.15, existe
un único �a tal que �a+ a = 0
Sabemos que podemos sumar �a a ambos lados de la igualdad por lo que
(�a) + (a+ x) = (�a) + b; Axioma 1.13
((�a) + a) + x = (�a) + b; Axioma 1.3
0 + x = (�a) + b; Axioma 1.15
x = (�a) + b; Axioma 1.8
x = b+ (�a) ; Axioma 1.5
x = b� a: De�nición.
15
1 Los Números Reales y sus Propiedades
Por lo que la única solución a la ecuación a+ x = b es
x = b� a:
Vocabulario
Cancelación para la Adición
Inverso Aditivo
Leyes de los Signos
Sustracción
Hechos importantes
El inverso aditivo de un número real es único.
El inverso aditivo del inverso aditivo de un número real, es el mismo
número.
El producto de cualquier número por cero es cero.
La sustracción no es conmutativa.
El producto de dos números de igual signo, es un número positivo
El producto de dos números de diferente signo, es un número negativo.
El inverso aditivo de la suma de dos números, es igual a la suma de los
inversos aditivos de los números.
Ejercicios de la Sección 1.2
En las proposiciones del 1 al 5 indique los axiomas que justi�can cada paso:
1. 1
4
+
�
�1
4
�
= 0;
2. (a� b) + [� (a� b)] = 0;
3. x (y + 0) + z = xy + z;
4. (1 + 2) (�3) = 1 (�3) + 2 (�3) ;
5. f3 + [(�5) (1)]g+4 = [3 + (�5)]+
4:
En los problemas del 6 al 10, utilice algún axioma de los números reales para
escribir la expresión dada sin paréntesis. Justi�que cada paso.
16
1.3 Inverso Multiplicativo y División
6. 3 (x+ y) ;
7. 4
3
(�6y) ;
8. �5
2
(2x� 4y) ;
9. 3a (b+ c� 2d) ;
10. �2 (r + s) :
11. Demuestre que la operación de sustracción no es conmutativa; es decir,
es posible encontrar números reales a y b tales que b � a 6= a� b. ¿Qué
puede decirse de a y b si b� a = a� b ?
12. Demuestre que la operación de sustracción no es asociativa; es decir, es
posible encontrar números reales a, b y c tales que (a�b)�c 6= a�(b�c).
13. Muestre por qué la operación de sustracción satisface una ley de distribu-
tividad; es decir, para a, b y c en R, se tiene c(b� a) = cb� ca.
14. Demuestre que para a y b en R, �(b� a) = (�b) + a.
15. Demuestre que el inverso aditivo de un número real es único; es decir, si
a+ u = 0, entonces u = �a.
1.3. Inverso Multiplicativo y División
Para iniciar esta sección, al igual que como hicimos para la adición que
consideramos en ese caso la existencia del inverso aditivo y con ello construimos
la sustracción de números reales, para la multiplicación consideraremos la exis-
tencia de un inverso multiplicativo y a partir de ella de�niremos la división y
esta operación nos permitirá resolver ecuaciones de la forma 3x = 2.
Axioma 1.16 (Existencia del inverso multiplicativo)
Para todo número real a diferente de 0 existe un número, denotado por 1
a
y
llamado el recíproco de a, tal que
a
�
1
a
�
=
�
1
a
�
a = 1:
Ahora demostraremos que el recíproco del recíproco de un número diferente
de cero es el número mismo
Teorema 1.11
Para todo número real a diferente de cero se tiene
1�
1
a
� = a:
Esto es, el recíproco del recíproco de a es a.
17
1 Los Números Reales y sus Propiedades
Demostración: Al considerar el axioma 1.16 se tiene que�
1
a
�
a = 1;
por lo que a es el inverso multiplicativo de 1
a
. Esto es
1�
1
a
� = a:
Así como tenemos la ley de la cancelación para la adición, se tiene la ley de
la cancelación para la multiplicación.
Teorema 1.12 (Ley de la cancelación para la multiplicación)
Para dos números reales a y b cualesquiera y para todo número real c diferente
de cero, si a � c = b � c entonces
a = b:
Demostración: Sea c un número real diferente de cero. Del Axioma 1.16,
existe el inverso multiplicativo 1
c
. Consideremos la hipótesis a�c = b�c, entonces
(a � c)
�
1
c
�
= (b � c)
�
1
c
�
; Axioma 1.14
a �
�
c
�
1
c
��
= b �
�
c
�
1
c
��
; Axioma 1.4
a � 1 = b � 1; Axioma 1.16
a = b: Axioma 1.9
De igual forma que con el inverso aditivo, se tiene que el inverso multiplica-
tivo de un número diferente de cero es único, como lo establece el siguiente
teorema.
Teorema 1.13 (Unicidad del inverso multiplicativo)
Sea a 6= 0 un número real, entonces el inverso multiplicativo de a es único.
Demostración: Al igual que con el inverso aditivo, supongamos que existen
dos inversos multiplicativos de a. Sean b y c tales inversos, entonces
ab = 1 y ac = 1;
por lo que
ab = ac; Axioma 1.12
b = c; Teorema 1.12
18
1.3 Inverso Multiplicativo y División
por lo que el inverso multiplicativo es único.Se puede observar que el inverso multiplicativo de 1 es 1
1
= 1.
El siguiente teorema establece que la única forma que un producto de dos
números reales sea cero es que al menos uno de ellos lo sea
Teorema 1.14
Si a y b son dos números reales con ab = 0 entonces, a = 0,ó b = 0 ó ambos
son cero.
Demostración: Partamos del hecho de que 0 � b = 0 (teorema 1.4). Luego por
hipótesis ab = 0. De la transitividad de la igualdad (Axioma 1.12) se sigue que
ab = 0 � b:
De modo que si consideramos que b 6= 0; utilizando la ley de la cancelación
para la multiplicación (teorema 1.12) concluimos que
a = 0:
Similarmente considerando la igualdad a � 0 = 0 se sigue que ab = a � 0 y si
a 6= 0 entonces b = 0. Por lo tanto, a = 0 ó b = 0 ó ambos son cero.
Con el siguiente teorema demostraremos que el producto de recíprocos de
dos números reales es igual al recíproco del producto de los números.
Teorema 1.15
Si a y b son dos números reales diferentes de cero, entonces
1
ab
=
1
a
� 1
b
:
Demostración: Sean a y b dos números reales diferentes de cero, entonces ab
es diferente de cero y por lo tanto existe un único número 1
ab
tal que
(ab)
�
1
ab
�
= 1: Axioma 1.16
Si logramos demostrar que
(ab)
�
1
a
1
b
�
= 1;
tendremos al considerar la transitividad de la igualdad (axioma 1.12) y la
cancelación en la multiplicación (teorema 1.12) que
1
ab
=
1
a
1
b
:
19
1 Los Números Reales y sus Propiedades
Por lo tanto consideremos la expresión (ab)
�
1
a
1
b
�
.
(ab)
�
1
a
1
b
�
= ab
1
a
1
b
; Axioma 1.4
= ab
1
b
1
a
; Axioma 1.6
= a
�
b
1
b
�
1
a
; Axioma 1.4
= a � 1 � 1
a
; Axioma 1.16
= a � 1
a
; Axioma 1.9
= 1; Axioma 1.16
con lo que el teorema queda demostrado.
Teorema 1.16
Para todo número real b y todo número real a diferente de cero, existe una
única solución a la ecuación
ax = b:
Demostración: Consideremos la ecuación ax = b y el recíproco de a, 1
a
(axio-
ma 1.16). Multipliquemos ambos lados de la ecuación por 1
a
1
a
(ax) =
1
a
b.
Después de algunas manipulaciones con los axiomas referentes a la multipli-
cación se obtiene
x =
1
a
b;
la cual es la única solución de la ecuación ax = b:
Denotaremos con b
a
al producto de 1
a
y b. Esto nos permite de�nir una nueva
operación en los reales.
De�nición 1.13 (División de dos números reales)
Dado cualquier real b y cualquier real a diferente de cero, de�nimos la división
de b por a, denotada por b
a
, b=a o b� a como
b
a
=
1
a
b:
El número b
a
se llama el cociente de b entre a. Cabe hacer notar que la división
por cero no está de�nida.
El siguiente teorema nos muestra que el 1 es la identidad en la división
20
1.3 Inverso Multiplicativo y División
Teorema 1.17
Para todo número real b
b
1
= b:
Demostración: Consideremos la ecuación 1x = b, la solución a esta ecuación
es x = b
1
(teorema 1.16), pero también 1b = b, por lo que x = b. Esto es
b
1
= b:
El dividir un número por si mismo es igual a 1, esto resulta obvio pero debe
ser demostrado.
Teorema 1.18
Para todo número real a diferente de cero
a
a
= 1:
Demostración: Como en la demostración del teorema anterior, consideremos
la ecuación ax = a, la solución a esta ecuación es
x =
a
a
: (Teorema 1.16). (1.9)
Pero de la ecuación ax = a se sigue, al usar la identidad multiplicativa (Axioma
1.9),
ax = a � 1;
y al usar la cancelación de la multiplicación (Teorema 1.12)
x = 1: (1.10)
De la transitividad de la igualdad (axioma 1.12) se tiene de (1.9) y (1.10)
a
a
= 1:
Teorema 1.19
1. (Producto de cocientes) Si a y c son dos números reales diferentes de
cero, entonces
b
a
d
c
=
bd
ac
;
para cualquier par de números reales b y d:
21
1 Los Números Reales y sus Propiedades
2. (Cancelación en la división) Si a y c son dos número reales diferentes
de cero entonces
b
a
=
bc
ac
;
para cualquier número real b.
3. (Igualdad de cocientes I) Si a es un número real tal que
b
a
=
c
a
;
entonces
b = c:
4. (Igualdad de cocientes II) Si
b
a
=
c
d
;
entonces
bd = ac:
5. (Recíproco de cocientes) Si b
a
6= 0, entonces
1
b
a
=
a
b
:
6. (Cociente de cocientes)Si b
a
6= 0, entonces
c
d
b
a
=
ac
bd
:
7. (Cocientes negativos)
(�b)
a
=
b
(�a) = �
�
b
a
�
;
y
(�b)
(�a) =
b
a
:
8. (Suma de cocientes)
b
a
+
d
c
=
bc+ ad
ac
:
22
1.3 Inverso Multiplicativo y División
Solo demostraremos las partes 1, 2 y 3. Las partes restantes quedan como
ejercicio al lector.
Demostración:
1.
b
a
d
c
=
�
b
1
a
��
d
1
c
�
; Por de�nición
= (bd)
�
1
a
1
c
�
; Axiomas 1.4 y 1.6
= (bd)
�
1
ac
�
; Teorema 1.15
=
bd
ac
: Por de�nición
2.
b
a
=
b
a
� 1; Axioma 1.9
=
b
a
� c
c
; Teorema 1.18
=
bc
ac
: Parte 1
3.
b
a
=
c
a
:
Entonces, por de�nición
b
�
1
a
�
= c
�
1
a
�
;
y
b = c: Teorema 1.12
Vocabulario
Cancelación de la multiplicación.
Cociente de dos números
División de números reales.
Inverso Multiplicativo
Identidad en la división
Recíproco de un número
23
1 Los Números Reales y sus Propiedades
Hechos importantes
El cero es el único número real que no tiene de�nido inverso multiplica-
tivo (recíproco).
El recíproco de un número real diferente de cero es único.
El recíproco del recíproco de un número real diferente de cero es el mismo
número.
1 es el único número real que es igual a su recíproco.
El recíproco del producto de dos números reales diferentes de cero es
igual al producto de los recíprocos.
La división no es conmutativa.
La división de cualquier número real por 1 es el mismo número real.
Al dividir un número por si mismo se obtiene 1.
Ejercicios de la Sección 1.3
Del 1 al 5, enuncie el axioma o teorema que justi�ca cada proposición:
1. (x� y)
�
1
(x�y)
�
= 1:
2. Si (t+ 1) (t� 2) = 0, entonces
t+ 1 = 0 ó t� 2 = 0
3. 0
a2+1
= 0;
4. (�5)
�
�1
5
�
(0) = 0;
5.
�
27
3
� 9
�
� 1 = 0:
En los problemas del 6 al 10, utilice y enuncie los axiomas y teoremas para
simpli�car (eliminar paréntesis) la expresión dada:
6. � (�t) (3� 8) ;
7. �(�k)�km ;
8. [(21)(0)(y)]
(
p
5�
p
7)
;
9.
�
1
8
� 1
9
�
� 1
72
;
10.
�
2� 2
3
�
�
�
2
3
� 2
�
:
11. Demuestre que si k es un múltiplo de n y r es un múltiplo de k, entonces
r es un múltiplo de n:
24
1.3 Inverso Multiplicativo y División
12. Sea Zp el conjunto de los enteros pares (Zp incluye a P , el conjunto de
los naturales pares). Demuéstrese que el conjunto de Zp es cerrado con
respecto a la adición; esto es, si n = 2r y m = 2s son dos enteros pares,
entonces su suma es par. ¿Qué axioma se puede utilizar para justi�car
este hecho?
13. Sea Zi el conjunto de los enteros impares; esto es,
Zi = fx jx = 2r + 1 para algún r en Zg
Demuestre que Zi es cerrado con respecto a la multiplicación; esto es, si
x e y son impares, entonces x � y = 2u+ 1 para algún u en Z:
14. Demuestre que el producto de tres enteros negativos es un entero negativo.
15. Demuestre que (a+ 1)(a� 1) = a2 � 1, donde a2 = a � a.
16. Demuestre que la operación de división no es conmutativa; esto es, es
posible encontrar números reales a y b diferentes de cero, tales que
b=a 6= a=b:¿Qué puede decirse acerca de a y b si b=a = a=b ?
17. Demuestre que la operación de división no es asociativa; esto es, es posible
encontrar números reales a, b y c diferentes de cero, tales que
(a=b)=c 6= a=(b=c).
18. Demuestre que si c 6= 0, entonces (a+ b)=c = (a=c) + (b=c).
19. Si (x � a) � (x � b) � (x � c) = 0, ¿qué puede concluirse acerca de x ?
(Justi�que su respuesta).
20. Demuestre que el inverso multiplicativo de cualquier número diferente de
cero es único.
21. Demuestre las partes 4, 5, 6, 7, y 8 del teorema 1.19.
25
1 Los Números Reales y sus Propiedades
22. Para las siguientes a�rmaciones, conteste Falso (F) o Verdadero (V) según
sea el caso.
a. ( ) La resta es asociativa.
b. ( ) La multiplicación es asociativa.
c. ( ) Todos los números reales tienen inverso multiplicativo.
d. ( ) � (a+ b) = �a+ b
e. ( ) a+ (b � c) = ab+ ac
f. ( ) a� (b� c) = (a� b)� c
g. ( ) a+b
c
= a
c
+ b
c
h. ( ) Cualquier número real multiplicado por cero, es cero.i. ( ) La suma y multiplicacion son conmutativas.
j. ( ) La división es conmutativa.
k. ( ) La resta es conmutativa.
l. ( ) Al sumar dos números negativos, el resultado es negativo.
m. ( ) El inverso aditivo de cero, es cero.
n. ( ) Cero no tiene inverso multiplicativo.
o. ( )
a
b
c
d
= ac
bd
p. ( ) a
b
+ c
d
= ac
bd
q. ( ) Un número y su recíproco siempre tienen el mismo signo.
r. ( ) Si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0:
s. ( ) Si ax = ay, entonces x = y:
t. ( ) Todos los números reales tienen inverso aditivo.
1.4. Números Racionales, Irracionales y Reales
El conjunto de los números reales puede ser particionado en dos grandes
partes, los número racionales y los irracionales. Veremos como estos dos con-
juntos son mutuamente excluyentes y juntos forman el conjunto de los reales,
por lo que forman una partición de los reales. Iniciamos con la de�nición de
número racional
De�nición 1.14 (Número racional)
Un número racional es un número formado por la división de dos enteros con
denominador distinto de cero. El conjunto de los números racionales se denota
por Q. En forma sintética
Q =
n
xjx = a
b
; b 6= 0; a; b 2 Z
o
:
Debemos señalar que en el conjunto de los números racionales, el número
24
42
es el mismo número que el número 4
7
. Si en un número racional, el deno-
minador y el numerador tienen factores comunes podemos simpli�carlo, por
26
1.4 Números Racionales, Irracionales y Reales
lo que consideraremos que en todos los números racionales el numerador y
el denominador no tienen factores comunes. También es claro que 0 2 Q, y
además N � Z � Q.
Los números racionales pueden ser caracterizados dentro de tres tipos de
números
1. El resultado de la división no tiene parte decimal, es decir, el número
racional es un entero. Ejemplos de estos números son
15
5
= 3;
�2
2
= �1; 12�3 = �4:
2. El resultado tiene parte decimal �nita. Ejemplos de estos son
12
5
= 2:4;
�7
8
= �0:875:
3. El resultado tiene parte decimal in�nita pero periódica
2
3
= 0:666 : : : ;
�72
333
= �0:213213213 : : : ; 24
17
= 1:4117647058823529411 : : :
Si un número racional tiene una expresión decimal in�nita pero periódica,
es costumbre escribir una barra sobre las cifras periódicas para indicar que se
repiten en forma inde�nida. Ejemplos de esto son
2
3
= 0:6;
�72
333
= �0:213; 24
17
= 1:4117647058823529:
La pregunta que sigue es ¿cómo escribir como fracción a un número racional
que aparece dado en forma decimal?. La respuesta es directa para los casos 1
y 2. Pero que sucede para el caso de el número racional tenga una expresión
decimal in�nita periódica.
Consideraremos el caso donde el número racional tiene parte entera 0 y la
parte periódica inicia inmediatamente después del punto decimal. Esto es, el
número puede ser escrito como 0:d1d2 � � � dn. Para encontrar la expresión del
racional en forma de fracción es su�ciente escribirlo como
d1d2 � � � dn
9 9 � � � 9 ;
donde el denominador está formado por n dígitos 9. Esta es la fracción que
representa al número racional. Solo falta simpli�car los factores comunes. Lo
ilustramos con el siguiente ejemplo:
27
1 Los Números Reales y sus Propiedades
Ejemplo 1.8
Representar el número racional con expresión decimal in�nita periódica 0:45768
como una fracción.
0:45768 =
45768
99999
=
15 256
33 333
:
El siguiente ejemplo muestra un caso más general
Ejemplo 1.9
Escribir el número 2:1345 como una fracción.
2:1345 = 2:1 + 0:0345 =
21
10
+ 0:345
1
10
;
=
21
10
+
345
999
1
10
=
3554
1665
:
Otro conjunto importante es el de los números irracionales. Damos en segui-
da una de�nición intuitiva.
De�nición 1.15
El conjunto de los números irracionales, denotado por Q0, es el conjunto de
los números que tienen parte decimal in�nita no periódica, es decir, decimales
que no se repiten, ni se cortan.
Ejemplos de ellos son
� = 3:14159265358979 : : :
e = 2:71828182845904 : : :p
2 = 1:41421356237309 : : :
Tenemos por tanto que un número real es bien un número racional o un irra-
cional. Esto es, los racionales e irracionales forman una partición de los reales:
Q [Q0 = R y Q \Q0 = ?:
Las diferentes relaciones entre los conjuntos estudiados puede ilustrarse en
un diagrama de Venn1 (�gura 1.1) o en un diagrama de árbol (�gura 1.2).
Observación: Los números reales los podemos relacionar con los puntos de
una recta, llamada recta real o recta numérica. Esto se hace asignando a cada
punto de la recta un número real y viceversa.
1John Venn, (Drypool, 4 de agosto de 1834 - Cambridge, 4 de abril de 1923), matemático y lógico británico
miembro de la Real Sociedad de Londres.
28
1.4 Números Racionales, Irracionales y Reales
FIGURA 1.1. Digrama de Venn de los números reales
FIGURA 1.2. Diagrama de árbol de los números reales
Vocabulario
Diagrama de Árbol
Diagrama de Venn
Expresión no Periódica
Expresión Periódica Finita
Expresión Periódica In�nita
Números Irracionales
Números Racionales
Números Reales
Recta Numérica
Hechos importantes
Un número real es o bien un número racional o bien un número irracional.
Los números enteros son números racionales.
29
1 Los Números Reales y sus Propiedades
Un número racional tiene expresión decimal �nita o periódica.
Todo número racional puede escribirse como cociente de dos números
enteros
Un número irracional no tiene expresión decimal �nita o periódica.
Todo número irracional no puede escribirse como cociente de dos números
enteros
Ejercicios de la Sección 1.4
En los problemas del 1 al 5, si x < 0 y y > 0, determine el signo de la
expresión:
1. x2y;
2. y
x
+ x;
3. x�y
xy
;
4. xy2;
5. y (y � x) :
En los problemas del 6 al 10, exprese los números decimales como cociente
de dos enteros. Simpli�que la expresión.
6. 0:67;
7. 2:3456;
8. �0:002467;
9. 12:34512345;
10. 3:1416:
Demuestre que los siguientes números reales son racionales
11.
�
3 +
p
2
�
+
�
3�
p
2
�
; 12.
�
4
p
3
� �
�5
p
3
�
:
Demuestre que los siguientes números reales son irracionales
13.
�
5�
p
7
�
�
�
8 +
p
7
�
;
14.
p
11
�
5 +
p
3
�
;
15.
�
5�
p
3
�2
:
16. Relacione las dos columnas donde el conjunto de la izquierda es un sub-
conjunto del de la derecha
30
1.4 Números Racionales, Irracionales y Reales
1. f1; 3=4;�1; 1=2;�1=4g a) Enteros negativos
2. f�3;�1;�7;�5g b) Naturales
3. f1=2; �;�3; eg c) Enteros
4. f�2;�4; 6; 8; 10g d) Racionales
5.
�
0:266; 0:75; 0:5; 0:72
	
e) Irracionales
6.
�
7;
p
4; 6=2; 13
	
f) Reales
7.
�p
2; 9;�5=8; 0
	
17. Demuestre que el inverso aditivo de un número racional es un número
racional; es decir, si x = n
m
con m y n enteros, entonces �x puede
expresarse como cociente de dos enteros.
18. Demuestre que si p; q y r son enteros diferentes de cero, entoces el número
real
�
p+ q
p
2
�
=r es irracional.
Indicación: Supóngase que el número se puede escribir como m
n
con n
y m enteros y obténgase una contradicción.
19. Bosquéjese una demostración del hecho de que no existe un número racional
cuyo cubo sea 2; esto es, es imposible encontrar enteros n y m tales que�
n
m
�3
= 2:
20. Demuestre que si a; b y c son elementos de Q y si a 6= 0, entonces existe
un número racional único x que es solución de la ecuación ax+ b = c:
31
1 Los Números Reales y sus Propiedades
21. Para las siguientes a�rmaciones, conteste Falso (F) o Verdadero (V) según
sea el caso.
a. ( ) Todo número entero es un número racional.
b. ( ) Los conjuntos de los números racionales y los
irracionales tienen elementos en común.
c. ( ) El conjunto de los números naturales es igual al
conjunto de los números enteros positivos.
d. ( ) Cero es un número racional.
e. ( ) Q � R.
f. ( ) 3 es un número natural y real.
g. ( ) Q � Z.
h. ( ) R = Q \Q0.
i. ( ) �12 es entero negativo y racional.
j. ( ) 1 es un número irracional.
k. ( ) Z \ N = ?.
l. ( ) Los enteros negativos son un subconjunto de
los enteros.
m. ( ) Q0 representa el conjunto de los números irracionales.
n. ( ) R representa el conjunto de los números reales.
o. ( )
p
7 es un número irracional.
32