Sesión 2_Tratamiento de Datos y Azar CONALEP

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Probabilidad 
Espacio Muestral 
Es todo el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Concepto básico en el estudio de probabilidad, ya que delimita todos los eventos posibles que puedan resultar de un ensayo o experimento. 
Puntos Muestrales 
Son los valores individuales de un espacio muestral 
Ejemplo: 
En un dado hay seis opciones (1, 2, 3, 4, 5, o 6)
Ejemplo: 
De tres monedas de distinta denominación, calcular el espacio muestral 3! = 
Respuesta: (AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA Y SSS). 
Cálculo de la Probabilidad de un evento
Si tenemos una baraja de 52 cartas, se obtiene un as, esto es 4 de acierto entre 52 casos probables. 
 Sucesos Favorables F
P (A) = = 
 Sucesos o casos Posibles N
Probabilidad es la posibilidad de que ocurra un evento 
Ejemplos: Obtener un 5 al lanzar un dado. 
N = 6 , F = 1 p (5) = 1/6 = 0.167
Probabilidad de obtener un as es una baraja de 52 cartas 
N = 52, F = 4 p (as) = 4/52 = 1/13 = 0.077
De una bolsa que contiene 2 listones rojos, 5 azules y 3 blancos, hallar la probabilidad de que al sacar un listón éste sea: a) rojo, b) azul y c) blanco 
a) F = 2 N = 10 P (R) = 2/10 = 1/5 = 0.20
b) F = 5 N = 10 P (A) = 5/10 = ½ = 0.5
c) F = 3 N = 10 P (B) = 3 /10 = 0.30
De una caja que contiene 3 listones blancos y 4 verdes se extraen al mismo tiempo dos listones, hallar la probabilidad de que los dos sean blancos 
	B1B2
	B1B3
	B1V1
	B1V2
	B1V3
	B1V4
	= 6
	B2B3
	B2V1
	B2V2
	B2V3
	B2V4
	
	= 5
	B3V1
	B3V2
	B3V3
	B3V4
	
	
	= 4
	V1V2
	V1V3
	V1V4
	
	
	
	= 3
	V2V3
	V2V4
	
	
	
	
	= 2
	V3V4
	
	
	
	
	
	= 1
	
	
	
	
	
	Suma 
	= 21
Casos favorables B1B2 + B1B3 + B2B3 = 3
 P (RR) = 3 / 21 = 0.1428 = 14.28%
Nota: Si se nombra a F como el número de casos favorables y por N los casos posibles. 
Actividad: 1
Lucy va a la feria y apuesta al 17 ¿ Cuál es la probabilidad de que Lucy gane en la ruleta (Nota: en la ruleta hay 38 posiciones)
El caballo pura sangre llamado “faraón” ha ganado 52 de un total de 60 carreras. ¿Cuál es la probabilidad que en la siguiente carrera del Hipódromo de las Américas en donde correrá este caballo pierda?
De una bolsa que contiene 3 chicles verdes, 5 amarillos, 7 rojos y 8 negros, hallar la probabilidad de que al sacar un chicle éste sea: 
a) Verde
b) Rojo
c) Negro 
Técnicas de conteo 
Principio de la Suma 
Si el problema sobre probabilidades tiene una condición sobre el hecho de que se presenten un evento y no otro, la probabilidad está formada por la suma de las probabilidades individuales, si los eventos son mutuamente excluyentes. 
P (A o B) = P = (A) + (B) 
Principio de Multiplicación 
Si el problema de probabilidad tiene la condición de que se presenten ambos eventos, como por ejemplo un billete de $20 y uno de $100, la probabilidad total está formada por la multiplicación de las probabilidades individuales si los eventos son dependientes entre si.
P (A Y B) = P (A) * P (B)
MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES 
Para eventos independientes: 
P (A y B) = P (A ʌ B) = P (A) *(B)
Para eventos dependientes: 
P (A y B) = P (A ʌ B) = P (A) * P (B / A)
P (B y A) = P (B ʌ A) = P (B) * P (A / B)
Eventos mutuamente excluyentes
La caja registradora de la zapatería “Brinquitos” contiene 5 billetes de $20, 2 de $100 y 1 de $50. Calcula la probabilidad de que al extraer al azar un billete, éste sea de $20
P = Número de eventos exitosos / Total de eventos. 
P = n / N 
P (20) = 1 / (5 + 2 + 1) = 1/8 = 0.125
En un estudio hay 100 pacientes que fueron al laboratorio a realizarse una prueba de Diabetes Mellitus, obtuvieron los siguientes resultados, calcular la probabilidad de que al seleccionar un paciente tenga diabetes o que tuvo como resultado positivo en la prueba que se realizó. 
	
	Resultado positivo (Diabético)
	Resultado Negativo (No Diabético)
	Paciente Diabético
	81
	6 
	Paciente No Diabético
	3
	10
P (Diabético o Positivo) = 81 + 3 + 6 = 90 
Total de Pacientes = 81 + 3 + 6 + 10 = 100 
P = Número de eventos exitosos / Total de eventos 
P (Diabético o Positivo) = 90 / 100 = 0.90
Eventos Independientes 
Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de uno no afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro 
La caja de la Zapatería “Brinquitos” contiene 5 billetes de $200, 3 de $100 y 1 de $500. Calcula la probabilidad de que al extraer un billete, uno de éstos sea de $100 o de $500
P ( billete de 100 o billete de 500) = P (billete de 100) + P (billete de 500) 
 No de billetes de 100 No de billetes de 500
= + 
 Total de Billetes Total de Billetes
 3 1
= + = = 
 5 + 3 + 1 5 + 3 + 1
Eventos Dependientes
También se denominan compuestos y se dan cuando la probabilidad de ocurrencia de un evento afecta la probabilidad de la ocurrencia de otro 
Ahora la caja de registradora contiene 5 billetes de $200, 3 de $100 y 1 de $500. Calcula la probabilidad de que al extraer al azar dos billetes, ambos sean de $200. 
P (Primer Billete sea de 200) = Número de billetes de $200 /total de billetes en la billetera
P (primer billete sea de 200) = 5 / 9 = 0.5555
P (segundo billete sea de 200) = Número de billetes de 200 / Total de billetes en la billetera)
P (segundo billete sea de 200) = 4 / 8 = 0.5 
Nota: hay que considerar el hecho de que ya se ha extraído un primer billete de $200 de un total de 9 y ahora quedan cuatro de $200 
Entonces la probabilidad de que de los dos eventos dependientes se presenten simultáneamente es la multiplicación de las probabilidades de ambos eventos, es decir: 
P (Primer Billete de $200 y Segundo Billete de $200) = (0.55) * (0.5) = 0.275 = 27.5%
Árbol de Probabilidad 
Un árbol de probabilidad es una gráfica que nos muestra los posibles resultados, o bien opciones de un evento y la probabilidad de ocurrencia. En virtud de que están representados todos los resultados posibles, la suma de las probabilidades debe ser 1.0 o bien el 100%
Ejemplo: La producción de fresa de Irapuato, que tiene una excelente calidad, se exporta a Inglaterra y únicamente el 0.02 %, de la producción es defectuosa. 
Elaborar un árbol de probabilidad para dos fresas que se toman aleatoriamente. 
Buena Probabilidad 0.98
Segunda fresa
Buena Probabilidad 0.98
Defectuosa Probabilidad 0.02
Primera fresa 
Defectuosa Probabilidad 0.02
Buena Probabilidad 0.98
Segunda Fresa 
Defectuosa probabilidad 0.02
Probabilidad de los resultados posibles: 
Probabilidad (defectuosa, defectuosa) = (0.02 * 0.02) = 0.0004
Probabilidad (defectuosa, buena) = (0.02 * 0.98) = 0.0196
Probabilidad (buena, defectuosa) = (0.98 * 0.02) = 0.0196
Probabilidad (Buena , Buena) = (0.98 * 0.98) = 0.9604 
Suma de las probabilidades de todos los resultados posibles = 1 x 100 = 100%
Para una variable aleatoria discreta, es una tabla de dos columnas, la primera contiene los valores de ésta variable y la segunda los valores de las probabilidades asociadas. 
Ejemplo: Obtener el número de “águilas” obtenidas al lanzar dos monedas de 10 pesos. 
Tenemos que al lanzar dos monedas al mismo tiempo, los resultados posibles son 0, 1 y 2 águilas. 
P ( X = 0) = p (0) = p (SS) = ¼ 
P (X = 1) = p (1) = p (AS, SA) = 2/4
P (X = 2) = p (2) = p (AA) = ¼
 Total = 1
Permutaciones 
Una permutación es un modo en la que pueden presentarse los objetos o eventos, y en la que el orden de aparición es muy importante 3! = 1X2x3 = 6 5! = 1X2X3x4x5 = 120
Por ejemplo: los números 3, 5 y 7 pueden formar los números 357, 375, 537, 573, 753, y 735. 
La fórmula para las permutaciones es: 
Permutaciones de n objetos tomados de r en r = P =nPr = 
En donde n es el número total de objetos o eventos. Puede ser cualquier valor entero positivo r es el número de objetos que se desea considerar. Puede ser cualquier valor entero positivo desde 1 hasta n AMORE 5! = 120 5! = 1X2X3X4X5 = 120
Entonces, al utilizar el término permutaciones, se está considerando el orden, es decir, los distintos ordenamientos de los mismos elementos cuentan como secuencias diferentes. 
Las letras ABCD, se pueden acomodar de 24 maneras. 4! = 1x2x3x4 = 24
Ejemplo: 
En una urna hay tres esferas (Azul, Verde y Amarilla), Si se extraen de la urna dos esferas, ¿En qué orden pueden aparecer? 
	Primera esfera 
	Segunda esfera
	Orden 
	 Azul 
	Verde 
	AV
	
	Amarilla
	AM
	Verde
	Azul
	VA
	
	Amarilla
	VM
	Amarilla 
	Azul
	MA
	
	Verde
	MV
 
Aplicando la fórmula de Permutaciones: 
 = nPr = = = 
Permutaciones = 3! / (3 – 2)! = 6 
n! = Número Factorial 
El factorial es el producto sucesivo de un número multiplicado por lo sucesivo 
Ejemplo: 
6! = 6 * 5 * 4* 3 * 2* 1 = 720. 
El número de formas distintas en que pueden ordenarse objetos iguales entre si, cuando se toman de uno en uno, es el factorial 
 (K1 + K2 + …. + Kn)!
Formas = 
 K1! * K2! * …. * Kn!
Ejemplo: En una urna hay tres canicas rojas y cinco azules. Si se extraen una por una de la urna ¿Cuál es el orden en que pueden aparecer? 
 (3 + 5)! 40 320 
Formas = = = 56
 3! * 5! 720
Permutaciones con reemplazo 
Es frecuente que el número de objetos sea limitado, pero que el número de veces que se muestren sea infinito, es decir, que hay reemplazo, ya que pueden ser elegidos de nuevo. 
Los resultados posibles de un juego son ganar o perder. ¿Cuáles son los posibles resultados si realizamos tres juegos? 
El número de maneras distintas en que pueden aparecer n objetos diferentes, en m intentos, con reemplazo, es: 
 En éste caso es de 
Combinaciones 
Las combinaciones son las maneras en que pueden presentarse los eventos o los objetos, y en la que el orden de aparición no importa. Por ejemplo la multiplicación de los dígitos 1, 3 y 7 puede hacerse de varias maneras distintas, por ejemplo: 1 x 3 x 7, o bien 3 x 7 x 1 y el resultado es igual. 
La fórmula general de las combinaciones es: 
Combinaciones de n objetos tomados de r en r = C 
Combinaciones de n objetos tomados de r en r = nCr = = 
N es el número total de objetos o eventos, es un valor entero positivo 
R es el número de objetos que se desea considerar, puede ser cualquier valor entero positivo. 
Ejemplo: En una urna hay seis monedas, marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Se toman al azar tres de ellas. ¿De cuántas formas diferentes se pueden tomar las monedas?
= nCr = = 
= = 6C3 = = = = 20 Formas 
Las monedas seleccionadas, podrían ser de 20 formas diferentes. 
La preselección de fútbol soccer sub-veinte está formada por 27 jugadores. ¿De cuántas maneras diferentes puede el entrenador confirmar el equipo. 
= nCr = = = = 13 037 895 formas
En un grupo hay 50 delegados y de ellos se van a seleccionar 8 para un congreso general. ¿De cuantas maneras distintas, se pueden seleccionar los 8 delegados. 
= nCr = = = 536 878 650 formas 
Actividad: 2
Realizar todas las permutaciones de la palabra AMOR
En una urna hay cuatro esferas (roja, azul, verde, amarilla), Si se extraen de la urna dos esferas. ¿En qué orden pueden aparecer? 
En una urna hay seis monedas, marcadas con los números 1,2,3,4,5 y 6. Se toman al azar dos de ellas. ¿De cuántas formas diferentes se pueden tomar las monedas?
Si lanzas una moneda justa 7 veces, ¿Cuál es la probabilidad de que obtengas exactamente 4 soles? 
= nCr = = = 
por lo tanto 
Hay 2 niños y 5 niñas en una clase de 7 estudiantes. Si el maestro escoge al azar un grupo de 3 ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo tenga sólo niñas?
= nCr = = = 
¿De cuántas formas pueden 10 personas estar sentadas en un banco, con capacidad para 4 personas?
nPr = = 
¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de cada una de las palabras?
1. Tema 4! = 24 hay 4 letras distintas 
2. Campana 
3. Estadísticas
a) Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son totalmente al azar b) ¿Cuántas maneras hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno? 
nPr = = 8P8 = 8! = 40 320 maneras 
 = 8P3 = 
El entrenador de la selección mexicana de futbol debe decidir como se deben tirar los cinco penales obligatorios en caso de un empate. ¿Cuántas elecciones posibles debe considerar?
nPr = = 
Una bolsa contiene 6 pelotas rojas, 4 verdes, y 3 azules. Si sacamos una pelota y después otra, sin poner la primera de vuelta en la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad que la primera pelota sea verde y que la segunda sea roja? 
En una clase de 6, hay 2 estudiantes que olvidaron su almuerzo. Si el profesor elige a 2 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan olvidado su almuerzo? 
Se desea ordenar 12 libros es un estante para colocarlos en un muestrario. ¿De cuántas maneras se puede hacer si? 
a) Se han de colocar todos 
b) Se colocan sólo 7 de ellos 
nPr = = 12! = 479 001 600
 = 
¿Cuántos números entre 1 y 100 (inclusive) son divisibles entre 10 o 7?
10,20,30,40,50,60,70,80,90,100 23 números.
7,14,21,28,35,42,49,56,63,77,84,91,98
La mesa directiva (presidente, secretario y tesorero) de una asociación van a elegirse de entre 5 candidatos, identificados con las letras (A, B, C, D y E). Suponga que cualquiera de ellos es apto para ocupar cualquier puesto y determine el número de formas diferentes en que puede quedar integrada la mesa directiva. 
nPr = = 
¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de cada una de las palabras?
PRIOR = = 60 combinaciones de las cuales 2 son letras r.
ERROR .
DEN = 3! = 6 combinaciones 
MATEMATICAS 
Dada la siguiente tabla referente a la producción de flechas para camión de carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuación se presentan los resultados obtenidos en la inspección
	Defecto
	A
	B
	C
	D
	Total
	I
	54
	23
	40
	15
	132
	II
	28
	12
	14
	5
	59
	S/defectos
	118
	165
	246
	380
	909
	Total
	200
	200
	300
	400
	1100
Se selecciona una flecha al azar de las inspeccionadas, determine la probabilidad de que: a) La flecha seleccionada sea del tipo B, b) La flecha seleccionada no tenga defectos, c) La flecha seleccionada tenga defectos del tipo II, d) La flecha seleccionada tenga cualquier tipo de defecto 
A) B) C) D)
 = 0.1818 = 0.1736
18.18% 82.63% 5.36% 17.36%
¡Ganaste un boleto para un viaje gratis en bote y puedes llevar 2 amigos! Desafortunadamente tienes 5 amigos que quieren ir ¿Cuántos grupos diferentes de amigos puedes llevar contigo? 
= nCr = = = 
 ¿Cuántos números entre 1 y 100 (inclusive) son divisibles entre 3 o 2?
3,6,9.12.15.18.21.24.27.30.33.36.39.42.45.48.51.54.57.60.63.66.69.72.75.78.81.84.87.90.93.96.99
2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80,82,86,88,92,94,98
Resuelve por medio de un diagrama de árbol la siguiente situación: 
Una pareja planea tener dos hijos: ¿Cuáles y cuántas son las posibilidades que tienen en cuanto al sexo del bebé si se supone que cada nacimiento es individual?