TALLER DE ARITMÉTICA INDIVIDUAL - Juan Mendoza (1)

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TALLER DE ARITMÉTICA INDIVIDUAL 
Fecha: 01/05/2022
Nombre: Juan David Mendoza Rodríguez
1. Investigar sobre la importancia de las matemáticas en la resolución de problemas y la cotidianeidad. 
Es común encontrarse con niños y niñas que no comprenden las aplicaciones prácticas de las matemáticas en su vida, y tienen dificultad para estudiarlas. Pero la tienen: por ejemplo, ayudar a las personas a desarrollar grandes aptitudes más allá del aula, como el pensamiento lógico o el razonamiento ordenado.
Uno de los más prestigiosos y relevantes físicos de la historia, Galileo Galilei, afirmó sobre ellas: “son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”. Cuestiones religiosas aparte, la frase de Galileo no estaba exenta de sentido: las matemáticas han ayudado -y ayudan- a alcanzar un conocimiento mucho más profundo y preciso de la realidad que nos rodea, del medio en que nos desenvolvemos. De hecho, en la actualidad se usan incluso para predecir cambios o tendencias en el futuro próximo. Visto así, se puede extraer una clara conclusión: los números dominan o forman una parte importante de casi todo lo que conocemos.
¿Qué son exactamente las matemáticas?
Pero, para medir bien el alcance de esta materia, es esencial definirla con precisión: se trata de la ciencia que mediante el razonamiento lógico estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos como números, figuras geométricas o símbolos. Esta relación entre elementos tiene presencia tanto en actividades simples y cotidianas como en procesos y problemas complejos del día a día. El espectro de las matemáticas se puede subdividir en cuatro grandes grupos: aritmética, relacionada con números; álgebra relacionada con estructuras; geometría relacionada con segmentos y figuras; y estadística, relacionada con el análisis de datos.
A grandes rasgos, el aprendizaje y el perfeccionamiento de los conocimientos matemáticos conlleva una mejora de los siguientes aspectos cognitivo/intelectuales:
– Pensamiento analítico: se puede definir como el pensamiento dirigido a descomponer las expresiones que componen algo, como por ejemplo un argumento. Así, se pueden establecer relaciones entre ellas y llegar a una conclusión que confirme o desmienta la confiabilidad del objeto analizado. Este proceso es exactamente el que se sigue al resolver problemas matemáticos.
– Razonamiento ordenado: enfrentarse a un problema en la vida va ligado a un proceso de análisis coherente, que necesita de habilidad para ordenar las ideas y expresarlas de forma correcta, abordando de forma más eficiente cualquier contratiempo por pequeño que sea.
– Agilidad mental: una vez desarrolladas las habilidades anteriores, la facilidad y velocidad para abordar cualquier tipo de situación que requiera de cálculo de probabilidades, pensamiento lógico y toma de decisiones, aumenta considerablemente.
En resumen, las matemáticas dotan a los alumnos de un conocimiento que les acompañará durante toda su vida en las tareas más comunes: administrar sus ahorros, gestión de su tiempo, resolución de juegos con amigos y familiares… y, sobre todo, una capacidad de abstracción aguda que usarán para jamás dejar de aprender.
2. Operaciones aritméticas; concepto, procesos, orden de las operaciones y propiedades.
Concepto: La aritmética es la rama de las matemáticas que estudia los números y las operaciones básicas que se pueden efectuar entre ellos. Entre estas, destacan la suma, la resta, la multiplicación y la división.
Procedimiento: Rico (1995, p. 9) afirma que el conocimiento escolar de las matemáticas “es también 
conocimiento tecnológico ya que se refiere a la capacidad para aplicar unos determinados 
conceptos y procedimientos a la resolución práctica de problemas”, entendiendo que los 
procedimientos son aquellas formas de actuación o ejecución de tareas matemáticas. El autor señala tres niveles en los procedimientos: destrezas, razonamientos y estrategias. En 
particular, señala que “las destrezas consisten en transformar una expresión simbólica desde 
una forma dada hasta otra forma, y para ello hay que ejecutar una secuencia de reglas sobre 
manipulación de símbolos” (RICO, 1995, p. 15), y las clasifica, según el campo de las 
matemáticas escolares en el que operan, en: aritméticas, métricas, geométricas, gráficas y de 
representación. 
Los Lineamientos Curriculares de Matemáticos (MEN, 1998) de Colombia adoptan
esa taxonomía para enunciar los tipos de procedimientos empleados en la resolución de 
problemas realizando dos ajustes; de ellos, el más importante es incluir el Cálculo Diferencial 
e Integral al hablar de procedimientos analíticos, en lugar de hablar de destrezas gráficas y de 
representación.
Los cuatro tipos de procedimientos sirven de base para la caracterización de las 
dificultades emergentes de la resolución de problemas de fenómenos variacionales desde la 
mirada del proceso ECEP. En particular, y para efectos de esta publicación, enfatizamos que 
los procedimientos aritméticos son aquellos relacionados con el dominio del número y la 
estructura del sistema de numeración decimal; de las operaciones en diversos contextos; de 
sus propiedades y de las relaciones entre ellas. Barajas (2015) señala, de manera a priori, unas
habilidades de tipo aritmético que el estudiante debe realizar para resolver problemas de 
Cálculo Diferencial que requieren de este tipo de procedimiento: dominar el campo de los 
números reales y de las operaciones básicas y superiores; usar diferentes notaciones de los 
números reales y establecer relaciones para decidir sobre su uso en una situación dada.
Orden de las operaciones: Los bloques de construcción del orden de las operaciones son las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, y división. El orden de las operaciones dice que:
primero multiplicas o divides, de izquierda a derecha
luego sumas o restas, de izquierda a derecha
 
¿Cuál es la respuesta correcta para la expresión 3 + 5 • 2? Usa el orden de operaciones anterior.
 
Primero multiplica. 3 + 5 • 2 = 3 + 10
Luego suma. 3 + 10 = 13
 
Este orden de operaciones aplica a todos los números reales.
	Ejemplo
	Problema
	Simplifica 7 – 5 + 3 · 8.
	 
	7 – 5 + 3 • 8
	De acuerdo con el orden de las operaciones, la multiplicación es primero que la suma o la resta. Multiplica 3 · 8.
	 
	7 – 5 + 24
	Ahora, suma y resta de izquierda a derecha. 7 – 5 es primero.
	 
	2 + 24 = 26
	Finalmente, suma 2 + 24.
	Respuesta
	7 – 5 + 3 • 8 = 26
	 
 
Cuando estás aplicando el orden de las operaciones a expresiones que contienen fracciones, decimales, y números negativos, necesitarás recordar cómo hacer estos cálculos también.
	Ejemplo
	Problema
	Simplifica 
	 
	
	De acuerdo con el orden de las operaciones, la multiplicación es antes que la suma o la resta. Primero multiplica .
	 
	
 
	Ahora, divide .
	 
	1 – 32 = −31
	Resta.
	Respuesta
	
	 
 
Propiedades: Suma
La suma es una operación que se deriva de la operación de contar. Los
términos de la suma se llaman sumandos. Las propiedades de la suma son:
Conmutativa: a + b = b
Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c.
Elemento neutro: a + 0 = a.
Elemento simétrico: a + (-a) = 0.
Resta
Al igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación
de contar. Los términos de la resta se llaman minuendo (cantidad inicial) y
sustraendo (cantidad a descontar). Las propiedades de la resta son:
No es conmutativa: a - b ≠ b – a.
No es asociativa: a - (b - c) ≠ (a - b) - c.
Elemento neutro: a – 0 = a.
Elemento simétrico: a – (a) = 0.
Producto
Muchas veces tenemos que sumar un número consigo mismo varias veces.
Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, sería más breve
representarlo así 5 · 7 (esto significaría sumar 5 condigo mismo 7 veces). La
multiplicación es una forma abreviada de hacer un tipo especial de sumas. Los
términos de la multiplicación se llaman multiplicando (el numero que se suma) y
multiplicador (el número de veces que se suma). Las propiedadesde la
multiplicación son:
Conmutativa: a · b = b · a
Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c
Elemento neutro: a · 1 = a
Elemento simétrico: a · 1/a ≡ a / a = 1
Distributiva respecto de la suma: a · (b + c) = a · c + a · d
División
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número
de cosas entre un número de personas. Los términos de la división se llaman
dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el
numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra). Si el resto es
cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división:
No conmutativa: a / b ≠ b / a
No asociativa: a / (b / c) =(a / b) / c
Elemento neutro: a / 1 = a
Elemento simétrico: a / a = 1
Potencia
En bastantes ocasiones tenemos que multiplicar un número por si mismo un
número dado de veces. Por ejemplo: 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5. Una forma de
representar esta operación es 57 (esto quiere decir que hay que multiplicar 5 por si
mismo 7 veces). El número inferior se llama base y el superior exponente. Las
propiedades de la potenciación:
am·an = am+n
am/an = am-n
a0 = 1 (se deriva de la propiedad anterior am/am = 1 = am-m = a0)
(am)n = am·n
(a·b·c)m = am · bm · cm
a-n = 1/an (se deriva de la segunda propiedad).
Raíz
El cálculo de la raíz es la operación inversa de la potenciación. Supongamos
que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si
mismo un número b de veces nos da el numero a. Por ejemplo: calcular qué
número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14. El número
que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del
radical, el resultado se llama raíz. La radicación es un caso particular de la
potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual
que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de
un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es
convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas
para la operación de potenciación.
Logaritmo
El logaritmo en base a de un número n, es otro número b, tal que cumple esta
ecuación: ab = n. Dicho matemáticamente loga n = b ≡ ab = n.
Propiedad: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores. Supongamos:
loga n1 = b1 ≡ ab1 = n1
loga n2 = b2 ≡ab2 = n2
Se deduce que loga n1 · n2 = loga ab1 · ab2 = b ≡ ab = ab1 · ab2 = ab1+b2.
De igual manera se demostraría que el logaritmo de un cociente es la
diferencia de los logaritmos del numerador y denominador, y con un poco más de
trabajo que el logaritmo de una exponenciación es igual al exponente por el
logaritmo de la base.
¿Cómo se cambia de base un logaritmo?
Según la definición de logaritmo, loga b = c, quiere decir que b = ac.
Tomando logaritmos en base n, a esta última expresión, logn b = c logn a, pero
como c = loga b. Entonces loga b= logn b / logn a.