Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Limite y continuidad 97 Capítulo 2 LÍMITE I. LÍMITE FINITO Introducción: Sea f una función definida en todos los puntos del intervalo ),( ba , salvo quizá en ),( 0 bax ∈ . Vamos a estudiar ahora cómo se comporta )(xf cuando x se acerca a 0 x , independientemente de lo que valga f en 0 x . Definición: Sea f una función definida en todos los puntos del intervalo ),( ba , salvo quizá en ),( 0 bax ∈ . Decimos que )(xf tiene límite L cuando x se acerca a 0 x (notándolo Lxflim xx = → )( 0 ) ⇔ εδεδδδε <−⇒<−<=>∃>∀ Lxfxx )(0/))((00 0 Ejemplo 1: Probemos el siguiente límite por definición: 523 1 =+ → xlim x Dado 0>ε buscamos 0>δ tal que si δ<−1x , entonces: ε<−=−=−+ 13335)23( xxx Por lo tanto, tomando 3 ε δ ≤ resulta que si δ<−< 10 x , entonces ε ε δ =≤<−=−=−+=− 3 3313335)23()( xxxLxf como queríamos demostrar. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 98 Observemos que si 10.0=ε entonces 3̂0.0=δ y si 01.0=ε entonces 3̂00.0=δ . Ejemplo 2: Utilizando la definición, probar el siguiente límite: 42 2 = → xlim x Dado 0>ε buscamos 0>δ tal que si δ<− 2x , entonces: ε<+−=+−=− 22)2()2(42 xxxxx Aquí no se puede proceder como en el ejercicio anterior, ya que si despejamos nos quedaría 2 2 + <− x x ε , con lo cual δ dependería de ε y de la variable x y eso no debe ocurrir. Luego, vamos a acotar: sea 1'=δ , entonces 5233112112'2 <+<⇒<<⇒<−<−⇒<−⇒<− xxxxx δ Por lo tanto: 55 25222 ε δ ε ε ≤∴<−⇒<−<+− xxxx Pero no hay que olvidar que tomamos un valor particular de δ ( 'δ =1), por lo tanto: = 5 ,1 ε δ min Ahora probamos nuestra afirmación: sea δ >0 tal que δ<−< 20 x , entonces ε ε δ =≤<−<+−=−=− 5 5552224)( 2 xxxxLxf como queríamos demostrar. Observemos que si 10.0=ε entonces { } 2.02.0,1 == minδ Propiedades del límite 1) Unicidad del límite: Sea f definida en todo ),( ba , salvo quizá en ),( 0 bax ∈ . Si 1 )( 0 Lxflim xx = → y 2 )( 0 Lxflim xx = → entonces 21 LL = . 2) Sea IRk∈ . Si Lxflim xx = → )( 0 entonces se verifica: a) kxfxxkL <∧<−<>∃⇒< )(0/0 0 δδ . b) kxfxxkL >∧<−<>∃⇒> )(0/0 0 δδ . 3) Sean f, g y h tres funciones definidas en un intervalo ),( ba , salvo quizá en ),( 0 bax ∈ y tales que: i) Lxhlimxglim xxxx == →→ )()( 00 ii) 0 ),()()()( xxbaxxhxfxg ≠∈∀≤≤ Entonces Lxflim xx = → )( 0 . 4) Sean f y g dos funciones definidas en ),( ba , salvo quizá en ),( 0 bax ∈ y tales que: Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 99 i) Lxglim xx = → )( 0 ii) δδ <−<∀=>∃ 0 0:)()(/0 xxxxgxf Entonces Lxflim xx = → )( 0 . 5) Si kxf =)( con k constante, entonces kklim xx = → 0 . 6) Sean f y g dos funciones definidas en ),( ba , salvo quizá en ),( 0 bax ∈ y tales que: 1 )( 0 Lxflim xx = → y 2 )( 0 Lxglim xx = → . Entonces: a) 21 )()( 0 LLxgxflim xx ±=± → b) 21 )()( 0 LLxgxflim xx ⋅=⋅ → c) 2 1 2 )( )( 0 0 L L xg xf limL xx =⇒≠ → d) ⇒> 0 1 L i) 1 ln)(ln 0 Lxflim xx = → ii) [ ] 2 0 1 )( )( Lxg xx Lxflim = → Ejemplo 3: Calculemos un límite utilizando álgebra de límites: [ ] ( ) =−+=−+=−+ →→→→→ )3ln(2)3ln(2)3ln(2 2 2 3 2 2 2 3 2 23 2 xlimxlimxlimxlimxxlim xxxxx ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−+=−+= →→→→→ 3ln23ln2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 xxxxx limxlimxlimxlimxlim 81ln28)32ln(22 23 =+=−+= Observación: En general, para determinar analíticamente el valor de un límite, si Dfx ∈ 0 y la función está definida por una única expresión algebraica, )()( 0 0 xfxflim xx = → . La justificación de este procedimiento se verá más adelante con la noción de continuidad. Ejemplo 4: Calcular el siguiente límite: 3 )1(31 2)1(5)1( 31 25 22 1 −= −− −−+− = − −+ −→ x xx lim x *Sugerimos resolver los problemas 1, 2. 3 y 4 de la guía de trabajos prácticos. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 100 COCIENTE DE INFINITÉSIMOS Definición: f es un infinitésimo para 0)(lim 0 0 =⇔= → xfxx xx Observación: A veces, en la resolución de ciertos límites, no podemos hacer el reemplazo directo pues llegamos a una expresión donde numerador y denominador tienden a cero (cociente de infinitésimos). En este caso se dice que el límite presenta una indeterminación del tipo 0 0 y es uno de los siete tipos de indeterminación que analizaremos. Es importante que quede claro que si se presenta una indeterminación, esto no quiere decir que el límite no exista, sino que ésta se debe “salvar”. Veremos ahora formas algebraicas de salvar indeterminaciones del tipo 0 0 y poder así calcular esos límites. 1) Cociente de polinomios: Para salvar la indeterminación del tipo 0 0 en este caso, factorizamos ambos polinomios y simplificamos, calculando el límite del cociente de los polinomios que se obtienen de la división de )(xP y )(xQ por )( 0 xx − . Es decir: )( )( )()( )()( )( )( 0)()( 00000 0 0 xN xM lim xNxx xMxx lim xQ xP limxQlimxPlim xxxxxxxxxx →→→→→ = − − =⇒== Ejemplo 5: Calculemos el siguiente límite: 6 8 2 34 2 −+ −− → xx xx lim x Como encontramos una indeterminación del tipo 0 0 , factorizamos ambos polinomios utilizando Ruffini. 1 -1 0 0 -8 Recordar: polinomio completo y ordenado 2 2 2 4 8 1 1 2 4 0 Entonces, )42()2(8 2334 +++−=−− xxxxxx 1 1 -6 Recordar: Por ser una función cuadrática podríamos factorizarla 2 2 6 de la siguiente forma )()()( 21 xxxxaxf −−= , siendo 1 x y 2 x 1 3 0 sus raíces, las cuales se obtenían a través de la expresión: Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 101 a acbb x 2 4 2 2,1 −±− = Entonces, )3()2(62 +−=−+ xxxx Concluimos que: 4 3 42 )3()2( )42()2( 6 8 23 2 23 2 2 34 2 = + +++ = +− +++− = −+ −− →→→ x xxx lim xx xxxx lim xx xx lim xxx Observación: En el ejemplo anterior es lícito simplificar )2( −x ya que x tiende a 2 pero 2≠x . La simplificación no altera el valor del límite a pesar de cambiar la función, ya que es válida la propiedad 4) del límite. Ejemplo 6: Calculemos el siguiente límite: 61022 254 23 23 1 −−− +++ −→ xxx xxx lim x Como queda una indeterminación del tipo 0 0 , factorizamos ambos polinomios utilizando Ruffini. 1 4 5 2 2 -2 -10 -6 -1 -1 -3 -2 -1 -2 4 6 1 3 2 0 2 -4 -6 0 Luego, 642 23 )642()1( )23()1( 61022 254 2 2 1 2 2 1 23 23 1 −− ++ = −−+ +++ = −−− +++ −→−→−→ xx xx lim xxx xxx lim xxx xxx lim xxx Al llegar a este punto observamos que nuevamente obtenemos una indeterminación del tipo 0 0 . Volvemos a factorizar: 8 1 62 2 )3)(1(2 )2)(1( 642 23 11 2 2 1 −= − + = −+ ++ = −− ++ −→−→−→ x x lim xx xx lim xx xx lim xxx Ejemplo 7: Calcular el siguiente límite: 2 5 2 53 )2( )53( 2 53 3 0 3 0 2 24 0 −= − +− = − +− = − +− →→→ x xx lim xx xxx lim xx xxx lim xxx 2) 1 sen 0 = → x x lim x La generalización de este resultado es: “Si 0)( 0 = → xflim xx , entonces 1 )( )(sen 0 = → xf xf lim xx ” que es muy útil para resolver límites con esa estructura. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 102 Ejemplo 8: 3 7 3 7 7 7sen 3 7sen 00 == →→ x x lim x x lim xx Ejemplo 9: 3 2 3 2 3 3sen 2 2sen 3 3 3sen 2 2 2sen 3sen 2sen 0 0 0 00 === → → → →→ x x lim x x limx x lim x x x x x x lim x x lim x x x xx Esto se debe a que 1 2 2sen 0 = → x x lim x y 1 3 3sen 0 = → x x lim x . Ejemplo 10: 1 cos 1sencos sen tg 0000 === →→→→ x lim x x lim x x x lim x x lim xxxx Ejemplo 11: 2 )2sen( 2 − − → x x lim x Estamos ante una indeterminación del tipo 0 0 . Realizamos un cambio de variable: 2−= xt . Observemos que cuando x tiende a 2, t tiende a cero, luego: 1 sen 2 )2sen( 02 == − − →→ t t lim x x lim tx 3) Cociente con expresiones irracionales: Para salvar la indeterminación del tipo 0 0 en este caso se multiplica y divide por el conjugado de las expresiones irracionales. Ejemplo 12: = +− − = + + − − = − − →→→ )3()3( )3()( )3( )3( )3( )3( 3 3 22 333 xx x lim x x x x lim x x lim xxx 32 1 3 1 )3()3( 3 33 = + = +− − = →→ x lim xx x lim xx Ejemplo 13: = −++ −++ − −−+ = − −−+ →→ 121 121 2 121 2 121 22 xx xx x xx lim x xx lim xx 2 22 2 lim )121(2 )12()1( lim →→ = −++− −−+ = xx xxx xx = −++− −−+ )121(2 )12(1 xxx xx 22 )121(2 121 →→ = −++− +−+ = xx lim xxx xx lim = −++− +− )121(2 2 xxx x 22 2 2 )121(2 2 →→ = − − −++− +− = xx lim x x xxx x lim = −++− −+− )121()2( 2)2( 2 xxx xx Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 103 22 )121()2( 2)2( →→ = −++− −−− = xx lim xxx xx lim 0 32 0 121 2 == −++ −− xx x *Sugerimos resolver el problema 5 de la guía de trabajos prácticos. LÍMITES LATERALES Definición 1: Sea f una función definida en todos los puntos de un intervalo abierto ),( 0 ax . Decimos que f tiene límite L+ cuando x se acerca a 0 x por derecha (notándolo + → = + Lxflim xx )( 0 ) εδεδδδε <−⇒<−<=>∃>∀⇔ +Lxfxx )(0/))((00 0 . Definición 2: Sea f una función definida en todos los puntos de un intervalo abierto ),( 0 xa . Decimos que f tiene límite L- cuando x se acerca a 0 x por izquierda (notándolo − → = − Lxflim xx )( 0 ) εδεδδδε <−⇒<−<=>∃>∀⇔ −Lxfxx )(0/))((00 0 . Teorema: Las siguientes afirmaciones son equivalentes. a) Lxflim xx = → )( 0 b) Lxflimxflim xxxx == +− →→ )()( 00 Observación: La importancia del teorema anterior radica en que si los límites laterales son distintos, entonces no existe el límite de la función. Ejemplo 14: 11 2 1 2 1 =∧= −+ →→ xlimxlim xx . Por lo tanto, 12 1 = → xlim x . Ejemplo 15: Hallar el siguiente límite: xlim x 0→ Como <− ≥ = 0 0 xx xx x , para poder calcular este límite necesariamente tenemos que utilizar límites laterales, ya que la función módulo está definida por expresiones diferentes según nos acerquemos a 0 por derecha o por izquierda. 0 0 0 0 00 00 =⇒ == =−= → →→ →→ ++ −− xlim xlimxlim xlimxlim x xx xx Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 104 Ejemplo 16: Calcular el )( 2 xflim x→ siendo > ≤− = − 2 28 )( 2 2 xe xx xf x Como f está definida por tramos, debemos utilizar límites laterales. )( 1)( 48)( 22 22 2 22 xflim elimxflim xlimxflim x x xx xx → − →→ →→ ∃/⇒ == −=−= ++ −− * Sugerimos resolver el problema 6 y 7 de la guía de trabajos prácticos. II. GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE LÍMITE INFINITO Definición 1: Sea f definida en ),( ba , salvo quizá en ),( 0 bax ∈ . Decimos que: MxfxxMxflim xx >⇒<−<>∃>∀⇔+∞= → )(0/00)( 0 0 δδ . Definición 2: Sea f definida en ),( ba , salvo quizá en ),( 0 bax ∈ . Decimos que: MxfxxMxflim xx −<⇒<−<>∃>∀⇔−∞= → )(0/00)( 0 0 δδ . Definición 3: Sea f definida en ),( ba , salvo quizá en ),( 0 bax ∈ . Decimos que: MxfxxMxflim xx >⇒<−<>∃>∀⇔∞= → )(0/00)( 0 0 δδ . Ejemplo 17: Demostrar, usando la definición, que ∞= → x lim x 1 0 . Sea M arbitrario, queremos probar que M x > 1 , o sea, M x 1 < . Por lo tanto, tomando δ M 1 ≤ resulta que: M M xx xfx =≥>==⇒<< 1 1111 )(0 δ δ como queríamos demostrar. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 105 Observaciones: 1) Es importante que quede claro que la división por cero no está definida, pero que si en un cociente el denominador tiende a cero y el numerador a un número distinto de cero, entonces el cociente tiende a infinito. 2) ∞=⇒ +∞= −∞= → → → + − x lim x lim x lim x x x 1 1 1 0 0 0 LÍMITE EN EL INFINITO Definición 1: Sea f definida en todos los puntos de un intervalo ),( +∞a . Decimos que: εε <−⇒>>∃>∀⇔= ∞→ LxfKxKLxflim x )(/00)( . Ejemplo 18: Demostrar utilizando la definición, que 0 1 2 = ∞→ x lim x Sea 0>ε arbitrario, queremos probar que: ε<= 22 11 xx , es decir, ε 12 >x ; entonces, ε 1 >x . Por lo tanto, tomando ε 1 ≥K , resulta que: ε ε = ≤<=⇒> 2222 1 1111 Kxx Kx como queríamos demostrar. Definición 2: MxfKxKMxflim x >⇒>>∃>∀⇔∞= ∞→ )(/00)( . Ejemplo 19: Demostrar, utilizando la definición, que +∞= +∞→ xlim x ln . Sea M > 0 arbitrario, queremos ver que ln x > M , o sea, Mex > (todo sin módulo pues x tiende a + ∞). Por lo tanto, tomando K= eM resulta que: x > K ⇒ f (x) = ln x > ln K = ln eM= M ln e = M como queríamos demostrar. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 106 Recordar: 1) Si 0>α : 0 1 =∧+∞= +∞→+∞→ α α x limxlim xx 2) Si a > 1: 0=∧+∞= −∞→+∞→ x x x x alimalim Si 10 << a : +∞=∧= −∞→+∞→ x x x x alimalim 0 Por lo tanto: Si 1>a : +∞=∧= +− →→ x x x x alimalim 1 0 1 0 0 Si 10 << a : 0 1 0 1 0 =∧+∞= +− →→ x x x x alimalim COCIENTE DE INFINITOS Observación: El cociente de infinitos es otra de las indeterminaciones que estudiaremos. Como en el caso de cociente de infinitésimos, la idea es tratar de salvar la indeterminación (a través de operaciones algebraicas que no modifiquen el valor de la expresión) y llegar a un resultado. 1) Cociente de polinomios: Para salvar la indeterminación del tipo ∞ ∞ en este caso, se divide numerador y denominador por x elevado al mayor exponente de la expresión dada. Ejemplo 20: Calcular los siguientes límites: a) +∞= + = + = + +∞→+∞→+∞→ 33 2 3 3 2 3 11 2 1 2 1 2 xx lim x x x x lim x x lim xxx b) 0 52 1 31 52 3 42 43 24 = −+ + = −+ + +∞→+∞→ xx xx lim xx x lim xx c) +∞→+∞→ = −++ +− xx lim xxx xx lim 523 27 23 3 7 1 2 3 1 2 5 7 3 2 3 2 3 − + + + − = x x x x x Regla práctica: Sea 0 1 1 )( axaxaxP n n n n +++= − − K y 0 1 1 )( bxbxbxQ m m m m +++= − − K . Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 107 Entonces: L xQ xP lim x = +∞→ )( )( donde == <= >∞= grQgrPsi b a L grQgrPsiL grQgrPsiL m n 0 2) Cociente con expresiones irracionales: También se divide numerador y denominador por x elevado al mayor exponente de la expresión dada, recordando que: a x a x n m m n n = . Ejemplo 21: 1 413 1 5 12 43 1 5 2 43 52 3 65 3 3 6 4 4 32 42 = ++− +− = + +− + − = ++− +− +∞→+∞→+∞→ xxx x lim x x x x xx lim xxx xxx lim xxx Ejemplo 22: Calculemos el siguiente límite x xx lim x − ++ ∞→ 2 13 2 Como x tiende a ∞, entonces dividimos numerador y denominador por 2xx = . L x x x xx x lim x x x xx lim xx = − ++ = − ++ ∞→∞→ 2 1 1 3 2 13 2 22 2 • Si +∞→x , entonces xx = . Luego, 4 1 2 1 13 2 −= − ++ = +∞→ x x limL x • Si −∞→x , entonces xx −= . Luego, 2 1 2 1 13 2 1 1 3 22 −= +− ++− = − − − ++ − = −∞→−∞→ x x lim x x x xx x limL xx *Sugerimos resolver el problema 8, 9, 10, 11 y 12 de la guía de trabajos prácticos. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 108 NOTA IMPORTANTE: xlimxlim xx cossen ∞→∞→ ∃/∧∃/ Por lo tanto, un teorema interesante es el siguiente: Teorema: Sean f y g dos funciones tales que: 0)( 0 = → xflim xx ( es decir, f es un infinitésimo para 0 xx = ) y kxg ≤)( con IRk∈ ( g es una función acotada). Entonces, 0)()( 0 = → xgxflim xx . Este teorema (que comúnmente se conoce como “cero por acotada”) da un método de resolución de ciertos límites. Ejemplo 23: 0sen 1sen == ∞→∞→ x x lim x x lim xx , pues 0 1 = ∞→ x lim x y 1sen ≤x . Ejemplo 24: 0 1 cos 2 0 = → x xlim x , pues 02 0 = → xlim x y la función coseno es una función acotada. *Sugerimos resolver el problema 13 de la guía de trabajos prácticos. OTRAS INDETERMINACIONES Observación: Mencionamos al principio de este capítulo que hay siete indeterminaciones. Hasta ahora sólo vimos dos: cociente de infinitésimos 0 0 y cociente de infinitos ∞ ∞ . A continuación estudiaremos dos más y los restantes se verán más adelante en el capítulo de aplicaciones de la derivada. 1) Suma de infinitos de distinto signo ( )∞−∞ Veamos algunos ejemplos de esta indeterminación. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 109 Ejemplo 25: Calcular los siguientes límites: a) ( ) +∞→+∞→ =−+ xx limxxxlim 3 2 ( ) ( ) ( ) = ++ ++ −+ xxx xxx xxx 3 3 3 2 2 2 +∞→+∞→ = ++ −+ = xx lim xxx xxx lim 3 )3( 2 222 +∞→ = ++ −+ x lim xxx xxx 3 3 2 22 3 3 2 x x x x+ + = +∞→+∞→ = ++ = xx lim x xxx lim 3 3 2 +∞→ = + + x lim x xx 1 3 3 2 2 3 1 3 1 3 2 + + = x b) 1 2 1 1 1 1 1 →→ = − − − xx lim xx lim 1 2 1 11 → = − −+ x lim x x x x 2 1− = ∞ 2) El número e: Otras indeterminaciones que pueden presentarse son las de las funciones potenciales- exponenciales. En este capítulo sólo veremos la que aparece cuando queremos calcular )()( 0 xg xx xflim → (eventualmente 0 x puede ser infinito) con 1)( 0 = → xflim xx y ∞= → )( 0 xglim xx , la cual se conoce como indeterminación ∞1 . Observemos que cualquier potencia del número 1 da por resultado 1. La indeterminación se presenta cuando la base de una función potencial - exponencial tiende a 1 y el exponente tiende a infinito. Veamos ahora dos resultados de suma importancia cuya demostración excede los alcances de este texto. ( ) exlime x lim x x x x =+∧= + →∞→ 1 0 1 1 1 Este concepto puede generalizarse de la siguiente manera: “Si ∞= → )( 0 xflim xx , entonces e xf lim xf xx = + → )( )( 1 1 0 ” Análogamente: “Si 0)( 0 = → xflim xx , entonces ( ) exflim xf xx =+ → )( 1 )(1 0 ” Ejemplo 26: Calcular los límites dados a continuación, verificando previamente que existe una indeterminación. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 110 a) 14 2. 7 7 2. 7 7 2 7 1 1 7 1 1 7 1 e x lim x lim x lim x x lim x x x xx x x x x = += += + ∞→ ∞→∞→∞→ b) 3 253 32 5353 32 5332 53 1 1 53 1 1 53 1 1 e x lim x lim x lim x x lim x x x x x x x x x = + += + += + + + + + ∞→ + + + ∞→ − ∞→ ∞→ c) 7 47 4 4 1 0 7 4 4 1 0 7 1 0 0 )41()41()41( exlimxlimxlim x x lim x x x x x x x x x = += +=+ → →→→ Ejemplo 27: Calcular el siguiente límite 13 52 12 − ∞→ − + x x x x lim Aquí vemos que el límite de la base da 1 (por ser cociente de polinomios de igual grado) y el exponente tiende a infinito. Por lo tanto, estamos frente a una indeterminación del tipo ∞1 . Procedemos de la siguiente manera: = − −−+ +=− − + += − + 52 )52(12 11 52 12 1 52 12 x xx x x x x 6 52 1 1 52 6 1 − += − + xx Luego, reemplazando obtenemos: ∞→ − ∞→ = − + x x x lim x x lim 13 52 12 9 52 )13(6 6 5252 )13(6 6 52 6 52 1 1 6 52 1 1 e x lim x x x lim x x x x x x = − += − + − − − ∞→ − − − ∞→ *Sugerimos resolver los problemas 14, 15 y 16 de la guía de trabajos prácticos. x Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 111 III. ASÍNTOTAS 1) Asíntota vertical: La recta de ecuación 0 xx = es una asíntota vertical al gráfico de )(xf ∞=⇔ + → )( 0 xflim xx y/o ∞= − → )( 0 xflim xx Ejemplo 28: Analizar la existencia de asíntotas verticales en las siguientes funciones: a) 3 1 )( + = x xf Hallamos primero el dominio de la función: { }3−−= IRDf . Luego, analizamos la existencia de asíntota en 3 0 −=x . 3 3 1 3 −=⇒∞= +−→ x x lim x es asíntota vertical. b) xexf =)( Como IRDf = , entonces la función no tiene asíntotas verticales. c) 4 2 )( 2 − + = x x xf Como el dominio de la función es { }2,2−−= IRDf , analizaremos la existencia de asíntota vertical en los dos valores que excluimos del dominio. i) 2 4 2 2 2 =⇒∞= − + → x x x lim x es asíntota vertical. ii) 2 2 2 4 2 −→−→ = − + xx lim x x lim 2)2)(2( 2 −→ = −+ + x lim xx x 4 1 2 1 −= −x . Por lo tanto, no hay asíntota vertical en 2−=x . Ejemplo 29: Analizar la existencia de asíntotas verticales en las siguientes funciones: a) ≥ < −= 2 2 2 1 )( xx x xxf Observemos que el IRDf = y 2 2 = + → xlim x . Como −∞= − − → 2 1 2 x lim x , concluimos que 2=x es una asíntota vertical. b) xexf 1 )( = El dominio de la función es { }0−= IRDf . 00 1 0 1 0 =⇒=∧+∞= −+ →→ xelimelim x x x x es una asíntota vertical. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 112 2) Asíntota horizontal: La recta de ecuación Ly = es asíntota horizontal al gráfico de )(xf Lxflim x =⇔ +∞→ )( o Lxflim x = −∞→ )( . Ejemplo 30: Analizar la existencia de asíntotas horizontales en las siguientes funciones. a) x xf 1 )( = Como 0 1 = ∞→ x lim x , entonces 0=y es asíntota horizontal. b) 25 13 )( 2 2 +− + = xx x xf Como 5 3 25 13 2 2 = +− + ∞→ xx x lim x , entonces 5 3 =y es asíntota horizontal. c) 3)( xxf = Como ∞= ∞→ 3 xlim x , entonces esta función no presenta asíntotas horizontales. Ejemplo 31: Analizar la existencia de asíntotas horizontales en las siguientes funciones. a) xexf =)( En este ejemplo vamos a discriminar los límites para el cálculo de asíntota horizontal. Observemos que 0= −∞→ x x elim pero +∞= +∞→ x x elim . Por lo tanto, concluimos que 0=y es una asíntota horizontal a izquierda. b) −≥ −<− 1 2 1 13 1 x x x x Observemos que: • 0 2 1 )( = = +∞→+∞→ x xx limxflim • 33 1 )( −=−= −∞→−∞→ x limxflim xx Concluimos que tenemos dos asíntotas horizontales: 0=ya derecha e 3−=y a izquierda. 3) Asíntota oblicua: La recta de ecuación bmxy += es una asíntota oblicua al gráfico de )(xf [ ] 0)()( =+−⇔ +∞→ bmxxflim x o [ ] 0)()( =+− −∞→ bmxxflim x Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 113 Determinemos cómo se calculan los valores de m y b. [ ] 0 )( )()( = −−=+− +∞→+∞→ x b m x xf xlimbmxxflim xx Puesto que x tiende a ∞+ debe cumplirse que: 0 )( = −− +∞→ x b m x xf lim x Como b es constante, se verifica que 0= +∞→ x b lim x . Luego: m x xf limm x xf lim xx =⇒= − +∞→+∞→ )( 0 )( Conociendo el valor de m, lo reemplazamos en la expresión [ ] 0)()( =+− +∞→ bmxxflim x Luego: ))(( mxxflimb x −= +∞→ . Por lo tanto, para calcular la pendiente y la ordenada al origen de la asíntota oblicua, basta con calcular los siguientes límites: x xf limm x )( +∞→ = y ))(( mxxflimb x −= +∞→ El análisis se completa con el cálculo de estos límites para −∞→x . Ejemplo 32: Analizar la existencia de asíntota oblicua en la función 5 23 )( 2 + + = x xx xf ∞→∞→∞→ = + + == xxx lim x x xx lim x xf limm 5 23 )( 2 = + + = + + ∞→ xx xx limx x xx x 1 5 23 : 5 23 22 3 5 23 2 2 = + + ∞→ xx xx lim x ∞→∞→∞→ =− + + =−= xxx limx x xx limmxxflimb 3 5 23 ))(( 2 13 5 13 5 )5(323 2 −= + − = + +−+ ∞→ x x lim x xxxx x Luego, 133 −= xy es asíntota oblicua. *Sugerimos resolver los problemas 17 y 18 de la guía de trabajos prácticos. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 114 CONTINUIDAD Definición: Decimos que f es continua en ⇔ 0 x se verifica: i) )( 0 xf∃ ii) )( 0 xflim xx→ ∃ y es finito. iii) )()( 0 0 xfxflim xx = → Propiedades 1) Sean f y g continuas en 0 x , entonces se verifica: a) gf ± es continua en 0 x . b) gf . es continua en 0 x . c) g f es continua en 0 x si 0)( 0 ≠xg . 2) Si DfIg ⊂ y g es continua en 0 x y f es continua en )( 0 xg , entonces gf o es continua en 0 x . FUNCIONES DISCONTINUAS Definición: Una función se dice discontinua en 0 x si no verifica una o más de las condiciones de la definición de continuidad. Clasificación: 1) Discontinuidad evitable: Se presenta cuando existe el límite finito L de la función en 0 x pero, o bien, no está definida f en 0 x , o bien, )( 0 xf no coincide con el límite L. 2) Discontinuidad esencial: Se presenta cuando la función no tiene límite finito en 0 x , o bien, no existe el límite en 0 x . Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 115 Ejemplo 33: Analizar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. En caso de ser discontinuas, clasificar. a) xxxf 3)( 2 += en 1 0 −=x i) 2)1( −=−f ii) 232 1 −=+ −→ xxlim x iii) )1()( 1 −= −→ fxflim x Por lo tanto, f es continua en 1 0 −=x . b) 2 4 )( 2 − − = x x xf en 2 0 =x i) )2(f∃/ ii) = − +− = − − →→ 2 )2()2( 2 4 2 2 2 x xx lim x x lim xx 42 2 =+= → xlim x Por lo tanto presenta una discontinuidad evitable en 2 0 =x . c) f (x) = x 1 en x0 = 0 i) )0(f∃/ ii) ∞= → xx 1 lim 0 Por lo tanto, f presenta una discontinuidad esencial en 0 0 =x . Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 116 Observación: Claramente en el ejemplo b) podríamos redefinir la función de la siguiente manera: = ≠ − − = 24 2 2 4 )( 2 x x x x xg Esta nueva función es continua en todo valor real; por eso la discontinuidad se denomina “evitable”. Continuidad en un intervalo cerrado Definición: Una función f es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, , si y sólo si: i) f es continua ),( bax∈∀ . ii) )()( afxflim ax = + → y )()( bfxflim bx = − → Ejemplo 34: Analizar la continuidad de las siguientes funciones. a) > ≤− = 0 05 )( 2 xe xx xf x Como las funciones polinómicas y exponenciales son siempre continuas, el único punto de análisis es x0 = 0. i) 5)0( −=f ii) )( 1)( 55)( 0 00 2 00 xflim elimxflim xlimxflim x x xx xx → →→ →→ ∃/⇒ == −=−= ++ −− Por lo tanto, f es continua para todo valor de x real, salvo para x0 = 0, donde se presenta una discontinuidad esencial. b) > ≤<−+ −≤ + = − 1 5 1 1232 2 1 1 )( 2 x xx x x xf x Los puntos a analizar son 2 0 −=x y 1 1 =x . • 2 0 −=x i) 1)2( −=−f Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 117 ii) 1)( 132)( 1 1 1 )( 2 22 22 −=⇒ −=+= −= + = −→ −→−→ −→−→ ++ −− xflim xlimxflim x limxflim x xx xx Por lo tanto, f es continua en 2 0 −=x . • 1 1 =x i) 5)1( =f ii) )(lim 5 1 5 1 lim)(lim 532lim)(lim 1 2 11 11 xf xf xxf x x xx xx → − →→ →→ ∃/⇒ = = =+= ++ −− Por lo tanto, f presenta una discontinuidad esencial en 1 1 =x . c) = ≠ − − = 13 1 1 1 )( x x x x xf i) 3)1( =f ii) = +− − = + + − − = − − →→→ )1()1( 1)( 1 1 1 1 1 1 2 111 xx x lim x x x x lim x x lim xxx 2 1 1 1 )1()1( 1 11 = + = +− − = →→ x lim xx x lim xx iii) )1()( 1 fxflim x ≠ → Luego, f presenta una discontinuidad evitable en x0 = 1. *Sugerimos resolver los problemas 19 y 20 de la guía de trabajos prácticos. Funciones continuas en un intervalo cerrado Teorema 1: Sea f una función continua en [ ]ba, , entonces f es acotada en [ ]ba, Teorema 2: Sea f una función continua en [ ]ba, , entonces f alcanza un máximo y un mínimo absoluto en [ ]ba, . Teorema de Bolzano: Sea una función continua en [ ]ba, tal que 0)( >af y 0)( <bf (o bien, 0)( <af y 0)( >bf ), entonces existe ( )bac ,∈ tal que 0)( =cf . Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 118 Corolario del teorema de Bolzano: Sea f continua en [ ]ba, y sean x0 y x1, dos ceros consecutivos de f en el intervalo [ ]ba, , entonces ( ) 10 ,0)( xxxxf ∈∀> , o bien, ( ) 10 ,0)( xxxxf ∈∀< . Observación: El corolario anterior se podría generalizar diciendo: “Si una función f es continua en el intervalo ),( ba tal que ),(0)( baxxf ∈∀≠ , entonces f tiene signo constante.” Estos teoremas serán de suma utilidad cuando veamos estudio de funciones. Teorema del valor medio: Sea f una función continua en [ ]ba, tal que )()( bfaf < (o bien, )()( afbf < ). Si k∈IR es un valor comprendido entre )(af y )(bf , entonces existe ( )bac ,∈ tal que kcf =)( . Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 119 Generalización del teorema del valor medio: Sea f una función continua en [ ]ba, y sea IRk ∈ un valor comprendido entre el mínimo y el máximo de la función f en el intervalo [ ]ba, , entonces existe [ ]bac ,∈ tal que kcf =)( . Observación: Este resultado lo utilizaremos para demostrar el teorema del valor medio para integrales. APLICACIONES ECONÓMICAS Funciones económicas discontinuas Un gran número de funciones que se presentan en los problemas de Administración y Economía, son funciones que presentan discontinuidades finitas.Por ejemplo, la función de costo suele tener discontinuidades, ya que los costos unitarios disminuyen (o aumentan) en el caso de cantidades específicas. Debe notarse que hay funciones que aún siendo discontinuas, pueden presentarse con frecuencia como continuas. Esto es aplicable, por ejemplo, a las funciones de demanda y oferta de bienes vendidos por unidades, como autos, paquetes de cigarrillos, computadoras, sillas, productos enlatados, etcétera. Representar como continuas funciones que por naturaleza son discontinuas, hace posible utilizar herramientas matemáticas que de otro modo nos sería imposible aplicar. Ejemplo 35: Un comerciante mayorista vende resmas de hojas para impresora A4 en lotes puestos en cajas, de acuerdo con la siguiente lista de precios: • $30 por caja con la compra de 10 cajas o menos. • $27.50 por caja con la compra de más de 10 cajas, pero no más de 20. • $25 por caja con la compra de más de 20 cajas, pero no más de 30. • $22.50 por caja con la compra de más de 30 cajas. Sea p el precio y x la cantidad de cajas, la función de precio se puede representar algebraicamente como: > ≤< ≤< ≤≤ = 3050.22 302025 201050.27 10030 xx xx xx xx p Su representación gráfica es: Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 120 Capitalización continua La operación por la cual un cierto valor inicial que denominamos capital, se transforma en un valor final que denominamos monto, recibe el nombre de capitalización. La transformación del capital en monto se consigue por la acción de dos factores: tiempo y tasa de interés. En el capítulo de funciones vimos que si una suma de dinero es invertida y el interés capitaliza por intervalos definidos, el capital final se obtiene a través de la siguiente fórmula: nk n k i CC += 1 0 donde = 0 C capital inicial (capital en el momento cero) = n C capital final o monto =i tasa de interés unitaria, llamado el tanto por uno (interés que gana un capital de $ 1 en un período) =n cantidad de períodos. =nk número de subperíodos o períodos de capitalización. Si consideramos al interés como función del tiempo, esto da origen a distintos montos. Veamos qué ocurre cuando una suma de dinero se capitaliza con una frecuencia cada vez mayor, calculando el monto en cada caso. Dado un capital inicial de $100 colocado al 12% anual por el término de un año, los montos para distintos períodos de capitalización son: • Capitalización anual ( 1=k ): 112 1 12.0 1100 11 = += ⋅ C • Capitalización semestral ( 2=k ): 36.112 2 12.0 1100 12 = += ⋅ C • Capitalización cuatrimestral ( 3=k ): 4864.112 3 12.0 1100 13 = += ⋅ C • Capitalización trimestral ( 4=k ): 55.112 4 12.0 1100 14 = += ⋅ C Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 121 • Capitalización bimestral ( 6=k ): 6162.112 6 12.0 1100 16 = += ⋅ C • Capitalización mensual ( 12=k ): 6825.112 12 12.0 1100 112 = += ⋅ C Los resultados anteriores permiten concluir que, a medida que aumenta la frecuencia de las capitalizaciones, se obtienen montos mayores. ¿Qué ocurriría si los intereses se capitalizaran en cada infinitésimo de tiempo? En dicha situación diremos que estamos frente a un caso de capitalización continua y el monto que se obtendría puede calcularse mediante el siguiente límite: ni nk k i i k k nk k n eC i k limC k i ClimC 000 1 11 = += += ∞→∞→ Luego, ni n eCC 0 = . Observemos que como el monto aumenta al aumentar la frecuencia de las capitalizaciones, n C representa el mayor monto que puede obtenerse para una tasa nominal i. Ejemplo 36: a) Calcular el monto que produce un capital de $ 20000 colocado durante 5 años al 6% nominal anual: i) con capitalización mensual. 20000 0 =C 06.0=i 5=n 26977 12 06.0 1200001 512 0 = += += nk n k i CC ii) con capitalización continua. 18.2699720000 506.0 0 === eeCC ni n b) El interés obtenido al cabo de 4 años fue de $1000 con un capital inicial de $ 5000 y un régimen de capitalización continua. Averiguar la tasa de interés nominal anual. 5000 0 =C 60001000 0 =⇒=−= nn CCCI 4=n ieeeCC iini n 4 5 6 ln 5 6 50006000 44 0 = ⇒=⇒=⇒= 04558.0 5 6 ln 4 1 = =⇒ i Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M Limite y continuidad 122 Por lo tanto, la tasa es del 4,56 % anual. *Sugerimos resolver el problema 21 de la guía de trabajos prácticos. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FI LA DD .CO M
Compartir