FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN - Natasha Maza morron

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FUNCIÓN DE 
PRODUCCIÓN
1. CLÁSICA
2. MARXISTA
3. 3. COBB DOUGLASS
4. MODERNA
5. POST MODERNA
FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN es cualquier listado, expresión, ecuación, tabla, 
modelo o gráfico que establece una relación entre dos o más factores productivos 
X = trabajo
Y = capital
Z = tierra
W = empresa 
Q = f(X, Y , Z, W) 
Q = f(X+Y+Z+W) 
Q = f(XY) = 20 Q = 20XY A = 20 
Q =XY A = 1 b = 1 a = 1
𝑄 = 20𝑋2𝑌0,5 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐴 = 20 𝑎 = 2 𝑦 𝑏 = 0,5
𝑄 = 𝑋2𝑌0,5
Tipos de función de 
producción 
Función (ecuación) Elementos
Clásica 𝒒 = 𝒇(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑) 𝒙𝟏: 𝑻𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂
𝒙𝟐: 𝑻𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐
𝒙𝟑: 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍
Marxista 𝒒 = 𝒇(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝒙𝟏: 𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐
𝒙𝟐: 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍
Moderna Q = 𝒇(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒) Los mismos factores de la función clásica 
más 𝒙𝟒: 𝑬𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂𝒔
Post- moderna 𝒒 = 𝒇(𝒙𝟏 … . 𝒙𝟓) Los mismos factores de la función 
moderna más 𝒙𝟓: 𝑻𝒆𝒄𝒏𝒐𝒍𝒐𝒈í𝒂
Cobb- Douglas 𝒒 = 𝑨 𝑳𝜶𝑲𝜷
𝒒 = 𝑨 𝑳𝒂𝑲𝒃
A: Tierra
L: Trabajo
K: Capital
𝜶 + 𝜷 > 𝟏 𝑪𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝜶 + 𝜷 = 𝟏 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝜶 + 𝜷 < 𝟏 𝑫𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
RECURSOS 
PRODUCTIVOS
COSAS MATERIALES E 
INMATERIALES 
NECESARIAS PARA 
PRODUCIR
HUMANOS NATURALES DE CAPITAL OTROS 
FACTORES 
PRODUCTIVOS
TIERRA
TRABAJO Y 
FUERZA DE 
TRABAJO 
CAPITAL EMPRESA GOBIERNO COMUNIDAD
MEDIO POR EL 
CUAL 
INTEREVIENEN LOS 
RECURSOS 
PRODUCTIVOS
AGENTES 
PRODUCTIVOS
OBREROS, 
EMPLEADOS, 
PROFESIONALES 
INDEPENDIENTES 
Y TRABAJADORES 
INFORMALES
PLANTAS, 
ANIMALES, 
FUENTES DE 
ENERGÍA, 
RESERVAS 
NATURALES, 
MINAS 
MÁQUINAS, 
ISNTALACIONES 
EDIFICACIONES
EMPRESARIO
EMPRESAS 
DEL 
GOBIERNO, 
CONCESIONES, 
EMPRESAS DE 
ECONOMÍA 
MIXTA
COMUNAS, 
SECTORES, 
BARRIOS 
ENTES O PERSONAS 
ENCARGADAS DE REALIZAR 
LA ACTIVIDAD PRODUCTIVA
FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN
En microeconomía, la función de producción es la
relación existente entre los factores o insumos
utilizados en un proceso productivo (inputs), y el
producto obtenido (outputs), dada una cierta
tecnología. La función de producción asocia a cada
conjunto de insumos (servicios de los factores por
período) el máximo nivel de producción por período
alcanzable de acuerdo con las posibilidades técnicas.
http://es.slideshare.net/argelialeal/teoria-de-la-
produccion-11839407
http://es.slideshare.net/argelialeal/teoria-de-la-produccion-11839407
A través de la función de producción, se nos permite
analizar las diversas formas en que los empresarios
pueden combinar sus recursos o insumos para producir
bienes o servicios, de tal forma que le resulte
económicamente conveniente. Tiene por base la
hipótesis de que la empresa usará una combinación de
insumos, que reduzca al mínimo el costo total de
producción de un artículo determinado. Se ocupa
básicamente de los determinantes de la elección de la
empresa, con respecto a las cantidades de insumos, de
acuerdo con su función de producción, los precios de los
insumos y el nivel de producción que se requiere para la
misma; se fundamenta a su vez en la idea de que la
empresa desea emplear el conjunto de insumos que
minimicen los costos totales al obtener una producción
determinada
No cualquier relación entre los factores de producción
resulta una función de producción razonable, por esa
razón se consideran una serie de supuestos que se cree
debería satisfacer toda función de producción realista.
Los factores de producción incluyen en casi todos los
casos de interés práctico trabajo y capital; pudiendo
incluir en algunos casos tierra, materias primas o
recursos naturales. Frecuentemente se simplifica
suponiendo que en muchos sectores sólo interviene el
capital y el trabajo, aunque esto puede no ser
adecuado para otros sectores en particular que
consumen una cantidad apreciable de recursos
naturales
Ejemplo Hipotético
𝑸 = 𝒇 𝑲, 𝑳 → 𝑸 = 𝒇(𝑿𝒀)
𝑸 = 𝒇 𝑿𝟏𝑿𝟐 = 𝑸 = 𝑿𝟏𝑿𝟐 = 𝟐𝟎 Q = XY = 20 
A(1,20)
B(2,10)
C(4,5)
D(5,4)
E(10,2)
F(20,1)
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
 = ( 1, 2 )=20
𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝒒
A 1 20 20
B 2 10 20
C 4 5 20
D 5 4 20
E 10 2 20
F 20 1 20
Función de Producción 
X Y Q 𝑷𝒙 𝑿 +𝑷𝒚 𝒀 = CT
1 20 20 2(1) + 3(20) = 62
2 10 20 2(2) + 3(10) = 34
4 5 20 2(4) + 3(5) = 23
5 4 20 2(5) + 3(4) = 22
10 2 20 2(10) + 3(2) = 26
20 1 20 2(20) + 3(1) = 43
Tenemos la siguiente función de producción Q = f(X,Y) tal 
que Q = XY = 20, el precio del factor X (Px) es $ 2 y el 
precio del factor Y (Py) es $ 3 
2X + 3Y = CT (costo total) o función de costos (Isocostos o 
isocostes)
2X + 3Y = 22 luego 𝒀 =
𝟐𝟐−𝟐𝑿
𝟑
GEOMETRÍA DE LA PRODUCCIÓN
Son los diferentes tipos de gráficos que nos ayudan a entender mejor esta
teoría.
1. CURVA ISOCUANTA
Del latín ISO que significa igual o lo mismo, y QUANTUM que
significa cantidad; una curva isocuanta es el lugar geométrico que
describe todas las combinaciones posibles de las cantidades de dos
inputs o factores productivos variables que siguiendo una
determinada tecnología le permiten obtener a la empresa una misma
cantidad de producción
𝑿𝟏 𝑿𝟐 Q
1 20 20
2 10 20
4 5 20
5 4 20
10 2 20
20 1 20
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
X_2
X_2
2. MAPA DE PRODUCCIÓN.
Es el conjunto de curvas isocuantas que representan
distintos niveles de producción y se representan en orden
ascendente, o sea que los niveles de producción más bajos
están más cerca del origen y los más altos serán los que
más se alejan del origen (Alfaro). Tienen las mismas
características de las curvas de indiferencia: 1. Nunca se
cruzan, 2. son convexas respecto al origen o cóncavas
vistas desde arriba, 3. en la parte significativa tienen
pendiente negativa; 4. son continuas; 5. su tasa marginal de
sustitución es decreciente. Sin embargo, difieren en cuanto
a la ubicación en el plano, mientras las curvas de
indiferencia su ubicación es ordinal en las isocuantas es
cardinal y no son densas porque la producción no se puede
fraccionar (Alfaro).
Carolina Camargo
Microeconomía Intermedia 1
Grupo 1
2015-2
CURVA ISOCOSTE O ISOCOSTO
La curva isocoste ayuda a medir la eficiencia
económica a través de una línea que en todas sus
partes representa igual costo o gasto de producción,
es decir que el presupuesto de gasto es igual al gasto
de los factores de capital y trabajo.
LÍNEA DE ESCALA O RUTA DE EXPANSIÓN O
SENDA DE EXPANSIÓN
La línea de escala de la empresa se obtiene al unir los 
puntos de equilibrio de las diferentes isocuantas e 
isocostos obtenidos al variar el desembolso total, por 
lo cual es análoga a la curva ingreso-consumo. 
www.wconomia48.com/spa7d/curva-isocuanta.htm
http://www.wconomia48.com/spa7d/curva-isocuanta.htm
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS ISOCOSTES 
ISOCOSTES
• 2𝑋1 +3𝑋2 = 62 𝑋1 = 62/2 = 31 y 𝑋2 = 62/3= 20,66 
• 2𝑋1 +3𝑋2 = 34 Y = (22 – 2X)/3
• 2𝑋1 +3𝑋2 = 23 Q = XY = 20
• 2𝑋1 +3𝑋2 = 22 Y = 20/X
• 2𝑋1 +3𝑋2 = 26
• 2𝑋1 +3𝑋2 = 43
• www.fooplot
LINEAS ISOCLINAS, CURVAS AGÓNICAS 
O CRESTAS HEMISFERIOS DE 
PRODUCCIÓN. 
Son líneas imaginarias que le señalan al
productor cuál es el máximo costo que
puede absorber sin obtener pérdidas.
SUPERFICIE O ZONAS DE PRODUCCIÓN:
Espacio donde se mueve el productor alrededor de una línea de escala y limitado por las crestas. (Alfaro)
El presente cuadro resume lo dicho hasta ahora:
COMPONENTES DE LA GRÁFICA CARACTERÍSTICAS
Isocuantas Las isocuantas muestran cómo se pueden usar distintas
combinaciones de factores para producir el mismo nivel de producción.
Esta información permite al productor responder con eficacia a los
cambios de los mercados de factores. Cada isocuanta tiene distintos
niveles de producción
Isocostes o isocostos Es la curva que representa las diferentes combinaciones que se pueden 
obtener de dos factores determinados a un coste dado; o sea es el 
desembolso o estimación que realiza el productor para producir 
determinada cantidad de bienes.
Óptimo técnico Punto detangencia entre la isocuanta y la isocoste, es el punto donde le 
resulta más barato producir a la empresa o donde se hace la mejor 
asignación de recursos
Línea de escala o senda de expansión o ruta de 
producción óptima o ruta de expansión 
Es la línea que une los óptimos técnicos de la gráfica; o los puntos de 
mínimo costo dentro del mapa de producción 
Crestas, isóclinas o líneas agónicas o hemisferios de 
producción 
Líneas imaginarias que toman el papel de frontera de producción y 
toma los valores de los costos más elevados. 
Superficie de producción o región económica 
de la producción 
Espacio donde se mueve el productor, alrededor de la línea de escala y 
limitado por las isóclinas 
EQUILIBRIO DEL PRODUCTOR:
El equilibrio del productor se alcanza cuando
maximiza su producción para un desembolso
total determinado; es decir, cuando alcanza la
isocuanta más alta, lo cual ocurre cuando ésta
es tangente a la isocosto. Lo anterior es
análogo al equilibrio del consumidor, cuando
la curva de indiferencia más alta es tangente a
la línea de restricción presupuestaria. Vale la
pena aclarar que no todos los óptimos de
producción representan el equilibrio.
TASA DE SUSTITUCIÓN TÉCNICA O TASA MARGINAL DE
SUSTITUCIÓN O RELACIÓN MARGINAL DE SUSTITUCIÓN
La pendiente de la Isocuanta se denomina Tasa Marginal de 
Sustitución Técnica (TMST)
Indica el grado de flexibilidad con que una empresa puede 
sustituir un factor por otro, sin modificar el nivel de 
producción.
TMST k,l = - PmgL / PmgK
La TMST k, l la interpretaremos como: el número de 
unidades de capital que una empresa puede desincorporar 
del proceso productivo al aumentar en una unidad el nivel 
de trabajo, manteniendo el nivel de producción constante
(https://es.scribd.com/doc/18350240/La-Teoria-de-La-
Produccion)
X2 X22 – X21
𝑿𝟏 𝑿𝟐 Q 𝑷𝟏 𝑿𝟏 + 𝑷𝟐 𝑿𝟐= CT TMS =
𝑿𝟐𝟐− 𝑿𝟐𝟏
𝑿𝟏𝟐 −𝑿𝟏𝟏
1 20 20 2(1) + 3(20) = 62 -
2 10 20 2(2) + 3(10) = 34 10
4 5 20 2(4) + 3(5) = 23 2,5
5 4 20 2(5) + 3(4) = 22 1
10 2 20 2(10) + 3(2) = 26 0,4
20 1 20 2(20) + 3(1) = 43 0,1
La TMST en un punto es la pendiente de la
isocuanta en ese punto. La tasa marginal de
sustitución técnica desciende a medida que la
empresa se traslada por una isocuanta hacia la
derecha; ésto es así porque a medida que
reduce la cantidad de un factor, más difícil le
resulta seguir desprendiéndose del mismo.
TMSyx =
𝒀𝟐− 𝒀𝟏
𝑿𝟐−𝑿𝟏
= 
∆𝒀
∆𝑿
, pero también podemos 
expresarla como TMSyx = -
𝑷𝒎𝒈𝒀
𝑷𝒎𝒈𝑿
como quiera 
que Q = f(X,Y) = XY = K entonces:
Pmg X = 
𝝏𝑸
𝝏𝑿
= Y PmgY = 𝝏𝑸
𝝏𝒀
= X 
Es la tasa que mide la cantidad de un factor a la que la
empresa debe renunciar al aumentar en una unidad la
cantidad del otro factor, y permaneciendo en la misma
isocuanta. Equivale a la pendiente de la isocuanta
(Entre dos puntos de la isocuanta es la pendiente de la
cuerda entre ambos puntos.
La maximización de la ganancia implica PL = valor de
PML y que PK = valor de PMK donde PL y PK son los
precios de una unidad de trabajo y de capital
respectivamente, Por lo tanto: PL / PK = PML / PMK =
TMST L Por K; en el punto de la ganancia máxima, lo que
es una condición similar a la que se derivó en la teoría
del consumidor.
EFICIENCIA TÉCNICA
El empresario siempre tratará de actuar racionalmente a la hora de
elegir la combinación de factores que le permitan obtener la cantidad
de producto que desea. El conocimiento de la tecnología es el primer
paso de esta elección: la empresa buscará los procesos que sean
técnicamente eficientes, los que empleen la menor cantidad posible de
recursos, y desechará los ineficientes. (Francisco Mochón y Víctor
Carreón. Microeconomía con aplicaciones a América Latina. Editorial
Mc, Graw Hill. Pág. 176)
EFICIENCIA ECONÓMICA
Una técnica o procedimiento es eficiente económicamente cuando su
costo es el menor, dados los precios de los factores. La empresa opta
por los costos totales de la técnica que sean más inferiores, pues
desde la perspectiva económica es la tecnología eficiente. (Ibid..)
OPTIMIZACIÓN
La optimización económica no es más que el aprovechamiento racional
de los recursos naturales con el fin de lograr un mayor crecimiento
económico con menos gastos de materia prima en el proceso
productivo y por supuesto sin ocasionar mayores daños al medio
ambiente. Para las empresas es de vital importancia el tema de
optimización, desde los productores ganaderos y agrícolas, hasta las
empresas de alta tecnología
Existen varios métodos para optimizar, pero nos vamos a concentrar en
dos que son elementales:
1. MÉTODO DE TABLAS. Mediante la construcción de una tabla de
producción, representamos las distintas combinaciones de factores
que nos llevarían a diferentes niveles de producción, entre los cuales
nos tocaría decidir cuál es la mejor combinación
Q = f (X,Y) tal que Q = 20XY
X = Fuerza de Trabajo (trabajadores)
Y = Capital (máquinas)
Px = $2 (Salarios) Py = $3 (Depreciación de la maquinaria y el equipo) 
Tanto X como Y varían entre 0 y 9 
9 0 180 360 540 720 900 1.080 1.260 1.440 1.620
8 0 160 320 480 640 800 960 1.120 1.280 1.440
7 0 140 280 420 560 700 840 980 1.120 1.260
6 0 120 240 360 480 600 720 840 960 1.080
5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
4 0 80 160 240 320 400 480 560 640 720
3 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540
2 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360
1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Y/X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Niveles de producción deseada:
Q1= 20 Q2 = 80 Q3 = 180 Q4 = 320 Q5 = 500 Q6 = 720
Q X Y PxX + PyY = CT
20 1 1 2(1) + 3(1) = 5
80 1 4 2(1) + 3(4) = 14
80 2 2 2(2) + 3(2) = 10
80 4 1 2(4) + 3(1) = 11
180 1 9 2(1) + 3(9) = 29
180 3 3 2(3) + 3(3) = 15
180 9 1 2(9) + 3(1) = 21
320 2 8 2(2) + 3(8) = 28
320 4 4 2(4) + 3(4) = 20
320 8 2 2(8) + 3(2) = 22
500 5 5 2(5) + 3 (5) = 25
720 4 9 2(4) + 3(9) = 35
720 6 6 2(6) + 3(6) = 30
720 9 4 2(9) + 3(4) = 30
Ahora buscamos los costos mínimos y formamos las isocostes
1. 2X + 3Y = 5 
2. 2X + 3Y = 10
3. 2X + 3Y = 15
4. 2X + 3Y = 20
5. 2X + 3Y = 25
6. 2X + 3Y = 30
Procedemos a graficar 
Para encontrar los puntos por donde pasan las rectas
1. Si X = 0 entonces Y = 5/3 = 1,66
Si Y = 0 entonces X = 5/2 = 2,5
2. Si X = 0 entonces Y = 10/3 = 3,33 y si Y = 0 entonces X = 10/2 = 5
3. Si X = 0 entonces Y = 15/3 = 5 y si Y = 0 entonces X = 15/2
4. Si X = 0 entonces Y = 20/3 y si Y = 0 entonces X =10
5. Si X = 0 entonces Y = 25/3 y si Y = 0 entonces X = 25/2
Para hallar los valores por donde la recta pasa debemos dividir el costo total entre el precio 
del factor
2. MÉTODO DE LAS PRODUCTIVIDADES MARGINALES PONDERADAS Q 
= 20XY Px = $2; Py = $3 con un costo mínimo de $20
Aquí deben cumplirse dos condiciones: 
1. La productividad marginal de un factor dividida por su precio debe 
ser igual a la productividad marginal de otro factor dividida por su 
respectivo precio; o sea:
𝑷𝒎𝒈𝑿
𝑷𝒙
=
𝑷𝒎𝒈 𝒀
𝑷𝒚
=……..= 
𝑷𝒎𝒈 𝑵
𝑷𝒏
PmgX(Py) = PmgY(Px) PmgX/PmgY = 
Px/Py
2. La sumatoria de los precios de los factores multiplicados por sus 
respectivas cantidades debe ser igual al costo total mínimo
PxX + PyY = CT mínimo, luego: 2X + 3Y = 20
Pero: PmgX = 
𝝏𝑸
𝝏𝑿
= 𝟐𝟎𝒀 y PmgY = 
𝝏𝑸
𝝏𝒀
= 𝟐𝟎𝑿
Si Q = 20XY; Px = $2, Py = $3 y CT = $ 20
1. 𝑷𝒎𝒙 =
𝝏𝑸
𝝏𝑿
= 20Y 
2. 𝐏𝐦𝐲 =
𝝏𝑸
𝝏𝒀
= 20X. Las condiciones que deben cumplirse 
son: 
a.
𝑷𝒎𝒈𝑿
𝑷𝒙
= 
𝑷𝒎𝒀
𝑷𝒚
→
𝝏𝑸
𝝏𝑿
𝑷𝒙
=
𝜕𝑄
𝜕𝑌
𝑃𝑦
a. Px X + PyY = CT. Volvemos a los datos del ejercicio y 
tenemos: 
Ecuación a) 
𝟐𝟎𝒀
𝟐
=
𝟐𝟎𝑿
𝟑
60Y = 40X → Y = 40X/60 luego Y = 2X/3
Ecuación b) 2X + 3Y = 20; es decir, tenemos dos ecuaciones 
simultáneas con dos incógnitas; luego podemos reemplazar Y (de 
la ecuación a) en la ecuación b) y tenemos:
2X + 3(2X/3) = 20 ► 2X + 2X = 20 entonces 4X = 20 de 
donde X = 5 u.f. Para hallar Y reemplazamos Y = 2(5)/3
Y = 10/3 y Y = 3,33 u.f
Probamos: 2(5) + 3(3,33) =20 . Para hallar el nivel de 
producción reemplazamos los valores encontrados en la 
función Q = 20(5)(3,33) luego Q = 333 u.f.
SUPONGA QUE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN ES 𝑄 = 30𝑋1𝑋2 ; mantendremos los mismos 
precios pero un costo de 60
Las ecuaciones son entonces:
1. 𝟐𝑿𝟏 + 𝟑𝑿𝟐 = 60 
2. 𝝏𝑸
𝝏𝑿𝟏
= 30𝑋2 y 
𝝏𝑸
𝝏𝑿𝟐
= 30𝑋1 entonces la ecuación 2 quedaría: 
30𝑋2
2
=
30𝑋1
3
15𝑋2 = 10𝑋1 → 3𝑋2 = 2𝑋1→ 𝑋2 =
2𝑋1
3
30𝑋2
2
= 
30𝑋1
3
► 3𝑋2 = 2𝑋1 si despejamos 𝑋2 =
2𝑋1
3
Reemplazamos en la # 1 y tenemos:
2𝑋1+ 3(
2𝑋1
3
) = 60 ► podemos simplificar y tendríamos 2𝑋1 + 2𝑋1 = 60 entonces 4𝑋1 = 60 y 
despejando 𝑋1 = 60/4 ►𝑋1 = 15 u.f. y 𝑋2 = 2( 
15
3
) ► 𝑋2 = 
30
3
► 𝑋2 = 10 u.f . Como quiera que la función 
de producción es Q = 30𝑿𝟏𝑿𝟐 reemplazamos los valore obtenidos y tendremos
Q = 30(15)(10) entonces Q = 4.500 u.f, será el volumen de producción alcanzado. 
Resuelva suponiendo que la función de producción cambia mientras todo lo demás permanece 
constante. Ahora Q = 𝟑𝟎𝑿𝟏
𝟐𝑿𝟐 ; 𝑷 𝟏 = $2 y 𝑃2 = $3 CT = 60
3. MÉTODO MARSHALLIANO
𝑄 = 𝐴𝐿𝑎𝐾𝑏 FUNCIóN COBB DOUGLASS
𝑄 = 20𝑋𝑌
𝑄 = 𝑋0.5𝑌0.6
𝑋 =
𝑎
𝑎+𝑏
𝐶𝑇
𝑃𝑥
= (
1
1+1
)(
20
2
)= (
1
2
)
20
2
=
20
4
→ X = 5 u. f.
Y=
𝑏
𝑎+𝑏
𝐶𝑇
𝑃𝑦
= (
1
1+1
)(
20
3
)= (
1
2
)
20
3
=
20
6
→ Y = 3,33 u. f.
Q = 𝟑𝟎𝑿𝟏
𝟐𝑿𝟐
𝑿𝟏 =
𝟐
𝟑
𝟔𝟎
𝟐
=
𝟏𝟐𝟎
𝟔
→ 𝑿𝟏 = 20 u. f.
𝑿𝟐 =
𝟏
𝟑
𝟔𝟎
𝟑
→ 𝑿𝟐 =
60
9
= 6,67 𝑢. 𝑓.
1. Pmg1/P1 = Pmg2/P2
2. P1X1 + P2X2 = CT
1. 
𝜕𝑄
𝜕𝑋1
= 60𝑋1𝑋2 = 𝑃𝑚1
2. 
𝜕𝑄
𝜕𝑋2
= 30𝑋1
2 = 𝑃𝑚2
a. 𝟐𝑿𝟏 + 𝟑𝑿𝟐 = 60
b. 
𝟔𝟎𝑿𝟏𝑿𝟐
𝟐
= 
𝟑𝟎𝑿𝟏
𝟐
𝟑
► 𝟏𝟖𝟎𝑿𝟏𝑿𝟐 = 𝟔𝟎𝑿𝟏
𝟐 ► 𝑿𝟐 = 𝟔𝟎𝑿𝟏
𝟐
/ 𝟏𝟖𝟎𝑿𝟏 ► 𝑿𝟐 = 
𝑿𝟏
𝟑
𝟐𝑿𝟏 + 3(
𝑿𝟏
𝟑
) = 60 ► 𝟐𝑿𝟏+ 𝑋𝟏 = 60► 𝟑𝑿𝟏 = 60► 𝑿𝟏 = 20 u.f. y 𝑋2 = 20/3 ► 𝑿𝟐 = 6,67 u.f. 
𝑸 = 𝟑𝟎 (𝟐𝟎)𝟐(6,67) ► 80,040 u.f.