Sesión 8-Max Palma - Benitez gonzalez Jimena

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CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS 5 “BENITO JUÁREZ” 
CURSO DE PREPARACION PARA EL INGRESOA NIVEL SUPERIOR 
MATEMÁTICAS 
 
4.2 CÓNICAS 
 
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas 
resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho 
plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se 
clasifican en cuatro tipos: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. 
 
 
 
La elipse, parábola e hipérbola con curvas de segundo grado por satisfacer 
ecuaciones de la forma ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0 sin embargo es 
importante mencionar que hay curvas de segundo grado que no son secciones 
cónicas. 
Casos de la ecuación general: en función de los valores de los parámetros, se 
tendrá: 
h2  ab : hipérbola 
h2 = ab : parábola 
h2  ab: elipse 
a = b y h = 0 : Circunferencia 
a = C y Z : 0 : triangular 
https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola
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4.2.2 PARÁBOLA 
DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de los puntos 
del plano que equidistan de un punto fijo, llamado 
foco y de una recta fija del mismo plano llamada 
directriz. 
 
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA: 
 
Foco: el foco F es el punto fijo. Los 
puntos de la parábola equidistan del 
foco y la directriz. 
 
Directriz: es la recta fija D. Los puntos 
de la parábola equidistan de la directriz 
y el foco. 
 
Radio vector: es el segmento R que une 
el foco con cada uno de los puntos de la 
parábola. Es igual al segmento 
perpendicular a la directriz desde el 
punto correspondiente. 
 
Eje: es la recta E perpendicular a la 
directriz que pasa por el foco y el 
vértice. Es el eje de simetría de la 
parábola. 
 
 
 
 
 
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/vertice-parabola/
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Parámetro: p es la distancia entre el foco 
y el punto más próximo de la directriz. Es 
importante el signo que lleve el parámetro 
en la ecuación. En las parábolas 
verticales, cuando p lleva signo positivo la 
parábola se abre hacia arriba. Cuando el 
signo de p es negativo, la parábola se 
abre hacia abajo. Igualmente, en las 
parábolas horizontales, cuando el signo 
que lleva p es positivo, se abre hacia la 
derecha y cuando el signo que lleva p es 
negativo, la parábola se abre a la 
izquierda. (Algunos autores llaman 
parámetro a la distancia entre foco y 
vértice). 
Vértice: es el punto V de la intersección 
del eje y la parábola. 
Distancia focal: distancia entre el foco F y 
el vértice V. Es igual a p/2. 
Puntos interiores y exteriores: la parábola 
divide el plano en dos regiones. Los 
puntos que están en la región del foco se 
llaman puntos interiores (I), mientras que 
los otros son los exteriores (J). 
Cuerda: segmento que une dos puntos 
cualesquiera de la parábola. 
Cuerda focal: una cuerda que pasa por el 
foco F. 
Lado recto: cuerda focal paralela a la 
directriz D y, por tanto, perpendicular al 
eje E. Su longitud es dos veces el módulo 
del parámetro (2p, pues se ven en la 
figura dos cuadrados unidos iguales de 
lado p). 
(Debe recordarse que entre foco, vértice y 
directriz, el vértice V está siempre en el 
centro. El orden es F – V – D o D – V – F). 
 
 
 
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/vertice-parabola/
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ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA 
Vertical 
Con Vértice 
en el origen 
Con Vértice en (h, k) 
 
 
 
El signo negativo aplica 
cuando abre hacia abajo. 
Horizontal 
Con Vértice 
en el origen 
Con Vértice en (h, k) 
 
 
 
El signo negativo aplica 
cuando abre a la izquierda. 
Lado Recto 
Discriminante B2 - 4AC = 0 
Semiejes a = semieje mayor b = semieje menor c = semieje focal 
Excentricidad 
 
 
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4.2.3 ELIPSE 
DEFINICIÓN: Es una cónica, consecuencia de la 
intersección de un cono con un plano oblicuo que 
no corta la base. 
 
ELEMENTOS DE LA ELIPSE: 
 
 
Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que 
generan la elipse. La suma de las dos 
distancias de cualquier punto de la elipse a 
los dos focos (d1 y d2) es constante. 
 
Distancia focal (2c): distancia entre los dos 
focos. F1F2=2c, donde c es la semidistancia 
focal. 
 
Centro: es el punto medio de los dos focos 
(O). 
 
Semieje mayor: longitud del segmento OI o 
OK (a). La longitud es mayor a la del semieje 
menor. La suma de las distancias de 
cualquier punto de la elipse a los focos es 
constante y ésta es igual a dos veces el 
semieje mayor: d1 + d2 = 2a (La constante 
de la elipse es precisamente la longitud 2a). 
 
Eje focal o principal: es la recta que pasa por 
los focos, el centro y también por dos 
vértices. Es uno de los ejes de simetría de la 
elipse. En él está el segmento 2a. 
 
 
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/conicas/
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/cono/
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Vértices: son los puntos resultantes de la 
intersección de la elipse con la recta que 
pasa por los focos (eje focal), F1F2, y su 
perpendicular que pasa por el centro (eje 
normal). Es decir, son los puntos I, J, K y L. 
 
 
Radios vectores: los radios vectores de 
cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los 
dos segmentos que lo unen con los dos 
focos. PF1 y PF2 (en el dibujo, d1 y d2). 
 
Lado recto (LR): es el segmento 
perpendicular al eje principal que, pasando 
por un foco, une dos puntos de la elipse. Su 
longitud es: 
LR = 
2b2 
a 
 
 
 
Semieje menor: longitud del segmento OJ o 
OL (b). Ambos semiejes cumplen que: 
a2 = b2 + c2 
Como vemos en el dibujo, esta relación 
cumple el Teorema de Pitágoras. 
 
Eje normal o secundario: es la recta que 
pasa por el centro de la elipse y es 
perpendicular al eje focal. Es el segundo de 
los ejes de simetría de la elipse. En él está el 
segmento 2b. El eje principal y el eje normal 
son los dos ejes de simetría de la elipse. 
 
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/teorema-pitagoras/
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/recta/
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ECUACIÓN DE LA ELÍPSE 
Vertical 
Con centro 
en el origen 
Con centro en (h, k) 
 
 
Horizontal 
Con centro 
en el origen 
Con centro en (h, k) 
 
 
Lado Recto 
 
 
Relación entre a, 
b y c 
 
Discriminante B
2 - 4AC  0 
Semiejes 
a = semieje 
mayor 
b = semieje 
menor 
c = semieje focal 
Excentricidad 
 
 
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4.2.4 HIPÉRBOLA 
DEFINICIÓN: Es una cónica, siendo la 
intersección del cono con un plano que no pase 
por su vértice y que forme un ángulo con el eje del 
cono menor que el ángulo que forma con el eje 
generatriz g del cono. 
 
ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA: 
 
Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2). 
 
Radio vector: es la distancia R de un punto 
de la hipérbola (P) a cualquiera de los 
focos. 
 
Eje focal: es el eje de simetría E que une a 
los dosfocos. También se llama eje 
transverso. 
 
Eje no transverso: es la mediatriz T del eje 
focal. 
 
Centro: es el punto medio O de los dos 
focos. También se puede definir como la 
intersección del eje focal y el transverso. 
 
Vértices: son los dos puntos de 
intersección del eje focal con la hipérbola 
(V1 y V2). 
 
 
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Distancia focal: es la distancia 2c entre 
focos. También se denota como F1F2. 
Eje real: es la distancia 2a entre vértices. 
Eje imaginario: es la distancia 2b de los 
puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se 
generan como vemos en las relaciones 
entre semiejes. Así pues, existe una 
relación entre los semiejes y la distancia 
focal: c2 = a2+b2 
Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) 
que se aproximan a la hipérbola en el 
infinito. 
Puntos interiores y exteriores: la hipérbola 
divide el plano en tres regiones. Dos 
regiones que contienen un foco cada una y 
otra región sin ningún foco. Los puntos 
contenidos en las regiones con un foco se 
llaman interiores (I) y los otros exteriores 
(Ex). 
 
Tangentes de la hipérbola: sobre cada 
punto Pi de ambas ramas de la misma. 
Cada tangente es la bisectriz de los dos 
radios vectores del punto Pi. 
 
Circunferencia principal (CP): su radio r=a 
y su centro en O. Es el lugar geométrico de 
las proyecciones de un foco sobre las 
tangentes. 
Directrices de la hipérbola: son dos rectas 
paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su 
distancia a cada una es a/e (e es la 
excentricidad de la hipérbola). Pasan por 
las intersecciones de la circunferencia 
principal con las asíntotas (A1 y A2). 
 
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/hiperbola/#relaciones-semiejes
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https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/asintotas-hiperbola/
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/excentricidad-hiperbola/
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La hipérbola vertical tiene el eje 
focal vertical, paralelo al eje de 
ordenadas Y. 
La hipérbola horizontal tiene el eje 
focal horizontal, paralelo al eje de 
las abscisas X. 
 
La hipérbola equilátera es la que 
tiene sus asíntotas (A1 y A2) 
perpendiculares entre sí, o, dicho 
de otra manera, cuando forman un 
ángulo con cada eje de 45º. 
 
 
Las semiejes de la hipérbola (a y b) se 
relacionan con la distancia focal (c) por la 
siguiente fórmula: c2 = a2 + b2 
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ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA 
 
Con centro en el 
origen 
 Con centro en (h, k) 
Vertical 
 
 
 
 
Con centro en el 
origen 
 Con centro en (h, k) 
Horizontal 
 
 
 
Lado Recto 
 
 
Relación entre a, 
b y c 
 
Discriminante B2 - 4AC  0 
Semiejes 
a = semieje 
mayor 
b = semieje 
menor 
c = semieje focal 
Excentricidad 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Parábola 
 
 
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Elipse 
 
 
 
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Hipérbola 
 
 
 
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https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/hiperbola/ 
Geometría Analítica; Lehmann, Charles; Edit. Limusa