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Facultad de Ingeniería Electromecánica Ejercicios de probabilidad Probabilidad discreta y análisis estadístico, 4°D Presenta Enrique de Jesús Ochoa Preciado Profesor Felipe de Jesús Martínez Vargas Manzanillo, Col., México, 14 de febrero de 2022 Índice Introducción 1 Ejercicios 2 Conclusiones 13 Fuentes consultadas 14 Anexos 15 1 Introducción El siguiente trabajo tiene como por objeto dar la resolución de problemáticas planteadas en situaciones de la vida cotidiana, implementando métodos de la probabilidad y estadística de firme base matemática para demostrar la veracidad de las respuestas obtenidas; además, dar a conocer que estos eventos tienen un método de cálculo completamente comprobable, que muchas veces, tomando los resultados, podemos obtener un beneficio de juego ante las probabilidades a nuestro favor. 2 Ejercicios 1.-Un experimento consta de tres pasos; para el primer paso hay tres resultados posibles, para el segundo hay dos resultados posibles y para el tercer paso hay cuatro resultados posibles. ¿Cuántos resultados distintos hay para el experimento completo? Respuesta: (3)(2)(4) = 24 Experimento Paso 1 resultado 1 Paso 2 resultado 1 Paso 3 resultado 1 Paso 3 resultado 2 Paso 3 resultado 3 Paso 3 resultado 4 Paso 2 resultado 2 Paso 3 resultado 1 Paso 3 resultado 2 Paso 3 resultado 3 Paso 3 resultado 4 Paso1 resultado 2 Paso 2 resultado 1 Paso 3 resultado 1 Paso 3 resultado 2 Paso 3 resultado 3 Paso 3 resultado 4 Paso 2 resultado 2 Paso 3 resultado 1 Paso 3 resultado 2 Paso 3 resultado 3 Paso 3 resultado 4 Paso 1 resultado 3 Paso 2 resultado 1 Paso 3 resultado 1 Paso 3 resultado 2 Paso 3 resultado 3 Paso 3 resultado 4 Paso 2 resultado 2 Paso 3 resultado 1 Paso 3 resultado 2 Paso 3 resultado 3 Paso 3 resultado 4 3 2. ¿De cuántas maneras es posible seleccionar tres objetos de un conjunto de seis objetos? Use las letras A, B, C, D, E y F para identificar a los objetos y enumere todas las combinaciones diferentes de tres objetos. Respuesta: E1= ('A', 'B', 'C') E2= ('A', 'B', 'D') E3= ('A', 'B', 'E') E4= ('A', 'B', 'F') E5= ('A', 'C', 'D') E6= ('A', 'C', 'E') E7= ('A', 'C', 'F') E8= ('A', 'D', 'E') E9= ('A', 'D', 'F') E10= ('A', 'E', 'F') E11= ('B', 'C', 'D') E12= ('B', 'C', 'E') E13= ('B', 'C', 'F') E14= ('B', 'D', 'E') E15= ('B', 'D', 'F') E16= ('B','E', 'F') E17= ('C', 'D', 'E') E18= ('C', 'D', 'F') E19= ('C', 'E', 'F') E20= ('D', 'E', 'F') 𝐶3 6 6! 3! (6 − 3)! = 20 3. ¿Cuántas permutaciones de tres objetos se pueden seleccionar de un grupo de seis objetos? Use las letras A, B, C, D, E y F para identificar a los objetos y enumere cada una de las permutaciones factibles para los objetos B, D y F. Respuesta: 𝑃3 6 = 3! ( 6 3 ) = 6! (6 − 3)! = 120 E1= (B, D, F) E2= (B, F, D) E3= (D, B, F) E4= (D, F, B) E5= (F, B, D), E6= (F, D, B) 4 4. Considere el experimento de lanzar una moneda tres veces. a. Elabore un diagrama de árbol de este experimento. b. Enumere los resultados del experimento. c. ¿Cuál es la probabilidad que le corresponde a cada uno de los resultados? Respuesta: Inciso a) Inciso b) E1= (S, A, S) E2= (S, A, A) E3= (S, S, A) E4= (S, S, S) E5= (A, A, A) E6= (A, A, S) E7= (A, S, A) E8= (A, S, S) Lanzamiento de moneda Sello Sello Sello Aguila Aguila Sello Aguila Aguila Sello Sello Aguila Aguila Sello Aguila 5 Inciso c) (2)(2)(2) = 8 ∴ 𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑑𝑒 1 8 (𝑜 𝑠é𝑎𝑠𝑒 0.125 ∗ 8 = 1) 5. Suponga que un experimento tiene cinco resultados igualmente posibles: E1, E2, E3, E4 y E5. Asigne probabilidades a los resultados y muestre que satisfacen los requerimientos expresados por las ecuaciones (4.3) y (4.4). ¿Qué método empleó? Respuesta: 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + 𝐸4 + 𝐸5 = 5 𝑃(𝐸) = 1 5 ∴ 𝑃(𝐸) = 0.2 𝑃(𝐸) = 1 5 ∗ 5 = 1 El resultado se obtuvo mediante el método clásico 6. Un experimento que tiene tres resultados es repetido 50 veces y se ve que E1 aparece 20 veces, E2 13 veces y E3 17 veces. Asigne probabilidades a los resultados. ¿Qué método empleó? Respuesta: 𝐸1 = 20 50 = 2 5 𝐸2 = 13 50 𝐸3 = 17 50 Utilizando la regla de Laplace, donde tenemos Cf (Casos favorables) entre Cp (Casos posibles) y la suma de estos elementos debe de dar 1 (𝐸1 = 0.4, 𝐸2 = 0.26, 𝐸3 = 0.34 ∴ 0.4 + 0.26 + 0.34 = 1 𝑃(𝐴) = 𝐶𝑓 𝐶𝑝 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝐸1 = 20 50 = 2 5 𝐸2 = 13 50 𝐸3 = 17 50 7. La persona que toma las decisiones asigna las probabilidades siguientes a los cuatro resultados de un experimento: P(E1) = 0.10, P(E2) = 0.15, P(E3) = 0.40 y P(E4) = 0.20. ¿Son válidas estas asignaciones de probabilidades? Argumente. 6 Respuesta: Las asignaciones no son válidas porque no cumplen uno de los dos requerimientos para la asignación de probabilidades; donde 𝑃(𝐸1) + 𝑃(𝐸2) + ⋯ + 𝑃(𝐸𝑛) = 1 Comprobación: 𝑃(𝐸1) + 𝑃(𝐸2) + 𝑃(𝐸3) + 𝑃(𝐸4) = 0.10 + 0.15 + 0.40 + 0.20 = 0.85 8. En una ciudad las solicitudes de cambio de uso de suelo pasan por un proceso de dos pasos: una revisión por la comisión de planeación y la decisión final tomada por el consejo de la ciudad. En el paso 1 la comisión de planeación revisa la solicitud de cambio de uso de suelo y hace una recomendación positiva o negativa respecto al cambio. En el paso 2 el consejo de la ciudad revisa la recomendación hecha por la comisión de planeación y vota para aprobar o desaprobar el cambio de suelo. Suponga que una empresa dedicada a la construcción de complejos departamentales presenta una solicitud de cambio de uso de suelo. Considere el proceso de la solicitud como un experimento. ¿Cuántos puntos muestrales tiene este experimento? Enumérelos. Construya el diagrama de árbol del experimento. Respuesta: Utilizando el método de conteo, podemos determinar que en el primer paso tenemos dos procesos pudiendo obtener positivo o negativo; en el segundo paso, los otros dos procesos pueden ser aprobados o denegados, teniendo un resultado de (2)(2) = 4 puntos muestrales que tiene la solicitud de cambio de suelo. Dado esto obtenemos: 𝑃1 = (𝑃, 𝐴). 𝑃2 = (𝑃, 𝐷), 𝑃3 = (𝑁, 𝐴), 𝑃4 = (𝑁, 𝐷) 7 9. El muestreo aleatorio simple usa una muestra de tamaño n tomada de una población de tamaño N para obtener datos para hacer inferencias acerca de las características de la población. Suponga que, de una población de 50 cuentas bancarias, desea tomar una muestra de cuatro cuentas con objeto de tener información acerca de la población. ¿Cuántas muestras diferentes de cuatro cuentas pueden obtener? Respuesta: Se tendrían 230,300 muestras diferentes con base en las cuatro cuentas bancarias: 𝑐4 50 = 50! 4! (50 − 41)! = 50 ⋅ 49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46! 4 ⋅ 3 ⋅ 2.1(46!) = 5527200 221 = 230300 10. El capital de riesgo es una fuerte ayuda para los fondos disponibles de las empresas. De acuerdo con Venture Economics (Investor’s Business Daily, 28 de abril de 2000) de 2374 desembolsos en capital de riesgo, 1434 son de empresas en California, 390 de empresas en Massachussets, 217 de empresas en Nueva York y 112 de empresas en Colorado. 22% de las empresas que reciben fondos se encuentran en las etapas iniciales de desarrollo y 55% en la etapa de expansión. Suponga que desea tomar en forma aleatoria una de estas empresas para saber cómo son usados los fondos de capital de riesgo. Cambio del suelo Positivo Aprobada Denegada Negativo Aprobada Denegada 8 Respuesta: Estado Frecuencia Frecuencia Relativa California 1434 0.60404381 Massachussets 390 0.1642797 Nueva York 217 0.09140691 Colorado 112 0.04717776 No citados 221 0.09309183 Total 2374 1 a. ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa que seleccionesea de California? La probabilidad de que la empresa sea de California es de 60.404381%. ( 717 1187 ) b. ¿De que la empresa no sea de ninguno de los estados citados? La probabilidad que sea de un estado no citado es 9.309183% ( 221 2374 ) c. ¿De que la empresa elegida no se encuentre en las etapas iniciales de desarrollo? La probabilidad de que la empresa elegida no esté en etapas iniciales es el 77% ( 77 100 ) d. Si admite que las empresas en las etapas iniciales de desarrollo tuvieran una distribución homogénea en todo el país, ¿cuántas empresas de Massachussets que reciben fondos de capital de riesgo se encuentran en las etapas iniciales de desarrollo? Las empresas de Massachussets que están en las etapas iniciales son: 390 *22%=85.8% e. La cantidad total de fondos invertidos es $32.4 mil millones. Estime la cantidad destinada a Colorado. 32,400,000,000*0.04717776=1,528,559,424 La cantidad destinada a colorado es de 1,528,559,424 9 11. La National Highway Traffic Safety Administration (NHTSA) realizó una investigación para saber si los conductores de Estados Unidos están usando sus cinturones de seguridad (Associated Press, 25 de agosto de 2003). Los datos muestrales fueron los siguientes: Conductores que emplean el cinturón Región Sí No Noreste 148 52 Oeste medio 162 54 Sur 296 74 Oeste 252 48 Total 858 228 a. ¿Cuál es la probabilidad de que en Estados Unidos un conductor lleve puesto el cinturón? La probabilidad de que en estados unidos un conductor lleve cinturón puesto es del 79% ( 143 181 ) b. Un año antes, la probabilidad en Estados Unidos de que un conductor llevara puesto el cinturón era 0.75. El director de NHTSA, doctor Jeffrey Runge esperaba que en 2003 la probabilidad llegara a 0.78. ¿Estará satisfecho con los resultados del estudio del 2003? Estará satisfecho ya que superó por 1% la probabilidad del 78% que el esperaba. c. ¿Cuál es la probabilidad de que se use el cinturón en las distintas regiones del país? ¿En qué región se usa más el cinturón? En la región Noreste es del 74% ( 37 50 ), en el Oeste medio el 75%( 3 4 ), el Sur con 80%( 4 5 ) y el Oeste con 84%( 21 25 );en la región del Oeste es donde más se usa el cinturón con un 84%. 10 Región Frecuencia Sí No Total Noreste 200 .74 .26 1 Oeste medio 216 .75 .25 1 Sur 370 .8 .2 1 Oeste 300 .84 .16 1 d. En la muestra, ¿qué proporción de los conductores provenía de cada región del país? ¿En qué región se seleccionaron más conductores? ¿Qué región viene en segundo lugar? En la región noroeste es del 18.416206%, en el oeste medio el 19.889503%, el sur con 34.069982% y el oeste con 27.624309%, en la región sur es la que se seleccionaron más conductores con un 34.069982% y en segundo lugar es la oeste con 27.624309% Región frecuencia Frecuencia relativa Noreste 200 0.18416206 Oeste medio 216 0.19889503 Sur 370 0.34069982 Oeste 300 0.27624309 Total 1086 1 e. Si admite que en todas las regiones la cantidad de conductores es la misma, ¿ve usted alguna razón para que la probabilidad estimada en el inciso a sea tan alta? Explique. En la muestra se puede apreciar que más del 60% de los conductores en la muestra de las regiones Sur y Oeste utilizan el cinturón, así que la muestra sí podría estar sesgada; sin embargo, si se utilizara la misma muestra en las cuatro regiones (1/4 o el 25%) en cada una, todas las probabilidades de uso del cinturón caerán por las regiones del Oeste Medio y el Noreste. 12. En Estados Unidos hay una lotería que se juega dos veces por semana en 28 estados, en las Islas Vírgenes y en el Distrito de Columbia. Para jugar, debe comprar un 11 billete y seleccionar cinco números del 1 al 55 y un número del 1 al 42. Para determinar al ganador se sacan 5 bolas blancas entre 55 bolas blancas y una bola roja entre 42 bolas rojas. Quien atine a los cinco números de bolas blancas y al número de la bola roja es el ganador. Ocho trabajadores de una empresa tienen el récord del mayor premio, ganaron $365 millones al atinarle a los números 15-17-43-44-49 de las bolas blancas y al 29 de las bolas rojas. En cada juego hay también otros premios. Por ejemplo, quien atina a los cinco números de las bolas blancas se lleva un premio de $200 000- Respuestas: a. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar los primeros cinco números? Para este problema podemos usar la fórmula de las Combinaciones, que nos dará un resultado de 3,478,761 formas de seleccionar los primeros 5 números 𝐶5 55 = 55! 5!(55−5)! = 3,478,761 b. ¿Cuál es la probabilidad de ganar los $200 000 atinándole a los cinco números de bolas blancas? Para esta probabilidad tendíamos que se tienen 3,478,761 formas de escoger las bolas blancas entonces tendríamos una probabilidad de 1/3,478,761 o 0.000000287458667 de ganar los $200,000 de premio c. ¿Cuál es la probabilidad de atinarle a todos los números y ganar el premio mayor? 𝑅 = 1 𝐶1 ⋅ 𝐶2 = 1 3478761 ⋅ 42 = 1 146107962 La posibilidad que te salgan todos los números y ganar el premio mayor es de 1/146107962 o 1.000000006844254 12 13. Una empresa que produce pasta de dientes está analizando el diseño de cinco empaques diferentes. Suponiendo que existe la misma posibilidad de que los clientes elijan cualquiera de los empaques, ¿cuál es la probabilidad de selección que se le asignaría a cada diseño de empaque? En un estudio, se pidió a 100 consumidores que escogieran el diseño que más les gustara. Los resultados se muestran en la tabla siguiente. ¿Confirman estos datos la creencia de que existe la misma posibilidad de que los clientes elijan cualquiera de los empaques? Explique. Diseño N. veces que se eligió 1 5 2 15 3 30 4 40 5 10 Total 100 𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 1 = 5 100 = 0.05 𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 2 = 15 100 = 0.15 𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 3 = 30 100 = 0.3 𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 4 = 40 100 = 0.4 𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 5 = 10 100 = 0.1 0.05 + 0.15 + 0.3 + 0.4 + 0.1 = 1 Por la probabilidad, el diseño 4 fue el más elegido entre las 100 elecciones que se realizaron. Además, la probabilidad de selección de cada diseño es de 1 5 (0.2) ya que tenemos que podemos escoger 1 diseño de 5. 0.2 ∗ 5 = 1 13 Conclusiones Utilizando los diversos métodos y herramientas que nos ofrece la probabilidad y la estadística se obtuvieron las respuestas a incógnitas que no pudieran ser notadas con facilidad a simple vista en la vida cotidiana; añadido a eso, se logró dar con varias probabilidades en la distribución de los resultados, para el correcto análisis de los datos permitiendo una gran ventaja respecto a la información sin procesar. Es muy importante que este tipo de información pueda ser procesada correctamente para que en su análisis posterior sea más sencillo obtener una opción o porcentaje correcto en la toma de decisiones de diversos problemas que se pueden llegar a presentar en nuestra vida diaria. 14 Fuentes consultadas Anderson, D. R., & Sweeney, D. J. (2008). Estadistica para administracion y economia/ Statistics For Business And Economics (10a ed.). Cengage learning. https://drive.google.com/file/d/1e2-FvCdHVHxPNJTdFa5-cqb47IP4ltQ3/view https://drive.google.com/file/d/1e2-FvCdHVHxPNJTdFa5-cqb47IP4ltQ3/view 15 Anexos Agregar solo si es necesario, no tiene carácter obligatorio. Mínimo de cuartillas: las que así se requiera
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