HIPERTEXTO 7 MATEMATICAS - Jhonatan Barragán García

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HIPERTEXTO
MATEMÁTICAS 7
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Para educación básica secundaria, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada por el
Departamento Editorial de Santillana S.A.
Ana Julia Mora Torres
Fabiola Nancy Ramírez Sarmiento
lsabel Hernández Ayala. Coordinadora de conten¡dos
Diana Constanza Salgado Ramírez. Editora Ejecutiva del órea de matemóticas
Carlos David Sánchez. Editctr júnior del área de matemóticas
Ed ga r Alexa nder Olarte (:ha pa rro. Ed itor jú n ior del á rea de matemáticas
Jheny Aguilar Suan. Asistente editorial del órea de matemót¡cas
Johann Alexander Chizner Ramos
Licenciado en matemátic'ts y física. Universidad Antonio Nariño.
Juan de Jesús Romero Roa
Licenciado en matemattc'1s. Universidad D¡str¡tal Franc¡sco José de Caldas Especialización en estadística.
Universidad Nacional de C-oiombia. Magister en economía. Universidad Nactonal de Colombia.
Francia Leonora Salazar 5uárez
Licenciada en física. Universidad Distritol Francisco José de Caldas. Estudios de maestría en Educación con
énfasis en investigación. Untverstdad de la Sabana
Anneris del Rocío Joya Vega
Licenciada en matemóticas Universidad Distr¡tal Francisco José de Caldas. Especialista en matemótica
aplicada. Universidad Sergio Arboleda. Magíster en didáctica de la matemática Universidod Pedagógica
Nocional
Valeria Cely Rojas
Licenciada en matemóttcas. Universidad Pedagógica Nactonal Estudtos de maestr[a en matemdticas.
Universidad Nacional de Colombia
La especialista encargada de avalar este texto desde el punto de vista de la disciplina especifica y
desde su pedagogía fue LucíaVictoria Cabrera Díaz.licenciada en Matemáticas. Pont¡ficia Universidad
Javeriana. Magíster en Economía. Universidad de los Andes.
El especiaiista encargado de avalar este texto desde la equidad de género y de su adecuación a la
diversidad cultural fue Auri Waldron Bul/a. Psicólogo Pontificia Universidad Javeriana Especialista en
psicología médica y de la salud. Universldad del Bosque
Las pruebas de campo del texto fueron realizadas por el departamento de lnvestigación de Editorial
Santillana bajo la dirección de Ximena Galvis Ortiz.
5e han hecho todos los esfu,,-rzos para ubicar a los propietarios de los derechos de autor. Sin embargo, st es
necesario hacer alguna rect.'ficacion, to editorial esta dispuesto a hacer los arregtos necesarios.
lvan Merchán Rodríguez. Coordinadorcreat¡vo.D¡señadordel modelográficoycarótulas
Carlos Ernesto Tamayo Sánchez. Coordinador de Arte Educativas
Martha Jeanet Pulido Delgado, Orlando Bermúdez Rodríguez. Corrección de estilo
Alveiro Javler Bueno Aguirre. Coordinador de soporte técnico,
Lu is Nelson Col mena res Eiarragán Docu m entalisto g rófi co y de escá ner.
Sandra Patricia Acosta Tovar, Edward Jimeno Guerrero Chinome, Paola Andrea Franco Chacón.
Diagramadores.
Claudia JaimeTapia, Anacelia Blanco Suárez Documental¡stas.
Diomedez Guilombo Ramírez, Edwin Hernando Cruz Delgado, Miguel Darío Martínez, Yein Barreto,
Danilo Ramírez Parra, Francisco Sánchez. llustrodores
Ana Maria Restrepo,Juan G ra do, Luis Ramírez,JavierJaimes Sánchez, Manuel GonzálezVicente,Tulio
Pizano Arroyave. Gustavo 1lodríguez Fotógrofos
Getty lmages, Repositorio 5antillana (archivo imágenes) Corel Professional Photos, images provided
by Photodisc, lnc., Corbis irrages, Archivo Santillana. Fotografía.
Francisco Rey González. Di¡ector de Producción.
o 2010 EDITORIAL SANTI[iLANA 5.A.
CATLE 80 No 9-69
Bogotá, Colombia
I S B N 978-958-24-1 365-1 Obra completa
I 5 B N 978-958-24-1388-0 Ediciór para el estudiante
Este libro está elaborado de acuerdo con las normas ICONTEC NfC-4724v NTC-4725
para textos escolares
Depósito legal en trámite
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Prohibida Ia reproducc¡ón total o parc al, el registro o la transmisión por cualquier medio
de recuperación de inform¿ción, sin permiso previo por escrito de la editorial
I
Santillama
HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7
De la serie HIPERTEXTOS SANTILLANA, es una nueva propuesta pedagógica que responde a
los lineamientos curriculares y a los estándares básicos en competencias exigidos por el MEN.
Tu hipertexto te permitirá potenclar tus capacidades de manera que puedas aplicar los cono-
cimientos y habilidades adquiridas, analizar, tazonar, interpretar y reso.lver problemas en dis-
tintas situaciones.
¡Tu Hipertexto Matemáticas 7 hace tu aprendizaje más dinámico!
iQué hay en tu hipertexto?
Estos hipervínculos.
Cuando los veas debes saber que cada uno de ellos te indica que, además de lo que hay en
la página, vas a encontrar:
Mayor información para ampliar tus conocimientos
sobre temas especÍficos. Además, en algunos casos,
te sugiere realizar más a(tividades para reforzar los
conceptos trabajados.
Una presentación o un video que
te ayudará a comprender mejor
los temas trabajados.
Una dirección de lnternet para
profundizar en un tema.
$
x
Para acceder a esta información debes consultar la página www,santillana.com.colhipertextos.
Un método para que desarrolles destrezas en la comprensión de los contenidos propios de
Matemáticas.
Comprender para aprender
Recupero informoción E Reflexiono y voloro Plonteo y octúo!
Actividades para desarrollar las habilidades matemáticas.
Soluciono problemos
o Santillana | 3
, Pf,IESENTACION DEL MODELO
}t
./
¿Cómo está organizado tu hipertexto?
Tu hipertexto consta de siete unidades y los contenidos están organizados de acuerdo ccn
los cinco pensamientos matemáticos: pensamiento numerico, pensamiento variacional,
pensamiento espacial, pensamiento métrico y pensamiento aleatorio"
Ahora prepárate para conocer la estructura de cada unidad.
H Página inicial
, Al comienzo de cada unidad encontrarás una doble página de apertura con los temas que
: vas a trabajar, una narración sobre historia de las matemáticas y algunas preguntas soLrre ella.
0bservarás algunos datos de m¿temátiros que hicieron
ap0rtes imp0rt¿ntes en el desarrollo de las m¿temátic¿s
Observ¿rás recuadros que se llanan recuerda que,
te ayudaran a comprender mejor os contenldos
Prepárate para. . .
Propone actividades de motiv¿ción
que te prepar¿n para trabajar
con l¿ temátlca de ¿ unid¿d
Una n¿rrac ón que relaciona Ia
hlstori¿ de ¿s m¿temátiras c(]n
1n de
d¿
te
'eforzar
-l
Present¿ los tem¿s
que vas a trabajar
e¡ la unidad,
!{ Desarrollo de temáticas
, Encontrarás el desarrollo de contenidos con ejemplos resueltos que explican el procedimiento
¡ que se debe realizar paso.a paso.
Te indic¿ e tipo de estándar o
estándares que vas a trabajar
en ¿ unldad
f
I{ Además tu hipertexto contiene:
Actividades con
ejercicios enfocados
¿l desarro o de
p[oresos matemátiros
y habilidades de la
r0fnpetenai¿ ertOrd
En síntesis
Es un resumen
de lastemátic¿s
trabajadas que te
servirá para recordar
los conceptos más
importantes,
Taller
[s u¡:,...-
e]eri , :
l¿.' :, -
5tf r -r l
,., 
o¡ Le l-ü'0P l¿ -lid¿d
"; J Para responder...
L¿s preguntas de efa sección te permitirán
forta ecer tu capacldad de interpretar textos
re acion¿dos con ¿s m¿temátic¿s
I i¡ 5a¡iill¿na
t
l{ Secciones especiales
Laboratorio con Cabri
L¿ encuentr¿s en l¿ unidad de pensamiento
espacial y pens¿miento métrico, en ell¿ se
prop0nen activid¿des para que desarrolles con
el uso del progr¿ma [abri Est¿ sección tiene como
frnalid¿d la utilización de la tecno ogÍa como
herramlent¿ para mejorar tu análisis m¿temático
Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?
L¿ encuentr¿s ¿l fn¿l de l¿ unidad, en e La podrás
leer situaciones que se relacion¿n con las temáticas
efudiadas y que tienen aplicaciones fuera
de las m¿temáticas, ron efa sección mejorarás
tu rompeteniia ledor¿.
Matemáticas y tecnología
Te informa sobre ¿vances tecnológicos, útiles en
matemáticas, y l¿ m¿nera como influyen en la sociedad.
Tiene como objetivo que des¿rro es os componentes de
los estánd¿res de tecno oqÍa: n¿turalez¿ y evo ución de a
tecnología, apropiación y uso de la tecnología, soluciónde
problemas con tern0l0gía y te(n0logÍa y sociedad
O"*
Bicentenario en datos
L¿ encuentr¿s en ¿ unid¿d de pensamiento aleatorio,
present¿ und lectura con datos veridicos de l¿
época de la independencia de [olombia y propone
activid¿cies rel¿cion¿das con estadktica
Éi El conjunto de los números enteros I I O
Definición del conjunto de los enteros
Representación en la recta numérica
Representación de puntos en eJ plano cartesiano
Números opuestos
Valor absoluto de un número entero
Orden en Z
OperacionesenZ I ZO
Adición en los enteros
Propiedades de la adición de números enteros
Sustracción en los enLe.os
Supresión de signos de agrupación
Multiplicación de números enteros
Propiedades de la multlplicación de números ente[os
División de enteros
Potenciación de números enteros
Representación de los racionales en la recta numérica
Clasificación de los números racionales decimales
Ubicación de un punto en el plano cartesiano
Orden de racionales en Q
F¡' Operaciones en I i os
Adición de racionales en forma de fracción
Adición de racionales decimales
Sustracción de racionales
Propiedades de la potenciación
Radicación de números enteros
Polinomios aritméticos con números enteros
Polinomios aritméticos sin signos de agrupación
Polinomios aritméticos con signos de agrupación
Ecuaciones con números enteros
Propiedad uniforme
Ecuacionesdelaforma x+ a: b
Ecuaciones de la forma a- x: b
Planteamiento y solución de problemas mediante
ecuactoneS
Taller 1
En síntesis
Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?
Los números enteros en las lÍneas de tiempo
Sustracción de racionales decimales
Mu tiplicación de racionales en forma de fracción
Multipllcación de números racionales decimales
División de racionales en forma de fracción
D vision de rac onales decimales
Potenciación de números racionaies
Radicación de números radicales
Polinomios aritméticos con racionales
Ecuaciones con números racionales
Solución de ecuaciones con números racionales
Planteamiento y solución de problemas
Taller 2
En síntesis
Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?
Los números racionales en Goog e iarth
37
39
42
44
45
83
88
92
94
95
It" Razones y proporciones
Razón
Proporción
Proporcionalidad directa
Ma g nitudes d irecta mente correlacionadas
Magnitudes directamente proporclonales
Proporcionalidad inversa
Magnitudes inversamente correlacionadas
Magnitudes inversamente proporcionales
Aplicaciones de la proporcionalidad
'- :. ..;íirllilr r:l
iga
jroo
lro
!ll:
Irza
ir¡o
!r¡r
{l
Expresiones algebraicas
Clasifi cación de expresiones algebraicas
Términos semejantes
Reducción de términos semejantes
Adición y sustracción
Multiplicac¡ón
Polígonos
Clasificación de poligonos
Triánguios
Cuadriláteros
Construcción de cuadriláteros
Laboratorio con Cabri
PolÍgonos congruentes
Criterios de congruencia de triángulos
Polígonos semejantes
Cirtunferencia y circulo
Sólidos
Para lelepipedo
Longitud
Unidades métricas de longitud
Conversiones
Otras unidades de longitud
Perimetro
Área
Propiedades deL área
Unidades métricas de área
Conversiones
Unidades agrarias
Área de polÍgonos
Estadística
Conceptos fundamentales
Caracterización de una variable cualitativa
Caracterización de dos variables cualitativas
Caracterlzación de una variable cuantitativa
Datos agrupados
Datos no agrupados
Bicentenario en datos
Taller 4
En síntesis
Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?
E álgebra en la pista de patinaje
Matemáticas y tecnología
Máquinas simples
Prisma
Pirá mide
Po iedros regu ares e irregulares
Cuerpos redondos
Ci indro
Cono
Esfera
Taller 5
En síntesis
Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?
Para determinar a forma y e1 diseño de un cometa
Área del círculo
Área de la supericie de un poliedro
Área de una pirámide
Área de un poliedro regular
Volumen
A gunos voiúmenes
Taller 6
En síntesis
Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?
Medidas de una piscina o ímpica
Probabilidad
Conceptos fundamenta es
Técnicas de conteo
Probabilidad
Taller 7
En síntesis
Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?
EstadÍstica en e medal ero de Beqing 2008
lr¡+
It¡a
lr+o
ltsz
lroo
i173
lraa
1 tgo
I zza
142
144
145
146
179
182
184
185
izre
lzzz
1224
lzzs
lz+2.
250
252
253
lz+o
Números
enteros
Temos de lo unidod
El conjunto de los números enteros
Operaciones en Z
Polinomios aritméticos con números enteros
Ecuaciones con números enteros
I
EI secreto de los nudos
Hacia el Este se veían los picachos nevados que, como
cada mañana, incapaces de contener los rayos de luz,
parecían aliarse a ellos revistiéndolos de matices y to-
nalidades únicas.
Kinu hizo una reverencia al Sol recién nacido y se
apresuró a dar las gracias por poder contemplar cada
mañana el nacimiento del dios.
Mientras tanto Laymi, su esposa, ya habia encendido el
fuego donde comenzaban a humear unas tortillas de
mahy tras preparar el refrigerio, reclamó la atenciÓn
de su marido.
-¡Kinu, 
date prisalTodavía no has preparado nada y te
esperan en el palacio a primera hora.
-Cálmate, 
como cada año, todo está preparado.
-Este 
año es especial. -El gesto tenso de la mujer,
delataba su estado de preocupación-. Este año ade-
más del Emperador están también los extranjeros, los
enviados del Sol.
Tras el refrigerio, Kinu recogió cuidadosamente las
cuerdas de diferentes colores, que contenían nudos
colocados de manera caprichosa, las guardó entre sus
ropas y emprendió el camino hacia el palacio.
Las cuerdas y sus nudos usados como regla nemotéc-
nica hacían las veces de libros de contabilidad, y causa-
ron una profunda impresión entre los conquistadores,
incapaces de descifrar su significado.
Los incas no conocian el cero nr los números negat¡vos.
Tomado de Motemáticas 4 FSO. España, Editorial Santillana.
En la lectura se describe un quipu. Consulta qué es y cómo
se representan en él os números.
Escribe las operaciones que no podían resolver los incas,
debido a que no conocian el cero ni los números negativos.
a. Determina qué camino debe recorrer Diego
para que la suma de los números sea 300.
Ubica los números del 1 al 7 de tal forma que
no haya números consecutivos en las casillas
que tienen un lado en común.
Determina el valor de cada letra en los si-
guientes ejercicios de criptoaritmética.
ABCDE
x4
IS
+ so
EDCBA SOS
*r,
Matemático y astrónomo hindú.
Fue el director del observ¿torio
de astronomía de la ciudad de
Ujjain, ubicada al noroeste de l¿
India. Escribió el primer libro de
matemáticas en el que se habla
del cero como un dígito propio y
de los números neg¿tirlos, des(ri-
bió operaciones matemáticas con
números negativos y desanolló la
ley de los signos.
EI coniunto
de los números enteros
En la vida cotidiana, el ser humano está habituado a emplear los números enteros: al
indicar temperaturas inferiores o superiores a los 0o, al hablar de ingresos y egresos
de dinero, al señalar los goles a favor o los goles en contra de un equipo de fútbol, al
representar desplazamientos hacia la derecha o hacia la izquierda, o al referirse a los
niveles superiores e inferiores en ciertos edificios o centros comerciales. En síntesis,
son muchas las situaciones en las cuales el ser humano ha necesitado considerar un
conjunto de números distinto al conjunto de los números naturales N.
Definición de! coniunto de los enteros
En el conjunto de los números naturales N, no tiene sentido considerar restas tales
como 8 - 11,5 - 17,23 - 39;yaque, por ejemplo,la resta 8 - 11 significaría querer
quitar de un conjunto de ocho elementos un total de once elementos.
Por tal motivo, se hace necesaria Ia ampliación del conjunto de los números, a otro
conjunto denominado conjunto de números enteros, que se simbolizaZ.
La ampliación del conjunto Z se origina con la introducción de los números enteros
negativos utilizados para representar situaciones tales como las temperaturas inferio-
res a 0o o los egresos de dinero. Estos números, que forman el conjunto de los núme-
ros negativos se simbolizaZ- y se representa por los números naturales precedidos
por el signo menos, así:z- : 1..., _5, _4, _3, _2, _l\.
Por su parte, el conjunto de los números naturales es considerado como el conjunto de
los números enteros positivos, los cuales forman el conjunto Z+ y se representan así:
Z+ : 1r,2,3, 4, 5,...j.
El número 0 pertenece al conjunto de los números enteros y es el único que no se
considera negativo o positivo.
El conjunto de los números enteros se considera como la unión del conjunto de los
números enteros negativos, el conjunto de los enteros positivos y el cero, es decir:
Z:Z-UZ+Uloj
z : {. .., -3, -2, - l , o, 1 ,2,3,. . .}
A continuación se muestra una situación en la cual se utilizan
números enteros.
Un edificio tiene un ascensor que sirve para llevar a las per-
sonas hasta uno de los cinco pisos, a una planta baja o a uno
de los tres sótanos. Esto se puede mostrar así:
Se asignan números enteros positivos para indicar los
pisos, el cero para indicar la planta baja y los números
enteros negativos para indicar los sótanos
O ! o Sant¡llana
Brahmagupta
598-668
PENSAMIENTO NUMÉRICO
I Estándar: pensam¡ento numérico
*# jm L*=
Simbolizar las siguientes situaciones mediante números enteros:
a. Un submarino se encuentra a 1.500 m de profundidad.
Como es una profundidad, se expresa mediante un entero negativo así: - 1.500.
b. La lombriz Alvinella Pompejana puede sobrevivir a una temperatura de 105 'C.
Como es una temperatura mayor que cero se expresa como: + 105.
c. La pérdida generada al vender un producto en $ 16.000, si fue comprado en
s 19.500.
Como se perdió dinero, entonces, la cantidad se expresa como -3.500.
Representoción en lo recto numérico
Todos los elementos del conjunto de los números enteros se pueden representar grá-
fi.camente en la recta numérica así:
. Primero, se fija un punto sobre la recta al que se le hace corresponder el cero.
. Luego, se dibujan marcas, separadas unas de otras por espacios iguales, tanto a la
derecha como a la izquierda.
. Finalmente, a cada marca se le asigna un número entero; a la derecha del cero se
ubican los enteros positivos y a la izquierda, los enteros negativos, así:
Enteros negativos Enteros positivos
-10-9-8-7-6-s-4-3-2-r 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 l0
El conjunto de los números
enteros es infrnito.
x Ejemptos
Determinar por extensión los siguientes conjuntos. Luego, representar cada uno
en la recta numérica.
a. S: números que están a la derecha de 4.
El conjunto S por extensión es S : {5, 6,7,8,...}, y su representación en Ia recta
numérica es:
-1 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 10...
b. T: números que están a la izquierda de 2.
EI conjunto T por extensión es T : {. .., - 3, - 2, - I, 0, 1}, y su representación en la
recta numérica es:
*-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - I
c. F: números que están entre -5 y f .
El conjunto F por extensión es F : {- 4, -3, -2, - 1, 0}, y su representación en la
recta numérica es:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -l
co Santillana I Il
EE eonjuntc de los números eErteros
Responde.
a. ¿Qué operaciones no se pueden hacer en el
conjunto de los números naturales?
b. ¿Cuál conjunto numérico se representa a la
izquierda de cero en la recta numérica?
Marca con una ¿Y las operaciones que no se pueden
hacer en el conjunto de los números naturales, y
con / las operaciones que sí se pueden hacer.
(
(
(
(
(
Recupero informoción: 1
recibe el nombre de biosfera. Dentro de ella, el
mayor porcentaje de seres yivos se localiza en la
banda situada entre los 3.000 m de altitud y los
2.000 m de profundidad, aproximadamente. La es-
tructura de la biosfera se muestra a continuación:
4.000
2.000
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
'l 
Límite del vuelo de las ¿ves,
2 Límite de la vid¿ en l¿s m0nt¿ñas de a zona tropical
3. LÍmlte de la vida en l¿s mont¿ñas de la zona templada.
4. M¿xim¿ (0n(ent'a('ón de seres vivos.
5. Fosas oceánicas: imite inferior de la vida
Expresa con números enteros los siguientes datos:
a. El límite del vuelo de las aves.
b. El límite de la vida en las montañas de la zona
tropical.
c. El límite inferior de la vida.
d. El rango en donde se encuentra la máxima
concentración de seres vivos.
Representa en la recta numérica el conjunto de
enteros dado en cada enunciado.
a. Las profundidades a las que se sumerge un
buzo son: 8 m,45 m, 80 m,60 m, 120 m.
c.
Las temperaturas de una población colombiana
a las 5:00 a.m. en los últimos cinco días: 3 'C
bajo cero, 4"C, 1"C,2"C bajo cero,5 "C.
La altura de seis poblaciones colombianas con
respecto al nivel del mar es, respectivamente,
1.200 m, 700 m,450 m,600 m y 2m.
f.
oD'
h.
i.
j.
a.
b.
C.
d.
e.
7-8
9-2
27-40
t2-80
80-50
100 - 500
472 - t29
600 - 900
r90 - 294
430 - 100
Representa en la recta numérica cada conjunto de
numeros.
a. Los números que están a la derecha de 2.
b. Los números que están a la izquierda de 5.
c. Los números que están entre -3 y 4.
d. Los números que están a la izquierda de - 1.
Soluciono problemos
Lee la siguiente información.
La aparición de la escritura
es un suceso importante
para el desarrollo de las
civilizaciones puesto que
con ella se registraron
por escrito los asuntos y
acontecimientos del
mundo.
A continuación se relacio-
nan algunos años de aparición de la escritura en
diversas culturas.
En el 1000 a.C.: el alfabeto fenicio.
En el2200 a.C.: el protoindio.
En el 2000 a.C.: el cretense.
En el 1400 a.C.: el hitita.
En el 1300 a.C.: los ideogramas chinos.
En el 3000 a.C.: la escritura jeroglífica egipcia.
Elabora una línea de tiempo en la que ubiques los
datos anteriores. Considera como año 0 el naci-
miento de Cristo.
':1i;::¡rrrl
b
lZl«
r-
Lee la siguiente información.
Estándar: pe n sa n i e r¡to n u rn éri co
Representoción de puntos
en el plono cortesiono
El plano cartesiano o sistema de coordenadas es el plano que se encuentra formado
por la intersección de dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en cero.
En un plano cartesiano se reconocen los siguientes elementos:
. La recta numérica horizontal denominada eje xyla recta numérica vertical deno-
minada ejey.
. El punto de intersección entre los ejes, llamado origen.
. Las cuatro regiones generadas por los dos ejes que dividen al plano son denomi-
nadas cuadrantes y se representan con los números romanos I, II, III, IV
En el plano cartesiano, cada punto se encuentra determinado por una pareja orde-
nada de números, la cual se escribe entre paréntesis y se separa por medio de una
coma. Por ejemplo, la pareja ordenada (4, 3).
En toda pareja ordenada (a,b) se distinguen dos coordenadas: la coordenada a, de-
nominada abscisa, localizada sobre el eje xyla coordenada b, denominada ordenada,
ubicada sobre el eje 7.
Para representar una pareja ordenada (a, b) en el plano cartesiano se realizan los
siguientes pasos.
. Primero, se localizan la abscisa sobre el eje xy la ordenada sobre el eje 7.
. Posteriormente, se traza por a una recta vertical y por b una recta horizontal. La
intersección de estas rectas representa el punto donde está ubicada lapareja (a, b).
. Finalmente, se nombra el punto con una letra mayúscula, así: P(a, b), es decir, el
punto P de coordenadas (a, b).
El signo de cada componente, en una pareja ordenada, depende del cuadrante en el
que esté ubicado el punto correspondiente.
Eje x
o Santillana I l3.i
,rr-
*€ ffijwm (ms
ffi n"p""."ntar en el plano cartesiano cada pareja
ordenada. Luego, determinar en cuál cuadrante
se encuentra ubicado el punto correspondiente.
a. D(-3, -2)
Primero, se ubica el número -3 en el eje horizon-
tal, luego, se ubica el número -2 enel eje vertical.
Después, se traza una recta vertical por -3 y una
recta horizontal por -2. El punto se ubica en la
intersección de las dos rectas.
El punto está ubicado en el tercer cuadrante. .
b. c(1, -4)
Siguiendo el procedimiento para grafi.car,el punto
se ubica en el plano cartesiano de la siguiente
manera:
El punto está ubicado en el cuarto cuadrante.
c. F(-2,5)
Siguiendo el procedimiento para grafrcar,el punto
se ubica en el plano cartesiano de la siguiente
manera:
Yi;
tl
t-
-.--
El punto se ubica en el segundocuadrante.
:4 I rrq¡nt¡tt".:
Representaeién de pu,ltcs er: e! pl*r:* eart*sianc
+
Escribir las coordenadas de cada punto que se
indica en el siguiente plano:
Por cada punto, se escribe primero la coordenada
correspondiente al eje horizontal y luego se es-
cribe, la coordenada del eje vertical.
Para el punto P, por ejemplo, la coordenada hori-
zontal es 5 y la coordenada vertical es 2. Luego, las
coordenadas son P(5, 2).
Las parejas ordenadas son:
P(5,2)
Q(4,0)
R(0, -3)
s(-4, - 1)
T(-4,2)
u(3, -5)
El pirata Barbanegra está buscando un tesoro,
para ello debe seguir las instrucciones que apa-
recen a continuación:
. Punto de referencia (-3, -3).
. Siete pasos hacia la derecha.
. Dos pasos hacia arriba.
. Tres pasos hacia la izquierda.
. Dos pasos hacia arriba.
Determinar las coordenadas del punto donde se
encuentra el tesoro a partir del mapa.
Primero se ubica el punto de referencia y luego,
se indican sobre el mapa los pasos de las instruc-
ciones.
Las coordenadas del punto donde se encuentra el
tesoro son T(1, 1).
') V
L
Estándar: pe n sa m i e nto n u mé rica
Recupero informoción: 1
Soluciono problemos
8
7
6
5
4
A
2
I
ii @ o",.tmina las coordenadas de los puntos que
i1 están ubicados en el siguiente plano cartesiano.
tC
tl
H
E
tlt
123
€F xicohs y Sofía juegan batalla naval con los siguien-
tes tableros:
Nicolás
Sofia
Las coordenadas de ataque de Sofía fueron: (0, 3),
(2, -2), (1, 1), (-2, 4),(-4, -4),(-3,4),(4, -5),
(0,0), (-2, -3), (3,4).
Y las coordenadas de ataque de Nicolás fueron:
(-2, t), (0, o), (-1, 5), (t,2), (5, 5), (-4, -5),
(3,2), (4,5), (-3, 5), (4,2).
a. ¿Cuántos impactos de Sofía fueron acertados?
b. ¿Cuántos impactos falló Nicolás?
c. ¿Quién ganó el juego al realizar más impactos
acertados en el tablero de su contendor?
Responde.
d. ¿Cuál es el signo de la abscisa de un punto en el
primer cuadrante?
e. ¿Cuál es el signo de la ordenada de un punto en
el segundo cuadrante?
f. ¿Cuál es el signo de la abscisa de un punto en el
tercer cuadrante?
G
il CD 
uUt.u cada grupo de puntos en el plano cartesiano.
a. A(-2, 2), B(2, 2), C(5, -2), D(0, 2), E(- 5, 2)
b. F(-5, 7), G(5, -7), H(9,1), 1(0, g), Ie7, 5)
c. M(-6, 4), N(-2, 8), O(2,8), P(6, 4), Q(6, 0),
R(2, -4), S(-2, -4), T(-6, o)
Responde:
d. Si unes los vértices ABCDE del literal a, ¿qué
clase de polígono se forma?
e. Si unes los vértices FGHII del literal b, ¿qué
clase de polígono se forma?
f. Si unes los vértices MNOPQRS? del literal c,
¿qué clase de polígono se forma?
ii @ Er..iUe dos puntos que cumplan con la condición
dada en cada caso.
a. Con abscisa cero.
b. Con ordenada negativa.
c. Con la misma ordenada.
d. Con ordenada cero y abscisa negativa.
..-..-- r4, és
co Santillana | 15
@ R"spord".
a. ¿Cómo se forma el plano cartesiano?
b. ¿Qué representan la abscisa y la ordenada en
una pareja ordenada (a,b)?
/:
5 r,.
+:
J
lj
Nusneros Gpuestos
Al observar la recta numérica del conjunto de los entero s,Z, se puede determinar que
existen parejas de números que se encuentran a la misma distancia de cero, aunque
tengan signos diferentes. Por ejemplo, los númerosT y -7 se encuentran a 7 unidades
del cero a pesar de tener signos distintos.
-8-7-6 s 4-3-2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Se puede decir que el número -7 es el opuesto del número 7, y a su vez, que 7 es el
opuesto de -7.
Dos números enteros se aman opuestos si están a a misma distancia de cero y t¡enen
diferente signo Es decir, e opuesto de a es a
Vcl*r obsaEufo de un número entero
Geométricamente, Ia distancia que separa a un número y a su opuesto de cero siem-
pre es la misma. Así, se puede afirmar que el valor absoluto de un número entero,
corresponde al número de unidades que separan a dicho número de cero, es decir, a
la distancia del número respecto a cero.
SiaeZel valorabsolutodeosenotalal yesladistanciaqueexisteentredycero.El
valor absoluto de cero es cero Ol : O
x Ejemptos
,{ t-i UUicar en la recta numérica cada número y su opuesto.
a. -5
El opuesto de -5 es 5, entonces, se ubican en Ia recta numérica 5 y -5, así:
-6-5 4-3-2 -1 0 I 2 3 4 5
b.8
El opuesto de 8 es -8, entonces, se deben ubicar 8 y -8 en la recta numérica,
así:
-10 9 -8 -7 -6 -s -4 -3 -2 -r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ffi Cutcutar el valor absoluto en cada caso.
u. lol
Como hay 6 unidades entre 6 y 0, entonces, 6] : 6.
u. l-sl
Como hay 9 unidades entre -9 y 0, entonces, l-gl : S.
,. lxl, xmayor que o.
Como hay x unidades entre 0 y r, entonc.s, lx] : ,.
¿ i-«-sll
Como el opuesto del opuesto de m estn, entonces,]-«-Sl : lSl : S.
r6l¡Sani¡llana
-
-
I
Recupero informoción: l Rozono:5-6-7-8
a. ¿Por qué puede afirmarse que 10 y - 10 son
números opuestos?
b. ¿Cómo se define el valor absoluto de un nú-
mero?
c. ¿Cómo puedes ubicar el opuesto de 8 en la
recta numérica?
t, 
@Escribe el opuesto de los siguientes números ente-
:l ros.
f. 16 k. 4s
g. -20 l. - 100
h. 35 m.n
i. -70 n. m
j. - 100 o. -p'
Q R"spond",
a. -8
b.s
c. -10
d.9
e.3
400
300
200
100
Nivel
del g
mar
- 100
200
300
400
.. @ o"t"rmina el opuesto de cada número represen-
tado en la recta numérica y ubícalo en ella.
a.
-6-5-4 -3-2-t 0 1 2 3 4 5 6
b.
-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 810 12
C.
-25-20-15-10 -5 0 5 10 \s 20 2s
- r00 -80 -40
Escribe el valor de cada expresión.
a. l-zs
e. 2OO
f. -90
d.
t20
u. l3l
b. -s
c. -11
g. lzsol
tr. laol
i. l- al
Estándo r : p e n sam ¡ e nto n u mé r ico
Completa la siguiente tabla.
t-
Determina si las afirmaciones son verdaderas o
falsas. Luego, explica tu respuesta mediante un
ejemplo numérico.
a. Si un número es positivo, entonces, su valor
3 4
-2 5
6 -3
-4 12
8 12
oSantillana llZ
Observa Ia siguiente figura. Luego, responde.
:r¡ Halla el valor absoluto y represéntalo en la recta
numérica.
u lsl
u l-zl
c. -l¡l
d --81
e. -lt-:ll
-tttr. l-l-s I
Para comparar dos números,
se observa en l¿ recta numé-
rica cuál de los dos está a l¿
derech¿ del otro.
Entre dos números enteros es
mayor el que está a la derecha
del otro.
Orden en Z
Al comparar dos números enteros a y b, en]re ellos se cumple una y solo una de las
siguientes relaciones:
. a > b, a es mayor qu.e b, si al representarlos en la recta numérica, a se encuentra
a la derecha de b.
. a 1Ú, a es menor que &, si al representarlos gráficamente sobre la recta numérica,
a se encuentra ubicado a la izquierda de b.
a
. a : b, a es igual a b, si al representarlos en la
ponde el mismo punto.
b
recta numérica, a a y b les corres-
:+ Ejempl,os
Observar la recta numérica. Luego, escribir los símbolos ), ( o : para rela-
cionar las siguientes parejas de números enteros.
a. oEs
6 > 5, 6 es mayor que 5 porque 6 está a Ia derecha de 5 en la recta numérica.
b. -3 [ -ro
-3 > -10, -3 es mayor que -10 porque -3 está a la derecha de -10 en la
recta numérica.
c. -s L_,18
-5 < 8, s-5 es menor que 8, porque -5 está a la izquierda de 8 en la recta
numérica.
Representar los números sobre la recta numérica. Luego, ordenarlos de
menoramayor: -10,4,6, -8, -5, l, -3.
Al representar los números enteros dados en Ia recta numérica, se ubican así:
Para ordenar los números, se leen de izquierda a derecha, así:
(t t' tt I I I I t I I I I I I I I I I >
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-10<-8<-5<-3<t<4<6
Si la temperatura en una ciudad es 2" bajo cero, ¿qué debe suceder para que
quede en 7o sobre cero?
Se ubica -2 en la recta numérica, luego, se ubica 7 y se cuenta el número de
unidades que hay entre estos dos números. Así:
;8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3
rQ 
I osant¡llana
Se puede determinar que la temperatura en dicha ciudad debe aumentar 9 "C.
I
Estándar: pe n sa m i e nto n u m ér i co
-=
Recupero informoción: 1 Plonteo y octúo: B
k.
l.
c.
d.
e.
f.
-rEs
qE-o
-¡Eo
zE-ro
1¡ Ordena en forma descendente cada grupo de nú-
meros.
a. -2,5,0,7,4, -18, -1, l5
b. 9, -8, 5,6, -4,0, -22,35
c. 8, -7, -17,25, -32,50, -47,19
d. 15, -10,5, -25,30,45, -75,60
e. 100, -2.000, 300, -500, 0, -800, 600, - 1.000
f. 1.500,2.000, -3.000,4.500, -8.000, -5.500
I
Escribe un ejemplonumérico que muestre que Ia
afirmación no se cumple en todos los casos.
Si a€ Z,entonces,r: -|ol
Si a > b, entonces, lrl, lal
Si a,b, c e Z, a < byb ( c, entonces, ]a < lcl
Si a,b, c e Z, a : b y b ) c, entonces, a 4 c
Sia,b,c,de Z,a: d,b) c,b ( d, entonces,
a1b
a.
b.
c.
d.
e.
..:
ii ,Q"¿ relación existe entre dos número s a y b si al Soluciono problemos
representarlos en la recta numérica, a está ubicado
a la izquierda de b?.
Escribe <, > o : según sea el caso.
a.5 9
u. oErz
-2 -25
o -7 -5b'
-rzoIrh.
i.
;.aIl-al
-11 -11
l-nllf n
Encuentra números enteros que cumplan con la
condición dada.
a. a,beZya<b
b. a,be Z-ya>b
c. a,b eZsonparesy a) b
d. a, b, c e. Z- son impares, consecutivos y
a1b1c
a,b,ce Z sonpares a) b) c
a, b, c e Z son primos, consecutivos y
a)blc
María, Camilo, Claudia, Diana y fuan son herma-
nos. Si fuan es mayor que María pero menor que
Diana, Camilo es menor que María y Diana menor
que Claudia, ¿cómo quedan los cinco hermanos
ordenados de mayor a menor?
,@ OUr"rua la siguiente gráfica que muestra las ga-
nancias y las pérdidas de una fábrica de vestidos
''(e bano entre junio de 2008 y abril de2009.
70
60
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
Responde:
a. ¿De cuánto fueron las ganancias en diciembre?
b. ¿En cuáles meses tuvieron pérdidas?
c. ¿En cuál mes tuvieron más pérdidas?
d. ¿En cuál mes tuvieron más ganancias?
e-. Escribe los nombres de los meses desde el que
obtuvieron más ganancias al que obtuvieron
más pérdidas.
@ Rverigua los siguientes datos y escríbelos en tu
cuaderno. Luego, ordena los números de menor a
mayor.
a. La temperatura normal del cuerpo humano.
b. La temperatura dentro de un refrigerador.
c. La temperatura al interior del Sol.
d. La temperatura corporal de un cocodrilo.
Operociones en Z
Adición en los enteros
En la adición de números enteros se deben tener en cuenta los siguientes casos:
Coso I. Adición de dos números enteros
de lguol signo
Para realizar la adición de dos números enteros de igual signo, se suman los valores
absolutos de dichos números y, al resultado, se Ie antepone el signo común de los
sumandos. Por ejemplo:
. Para resolver la suma 5 + 16, se procede como en la suma de números naturales,
esdecir:5*L6:2I.
. Para resolver la suma (-7) + (- 11), se suman los respectivos valores absolutos,
7 y l7,y a la respuesta se le antepone el signo menos, asi: (-7) + (-11) : - 18.
Coso 2. Adición de dos números enteros
de diferenle signo
Para realizar la adición de dos números enteros de diferente signo, se determina el
valor absoluto de ellos. Luego, se restan los valores absolutos y al resultado se le an-
tepone el signo del número que tiene mayor valor absoluto.
Por ejemplo, para sumar 15 + (-26), se restan los valores absolutos de cada número,
15 y 26, y a la respuesta se le antepone el signo menos, ya que -26 tiene mayor valor
absoluto que 15, entonces, L5 + (-26): -11.
La suma de enteros se puede observar fácilmente en la recta numérica. Para ello, se
ubica el primer sumando y luego, se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda
tantas unidades como indique el segundo sumando, según sea positivo o negativo.
Así,la suma (-9) + (4) se representa así:
-r0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Portanto, (-9) + (4) : -S.
x Ejemptc§
Realizar las siguientes sumas:
a. (-81) + (-le)
(=81) + (-19) : -100, pues se deben sumarlos va-
lores absolutos así l-Sf l + l-rgl : 81 + 19 : 100, se
antepone el signo menos (-) ya que los dos sumandos
son negativos.
b. (-3s) + 17
(-35) Í 17 : -18, como son de diferente signo se
restan los valores absolutos de los números entonces:
35 - 17 : 18 y el sumando que tiene mayor valor
absoluto es 35, por tanto, se antepone el signo menos.
''n19s,nt¡runu
c. (-13) + (-17) + 10
Al sumar tres o más números enteros, se suman los
dos primeros sumandos; este resultado se suma con el
tercer sumando, y así sucesivamente.
(-13) + (-17) + 10 Sumadada.
:(-30)+ 10 Sesuma(-13) +(-t7):-30
- -/'\' )?sumal-3l) + la: _ 2a
Entonces, (-13) + (-17) -l 10 : -20.
. Todo número entero tiene
signo positi\/o o nega-
tivo. Así, -5 tiene signo
negativoy6tienesigno
positrvo
. (uando un número no está
precedido de un signo, se
asume que es posrti\io.
,rr,
-
l
Est án da r: pe n sa m i e nlo n u nt ér i co
Pnopiedodes de lo odición
de números enteros
A continuación se plantean las propiedades que cumple la adición de números en-
teros.
Clausurativa. La suma de dos números enteros es siempre otro número entero.
Si a e Z y b e Z, entonces, a -f b € Z
Porejemplo,3e Zy(-8) €Z;3 + (-S) : -5y(-5) e Z.
Asociativa. Al agrupar los sumandos de diferente forma, siempre se obtiene el mismo
resultado.
Sia,b, c e Z,entonces, (a + b) I c : a + (b + c)
Porejemplo,l?7) + 3l + 9 : (-4) t 9 : 5
(-7) + [3 + e] : (-7) -t 12: 5
Portanto, t(-7) + 3l + 9: (-7) + [3 + 9]
Conmutativa. EI orden en el que se realiza la suma de dos números enteros no altera
el resultado.
Sia,b e Z,entonces, a * b: b + a
Porejemplo,3 + (-7) = (-4)y(-7) + 3: (-4).
Portanto,3 + (-7): (-7) + 3.
Elemento neutro. La suma de cualquier número entero con el cero da como resul-
tado el mismo número entero. El 0 recibe el nombre de elemento neutro o módulo
de la adición.
Existe 0 e Ztal que O I a : a I 0 : aparatodo a e Z
Porejemplo,(-8) * 0 : 0 + (-8) - -8y7 -f 0 : 0 I 7 : 7
Inverso aditivo u opuesto. Todo número entero sumado con su opuesto da como
resultado el módulo de la adición.
Paratodo ae Z, existe (-a) e Zhlqte a I (-o) : (-a) -f a: 0
Porejemplo, (-5) -t 5 : 5 + (-5) = 0.
Por tanto, 5 es el inverso aditivo de ( - 5) y también ( - 5) es el inverso aditivo de 5.
u Ejemptos
agua, se sacaron 2.500 litros, después se deposi-
taron 4.000litros y por último se sacaron 6.000
litros. ¿Cuántos litros de agua contiene ahora la
depuradora?
Para calcularlo se realiza la siguiente adición:
4.s00 + (-2.s00) + 4.000 + (-6.000)
Al aplicar la propiedad asociativa para agrupar los
números de igual signo, se tiene que:
4.s00 + (-2.s00) + 4.000 + (-6.000)
: [4.s00 + 4.000] + [(-2.s00) + (-6.000)]
: 8.500 + (-8.500) : 0
Esto significa que la depuradora no tiene agua.
@ Escribir la propiedad que representa cada igual- i @ De una depuradora que contenía 4.500 litros de
dad.
a. (-5) +2:2+(-5)
Como se cambia el orden en la suma, corresponde
a la propiedad conmutativa.
b.(-9)*9:o
Como se suma el mismo número, con diferente
signo, corresponde a la propiedad del elemento
rnverso.
c. (-15) + 0: -15
Como se suma 0 y se obtiene el mismo número,
entonces, la propiedad que se está utilizando es la
del elemento neutro.
c¡ Sanriliana I Zlt
Arf ieión en iec eftter*s
Explica paso a paso la manera como sumarías los
números - 100 y -300 sin usar la recta numérica.
r. (-8) + (-r2) + (-13)
m.-4+6+(-1)
n. -7 + (-8) + (-r2)
o. (-23) + (-22) + 7
p. (-6) + (-18) + (-3)
q. (+10) + (-s0) + 60
r. -35 + (-s8) + 120
s. -t4 + (-i8) + (-3s)
t. -r2 + (-16) + 20 + 3s
tt. -7 + (-45) + 14 + (-s)
v. -22 + 65 + (-30)
a. -4'f 5:L
b. -2 + (-3): -5
c.8*(-Z):-e
d. -9 1-7:5
e. -s + (-1) : -6
f. -4*10:-6
g. -8*3:5
h. ++(-ro¡:6
i.7+(-t+¡:2,
j. 16 + (-g) : zo
k. -7 + (-2): -9
l. -8 + (-3) : -s
Una persona va de una ciudad A a una ciudad B. if
Cuando lleva recorridos 60 km se devuelve 10 km. {j
i1
ii Reallza las siguientes sumas.
a. 12+13
b.6+2t
c. 9 + (-2)
d. 8 + (-24)
e. -8 + (-7)
f. -6 + (-r2)
g. -17+5
h. -13 + (-2t)
i. ls + (-e)
j. -16+9
k. -11 + (-13)
Completá la siguiente tabla.
a b atb b+a
-6 +4
B -2
-7 +8
+4 +10
-4 +13
-9 +16
+42 12
+50 -30
-270 +'180
- 1.500 +2304
Escribe en el - -. el signo >, < o : de tal forma
que la expresión sea verdadera.
a. 12+(-8) 7+2
b. -11 -r (-4) -6 + (-3)
c. ei (-18) I -s+(-4)
d. 16 + 18 -,- -t2 + (-2t)
e. -25+42 -6+8
f. -4+(-3)+t2i -16+1
s.25-ri2-4 -8+(-16)-2
h. -49+ 16+ (-9) i,, -11 +8+ (-s)
Reflexiono y volorc: 1
; Determina si las sumas fueron realizadas correc-
tamente. En caso contrario, corrígelas.
m. -24 + (-32): -56
n. -51 * 16 : -55
o. -80 -f 14: 94
p. -10 + (-82): e2
q. -45 + 30 : -85
r. -22 + (-27) : -49
s. -34 + (-50) : -16
t. -12t4: -8
u. 45 * 16:71
v. 31 + (-5) : -26
w. -81 * 19 : -110
x. -18 + (-14) : -32
Escribe, en cada caso, la propiedad de la adición lj
utilizada.
a. -18 + (-25): -43
b. -78 + 0: -78
c. (-6+ (-4)) t 7 : -6 + ((-4) + 7) : -3
d. -77 + 84:7
e. -95+95:0
f. (-s6 + 48) + 0:7 -t 0:7
Soluciono problemos
¡i
Resuelve cada situación y representa la operación jf
en la recta numérica.
a. En una región se regi
-8 oC en la mañana
tura subió 5 'C. ¿Qué
termómetro en la tard
b. Un equipo de futbol t
15 goles a favor. ¿Cuál
equipo?
c. Un tiburón nadaba 26 metros bajo el nivel del 
Ji
mar y ascendió 2 metros. ¿A qué nivel nada ÉÉ
ahora?
Ejercito: 2-3
Sustrocción en los enteros
En la sustracción de números naturales existe la condición de que el minuendo debe
ser mayor que el sustraendo; sin embargo, con los números enteros esta condición
desaparece, ya que el minuendo puede ser mayor o menor que el sustraendo.
Toda sustracción puede expresarse como a - b - c, siendo a el minuendo, b, el sus-
traendo y c la diferencia.
Para hallar la diferencia entre dos números enteros, se suma el minuendo con el opuesto
del sustraendo. Fs dec'r, a - b : a + \-b).
Por ejemplo: Para resolver Ia resta 9 - 12, se suma al minuendo el inverso aditivo del
sustraendo, es decir: 9 - 12:9 * (-12) - -3.
Pararealizar la resta (-21) - (-6), se le adiciona al minuendo el inverso aditivo
del sustraendo, y a Ia diferencia se le antepone el signo del sumando de mayor valor
absoluto, así: (-21) - (-6) : (-21) + 6 : -15.
Pararealizar Ia resta (-15) - 9, se le adiciona al minuendo el inverso aditivo del
sustraendo, y a Ia diferencia se le antepone el signo del sumando mayor, por tanto:
(-Is) - e : (-ls) + (-e) : -24.
La sustracción de números enteros es clausurativa, es decir, Ia resta de dos números
enteros siempre da como resultado un número entero.
Así,5,(-6) c Zy5 - (-6) :5 * 6: rty11e Z.
@ neaHzar las siguientes sustracciones: i @ Determinar el resultado de cada expresión:
a. (-3) + (-7) - (-8) - 5
: (-3) + (-7) + 8 + (-s)
tt Ejemptos
a.23-9
23 + (-e)
t4
6-18
6 + (-18)
-t2
7 - (-e)
7+9
16
d. -8 - (-17)
:-8*L7
:9
b.
c.
5e escilbe la resta como
suma con el opuesto de 9.
Como son de diferente signo,
se resta y se antepone el
signo de 23.
5e escribe la resta como
suma con el opuesto de 18.
Como son de diferente
signo, se resta y se antepone
el signo de - 18.
Se escribe la resta como
suma con el opuesto de -9.
Como son de igual signo, se
suma y se antepone el signo
de7y9.
Se escribe la resta como
suma con el opuesto de 17.
Se realiza la suma de enteros
b.-(e-4+s)-
Se transforman las
su stracc¡o nes e n ad i cio nes.
5e calcula la suma.
(-3 + ll)
5e realizan las operaciones
de los paréntesis.
: _(10) _ (8)
I :-10+(-s):-ts
; 5e escribe la resta como suma con el
, opuesto de I y se realiza la suma de enteios.
I O El congelador de un frigorífico tiene una tempe-
i raturainicialde -lS"C.Enunahoralatempera-
, turadisminuye6"C.¿Curileslatemperaturafinal?
; - tA - A 5e plantea la resta.
li
I :(-18)+(-6):-24
I
I S e escribe la resta como suma con el
I o puesto de 6y se realiza la suma de enteros.
i lor tanto, la temperatura final es -24"C.
23
,-e 5¿rrtillana I Z:
Están d a r : pe n sa m ientc n u rné ri co xx
Los signos de agrupacrón usa-
dos en matemáticas son:
( ) paréntesis
[ ] corchetes
{ } llaves
x Ejemptos
ffi culcular.
a. (-10) - (-ls)
:-10*15
-5
b. (-14) + (-3) - (-8)
:-14-3+8
:-17-1 8
--9
-11 -6+4+I
r-1,-61 +[4+1]
-17+5
: -12
(-11)+(-6) -(-4) -(-1)
Supresión de signos de ogrupoción
En expresiones en las cuales se combinan adiciones y sustracciones con números
enteros, se utilizan signos de agrupación con el fin de diferenciar el signo del número
respecto al signo de la operación. Por ejemplo, (-2) + (-5) - (-3) - (-6).
Para resolver estas expresiones, se deben eliminar los signos de agrupación teniendo
en cuenta las siguientes reglas:
. Cuando un signo de agrupación está precedido por el signo *, se suprime dejando
las cantidades que están en su interior con el mismo signo, así:
. Cuando un signo de agrupación va precedido por el signo -, se suprime cam-
biando de signo las cantidades que se encuentran en su interior, es decir:
Luego de la supresión de signos de agrupación, se calcula el resultado de las expre-
siones considerando que:
. Dos cantidades de igual signo se suman y al resultado se le antepone el signo
común.
. Dos cantidades de diferente signo se restan y al resultado se le antepone el signo
de la cantidad que tenga mayor valor absoluto.
5+(-2):5-2
8-(-5):8*5
@ nesolrer la siguiente expresión.
-2-{-12+(-s+8)-41 +3}
:-2-{-Í2-3-41
--1 f-rr"lL \ L I J]
1lLL
--4
Se suprimen signos de
agrupación.
Se realiza la suma.
Se suprimen signos de
agrupaoón.
5e suman los números
de igualsigno.
5e realiza la suma.
Se suprimen signos de
agrupacón.
Se suman los números
de igual signo.
Se realizan las operaciones
Se suprimen los paréntesis
+3i
Se suprimen los corchetes.
5e suprimen las llaves.
Se resuelve la resta
Verificarque (p - q) - r + p - (q - r)teniendo
en cuenta quep : 2,61 : -4y r : l.
Se deben remplazar las letras por los números
correspondientes en cada expresión y se realizan
las operaciones.
(p - q) - r : (2- (-4)) - r : (2* 4) - I : 5
P - (q - r) : 2 - (-4- 1): 2 - (-s) : -7
Como 5 * 7 enfonces se verifica que
(p-q)-r+p-@-r).
ztl
'4 i,ii Sant¡llana
5e realiza la suma.
Estándar: pensa miento n u méri co
fl) n.rporrde las sigqientes preguntas.
a. ¿Qué número debe restars e de -24 para que la
diferencia sea 15?
b. ¿Qué número restado de 19 da 31?
c. ¿Cuál es el minuendo, si el sustraendo es 19 y
la diferencia -8?
d. ¿Cuál es la diferencia si el sustraendo es -34 y
el minuendo -21?
e. ¿Cuál es el sustraendo si el minuendo es 50 y la
diferencia -120?
La distancia entre dos números se define como
el valor absoluto de la diferencia que hay entre
ellos, entonces, si a y b son dos números ente-
ros, la distancia entre ellos se simboliza como
d(a, b) : l" - bl. 
d@, b)
ao
),-ul
Halla la distancia entre cada par de números:
i. 104 y -36
j. -100y-205
k. 39 y -400
l. -s13 y -490
m.-324y -230
n. 450 y -890
o. -350 y -120
p. 1.390 y -4.509
S! R".r"l,re las expresiones teniendo en cuenta que:
ffi:2,ll:5,P: -3.
a. m*Í"-(p+m))+m
b. ntlm+(p-m-n))-m
c.Im+[m-(m-r+il+n)l+P
d. Ilm-(-n))+@-n)\+P
e.{lm+(n-p)l+p}+n
Soluciono problemos
El punto de
mayor altitud
en la superfi-
cie de Ia Tierra
es el Monte
Everest en el
Himalaya, y se
encuentra ubi-
cado a 29.269 --'i ¡'. I
pies sobre el nivel del mar. El punto de menor alti-
tud de Ia Tierra es el mar Muerto en Palestina, y se
encuentra a1.286 pies bajo el nivel del mar. ¿Cuál
es la distancia en pies entre estos dos puntos?
fr) Iuui", salió de su casa en la mañana con $ 120.000.
Primero pagó los recibos de los servicios de luz y
gas por $ 85.000. Luego, se encontró con un amigo
que le pagó $ 50.000 que le debía y después pagó
el servicio de telefonía móvil por $ 42.000. ¿Con
cuánto dinero regresó ]avier a su casa?
Andrea vive en el tercer piso. Baja en ascensor 4
pisos para ir al sótano y luego sube 5 pisos para
visitar a su amiga Sara. ¿En qué piso vive Sara?
i. -9-2
j. -1- 1
k. s-10
l. -8-3
m.6 - 12
n. -19-5
o. -5-24
p.32-15
or. 12 - (-7)
r. 8 - (-s)
s, -21 - 12
t. -i8 - (-31)
u. 24 - (-75)
v. 34 - (-81)
w. (-41) - (-18)
x. -44 - (-3s)
Q f..la siguiente información.
a. 5y 4
b. 7y -2
c. -3y6
d. -8 y -r2
e. 15 y -31
f. -13 y -24
g. -9 y -34
h. -81y 12
Q Realiza las siguientes restas.
a.4-8
b.6-s
c. -5-1
d.2-6
e. -7-4
f. e-s
o 1-Q
h. -8-7
@ Realiza las siguientes operaciones suprimiendo
signos de agrupación.
a. (-8) + (-ls) + 16
b. (1e) + 24 - (-3t)
c. 3s - (- 18) + (-21)
d. -t7 + (-2r) - (-le) - (+10)
e. -(-2t) - (-3s) - (-60) - (+42)
f. -8+ [-(13+ (-s)) - 4+ 16] - ls
s. te + (-4)l - l-32 + (-s + 4)l + 6
h. t7 - [4+ (-3 + s) - (-8 + 7) + 3)
i. ss - {11 + [-ls - (-8)] - 2tl - (7 - (-11))
j. i(¡r + (-8)) - t(-17) - 16 + (-14)l) - 41
oSantillana I P5
§-
I
J
Multiplicoción de númerosenteros
La multiplicación de dos números enteros a y b es un número entero c llamado
producto.
Si o, b e Z, enlonces, a . b : c e Z, los términos a y b se
denominan factores y c se llama producto.
Para multiplicar dos números enteros se deben tener cuenta los siguientes casos:
. Si los números tienen el mismo signo, se multiplican los valores absolutos de cada
número y el producto respectivo es positivo.
Por ejemplo:
M¿temático y fisico suizo Popu-
larizó v¿rios siqnos de nota-
c ón científica tales como n,
i f(x)y>
Dernofró que (- 1)(- 1) : 1
Una expresión como:
(-¡) x (2)x (-5),
se puede escribir eliminando
elsigno X, así:
(-3)(2)(-5)
3x7:21
. Si los números son de distinto signo, se
producto es negativo.
Por ejemplo:
(-5)x1o:-50
(-8) x (-4):32
multiplican sus valores absolutos y el
6X(-7):-42
Estos casos se pueden generalizar en la siguiente ley de signos:
El producto de dos enteros de igua signo es positivo.
(+)(+) :+ (-x-) :+
El producto de dos enteros de dlferente signo es negativo,
(+x-) :- (x+) :-
Cuando se multiplican tres o más números enteros se multiplican sus valores abso-
lutos sin tener en cuenta el signo. Posteriormente, se procede así:
. Si el número de factores negativos es par, el producto es positivo, por ejemplo:
(-9X-4) : 36,ya que 9 X 4 : 36 y hay dos factores negativos.
Si el número de factores negativos es impar, el producto es negativo, por ejemplo:
(-5X-2X-6) : -60, ya que 5 X 2 X 6 : 60yhaytres factores negativos.
Si todos los factores son positivos, el producto es positivo, es decir:
(4)(5X2X3) : L20,ya que 4 X 5 X 2 X 3 : 120 ytodos los factores sonpositivos.
Propiedodes de Io multiplicoción
de números enteros
El producto de números enteros cumple las siguientes propiedades.
Clausurativa. La multiplicación de dos números enteros siempre da como resultado
un número entero. Es decir,
Si a € Zy b e Z, entonces, a. b e Z
Porejemplo: (-5) e Zy (-10) e Z,entonces, (-5) X (-10) : 50y 50 e Z.
Asociativa. Tres o más enteros se pueden agrupar de diferente forma y el producto
no se altera. Es decir,
Si a € Z, b e Zy c e Z, entonces, (a. b) . c : a. (b . c)
Porejemplo' [(-s) x (-8)] x (-6) :40 X ?e): -z+O
(-s) x t(-8) x (-6)l : (-s) x 48: -240
Portanto, [(-s) x (-8)] x (-6): (-s) x t(-8) x (-6)l
qfi i t Santillana
Leonhard Euler
fiat-1783
Conmutativa. El orden en el que se realiza la multiplicación no altera el resultado.
Es decir, si a e Zy b e Z,entonces, a. b : b . a.
Porejemplo: 3 X (-5) : -15 y(-5) X 3 : -15.
Luego,3 x (-5): (-5) x 3.
Elemento neutro. El producto de un número entero con uno da como resultado el
mismo número entero. El 1 recibe el nombre de elemento neutro o módulo de la
multiplicación,
Esdecir,existe I e Zálque 1. a: a.lparatodoae Z.
Porejemplo: I X (-13): -13y(-13) X 1: -13.
Elemento nulo. El producto de un número entero con cero da como resultado cero.
Es decir, si a e Z,entonces, A. 0 : 0 . a : 0.
Porejemplo: (-35) X 0 : 0y0 X (-:S¡ : g.
Distributiva. Es Ia propiedad que relaciona la adición o la sustracción y la multipli-
cación de números enteros.
Esdecir, sia,b,ce Z,entonces, a. (b -+ c): (a, b) -+ (a. c).
Porejemplo: (-3)' [2 + (-s)] : (-3)' 2 + (-3). (-s) : (-6) * 15 : e.
= ffij*rnpto§
@ n".olrer las siguientes multiplicaciones:
Estándar : pe nsa m ie nto n u mé rico
b. (-e)(-6)(r)
EI producto de los números es 54 y el producto de
los signos es positivo (*). Entonces,
(-eX-6X1): 54.
c. (-¡)(s)(- l0)(-2)
El producto de los números es 300 y el producto
de los signos es negativo (-). Entonces,
(-3)(sX-10)(-2) : -300.
@ Irdi.u.la propiedad que se aplica en cada mul-
tiplicación de números enteros.
a.(-7) x9:9x(-7)
El orden de los factores no altera el producto, se
aplica la propiedad conmutativa.
b. t(-s) x 8l x (-4) : (-s) x [8 x (-4)]
Se puede agrupar de diferentes formas y el pro-
ducto es el mismo, se aplica la propiedad asocia-
tiva.
c.(-6) Xl:lx(-6)--6
Al multiplicar por 1, el resultado es el mismo, se
aplica la propiedad del elemento neutro.
d.(-7)x0:0x(-7):0
Cuando se multiplica un número por 0, el resul-
tado es 0, se aplica la propiedad del elemento nulo.
e. -5 x [(-3) + sl :
(-s)x(-3)+(-s)xs
La multiplicación es distributiva con respecto a la
suma, se aplica la propiedad distributiva.
a. (-6) x (-2)
(-6) X (-2) : 12 porque los factores son de
igual signo.
b. ro x (-16)
10 X (-16) : -160, porque los factores son de
diferente signo.
@ O",.r-inar el signo de cada una de las siguien-
tes multiplicaciones.
a.5Xl
El signo es positivo porque los dos números tienen
signo positivo.
b. (-r) x (-s)
El signo es positivo porque los dos números tienen
el mismo signo negativo.
@ Escribir los factores que faltan en cada pro-
ducto.
a. I, t-sl : -30
EI factor que falta es 6 porque 6 X (-5) : -30.
b.6xE:s¿
El factor que falta es 9 porque 6 x 9 : 54.
@ ffuU", los siguientes productos.
a. (s)(s)(-2)
El producto de los números es 80 y el de los signos
es negativo (-). Entonces, (5)(8)(-2) : -80.
=,Sant¡lrana I 27l-'
Multipli(áeíén de números enterús
Recupero informoción: I
entre números enteros?
Determina el signo de cada uno de los siguientes
productos.
d.7x10
e.8X-3
f.5X14
ob'
h.
i.
@ Uallu el valor de cada expresión de acuerdo con los
yalores que se asignan para cada letra:
a.5m,m: -10
b. -3ab,a: l,b: -2
c. -llxy, l,y: I
d. 5(c - d), c - -2, d: -I
a.
b.
c.
d.
(-4)[(-s) + 3]
[-8 + (-4)](-6)
(6)[8 + (-2)]
(+s)t(-7) + (-3)l
e. (e)[6 + 11]
f. l.(-7) + 6l(-12)
g. 10[(-8) + (-6)]
h. t(-11) + 3l(-s)
a,
b.
c.
8X6
-4X -3
12X -4
-5X6
-11 X -5
-9 X -11
m. (-6)(3)(-4)(s)
n. (8)(-s)(-6)(-e)
o. (-4)(- 10)(-3)(-6)
p. (s)(eXt t)(8)
q. (-eX7X-s)(6)
r. (-1I)(-7X-eX10)
s. (3)(4X6)(8X2)
t. (-4)(-s)(-8)(-12)
u. (-7)(s)(-8)(2)(-6)
v. (10X-e)(-3)(0)(- 11)
w. (11X-8)(10)(s)(-4)
x. (12)?a)(3)(-s)(-2)
li3 Soluciono problemos
c.
d.
e.
Responde las siguientes preguntas.
c.
a.
d
¿Cuál es el signo del producto de siete números
enteros negativos?
¿Qué número entero multiplicado con - 1 da
7?
¿Qué número entero diferente de cero al mul-
tiplicarlo por 0 da 0?
Si el producto de tres números enteros es po-
sitivo y uno de ellos es negativo, ¿cómo son los
signos de los otros dos?
@ U"nr"t gasta $19.000
cada domingo en la
entrada para un par-
tido de fútbol. Deja
de ir a cinco partidos
porque no jugaba su
¿Cuál es la ley de los signos para la multiplicación @ Solo.iona aplicando la propiedad distributiva.
Realiza los siguientes productos.
( -4)(s)
(-ex1o)
(2s)(-4)
(-6)(-8)
(- lsx-6)
(r2x1o)
(e)(-3x-s)
(s)(7)(3)
(6)(-4)(8)
(-e)(- r2)(-2)
( - 7)(s)( -e)
(-6)(-4x- 1o)
@ Escribe V si la expresión es verdadera o E si es
falsa y justifica tu respuesta.
a. EI producto entre dos números enteros de igual
signo es negativo.
b. El producto de dos enteros de diferente signo
es negativo.
El producto de cuatro enteros siempre es posi-
tivo.
El producto de todo número entero por cero da
como resultado el mismo número.
El 2 es el módulo de la multiplicación, por lo
tanto,si ae Zentonces aX2: a.
@ oor trabajadores de una
empresa de aseo limpian las
ventanas de un ediflcio en
el siguiente orden. Primero,
las del piso 15, luego, las del
8, después, las del I 1 y final-
mente,las del6. Si cada piso
mide 3 m, determina:
a. ¿Cuántos metros descendieron del piso 15 al8?
b. ¿Cuántos metros ascendieron del 8 al 1 1?
c. ¿Cuántos metros descendieron del 11 al 6?
O r" pequeño submarino que fotografía fauna ma-
rina desciende automáticamente 10 m cada 20
minutos. Si descendió durante 2 horas:
a. ¿A qué profundidad se encuentra al cabo de
dos horas?
b. ¿Cuántos metros desciende en la primera hora?
c. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a -40 m?
@ Ourante 7 días Natalia retiró de su cuenta $40.000,
cada día. ¿Cuánto dinero retiró Natalia en una se-
mana?
?8 I osanrittana
equipo favorito. ¿Cuánto dinero ahorra en total?
Estdndar: oe n sa m iento n u m é r t co
División de números enteros
La división es la operación inversa de la multiplicación, ya que permite encontrar el
factor desconocido de una multiplicación en la que se conoceel producto y un factor.
Sia,be Zconb # Ose lama cocienteexacto deay b ai número ce Zalque b. c: a.
Para simbolrzar la división entre ¿z y b se utiliza Ia notación a
dividendo y b es el divisor.
, donde a es el
Para hallar el cociente entre dos números enteros se debe tener en cuenta que:
. El cociente de dos números enteros de igual signo es positivo, por ejemplo:
(-24) + (-8) : 3 porque3 X (-8) : -24
45+9:5porque5X'9:45
. El cociente de dos números enteros de distinto signo es negativo, por ejemplo:
12 + (-3): -4porque (-4) x (-3) : 12
(-3s) + 5 : -Tporque (-7) x (s) : -3s
. El cociente de cualquier número entero entre uno es el mismo número entero, por
ejemplo:
(-88) + 1 : -88porque(-88) x 1 : -88
15 + 1: l5porque 15 X 1:15
. El cociente de cero entre cualquier número entero diferente de cero es cero, por
ejemplo:
g + (-23) : 0porque 0 x (-23) : 0
+boL
b
O n".oL,"r la siguiente operación:
l+ Ejemptos
O Comptetar los siguientes enunciados.
Como -32 + 4 : -8, entonces, el enunciado
completo es:
4 X -8 : -32 porque -32 + 4: -9.
Como 50 + -2 : -25, entonces, el enunciado
completo es:
-25 x -2: 50 porque 50 + -2: -25.
c. -2Ox tr : l2Oporque l2O+ : _20.
Como 120 + -6 - -20, entonces, el enunciado
completo es:
-20 x -6: I2O porque l2O + -6: -20.
Como -100 + 5: -20, entonces, el enunciado
es -20X5 : -100 porque -100 + 5: -20.
7 x(-e)x2
3 x (-2)
_ -126
-6
:21
La ley de los signos para mul-
tiplicar es:
*.*:*
-.--+
+.---
-.+--
7 x(-e)x2
3 x (-2)
5e multiplica en el numeradar
y en el denominador.
5e divide el numerador entre
el denominador y se aplica
la ley de signos.
Se escribe el número como
la suma de dos enteros.
5e aplica la propiedad
distributiva.
5e realiza la suma.
@ R".olrr"r aplicando la propiedad distributiva.
(-rso) + zo
: (-100 + (-80)) + ZO
-100
20
-5+
-9
o Santillana I P9
RECUERDA QUE...
Divisién de números enteros
Recupero info.:1-2
úb'
h.
i.
72 + -12
15 + -30
-4+3
Responde, ¿qué reglas se deben tener en cuenta al
dividir dos números enteros?
ii
i! Responde, ¿cuáles propiedades de la multiplica-
ij ción no se cumplen para Ia diüsión?
ri
I:
ii Encierra en un círculo las diüsiones que no pue-l,
lj den hacerse en el conjunto delosZ.
ti 18+-3 d. -24+48
-4+12 e. -36+-9
-6 + -4 f. -LO} + 25
iÉ
II Er.oge dos divisiones en los enteros que expresen
cada uno de los productos dados.
a. 8'3:24
24+8 3+24 8+3 24+3
b. (-5) ' 6: -30
6 + (-30) -30 + 1-5¡ -30+6 6 + (-5)
c. (-11) ' (-e) : ee
ee + (-e) -11 +9 99 + (-11 -11 + (-9
d.7.(-8):-56
-8+7 -56+7 -56+8 7 + (-s6)
e. (-12) - (-+¡:4s
48 + (-4) -r2 + (-4) -4+ 48 48 + (-r2)
tr
:i
!j n"utiza los siguientes cocientes:
ii u.-18+2 h.-e8+7
ii b 22 + -Lr i. -640 + -20
ii . -3s + -7 j. -720 + 16
il d. s2 + 13 k. 1.500 + -25
;; a. B6-24\+-41l 'll b. (-¡s + 55) + 5
|l' c. (64+32-24)+-g
j! d. (-26 + sz - 13) + 13
3S l,t'Santillana
:l
I¡
1'
il
ll::
Camila, Sebastián ::
y sus hijos van de
campamento el fin
de semana. Si com-
pran alimentos
por $ 120.000, ele-
mentos de aseo por
$ 19.000 y bebidas
por $ 140.000, ¿cuánto
Un turista toma un curso de buceo durante cuatro
días en Cartagena. En cada clase se sumerge las
siguientes distancias: 4 m, 6m, 5 m y 9 m. ¿Cuál
es la profundidad promedio a la que se sumergió?
dinero debe pagar cada uno?
3-4
La temperatura en Cota, una población de Cundi-
narnarca, medida duranteunasemana alas 5:30 a.m.
fue la siguiente: lunes -3 "C, martes 0 "C, miér-
coles -4 oC, jueves -2"C, viernes - 1 "C, sábado
- 1 'C y domingo -3 "C. ¿Cuál fue la temperatura
promedio en Cota esa semana?
Potencioción de
La potenciación se define como
varios factores iguales.
>t o ¿ Ly n e. L', entonces,
o.a.o. ..a:o'
En expresiones como: a' : b se identifican los siguientes términos:
, a, indica el factor que se repite en Ia multiplicación, recibe el nombre de base.
. n, indica la cantidad de veces que se repite el factor, recibe el nombre de expo-
nente.
. b, indica el resultado de la multiplicación, recibe el nombre de potencia.
Por ejemplo: f--Exponente
2)a : 16
+
PotenciaBase
nÚmeros enteros
la operación que simplifica la multiplicación de
Se multiplica - c, 4 veces por sí mismo.
5e multiplica a,5 veces por sí mismo
Para hallar el valor de una potencia, se multiplica el valor absoluto de la base por
sí mismo, tantas veces como indique el exponente y para determinar el signo de la
potencia se deben tener en cuenta las siguientes reglas:
. Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva.
Por ejemplo: (-3¡z : (-3) X (-3) : 9
. Si la base es negativa y el exponente es impa¡ la potencia es negativa.
Porejemplo: (-5¡a : (-s) x (-s) x (-s) : -r25
. Si la base es positiva y el exponente es par o impar, la potencia es positiva.
Por ejemplo: 24 : 2 x 2 X 2 X 2 : 16
63:6X6X6:216
It Ejemptos
O Escribir en forma de producto las siguientes potencias:
a. (-c)4
(-c)t : (-c) x (-c) x (-c) x (-c)
b. as
a5:aXaXa\aXa
6) Irdi."r el signo de cada potencia.
t. 62
El signo de la potencia es positivo porque la base 6 es positiva y el exponente es
par.
b. (-2)4
EI signo de la potencia es positivo porque la base es negativa y el exponente es par.
c. (-7)3
El signo de la potencia es negativo porque la base es negativa y el exponente es
impar.
i; S¿¡t;r!¡n¿ I Jl
Estánda r: pen sam ie nto n u m éri co
Matemático y teólogo ¿lemán.
lntentó descifrar el final del mundo
en el Apocalipsis, al fracasar con la
fecha que dio, desifló de su ide¿.
Popularizó los signos -l y -, des-
plazando a la p y a la m que se
usab¿n antes para representarlos.
-
Propiedodes de lo potencioción
La potenciación de números enteros cumple las siguientes propiedades.
Producto de potencias de igual base. Para multiplicar potencias de igual base, y con
diferente exponente, se deja la misma base y se suman los exponentes.
Esdecit siqe Zyn,m C N, entonces,an. Am: an + m
Por ejemplo:
(-S)¡ x (-S;+ : (-S¡r* q : (-5)7
72X73.;¡.75:72+3+s-710
Cociente de potencias de igual base. Para dividir potencias de igual base y diferente
exponente, se deja la misma base y se restan los exponentes.
Esdecir, siae Zyn,m e N, entonces,an + a*: an - m cona * Oyn) m
Por ejemplo:
tr6:tr4- 56 -tr6-4_ tr2J J -J-1)-
(-s), * (-8¡+: 9+ : (-8)7-4: (-8)3(-8).
Potencia de una potencia. En ocasiones, la base de una potencia es otra potencia.
Para resolver una potencia elevada a un exponente, se deja la base y se multiplican
Ios exponentes.
Esdecir, siae Zyfl,m e N, entonces,(a')*: snXm
Por ejemplo:
(112)s : y12x s - 1110 y Le»3)4 : (-2)3x 4 : (-Z)12
Potencia de un producto. Para calcular la potencia de un producto, se eleva cada
factor del producto al exponente indicado.
Es decir, si a, b e Z y n e N, entonces, (a, b), - an . bn
Por ejemplo:
[s x (-3)]4:54 x (-3)4y [(-7) x (-e)j3 : (-7)3 x (-e)3
Potencia de un cociente. Para calcular Ia potencia de un cociente, se eleva a dicha
potencia cada uno de los términos de la división.
Esdecir, sia,b e Zy n€ N, entonces,(a + b)" - a, + bn
Por ejemplo:
(t2+5)3:(+)':+
Otros prop¡edodes de lo potencioción
Exponente uno. Todo número entero elevado al exponente uno da como resultado
el mismo número entero.
Es decir, si a e Z, entonces, at : a
Exponente cero. Todo número entero diferente de cero, elevado al exponente cero
da como resultado uno.
Es decir, si a e Z con a * 0, entonces, ao : I
3 ? | ,,,santillana
Michaelltifel
1487-1561
Estánd a r: p en sa m i e nro n u rn ér i ro
Potencia de uno. Uno elevado a un exponente entero, da como resultado 1.
Es decir, si n e N, entonces,ln : I.
b. (-8) x (-8)3 x (-8)o
(-s)x(-s;:x1-3¡o
: (-$)t +: + o
- (-8)4
c. [(-7)2]3 x [(-7)4]s
l(-7)2)3 x [(-7)1]5
- (-7)o x (-t¡»
/ -\15- \-/)-'
5e suman los exponentes
d. t( r)rl, x (2'), x [( 3)4]3
[(-1)3]4 x (22)3 x [(-3)1]3
: (-1)12 x 26 x (-:¡,,
:1X26x(-3)t2
e. [(2 x s)3x (2 x s)'zx (2 x s)]
f(-2), x (-s),1
[(2 x s)3 x (2 xs)' x (2 x s)]
t( 2)1x (-s),1
_ 2r\5''2rx5: 2x5
(-2)1x (-s)'
26X56
(-2)1x (-s)'
:22Y5+
f. a3 x (-b)s X c? x. (-d)8(-b)'x c7 x a3 x (-d)'
: qo x (-b)2x co x (-d)t
:1X (-b)2x 1x (-d)
ffi 3* pL*s
Simplificar cada expresión. Para ello, utilizar las propiedades de la potenciación.
a. 5z¡5t¡5r
:52y 51X53
-16
resión dada.
Se aplica la potencta de una potenc¡a.
5e oplica el producto de potenc¡as de igual base
Expresión dada.
Se aplica la potencia de uno potencta.
Se aplica la potencta de uno
resión dada
Se aplica la potencra de un producto.
Se aplica el producto de potenclas de igual base
Se utilizan las reglas generales
de potencras de tgual base
5e aplica el coctente de potenctas de igual base
Se aplica el exponente 0 y la potencia de L
e.
f.
oó'
h.
¿Qué representa el exponente en la potenciación
de un número?
¿Cómo se determina el signo de una potencia si la
base es negativa?
i.(-s)3
j. (7)5
k. 1-2¡t+
l. -(-tz¡s
[(-e)n]0
(st¡z
[(-6)3]2
[(-2)s]4
(-4)4
(-8)6
(- to¡t
-(-e)6
@ Cornpt"ta la siguiente tabla.
@ Escribe con un solo exponente las siguientes po-
tencias.
a. (32)4
b. [(4)3]'
c. [(-1)s]3
d. [(-e)4]3
i.
j.
k.
l.
il
ii €} arr*sa como una sola potencia.
a.32x33
b.53X54
c.23x24x2
d. (-6¡s + (-8)2
e. (+¡e . p¡z
f. (-3)4. (-3)3 . (-3)2
g. (-6)3 . (-6)2.(-6)4
h. (-r¡:1-1)6(-1)s
§) Escribe los siguientes productos como potencia.
a. (-3X-3)
b. zx2x2x2x2
c.7X7X7x7x7x7
d.9X9X9X9X9X9
e. (-aX-¿)(-+)
f. (-6x-6x-6x-6)
s. (-sx-sx-s) (-sX-s)
h. (-b)(- b)(- b)(-b)(- b)
ii lB td"",ifica el signo de cada potencia.
^)3-
(6)4
(- 1)8
-(tt¡+
Potencia Base Exponente Valor
(- s)-3
-3 4
3 -216
(- t o¡-t
-7 4
3 729
15 I
-t B
e. lcs)2)2
f. [(-10)2]s
s. [(-z¡'1',
h. [az1+
Propiedades de la potenciación
a.
h.
@ Cornpt"ta los espacios en blanco para hacer verda-
dera la expresión.
(-3)r'(-3)r:(-3)12
!-'l= : (-5)'(-5)"
t(-4)rlr: (-4)15
I (-z). -l'_ (z¡,u
L (-ro)nl - (-ro),0
I (-o)' 
-lo 
(-6)n
Lf-r'I - (-r=
tt##l':{-')'
Soluciono problemos
@ Escribe en forma de potencia la cantidad de cubos
c.
e.
@ U"l"ru compró 5 cajas de chocolates, cada una con
5 paquetes de 5 chocolates cada uno.
a. ¿Qué potencia expresa el número de chocolates
que compró?
b. ¿Cuántos chocolates tiene en total Helena?
() R..r"lrr" como una sola potencia.
(_8)3. (_8)5
(-8)'. (-8)'
18. 110. lls
(1so)o
(3 + 3),. 63
64
[(-3)']'
[(-3)']'
73. (-4)31(-4)21'
Í(-4)'1n.7'
s,. (-4)31(-4)')'. s'
(s,),. (-4)4 (-4)8
I t(-z)']'. (o'¡n 1'
L t(rrr'.6' l
que forman cada cubo.
d.
d.
Están dar: pe n sa m¡ ento n u méri co
Rodicoción de números enteros
La radicación es una operación inversa a Ia potenciación en la que, dadasla potencia
y el exponenfe, se debe hallar la base.
Si a, b e Z,la raízr-ésima de o se ,oru \li : b si bn - a
En expresiones como: Ji : U, n recibe el nombre de índice radical, el símbolo r[
se denomina signo radical, a se llama cantidad subradical y b recibe el nombre de
raiz.
Por ejemplo, en la expresión V81 :3,81 es la cantidad subradical,4 es el índice
radical y 3 eslaraí2.
En la radicación de números enteros, para determinar la raiz n-ésima de un número
entero se deben considerar tres casos:
Si el índice es par y la cantidad subradical es positiva, Ias raíces son dos números
opuestos. En este caso se dice que la radicación es una operación multiforme.
Por ejemplo, J25 : 15 ya que (5)2 : 25 y (-s1z : ,t
Si el índice es imparyla cantidad subradical es positiva o negativa, laraiz es única
y del mismo signo del radical.
Porejemplo, V(-8) : -2 yaque (-2)3 - -8,y, ",[:2 yaque 
(2):: 3
Si el índice es par y la cantidad subradical es negativa, la operación no es posible en
el conjunto Z.Por ejemplo, ú-36) Zyaque (6)2 : 36y (e)z : 36
En este."ro, .(-36¡ no tiene solución, ya que no existe un número que elevado
al cuadrado dé como resultado -36.
Propiedodes de lo rodicoción
La radicación de números enteros cumple las mismas propiedades que la radicación
de números naturales.
Es decir, si a, b son números enteros y m, n son los índices se cumple que:
Raíz n-ésima de un producto: <1, x f : <E x !,[i
Porejemplo,iln xe : fix Vl:: \.2:6.
Raíz z-ésima de un cociente: _ :{;{i
Por ejemplo: - l0 -"
5
{,f 6' - 6--'
:36
{l : a Por ejemplo: xlz^ : z
{G - *"ifi
L¿s r¿ices de indice 2, se lla-
m¿n raíces cuadradas En
este caso, el índice no se es-
cribe.
)tT 
- 
fT\lt) - 1¿)
llto {fot
! zs Jzs
Raíz n-ésima de una potencia:
Por ejemplo, J{ : 64 -2 - 62
Raíz n-ésima de la potencia n:
Raíz n-ésima de la raiz n-ésimaz
Por ejemplo, 1[@ :3'<[64 : \164 : 2
39
EE
l?q
Radicación de números enteros
x Ejempl,os
Resolver las siguientes raíces aplicando las propieda-
des de radicación.
a. VFO x o+
Se escribe la expresión dada.
Se aplica la raíz de un producto.
5e hallan las raíces.
5e realiza la multiplicación.
Se escribe la expresión dada.
Se aplica la raíz de un producto.
Se aplica la raíz n de la potencia n.
Se realiza la operación en
el exponente.
<lw " <17
: (-4) x a3-3
b3+3xc3+3
- -4'ab'c
d. vlo^ooo
{10¡_
- 104+4
:10
= V1-s) x V6a
= {sl x 41,.
- 3x a+=+
:3.A
Se aplica la raíz de un cociente.
Se aplica la raíz de un producto
Se aplica la raíz de la
potencia n.
Se realizan la operaciones.
5e escribe el radicando como
producto de factores pr¡mos.
Se aplica la raíz n de la potencia.
Se realiza la operación de los exponentes
Rozono:3-4-5-6
S Explica: ¿Por qué se afrrma que si n es un número Determina si el resultado es correcto, "rr.uro.o.r- 
,
par y b e Z-, Ub no existe? trario, corrígelo. ::
ii e Resuelve las potencias. Luego, escríbela en forma 
a' t4 :1 c' :l=2$ : 7 e' J900 :30
]l - d.r"ír. b J62s: ls d. 11729 :-3 f. J400 :-20
li'u i,.1: I l-i]; f,. l;u" 
iut,nu, (! R.,o"l,e aplicando propiedades de potenciació,. il
c. (-2\6 f. 74 i (-))4 | l-10)3 , ^l¡.1 16, " 1li7c. (-2)6 f. 34 i. (-2)4 l. (-10)3 a. J4 x L6 e. I,lB",
, Determina cuáles de las siguientes raíces no se b' !2? xf f ili x *'
pueden calcular en los enteros. c. J25d g. "56 
x e
a. {-2? e. J6 i. rl-Tze d' {16*' h' iDs x s
b. J, r. !t2s j. J8r
c. Vt s. V-1000 k. {-216
d. :,lt h. \1156 l. {El Determina la longitud de la ,rista de cada cua-
4. ! L/ s. Vt) r.. V /L>
b. J, f. tlr2s j J8r
drado de a uerdo con su área.
f @ Calcula las siguientes raíces. a. A: 49 cmz b. A: l2t c 2 c.A:2g9 cm2 ,:
a. Jf d. V81 g. J%r rr rr i ,. . , , .,1.. -- ,: : ;"- Halla las dimensiones de una barra metálica de llb. V-64 e. '1156 h. 1,82% 2.058 cm3 de volumen, si el largo es el doble del :
<[eaq x {a'
Estánda r: pe n so m ¡e nto n u m é ri co
Poli nomios c r¡tméticos
con nÚmeros entercs
Un polinomio es una expresión matemática en la que se encuentran indicadas varias
operaciones matemáticas que pueden tener o no tener signos de agrupación. Las
siguientes expresiones son ejemplos de polinomios aritméticos:
15 - 12 + 4 + 8 X 3 + 5 es unpolinomio sin signos de agrupación.
- {( - 14) - l- (2 X 3)l} es un polinomio con signos de agrupación.
En esta sección, se resolverán polinomios en los que se combinan las operaciones de
adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación de números
enteros.
Polinomios aritméticos sin signos de CIgrupoción
Cuando un polinomio aritmético no tiene signos de agrupación, se soluciona reali-
zando las operaciones en el siguiente orden:
. Primero, se resuelven las potencias y las raíces.
. Luego, se realizan las multiplicaciones y las divisiones.
. Por último, se solucionan las adiciones y las sustracciones.
Por ejemplo, para solucionar el polinomio 15 - 12 - 4 + 8 X 3 + 5, se realiza el
siguiente procedimiento, primero se realizan la división y la multiplicación; luego, se
resuelven las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha. Así,
t5- 12+ 4+ 8X 3+ 5: 15- 3+ 24+ 5 Serealizanladivisióny
la multiplicación.
: 12 I 24 + 5 Se resuelve la sustracción.
: 36 -l 5 5 e resuelven las adiciones.
:41
Entonces, 15 - 12 + 4 + 8 X 3 + 5 : 41.
Polinomios oritmétlcos con signos de cgrupoción
Cuando un polinomio aritmético tiene signos de agrupación, se elimina cada signo
de agrupación de adentro hacia fuera, teniendo en cuenta el orden de las operaciones
y aplicando la ley de signos.
Por ejemplo,para solucionar el polinomio -{(-14) - l-(2 X 3)]}, primero se re-
suelve el paréntesis, es decir, se realiza la multiplicación, luego, se elimina el corchete
y se finaliza resolviendo las llaves. Así,
-{(-14) - l-(2x 3)l} : -{(-14) - [-6]]
: -{(-14) + 6}
- -r-aItoJ
-8
Entonces, -{(-14) - l-(2 x 3)l}:8.
r,. s=.t;ii.*. I ?7
Polinomios aritméticos con números enteros
x Ejemptos
Luego, il:l x (-3 + T) + (-2)'z : -4.
@ Simplificar los siguientes polinomios.
L (-7 - 2)3 + (-S) + ez
: (-9)3 - (-9) + 62 Seresuelveelparéntesis.
: (-729) + ( - 9) + 36 Se realizan las potenctas
: 8l * 36 Se resuelve la división.
: ll7 5e realiza la suma.
Luego, (-7 - Z)t + (-O) * 62 : ll7.
b. {32 x (-3 + 7) + (-2)'z
: (-2) x 4 + n 5e resuelven la raíz' el
paréntesis y la potencia.
: ( - 8) + 4 5e realiza la multiplicactón
- -4 Se realiza la suma de enteros.
Determina la primera operación que harías para
resolver el polinomio: -4 -l 52 - 82 x 4.
@ Realiza las siguientes operaciones.
8-(s)(-3)+(-4)(7)
(-6)(4)-(-sx8)+(-6)
(-7)+ (-8x-4) -(e)(-2)
(-3X-s)-(eX-2)+18
(-12x6) +(-4)(2)+6
(-ls)+(-3)+(-s)(8)+4
b: -2y c: -4.
-3b+c-2a
5b*4c+2a
ab3+c*3b-a
J*erl+c2b+b'
a.
b.
c.
d.
e.
f.
úb'
h.
36
18 l,a(:ntill:n:
a.2a-3b-fc e.
(lJ Suprimir los signos de agrupación y resolver el
siguiente polinomio:
(-2) x [(-6 + s) x (-3) + (-36) + 6]4 + r.
: (-2) x [(-0 + 5) x (-3) + (-36) + 6]4 + I
Se resuelve el parénLesis.
: (-2) x [-1 x (-3) + (-36) + 6]4 + r
5e realiza la mult¡plicac¡ón
y la división delcorchete.
:(-2) x [3 + (-6)]4+ I Serealizalasuma
: (-2) x [-31+ a 1
:(-2)x81 +1
: (-162) + 1
: -r6t
del corchete.
Se realiza la potencia.
Se realiza la multiplicación.
Se realiza la suma.
Luego, el resultado del polinomio dado es: - 161.
Ejercito: 2-3-4-5
@ fscribe paréntesis en el lugar que corresponda
para obtener el resultado dado.
a. 15-6X4-12:-72
b. s+7-4-9-12:32
c.6X14-4-17- 8:51
d.35-10-15-3-20*7:0
e.2l- 35+5+6X9-4:46
f. -65-28-13-56+8:-87
g.-21+ 9+5+4X8+6:41
h. -18 + 3 + 5 - lzx 4 -30 - 5 : -59
@ R"rrr"lre los polinomios. 
:
;:
a. -3+{[(-8)-(-s)] +t2l+ 6 if
b. -(-r2)-{-t(-4) x6l + (-3)(-e)}+4 :i@ 
r.r.r-ina el valor de cada expresión si a : 3,
Ecuociones con
números enteros
Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce algún término al que se
le denomina variable o incógnita. La incógnita se representa generalmente con
una letra minúscula. Por ejemplo, las expresiones -3 + x : 9; y -7 - -17 y
4' w :20; son ecuaciones donde las incógnitas están representadas por las letras x,
y y w, respectivamente.
Una ecuación está conformada por dos expresiones separadas por el signo igual (: ).
La expresión ubicada al lado izquierdo del signo : se denomina primer miembro
y la expresión ubicada al lado derecho del signo : se denomina segundo miembro.
En la ecuación -3 I x : 9,el primer miembro es -3 .| x y el segundo miembro es 9.
Solucionar una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que satisface
la igualdad. En el caso anterior, el valor de x que hace verdadera Ia igualdad
-3 * x: 9 es l2,yaqre -3 + 12: 9. Por tanto, Ia solución de Ia ecuación es x : 12.
Propiedod uniforme
El proceso que permite solucionar ecuaciones está fundamentado en la aplicación de
la propiedad uniforme de las igualdades. Este proceso consiste en sumar, restar, mul-
tiplicar o dividir una misma cantidad a los dos miembros de Ia igualdad, obteniendo
así otra ecuación equivalente a Ia primera.
Si a, b, c e Zy a : b, se cumple que:
alc=b*c A-c:b-C a.c:b.c 6+¡:$+¡
Ecuociones de lo formo x v 0- b
Las expresionesr * 4 : -9 y x - 9 : -15 son ecuacionesdelaforma x + a : b.
Este tipo de ecuaciones se resuelven sumando o restando la misma cantidad en los
dos miembros de la ecuación para obtener de esta manera otra ecuación equivalente,
por ejemplo:
^ Ecuación dada¡-+--9
Se resta 4 en ambos mtembros de la
x-l 4-4:-9-4 ecuaoón.
5e resuelven las operaciones a ambos
x * 0: -13 ladosdelaecuación
M¿temático alemán Escribió va-
rlos libros, uno de ellos llamado Dre
Coss, donde expone problemas al-
gebraicos, qtle nunr¿ publicó, pero
sus manuscritos fueron editados en
el año 1992.
3ft
q¡r'r :i:na l lQ
II
x: -13
Se aplica la propiedad modulativa y se
obtiene la solución.
En el ejemplo anterior se tiene que: -13 + 4 - -9. Por lo tanto, r : -13 sí es Ia
solución de la ecuación.
Para comprobar que la soluclón de una ecuación es la correcta, se remplaza
el valor de la incógnita en la ecuación dada y se veriñca la igualdad
Está ndar: pen s a miento n u rn éri co
Eeuaciones ecn numer*s ei]?er*5
Ecuociones de lo formo o . x: b
Expresiones como 3 ' x: 18y -7 ' x: -35 y son ejemplos de ecuaciones de la
forma A. x: b. Esta clase de ecuaciones se soluciona multiplicando o dividiendo los
dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, obteniendo
así otra ecuación equivalente a la primera, por ejemplo:
-7'x: -35
-7'x - -357-7
1'¡:5
.. 
- 
I
I-J
Ecuación dada.
Luego, se comprueba qu,e x : 5 es la solución de la ecuación, para ello se remplaza
la x por 5 en la ecuación dada así:
Ecuación dado
Se remplaza x por 5 y se verifica que el producto es - 35.
5 sí es solución de la ecuación.
-7 ' x: -35
-7 ' 5: -35
Entonces, r :
Se divide a ambos lados entre el coeficiente de x que es - 7.
Se realizan las operaciones en ambos lados de la ecuación.
Se resuelve lo multiplicación.
Ecuación dada.
Se multiplica por 2 a ambos
lados de lo igualdad.
Se realizan las operaciones,
x_
2
l, ^ _
2
lo
'tl I I 7 C1^rill1--
ffi §*mpto
Resolver la siguiente ecuación.
x
1
7
7.2
l4
Luego, se comprueba la solución de la ecuación. Para ello se remplaza x : 14 enla
ecuación | 
: Z asi: JL: 7, entonces, la solución de la ecuación es x : 14.
Plonteomiento y solución
de problemos medionte ecuociones
Por medio de las ecuaciones es posible resolver problemas que involucran números
enteros. Para ello, hay que tener en cuenta los pasos para la solución de problemas:
Interpretar el enunciado. Este paso consiste en identificar los datos conocidos del
problema e identificar el dato que se busca calcular. Se debe asignar una letra (o
incógnita) para el dato desconocido.
Plantear y resolver la ecuación. En este paso se debe escribir el problema en forma
de ecuación. Luego, se debe resolver la ecuación.
Comprobar el resultado.lJna vez se resuelva la ecuación se debe verificar si la so-
lución cumple las condiciones del problema. Luego, se debe redactar la respuesta
en términos de la información del problema.
x Ejemptos
@ t ado.ir cada expresión numérica en forma de
ecuación.
a. Un número disminuido en 12 equivale a 500.
n es el número.
Como disminuir está relacionado con restar en-
tonces la expresión es: ,? - 12 : 500.
b. La mitad de un número es 70.
d es el número.
Como la expresión la mitad equivale a dividir
entre 2, entonces, la expresión es 4 : n.
z
Estándar : pe n sa m t e nto n u mé ri co
Tercero, se comprueba el resultado. En este caso
se remplaza 80 en la ecuación planteada inicial-
mente.
x I 15:95 + 80 * 15 :95
Como sí se cumplen las condiciones del problema,
se puede afirmar que el número que aumentado en
15 equivale a 95 es 80.
b. El perímetro de un cuadrado
es 80 cm. ¿Cuánto mide el lado
de dicho cuadrado?
Primero, se asigna la variable I a Ia
medida del lado.
Segundo, se plantea y resuelve la ecuación.
4l:80
4l _80
44
l: zo
Tercero, se compruebá el resultado. En este caso se
cumple que 4 X 20 equivale a 80. Luego, la medida
del lado del cuadrado es 20 cm.
Se divide a ambos lados
entre 4
Se realizan las operaciones.
Resolver cada situación:
a. Un número aumentado en 15 equivale a 95,
¿cuál es ese número?
Primero, se asigna Ia variable x al número.
Segundo, se plantea y resuelve la ecuación:
x l- 15:95
x:95 - 15
x: *80
;i
Resuelve las ecuaciones. fuan y David juegan un videojuego. Si el puntaje
a. x_5:12 f. g: x_25 obtenidoporDavidesl50menosqueeldeJuany
d. -2 I x : -6 i. 315 : 216 -l t El número de niños en un salón de clase es el doble :
e n - 3O: -55 i 1O7: -3O5 -l- w rlcl nrimcrn