Monografía_WenceslaoR

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SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR Y SUPERIOR 
DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE 
DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN NORMAL 
ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
CICLO ESCOLAR 2021-2022 
 
 
SEXTO SEMESTRE “HISTORIA Y FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS” 
 
 
TRABAJO: 
MONOGRAFÍA “SOBRE MATEMÁTICAS: HISTORIA, FILOSOFÍA Y 
DESARROLLO” 
 
ELABORÓ: 
WENCESLAO RESÉNDIZ AGUILAR 
 
 
ASESOR: MISAEL PAZARÁN OLIVARES 
 
PACHUCA DE SOTO, HIDALGO; A 12 DE JULIO DE 2022 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
Las matemáticas como las conocemos hoy día son el resultado de un largo proceso 
histórico, filosófico y geopolítico. Remitirnos a los inicios de la humanidad nos obliga, 
con un sentido curioso, a preguntarnos ¿cómo o quién comenzó a hacer 
matemáticas? 
 
Pero para contestar esta pregunta es necesario definir qué son las matemáticas, 
algo que resulta difícil debido a que no hay una sola perspectiva que satisfaga las 
miradas curiosas. Sin embargo, de manera intuitiva todos tenemos una idea, 
aunque precaria, de qué son las matemáticas, que va desde una ciencia, un 
lenguaje, una construcción humana, un sistema de demostraciones, entre otros. 
 
Ciertamente no se pretende dar una definición en este trabajo, pero ofrecemos 
como punto de partida lo que encontramos en Les Mathématiques de J.F. Montucla 
de los primeros años del siglo XIX “Las matemáticas es la ciencia de las relaciones 
de tamaño o de número que pueden tener entre sí todas las cosas que son 
susceptibles de aumento o disminución”. Lo anterior enfatiza el número, la magnitud 
y la forma. Más adelante se relacionaría a la lógica con esta ciencia y le daría un 
nuevo matiz a su significado que persiste hasta nuestros días. 
 
Visto lo anterior, podemos decir que se comenzó a hacer matemáticas por 
necesidad. El hombre necesitaba saber el número de ovejas y demás animales que 
poseía, calcular la extensión de tierra que les pertenecía, establecer una manera de 
comerciar sus pertenencias y por supuesto, saber el correr del tiempo en su vida 
cotidiana. 
 
Su uso, al principio íntimo y ligado a prácticas sociales, se fue nutriendo en 
diversas culturas logrando un avance gradual y propio en cada pueblo. Así, por 
ejemplo, los babilonios y egipcios emplearon y desarrollaron matemáticas, cada uno 
a su ritmo y de acuerdo a sus necesidades, pero notablemente más avanzado el 
primero que el segundo. 
 
Posteriormente los griegos harían importantes contribuciones a esta ciencia, ellos 
emplearon el uso de definiciones, axiomas y demostraciones. Entre los personajes 
más sobresalientes de esta civilización se tiene a Tales de Mileto, Pitágoras, 
Demócrito, Euclides, Arquímedes, entre otros. Los aportes griegos a las 
matemáticas se vislumbran en geometría, áreas, volúmenes, cuerpos geométricos, 
óptica, así como en física los centros de gravedad. 
 
En los siglos que vendrían, los hindúes desarrollaron sus matemáticas utilizando 
reglas aritméticas para el cálculo, números negativos, el cero y aceptando los 
números irracionales como soluciones correctas. Posteriormente los árabes 
introducen los números como los conocemos ahora, revolucionando el álgebra y 
sus métodos de cálculo. 
 
Más adelante, fueron Leonardo de Pisa junto con Fray Luca Bartolomeo quienes se 
basarían en las matemáticas árabes para realizar sus estudios, lo que marcó una 
nueva época, el Renacimiento. Es en esta época que evolucionan los números y 
aparecen los números complejos. Algunos de los aportes más significativos a las 
matemáticas son los siguientes: 
 
Francois Viéte realizó estudios muy significativos sobre la resolución de ecuaciones 
e influyó sobre sus discípulos Isaac Newton y Gottfried Leibniz. 
 
Gaspard Monge consiguió crear la geometría descriptiva. 
 
Guiseppe Ludovico Lagrangia creó sus ecuaciones de sistemas dinámicos e hizo 
descubrimientos sobre teoría de los números y las ecuaciones diferenciales. 
 
Pierre-Simon Laplace escribió libros muy importantes sobre análisis de 
probabilidades. 
 
Para el siglo XVIII Leonhard Paul Euler escribió libros sobre el álgebra y la 
mecánica, además fue un gran descubridor de las teorías del cálculo. 
 
Surgen las teorías cinemáticas, los análisis de velocidades por parte de Newton y 
las series infinitas de LaGrange. 
 
Para el siglo XIX la exactitud cobra un papel fundamental, la matemática se 
especializa y la complejidad de los cálculos y teoremas aumenta de nivel. En este 
siglo aparecen los conceptos de límite y los cálculos de aproximaciones, iniciado 
por Agustín Louis Cauchy. 
 
Johann Carl Friedrich Gauss consiguió dar una explicación al concepto de número 
complejo y evolucionar su utilización. 
 
Jean-Baptiste-Joseph Fourier consiguió hacer sumas infinitas utilizando funciones 
de trigonometría, conocidas más tarde como las series de Fourier. Estudió conjuntos 
infinitos y utilizó una aritmética de números infinitos. 
 
Surgen en este siglo las geometrías no euclídeas. Una de dichas geometrías tiene 
de peculiar que es posible trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada 
que pasen por un punto que no pertenece a esta. Georg Friedrich Bernhard 
Riemann más tarde estudiaría esto y descubriría las paralelas múltiples, como 
consecuencia en el siglo XX Albert Einstein encontraría aplicaciones en la física. 
 
Joseph Louis Lagrange y Évariste Galois consiguieron crear una teoría sobre la 
resolución de polinomios a partir de fórmulas algebraicas y fue un avance importante 
en la teoría de grupos. 
 
En el siglo XX, David Hilbert, en una conferencia de París estableció un repaso de 
23 problemas en los que afirmaban eran las metas de las investigaciones 
matemáticas. 
 
La creación de distintas herramientas de trabajo como el relé, la válvula de vacío y 
el transistor, provocó avances en el análisis numérico y han conseguido crear 
nuevas áreas de investigación matemática. 
 
Hoy, gracias a los ordenadores, los cálculos complejos se realizan con dichas 
máquinas, por tanto, gran parte de las futuras investigaciones estará enfocada en 
herramientas de trabajo para un progreso constante en esta área del conocimiento. 
 
Tras este breve recorrido histórico se puede notar la consolidación de las 
matemáticas como una ciencia, inherentes al ser humano desde una perspectiva 
práctica pero también filosófica. Las matemáticas aparecieron como una forma de 
simplificar la vida cotidiana y pronto se le dotaría de un carácter místico, religioso, 
educativo y filosófico. Sin embargo, no han sido ajenas a las circunstancias 
políticas, bélicas, económicas, religiosas y dicotómicas (racionalismo vs empirismo) 
de cada época. 
 
La primera parte de esta monografía aborda el tema “Matemáticas en Grecia: un 
esbozo hacia el racionalismo”. Se puede pensar que el título es erróneo, pues dicha 
corriente se desarrolló en Europa en el siglo XVII de la mano de Descartes, Spinoza 
y Leibniz. Sería imposible hablar del tema en dos épocas distintas, más bien, la 
intención de este primer momento es dar un recorrido por algunos matemáticos 
griegos que propiciaron el carácter abstracto de esta ciencia por sobre la 
experiencia sensorial, es decir, se enfatiza el uso de la razón por sobre los sentidos 
para hacer matemáticas. Además, se hará hincapié en las contribuciones de 
algunos personajes ya conocidos para destacar la consolidación de las matemáticas 
como una ciencia totalmente abstracta, fuera de los límites empiristas, misma que 
impera hasta nuestros días. 
 
La segunda parte trata sobre triángulos, se revisan sus características, su 
clasificación, su resolución, semejanza y congruencia, y funciones e identidades 
trigonométricas. No incluye la resolución de problemas para explicitar el contenido 
teórico, por lo que la información es de carácter meramente informativa. 
 
La tercera parte remite a algunos problemas antiguos y recientes que han existido 
en las matemáticas, famosos por la complejidad para resolverlos con las 
matemáticas disponiblesen determinada época. Su valor reside en el desarrollo y 
crecimiento de las matemáticas como ciencia tras los intentos de resolución de los 
mismos. Por ejemplo, los problemas clásicos de la antigüedad, el teorema de 
Fermat o las fórmulas para las ecuaciones de grado 3 y 4. 
 
Finalmente, se halla un apartado de conclusiones y bibliografía, esta última para 
profundizar más en los temas del presente documento. 
 
PARTE I 
 
MATEMÁTICAS EN GRECIA: UN ESBOZO HACIA EL RACIONALISMO 
 
¿En qué momento las matemáticas se emanciparon de su carácter subjetivo-
territorial para llegar a ser una “verdad” universal? Parece ser que los matemáticos 
griegos fueron responsables de ello, al empezar a formalizar el conocimiento 
matemático, demostrarlo, comprobarlo y teorizarlo (o al menos así lo indica la 
historia). 
 
Los griegos figuran en la historia de las matemáticas debido a sus grandes aportes 
a dicha ciencia. Sin embargo, esto no pudo haber sucedido sin la influencia egipcia 
y babilonia, y de ciertas “herramientas” que potenciaron el auge de la civilización. 
 
Los griegos adoptaron el alfabeto fenicio y tuvieron a su disposición el papiro, lo que 
dio pie a su desarrollo cultural y literario. Además, al tener una relación comercial 
marítima con Egipto y Babilonia, se hizo posible un intercambio de tradiciones 
culturales que nutrieron un nuevo contexto social, político y económico. 
 
La historia de esta civilización se divide en dos periodos, el clásico y el helenístico. 
Dentro del primero los aportes más importantes son los de Elementos de Euclides 
y las Secciones Cónicas de Apolonio. Estas obras fueron escritas de una manera 
sistemática y deductiva, y han sido asumidas como paradigma de las matemáticas 
y su construcción. 
 
Es importante resaltar que la forma de hacer ciencia en aquella época no dista de 
la actual: con grupos de investigadores, pequeños, alrededor de figuras 
intelectuales dirigentes. Por ello es que normalmente se recuerda solo a estas 
figuras dirigentes en vez de a todos los conglomerados. 
 
En esta civilización se desarrolló una escuela cuya principal característica fue la 
búsqueda de la explicación naturalista a varios sucesos del mundo. La idea principal 
era que el mundo estaba compuesto por unas pocas sustancias o combinaciones 
de estas. Fueron parte de ella Thales, Anaximandro, Anaxímenes, Anaxágoras y 
Pitágoras. 
 
Russell (1945) señala: “Las especulaciones de Tales, Anaximandro y Anaxímenes 
se deben considerar como hipótesis científicas y raras veces señalan intrusiones 
indebidas de deseos antropomórficos e ideas morales”. 
 
Por otro lado, Atenas constituyó una segunda referencia clave del conocimiento y 
las matemáticas. Es la ciudad de Platón, él fundó la Academia y ejerció una gran 
influencia en la filosofía y las matemáticas de la época; y de Aristóteles, quien fue 
discípulo de la academia y más tarde fundaría el Liceo. 
 
Los matemáticos presocráticos que aportaron a este enfoque son: 
 
Thales de Mileto: “Dado un punto P en el arco de un semicírculo, subtendido por un 
diámetro, entonces el ángulo en P es recto”. Thales introducía una demostración 
basándose en las diagonales de un rectángulo inscrito en un círculo, lo relevante es 
la intención por ofrecer un procedimiento deductivo de prueba. Su principal 
contribución a la ciencia fue la introducción de demostraciones. 
 
Pitágoras: Se suele atribuir a los pitagóricos el reconocimiento del carácter abstracto 
de las matemáticas. Ellos consideraban los números como elementos 
constituyentes de la realidad. Además, buscaron partir de primeras premisas para 
deducir lógicamente las proposiciones de las matemáticas. 
 
Se aprecia en los pitagóricos una idea que subestima el papel de la experiencia 
sensorial y la relación con el mundo empírico, y que busca la certeza y la verdad de 
la razón en el examen interno de la mente. Es probable que la opinión, ideológica o 
religiosa, que afirma que es en la mente donde se debe buscar verdad, certeza, y 
perfección dirigiera a los miembros de esta secta hacia las matemáticas. El éxito 
obtenido en las matemáticas habría potenciado su percepción sobre el papel de la 
introspección frente a la experiencia sensible. 
 
Las matemáticas en sí mismas podían dar cuenta del mundo. Sus proposiciones o 
resultados no eran recursos teóricos por contrastar en el mundo por medio de la 
observación y la experiencia, sino verdades, y además absolutas y eternas. Esta 
tendencia, cuyos orígenes podemos atribuirlos a los pitagóricos, fue retomada y 
ampliada teóricamente por uno de los más influyentes filósofos de todos los tiempos: 
Platón. 
 
Atenas fue una ciudad dirigente política y culturalmente, destacándose la literatura, 
la filosofía, las ciencias y las artes. Esta ciudad está asociada con Sócrates, Platón, 
Aristóteles, Epicuro, Sófocles, Aristófanes, Heródoto, Eudoxo, Anaxágoras, etc. 
 
En relación a Platón, estuvo influenciado por Parménides quien niega a los sentidos 
la posibilidad de generar conocimiento y de los Pitagóricos en su valoración de los 
números. Fue Platón el que estableció con claridad el carácter abstracto de las 
matemáticas y sus entidades y afirmó las matemáticas como una preparación para 
la filosofía y para el conocimiento de un mundo ideal que era considerado el único 
verdadero. 
 
Platón distinguió entre los objetos físicos y los entes abstractos como en las 
matemáticas, declaró que el mundo físico era imperfecto, una realización imperfecta 
de un mundo ideal perfecto. El conocimiento infalible solo puede serlo sobre ese 
mundo ideal, cuyos entes y relaciones son permanentes, incorruptibles y eternas. 
Es en este contexto intelectual que se deben explicar dos de los supuestos aportes 
de la escuela platónica: el método analítico y el método de reducción al absurdo. 
 
Para Platón, el conocimiento debe organizarse de manera deductiva. Podemos 
decir que fue este filósofo quien sistematizó estas reglas para la demostración 
rigurosa. Es decir: organización deductiva a partir de verdades conocidas. La 
realidad es que se estaba estableciendo una metodología para la creación del 
conocimiento matemático. Pero de una manera en que se eliminaban 
procedimientos y hechos aceptados en las matemáticas desde siglos antes de los 
griegos, que hacían referencia a la heurística, la intuición, la inducción, la 
exploración sensorial, la vinculación con lo empírico, etc. 
 
Lo anterior debido a que los filósofos buscaban obtener verdades libres de error. 
Por tanto, los matemáticos, con la deducción, se posibilitaba la obtención de 
resultados verdaderos, seguros. La inducción o la experimentación no lo permitían. 
 
Es a partir de ese momento que se establece la deducción como el método exigido, 
exclusivo de las matemáticas. Platón consideraba las observaciones y los 
experimentos sin valor o incluso dañinos. Sin embargo, él consideraba que las 
matemáticas resultaban un instrumento pedagógico esencial para la mente, 
permitía potenciar el razonamiento abstracto necesario para comprender las 
formas. 
 
De Eudoxo se puede decir que fue el principal matemático de la Academia de 
Platón. Él, al introducir las magnitudes como un mecanismo para poder utilizar los 
inconmensurables en la geometría, tuvo que subrayar la importancia de la 
deducción a partir de axiomas explícitos. Esto indica que los trabajos de Eudoxo 
debieron ejercer influencia decisiva en una obra que afirmó la axiomática y el 
método deductivo en las matemáticas: los Elementos de Euclides. 
 
Respecto a Aristóteles, él fue el más distinguido discípulo de la Academia de Platón. 
A diferencia de Sócrates y Platón, reemplazó la dialéctica con una lógica silogística, 
la cual se convirtió en la esencia del método deductivo desarrollado por Aristóteles 
 
Él distinguía entre los planos terrestres y celestiales. El segundo plano no podía ser 
aprehendido por la experiencia humana; el primero se podía organizar en un 
sistema que incluía todo el conocimiento desdela biología y psicología, hasta la 
política y la metafísica. 
 
Para Aristóteles, los números y las formas geométricas también son propiedades 
de los objetos reales y se accede a ellos a través de la abstracción y la 
generalización. Dice que las matemáticas, básicamente, refieren a conceptos 
abstractos derivados de propiedades de los objetos del mundo físico. 
 
En cuanto a las matemáticas, él separo los axiomas y las nociones comunes de los 
postulados, los primeros aplicables a todas las ciencias y los segundos sólo a una 
ciencia cualquiera. Por otra parte, sistematizó las reglas para el razonamiento lógico 
correcto como la ley del tercero excluido, la ley de la contradicción, etc. 
 
Él enfatizaba la deducción en la prueba matemática, es decir, el establecimiento de 
la verdad de las proposiciones matemáticas. 
 
En cuanto a la etapa Alejandrina hubo diversidad e intercambios culturales gracias 
a la expansión de macedonia, como lo fue el contacto con otras civilizaciones desde 
la India a Egipto, pasando por Mesopotamia. 
 
Matemáticos posteriores como Euclides (Alejandrino), Apolonio (griego) y 
Arquímedes (griego) contribuyeron al desarrollo de las matemáticas bajo la 
influencia del trabajo desarrollado en Atenas. Euclides con su obra “Elementos” y 
Apolonio con “Sobre las secciones cónicas”. Respecto a Arquímedes, es 
considerado el matemático más brillante de toda la antigüedad, su trabajo 
geométrico fue el punto máximo de la matemática alejandrina. 
 
Esta revisión presocrática y ateniense de las matemáticas enfatiza el carácter 
racionalista que se impregno en la época y su influencia posterior gracias a la 
filosofía Platónica. La posición epistemológica de Platón era duramente crítica de 
las tendencias materialistas o empiristas de la época. Atacó de una manera 
sistemática la actitud de los naturalistas jónicos y especialmente al atomismo de 
Leucipo y Demócrito. Buscó un apuntalamiento del misticismo y las actitudes 
espiritualistas y de todas aquellas posiciones intelectuales contrarias a la búsqueda 
del conocimiento a través de la práctica o de la experiencia sensorial o intuitiva. 
 
Sin embargo, su discípulo Aristóteles rompió con esta visión Platónica (en cierto 
grado). En lugar de un “mundo de Formas” o “universales” en el vacío, afirmó que 
los “universales” existían en las cosas reales, físicas. Él Adoptó una forma de 
investigación empírica que más tarde sus discípulos se encargarían de extender. 
 
Aunque la realidad es que Aristóteles no rompió totalmente con Platón ni con el 
racionalismo ya que buena parte de sus escritos rechazaban de hecho la 
experiencia sensorial y están cargados de categorías y recursos mentales que se 
juzgan verdaderos, absolutos e infalibles. 
 
En conclusión, en la historia de las matemáticas, se enfatiza este carácter 
racionalista, pasando por las demostraciones de Tales y Pitágoras, posteriormente 
a la axiomática de Euclides y así sucesivamente con otros matemáticos ulteriores. 
Es decir, la visión empírica (la experiencia sensorial en la determinación de la 
verdad en matemáticas) ha sido objeto de oposición epistemológica al racionalismo 
desde la Grecia presocrática hasta nuestros días. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE II 
 
SOBRE TRIGONOMETRÍA 
 
Triángulo 
 
Un triángulo es la porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. 
Puede reconocerse que: 
 
• Los puntos de intersección son los vértices del triángulo: A, B y C 
• Los segmentos determinados, son lados del triángulo: a, b y c 
• Los lados forman los ángulos interiores que se nombran por las letras de los 
vértices. El lado opuesto a un ángulo se nombra con la misma letra, pero en 
minúscula 
• Un triángulo tiene elementos: 3 ángulos, 3 lados y 3 vértices 
 
Características de los segmentos de un triángulo 
 
Las características de los segmentos que forman un triángulo son: 
 
• En dos triángulos iguales a ángulos iguales se oponen lados iguales y 
recíprocamente. Estos lados y ángulos se llaman homólogos. 
• En un triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que 
la diferencia. 
• En un triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente 
• En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente iguales y desigual el 
ángulo comprendido, a mayor ángulo se opone mayor lado 
• La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también 
mediana y bisectriz del ángulo 
 
Clasificación de los triángulos 
 
Atendiendo a la clasificación, su clasificación es: 
 
• Triángulo isósceles: Es el que tiene dos lados iguales. Los ángulos opuestos 
a dichos lados son iguales. El lado desigual se suele llamar “base del 
triángulo” 
• Triángulo equilátero: Es el que tiene sus tres lados iguales. Los tres ángulos 
también son iguales. 
• Triángulo escaleno: Es el que tiene sus tres lados desiguales. Sus ángulos 
también son desiguales. 
 
De acuerdo a sus ángulos, su clasificación es: 
 
• Acutángulo: Es el que tiene los tres ángulos agudos 
• Obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso 
• Rectángulo: Es el que tiene un ángulo recto. Los lados del triángulo 
rectángulo reciben nombres especiales: catetos. Son los lados que forman el 
ángulo recto. Hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. 
 
Congruencia y semejanza del triángulo 
 
Congruencia: Dos triángulos son iguales si superpuestos coinciden. Sin embargo, 
para demostrar que dos triángulos son iguales no es necesario mostrar las tres 
igualdades entre sus lados y las tres igualdades entre sus ángulos. 
 
• Primer caso: Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual, y 
respectivamente iguales los ángulos adyacentes a ese lado. 
• Segundo caso: Dos triángulos son iguales si tienen dos lados y el ángulo 
comprendido entre ellos, respectivamente iguales. 
• Tercer caso: Dos triángulos son iguales si tienen sus tres lados 
respectivamente iguales. 
 
En la igualdad de los triángulos rectángulos, podemos considerar los siguientes 
casos: 
 
• Primer caso: La hipotenusa y un ángulo agudo son iguales. 
• Segundo caso: Un cateto y un ángulo agudo iguales. 
• Tercer caso: Los dos catetos iguales. 
• Cuarto caso: La hipotenusa y un cateto iguales. 
 
Semejanza: Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos 
respectivamente iguales y sus lados proporcionales. Para asegurar la semejanza 
de los triángulos no es necesaria la comprobación de todas las condiciones. El 
hecho de tener algunas, determina todas las demás, con las diferencias que 
implique cada caso. 
 
• Primer caso: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos 
respectivamente iguales. 
• Segundo caso: Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados 
proporcionales e igual el ángulo comprendido. 
• Tercer caso: Dos triángulos son semejantes cuando tienen proporcionales 
sus tres lados. 
 
En la semejanza de los triángulos rectángulos, como tienen un ángulo igual, el 
ángulo recto, los tres casos anteriores se convierten en los siguientes. 
 
• Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando: 
• Primer caso: Tienen un ángulo agudo igual. 
• Segundo caso: Tienen los catetos proporcionales. 
• Tercer caso: La hipotenusa y un cateto proporcionales. 
 
Resolución de triángulos 
 
Un triángulo consta de seis elementos: 3 ángulos y 3 lados. Resolver un triángulo 
consiste en calcular 3 de los elementos cuando se conocen los otros tres. 
 
Triángulos rectángulos: En el caso de estos triángulos, como tienen un ángulo recto, 
están determinados, es decir, se pueden resolver cuando se conocen dos de sus 
elementos, siempre que uno sea un lado. 
 
• Primer caso: Dados dos catetos. 
• Segundo caso: Dados un cateto y la hipotenusa. 
• Tercer caso: Dados un cateto y un ángulo agudo. 
• Cuarto caso: Dados la hipotenusa y un ángulo agudo 
 
Triángulos oblicuángulos: Se puede aplicar la ley de senos, la ley de cosenos y la 
ley de tangentes. 
 
• Ley de senos: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de 
los ángulos opuestos.• Ley de cosenos: El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma 
de los cuadrados de los otros dos lados, menos el duplo del producto de 
dichos lados, por coseno del ángulo que forman. 
• Ley de tangentes: En todo triángulo oblicuángulo, la diferencia de dos de sus 
lados es a su suma como la tangente de la mitad de la diferencia de los 
ángulos opuestos a esos lados es a la tangente de la mitad de la suma de 
dichos ángulos. 
 
Funciones trigonométricas 
 
Las funciones o razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo 
rectángulo son: 
 
• Seno: Es la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa 
• Coseno: Es la razón entre el cateto adyacente a la hipotenusa 
• Tangente: Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente 
• Cotangente: Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto 
• Secante: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente 
• Cosecante: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto 
 
Las funciones o razones trigonométricas de un ángulo cualquiera son: 
 
• Seno: Es la razón entre la ordenada y la distancia al origen 
• Coseno: Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen 
• Tangente: Es la razón entre la ordenada y la abscisa 
• Cotangente: En la razón entre la abscisa y la ordenada 
• Secante: Es la razón entre la distancia al origen y la abscisa 
• Cosecante: Es la razón entre la distancia al origen y la ordenada 
 
Identidades trigonométricas 
 
Son igualdades que se cumplen para cualesquiera valores del ángulo que aparece 
en la igualdad. 
 
Se expresan todos los términos de la igualdad en función del seno y coseno y se 
efectúan las operaciones indicadas, consiguiéndose así la identidad de ambos 
miembros. 
 
Existen del tipo 
 
Pitagóricas 
𝑠𝑒𝑛2 ∝ +𝑐𝑜𝑠2 ∝= 1 
1 + 𝑡𝑎𝑛2 ∝= 𝑠𝑒𝑐2 ∝ 
1 + 𝑐𝑜𝑡2 ∝= 𝑐𝑠𝑐2 
 
Recíprocas 
 
𝑠𝑒𝑛 ∝=
1
csc 𝑥
 
 
𝑐𝑜𝑠 ∝=
1
sec 𝑥
 
 
𝑡𝑎𝑛 ∝=
1
cot 𝑥
 
 
𝑐𝑜𝑡 ∝=
1
tan 𝑥
 
 
𝑠𝑒𝑐 ∝=
1
cos 𝑥
 
 
𝑐𝑠𝑐 ∝=
1
sen 𝑥
 
 
 
Cocientes 
 
𝑡𝑎𝑛 ∝=
𝑠𝑒𝑛 ∝
𝑐𝑜𝑠 ∝
 
 
𝑐𝑜𝑡 ∝=
𝑐𝑜𝑠 ∝
𝑠𝑒𝑛 ∝
 
 
PARTE III 
 
PROBLEMAS CLÁSICOS Y SUS REPERCUSIONES EN EL DESARROLLO DE 
LAS MATEMÁTICAS 
 
Tres problemas clásicos de la antigüedad 
Duplicación del cubo 
 
 
 
 
 
Este es uno de los problemas que aparecieron en el siglo V a.C., surge a raíz de 
una consulta al oráculo de Delos tras una peste devastadora que azotaba a Atenas. 
Las palabras del oráculo fueron “El cruel azote de la peste terminará con la fórmula 
que mi altar duplicará”. El altar tenía forma cuadrada. 
Los griegos tenían que construir un altar con el doble de volumen. Posiblemente el 
sentido común los llevó a pensar que duplicando las medidas de los lados 
obtendrían un cubo con el doble de volumen, pero al construir dicho cubo se dieron 
cuenta que no era lo que ellos habían previsto, por consiguiente, la peste no terminó. 
Remontarnos a aquella época nos revela la limitación que impidió resolver este 
problema. Los geómetras griegos solo podían usar regla y compás debido a una 
premisa estética impuesta por Platón. Ante ello resolver la duplicación del cubo 
(unido a otros dos problemas que veremos más adelante) no encuadraba dentro de 
la geometría de polígonos y poliedros, de segmentos, círculos y cuerpos redondos, 
conocidos en esa época. 
Su solución requería utilizar otras figuras o medios que iban más allá de las 
construcciones fundadas en las intersecciones de las rectas y circunferencias 
hechas exclusivamente con los instrumentos platónicos. 
Además, hay que considerar que los griegos no sabían extraer la raíz cúbica de 
números que no fueran perfectos. En suma, con lo anterior, resolver este problema 
fue imposible para ellos. 
El problema consiste en lo siguiente: construir el lado de un cubo cuyo volumen sea 
el doble del volumen del cubo inicial. Para eso habría que construir un segmento de 
longitud igual a la raíz cúbica de 2. Sin embargo, esto es imposible utilizando solo 
regla y compás. 
Por unos 2200 años más se abordó el problema. Algunos matemáticos encontraron 
una solución, peri tuvieron que utilizar otras técnicas e instrumentos. 
Hipócrates de Quios demostró que el problema se podía reducir a encontrar dos 
medidas proporcionales. 
Arquitas de Tarento encontró una solución, no con regla y compás, sino como 
intersección de superficies tridimensionales. 
Menecmo, tratando de resolver el problema descubrió las cónicas. Al igual que 
Hipócrates, redujo el problema a encontrar dos medidas proporcionales. 
Eudoxo de Cnido elaboró la teoría de las proporciones y aunque su solución al 
problema se perdió, se sabe de su existencia por Eratóstenes. 
Eratóstenes de Cirene construyó un aparato mecánico, llamado mesolabio que 
permitía calcular las medidas proporcionales de Hipócrates. 
Destacan también los trabajos de Apolonio y Herón, Phylon, Diocles y, tras un salto 
en el tiempo matemáticos como Descartes, Gauss y Abel también probaron suerte 
con el problema. Pero no fue hasta el siglo XIX cuando el matemático francés Pierre-
Laurent Wantzel demostró la imposibilidad de resolver la duplicación del cubo 
usando solamente regla y compás. 
Como consecuencias del problema surgió la sección de cónicas, el descubrimiento 
de los inconmensurables o números irracionales y el método de exhausción (cálculo 
aproximado de Pi). 
La influencia en las matemáticas griegas contribuyó a que las secciones cónicas se 
convirtieran en un método para abordar problemas que podían ser resueltos con 
regla y compás. 
El descubrimiento de los inconmensurables puso de manifiesto la incapacidad de 
los números naturales y sus razones para dar cuenta de algunas propiedades 
fundamentales dentro de la geometría. Por ejemplo, para comparar la diagonal de 
un cuadrado, de un cubo o de un pentágono regular con su arista o lado 
respectivamente. 
Finalmente, el método de exhausción para el cálculo aproximado de Pi fue una de 
las mayores contribuciones que hizo Arquímedes a las matemáticas. Su método 
obtiene un valor aproximado de dicho número a partir de los perímetros de los 
polígonos inscritos y circunscritos sobre determinado círculo. 
Cuadratura del círculo. 
Al igual que la duplicación del cubo, los matemáticos griegos intentaron resolver 
este problema utilizando únicamente la regla y compás. El intento por resolverlo 
continuó hasta finales del siglo XIX. 
El problema consiste en la búsqueda de un cuadrado de área equivalente a la de 
un círculo dado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sin embargo, este problema no tiene solución con regla y compás. El primer 
matemático que intentó resolverlo fue Anaxágoras de Clezomone, posteriormente 
Hipócrates de Chios también dedicó esfuerzos, pero sin éxito. 
Dinóstrato, griego matemático no vinculado a la escuela de Platón, demostró que 
es posible rectificar la circunferencia y, por consiguiente, resolver la cuadratura del 
círculo. Para ello utilizó la Cuadratriz de Hipias, aunque sin la restricción del solo 
uso de la regla y el compás. 
También contribuyeron Antifón y Brisón. La solución del primero influyó en 
Arquímides de Sicarusa. 
Sin embargo, el problema es irresoluble. La solución conduce a la ecuación que 
tiene como variable la medida del lado del cuadrado de área equivalente al área del 
círculo de radio unidad. Dicha ecuación es 𝑥2 = 𝜋, en ella el coeficiente 𝜋 del 
término independiente no es algebraico. 
En 1882, Ferdinand Lindermann demostró que 𝜋 era trascendente y no algebraico, 
por tanto, no podía ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racioneales. 
A través de esta demostración queda probado que no puede cuadrarse un círculo 
de radio dado. 
La intención de los matemáticos griegos de resolver este problema en la Grecia 
antigua condujo a la introducción de aproximaciones del área del círculo por 
polígonos inscritos o circunscritos y el cálculo del número 𝜋. 
Lo que existe en nuestrosdías son métodos geométricos de aproximación a través 
de construcciones sencillas y con el menor número de pasos posibles. 
 
 
Trisección del ángulo 
De los tres problemas clásicos, este es el menos famoso. Al igual que los dos 
anteriores, las estrictas normas sobre construcciones geométricas establecían que 
los instrumentos permitidos eran la regla (sin marcas) y el compás. 
El problema de la trisección del triángulo consiste en dividir un ángulo cualquiera en 
tres partes iguales. 
 
 
 
 
 
 
Hay que considerar que con los instrumentos de construcción se podían trisecar 
ciertos ángulos, por ejemplo, el ángulo recto. Además, es posible que la 
construcción de polígonos regulares aumentara el interés por resolver el problema 
debido a que al bisecar un ángulo permitía construir con el doble de número de 
lados, por consiguiente, dividir un ángulo en tres partes iguales, permitiría construir 
polígonos con el triple del número de lados. 
Sin embargo, el problema de la trisección de un ángulo cualquiera no puede ser 
resuelto usando solamente regla y compás, pero se tiene conocimiento de muchos 
intentos por resolver el problema y de soluciones al mismo utilizando otros recursos. 
Tal es el caso de la solución de Arquímedes; mediante un método aproximado; con 
instrumentos mecánicos; mediante curvas. Estas son soluciones alternativas a las 
estrictas normas griegas. 
Así que, como el problema no estaba resuelto, quedó abierto durante siglos, sin que 
nadie tuviera solución. Fue hasta el siglo XIX que, utilizando el lenguaje algebraico, 
se logró demostrar que el problema de la trisección del ángulo no tenía solución 
usando solo regla y compás. 
Los tres problemas clásicos de la antigüedad hicieron pensar a grandes 
matemáticos, motivaron el desarrollo de diversas áreas de las matemáticas y el 
descubrimiento de nuevas teorías. 
Partes del álgebra, la geometría y el cálculo surgieron o se enriquecieron con el 
estudio de estos problemas. Un ejemplo de ello son las cónicas, la teoría de 
ecuaciones, la teoría de grupos, entre otros. 
 
Método de la falsa posición 
Durante muchos siglos, los métodos aritméticos fueron utilizados para resolver 
problemas que requerían el planteamiento de ecuaciones lineales derivados de 
situaciones prácticas (transacciones comerciales) en . Sin embargo, tras la aparición 
del álgebra, los métodos algebraicos fueron sustituyendo a los aritméticos hasta 
relegarlos a simples métodos de aproximación. 
Tal es el caso de la regla de la falsa posición, utilizada hasta el siglo XVIII. Se trata 
de un procedimiento aritmético que permite resolver ecuaciones lineales. Parte de 
un valor cualquiera (método simple) o de dos valores (doble falsa posición). A partir 
de estas falsas posiciones se obtiene la solución de la ecuación por 
proporcionalidad. 
A modo de ejemplo: 
1) Calcula un número, tal que tres veces dicho número más él mismo de como 
resultado 28. 
Para resolver partimos de un número cualquiera. Sea 4, el número 4 por 3 más 4 
es 16, distinto de 28. Se trata de una falsa posición. Para encontrar la posición 
verdadera procedemos por proporcionalidad. 
4
𝑥
=
16
28
 
Luego 𝑥 = 7 
2) Halla un número tal que cinco veces ese número menos 10 sea 0. 
Para resolver este problema partimos de dos posiciones. Sean 3 y 4. Para 3: 5*3-
10=5 y para 4: 5*4-10=10. 
Para obtener la solución calculamos 
𝑥 =
(10 ∗ 3) − (5 ∗ 4)
10 − 5
= 2 
Que es la solución del problema. 
La obtención de dichos valores se obtiene de la siguiente manera (Orts, 2007) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La evolución en el tratamiento del método de la falsa posición resalta que, en primer 
momento, el interés de este se centra en aspectos prácticos (transacciones 
comerciales) y en segundo momento, tras la aparición del álgebra, comienzan a 
combinarse ambos métodos. 
Posiblemente el abandono de esta regla (en el currículo) fue en beneficio del método 
cartesiano debido a que resulta más natural, además de tener carácter universal. 
Álgebra retórica 
En sus inicios, el álgebra no utilizaba símbolos como lo conocemos hoy. La solución 
del problema se describía en lenguaje natural. A esta etapa del álgebra se le llama 
fase retórica (antes de Diofanto), después vendría la fase sincopada o lacónica 
(dado entre Diofanto y Vieta) y, finalmente, llegaría la fase simbólica (inicia con 
Vieta). 
En las distintas etapas del álgebra se abordan problemas similares con diferentes 
aparatos conceptuales. Por ejemplo, en el álgebra retórica, el enunciado y la 
resolución de un determinado problema era totalmente verbal, los problemas eran 
muy particulares y no había métodos generales de resolución. Comprendió una 
época desde el 4,000 a. de C. hasta el 300 a. de C. que fue época de la matemática 
babilónica, egipcia y griega. 
Como ejemplo se comparte el siguiente problema junto con su solución retórica. 
“Entre dos vasos A y B de igual capacidad se distribuyen en partes desiguales 10 
litros de agua. El vaso A se llenaría si se vertiesen los 4/5 del agua contenida en B, 
y éste se llenaría si se añadiesen los 3/4 del agua contenida en A. Calcular el agua 
contenida en cada vaso y su capacidad.” 
Solución 
1) Al trasvasar de un vaso a otro, éste se llena; y lo que queda en el primero, es el 
complemento a 10 litros. 
2) Y esto se cumple sin importar de cuál a cuál se trasvase (pues los dos vasos 
tienen la misma capacidad). 
3) De aquí que 1/4 de lo que tiene A es lo mismo que 1/5 de lo que tiene B. (Pues 
es lo que quedaría en cada uno después del trasvase al otro.) 
4) Pero, como entre los dos tienen 10 litros, entonces las quintas partes de lo que 
tienen suman 2. 
5) De aquí que 1/5 de lo que hay en A más 1/4 de ese mismo contenido tiene que 
ser 2 litros. (Porque ese 1/4 es equivalente a 1/5 del contenido de B, como ya 
habíamos quedado.) 
6) Y 1/4+1/5 suman 9/20. Por tanto 9/20 de lo que hay en A equivale a 2 litros. 
7) Pero entonces 20/9 de 2 litros es lo que hay en A. 
8) Y, como se sabe, 20/9 de 2 son tantos litros como 40/9. 
9) De aquí que en B tiene que haber tantos litros como el complemento a 10, es 
decir, 50/9. 
La utilización de símbolos algebraicos permitiría economizar recursos cognitivos al 
resolver este problema. Con ello se puede dar cuenta de lo útil que es la 
simbolización al resolver este tipo de problemas. 
Álgebra sincopada 
La segunda época, la sincopada, se caracteriza porque sustituye a los conceptos y 
operaciones que se usaban más frecuentemente por abreviaturas, de esta manera 
el álgebra sincopada era una especie de taquigrafía, Sin embargo, los 
procedimientos de cálculo siguen siendo orales. Comprende del siglo III al XIV y se 
identifica con la matemática hindú, árabe. 
En el álgebra de al-Khwârizmî, todos los problemas y su resolución se expresan 
solamente mediante el uso de palabras. Aunque si bien se recurre a la exposición 
verbal, utiliza, para conceptos y operaciones que aparecen a menudo, siempre las 
mismas abreviaturas en lugar de las palabras completas. 
Ecuaciones diofánticas 
Diofanto de Alejandría es conocido como el padre del Álgebra. En su libro Aritmética 
comparte la solución a ecuaciones algebraicas. En esta obra realiza sus estudios 
de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas). 
Su contribución en el campo de la notación es sobresaliente, introdujo importantes 
novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida y para 
la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita. 
Por ello, una ecuación diofántica es aquella que tiene solamente coeficientes 
enteros y cuyas soluciones son también números enteros. 
Un ejemplo de ecuación diofántica se encuentra en su epitafio, rezaba la siguiente 
leyenda: 
“Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto:es él quien con esta sorprendente 
distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de 
su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. 
Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años 
después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su 
padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, 
llorándole, durante cuatro años.” 
De todo esto se deduce su edad 
𝑥
6
+
𝑥
12
+
𝑥
7
+ 5 +
𝑥
2
+ 4 = 𝑥 
Ecuaciones diofánticas lineales 
Una ecuación diofántica lineal de dos variables es una ecuación de la forma 
a*x+b*y=c 
siendo a, b y c números enteros dados. 
Diofanto trabajó en la solución de ecuaciones de este tipo sin estar sujeto a un 
sistema. Él utilizó el algoritmo de Euclides. 
Sea la ecuación 29𝑥 + 4 = 8𝑦, para solucionarla primero debemos determinar el 𝑚𝑐𝑑 
(29,8) ya que este debe dividir a 4 es importante que el máximo común divisor de 𝑎 
y 𝑏 divida a 4, si no es así se debe buscar una ecuación equivalente a la dada que 
tenga como 𝑚𝑐𝑑 (𝑎, 𝑏) = 1, verificado a esto se procederá a utilizar el algoritmo de 
Euclides establecido para teoría de números, de tal manera qué: 
8 = 29(0) + 8, de esta manera se expresará de la siguiente forma 𝑥 = 0𝑦 + 𝑧 
Luego se realiza la división del divisor entre el resto de tal forma qué 
29 = 8(3) + 5, expresándola de forma 𝑦 = 3𝑧 + 𝑡 
Continuamos con 8 = 5(1) + 3, expresándola como 𝑧 = 1𝑡 + 𝑢 
Ahora 5 = 3(1) + 2, expresándola como 𝑡 = 1𝑢 + 𝑣 
Luego 3 = 2(1) + 1, expresándola como 𝑢 = 1𝑣 + 𝑤 
Desde lo anterior Diofanto establece que las divisiones se realizan hasta que el 
residuo sea 1, luego de eso hay que observar cuantas divisiones se efectuaron en 
nuestro caso fueron 5, esto es importante para establecer un 𝑐´ que será negativo 
cuando el número de divisiones sea impar y será positivo cuando el número de 
divisiones sea par, agregado a esto esté viene dado de la forma 𝑐´ = −𝑐 en este caso 
es negativo porque el número de operaciones efectuadas es impar, de esta manera 
nuestro 𝑐´ = −4, luego de esto se establece lo siguiente 𝑣 + 𝑐´ = 𝑔𝑤 de los cuales 𝑐´ 
ya se conoce y 𝑔 es el residuo de la penúltima división, de este modo se obtiene 
qué: 
𝑣 − 4 = 2𝑤 
Cuando se llega a estese le asigna un valor cualquiera a 𝑤 y se obtiene el 𝑣, luego 
de obtener el 𝑣 y como ya se conoce el 𝑤 nos devolvemos a las expresiones que 
habíamos dejado con las ecuaciones, llegando así a obtener los valores de 𝑥 e 𝑦. 
Para nuestro caso asignamos un valor de 𝑤 = 2 y con este obtuvimos como 
soluciones a 𝑥 = 24 y 𝑦 = 87 quienes son soluciones a la ecuación diofántica 
planteada. Ahora con este método se pueden obtener infinitas soluciones en los 
números enteros. 
Teorema de Fermat 
Entre las ecuaciones Diofánticas más famosas se encuentran las pitagóricas, de la 
forma 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 0. En 1621, una edición comentada por Bachet de la obra de 
Diofanto “Arithmetica”, llegó a las manos de Pierre de Fermat. Él realizó 48 
observaciones originales en los márgenes del ejemplar que poseía. Dichas 
anotaciones exponían, sin demostración, el “último teorema de Fermat”. En el 
precioso ejemplar de la edición de Bachet que poseía él dijo "haber encontrado una 
gran luz". 
Su proposición decía “Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un 
bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del 
cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración 
realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla”. 
Los antecedentes de esta proposición pueden rastrearse al Teorema de Pitágoras. 
Los griegos sabían que el triángulo de lados 3; 4 y 5 es un triángulo rectángulo. Fue 
Pitágoras quién demostró que en todo triángulo rectángulo los lados de dicho 
triángulo se relacionan mediante la siguiente ecuación: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 donde, a y b 
son las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa. 
Se llaman ternas pitagóricas al conjunto de números enteros que cumplen con dicha 
relación, tal es el caso del triángulo de lados 3; 4 y 5. 
Surge la pregunta: ¿Es posible encontrar ternas de números enteros que cumplan 
con 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑧3 ó 𝑥4 + 𝑦4 = 𝑧4,... o aún un caso más general 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 cuando 
n > 2? Pues, si n =1, se tiene x + y = z, que tiene infinitas soluciones, se trata de la 
ley de clausura del conjunto de los naturales; además si n=2, entonces 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 
también tiene infinitas soluciones, se trata del teorema de Pitágoras restringida a los 
números enteros (ternas pitagóricas). 
Según Pierre de Fermat habría encontrado una demostración admirable en 1637 en 
la que se concluye que no es posible encontrar soluciones a dicha ecuación con 
números enteros. Como tal demostración nunca pudo encontrarse, significó un reto 
para las generaciones de matemáticos que le siguieron. 
Leonhard Euler (1707-1783), utilizando el método de descenso infinito encontró una 
demostración para el caso 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑧3, sin embargo, esta última demostración 
incluye la aceptación de la existencia de los números denominados imaginarios, es 
decir i = √-1. 
Euler insinuó que no habría forma de resolver el teorema general. Sin embargo, 
surgió una idea que abrigaría una esperanza. Pues, si no es posible resolver para 
el caso cuando n = 4, tampoco sería posible para el caso donde n fuera múltiplo de 
4, es decir 8, 12, 16, ... 4m; pues en cualquier caso tales ecuaciones se reducen a 
una forma 𝑥4 + 𝑦4 = 𝑧4, imposible de tener soluciones enteras. Lo mismo pasaría 
en el caso de n = 3, tampoco tendrían soluciones las potencias de 3, es decir, 6, 9, 
12, 15, ...3p. Consecuentemente, conforme al teorema fundamental de la Aritmética, 
que afirma que todo número entero se puede descomponer en el producto de 
números primos, entonces sería suficiente demostrar que la ecuación 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 
no tiene solución con números enteros cuando n es un número primo mayor que 2. 
La francesa Sophie Germain (1776-1831) bosquejó un cálculo que se concentraba 
en un caso más general de los números primos p tal que P = 2p + 1, también es un 
número primo. Tales como 5 porque 2x5+1 = 11 que también es primo, etc., pero 
no incluye en su lista al 13 porque 2x13 + 1 = 27, y 27 no es primo. Sophie Germain 
utilizando un refinado argumento concluyó que cuando n es igual a estos primos la 
ecuación 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 probablemente no tenga soluciones. El autor, afirma que con 
este método Sophie Germaín logró demostrar que el Teorema de Fermat-Wiles era 
cierto para todos los números primos regulares menores de 100. Esta era la primera 
demostración no para casos particulares sino para una clase de números. Sin duda 
alguna un enorme progreso. 
En 1825 se produce otro pequeño avance: Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859) y 
Adrien-Marie Legendre (1752-1833), ambos en forma independiente demostraron 
que cuando n = 5 no tiene solución. Ellos utilizaron los resultados de S. Germain. 
Pocos años más tarde Gabriel Lamé (1795-1870) demostró que cuando n = 7 
tampoco existe solución. 
Estos avances súbitamente fueron alertados por un argumento de Ernest Kummer 
(1810-1893). Las demostraciones realizadas hasta la fecha, aún sin mencionarlas 
estaban basadas en el reconocimiento implícito de que la factorización es única. Así 
pues, los dominios de factorización única DFU, como en el caso de los números 
enteros, cuando se factoriza un número, sólo se puede hacer de una única manera 
como producto de números primos (salvo el orden); sin embargo, desde Leonhard 
Euler para el caso n = 3 había habido necesidad de introducir los números complejos 
que están formados por una parte real y otra parte imaginaria, siendo todo número 
de la forma a + bi. Pero los números complejos no son dominios de factorización 
única, sino que admiten varias factorizaciones.Por ejemplo 15 = 3 x 5; pero también 
15 = (2 + √11 i) (2 - √11 i) = (3 + √6 i) (3 - √6 i) ... es decir, no hay factorización única. 
Kummer desarrolló una poderosa estrategia para demostrar que la conjetura de 
Fermat era cierta para una clase de exponentes, los exponentes primos regulares 
(los números primos que mediante un artificio podían ser aceptados como casos de 
factorización única, es decir un grupo de clase de ideales). Para el efecto hubo 
necesidad de crear el concepto de Ideal dentro de un anillo, como es el caso de los 
múltiplos de un número entero, pero un número ideal no es en realidad un número, 
se trata de símbolos que se comportan de forma muy parecida a los números. De 
esta manera demostró que todo entero ciclotómico puede factorizarse 
unívocamente en números primos ideales. Así Kummer anunció que se podía 
demostrar que el último Teorema de Fermat, se podía demostrar para un número 
grande de exponentes, a los que llamó primos regulares (en adelante para referirnos 
al último teorema de Fermat-Willes, que es la denominación actual, sólo se escribirá 
TFW) 
Kummer había probado que una demostración completa del TFW estaba más allá 
de las técnicas matemáticas conocidas hasta ese momento. Su argumento era una 
pieza brillante de lógica matemática y a su vez un duro golpe para la generación de 
matemáticos que tenían la esperanza de lograr una demostración que ya había 
anunciado Pierre de Fermat en 1637. 
Después de la Segunda Guerra Mundial con el desarrollo de las computadoras y 
después de haber descubierto un error en el trabajo de Cauchy y Lamé, Kummer 
mostró que lo que faltaba para probar el TFW era resolver los casos en los que n 
es igual a un número primo irregular (los únicos primos irregulares menores de 100 
son 37; 59 y 67; sin embargo los primos irregulares son infinitos), por tanto, para 
lograr una demostración del TFW había que demostrar que lo era cuando los 
exponentes eran primos irregulares, pero los cálculos eran tediosos y muy 
complicados. 
El propio Kummer y su colega Dimitri Mirimanoff dedicaron varias semanas al 
cálculo de los tres primeros primos irregulares. Varias décadas después con la 
ayuda de la naciente tecnología de las computadoras estos cálculos se abreviarían 
y así en la década de los ochenta, Samuel S. Wagstaff (1945) de la Universidad de 
Illinois llegaría a comprobar que el último teorema de Fermat no tiene solución 
cuando n toma valores hasta veinticinco mil. Otros trabajos más recientes se han 
realizado con computadoras más veloces y de mayor capacidad y se ha logrado 
verificar que el último teorema de Fermat es verdadero para todos los valores 
cuando n llega hasta cuatro millones. 
Sin embargo, 350 años después, Andrew Willes, nacido el 11 de abril de 1953 en 
Cambridge, Inglaterra, lograría la hazaña de realizar la primera demostración 
completa del denominado último teorema de Fermat-Willes. 
En 1954 dos jóvenes matemáticos japoneses Goro Shimura (1928- ) y Yutaka 
Taniyama (1927-1958) comenzaron a estudiar ecuaciones que ya habían sido 
abandonadas en Occidente: formas modulares, los teóricos de los números 
consideraban cinco operaciones fundamentales: adición, sustracción, 
multiplicación, división y formas modulares (La operación formas modulares, se 
refiere a la simetría de las figuras geométricas). Las formas modulares que habitan 
en el espacio hiperbólico tienen varios diseños y tamaños, pero cada uno de ellos 
está construido con los mismos componentes básicos. Las formas modulares 
proporcionan una serie M que a su vez se constituyen en una especie de ADN de 
las formas modulares. 
Taniyama y Shimura creían firmemente que había una relación entre las ecuaciones 
elípticas y las formas modulares, sin embargo, por más que afinaron sus 
argumentos lógicos nunca pudieron demostrar tal relación. Taniyama-Shimura, 
estaban convencidos que a toda ecuación elíptica le corresponde una forma 
modular. Esta proposición se conoció como la conjetura de Taniyama-Shimura, que 
fue la base de muchos avances en la Matemática pese a su condición de conjetura. 
Sin embargo, se encontraron nuevas evidencias de tal relación. Si la conjetura de 
Taniyama-Shimura era verdadera, ello permitiría a los matemáticos abordar, a 
través del mundo modular, problemas elípticos que habían permanecido sin resolver 
durante siglos. Entre ellos el último teorema de Fermat. 
En 1984 Gerhard Frey (1944- ) con un razonamiento por el absurdo logró establecer 
el puente que estaba faltando para la demostración del último teorema de Fermat. 
Pensó en una solución hipotética del último teorema de Fermat. Existen los números 
enteros A, B y C que satisfacen la ecuación de Fermat xn + yn = zn Frey convirtió 
la ecuación original de Fermat con la solución hipotética en la ecuación elíptica y2 
= x3 + (AN – BN) x2 – ANBN. Luego, si la conjetura de Taniyama-Shimura es 
verdadera entonces toda ecuación elíptica es modular. Si toda ecuación elíptica es 
modular entonces no puede existir la ecuación elíptica de Frey. Si la ecuación 
elíptica de Frey no existe entonces no puede haber soluciones a la ecuación de 
Fermat. Por tanto, el último teorema de Fermat es verdadero. 
Andrew Willes utilizando un razonamiento por inducción matemática finalmente 
logró demostrar que la conjetura de Taniyama-Shimura era verdadera. Primero 
demostró que era verdadero para N = 1, luego suponiendo que es verdadera para 
un N había que demostrar que también era verdadero para N + 1, es decir para el 
sucesor de N. Esta tarea no fue nada fácil. Los cálculos eran enormes y tediosos. 
Hubo necesidad de recurrir al uso de la técnica combinada de Kolyvagin-Flach y a 
la teoría de Iwasawa. Ambas, por si solas eran insuficientes. 
El 24 de junio de 1993 al terminar una serie de tres conferencias sobre “Formas 
modulares, curvas elípticas y teoría de Galois” se anunció al mundo la demostración 
de la conjetura Taniyama-Shimura y como corolario de este teorema el último 
teorema de Fermat-Wilkes, sin embargo, el Comité que debería verificar, encontró 
un error, faltaba justificar uno de los pasos. La corrección de este pequeño detalle 
llevaría algo más de un año. Andrew Wiles tuvo que recurrir a la ayuda de uno de 
sus brillantes alumnos Richard Lawrence Taylor (1962), finalmente entre setiembre 
y octubre de 1994 se corrigió lo que faltaba y se entregó al Comité evaluador el 
informe completo en 130 páginas de Matemáticas que se tuvo que crear para lograr 
semejante hazaña. En 1995, el Comité encargado de la revisión aceptó la 
demostración de TFW. 
La ecuación cúbica y de las ecuaciones algebraicas: Tartaglia, Bombelli, 
Cardano 
Desde la antigüedad, sabemos por tablillas de arcilla que datan de alrededor del 
2000 a. C., la civilización de Babilonia poseía la fórmula cuadrática, lo que les 
permitía (en forma verbal) resolver ecuaciones cuadráticas. Porque el concepto de 
números negativos tuvo que esperar hasta el siglo XVI, los babilonios no 
consideraron soluciones negativas. También podemos encontrar ecuaciones 
implícitas en la geometría desarrollada por los antiguos griegos, como era de 
esperar cuando se investigan círculos, parábolas y objetos geométricos similares. 
En la actualidad, en la escuela se aprende a encontrar sus soluciones a ecuaciones 
cuadradas, es decir, todos los valores x tales que satisfacen la ecuación. Para hacer 
esto solo necesitamos usar la bien conocida fórmula cuadrática. 
 
 
 
de la ecuación general cuadrática 
 
 
Consideremos lo valores 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 = 1. Si usamos la fórmula obtendremos 𝑥 =
√−1. La mayoría de nosotros hemos aprendido de los cursos de Cálculo, o en la 
escuela, que no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo. 
Se argumenta que esto llevó a la invención de un nuevo número denotado por 𝑖, el 
cual es igual a √−1 , y se le dio el nombre “imaginario”. Si usamos 𝑖 como un número 
tal que 𝑖2 = −1, entonceseste valor es la solución de la ecuación 𝑥2 = −1. 
Sin embargo, los números complejos surgieron, en realidad, de la necesidad de 
resolver ecuaciones cúbicas. Más aún, cuando las ecuaciones cuadráticas y 
cúbicas aparecieron, en esa época, no había necesidad de calcular las soluciones 
de todas las ecuaciones. 
Es bien conocido que la solución de la cúbica 𝑥3 = 𝑝𝑥 + 𝑞 fue desarrollada en el 
Renacimiento (siglos XV y XVI) por matemáticos italianos. Scipione del Ferro (1465-
1526) y Niccolò Tartaglia (1500-1557), seguidos por Girolamo Cardano (1501-
1576), mostraron que 𝑥3 = 𝑝𝑥 + 𝑞 tiene una solución dada por 
 
 
 
Esto se conoce como la fórmula de Cardano. 
Unos años más después del descubrimiento de la fórmula de Cardano, el ingeniero 
y arquitecto italiano Rafael Bombelli (1526-1572) reconoció que había algo extraño 
y paradójico acerca de esta fórmula. Él consideró la ecuación 
𝑥3 = 15𝑥 + 4 
 
𝑥 = 4 es una solución 
Entonces Bombelli usó la fórmula de Cardano para resolver 𝑥3 = 15𝑥 + 4 y obtuvo 
 
 
Él se encontró con un valor inusual. Si la fórmula de Cardano es correcta, este 
número debe ser igual a 4. Sin embargo, el valor no puede ser real, porque dentro 
de la raíz cúbica estamos tomando la raíz cuadrada de un número negativo, una 
imposibilidad absoluta en ese momento (y también en la actualidad). Cardano 
también encontró esta dificultad, pero no la enfrentó. 
Sin embargo, Bombelli superó esta dificultad al ver que la expresión extraña que la 
fórmula de Cardano da para 𝑥 es realmente real, pero expresado de una manera 
muy desconocida. La gran intuición de Bombelli fue simplemente tratar √−1 como 
un número y operar con él siguiendo reglas aritméticas específicas 
 
 
 
 
 
 
Y concluyó que 𝑥 = 4 es en realidad la solución de 𝑥3 = 15𝑥 + 4 obtenida a partir 
de la fórmula de Cardano. Este truco funciona solo en unos pocos casos, sin 
embargo, ayudó a comprender los números imaginarios y calcular sus raíces 
cúbicas o manipularlos cuando aparecen a un lado de números reales. 
Gracias a él se logró observar la realidad de las soluciones de la ecuación cúbica 
𝑥3 = 15𝑥 + 4, puesto que demostró el hecho extraordinario de que los números 
reales podrían ser generados por números imaginarios. 
Muchos matemáticos después de Cardano y Bombelli hicieron importantes 
contribuciones a los números imaginarios (o complejos). Por ejemplo, René 
Descartes (1596-1650) acuñó el término “imaginario” en su libro en La Géométrie 
de 1637 de la siguiente manera: 
Ni las raíces verdaderas ni las falsas [negativas] son siempre reales; pero a veces 
solo imaginarias. 
John Wallis (1616-1703) mostró como representar geométricamente raíces de una 
ecuación cuadrática con coeficientes reales. Caspar Wessel (1745-1818) y Jean-
Robert Argan (1768-1822) proporcionaron representaciones geométricas de 
números complejos como vectores. 
Leonard Euler (1707-1783) estandarizó la notación 𝑖 = √−1 y usó números 
imaginarios para resolver ecuaciones cuadráticas y cúbicas, a pesar de que él 
todavía sospechaba de estos números. 
Después Carl Friedrich Gauss (1777-1855) introdujo el término “número complejo” 
refiriéndose a los números de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖. También dio cuatro demostraciones 
del teorema fundamental del álgebra en el transcurso de su larga carrera. Este 
teorema nos dice que cualquier polinomio de n-ésimo grado tiene n raíces, algunas 
o todas puede ser imaginarias. La primera prueba que dio Gauss fue en su 
disertación de doctorado de 1799. La última permite el uso de números complejos 
no solo para la variable sino también para los coeficientes. Dado que esto dependía 
necesariamente del reconocimiento de números complejos, Gauss ayudó a 
solidificar la posición de estos números. 
La primera definición rigurosa de números complejos fue dada por William Rowan 
Hamilton (1805-1865). En 1833 propuso a la Academia Irlandesa que un número 
complejo puede considerarse como una pareja (a, b), con a, b números reales. 
Después definió la adición y multiplicación de parejas como sigue: 
 
 
 
 
Entre los muchos matemáticos y científicos que contribuyeron, hay tres que se 
destacan por haber influido decisivamente en el curso de desarrollo del análisis 
complejo. El primero es Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), quien desarrolló la 
teoría del cálculo integral complejo. Mediante el uso de números imaginarios, 
Cauchy pudo evaluar “integrales reales” que de otro modo no se podían evaluar, 
obteniendo resultados asombrosos como 
 
 
 
 
 
La evaluación de integrales reales, además de la solución de la ecuación cúbica y 
el teorema fundamental del álgebra, demostró lo valioso que era considerar 
números imaginarios. 
Finalmente, los otros dos matemáticos son Karl Weierstrass (1815-1897) y Bernhard 
Riemann (1826-1866), quienes aparecieron en escena a mediados del siglo XIX. 
Weierstrass desarrolló la teoría desde un punto de partida de series de potencia 
convergente, y este enfoque condujo a desarrollos algebraicos más formales. 
Riemann, por otra parte, aportó más desde un punto de vista geométrico. Sus ideas 
tuvieron un tremendo impacto no solo en el análisis complejo sino en las 
matemáticas en su conjunto, aunque sus opiniones se afianzaron sólo 
gradualmente. 
 
CONCLUSIONES 
 
Las matemáticas han pasado por un largo proceso histórico, filosófico, geopolítico, 
epistemológico y hasta religioso, en cada cultura y civilización en su paso por el 
mundo. Los avances en esta ciencia se han propiciado por los constantes intentos 
de explicar fenómenos, de resolver problemas cotidianos, de encontrar respuesta a 
planteamientos intrigantes o del simple estudio a profundidad de los números y sus 
relaciones. 
 
Es innegable el desarrollo del carácter abstracto de las matemáticas por encima del 
carácter empírico hasta nuestros días. Pueden rastrearse desde la antigua Grecia 
prácticas e ideas filosóficas de desprecio al uso de los sentidos para obtener 
conocimiento, posiblemente por el menosprecio a los oficios manuales en aquella 
época, tratando de imponer la supremacía del intelecto. 
 
Pero es esta condición, posiblemente, la que permitió un avance en las 
matemáticas, consolidándose prontamente como una forma de acceder y entender 
la realidad que nos rodea. No por nada, Galileo Galilei expresaría en una ocasión 
“Las matemáticas son el lenguaje en el que Dios escribió el universo”. En mayor o 
menor nivel, todo cuanto existe a nuestro alrededor se comunica mediante las 
matemáticas. 
 
Y aunque el desarrollo de esta ciencia ha sido impresionante en el último siglo con 
apoyo de los ordenadores y la tecnología, aún hay áreas por descubrir, problemas 
por resolver y relaciones por encontrar, mismas que harán posible responder 
algunas de las preguntas fundamentales de la humanidad. 
 
Hace 22 años se enlistaron siete grandes enigmas matemáticos, llamados “los 
problemas del Milenio”, que no habían sido resueltos aún por la comunidad 
científica. Su solución ofrecerá nuevas perspectivas en matemáticas con 
consecuencias para el mundo real. Solamente uno de ellos ha sido resuelto. 
 
Conocer la historia y el contexto de los descubrimientos matemáticos brinda a 
quienes se interesan por esta ciencia una perspectiva más amplia, completa u 
holística de lo que hay detrás de cálculos y operaciones. Permite darle significado 
a nuestros esfuerzos en la materia y darle la verdadera importancia en nuestra vida 
cotidiana. 
 
 
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