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7-1 DISTRIBUCION BINOMIAL La distribución binomial describe el comportamiento de un ensayo de un experimento que sólo tiene dos posibles resultados. Características importantes: 1. Es una distribución discreta. 2. Explica experimentos que sólo presentan dos posibles resultados, como: el sexo de un bebé al nacer (masculino o femenino), presentar un examen (aprobarlo o reprobarlo) 3. Estos resultados son mutuamente excluyentes y se les denomina éxito o fracaso. 4. La probabilidad del éxito o fracaso permanece constante durante todo el tiempo. 5. Los ensayos son estadísticamente independientes, es por esto por lo que las probabilidades de éxito y fracaso no cambian ensayo tras ensayo. Ejercicio: Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan 3 caras. _ n ! k (n-k) p(k ) - k ! (n - k)!p q Se trata de uua distribución binomial pues:to que la variable es discreta. sólo tenemos do-s suces:Qs; salir cara o salir cru.t La probab,lidad de ' sahr can' es : 1 p= - 2 Luego la probabilidad de s alir crut será l l q=l - p= l - -=- 2 2 n =5 P(X = 3) = (!) 5 4 \'2,\ 2· s. 'J. \ 1 1 10 5 · - = - = - 8 4 32 16 murci Resaltado murci Resaltado 7-2 DISTRIBUCION DE POISSON La distribución Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo o espacio. El intervalo, como se ha mencionado, puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. Esta distribución se le atribuye el matemático francés Simeón Poisson. Características importantes: 1. Es una distribución discreta. 2. La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido. 3. La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño del intervalo. 4. Los intervalos no se superponen y son independientes. Ejercicio: Harry Potter está capturando ranas. El número medio de ranas que captura es de 4 ranas cada hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en media hora capture menos de 3 ranas? Experimento Aleatorio: "Buscar ranas durante un determinado tiempo". Sea el Evento: "Encontrar una rana en un cierto momento de ese tiempo". Tenemos un proceso de Poisson. Por lo que la variable aleatoria discreta X: "Número de ranas encontradas en la realización del experimento durante ese determinado tiempo" sigue una distribución de Poisson. Se dice que el número medio de ranas capturadas es de 4 ranas por hora. El número medio de ranas encontradas en media hora entonces es la mitad de cuatro: 2. Recordamos la función de probabilidad de una variable que sigue una distribución de Poisson. J Í U , ,-- h ,· ,.,-= x ) = · - " :r.! f(x) = e_,,_ i t'" x! Donde: λ es el número de medio de eventos en ese tiempo (2 ranas cada media hora). x es el número de eventos totales que recoge la variable (esta es la variable independiente). f(x) es la probabilidad de que se encuentren x eventos en ese tiempo con esa media. Entonces, para la pregunta planteada. ¿Probabilidad de encontrar menos de tres ranas en esa media hora? • no encuentra ninguna. • encuentra una. • encuentra dos. Sumaremos las probabilidades de estos tres casos para saber la probabilidad que nos preguntan. P(X < 3) = P(X = O) + P(X = 1) + P(X = 2) Es decir: Calculadora: P(X < 3) = 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 De donde obtenemos una probabilidad del 67%. 7.3 DISTRIBUCION NORMAL La distribución normal, la cual, dada su naturaleza, es continua, ya que explica una variable aleatoria continua (éstas tienen un número infinito de valores dentro de un intervalo). Así, se debe pensar en la probabilidad de que una variable tenga un valor dentro de un intervalo determinado, en vez de pensar en la probabilidad de un valor específico. La distribución normal se le atribuye al matemático francés Abraham de Moivre. Características importantes: 1. Es una familia de distribuciones. 2. Tiene forma de campana (curva de Gauss) y posee una sola cima en el centro de ésta. 3. Sus medidas de tendencia central son iguales (media, moda y mediana). 4. El área total bajo la curva es 1 (que representa 100% de la probabilidad de ocurrencia). 5. Es simétrica respecto a la media. 6. Es una distribución asintótica, la curva se aproxima sin tocar al eje "x". 7. Cualquier distribución normal puede convertirse y explicarse por medio de la distribución normal estándar. Z = (x - µ) o Ejercicio: 1) Halla las siguientes probabilidades en una distribución N ( 0, 1 ) a) P (Z ≤ 1,28) b) P (Z ≥ 0,65) c) P (Z ≤ -1,17) d) P (Z ≥ -1,76) a ) P ( Z s 1,28 ) 0,8997, b) N(O.t) P ( Z ~ 0,6 5 ) 1 • P ( Z s 0,65 ) 1 - 0,74 22 0, 2578. 0,65 e) P ( Z S · 1,17 ) P ( Z ~ 1,17 ) 1 · P ( Z S 1, 17 ) = = 1 · 0, 8790 0, 121 d) P ( Z ~ · 1, 76 ) P ( Z S 1,76 ) 0,9608 Párrafo de Autoanálisis Al finalizar la actividad puedo decir que no recuerdo mucho de ninguno de los temas, creo que no los había visto con anterioridad y de ser así no recuerdo bien, del único que creo haber escuchado es de la distribución binomial, que también es el tema que mejor comprendí y del que entendí más rápido la forma de realizar el ejercicio, de los otros dos temas me costó un poco más comprenderlos del todo aunque creo que al final si entendí bien como realizar ejercicios básicos, el tema de Distribución De Poisson fue el que se me complico más, ya que al principio no entendía bien como se hacían los ejercicios, pero después de buscar algunos tutoriales mejoro mi comprensión.
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