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Resumen tema 6.1 6.1 ENFOQUES DE PROBABILIDAD La Probabilidad es una palabra que utilizamos cotidianamente cuando queremos explicar cuán posible es que se produzca algún acontecimiento relevante para nosotros y, en consecuencia, tomar alguna decisión. La probabilidad es la posibilidad de que algo suceda, esta posibilidad tiene que ser medible numéricamente (entre O y 1). Por ejemplo, no es correcto decir que la probabilidad de que llueva hoy es mucha o poquita. Es importante distinguir tres conceptos: 1. Experimento, es la acción que se desarrolla para la generación de "algo", esto es, nos proporciona datos. 2. Resultado(s) experimentales, son los posibles resultados que se generan de ejecutar el experimento. 3. Evento, puede ser un resultado o conjunto de resultados del experimento. Al conjunto de todos los resultados del experimento se le conoce como espacio muestral, y la suma de las probabilidades del espacio muestral es igual a 1. El evento complemento representa todos los resultados del espacio muestral que no se incluyen en el evento original o de estudio. Enfoque clásico de la probabilidad Permite determinar valores de probabilidad antes de ser observado el experimento por lo que se le denomina enfoque a priori. Enfoque de frecuencias relativas Permite determinar la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en cierto número experimentos. Enfoque subjetivo de la probabilidad Se diferencia de lo dos enfoques anteriores, debido a que tanto el enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos. Resumen tema 6.2 6.2 REGLAS DE PROBABILIDAD Las reglas de probabilidad se utilizan para facilitar el cómputo de probabilidades asociadas a sucesos y fenómenos que siguen un modelo probabilístico. Las reglas se aplican de acuerdo con el tipo de evento que tenemos, recordemos que los eventos se pueden clasificar de la siguiente manera: • Dependientes e independientes. • Mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentes. - Dependientes e independientes. Se dicen eventos dependientes cuando el resultado de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. - Se dice que los eventos son independientes si el resultado de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. - Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo. - Se dice que son no mutuamente excluyentes cuando los eventos pueden ocurrir al mismo tiempo. La regla de multiplicación Si A y B son dos eventos definidos en un espacio muestral, entonces P(A∩B)=P(B)P(A|B). Podemos pensar que el símbolo de intersección sustituye a la palabra "y". La regla de adición Si A y B están definidos en un espacio muestral, entonces P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B). Podemos pensar que el símbolo de la unión sustituye a la palabra "o". La razón por la que restamos la intersección de A y B es para no contar dos veces los elementos que están en A y B. Resumen tema 6.3 con la réplica y explicación del ejercicio de plataforma 6.3 TEOREMA DE BAYES Recordemos que el teorema de Bayes se desarrolló en el siglo XVIII y se le atribuye al reverendo Thomas Bayes, ministro presbiteriano inglés, quien buscó demostrar la existencia de Dios sobre la base de la evidencia de que se disponía, más tarde Pierre- Simon Laplace perfecciona el trabajo de Bayes y le dio el nombre al teorema. El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso. La fórmula del Teorema de Bayes es: Donde B es el suceso que conocemos, A el conjunto de posibles causas, excluyentes entre sí, que pueden producirlo y, por tanto, P(A/B) son las posibilidades a posteriori, P(A) las posibilidades a priori y P(B/A) la posibilidad de que se de B en cada hipótesis de A. Ejercicio de la plataforma 1.- Una fábrica de tornillos dispone de dos máquinas que elaboran el 25% y el 75% respectivamente. El porcentaje de tornillos defectuosos es del 4% y del 2% respectivamente. Halla la probabilidad de que el tornillo sea defectuoso. la probabilidad de que el tomillo haya sido fabricado por la máquina 1 si sabemos quo os defectuoso Resolucion a) Consideremos los siguientes sucesos: M1 = "el tomillo está fabricado por la máquina 1· M2 = "el tornillo está fabricado por la máquina 2" D = "el tomillo es defectuoso·. N = "el tornillo es normal". P (A/B) = P(B/ A) * P(A) P(B) Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que P(M1). P(D/M1) = 0,25.0,04 = 0,01 P(M2). P(D/M2) = 0,75.0,02 = 0,015 Como el conjunto tenemos un sistema completo de sucesos, utilizamos el Teorema de la probabilidad total: P(D) = P(M1).P(D/M1)+ P(M2).P(D/M2) = 0,01 + 0,015 = 0,025 (Solución) 2.5% b) Tal como se ve en la figura podemos aplicar el Teorema de Bayes: Replicar ejercicio del video proporcionado Una fábrica de celulares dispone de dos máquinas A y B que elaboran el 60% y el 40% de la producción. El porcentaje de celulares defectuosos que produce cada máquina es del 5% y del 10% respectivamente. Calcular: a) ¿Cuál es la probabilidad que el celular haya sido fabricado por la máquina A, sabiendo que es defectuoso? P(M1 /D) = P(M1).P(D/M1) P(M1).P(D/M1) + P(M2).P(D/M2) 0,25.0,04 0,25.0,04 + 0,75.0,02 0,4 = = Diagrama de árbol Utilizando la fórmula - P(D/A) /º P(A)= 0,61/ A ~ / 0,95 D ~ P(D/ B) O, 11/ D P(B)=0,4~ / B ~D P(AI D)= 0,05 · 0,60 0,60 · 0,05 + 0,40 . O, 10 P(AID)= 0,428 Resolver ejercicio proporcionado Para ir a clase, un estudiante utiliza su coche el 70 % de los días, mientras que va en autobús el resto de los días. Cuando utiliza su coche, llega tarde el 20 % de los días, mientras que si va en autobús llega a tiempo el 10 % de los días. Elegido un día al azar: a) Calcular la probabilidad de que el estudiante llegue tarde. A: Utiliza el coche B:Utiliza el autobús D: Llega a tiempo DI: Llega tarde P (Llega tarde) = P (Viaja en coche) P (Llega tarde/ Viaja en coche) + P (Viaja en autobús) P (Llega tarde/ Viaja en autobús) = 0.70 • 0.20 + 0.30 • 0.90= 0.140+.0.270= 0.410 41.0% b) Sabiendo que ha llegado a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en autobús? Respuesta 05.08% De probabilidad de que haya venido en autobús sabiendo que ha llegado a tiempo 𝑃(𝐵|𝐷) = 0.10 ∗ 0.30 0.70 ∗ 0.80 + 0.10 ∗ 0.30 𝑃(𝐵|𝐷) = 0.03 0.56 + 0.03 𝑃(𝐵|𝐷) = 0.03 0.59 𝑷(𝑩|𝑫) = 𝟎. 𝟎𝟓𝟎𝟖𝟒 D r DI D DI -- - c) Sabiendo que ha llegado tarde ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en coche? Deberás mostrar el diagrama de árbol y los cálculos necesarios. Respuesta 34.14% De probabilidad de que haya venido en coche sabiendo que ha llegado tarde Párrafo de autoanálisis Al haber concluido la actividad puedo decir que esta ha sido la actividad a la que más tiempo le he dedicado, por alguna razón me equivoque varias veces al sustituir valores en las fórmulas,no conocía mucho de este tema con anterioridad, si es que lo vi en la preparatoria no recuerdo mucho ya que cuando lleve estadística mi profesor estuvo enfermo mucha parte del semestre y vimos de manera muy rápida los temas, aun así creo que mi desempeño en esta actividad no fue tan malo aunque probablemente trate de estudiar un poco más por mi cuenta. 𝑃(𝐴|𝐷𝐼) = 0.70 ∗ 0.20 0.30 ∗ 0.90 + 0.70 ∗ 0.20 𝑃(𝐴|𝐷𝐼) = 0.14 0.27 + 0.14 𝑃(𝐴|𝐷𝐼) = 0.14 0.41 𝑷(𝑨|𝑫𝑰) = 𝟎. 𝟑𝟒𝟏𝟒 -
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