Teoría Conjuntos - Kevin Martínez

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TEMARIO 
 
 2.1 INTRODUCCIÓN 
2.2 DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS 
2.3 COMPLEMENTO DE CONJUNTOS 
2.4 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 
2.5 UNIÓN DE CONJUNTOS 
2.6 LEYES DISTRIBUTIVAS 
2.7 LEYES DE DE MORGAN 
2.8 DIFERENCIA DE CONJUNTOS 
2.9 DIFERENCIA SIMÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO 
 
Lograr que el alumno: 
Comprenda los conceptos fundamentales de la Teoría de Conjuntos. 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 
 
 
2 
 
 
 
CONJUNTOS 
20 
2.1 INTRODUCCIÓN 
 
En Matemática el concepto de conjunto, elemento y pertenencia son considerados 
primitivos, es decir, sin definirlos. 
 
 
2.2 DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS 
 
2.2.1 Notaciones 
 
A los conjuntos se los designa con letras mayúsculas y a los elementos con letras minúsculas, 
a menos que dichos elementos sean, a su vez, conjuntos. 
Ejemplo: 
 dcbaA ,,,= 
Se lee: conjunto A que tiene por elementos a: a, b, c y d. 
Si A es un conjunto y a es un elemento del mismo, se dice que a pertenece a A, aA se lee: 
“a pertenece a A”, o bien “el elemento a pertenece al conjunto A”. Su negación es Aa , se 
lee: “a no pertenece a A”. 
 
Un conjunto es definido o determinado cuando es posible establecer con exactitud cuáles 
son sus elementos. Puede darse por listado de sus elementos es decir, escribiendo todos sus 
elementos, en este caso se define por extensión, o mediante una función proposicional, sobre 
todo en los casos que tienen numerosos elementos o cuando tiene infinitos, en estos casos se 
define por comprensión. 
 
Ejemplos: 
 
 5,4,3,2,1,0,1−=A Definido por extensión 
 
 61/ −= xxxB Z Definido por comprensión. 
 
 
 
2.2.2. Inclusión 
 
Un conjunto A está incluido en otro B, o A es parte de B, o A es subconjunto de B, cuando 
todo elemento de A pertenece a B y se indica BA . 
 
En símbolos: BxAxxBA  : 
 
Por ejemplo: Sean los conjuntos A= {2, 3,4} y B= {1, 2, 3, 4,5} 
 
Se puede observar que el conjunto A está incluido, o es subconjunto o es parte de B. 
 
 Nota: Si BAABBA = . Cuando se considera a un conjunto incluido en si 
mismo, se llama inclusión amplia. 
 
 
 
21 
2.2.2.1 Propiedades de la inclusión 
 
 Reflexividad: todo conjunto está incluido en sí mismo. 
En consecuencia, AAA  : 
 
 Antisimétrica: Si un conjunto es parte de otro y éste es parte del primero, entonces 
son iguales. Si A está incluido en B y B está incluido en A entonces A es igual a B. 
Es decir BAABBA = 
 
 Transitividad: Si un conjunto está incluido en otro y éste está incluido en un tercero, 
entonces el primero está incluido en el tercero. Si A está incluido en B y B está 
incluido en C entonces A está incluido en C. 
Es decir CACBBA  
 
 
2.2.3 Conjuntos Especiales 
 
Extendemos la noción intuitiva de conjunto, aceptando la existencia de los siguientes 
conjuntos. 
 
2.2.3.1 Conjunto vacío: es aquel que carece de elementos. Designaremos con  al conjunto 
vacío, y puede definirse simbólicamente así:  xxxA == / o bien  =A 
El conjunto vacío está incluido en todo conjunto. En símbolos: AA  : 
 
2.2.3.2 Conjunto Unitario: es aquel formado por un único elemento. Si A es el conjunto 
cuyo único elemento es a, se escribe:    axxaA === / 
Por ejemplo:    24/ 2 === xxxA N conjunto unitario 
 
2.2.3.3 Conjunto Universal o Referencial: es aquel formado por todos los elementos a que 
se hace referencia en un determinado problema. Lo indicaremos con U. 
 
2.1.3.4 Conjunto de las partes o potencial de un conjunto: se llama conjunto de las 
partes o potencial de un conjunto, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos 
de uno dado. 
Se indica  AxxAP = /)( 
Por ejemplo: Dado  cbaA ,,= ,               cbacbcabacbaAP ,,,,,,,,,,,,)( = 
El número de elementos del potencial de un conjunto está dado por 2n donde n es el número 
de elementos del conjunto dado. En este ejemplo el número de elementos del P(A) es 23=8 
 
 
2.2.4 Diagrama de Venn 
 
Existe una representación visual de los conjuntos dada por diagramas llamados de Venn. 
En este sentido, el conjunto universal o referencial suele representarse por un rectángulo, y 
los conjuntos por recintos cerrados. Es claro que todo elemento de A pertenece a U, es 
decir, UA . Sean A, B y C subconjuntos de U, como indica el diagrama. En este caso se 
verifica .BA 
 
22 
 
 
Nota: Las operaciones que definiremos entre conjuntos, son parte del mismo universal. 
 
 
2.3 COMPLEMENTO DE CONJUNTOS 
 
Sean A y B subconjuntos de U. 
 
2.3.1 Definición 
 
Complemento de un conjunto, con respecto a su universal, es el conjunto formado por los 
elementos de U que no pertenecen a A. Se denota por: A , Á o 
cA . 
En símbolos:  AxUxxA = / , se lee: complemento de A con respecto a su universal 
U. Su diagrama correspondiente es: 
 
 
 
 
El complemento de un conjunto es una operación unitaria y corresponde a la negación 
lógica. 
 
Por ejemplo: dados los conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A= {1, 3, 5, 7, 9} donde 
UA . El complemento de A estará dado por: A = {2, 4, 6, 8} 
 
2.3.1.1 Propiedades 
 
 Involución: El complemento del complemento de un conjunto es el mismo conjunto. 
( ) AA = 
 
 
 
23 
2.4 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 
 
Sea A y B subconjuntos de U. 
 
2.4.1 Definición 
 
Intersección entre un conjunto A y otro B, es el conjunto formado por los elementos que 
pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes de ambos. 
En símbolos:  BxAxxBA = / . Su diagrama es: 
 
 
 
Por ejemplo: Si los conjuntos son:  5,4,3,2=A y  6,5,4=B , entonces  5,4= BA 
 
La intersección entre conjuntos es una operación binaria. La propiedad que caracteriza a los 
elementos de la intersección es la de pertenecer simultáneamente a los dos conjuntos y 
corresponde a la conjunción lógica. 
 
Si BA se verifica que ABA = 
 
 
 
 
 
Observación: Es fácil ver que al efectuar la intersección entre dos conjuntos sin elementos 
comunes no tendría solución si no hubiésemos introducido el conjunto vacío. En los casos 
en que la intersección es el conjunto vacío, esos conjuntos reciben el nombre de conjuntos 
disjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
Es decir, =BA A y B son disjuntos. 
 
 
 
 
2.4.1.1 Propiedades 
 
Cualesquiera sean A, B y C subconjuntos de U, se verifica: 
 
 Idempotencia: A  A = A 
 
 Asociativa: (A  B)  C = A  (B  C) 
 
 Conmutativa: A  B = B  A 
 
 Elemento absorbente: en la intersección es el conjunto vacío, 
es decir: = AA : 
 
 Elemento neutro: en la intersección es el universal U. Es decir, cualquiera que sea 
A , UA se verifica: A  U = U  A = A 
 
Observación: La propiedad anterior es un corolario del siguiente teorema: 
ABABA = 
 
 
E.1 Ejercicios 
 
Dado:  31-x/ = ZxA y  9/x2 = ZxB 
Hallar: BA 
 
 
 
Definimos por extensión A y B. 
 4 3, 2, 1, 0, 1,2,−−=A  3 2, 1, 0, 1,2,,3 −−−=B 
 3 2, 1, 0, 1,2,−−= BA 
 
 
 
 
 
25 
2.5 UNIÓN DE CONJUNTOS 
 
Sea A y B subconjuntos de U. 
 
2.5.1 Definición 
 
Unión entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen 
a A o a B. En símbolos:  BxAxxBA = / . Su diagrama es: 
 
 
 
De acuerdo con la definición, podemos escribir: BaAaBAa  
El “o” utilizado es incluyente, y pertenecen a la unión aquellos elementos de U para los 
cuales es verdadera la disyunción; entonces un elemento pertenece a la unión si y sólo sí 
pertenece a alguno de los dos conjuntos. 
 
Ejemplo: Si los conjuntos son: A= {a,b,c} y B={b,c,d,e},entonces  edcbaBA ,,,,= 
 
Si los conjuntos son disjuntos, BA es la parte sombreada: 
 
 
 
Si BA se verifica que BBA = 
 
 
 
 
 
26 
2.5.1.1 Propiedades 
 
Cualesquiera sean A, B y C subconjuntos de U, se verifica: 
 
 Idempotencia: cualquiera que sea A, se verifica : A  A = A 
 
 Asociativa: :,, CBA  (A  B) C = A  (B  C) 
 
 Conmutativa: para todo par de subconjuntos de U, se verifica: A  B = B  A 
 
 Elemento absorbente: en la unión es el referencial: UUAA = : 
 
 Elemento neutro: en la unión es el conjunto vacío . Es decir, cualquiera que sea 
UA , se tiene: A   =   A = A 
 
Observación: La propiedad anterior es un corolario del siguiente teorema: 
BBABA = 
 
 
E.2 Ejercicios 
 
Dado:  31-x/ = ZxA y  9x/ 2 = ZxB . Hallar: BA 
 
 
 
 
Definimos por extensión A y B. 
 4 3, 2, 1, 0, 1,2,−−=A  3 2, 1, 0, 1,2,,3 −−−=B 
 3,4 2, 1, 0, 1,2,,3 −−−= BA 
 
 
 
 
2.6 LEYES DISTRIBUTIVAS 
 
La unión e intersección de conjuntos pueden conectarse a través de dos propiedades 
fundamentales, llamadas leyes distributivas, que se expresan mediante las fórmulas: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )CBCACBA
CBCACBA
=
=
 
27 
Aclaración: La intersección es distributiva a la derecha y a izquierda con respecto a la 
unión y recíprocamente. Son mutuamente distributivas. 
A  (B  C) = (A  B)  (A  C); A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
Todas las propiedades se pueden demostrar en base a las operaciones lógicas. 
 
Por ejemplo: Demostrar la propiedad distributiva de la intersección con respecto a la unión. 
Es decir: ( ) ( ) ( )CBCACBA = 
Aplicando la definición de igualdad, se debe probar que todo elemento del primer conjunto 
pertenece al segundo y recíprocamente, todo elemento del segundo pertenece al primero. 
 
𝑥 ∈ [(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶] 
 ⇕ 
𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 
 ⇕ 
(𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 
 ⇕ 
(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) 
 ⇕ 
𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) 
 ⇕ 
𝑥 ∈ [(𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)] 
 
 
Definición de intersección 
 
Definición de unión 
Distributiva de la conjunción con respecto 
a la disyunción 
Definición de intersección en cada 
paréntesis 
 
Definición de unión 
 
E.3 Ejercicios 
 
Demostrar la propiedad distributiva de la unión con respecto a la intersección. 
 
 
 ( ) ( ) ( )CABACBA = 
 
Aplicando la definición de igualdad 
 
( ) 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) CABAx
CAxBAx
CxAxBxAx
CxBxAx
CBxAx
CBAx






 
 
 
 
 





 
 
Definición de unión 
 
 
Definición de intersección 
 
 
Distributiva de la disyunción con 
respecto a la conjunción 
 
Definición de unión en cada paréntesis 
 
 
Definición de intersección 
 
28 
2.7 LEYES DE DE MORGAN 
 
 El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de los 
complementos. Es decir: ( ) BABA = 
 
 
 El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de los 
complementos. Es decir: ( ) BABA = 
Se puede realizar las demostraciones utilizando diagrama de Venn o bien teniendo en 
cuenta las definiciones dadas anteriormente. 
Demostrar la Ley de De Morgan: ( ) BABA = 
 
𝑥 ∈ [(𝐴 ∪ 𝐵)] 
 ⇕ 
𝑥 ∉ (𝐴 ∪ 𝐵) 
 ⇕ 
(𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) 
 ⇕ 
(𝑥 ∈ �̄� ∧ 𝑥 ∈ �̄�) 
 ⇕ 
𝑥 ∈ (�̄� ∩ �̄�) 
 
Definición de complemento 
 
Definición de Ley de De Morgan de la 
lógica proposicional 
 
Definición de complemento 
 
Definición de intersección 
 
 
 
2.8 DIFERENCIA DE CONJUNTOS 
 
Sea A y B subconjuntos de U. 
 
2.8.1 Definición 
 
Diferencia entre dos conjuntos A y B dados en ese orden, es el conjunto formado por los 
elementos de A que no pertenecen a B. En símbolos:  BxAxxBA =− / . 
La definición anterior equivale a hallar la intersección entre A y el complemento de B. 
BABA =− 
Aplicando sucesivamente las definiciones de diferencia, complementación e intersección, se 
tiene:     BABxAxxBxAxxBA ===− // . Su diagrama es 
 
 
 
 
29 
Por ejemplo: sean  par es / = NxxA y  primo es / = NxxB 
   compuesto esy par es /primo es noy par es / ==− NN xxxxBA 
 
 
2.8.1.1 Propiedades 
 
Cualesquiera sean A, B y C subconjuntos de U, se verifica: 
 
 Elemento neutro: La diferencia entre un conjunto y el conjunto vacío es el propio 
conjunto AA =− 
 
 No es conmutativa: La diferencia de conjuntos no es conmutativa, por lo que 
ABBA −− 
 
 No es asociativa 
 
 Distributiva a la derecha con respecto a la intersección y a la unión 
( ) ( ) ( )CBCACBA −−=− , ( ) ( ) ( )CBCACBA −−=− 
 Distributiva de la intersección respecto a la diferencia 
( ) ( ) ( )CBCACBA −=− , 
 
 
E.4 Ejercicios 
 
Dado:  31-x/ = ZxA y  9/x2 = ZxB , Hallar: BA− 
 
 
 
Definimos por extensión A y B. 
 4 3, 2, 1, 0, 1,2,−−=A  3 2, 1, 0, 1,2,,3 −−−=B 
 4=− BA 
 
 
2.9 DIFERENCIA SIMETRICA 
 
Sea A y B subconjuntos de U. 
 
2.9.1 Definición 
 
Diferencia simétrica de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A 
que no pertenecen a B o elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A. 
En símbolos: ( ) ( ) AxBxBxAxxBA = / 
Notación: ( ) ( )ABBABA −−= 
 
 
 
 
30 
Su diagrama es 
 
 
 
Otra identificación de la diferencia simétrica es: ( ) ( )ABBABA = 
O también: ( ) ( )BABABA −= 
Por ejemplo: Sean los conjuntos A={a,b,c} y B={b,c,d,e},  edaBA ,,= 
 
2.9.1.1 Propiedades 
 
Cualesquiera sean A, B y C subconjuntos de U, se verifica: 
 
 Asociativa: la diferencia simétrica de los conjuntos A y B Δ C es igual que la 
diferencia simétrica de los conjuntos A Δ B y C: ( ) ( ) CBACBA = 
 
 Conmutativa: La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es igual a la diferencia 
simétrica de los conjuntos B y A: ( ) ( ) ( ) ( ) ABBAABABBABA =−−=−−= 
 
 Existencia del Neutro: El conjunto vacío es neutro para la diferencia simétrica. 
En efecto: ( ) ( ) AAAAAA ===−−= 
 
 Propiedad distributiva: la intersección es distributiva con respecto a la diferencia 
simétrica: ( ) ( ) ( )CBCACBA = 
( ) ( ) ( )CABACBA = 
 
 
E.5 Ejercicios 
 
Dado:  31-x / = ZxA y  9x / 2 = ZxB , Hallar: BA 
 
 
 
Definimos por extensión A y B. 
 4 3, 2, 1, 0, 1,2,−−=A  3 2, 1, 0, 1,2,,3 −−−=B ,  4,3−=BA 
 
 
 
31 
E.6 Ejercicios 
 
Dado:  9x0 / 0 = NxU (universal) 
 
 5 4, 3, 2, 1,=A  8 6, 4, 2, 0,=B  7 6, 5, 4, 3,=C 
Hallar: a) A ; b) BA  ; c) CB − 
d) ( ) ( )CBBA − e) ( ) ( )CABA − f) BA 
 
 
 
a) A = { 0, 6, 7, 8, 9} 
b)      9 7,9 7, 5, 3, 1,9 8, 7, 6, 0, ==BA 
c)      6 4,9 8, 2, 1, 0,8 6, 4, 2, 0, =−=−CB 
d) ( ) ( )      8 5, 3, 2, 1, 0,6 4,8 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, =−=− CBBA 
e) ( ) ( )      5 4, 3, 1,5 4, 3,5 3, 1, ==− CABA 
f)    9 7,8 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, == BA 
 
 
E.7 Ejercicios 
 
Cualesquiera sean A, B y C subconjuntos de U, ilustrar mediante diagramas las siguientes 
identidades: 
 
a) ( ) ( ) ( )CBAACBA −=−− 
b) ( ) ( ) ( )ACABACB −−=− 
c) ( ) ( ) ( )CABACBA −−=− 
d) ( ) ( )CBACBA −=−− 
 
 
 
 
 
 a) ( ) ( )ACBA −− ( )CBA − 
 
32 
 
 b) ( ) ACB − ( ) ( )ACAB −− 
 
 
 
 c) ( )CBA − ( ) ( )CABA −− 
 
 
 
 d) ( ) CBA −− ( )CBA − 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
E.8 Ejercicios 
 
Cualesquiera sean A, B y C subconjuntos de U, decir si son V o F las siguientes igualdades. 
Justificar.a) ( ) BABAA = 
b) ( ) ABABA −= 
c) ( ) BABAA = 
 
 
 
 
 
a) �̄� ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = �̄� ∪ (�̄� ∪ �̄�) = (�̄� ∪ �̄�) ∪ �̄� = �̄� ∪ �̄� = 𝐴 ∩ 𝐵 Verdadera 
Se aplicó: Ley de De Morgan, Asociativa, Idempotente y Ley de de Morgan. 
 
b) �̄� ∩ (𝐵 ∩ �̄�) = �̄� ∩ �̄� ∩ 𝐵 = �̄� ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ �̄� = 𝐵 − 𝐴 Verdadera 
Se aplicó: Conmutativa, Idempotente y definición de Diferencia. 
 
c) 𝐴 ∪ (�̄� ∩ 𝐵) = (𝐴 ∪ �̄�) ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑈 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴 ∪ 𝐵 Verdadera 
Se aplicó: Distributiva y Ley del Neutro en la Intersección. 
 
 
34 
 
CAPÍTULO 2: CONJUNTOS ...................................................................... ¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO. 
2.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 20 
2.2 DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS ....................................................................................................... 20 
2.2.1 NOTACIONES .......................................................................................................................................... 20 
2.2.2. INCLUSIÓN ............................................................................................................................................ 20 
2.2.2.1 Propiedades de la inclusión ....................................................................................................... 21 
2.2.3 CONJUNTOS ESPECIALES ........................................................................................................................... 21 
2.2.4 DIAGRAMA DE VENN ............................................................................................................................... 21 
2.3 COMPLEMENTO DE CONJUNTOS ......................................................................................................... 22 
2.3.1 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................ 22 
2.3.1.1 Propiedades ................................................................................................................................ 22 
2.4 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS ........................................................................................................... 23 
2.4.1 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................ 23 
2.4.1.1 Propiedades ................................................................................................................................ 24 
E.1 EJERCICIOS .......................................................................................................................................... 24 
2.5 UNIÓN DE CONJUNTOS ....................................................................................................................... 25 
2.5.1 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................ 25 
2.5.1.1 Propiedades ................................................................................................................................ 26 
E.2 EJERCICIOS .......................................................................................................................................... 26 
2.6 LEYES DISTRIBUTIVAS .......................................................................................................................... 26 
E.3 EJERCICIOS .......................................................................................................................................... 27 
2.7 LEYES DE DE MORGAN ........................................................................................................................ 28 
2.8 DIFERENCIA DE CONJUNTOS ............................................................................................................... 28 
2.8.1 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................ 28 
2.8.1.1 Propiedades ................................................................................................................................ 29 
E.4 EJERCICIOS .......................................................................................................................................... 29 
2.9 DIFERENCIA SIMETRICA ....................................................................................................................... 29 
2.9.1 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................ 29 
2.9.1.1 Propiedades ................................................................................................................................ 30 
E.5 EJERCICIOS .......................................................................................................................................... 30 
E.6 EJERCICIOS .......................................................................................................................................... 31 
E.7 EJERCICIOS .......................................................................................................................................... 31 
E.8 EJERCICIOS .......................................................................................................................................... 33