Apunte Geotopografía 2020 para Alumno

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INGENIERIA CIVIL 
 
GEOTOPOGRAFIA 
 
 
 
 
 
 
 Ing. Civil TOLEDO, Luis 
 
 
 
 
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CAPITULO I.- NOCIONES PRELIMINARES 
I.1.- INTRODUCCION 
1.- Definiciones Fundamentales 
a- Geodesia 
La Geodesia (del griego geo = tierra y daisia = división) es la ciencia que se 
encarga de determinar la forma y dimensiones de la tierra. 
El movimiento de la Tierra sobre sí misma, o rotación, se efectúa alrededor 
de un eje imaginario o línea de los polos, que pasa por el centro de la Tierra y que 
aflora en la superficie de la misma en el polo Norte y en el polo Sur. La Tierra gira en el 
sentido de oeste a este. 
Como consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra, una persona 
situada en un punto de la superficie terrestre, pasará sucesivamente por la zona 
iluminada por los rayos solares y luego por la zona de sombra. Así se explica para ella 
la sucesión regular del día y de la noche. Cuando pasa de la zona de sombra a la zona 
iluminada, los rayos del Sol rasan el suelo y para nuestro observador el Sol parece 
surgir del horizonte, lejos, hacia el este, y aumentan cada vez más su altura en el cielo 
hasta colocarse encima de su cabeza, sobre la vertical. A partir de ese momento, los 
rayos del Sol se hacen cada vez más oblicuos con relación a nuestro observador. 
Cuando pasa de la zona iluminada a la zona de sombra, el Sol desaparece por el oeste 
y parece hundirse bajo el horizonte. 
El tiempo empleado por la Tierra para cumplir esta rotación y encontrar así 
la misma posición con respecto al Sol es de 24 horas y constituye el día civil, unidad de 
medida del tiempo. 
Cuando un punto del globo está justo en el medio de la zona iluminada, el 
Sol se encuentra para ese lugar, en el punto más alto de su trayectoria aparente en el 
cielo. Es la mitad del día o mediodía. En el mismo momento, todos los puntos situados 
sobre el mismo semicírculo que pasa por los polos están en el medio de la zona 
iluminada y para todos, por consiguiente, es mediodía. El semicírculo que une todos 
esos puntos se Ilama meridiano o Iínea de mediodía. Todos los meridianos se cruzan 
en los dos polos (Fig. I.1). 
 
 ZENIT 
 
 Meridiano . . Vertical del Lugar 
 PS Meridiano del Lugar 
 Horizonte del lugar 
 P PS 
 ECUADOR Meridiana 
 N S 
 
 Q . Horizonte 
PN 
 TIERRA 
 Paralelo PN 
 Ecuador Celeste 
 Eje de los Polos ESFERA CELESTE 
 NADIR 
 Figura I.1 
 Figura I.2 
El plano meridiano será entonces, todo aquél que conteniendo al eje de la 
tierra, corta a su superficie según una curvatura y que considerando la tierra esférica, 
 
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es el máximo círculo llamado meridiano. Habrá por tanto infinitos meridianos, uno por 
cada punto de la superficie terrestre. 
Todos los puntos de la superficie de la Tierra describen, en el movimiento 
de rotación, una circunferencia alrededor del eje de los polos denominadas paralelos. 
Los Paralelos son círculos descritos por los planos perpendiculares al eje 
polar que cortan a la superficie terrestre siendo cada vez, de menor longitud según nos 
acercamos a los polos. El paralelo máximo es el ecuatorial que pasa por el centro de la 
tierra denominado Ecuador, el cual subdivide la tierra en dos hemisferios: el boreal 
conteniendo al polo norte o ártico y el austral, donde está el polo sur o antártico. 
Si consideramos un punto P ubicado sobre la superficie terrestre 
denominaremos Vertical de un punto, es la recta que une el centro O de la tierra, con 
ese punto (Fig. I.2). En esa dirección actúa la fuerza de gravedad y nos lo marcaría el 
hilo de la plomada en equilibrio en ese punto. 
Colocada una persona en el punto P, su vertical en la dirección OP, cortará 
a la esfera celeste en un punto llamado Zenit y en el otro sentido OQ en un punto 
llamado Nadir (Fig. I.2). 
El plano meridiano de un lugar será pues el que pasa por la vertical de un 
punto y coincide con eje polar. 
El plano horizontal, es el perpendicular a la vertical de un determinado 
punto. 
Para determinar la posición de un determinado punto P sobre la tierra, se 
toman unos orígenes que son el meridiano de Greenwich que pasa por el observatorio 
de dicho nombre cerca de Londres. 
Si a la tierra la consideramos esférica, la posición del punto P viene 
determinada por dos medidas, denominadas coordenadas geográficas (Fig. I.3): 
- Longitud terrestre , que es el ángulo diedro comprendido entre el meridiano origen 
de Greenwich que pasa por el observatorio de dicho nombre cerca de Londres, y el 
meridiano del lugar que pasa por el punto P. La Longitud puede ser este u oeste, de 0º 
en Greenwich a 180º. 
 
 Vertical del Lugar 
 
 P PS 
 Ecuador Terrestre 
 Meridiano de Greenwich
 Meridiano del Lugar 
  
 
 PS 
 Figura I.3 
 
 
- Latitud terrestre , que es el ángulo determinado por la vertical del lugar del punto P y 
el plano del Ecuador. Esta Latitud puede ser de 0º en el Ecuador a 90º norte o sur o por 
convención, de 0º a +90º en el polo norte o a -90º en el polo sur. 
Las mediciones de los arcos de meridiano, realizadas por primera vez en el 
Siglo XVIII en distintos lugares del planeta y las que se han seguido en distintas épocas 
y países, han llevado a la conclusión que no se puede considerar esférica la forma de 
la Tierra más que en una primera aproximación, que es insuficiente a los fines de la 
Astronomía y la Geodesia. Más aún se ha demostrado que dicha forma no se 
corresponde con ningún cuerpo geométrico, por lo que es necesario definirla 
indirectamente. 
 
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Para el estudio de la forma y dimensiones de la Tierra se eligen en la 
superficie objeto de estudio, puntos distribuidos por toda ella denominados geodésicos 
de cuya posición se deduce la forma de un territorio o de todo el Globo. 
Para situar estos puntos es preciso referirlos a una superficie que podría 
ser real o arbitraria. 
Si se extendiese por debajo de loscontinentes el nivel medio de los mares 
en equilibrio, obtendríamos una superficie equipotencial continua, sin alturas ni 
depresiones, denominada geoide o superficie geoídica, de forma irregular ligeramente 
achatada por los polos, con una envolvente gaseosa de un espesor aproximado de 100 
km (Fig. I.4). Esta definición, encierra la condición de que la vertical de cada punto del 
geoide sea perpendicular a dicha superficie, lo que equivale a definirla de acuerdo con 
la ley fundamental de la hidrostática. 
 
 71º 70º 69º 
 73º 72º 
 Chile Argentina 
 Océano Pacífico 
 
 
 
 Elipsoide Geoide 
 
 
 Geoide Elipsoide 
 
 
 
 
Figura I.4 
 
Las distancias de los puntos de la superficie terrestre al geoide, o sea sus 
alturas o depresiones con respecto al nivel del mar, se determinan mediante una 
operación denominada nivelación. Entonces tendríamos, además de la latitud y 
longitud, otra medida para la determinación del punto P: 
- Altitud o cota h de un lugar P es el segmento de vertical comprendido entre el punto y 
la superficie geoídica. 
Hasta fecha muy reciente eran desconocidas las irregularidades del geoide, 
por cuyo motivo y por no constituir una figura geométrica, no pudo tomarse como 
superficie de referencia para determinar la situación de los puntos geodésicos, lo que 
obligó a elegir arbitrariamente a estos efectos, un elipsoide de revolución que se adapte 
en Io posible al geoide en la zona del Globo de que se trate. 
No hay pues que confundir geoide con elipsoide de referencia; el primero 
es una superficie física y real, mientras la del segundo es arbitraria y se utiliza como 
fundamento del cálculo de la situación de los puntos geodésicos y para determinar con 
respecto a ella, la configuración del geoide. 
Se denomina elipsoide de revolución al cuerpo engendrado por la rotación 
de una elipse alrededor de uno de sus ejes (el eje menor en el caso de la tierra). De 
acuerdo con esto, el eje de los polos es el eje menor del elipsoide, el Ecuador es 
engendrado por el eje mayor, los meridianos son elipses y los paralelos son 
circunferencias. Esta interpretación está de acuerdo con las medidas de los radios 
polar y ecuatorial y con los siguientes hechos: 
1º- La tierra está animada de un movimiento de rotación alrededor de su eje polar que 
pasa por su centro de gravedad. En virtud de ese movimiento, cada punto está 
 
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sometido a dos fuerzas principales: una de atracción dirigida hacia el centro de 
gravedad debida a la masa terrestre, y otra de repulsión en el sentido del radio del 
paralelo debida a la fuerza centrífuga que tiende a alejar los puntos del eje de rotación 
y que es proporcional a la distancia de los mismos a dicho eje. 
De acuerdo con la Geología, la Tierra fue en sus comienzos una masa fluida animada 
de un movimiento de rotación, la fuerza centrífuga opuesta a la atracción y que es nula 
en los polos y máxima en el ecuador, produjo un achatamiento en los Polos y un 
hinchamiento en el Ecuador. 
La resultante de ambas fuerzas en cada punto es la vertical o dirección de la plomada, 
y seguirá por tanto, en el Ecuador y en los Polos la dirección del radio terrestre, pero a 
otras latitudes formará un ángulo con él, al que denominaremos ángulo radial de la 
vertical, que es máximo a los 45º de latitud, donde alcanza un valor de unos once 
minutos. 
La superficie líquida da los mares en cada punto, ha de situarse normal a la vertical, 
constituyendo una superficie equipotencial, que sería la de un elipsoide de revolución 
de no mediar otras circunstancias que la deformen; esta superficie, prolongada por 
debajo de los continentes, constituye el geoide al que ha de adaptarse en lo posible, el 
elipsoide de referencia. 
La forma elipsoídica de la Tierra es por lo tanto, debida a la rotación; de no existir ésta, 
la superficie media de los mares en calma sería esférica y la dirección de la plomada 
coincidiría en todos los puntos con el radio de la Tierra. 
2º- Midiendo cuidadosamente los arcos comprendidos entre dos puntos de un mismo 
meridiano cuyas verticales formen entre sí ángulos iguales, se comprueba que estos 
arcos son mayores en los Polos que en el Ecuador. 
3º- El peso de un cuerpo varía con la latitud, siendo mayor en los Polos que en el 
Ecuador; de ello se deduce que la distancia de esos puntos al centro terrestre, 
disminuye a medida que ellos se acercan a los Polos, lo que se explica admitiendo el 
aplanamiento polar. 
Queda de manifiesto entonces que la verdadera forma de la Tierra se 
aproxima más al elipsoide que a la de la esfera, por lo que se toma la superficie del 
primero como comparación y se la denomina superficie geodésica. 
El elipsoide está definido por la longitud de los semiejes (a y b semiejes 
mayor y menor de la elipse generatriz) y el aplanamiento , en función de cuyos datos 
se realizan todos los cálculos geodésicos: 
 
 = a-b y la excentricidad ex = a2 – b2 
 a a 
Cada Nación adoptó su propio elipsoide de referencia, lo que dio lugar a 
anomalías en las zonas de enlace fronterizas impidiendo un estudio de conjunto. Este 
factor hizo nacer la Unión Geodésica y Geofísica Internacional que, en su asamblea 
general celebrada en Madrid en 1924, tomó el acuerdo de recomendar para todo el 
mundo el elipsoide de referencia de Hayford (1909). El aplanamiento de Hayford, 
determinado por un método diferente al utilizado con anterioridad, está basado en las 
constantes de Bessel (1841) y en el cálculo de probabilidades, y que establecía, para 
mayor sencillez y aproximación, la tierra como redonda con un radio medio terrestre de 
6.366,740km. 
Para Hayford el radio ecuatorial era a = 6.378,388km y el radio polar b = 
6.356,912km, de donde se deduce que: 
 = 1 . y ex = 0.081992 
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Según Hayford, la circunferencia ecuatorial es de 40.076,594km, la 
superficie terrestre de 510.101.000km2 y el volumen terrestre de 1.083.320.000.000km3 
Tampoco ha sido éste el definitivo, debido a que la SAO (Smithsonian 
Astrophysical Observatory) utilizando los nuevos métodos de observación de satélites 
artificiales, consiguió obtener en 1964 el elipsoide que mejor se adapta al geoide y que 
fue perfeccionado por Veis en 1967, cuyos parámetros son: 
a = 6.378.142  6m y  = 1 . 
 298,255  0.005 
Posteriormente se estudiaron las irregularidades del geoide referidas a la 
superficie del elipsoide y como resultado final publicó primero la SAO y después Veis, 
sendos planisferios con las curvas de nivel del Geoide de diez en diez metros, tomando 
al elipsoide como superficie de comparación. 
En los mapas así dibujados, se perciben curvas totalmente irregulares que 
señalan elevaciones y depresiones, resultando como casos extremos en el planisferio 
de Veis, que la Superficie media del mar, al sur de la India, se hunde 87m (76 según la 
SAO) bajo la superficie del elipsoide y se eleva 66m (76 según la SAO) al NE de 
Australia. 
A la vista de estos descubrimientos y de los que se espera conseguir en 
plazo breve por los nuevos métodos, puede afirmarse que lo conseguido en estos 
últimos años supera con mucho a todo cuanto se había realizado hasta entonces en 
materia de Geodesia, desde que Aristóteles comprobase en el Siglo IV antes de J.C. la 
redondez de la tierra y determinara Eratóstenes su radio, supuesta esférica, al medir 
por primera vez un siglo más tarde, la longitud y amplitud de un arco de meridiano entre 
Siena y Alejandría,trabajos que se consideran como los primeros de Geodesia. 
Podemos establecer entonces a esta altura del análisis, dado que los 
puntos geodésicos situados sobre la superficie terrestre tienen cierta altura sobre el 
elipsoide de referencia, que la Geodesia calcula las coordenadas de esos puntos 
geodésicos referentes a su proyección sobre dicho elipsoide, obteniendo además como 
dato complementario, la altura sobre el nivel del mar. 
Resta conocer la orientación de los puntos geodésicos. La Geodesia 
deberá realizar entonces la determinación en cada punto de la dirección Norte-Sur o 
meridiana, que es la intersección del plano horizontal (tangente al elipsoide) con el 
plano meridiano que contiene la vertical del lugar y cuya situación se determina por el 
ángulo que forma con una dirección dada del terreno que pase por el punto; a este 
ángulo, comprendido entre 0º y 360º, medido a partir de la meridiana desde el S. y 
hacia el O., se le denomina azimut de la citada dirección. 
La longitud y la latitud relativas a cada punto geodésico y acimut de una 
dirección que pase por él pueden obtenerse por dos métodos esencialmente diferentes, 
dando origen a dos ramas de la geodesia, denominadas astronomía geodésica de 
posición y geodesia matemática. 
Por el primer método se obtienen las coordenadas geográficas y dirección 
de la meridiana por observaciones astronómicas; en el segundo, se llega al resultado 
por medio de las denominadas triangulaciones, uniendo entre sí los puntos geodésicos 
por medio de visuales que vengan a formar sobre el elipsoide una malla de triángulos 
que cubran todo el territorio, razón por la cual a los puntos geodésicos en este caso, se 
les da el nombre de vértices geodésicos. 
En estos triángulos se miden con el mayor rigor sus tres ángulos, utilizando 
instrumentos de gran precisión, y además se mide directamente con extraordinaria 
minuciosidad, un solo lado situado generalmente hacia el centro de la nación, al que se 
le denomina base y que constituye el fundamento de toda la geodesia del país. A partir 
de la base se calculan estos triángulos elipsoídicos apoyándose unos en otros, 
 
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sirviendo de base de cada uno al lado común con el triángulo precedente, previamente 
calculado. 
Para la obtención de las coordenadas geográfica y acimutes se parte de los 
de un vértice denominado punto astronómico fundamental, en el que se determinan la 
longitud, latitud y dirección de la meridiana con el máximo cuidado y rigor por métodos 
exclusivamente astronómicos. 
En los demás vértices se obtienen las coordenadas y también los acimutes 
escalonadamente, por cálculos sobre el elipsoide, una vez conocidos los ángulos de 
los triángulos y deducidas las longitudes de sus lados. 
El establecimiento de Redes Geodésicas permite que los triángulos de que 
acabamos de hablar, no constituyan una malla única para evitar la acumulación de 
errores que se obtendría al calcular cada uno apoyándose en el anterior, sino que 
forman tres sucesivas, cada vez más densas, denominadas redes o triangulaciones de 
primero, segundo y tercer orden, respectivamente; la red geodésica de primer orden 
está constituida por grandes triángulos de lados ordinariamente comprendidos entre los 
30 y 70 kilómetros, pudiendo llegar, aunque por excepción, a más de 200. 
Si la nación es de gran extensión, no se constituye desde el primer 
momento una malla continua, sino que se forman cadenas de triángulos a lo largo de 
los meridianos, cortadas perpendicularmente por otras cadenas llamadas de paralelo, 
limitando unas y otras, grandes espacios denominados cuadriláteros. 
Posteriormente, apoyándose en las cadenas, se rellenan estos 
cuadriláteros con triángulos también de primer orden, observados ya con menor 
número de precauciones que el de las exigidas para las cadenas. 
La triangulación de segundo orden forma una red uniformemente repartida, 
apoyada en la de primer orden, con una longitud de los lados de los triángulos, variable 
de 10 a 25 kilómetros. Queda distribuida de modo que todos los vértices de primer 
orden lo sean también de segundo. 
A su vez, el tercer orden se apoya en la red de segundo, con lados de 5 a 
10 kilómetros, utilizándose también como vértices de tercer orden todos los de primero 
y de segundo. 
Los triángulos de tercer orden ya se calculan como planos, y el terreno por 
ellos limitado entra en el dominio de la Topografía. 
Todos los vértices geodésicos quedan señalados en el terreno para que 
puedan utilizarse en trabajos posteriores, aun después de muchos años, señales que 
han de servir de fundamento para todo trabajo topográfico de alguna extensión. 
Todas las ramas de la Técnica han experimentado en estos últimos 
tiempos una verdadera revolución, abandonando los métodos clásicos y adoptando 
otras totalmente inesperados; tal ha sido el caso de la Geodesia, primero con la 
aparición de los distanciómetros electrónicos que vinieron a modificar los métodos de 
observación, pero sin que variase sustancialmente por ello el concepto que se tenía de 
Geodesia, pero lo verdaderamente asombroso que la observación de satélites 
artificiales que abrieron horizontes insospechados por métodos totalmente diferentes a 
los utilizados durante siglos. 
Empleando los distanciómetros en una triangulación, en lugar de medir los 
ángulos de los triángulos y una sola longitud, que constituye la base, se miden todos 
los lados, método que recibe el nombre de trilateración. 
Lo que originó una verdadera revolución en la Geodesia fue la observación 
de satélites artificiales: estableció la NASA un programa de satélites geodésicos, pero 
aun los lanzados al espacio con finalidades diferentes permitieron obtener desde el 
principio consecuencias inesperadas; tal ocurrió con el Vanguard I, cuyas deducciones 
fueron confirmadas por Vanguard II y III. Entre los sistemas de observación, el método 
geométrico sustituye la triangulación clásica por una tetraedrización, formando 
 
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tetraedros cuyo vértice ocupa el satélite observado y fotografiado simultáneamente 
desde estaciones terrestres que forman una malla de triángulos de grandes lados, del 
orden de 1.500km y hasta 4.000 y aun 7.000, al mismo tiempo que se miden las 
respectivas distancias al satélite utilizando rayos Laser. Por este método no es 
necesario conocer la órbita del satélite, lo que sí es preciso es que las observaciones 
estén perfectamente sincronizadas aun estando a tanta distancia unas de otras, no 
debiendo cometerse errores en el sincronismo que superen a la milésima de segundo: 
el cálculo de los tetraedros, utilizando los datos conocidos y los de observación, se 
efectúa después, con los más potentes ordenadores electrónicos, hasta deducir las 
coordenadas geodésicas de los vértices. 
b- Topografía 
La palabra viene del griego topos = lugar y graphis = dibujo. 
La Topografía, denominada también Geometría Práctica tiene por finalidad 
el estudio de la Tierra en cuanto a sus dimensiones, forma y configuración, de modo de 
poder realizar una descripción matemática de la misma por medio de mediciones 
lineales y angulares que permitan determinar la posición relativa de los puntos del 
terreno con relación a un plano de comparación y confeccionar, finalmente, el plano 
gráfico correspondiente en una escala adecuada. 
La parte de superficie a representar, debe tener unas medidas tales, que 
no se vean condicionadas por la esfericidad terrestre. 
La diferencia con la Geometría Teórica es que esta última considera datos 
exactos, mientras que la Topografía utiliza para resolver los problemas, datos que 
surgen de mediciones que están afectadas de errores. Estos errores pueden originarse 
en el propio observador, en los instrumentos de medición utilizados o en el medio 
ambiente donde se realiza la medición. El estudio de los errores está, en consecuencia, 
estrechamente vinculado al estudio de las mediciones. El estudio de los instrumentos 
de medición, de los métodos de medición y de los erroresde medición, constituirá una 
parte fundamental de esta disciplina. 
La Topografía considera a la Tierra como plana y ocurre entonces que la 
distancia horizontal entre dos puntos del terreno tales como A y B, será siempre la 
misma, cualquiera sea el plano de comparación que se tome como referencia para fijar 
la posición relativa de esos puntos. 
 
 
 A’ B 
 
 
 A B’ 
 
 
 A0 B0 
 
Figura I.5 
Así por ejemplo (Fig I.5), la distancia entre A y B será A'B, o bien AB', o 
bien A0 B0, según se tome como referencia el plano horizontal que pasa por B, el que 
pasa por A, o bien otro plano horizontal cualquiera arbitrariamente elegido, pero en 
todos los casos esta magnitud es la misma: A'B = AB' = A0 B0 
c- Cartografía 
Se encarga de la representación gráfica sobre una carta o mapa de una 
parte de la Tierra o de toda ella. 
 
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2.- Correspondencia de la Topografía con otras ciencias 
a- Relación con Geodesia y Cartografía 
Por lo que se refiere a la Geodesia y a la Cartografía, forman con la 
Topografía tres ciencias tan íntimamente relacionadas, que no es posible, en el estudio 
de la última, prescindir de su conexión con las dos primeras. 
La diferencia entre Topografía y Geodesia reside en los métodos y 
procedimientos de medición y cálculo que emplean cada una de las ciencias, pues la 
Topografía realiza sus trabajos en porciones relativamente pequeñas de la superficie 
terrestre considerándola como plana mientras que la Geodesia toma en cuenta la 
curvatura terrestre, pues sus mediciones se realizan sobre extensiones más grandes: 
poblados, estados, países, continentes, o la Tierra misma. 
De la representación gráfica de estas mediciones, se encarga la 
Cartografía proyectando sobre un plano la parte o partes del esferoide terrestre, a 
diferencia del dibujo topográfico, que proyecta sobre un plano las medidas hechas 
sobre una superficie considerada como plana. 
De ello resulta que la Geodesia es distinta de la Topografía, pues ésta 
viene a ser un complemento de la primera al pretender representar con todo detalle 
sobre un plano, partes mas o menos extensas de la superficie de la tierra. 
La Topografía, desde este punto de vista, abarca los más variados 
aspectos. Todo estudio de ingeniería puede decirse que fundamentalmente es un 
trabajo topográfico: el trazado de una carretera, el replanteo de un ferrocarril, la 
apertura de un túnel, etc., aparte de otras consideraciones, no constituyen 
esencialmente sino un problema de topografía práctica, como también lo es la 
implantación de un regadío con el trazado de sus acequias y desagües, las 
parcelaciones de fincas colonizadas, expropiación del terreno ocupado por las obras 
públicas, trabajos de concentración parcelaria, planos de urbanismo o estudio de las 
grandes zonas regables con miras a su colonización. 
Aun en el terreno puramente privado hay que recurrir a la Topografía en 
multitud de ocasiones; en toda explotación agrícola es siempre útil disponer de una 
representación del terreno, y es indispensable resolver problemas de topografía cuando 
se pretende dividir equitativamente un predio entre varias copartícipes, rectificar alguno 
de sus linderos, o simplemente medirlo para averiguar su superficie. 
De todo lo dicho se deduce que el objeto de la Topografía es el estudio de 
los métodos necesarios para llegar a representar un terreno con todos sus detalles 
naturales o creados por la mano del hombre, así como el conocimiento y manejo de los 
instrumentos que se precisan para tal fin. 
Si la zona objeto del levantamiento es relativamente pequeña, de algunos 
millares de hectáreas, no habrá inconveniente en considerarla como plana para ciertos 
efectos de su representación y emplear con este fin, métodos simplificados propios de 
la Topografía; pero si la superficie es extensa aun sin llegar a los límites de un Mapa 
Nacional o Provincial, tales como grandes zonas colonizables, o de superficies 
regables dominadas por un embalse o canal, donde se realizan trabajos propios de la 
ingeniería, fácilmente se concibe la imposibilidad de prescindir de la curvatura terrestre, 
entrando de lleno en los dominios de la Geodesia y de la Cartografía. 
El método a seguir en este caso para la representación del terreno, será 
fundamentar el levantamiento topográfico en los datos que posee el Instituto 
Geográfico de los puntos denominados vértices geodésicos que hubiere en la zona, 
todos los cuales se encuentran señalados de modo permanente en el terreno. 
Estos datos geodésico calculados sobre la superficie de la tierra de forma 
elipsoídica, deben referirse al plano y no siendo aquélla una superficie desarrollable, es 
 
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forzoso que sus medidas experimenten ciertas transformaciones, siguiendo diversos 
criterios que constituyen los diferentes sistemas propios de la Cartografía. 
Una vez situados en el plano estos puntos geodésicos según el sistema 
cartográfico elegido, constituirán como el esqueleto o armazón de todo el trabajo y se 
rellenarán después con todos los detalles que ofrezca el terreno entre ellos situado, 
considerado ya como plano en algunos aspectos, utilizando en todo caso, métodos 
exclusivamente topográficos. 
De este modo, para representar una zona de suficiente extensión, hemos 
de partir de los datos geodésicos que se posean, transformarlos por el sistema 
cartográfico elegido para situarlos en el plano y efectuar después todas las operaciones 
necesarias del dominio de la Topografía. Así, pues, Geodesia, Cartografía y 
Topografía, aun siendo ciencias diferentes, se hallan tan íntimamente ligadas que es 
difícil poder decir dónde termina la una y comienza la otra. 
Y no tan sólo en superficies extensas, sino aun en pequeñas, aunque no 
sea indispensable para su representación, es siempre útil basarse en la Geodesia. 
Todo trabajo topográfico suele apoyarse en una recta denominada base, medida sobre 
el terreno con la máxima precisión, por lo que es conveniente relacionar esta recta a 
un lado geodésico ya determinado para su orientación y exactitud de los cálculos 
posteriores. 
b- Relación con otras Ciencias 
Del mismo modo que al aplicar la Topografía en su mayor desarrollo, se 
entra en los dominios de la Geodesia y Cartografía, tiene aquélla por apoyos en sus 
principios, otras ciencias de las que constituye su aplicación inmediata. 
El italiano Porro, fundador de la taquimetría y creador de la casa 
constructora de instrumentos topográficos "La Filotécnica" de MiIán, designaba a la 
Topografía con el nombre de "Geometría Aplicada", definición afortunada que pone de 
manifiesto los cimientos en que hemos de basar nuestro estudio; la Geometría y la 
Trigonometría. 
El notable perfeccionamiento que han experimentado en estos últimos 
tiempos los instrumentos topográficos, se debe principalmente a los progresos 
obtenidos en la Optica, unidos a la más perfecta mecánica de precisión, y aunque más 
propios, uno y otra, del constructor de aparatos que del topógrafo, sin embargo hemos 
de fundamentarnos también en algunas nociones de esa ciencia. Finalmente la 
electrónica constituye hoy un importante fundamento de la Topografía, no sólo por la 
tendencia cada vez más marcada de utilizarla en los cálculos, sino por formar parte 
integrante de instrumentos topográficos y fotogramétricos. 
I.2.- LA TOPOGRAFIA 
1.- Planimetría y Altimetría 
a.- Planimetría 
La Topografía suele subdividirse a los efectos de su estudio, en dos partes 
fundamentales: la Planimetría y la Altimetría. 
Surge de esta división que las dos direcciones fundamentales en 
Topografía son la horizontal y la vertical. La dirección del hilo de la plomada es la que 
determina prácticamente la dirección vertical. Fijada esta, se consideracomo dirección 
horizontal a toda dirección perpendicular a la dirección vertical. La dirección horizontal 
queda también determinada por la superficie libre de las aguas del mar en reposo. En 
Topografía, la dirección horizontal, se logra en forma práctica, por medio de los Niveles. 
La planimetría, tiene como principal objetivo conocer la proyección 
horizontal de los puntos del terreno sobre un plano de comparación, 
independientemente de la altura que tengan estos puntos sobre dicho plano. 
 
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En planimetría, todos los puntos que están sobre una misma vertical, se 
proyectan en el mismo punto sobre el plano de comparación. En consecuencia, en 
planimetría, punto es la vertical y recta es la totalidad de los puntos situados en un 
plano vertical. 
b- Altimetría 
La altimetría, nivelación o levantamiento altimétrico, tiene como principal 
objetivo el conocimiento de la altura o cota de los puntos del terreno o las curvas de 
nivel, respecto a un plano tomado como referencia. 
c- Planialtimetría 
Frecuentemente los trabajos de planimetría y altimetría se hacen por 
separado, utilizando a veces, instrumentos del todo diferentes; pero también suelen 
hacerse simultáneamente, empleando un mismo instrumento, valiéndose de métodos 
abreviados Ilamados de taquimetría; al trabajo planialtimétrico así efectuado se le 
conoce con el nombre de levantamiento taquimétrico. 
2.- Definiciones Básicas 
a- Distancia 
Dos puntos cualesquiera sobre el terreno tales como A y B, (Fig. I.6) 
determinan tres distancias: 
- La distancia natural, que se obtiene siguiendo todas las sinuosidades del terreno. ( En 
Topografía carece de interés.) 
- La distancia geométrica, indicada en la figura por el segmento AB. (En Topografía 
tiene escasa importancia). 
- La distancia verdadera, indicada en la figura por el segmento ab. Es la única que 
tiene real interés para la Topografía. 
 
 B 
 
 h = HB - HA 
 A  HB 
 
 HA 
 a b nivel del mar 
 
Figura I.6 
 
b- Altura absoluta 
Se denomina "altura absoluta" o “cota absoluta” de un punto cualquiera del 
terreno, tal como A (Fig. I.6), la distancia vertical entre el punto A y el nivel medio de las 
aguas del mar en reposo, el que se toma como plano de referencia. La designamos H. 
c- Desnivel 
Se designa como "desnivel" entre dos puntos del terreno, tales como A y B 
(Fig. I.6), a la distancia vertical que hay entre los planos horizontales que pasan por 
esos puntos. Lo designamos h. 
Observamos en la figura que el desnivel resulta igual a la diferencia entre 
las alturas absolutas de los puntos: 
 h = HB - HA 
d- Angulos Azimutal y Cenital 
Tres puntos del terreno, tales como A, B y C (Fig. I.7), determinan un 
ángulo  llamado ángulo de posición cuyo estudio no interesa en Topografía. El ángulo 
 
12 
 
horizontal que realmente interesa, es el designado por  en la figura y queda 
determinado por las proyecciones a,b,c de los tres puntos sobre un plano horizontal de 
comparación. Es el ángulo que forman los planos verticales que pasan por AB y BC, en 
su intersección con el plano horizontal de comparación. 
La línea que une dos puntos A y B del terreno (Fig. I.6), determina con la 
horizontal que pasa por uno de ellos, un ángulo vertical 
Si hay que "levantar" la horizontal para que coincida con el segmento AB, 
será un ángulo vertical de elevación; en caso contrario, será un ángulo vertical de 
depresión. 
 
 
 B 
 
 A 
 
 
 
 
 C 
 
 
 a b 
  
 c 
 
Figura I.7 
 
e- Superficie 
Finalmente, cuando en Topografía hablamos de "superficie agraria" o 
simplemente "superficie del terreno" nos referimos a la proyección sobre un plano 
horizontal, de la superficie real del terreno. 
f- Coordenadas de un punto 
Para situar sobre el plano los puntos del terreno que han sido levantados, 
conviene hacerlo de tal manera que el dibujo de cada uno se mantenga independiente 
del de los otros. Esto se debe a que los errores gráficos, superiores a los que 
cometemos al medir en el terreno, se acumulan sucesivamente al ir repitiendo sobre el 
plano, el dibujo encadenado de las operaciones realizadas, apoyando unas sobre otras. 
Para obtener esta independencia en el dibujo de los puntos, lo que se hace 
es calcular las coordenadas de los mismos con respecto a un sistema de referencia 
que se supone trazado sobre el terreno. De esta manera, al representar luego los 
puntos levantados, el error gráfico queda localizado en cada uno de ellos sin 
transmitirse a los demás. 
En Topografía se utilizan fundamentalmente como sistemas de referencia, 
el de coordenadas cartesianas ortogonales o rectangulares y el sistema de 
coordenadas polares. 
El sistema de coordenadas rectangulares usado en Topografía, presenta 
algunas diferencias con el sistema de coordenadas rectangulares utilizado por 
Geometría Analítica. La diferencia fundamental esta en considerar como eje vertical del 
sistema cartesiano, el eje OX en lugar del eje OY, y como eje horizontal al eje OY, tal 
como muestra la Figura I.8. 
 
 
 
13 
 
 
 X 
 
 IV I 
 +x +x 
 -y +y Y Figura I.8 
 -x -x 
 III -y +y II 
 
 
Las direcciones positivas de ambos ejes se mantienen igual que en la 
Geometría Analítica. De esta forma el plano queda subdividido en cuatro partes 
llamadas cuadrantes. 
Con respecto a la orientación del plano, diremos que dentro del país, se 
utiliza la convención de hacer coincidir la dirección Norte-Sur con el eje X, y la Este-
Oeste con el eje Y, tomando la dirección positiva del eje X hacia el Norte y la dirección 
positiva del eje Y hacia el Este (Fig. I.9). 
En base a lo expuesto, un punto cualquiera P1 queda determinado, en el 
sistema de coordenadas rectangulares, por un par de coordenadas x1 e y1. 
 
 X (N) 
 
 X 
 x2 o´ y A2 
 
 x L P 
 x1 
 A1 L 
 
 o y1 y2 Y o Y 
 Figura I.9 Figura I.10 
 
Así como el sistema de coordenadas rectangulares está constituido por un 
par de ejes que se cortan ortogonalmente en un punto O denominado origen del 
sistema, el sistema de coordenadas polares está constituido por un punto O llamado 
polo y unsemieje con origen en ese punto, llamado semieje polar (Fig. I.10). 
Un punto cualquiera del plano queda determinado por sus dos 
coordenadas polares: el módulo L y el argumento  
En Topografía, el módulo OP recibe el nombre de distancia y el argumento 
 recibe el nombre de rumbo. Los rumbos se cuentan positivos en el sentido horario a 
partir de la dirección positiva del eje OX. 
3.- Levantamientos Topográficos 
a- Consideraciones Generales 
Levantamiento topográfico es el conjunto de operaciones necesarias para 
fijar geométricamente el contorno de un terreno y su relieve. 
Aunque en general todo levantamiento ha de hacerse con la precisión 
debida, hay ocasiones en que, por la índole del trabajo, puede aligerarse éste aun 
cuando se cometan errores sensibles en el plano, e incluso, a veces, basta un ligero 
bosquejo con rápidas medidas, constituyendo un croquis. 
 
14 
 
De aquí la clasificación de los levantamientos en regulares e irregulares; en 
los primeros se utilizan instrumentos, más o menos precisos, que con un fundamento 
científico permiten obtener una representación del terreno de exactitud variable pero, 
de tal naturaleza, que se compute siempre como de igual precisión en cualquier punto 
de la zona levantada. La exactitud de los levantamientos regulares depende, desde 
luego, de la habilidad del operador, pero es debida principalmente, a la precisión de los 
instrumentos empleados. 
En los levantamientos irregulares se usan instrumentos elementales, o no 
se utiliza ninguno en alguna parte del trabajo, y los métodos que se siguen pueden ser 
intuitivos, como medir distancia a pasos o simplemente por croquisación. Los errores 
cometidos son grandes y no pueden considerarse repartidos con uniformidad, y, a 
diferencia de los métodos regulares, influye de modo preponderante la habilidad del 
operador. 
Los levantamientos regulares pueden ser a su vez de precisión y expeditos. 
En los primeros han de utilizarse los instrumentos y los métodos en relación con la 
escala adoptada, en forma tal que los errores que se cometan queden sin 
representación gráfica en el plano. 
En los levantamientos expeditos no se tiene esta precaución, y los errores 
llegan a ser sensibles en el plano, pero no en cuantía tal como para resultar 
irrealizables las obras que en ellos se tanteen. Los levantamientos expeditos podrán 
ser útiles para un primer estudio u orientación, para decidir la conveniencia de modificar 
un primer trazado o, de una manera general, para todas aquellas circunstancias en que 
sólo se precise poseer una representación aproximada del terreno. 
La topografía propiamente dicha se ocupa solamente de los levantamientos 
de precisión y éstos aligerados, más o menos, según las circunstancias, constituirán los 
expeditos. Los levantamientos irregulares no pueden considerarse propiamente 
métodos topográficos. 
b- Sistemas de Representación 
Aun suponiendo que la superficie que haya de representarse sea lo 
suficientemente pequeña para poder prescindir de la esfericidad terrestre, siempre será 
preciso representar sobre un papel, que tiene sólo dos dimensiones, el terreno con sus 
relieves, que es de tres, por lo que ha de hacerse aplicación de algunos de los 
sistemas representativos que estudia la Geometría Descriptiva. 
De los cuatro sistemas fundamentales hemos de prescindir de los métodos 
que suelen llamarse perspectivos (cónico y axonométrico), porque deforman las figuras 
al variar sus dimensiones en las distintas direcciones. Entre los sistemas métricos 
tampoco nos sirve el sistema diédrico, o de Monge (planta y alzado), porque siendo la 
proyección vertical mucho menor que la horizontal, se acumularían y superpondrían en 
ella las proyecciones de tal número de puntos que imposibilitarían su lectura. 
 
 
 A 
 
 c 
 
 
 A’(c) (c1) (c2) B’(c’) 
  Figura I.11 
 
En el sistema acotado (Fig. I.11) se representa los diversos puntos del 
espacio tomando un plano horizontal  de comparación arbitrariamente elegido y 
C1 
C2 
C 
C’ B 
 
15 
 
proyectándolos ortogonalmente sobre éste. La Tierra en Topografía la tomaremos 
esférica proyectando un determinado terreno sobre un plano horizontal tangente a la 
superficie terrestre. Para evitar deformaciones, esa proyección ortogonal sobre un 
plano tiene unos relativamente límites de extensión, que son bastante amplios. 
La representación, sin embargo, ha de ser reversible, o sea que de la 
proyección hemos de deducir la verdadera forma en el espacio. 
Se precisa por tanto, un elemento más, que en el sistema acotado es la 
distancia c entre cada punto y su proyección; éste, en el dibujo, se señala al lado de la 
proyección A’ y se denomina cota; con la proyección y la cota, el punto queda 
perfectamente definido, ya que en la proyectante AA’ no puede haber más que uno de 
cota c; de este modo se habrá hecho reversible el sistema de representación. 
La cota c será positiva, cero, o negativa, según que A se encuentre encima, 
en el plano o por debajo. En la representación topográfica el plano de comparación ha 
de tomarse lo suficiente bajo para que todas las cotas resulten positivas. 
Se llama pendiente de una recta AB a la tangente trigonométrica del ángulo 
que forma con el plano de comparación; se tiene, pues: 
p = i = tg  = c’ - c 
 A’B’ 
Se dice que una recta en proyección acotada está graduada, o señalada su 
escala de pendiente, cuando quedan marcados sobre la representación de la recta los 
puntos de cota entera; en la figura, (c1), (c2). 
El graduar una recta es una operación muy frecuente en topografía para el 
trazado de curvas de nivel. 
A la longitud (c1) (c2) de la recta graduada, se le llama módulo o intervalo y 
representa la longitud de reducida correspondiente al desnivel de un metro. La 
pendiente de una recta es la inversa de su módulo o intervalo. 
Un terreno entonces queda definido si a la proyección horizontal acompaña 
la cota de los puntos que sirven para caracterizarlo; esta representación recibe el 
nombre de plano acotado. 
Un plano acotado, siempre que las cotas se refieran a puntos bien 
elegidos, basta para resolver los problemas que se refieran a desniveles, pero ofrece el 
inconveniente de no dar una idea suficientemente clara del relieve; éste queda mucho 
más patente en los planos con curvas de nivel. Se denomina curva de nivel a la línea 
que une en el plano los puntos de igual cota y vendrán dadas (Fig. I.12) por la 
proyección sobre el plano de comparación de las intersecciones de la superficie con 
planos paralelos. 
 
 
 120 
 
 
 110 Figura I.12 
 
 
 
 100 
 
 
 
 120 
 110 
 100 
 
16 
 
Se da el nombre de equidistancia de una superficie topográfica a la 
distancia vertical constante que separa dos secciones horizontales consecutivas. 
El espacio comprendido entre cada dos curvas se denomina zona, y se 
conviene en admitir que son superficies regladas cuya generatriz rectilínea se apoya en 
las dos curvas como directrices con la condición de ser constantemente normal a una 
de ellas. 
La superficie topográfica, por lo tanto, no coincide exactamente con la 
superficie real del terrenoy se aproximará tanto más a ésta cuanto menor sea la 
equidistancia. 
En proyección acotada, los puntos vienen determinados, según se ha 
dicho, por su proyección horizontal y su cota; de aquí que todo levantamiento conste de 
dos partes: la primera consiste en el conjunto de operaciones necesarias para llegar a 
obtener la proyección horizontal, operaciones que constituyen la planimetría, y la 
segunda, en determinar la cota de los puntos necesarios o las curvas de nivel, lo que 
constituye la altimetría. Ambos trabajos podemos hacerlo en forma conjunta mediante 
un relevamiento taquimétrico. 
La planimetría y la altimetría, o la taquimetría en su caso, se realizan 
también en dos etapas. En la primera se toman sobre el terreno los datos necesarios, 
constituyendo los trabajos de campo; en ellos se sitúan los instrumentos en los puntos 
elegidos, lo que se denomina hacer estación, y se anotan las observaciones en 
impresos especiales Ilamados registros o libretas. 
En la segunda etapa, o trabajos de gabinete, se calculan en las libretas las 
distancias verdaderas y desniveles y se efectúan todas las operaciones precisas hasta 
dejar dibujado el plano. 
Entre las distintas representaciones del terreno haremos mención, en 
primer término, de los globos, que representan sobre una esfera todos los mares y 
continentes, y de los relieves, figuras semejantes a las que se trate de representar con 
sus elevaciones y depresiones. Ambos sistemas serían los más perfectos si la 
imposibilidad de reflejar en ellos los detalles precisos y la dificultad de su manejo no los 
hiciese inaplicables para la mayor parte de las necesidades, siendo indispensable 
recurrir a representaciones sobre un papel, de más cómodo uso. 
Se da el nombre de mapas o cartas geográficas a toda representación 
plana de una parte de la superficie terrestre que, por su extensión y debido a la 
curvatura de la superficie del planeta, requiera hacer uso de sistemas especiales de 
transformación propios de la Cartografía. Cuando el mapa abarca a la totalidad del 
Globo, se la Ilama planisferio, y si la representación del mundo se consigue mediante 
dos hemisferios se le denomina mapamundi. 
Los mapas pueden ser marinos (vulgarmente llamados cartas) o terrestres 
(simplemente mapas). 
Las cartas proporcionan la representación de costas, islas y aquellas 
alturas o montañas que se distingan de alta mar y pueden servir de referencia del 
navegante y pueden ser las destinadas a la navegación o las que señalan diferentes 
particularidades físicas del mar. En las cartas de navegación o de derrota se indican 
con todo detalle los accidentes de las costas, faros, boyas, etc. 
Cuando la representación se refiere a una gran superficie, como un 
continente o una nación, se denominan mapas geográficos, y si la superficie es menor, 
como una región o provincia y la representación es por lo mismo más detallada, reciben 
el nombre de mapas corográficos. 
Los mapas a su vez, por razón a la finalidad, reciben los nombres de: 
- Militares, donde se señalan los puntos de residencia de fuerzas del ejército, 
fortalezas, etc. 
 
17 
 
- Políticos, si se circunscriben a las obras del hombre, carreteras, lindes de municipios, 
fronteras, etc. Los mapas políticos pueden referirse asimismo a los medios de 
comunicación de una región más o menos extensa, de una nación o de un continente, 
constituyendo los mapas de tráfico, que pueden ser de ferrocarriles, de carreteras, de 
líneas de navegación, telegráficos, etc., o aeronáuticos, entre los que existen, 
aeronáutico base, itinerario o de ruta, aeronáutico general y aeronáutico local. 
- Físicos, si representan las obras de la naturaleza conteniendo lo más saliente como 
ríos, montañas y poblaciones principales; pueden subdividirse en orográficos, 
hidrográficos, geológicos, etc. Los mapas topográficos dan a conocer el terreno que 
representan con todos sus detalles, naturales o debidos a la mano del hombre, y son, 
por lo tanto, las representaciones más perfectas de una superficie de la Tierra. 
- Biológicos 
- Históricos 
- Agrícolas 
- Estadísticos 
- Etcétera 
Se da propiamente el nombre de plano a la representación gráfica que por 
la escasa extensión de superficie a que se refiere no exige hacer uso de los sistemas 
cartográficos, se apoyen o no los trabajos en la geodesia. 
c- Escalas 
En Topografía, las figura planimétricas que aparecen en el plano no son 
por lo general del tamaño natural que corresponde al cuerpo representados · 
Tales figuras, son mucho menores pero semejantes a dicho cuerpo y los 
segmentos representados por dos puntos cualesquiera, guardan siempre una relación 
constante de semejanza con los que corresponden en tamaño natural al cuerpo 
representado. Esta relación se denomina escala de la representación planimétrica o 
simplemente escala. 
Podemos definir la escala numérica de la siguiente manera: 
 E = p = 1 = 1 (1) 
 T T D 
 p 
En la cual: p = medida de un segmento en el papel 
 T = medida del segmento correspondiente en tamaño 
 natural (o sea medida proyectada horizontalmente 
 de la distancia entre los dos puntos del terreno que 
 determinan dicho segmento)· 
 D = denominador de la escala expresada ésta en 
 fracción, con numerador igual a la unidad. 
Es decir, que planimétricamente todo sucederá como si el terreno que está 
representado en el plano fuera, respecto del verdadero, D veces más pequeño en 
todas sus dimensiones, 
Con el fin de evitar confusiones y corregir vicios de expresión muy 
frecuentes, teniendo en cuenta la ecuación (1) se deduce que la escala será grande 
cuando D es pequeño, e inversamente será pequeña cuando D sea grande. Podemos 
entonces establecer la siguiente clasificación de escalas: 
- Escalas Grandes: 1/100, 1/200, 1/500 
- Escalas Medias: 1/1000 a 1/10.000 
- Escalas Pequeñas: 1/20.000 a 1/500,000 o menores. 
Para que un mapa pueda recibir el nombre de topográfico es preciso que 
su escala no sea menor de 1:50.000, si bien los trabajos se efectúan a 1:25.000 para 
 
18 
 
reducirla después y atenuar los errores. Escalas inferiores a 1:50.000 se reservan para 
los mapas geográficos ajenos a la topografía. 
En los planos muy rara vez se emplean escalas inferiores a 1:10.000, 
siendo frecuentes las de 1:5.000, 1:2.000, 1:1.000 y 1:500, y para los planos de detalle 
o de proyecto de obras las de 1:100 y aun superiores. En los proyectos de ingeniería 
nunca se emplean escalas inferiores a 1:5.000. 
En cada caso habrá de elegir la escala pensando en los menores detalles 
que hayan de presentarse en relación con el fin que se persiga, de modo que en el 
dibujo, a la escala elegida, aparezcan de suficiente tamaño para que pueda apreciarse 
su magnitud. 
Se admite que la vista humana normal puede alcanzar a percibir sobre un 
papel magnitudes hasta 1/4 de milímetro con un error en la percepción no superior a 
1/5 de milímetro. Si trabajásemos por ejemplo, a una escala de 1:25.000, los 0,2mm del 
plano, de inevitable error, vendrían representados en el terreno por 5 metros, que a 
esta escala serían del todo despreciables. Si en cambio fuese aquélla de 1:2.000, la 
misma magnitud del plano correspondería a 40 centímetros del terreno. 
En el levantamiento de un camino, por ejemplo, en el primer caso, 
despreciaremos la curvatura de un tramo cuya flecha sea inferior a los 5 metros, 
tomándolo como recto y quedando determinado sólo por el punto de origen y el 
extremo final, mientras que en el segundo caso será preciso aquilatar hasta los 40 
centímetros de flecha, situando puntos intermedios con mucho mayor gasto y trabajo. 
El producto de 0,2mm por el denominador de la escala nos da en todos los 
casos, la distancia en el terreno que resulta despreciable. 
De acuerdo a lo ya enunciado, son muy útiles establecer dos reglas 
prácticas: 
-Dada una medida p del papel, se multiplica por D para obtener la que le corresponde 
en el terreno: 
 T = p . D (T mayor que p) 
- Recíprocamente, una longitud T (proyección horizontal de un segmento del natural),se 
representará en el papel por la que resulta de dividir T por D 
 p =T (p menor que T) 
 D 
La Topografía, para lograr la representación del terreno con el método de 
Proyección Acotada, tiene que proceder por puntos. Se infiere de aquí que para lograr 
un buen plano topográfico se impone identificar las rugosidades del terreno con 
superficies suficientemente sencillas las que se descompondrán en un número 
conveniente de líneas sobre las que se ha de saber elegir cada uno de los puntos que 
servirán para determinarlas en forma inequívoca y precisa. 
El topógrafo tiene, por tanto, que enfrentarse con elementos geométricos y 
entre estos, fundamentalmente con el punto, que podrá fijar en un plano con sólo dos 
medidas y en el espacio con tres. Se concentrará en medir ángulos y distancias con 
habilidad suficiente que le permita, en definitiva, reducir al mínimo la densidad de los 
puntos y con ellos los gastos inherentes a la ejecución de tales trabajos. 
Corresponde aquí fijar ideas sobre la calidad técnica del plano. 
Evidentemente cuando cada uno y todos las elementos que lo constituyen (puntos, 
líneas) aparecen en su sitio con un error gráfico menor del que, traducido por la escala 
de valores del terreno pueda influir inconvenientemente en el fin para al que el mismo 
se destina. 
Dicho en otras palabras: si planimétricamente el plano ha de ser por 
ejemplo, imagen del terreno 1000 veces menor que éste, entonces todos sus 
elementos habrán de representar los correspondientes del terreno a través de 
mediciones efectuadas en él con vacilación inferior a 0,20m por ser este un segmento 
 
19 
 
que en la expresada escala se representa por 0,2mm la cual es la longitud mínima que 
se puede apreciar en el papel a simple vista. Cuanto menor sea D, menor será también 
el segmento que en el terreno corresponde a los 0,2mm precitados (10cm del terreno a 
escala l:500 ó 4cm a escala 1:1200) y, consecuentemente, mucho mayor será el 
número de operaciones necesarias para tener buen éxito en la empresa. Tal 
complicación se alivia si la escala de la representación varia en asentido contrario, 
pues a la de 1:10.000 o la de 1:50.000, los 0,2mm representan 2 metros y 10 metros 
del terreno respectivamente. 
Llegamos así a una importante conclusión: ya que la aproximación de las 
medidas guarda tan estrecha relación con la escala del plano es necesario elegir ésta 
de acuerdo al fin que tal plano ha de satisfacer. La escala no ha de satisfacerse 
simplemente en razón del tamaño que se quiera dar a la representación del terreno 
sino que la escala ha de ser el resultado de la exigencia métrica que se ha de imponer 
a tal representación teniendo en cuenta la aproximación con que se medirá en la 
misma. 
Supongamos que cualquier elemento puntual del plano es fija en el mismo 
con indecisión no mayor de 0,2mn. Un segmento determinado por dos puntos tendrá en 
estas condiciones una indecisión de: 0,2mm x V2  0,3mm. Si además, cuando 
medimos efectuamos las coincidencias de nuestra escala con indecisión de 0,1mm, la 
medida queda afectada por: 0,1mm x V2  0,15mm y el efecto de ambos errores será 
de V(0,3)2 + (0,15)2  0,3mm. Si queremos entonces obtener del plano medidas con 
error menor de 0,90m, el denominador D de la escala del mismo deberá satisfacer la 
condición de: 0,3mm x D = 0,90m Luego D 0 3000 y E 0 1:3000. Las medidas 
efectuadas en el terreno para confeccionar tal plano correctamente deberán hacerse 
con error menor que 0,2mm x 3000 = 0,60m. 
Se dispone de un plano topográfico correctamente confeccionado a escala 
1:500.000, en la que cada punto está ubicado con error menor de 0,2mm, ¿Que 
tolerancia hubo en el terreno cuando se efectuaron las mediciones planimétrica para 
confeccionarlo?: 0,2mm x 3000 = 0,60m. ¿Qué error se cometerá en la determinación 
de una distancia si se mide en dicho plano aproximando al 0,5mm en cada extremo de 
un segmento: 
V(0,3)2 + (0,7)2 x 500.000  0,7mm x 500.000 = 350m 
Podemos expresar entonces que la regla práctica para determinar la escala 
a la que se confeccionará un plano topográfico es: 
- Se fija la aproximación para la medida del terreno que se desea obtener de él: 
llamémosla a. 
- Se establece la precisión gráfica con que quedará fijado en el plano cualquier punto: 
designémosla s. 
- Se calcula E con la expresión: s = E = 1 
 a D 
Para evitar operaciones matemáticas, mapas y planos contienen escalas 
gráficas que pueden ser de dos tipos: ordinarias y de transversales. 
La escala ordinaria se representa por una recta (Fig. I.13), dividida en 
partes iguales anotando en cada una a partir del cero, la magnitud equivalente en el 
terreno. La longitud de estos segmentos se elige de modo que quede expresada por un 
número sencillo. 
0 100 200 300 
  – – – – ––––––––– Figura I.13 
 
100 0 100 200 
 
20 
 
 1 
 32 
 5 4 Figura I.14 
 76 
 98 
 10 
Para evitar tener que tomar a la estima los metros en el ejemplo de la figura 
(la menor división de esa escala es 10m), se recurre a la escala de transversales para 
obtener mayor precisión (Fig. I.14). Se dibujan para ello, once escalas de 1:5.000, unas 
debajo de otras, de modo que las divisiones se correspondan en perpendiculares 
comunes, pero sin marcar las divisiones pequeñas de la izquierda del cero más que en 
la primera y en la última escala. Estas subdivisiones se unen después por una serie de 
transversales en la forma indicada en la figura. 
Es evidente que la transversal que pasa por el punto cero de la escala y la 
normal trazada por el mismo punto interceptarán en la primera paralela una magnitud 
igual a una décima de división pequeña, o sea un metro del terreno, representado en el 
dibujo por 0,2mm, que se considera el Iímite de percepción visual. De igual modo 
interceptarán en la segunda paralela dos metros del terreno, tres en la tercera y así 
sucesivamente. 
Así, por ejemplo, si quisiéramos tener la longitud correspondiente a 227 
metros, tomaremos la escala séptima y en ella colocaremos una punta del compás en 
la segunda transversal y la otra en división 200; la distancia comprendida entre ambas 
puntas es la buscada. 
d- Métodos Topográficos, Redes 
Consiste todo levantamiento topográfico en trasladar al plano con su cota, 
puntos determinados del terreno partiendo en planimetría, de una recta 
escrupulosamente medida y orientada que se denomina a base, y en altimetría, 
tomando como origen un punto cuya altitud sobre el nivel del mar sea conocida o al que 
se le asigne una cota arbitraria, arrastrando ésta a los demás puntos previo cálculo de 
los desniveles parciales de uno a otro. 
Las determinaciones tanto altimétricas como planimétricas, han de 
apoyarse por tanto, unas en otras, acumulándose sucesivamente los errores 
cometidos. Se admite como postulado fundamental de la topografía que un punto ha de 
considerarse tanto mejor determinado, a igualdad de las demás circunstancias, cuanto 
menor sea el número de operaciones escalonadasque se hayan realizado en su 
determinación; de aquí se deduce que todo trabajo, lo mismo planimétrico que 
altimétrico, convendrá realizarlo por etapas formando redes apoyadas sucesivamente 
unas en otras. 
En planimetría la primera red constituye la triangulación o red 
trigonométrica; con sus vértices muy espaciados, es análoga, aunque con lados más 
cortos, a las triangulaciones geodésicas y en las cuales debe apoyarse si el trabajo lo 
requiere. El método seguido por cálculo de los triángulos, es el más exacto de todos los 
conocidos y se denomina de intersección. 
La segunda red, denominada topográfica o poligonacíón, es interior a cada 
uno de los triángulos, distribuyendo en ellos puntos denominados poligonométricos, y el 
método seguido para determinarlos es de itinerario, que consiste en ir midiendo 
sucesivamente las rectas denominadas ejes que unen dos puntos y el ángulo que 
forman cada dos ejes consecutivos. Para el levantamiento de un itinerario se parte de 
un vértice o punto poligonométrico, para arribar a otro vértice o punto poligonométrico 
previamente establecido, formando en cada triángulo una malla de itinerarios que se 
entrecruzan. 
 
21 
 
La tercera red, denominada el relleno, se apoya en la anterior, 
estableciendo itinerarios cortos dentro de cada malla de la poligonación, pero 
levantando en cada estación, todos los detalles del terreno circundante por el método 
que se conoce con el nombre de radiación, midiendo las distancias de los diferentes 
puntos al centro y los ángulos que forman estos radios con una dirección fija. 
A su vez en altimetría, se utilizan otros tres métodos para el cálculo de 
desniveles: 1º)por visuales siempre horizontales, constituyendo la nivelación 
geométrica, o por alturas, propia de la red fundamental o de trabajos muy precisos, 
2º)con visuales inclinadas, que se denomina nivelación trigonométrica, o por 
pendientes, menos exacta que la anterior y 3º)en tanteos o trabajos expeditos podemos 
basarnos en las oscilaciones de un barómetro para deducir el desnivel entre dos puntos 
por la diferencia de presión atmosférica, método muy impreciso que constituye la 
nivelación barométrica. 
De todo lo dicho deducimos consecuentemente que, en la proyección 
topográfica, ha de modificarse el sistema representativo de proyección acotada tal 
como se emplea en Geometría Descriptiva en cuanto se refiere al plano de 
comparación, aun cuando se prescinda en planimetría, de considerar la esfericidad 
terrestre. 
Al estacionar los instrumentos en los puntos elegidos se proyectan todos 
los levantados desde cada estación en el respectivo plano tangente; de este modo, 
habremos sustituido la superficie terrestre por una poliedral circunscrita formada por 
tantas caras como estaciones hayamos efectuado, superficie que sustituye al plano 
único de comparación. 
Esta superficie poliedral, en los trabajos de gabinete, al prescindir de la 
curvatura se desarrolla en un plano como si girásemos las caras alrededor de las 
aristas hasta situarse en el plano central. En este desarrollo quedarán intersticios entre 
cara y cara aumentándose el área y, sobre todo, el perímetro; por consiguiente, el 
Iímite de los planos vendrá impuesto por la superficie hasta donde puedan 
considerarse como nulos, o en todo caso despreciables, tales espacios vacíos. Para 
extensiones mayores será preciso recurrir de una manera adecuada al concepto de 
Mapa Topográfico. 
Por lo que respecta a la altimetría, salvo para distancias muy pequeñas, no 
podremos prescindir de la esfericidad terrestre, así como de la refracción atmosférica, y 
teniendo en cuenta una y otra deduciremos las cotas o las altitudes, respectivamente, 
refiriéndolas no a un plano, sino a una superficie de nivel, que puede ser cualquiera, o 
a la del nivel del mar considerada como de cota cero. 
Las curvas de nivel serán por tanto, la representación en el plano de las 
intersecciones de la superficie terrestre con superficies de nivel (Fig. I.12). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
CAPITULO II.- SISTEMAS DE MEDIDAS 
II.1.- UNIDADES DE MEDIDA 
1.- Unidad de Longitud 
Se denomina medir una magnitud al resultado de compararla con otra de 
su misma especie que se toma por unidad. Las magnitudes que han de medirse en 
topografía son las lineales, las angulares y las superficiales. 
La unidad de longitud es el metro, que tiene como submúltiplos el 
decímetro (0,1m), el centímetro (0,01m) y el milímetro (0,001m). Como múltiplos el 
decámetro (10m), el hectómetro (100m) y els kilómetro (1.000m). 
El metro que se define prácticamente como la unidad que adquiere a cero 
grados centígrados una regla de platino e iridio, denominada metro de los archivos, que 
se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Breteuil, en París. 
Todos los Estados poseen prototipos (copias de la citada regla) también de 
platino e iridio los cuales fueron sorteados en el siglo pasado. 
El sistema métrico decimal nació en la Revolución Francesa. Y para 
obtener la unidad fundamental se midió un arco de meridiano entre Dunquerque y 
Barcelona bajo la dirección de Delambre y de Mechain, construyéndose entonces por 
Lenoir y Fortin el metro de los archivos, igual a la diezmillonésima parte del cuadrante 
del meridiano terrestre, según resultó de la medición efectuada. 
Los trabajos geodésicos realizados durante el siglo pasado pusieron de 
manifiesto que el prototipo es ligeramente más corto que la magnitud que se pretendió 
darle. Según el elipsoide de Bessel, uno de los más usados y aún en vigor, tendría el 
cuadrante terrestre una longitud de 10.000.856 metros. y aunque esta medida no sea 
exacta, unida a todas las realizadas, permite afirmar que en la obtención del metro 
hubo error por defecto. 
No obstante, en la asamblea celebrada en París en 1872 por la Comisión 
Internacional del Metro, se tomó el acuerdo de no modificar el prototipo que difiere 
aproximadamente en una décima de milímetro de la diezmillonésima parte del 
cuadrante del meridiano terrestre que pasa por París. 
La definición práctica de metro que hemos indicado ha sido sustituida por 
otra más científica por la IX Conferencia General de Pesas y Medidas, celebrada en 
París en 1960, en la que se dio al metro la siguiente definición, que es hoy la adoptada 
oficialmente: el metro es igual a 1.650.763,73 veces la longitud de onda en el vacío de 
la radiación correspondiente a la transición entre Ios niveles 2p10 y 5d5 del átomo de 
criptón 86. 
2.- Unidades Angulares 
Consideremos una circunferencia referidas a un sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonales (Fig II.1) de modo tal que el centro de la misma coincida con el 
origen de dicho sistema. 
 X 
 
 A a 
 
 r rM Figura II.1 
 
 O Y 
 
 
 
 
23 
 
La intersección del semieje OX con la circunferencia es el punto A. 
Si hacemos girar en segmento OA en sentido horario, en un momento 
determinado ocupará una posición tal como OM. En ese momento ha que dado 
engendrado el ángulo inscrito al centro MOA que designaremos  y que por 
convención será positivo. Durante este giro, el punto A recorrió un arco AM que 
designaremos a y que corresponde al ángulo al centro . 
Los sistemas de medición del ángulo  son cuatro y en la diferencia 
existente entre éstos, está el criterio utilizado para subdividir la circunferencia 
- Sistema sexagesimal.- En la graduación sexagesimal se supone la circunferencia 
dividida en 360 partes iguales que constituye cada una de ellas el grado sexagesimal, 
unidad del sistema, y que se encuentran distribuidos en cuatro cuadrantes de 90 
grados cada uno; cada grado se considera dividido en 60 minutos y cada minuto,a su 
vez, en 60 segundos. 
Este sistema es uno de los más empleados en Topografía, considerando además que 
la mayoría de los teodolitos nos proporcionan lecturas en unidades sexagesimales. 
- Sistema centesimal.- Suele estar de moda en Topografía la graduación centesimal, 
por ser de uso más cómodo y cálculo más sencillo que la sexagesimal. En la 
graduación centesimal se considera dividida la circunferencia en 400 partes iguales que 
constituye cada una de ellas el grado centesimal, unidad del sistema, distribuidos en 
cuatro cuadrantes de 100 grados; cada grado comprende 100 minutos y cada minuto, 
100 segundos. 
Los grados, minutos y segundos centesimales se designan, para distinguirlos de los 
sexagesimales, por las letras g, m y s, respectivamente, colocadas en igual forma que 
en la graduación sexagesimal. 
- El sistema radial o circular.- La circunferencia se divide en 2 partes iguales y cada 
una de esas partes constituye un radián que es la unidad de este sistema. El número 
de radianes que mide un ángulo cualquiera, se obtiene dividiendo la longitud del arco 
correspondiente a dicho ángulo, por la longitud del radio de la circunferencia. Así por 
ejemplo, el ángulo  (Fig II.1), tendrá por medida un número de radianes, igual al que 
resulta del cociente a/r, expresados ambos en la misma unidad de medida. 
Tendremos entonces: a (rad.) 
 r
Si en esta expresión, hacemos a = r , tendremos  =1rad . En consecuencia el radián, 
unidad del sistema, es un ángulo cuyo arco correspondiente tiene igual medida que el 
radio de la circunferencia. 
Este sistema de medida angular, al igual que el sistema sexagesimal, es muy utilizado 
en los cálculos topográficos pues con frecuencia es necesario expresar la medida de 
un ángulo en ambos sistemas. 
- El sistema horario.- La circunferencia se divide en 24 partes iguales y cada una de 
esas partes constituye una hora que es la unidad de este sistema. Cada hora se 
subdivide a su vez en 60 partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de 
minuto y cada minuto se subdivide a su vez en otras 60 partes iguales, cada una de las 
cuales recibe el nombre de segundo. 
Se puede expresar la medida de un ángulo en cualquier sistema, mediante 
una sencilla operación de conversión basada en la siguiente propiedad: la razón entre 
un ángulo y toda la circunferencia, es decir el ángulo que corresponde a un giro 
completo, se mantiene constante, independientemente del sistema de medida. Por lo 
tanto: 
º g rad h 
 º grad h 
 
24 
 
Así por ejemplo: 
 º º . rad 
 rad 
rad rad º 
 º 
Al valor / se lo designa por y vale: ºº, 
 ’ ’, 
 ”” 
Si consideramos nuevamente la Fig. II.1, observamos que en una 
circunferencia de radio r, a todo ángulo central  le corresponde un determinado arco 
a. Las relaciones que existen entre estas tres magnitudes, son muy utilizadas en 
Topografía y nosotros las emplearemos especialmente en el estudio de las curvas 
circulares y en las operaciones topográficas de replanteo de las mismas. 
Hemos visto al definir el sistema radial o circular, que el número de 
radianes que mide un ángulo  cualquiera, puede obtenerse dividiendo la longitud del 
arco, por la longitud del radio de la circunferencia. Es posible entonces deducir las 
relaciones entre las 3 magnitudes: 
 a (m) = r (m) x rad 
 r (m) = a (m) 
 rad 
Si el dato en nuestro problema fuera un ángulo expresado en medida 
sexagesimal, para aplicar estas fórmulas, previamente deberemos pasar el ángulo al 
sistema radial. De igual manera, si tenemos el arco y el radio, obtendremos el ángulo 
en radianes. Como lo más frecuente es que tanto nuestros datos como nuestros 
resultados expresen los ángulos en medidas sexagesimales, es conveniente modificar 
las ecuaciones recurriendo a las fórmulas de pasaje. Las relaciones entre radio, arco y 
ángulo, expresado éste en medida sexagesimal, quedan de la siguiente forma: 
 º = a (m) x º 
 r (m) 
 a (m) = r (m) x º 
 º 
 r (m) = a (m) x º 
 º 
La Geometría nos proporciona relaciones de importancia atinentes a los 
lados o a los ángulos de un triángulo. Así por ejemplo, recordamos el teorema de 
Pitágoras: "en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la 
suma de los cuadrados de los catetos" y también la propiedad que nos dice, "la suma 
de los ángulos interiores de un triángulo es siempre igual a 180 grados sexagesimales". 
Como vemos son propiedades relativas a los lados solamente o bien, a los ángulos 
solamente. En Topografía, es de fundamental importancia considerar la relación que 
vincula a los lados con los ángulos de un triángulo. Estas relaciones son 
proporcionadas por la Trigonometría, disciplina de la cual recordaremos en forma breve 
y sintética, aquellos conceptos que aparecen con frecuencia en los cálculos 
topográficos. 
Consideremos nuevamente una circunferencia referida a un sistema de 
coordenadas cartesianas, de modo que su centro coincida con el origen del sistema 
(Fig. II.2). Cuando el radio de esta circunferencia se torna igual a la unidad, la 
 
25 
 
circunferencia recibe el nombre de "circunferencia trigonométrica" y en ella resulta 
sencillo definir las relaciones que vinculan los lados con los ángulos de un mismo 
triángulo. Comenzaremos por analizar las coordenadas del punto M poniendo énfasis 
en el signo de esas coordenadas en los cuatro cuadrantes. 
 0º 
 X 
 
 A a 
 P y M 
 IV x rI Figura II. 2 
 270º 90º 
 O Y 
 III II 
 
 
 
 180º 
En Topografía, sólo nos interesan los ángulos positivos y menores de 360º. 
De éstos, los comprendidos entre 0º y 90º, pertenecen al primer cuadrante; los 
comprendidos entre 90º y 180º al segundo cuadrante; los comprendidos entre 180º y 
270º, al tercero y los comprendidos entre 270º y 360º, al cuarto cuadrante. 
Vemos en la figura que tenemos tres distancias a considerar: 1) la distancia 
OP o abscisa del extremo libre M; 2) la distancia MP u ordenada de dicho extremo libre; 
3) la distancia OM desde el centro de la circunferencia al punto M, que suele llamarse 
"radio vector" y que tiene por medida la del radio r de la circunferencia. Podemos 
establecer, en base a lo anterior, que: 
 r2 = x2 + y2 
Resulta sencillo observar los signos que toman la abscisa x y la ordenada y 
en los cuatro cuadrantes. En lo que respecta a r, su valor se considera siempre 
positivo. 
Podemos ahora definir las funciones trigonométricas de un ángulo  
cualquiera a partir de las tres magnitudes anteriores: 
sen  = MP = y ; cosec  = OM = r 
 OM r MP y 
cos  = OP = x ; sec  = OM = r 
 OM y OP x 
 tg  = MP = y ; ctg  = OP = x 
 OP x