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NOMBRE DE LA LICENCIUATURA: Piloto Naval Semestre: II° Clave de la asignatura: TRI211 Elaboro: Ing. José Cruz Munguía Favila Escuela Náutica Mercante “Cap. Alt.Luis Gonzaga Priego González” de Tampico TRIGONOMETRIA PLANA Y ESFERICA Elaboró: I.C. José Cruz Munguía Favila Página | 2 INDICE PRESENTACIÓN ................................................................................................................................ 4 OBJETIVOS ........................................................................................................................................ 5 METODOLOGÍA DE TRABAJO ......................................................................................................... 6 MATERIAL. ......................................................................................................................................... 6 CAPITULO 1. GEOMETRIA ............................................................................................................. OBJETIVO ESPECIFÍCO: ............................................................................................................... 7 1.1. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS. ................................................ 7 1.2. PROPIEDADES DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS. .................................................................. 7 1.3. ÁNGULOS ENTRE DOS PARALELAS Y UNA SECANTE. ................................................................. 7 1.4. TRIÁNGULOS CONGRUENTES Y SEMEJANTES. .......................................................................... 7 1.5. TEOREMA DE PITÁGORAS ....................................................................................................... 7 1.6. TRAZO DE ÁNGULOS. CIRCUNFERENCIA, CÍRCULO, RECTAS Y SEGMENTOS NOTABLES Y ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA. .................................................................................................................. 7 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ................................................................................................... CAPITULO 2. TRIGONOMETRÍA PLANA ....................................................................................... 2.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. ................................................ 36 2.2 APLICACIONES PRÁCTICAS. .................................................................................................. 36 2.3 REDUCCIONES A FUNCIONES DE ÁNGULOS AGUDOS POSITIVOS. .............................................. 36 2.4 GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. .................................................................. 36 2.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. ......................................................................................... 36 2.6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS: ADICIÓN, ................................................... 36 2.7 SUSTRACCIÓN, DOBLE Y MITAD DE UN ÁNGULO. ...................................................................... 36 2.8 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS (LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS) ....................................... 36 2.9 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Y ECUACIONES. ..................................................... 36 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ................................................................................................... CAPITULO 3. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA .................................................................................... OBJETIVO ESPECIFÍCO: ............................................................................................................. 59 3.1 GEOMETRÍA DEL ESPACIO. ..................................................................................................... 59 3.2 TRIÁNGULOS ESFÉRICOS RECTÁNGULOS. ................................................................................. 59 3.3 TRIÁNGULOS ESFÉRICOS OBLICUÁNGULOS. ............................................................................. 59 3.4 SOLUCIONES ALTERNAS DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS OBLICUÁNGULOS ....................................... 59 Elaboró: I.C. José Cruz Munguía Favila Página | 3 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ................................................................................................... BIBLIOGRAFÍA................................................................................................................................. 96 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 4 PRESENTACIÓN El siguiente documento ha sido diseñado con el objetivo de apoyar al estudiante como complemento de la enseñanza de Trigonometría Plana y Esférica. El orden de presentación, así como los textos seleccionados y/o la recopilación de información se basan en el programa académico de la licenciatura de Piloto Naval de la Escuela Náutica Mercante “Cap. Alt. Luis Gonzaga Priego González”. Entre los temas se destaca la geometría plana, trigonometría plana y esférica. Además, se incluyen actividades y/o ejercicios que permiten reforzar y aplicar la teoría a la práctica al estudiante, lo cual genera aprendizajes significativos que le permiten desempeñarse eficientemente en su ámbito laboral. La antología es un recurso didáctico que incluye los significados, elementos y/o herramientas teórico-prácticas esenciales para abordar los contenidos de la asignatura, pero el estudiante tiene la libertad para investigar en otras fuentes información que le permita comprender a fondo la temática. Ing. José Cruz Munguía Favila Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 5 OBJETIVOS General: El objetivo de esta asignatura es informarles sobre el enfoque (competencias) que deben aplicar para tener un conocimiento de aprendizaje significativo. Interpreta los conceptos fundamentales de Trigonometria, mediante el uso eficaz de sus conocimientos algebraicos y trigonométricos, para solucionar problemas. Específicos: • La Trigonometría plana como rama de las matemáticas basadas en las competencias disciplinares busca propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y critico entre los estudiantes. • Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamiento. • Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. • Por ello los estudiantes deben poder razonar matemáticamente y no responder simplemente ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos. • Esto implica el que pueden hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del aula, para servir a la sociedad. Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 6 METODOLOGÍA DE TRABAJO La construcción del conocimiento se producirá a través de la socialización, el desarrollo de actividades individuales y colaborativas, que generarán y consolidarán los aprendizajes, con la mediación y orientación del docente. La antología es un apoyo didáctico durante el desarrollo de la asignatura, la cual está organizada en siete temas con sus respectivos subtemas de trabajo, además de este recurso, tú estudiante dispondrás de diferentes herramientascomo las tecnológicas que permitirán ayudarte a complementar tu información. En este documento encontrarás lecturas, ejercicios o actividades que permitan llevar a cabo investigaciones, solución de problemas, debates, etcétera, estrategias que permitan ejercitar y alimentar tu pensamiento crítico para tomar decisiones. Revisa el material para familiarizarte con los contenidos, puedes administrar tu tiempo y planear tu trabajo, lee con atención la información para que te apropies de los contenidos, resuelve y/o realiza las actividades y evaluaciones que se presenten, participa, consulta material complementario, entrega en tiempo y forma las actividades que se soliciten. MATERIAL. Calculadora científica Block de papel milimétrico Juego de geometría Cuaderno Profesional de cuadricula chica de 200 hojas, forrado con papel lustrina color Azul Rey y contact, con etiqueta personalizada (nombre completo de la Escuela, Alumno, Maestro, Materia, Grado y Grupo), 1 imágen respectiva a la materia de Trigonometría en la parte frontal y cocido con agujeta. Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 7 OBJETIVO ESPECIFÍCO: Identificar los ángulos y las propiedades de las figuras geométricas y aplicar correctamente el teorema de Pitágoras para darle solución a los ejercicios. SUBTEMAS 1.1. Clasificación de ángulos, triángulos y cuadriláteros. 1.2. Propiedades de triángulos y cuadriláteros. 1.3. Ángulos entre dos paralelas y una secante. 1.4. Triángulos congruentes y semejantes. 1.5. Teorema de Pitágoras 1.6. Trazo de ángulos. Circunferencia, círculo, rectas y Segmentos notables y ángulos en una circunferencia. CAPITULO 1. GEOMETRIA Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 8 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 9 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 10 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 11 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 12 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 13 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 14 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 15 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 16 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 17 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 18 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 19 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 20 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 21 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 22 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 23 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 24 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 25 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 26 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 27 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 28 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 29 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 30 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 31 Ahora resuelve los siguientes ejercicios de tu cuaderno de trabajo. Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 32 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 33 Elaboró: Ing. Jose CruzMunguía Favila P á g i n a | 34 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 35 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Instrucciones: Realizar ejercicios de cada subtema indicados por el profesor. Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 36 OBJETIVO ESPECIFÍCO: Identificar y aplicar las funciones trigonométricas, identidades trigonométricas para la solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. SUBTEMAS 2.1 Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera. 2.2 Aplicaciones prácticas. 2.3 Reducciones a funciones de ángulos agudos positivos. 2.4 Gráfica de las funciones trigonométricas. 2.5 Identidades trigonométricas. 2.6 Funciones trigonométricas de los ángulos: adición, 2.7 sustracción, doble y mitad de un ángulo. 2.8 Triángulos oblicuángulos (Ley de senos y Ley de cosenos) 2.9 Funciones trigonométricas inversas y ecuaciones. CAPITULO 2. TRIGONOMETRÍA PLANA Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 37 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 38 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 39 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 40 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 41 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 42 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 43 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 44 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 45 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 46 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 47 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 48 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 49 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 50 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 51 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 52 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 53 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 54 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 55 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 56 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 57 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 58 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Instrucciones: Realizar ejercicios de cada subtema indicados por el profesor. Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 59 OBJETIVO ESPECIFÍCO: Identificar y aplicar las reglas de Napier para darle solución a los ejercicios de triángulos esféricos rectángulos y oblicuángulos. SUBTEMAS 3.1 Geometría del espacio. 3.2 Triángulos esféricos rectángulos. 3.3 Triángulos esféricos oblicuángulos. 3.4 Soluciones alternas de triángulos esféricos oblicuángulos CAPITULO 3. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 60 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 61 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 62 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 63Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 64 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 65 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 66 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 67 Ahora resuelve los siguientes ejercicios de tu cuaderno de trabajo. Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 68 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 69 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 70 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 71 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 72 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 73 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 74 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 75 Ejemplos. Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 76 Ahora resuelve los siguientes ejercicios de tu cuaderno de trabajo Ejemplos: Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 77 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 78 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 79 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 80 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 81 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 82 Ejemplos: Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 83 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 84 Ahora resuelve los siguientes ejercicios de tu cuaderno de trabajo Ejemplo Ahora resuelve los siguientes ejercicios de tu cuaderno de trabajo Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 85 Ejemplo Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 86 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 87 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 88 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 89 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 90 Ejemplos Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 91 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 92 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 93 6.23 TRIGONOMETRIA ESFERICA El Triángulo Esférico Rectángulo.- En un triángulo esférico podemos tener 1,2 y hasta 3 ángulos rectos. Si recordamos que los ángulos de un triángulo esférico miden igual que los diedros del asociado triedro, podemos ver que entre los elementos de un triángulo puede haber 1 , 2 o 3 ángulos rectos . Enunciamos este resultado como una propiedad. Si un Triángulo esférico tiene 2 ángulos rectos, los lados opuestos a estos ángulos son cuadrantes (arcos de 90º) y el 3er ángulo tiene la misma medida que el lado opuesto. Si los 3 ángulos de un triángulo esférico son ángulos rectos, los lados miden 90º cada uno. Reglas de Napier Puesto que hemos tomado C =90º en el triángulo esférico rectángulo, podemos considerar a , b , A, c y B como elementos desconocidos. En lugar de considerar la hipotenusa y los 2 ángulos consideremos sus complementos A = 90º -A c = 90º - c B = 90º - B y coloquémoslos en el orden c , B , a , b y A . Estos elementos se conocen como elementos de Napier, del triángulo el orden adoptado es en un círculo y en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Regla Nº 1. – El seno de un elemento intermedio es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos. Regla Nº 2.- El seno de un elemento intermedio es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes. Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo con los datos c = 110º 30’ y B = 33º 20’ Solución: Calculo de b: senb = cos c cos B o senb = senc senB Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 94 l senc = 9.9716 – 10 b = 30º 59’ l senB =9.7400 – 10 b = 149º 1’ lsenb = 9.7116 – 10 Calculo de a: senB = tan c tan a o tan a = tang c cosB l tan c = 0.4273 ( n ) a = 114º 7’ l cos B = 9.9219 – 10 l tan a = 0.3492 ( n ) Calculo de A: sen c = tan A tan B o cot A = cos c tan B l cos c = 9.5443 – 10 ( n ) A = 102º 58’ l tan B = 9.9180 – 10 l cot A = 9.3623 – 10 ( n ) Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo, siendo a = 45º y A = 60º Solución: sen c = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = √2 2 ⁄ √3 2 ⁄ = √6 3 = 2.44949 3 = 0.8165 sen b = tan a cot A = (1) ( √3 3 ) = 1.73205 3 = 0.5774 sen B = cos 𝐴 cos 𝑎 = 1 2⁄ √2 2 ⁄ = 1 √2 = √2 2 Comprobación: sen b = sen c sen B √3 3 = √6 3 . √2 2 = √12 6 = √3 3 Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 95 Los correspondientes ángulos son: c1 = 54º 44’ b1 = 35º 16’ B1 = 45º c2 = 125º 16’ b2 = 144º 44’ B2 = 135º Ejemplo : Resolver el triángulo esférico rectángulo en el que A = 40º y c = 115º Solución: Calculo de a : sen a = sen A sen c l sen A = 9.8081 – 10 a = 35º 38’ l sen c = 9.9573 – 10 (por regla 1) l sen a = 9.7654 – 10 Calculo de B : cot B = cos c tan A l cos c = 9.6259 – 10 (n) B = 109º 32’ l tan A = 9.9238 – 10 l cot B = 9.5497 – 10 (n) Calculo b : tan b = cos A tan c l cos A = 9.8843 – 10 b = 121º 20’ l tan c = 0.3313 l tan b = 0.2156 (n) Triangulo cuadrantal.- Es un triángulo esférico en que un lado es igual a 90º . El triángulo polar de un triángulo cuadrantal es un triángulo esférico rectángulo puesto que el ángulo correspondiente al lado de 90º es C = 180º - c = 180º - 90º = 90º. El triangulo cuadrantal puede ser resuelto, resolviendo primeramente el correspondiente triangulo polar y después convirtiendo los valores al triangulo original mediante la aplicación de la propiedad 7 (en 2 triángulos mutuamente polares un angulo de uno de ellos es el suplemento de lado opuesto al correspondiente ángulo del otro triangulo). Elaboró: Ing. Jose Cruz Munguía Favila P á g i n a | 96 BIBLIOGRAFÍA Serie de los compendios Schaum
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