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Actividad 10. Solución de problemas Ejercicio 1 Un investigador está interesado en tratar de explicar la variación en las presiones arteriales que ocurren entre los hombres adultos. Con este fin, el investigador reúne datos sobre: El ejercicio diario promedio, medido en horas (×1) La edad (×2) El peso, medido en libras (×3) para 74 sujetos. La variable resultante (y) es la presión arterial sistólica. El modelo (ficticio) producido por estos datos tiene una R2 de .2106 y es como sigue: Y = 33.5522 + .1710×1 + .1033×2 + .4471×3 a) ¿Cuál sería la presión arterial sistólica para un hombre de 21 años que se ejercita en promedio una hora diaria y pesa 165 libras? 𝑦 = 33.5522 + ((0.1710)(1)) + ((0.1033)(21)) + ((0.4471)(165)) 𝑦 = 109.664 mmHg b) ¿Cuál será el valor previsto para un hombre de la misma edad que también se ejercita en promedio una hora diaria pero que pesa 185 libras? 𝑦 = 33.5522 + ((0.1710)(1)) + ((0.1033)(21)) + ((0.4471)(185)) 𝑦 = 118.606 mmHg c) ¿Qué significa el valor b3 = .4471? Al hacer referencia al peso de los sujetos, quiere decir que la presión arterial puede aumentar o disminuir 0.4471. d) Pruebe la significancia del modelo De acuerdo a los datos proporcionados, el valor de R2 es de 0.2106, esto quiere decir que el 21.06% de los datos se están relacionando, al ser un valor relativamente bajo, quiere decir que el modelo no está presentando una tendencia lineal, lo que de cierta forma no ayudaría a explicar la variación presentada de la variable Y, es decir, una o varias variables no se correlacionan. e) Interpreta los resultados de esta prueba De acuerdo lo planteado, gracias a la ecuación de Y dada podemos determinar la presión arterial en función de las horas de ejercicio diaria, la edad y el peso; sin embargo, al tener una R2 de 0.2106 y que esta sea tan lejana a 1, no podemos determinar que existe una buena relación entre los datos presentados. Ejercicio 2 Un investigador interesado en la relación entre el índice de masa corporal (IMC) y el colesterol sérico desea ajustar un modelo de RLS (regresión lineal simple) en el que el colesterol sérico total puede predecirse a partir del IMC con los siguientes datos (utilízalos para responder los planteamientos o incisos que se solicitan): Colesterol total IMC 165 25.9 155 20.1 141 22.2 228 30.7 190 28.0 155 29.4 132 20.2 170 20.7 188 26.3 150 18.2 a) Construye un modelo de RLS b) Encuentra los residuales para los primeros 3 sujetos Sujeto 1. Datos: 𝑌𝑖: 165 𝑎: 58.27 𝑏: 4.5151 𝑥𝑖: 25.9 𝑌𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑥𝑖) 165 − (58.27 + ((4.5151)(25.9))) = −10.21 Sujeto 2. Datos: 𝑌𝑖: 155 165 155 141 228 190 155 132 170 188 150 y = 4.5151x + 58.27 R² = 0.4999 0 50 100 150 200 250 0 5 10 15 20 25 30 35 C o le st er o l t o ta l IMC Colesterol 𝑎: 58.27 𝑏: 4.5151 𝑥𝑖: 20.1 𝑌𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑥𝑖) 155 − (58.27 + ((4.5151)(20.1))) = 5.97 Sujeto 3. Datos: 𝑌𝑖: 141 𝑎: 58.27 𝑏: 4.5151 𝑥𝑖: 22.2 𝑌𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑥𝑖) 141 − (58.27 + ((4.5151)(22.2))) = −17.50 c) Encuentra los coeficientes de determinación y no determinación Coeficiente de determinación: R2= 0.4999 49.99% Coeficiente de no determinación: 1 − 𝑅2 1 − 0.4999 = 0.5001 50.01% d) Prueba la hipótesis H0 : R2 = 0 Datos: 𝑟: 0.707 𝑅2: 0.499 𝑛: 10 𝑡𝑐 = 𝑟 √1 − 𝑅 2 𝑛 − 2 𝑡𝑐 = 0.707 √1 − 0.499 10 − 2 𝑡𝑐 = 2.82 De acuerdo a los resultados obtenidos, en donde tc=2.82, podemos entonces determinar que la hipótesis nula es rechazada, esto debido a que el valor obtenido es diferente a cero, además, comparando con las tablas de distribución, el valor obtenido se encuentra lejano a los valores de acuerdo al nivel de significación (+1.860,-1.850). e) Prueba la hipótesis H0 : β = 0 A continuación se presentan los resultados obtenidos con IBM SPSS Stastistics, en donde para poder probar la hipótesis se utilizarán algunos datos. Utilizando el valor del residuo de la suma de cuadrados podemos obtener lo siguiente: Datos: Σ(𝑌𝑖 − �̂�𝑖)2: 3590.820 𝑛: 10 𝑆 = √ 3590.820 10 − 2 𝑆 = 21.186 *Se observa que este valor coincide con lo presentado en las tablas* Posteriormente, se realiza lo siguiente para obtener la tc: Datos: 𝛽:̆ 4.515 𝑆: 21.186 𝑆2𝑥: 176.081 𝑡𝑐 = �̂� 𝑠 √𝑆2𝑥 𝑡𝑐 = 4.5 21.186 √176.081 𝑡𝑐 = 2.818 Finalmente, como se puede observar, se obtuvo un resultado de 2.818 (lo cual coincide con lo reportado en las tablas); por lo tanto, al ser un valor diferente a 0, la hipótesis nula se rechaza. f) Construye un intervalo de confianza bilateral del 95% para el cálculo de β. ¿Este intervalo de confianza concuerda con el resultado de sus pruebas de hipótesis? Explícalo Como podemos observar en la tabla, los valores para un intervalo de confianza del 95% para B son, en el límite inferior, 0.833, mientras que en el límite superior 8.197; de esta forma, la tc obtenida anteriormente (2.818) se encuentra dentro de estos límites, siendo mayor que el límite inferior y menor que el límite superior (0.833>2.818<2.197), por lo tanto, se comprueba que el valor obtenido de tc se encuentra con una certeza del 95% dentro de los límites presentados; finalmente, este resultado obtenido no concuerda con los de las hipótesis presentadas anteriormente. Conclusión Finalmente, tener el conocimiento de como solucionar este tipo de problemas con ayuda de softwares estadísticos y el saber interpretar los resultados es de suma importancia debido a que como profesionales de la salud en formación, podemos explicar como es que se relacionan las variables en un determinado caso.
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