ANTOLOGIA ESTATICA-compressed - Qwerty (4)

Vista previa del material en texto

ESTATICA 
NOMBRE DE LA LICENCIUATURA: 
Maquinista Naval y Piloto Naval 
Semestre: 2° 
Clave de la asignatura: EST211/EST212 
Elaboró: Ing. David Alejandro de la torre 
González. 
Escuela Náutica Mercante “Cap. 
Alt. Luis Gonzaga Priego González” 
de Tampico 
 
Elaboró: ING. DAVID DE LA TORRE GONZALEZ Página | 2 
INDICE 
 
 
 
 
 
 
PRESENTACIÓN .................................................................................................................................................................. 4 
PROGRAMA DE ESTUDIOS ................................................................................................................................................. 5 
METODOLOGÍA DE TRABAJO ............................................................................................................................................ 8 
CAPITULO 1. PRINCIPIOS Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA............................................................................. 9 
ESTATICA ............................................................................................................................................................................. 9 
OBJETIVO ESPECIFÍCO ................................................................................................................ 9 
1.1. La ley del paralelogramo para la adición de fuerzas. .................................................... 9 
1.2. El principio de transmisibilidad. ................................................................................... 10 
1.3. Las tres leyes fundamentales de Newton. .................................................................. 10 
1.4. Sistemas de Unidades ................................................................................................. 11 
CAPITULO 2. FUERZAS EN UN PLANO ............................................................................................................................13 
OBJETIVO ESPECIFICO .............................................................................................................. 13 
2.1 Resultante de dos fuerzas .................................................................................................. 13 
2.2 Equilibrio de una partícula ............................................................................................... 19 
2.3 Primera Ley del Movimiento de Newton .......................................................................... 21 
CAPITULO 3. FUERZAS EN EL ESPACIO ......................................................................................................................26 
OBJETIVO ESPECIFICO .............................................................................................................. 26 
3.1 Componentes rectangulares de una fuerza en el Espacio................................................. 26 
3.2 Suma de fuerzas concurrentes en el espacio. ................................................................. 29 
3.3 Equilibrio de una partícula en el espacio. ........................................................................ 31 
CAPITULO 4. CUERPOS RIGIDOS: SISTEMAS DE FUERZAS EQUIVALENTES .............................................................32 
OBJETIVO ESPECIFICO ..................................................................................................................... 32 
4.1 Fuerzas externas e internas ............................................................................................ 33 
4.2 Momento de una fuerza con respecto a un punto ........................................................... 35 
4.3 Teorema de Varignon. ..................................................................................................... 36 
4.4 Componentes rectangulares del momento de una fuerza ............................................... 37 
4.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje dado ...................................................... 40 
4.6 Momento de un par .......................................................................................................... 43 
4.7 Representación de un par por medio de un vector .......................................................... 44 
4.8 Descomposición de una fuerza en otra fuerza aplicada en “O” y un par. ....................... 44 
CAPITULO 5. EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS .........................................................................................................48 
OBJETIVO ESPECIFICO ..................................................................................................................... 48 
5.1 Introducción al equilibrio ..................................................................................................... 48 
5.2 Diagrama de cuerpo libre. ................................................................................................ 49 
5.3 Reacciones en los puntos de apoyo y conexiones de una estructura bidimensional. .... 51 
CAPITULO 6. FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD .................................................56 
file:///F:/david%20de%20la%20torre/FORMATO%20ANTOLOGIA%20%20estatica%20OK1.docx%23_Toc535835459
file:///F:/david%20de%20la%20torre/FORMATO%20ANTOLOGIA%20%20estatica%20OK1.docx%23_Toc535835460
file:///F:/david%20de%20la%20torre/FORMATO%20ANTOLOGIA%20%20estatica%20OK1.docx%23_Toc535835466
file:///F:/david%20de%20la%20torre/FORMATO%20ANTOLOGIA%20%20estatica%20OK1.docx%23_Toc535835471
file:///F:/david%20de%20la%20torre/FORMATO%20ANTOLOGIA%20%20estatica%20OK1.docx%23_Toc535835476
file:///F:/david%20de%20la%20torre/FORMATO%20ANTOLOGIA%20%20estatica%20OK1.docx%23_Toc535835486
file:///F:/david%20de%20la%20torre/FORMATO%20ANTOLOGIA%20%20estatica%20OK1.docx%23_Toc535835491
 
Elaboró: ING. DAVID DE LA TORRE GONZALEZ Página | 3 
OBJETIVO ESPECIFICO ..................................................................................................................... 56 
6.1 Introducción a los centroides y centros de gravedad. ........................................................ 57 
6.2 Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional. ........................................................... 58 
6.3 Centroide de áreas y líneas. ............................................................................................ 59 
6.4 Primeros momentos de áreas y líneas. ........................................................................... 61 
6.5 Placas y alambres compuestos. ...................................................................................... 63 
6.6 Cargas distribuidas en vigas. ........................................................................................... 66 
6.7 Fuerza sobre superficies sumergidas. ............................................................................. 67 
CAPITULO 7. ANALISIS DE EXTRUCTURAS ....................................................................................................................70 
OBJETIVO ESPECIFICO ..................................................................................................................... 70 
7.1 Introducción y definición de la armadura ............................................................................ 71 
7.2 Análisis de armadura en un plano. .................................................................................. 73 
CAPITULO 8. FRICCION ....................................................................................................................................................75 
OBJETIVO ESPECIFICO ..................................................................................................................... 75 
8.1 Introducción. ....................................................................................................................... 76 
8.2 Coeficiente de fricción. .....................................................................................................76 
8.3 Ángulo de fricción. ........................................................................................................... 79 
8.4 Problemas que involucran fricción en seco. .................................................................... 81 
8.5 Cuñas. .............................................................................................................................. 85 
8.6 Tornillos de rosca cuadrada. ............................................................................................ 87 
8.7 Chumaceras. .................................................................................................................... 89 
8.8 Fricción en ejes. ............................................................................................................... 89 
8.9 Fricción en ruedas. .......................................................................................................... 91 
8.10 Fricción en bandas. ..................................................................................................... 95 
CAPITULO 9. MOMENTOS DE INERCIA.............................................................................................................................98 
Objetivo especifico .................................................................................................................... 98 
9.1 Segundo momento o momento de inercia de un área. ................................................... 99 
9.2 Determinación del momento de un área por integración ............................................... 100 
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................................................. 104 
file:///F:/david%20de%20la%20torre/FORMATO%20ANTOLOGIA%20%20estatica%20OK1.docx%23_Toc535835500
file:///F:/david%20de%20la%20torre/FORMATO%20ANTOLOGIA%20%20estatica%20OK1.docx%23_Toc535835504
file:///F:/david%20de%20la%20torre/FORMATO%20ANTOLOGIA%20%20estatica%20OK1.docx%23_Toc535835516
 
Página | 4 
 
PRESENTACIÓN 
 
El siguiente documento ha sido diseñado con el objetivo de apoyar al estudiante como 
complemento de la enseñanza de Física. 
 
El orden de presentación, así como los textos seleccionados y/o la recopilación de 
información se basan en el programa académico de las licenciaturas de Piloto y 
Maquinista Naval de la Escuela Náutica Mercante “Cap. Alt. Luis Gonzaga Priego 
González”. 
 
Entre los temas se destaca los principios basicos de la fisica mediciones y calculos los 
cuales onsta de cuatro capitulos donde se trabaja con la mecanica, trabajo asi como 
los cambios fisicos de la materia. 
 
Además, se incluyen actividades y/o ejercicios que permiten reforzar y aplicar la teoría 
a la práctica al estudiante, lo cual genera aprendizajes significativos que le permiten 
desempeñarse eficientemente en su ámbito laboral. 
 
La antología es un recurso didáctico que incluye los significados, elementos y/o 
herramientas teórico-prácticas esenciales para abordar los contenidos de la 
asignatura, pero el estudiante tiene la libertad para investigar en otras fuentes 
información que le permita comprender a fondo la temática. 
 
 
 
I.Q. David Alejandro de la Torre González. 
 
 
 
 
 
Página | 5 
PROGRAMA DE ESTUDIOS 
 
TEMAS SUBTEMAS 
Principios y conceptos fundamentales 
de la estatica 
 
1.1 la ley del paralelogramo 
1.2 principio de transmisibilidad 
1.3 las tres leyes de Newton 
1.4 sistemas de unidades 
Fuerzas en un plano 
 
2.1 Resultante de dos fuerzas 
2.2 Equilibrio de una particula 
2.3 Primera ley del movimiento de 
Newtwon 
 
Fuerzas en el espacio 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 Componentes rectangulares de 
una fuerza en el espacio. 
3.2 Suma de fuerzas concurrentes 
en el espacio. 
3.3 Equilibrio de una particula en el 
espacio 
Cuerpos rigidos: sistemas de fuerzas 
equivalentes 
 
 
4. 1 Fuerzas externas e internas 
4.2 Momento de una fuerza con 
respecto a un punto 
4.3 Terorema de varigon 
4.4 Componentes rectangulares del 
momento de una fuerza 
4.5 Momento de una fuerza con 
respecto a un eje dado 
4.6 Momento de un par 
4.7 Representacion de un par por 
medio de un vector 
4.8 Descomposicion de una fuerza 
en otra fuerza aplicada en O y un par. 
Quilibrio de cuerpos rigidos 
5.1 Inroduccion al equilibrio 
5.2 Diagrama de cuerpo libre 
 
Página | 6 
5.3 Reacciones en los puntos de 
apoyo y conexiones de una 
estructura bidimensinal 
 
fuerzas distribuidas: centroides y 
centros de gravedad 
6.1Introduccion a los centroides y 
centros de gravedad 
6.2 Centro de gravedad de un cuerpo 
bidimencional 
6.3 Centroide de areas y lineas 
6.4 Primeros momentos de areas y 
lineas 
6.5 Placas y alambres compuestos 
6.6 Cargasdistribuidas en vigas 
6.7 Fuerzas sobre superficies 
sumergidas 
 
 Nalisis de extructuras 
 
7.1 introduccion y definicion de la 
armadura 
7.2 analisis de armadura en un plano 
 
 Friccion 
 
8.1 Introduccion 
8.2 Coeficiente de friccion 
8.3 Angulo de friccion 
8.4 Problemas que involucran de 
friccion en seco 
8.5 Cuñas 
8.6 Tornillos de rosca cuadrada 
8.7 Chumaceras 
8.8 Friccion en ejes 
8.9 Friccion en ruedas 
8.10 Friccion en bandas 
 
 Momentos de inercia 
 
9.1segundo momento o momento de 
inercia en un area. 
9.2 determinacion del momento de un 
area por integracion 
 
Página | 7 
OBJETIVOS 
Resolver problemas relacionados con la mecanica de los solidos rigidos, usando los 
elementos teoricos, para comprender la estructura de los puentes y del buque y 
extremar las precausiones en las maniobras. 
General: 
Conocer los principios básicos de la Estatica, mediante el estudio, análisis y desarrollo de 
conceptos, teorías y leyes propias de esta disciplina, para comprender los fenómenos físicos. 
 
Específicos: 
Conocer los principios basicos de la estatica por medio de definiciones y conceptos asi 
como las unidades de medicion. 
 
Calcular la resultante de dos fuerzas, usando el metodo del paralelogramo o del 
triangulo para establecer que una particula esta en equilibrio. 
 
Calcular la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes en el espacio 
descomponiendolas en sus componentes 
 
Diferenciar un fuerza interna concluyendo que la primera puede generara un traslacion. 
 
Comprende las condiciones de equilibrio en un cuerpo rigido, considerando que la 
fuerza y momento resultantes 
 
Localizar el centro de gravedad de un cuerpo rigido empleando algunas proopiedades 
de simetria. 
 
Considerar las estructuras formadas por varios cuerpos rigidos como uno solo, 
analizado las fuerzas externas. 
 
Comprender que la friccion seca, juega un papel importante en los cuerpos rigidos en 
contacto, relacionandola con los ejes. 
 
Obtiene mediante el calculo integral el momento de inercia de un area, para usarlo en 
el calculo del momento de inercia de un area compuesta. 
 
 
 
 
Página | 8 
METODOLOGÍA DE TRABAJO 
 
La construcción del conocimiento se producirá a través de la socialización, el desarrollo 
de actividades individuales y colaborativas, que generarán y consolidarán los 
aprendizajes, con la mediación y orientación del docente. 
 
La antología es un apoyo didáctico durante el desarrollo de la asignatura, la cual está 
organizada en siete temas con sus respectivos subtemas de trabajo, además de este 
recurso, tú estudiante dispondrás de diferentes herramientas como las tecnológicas 
que permitirán ayudarte a complementar tu información. 
 
En este documento encontrarás lecturas, ejercicios o actividades que permitan llevar 
a cabo investigaciones, solución de problemas, debates, etcétera, estrategias que 
permitan ejercitar y alimentar tu pensamiento crítico para tomar decisiones. 
 
Revisa el material para familiarizarte con los contenidos, puedes administrar tu tiempo 
y planear tu trabajo, lee con atención la información para que te apropies de los 
contenidos,resuelve y/o realiza las actividades ye valuaciones que se presenten, 
participa, consulta material complementario, entrega en tiempo y forma las 
actividades que se soliciten. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO ESPECIFÍCO 
Conocer los principios de la estatica por medio de definiciones y conceptos, asi 
como las unidades de medicion en diferentes sistemas, para realizar conversiones 
según sea el caso. 
 
 Subtemas 
 
1.1 LA LEY DEL PARALELOGRAMO 
1.2 PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD 
1.3 LAS TRES LEYES DE NEWTON 
1.4 SISTEMAS DE UNIDADES 
 
1.1. La ley del paralelogramo para la adición de fuerzas. 
Establece que dos fuerzas que actúan sobre una partícula pueden ser sustituidas 
por una sola fuerza llamada resultante, que se obtiene al trazar la diagonal del 
paralelogramo que tiene los lados iguales a las fuerzas dadas. 
 
 CAPITULO 1. PRINCIPIOS Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA 
 ESTATICA 
 
 
Página | 10 
1.2. El principio de transmisibilidad. 
Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido 
permanecerán inalteradas si una fuerza que actúa en un punto del cuerpo rígido se 
sustituye por una fuerza de la misma magnitud y la misma dirección, pero que actúe 
en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea de acción. 
 
1.3. Las tres leyes fundamentales de Newton. 
Fueron formuladas por Sir Isaac Newton a finales del siglo XVII y pueden enunciarse 
como sigue: 
 
PRIMERA LEY. Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la 
partícula permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se moverá 
con velocidad constante en línea recta (si originalmente estaba en movimiento). 
 
SEGUNDA LEY. Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, 
la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en 
la dirección de esta.
Ésta ley puede expresarse así: 
 
F = ma 
 
donde F, m y a representan, respectivamente, la fuerza resultante que actúa sobre 
la partícula, la masa de esta y la aceleración de la misma, expresadas en un sistema 
congruente de unidades. 
 
TERCERA LEY. Las fuerzas de acción y reacción de cuerpos en contacto tienen la 
misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos. 
 
 
 
Página | 11 
1.4. Sistemas de Unidades 
Con los cuatro conceptos fundamentales introducidos en la sección anterior se 
asocian las llamadas unidades cinéticas, es decir, las unidades de longitud, tiempo, 
masa y fuerza. Estas unidades no pueden escogerse de manera independiente si 
la ecuación (1.1) ha de satisfacerse. Tres de ellas pueden definirse en forma 
arbitraria; se les llama unidades básicas. La cuarta unidad, en cambio, debe 
escogerse de acuerdo con la ecuación (1.1) y se le identifica como unidad derivada. 
Se dice que las unidades cinéticas así seleccionadas forman un sistema congruente 
de unidades. 
 
En este sistema, que será de uso universal cuando Estados Unidos complete su 
conversión, las unidades básicas son las de longitud, masa v tiempo, y se llaman, 
respectivamente, metro (m), kilogramo (kg) y segundo (s).
La unidad de fuerza es 
una unidad derivada y se llama newton (N). Se le define como la fuerza que 
proporciona una aceleración de 1 m/s2 a una masa de un kilogramo. A partir de la 
ecuación (1.1) se escribe: 
 
1 N = (1 kg)(1 m/s2) = 1 kg • m/s2 (1.5) 
 
El peso de un cuerpo, o la fuerza de gravedad ejercida sobre él, debe expresarse 
en newtons, como cualquier otra fuerza. De la ecuación (1.4) se obtiene que el peso 
de un cuerpo de masa 1 kg. Es: 
 
W =mg
= (1 kg)(9.81 m/s2) = 9.81 N 
 
Los múltiplos y submúltiplos de las unidades de longitud, masa y fuerza de mayor 
uso en ingeniería son, respectivamente, el kilómetro (km) y el milímetro (mm); el 
megagramo' (Mg) y el gramo (g);
y el kilonewton (kN). De acuerdo con la tabla 
 
1.1, se tiene:
km = 1 000 m 1 mm = 0.001 m 
 
Página | 12 
1 Mg = 1 000 kg 1 g = 0.001 kg 1 kN = 1 000 N 
 
La conversión de estas unidades a metros, kilogramos y newtons, respectivamente, 
puede realizarse con solo recorrer el punto decimal tres lugares a la derecha o a la 
izquierda. Por ejemplo, para convertir 3.82 km en metros, se recorre el punto 
decimal tres lugares a la derecha:
3.82 km = 3 820 m 
 
En forma semejante, 47.2 mm se convierten en metros recorriendo el punto decimal 
tres lugares a la izquierda:
47.2 mm = 0.0472 in
Con el uso de la notación científica, 
se puede escribir 3.82 km = 3.82 X 10-3 m
47.2 mm = 47.2 X 10-3 m
Los múltiplos 
de la unidad de tiempo son el minuto (min) y la hora (h). Puesto que 1 min = 60 s y 
1 hr = 60 min = 3 600 s, estos múltiplos no pueden convertirse tan fácilmente como 
los otros. 
 
 
 
 
 
Página | 13 
 
 
 
 
 
OBJETIVO ESPECIFICO 
Calcular la resultante de dos fuerzas, usando el metodo del paralelogramo o del 
triangulo para establecer que una particula esta en equilibrio cuando la suma de las 
fuerzas que actuan sobre ellas es cero. 
 
Subtemas 
 
2.1 RESULTANTE DE DOS FUERZAS 
2.2 EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA 
2.3 PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTWON 
 
2.1 Resultante de dos fuerzas 
Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y se caracteriza por su 
punto de aplicación, magnitud o modulo y dirección. Pero las fuerzas sobre una 
partícula tienen el mismo punto de aplicación.
 
 
 CAPITULO 2. FUERZAS EN UN PLANO 
 
 
 
Página | 14 
Por tanto, cada fuerza considerada en este capítulo estará completamente definida 
por su magnitud o modulo y dirección. 
 
La dirección de una fuerza se define por la línea de acción y el sentido de la fuerza. 
La línea de acción es la línea recta infinita a lo largo de la cual actúa la fuerza; se 
caracteriza por el ángulo que forma con algún eje fijo. 
 
 
 
La fuerza en si se representa por un segmento de esa línea; mediante el uso de una 
escala apropiada, puede escogerse la longitud de este segmento para representar 
la magnitud de la fuerza. Finalmente, el sentido de la fuerza debe indicarse por una 
punta de flecha. En la definición de una fuerza es importante indicar su sentido. Dos 
fuerzas como las mostradas en las figuras a y b, que tienen la misma magnitud y la 
misma línea de acción, pero diferente sentido, tendrán efectos opuestos sobre una 
partícula. 
VECTORES 
En apariencia las fuerzas no obedecen las reglas de la adición definidas en la 
aritmética o en el álgebra ordinaria. Por ejemplo, dos fuerzas que actuan formando 
un ángulo recto, una de 4 lb y otra de 3 II), suman una fuerza de 5 Ib v no una de 7 
lb. Las fuerzas no son las únicas cantidades que siguen la ley del paralelogramo 
para la adición. 
 
Como se verá más adelante, los desplazamientos, velocidades, aceleraciones y 
momentos son otros ejemplos de cantidades físicas que poseen magnitud y 
 
Página | 15 
dirección y que se suman siguiendo la ley del paralelogramo. 
 
Estas cantidades pueden representarse matemáticamente por vectores, mientras 
que aquellas cantidades físicas que no tienen dirección, como volumen, masa o 
energía se representan por números ordinarios o escalares. 
 
Los vectores se definen como expresiones matemáticas que poseen magnitud, 
dirección y sentido, los cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. 
Los vectores se representan por flechas en las ilustraciones y se distinguen de las 
cantidades escalares en este texto mediante el uso de negritas (P). 
 
 
Problema resuelto 2.1 
Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determínese su resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 17 
Problema 2.2 
Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas 
ejercidas por los remolcadores es una fuerzade 5 ()00 lb dirigida a lo largo del eje 
del lanchón, determine: a) la tensión en cada una de las cuerdas, sabiendo que a 
— 45°, y b) el valor de a tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas 2.3 
Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. 
Si P = 15 Ib y Q = 25 lb, determine en forma grafica la magnitud y la dirección de su 
resultante empleando a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 18 
Problemas 2.4 
Dos fuerzas son aplicadas a una armella sujeta a una viga. Determine en forma 
gráfica la magnitud y la dirección de su resultante usando a) la ley del 
paralelogramo, b) la regla del triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas 2.5 
 
Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura. Sabiendo 
que la magnitud de P es de 600 N, determine por trigonometría a) el ángulo a 
requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es vertical, y 
b) la magnitud correspondiente de R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 19 
Problemas 2.6 
 
Dos cables sujetan un anuncio en el punto A para mantenerlo estable mientras es 
bajado a su posición definitiva. Sabiendo que la magnitud de P es de 70 Ib, 
determine, por trigonometría, a) el ángulo a requerido si la resultante R de las dos 
fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Equilibrio de una partícula 
 
En las secciones anteriores se expusieron los métodos utilizados para determinar 
la resultante de varias fuerzas que actúan sobre una partícula.
 
 
Aunque no ha ocurrido en ninguno de los problemas examinados hasta ahora,
es 
posible que la resultante sea cero. En tal caso, el efecto neto de las fuerzas dadas 
es cero, y se dice que la partícula esta en equilibrio. Entonces se tiene la siguiente 
definición: si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es 
cero, la partícula se encuentra en equilibrio. 
 
Una partícula sometida a la acción de dos fuerzas estará en 
equilibrio si ambas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea 
de acción, pero sentidos opuestos. Entonces la resultante de las dos 
fuerzas es cero 
 
Página | 20 
 
 
 
Otro caso de una partícula en equilibrio se muestra en la figura 2.27, donde 
aparecen cuatro fuerzas que actuan sobre A. En la figura 2.28, la resultante de las 
fuerzas dadas se determina por la regla del polígono. Empezando en el punto O con 
Fx y acomodando las fuerzas punta a cola, se encuentra que la punta de F 4 
coincide con el punto de partida O, así que la resultante R del sistema de fuerzas 
dado es cero y la partícula está en equilibrio. 
 
El polígono cerrado de la figura 2.28 proporciona una 
expresión gráfica del equilibrio de A. Para expresar en 
forma algebraica las condiciones del equilibrio de una 
partícula se escribe: 
 
 
 
Descomponiendo cada fuerza F en sus componentes 
rectangulares, se tiene
2(FX i + Fyj) = 0 o (S F J i + (ZF„)j = 
0
Se concluye que las condiciones necesarias y suficientes 
para el equilibrio de una partícula son: 
 
 
 
 
 
Regresando a la partícula mostrada en la figura 2.27, se comprueba que las 
condiciones de equilibrio se satisfacen. Se escribe: 
 
 
Página | 21 

∑ Fx = 300 lb - (200 lb) sen 30° - (400 lb) sen 30° 
= 300 lb - 100 lb - 200 Ib = 0
 
 
∑ F y = -1 7 3 .2 lb - (200 lb) cos 30° + (400 lb) cos 30° 
= -173.2 lb - 173.2 lb + 346.4 lb = 0 
 
2.3 Primera Ley del Movimiento de Newton 
 
Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula 
permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se moverá con 
velocidad constante en línea recta (si originalmente estaba en movimiento). 
 
Diagramas de cuerpo libre un esquema que muestra las condiciones físicas del 
problema se conoce como diagrama espacial.
Un gran número de problemas que 
tratan de estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al equilibrio de 
una partícula. 
 
Esto se hace escogiendo una partícula significativa y dibujando un diagrama 
separado que muestra a ésta y a todas las fuerzas que actúan sobre ella. Dicho 
diagrama se conoce como diagrama de cuerpo libre.
Por ejemplo, considérese el 
embalaje de madera de 75 kg mostrado en el diagrama espacial de la figura 2.29a. 
Este descansaba entre dos edificios y ahora es levantado hacia la plataforma de un 
camión que lo quitara de ahí. 
 
El embalaje esta soportado por un cable vertical unido en A a dos cuerdas que 
pasan sobre poleas fijas a los edificios en B y C. Se desea determinar la tensión en 
cada una de las cuerdas AB y AC.
Para resolver el problema debe trazarse un 
diagrama de cuerpo libre que muestre a la partícula en equilibrio. Puesto que se 
analizan las tensiones en las cuerdas, el diagrama de cuerpo libre debe incluir al 
menos una de estas tensiones y si es posible a ambas. El punto A parece ser un 
 
Página | 22 
buen cuerpo libre para este problema. 
 
Problema 2.3.1 
 
 
La fuerza ejercida por el cable esta dirigida 
hacia abajo v es igual al peso W del 
contenedor. 
 
Los vectores TAH y TAC de las tensiones en 
las cuerdas pueden encontrarse gráficamente 
si el triángulo se dibuja a escala, o pueden 
encontrarse mediante la trigonometría. Si se 
escoge el ultimo método de solución, con la 
ley de los senos se escribe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 23 
Problema 2.3.2 
 
En la operación de descarga de un barco, un automóvil de 3 500 lb es soportado 
por un cable. Se ata una cuerda al cable en A y se tira para centrar al automóvil 
sobre la posición deseada. El ángulo entre el cable y la vertical es de 2o, mientras 
que el ángulo entre la cuerda y la horizontal es de 30°. ¿Cuál es la tensión en la 
cuerda? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 24 
Problema 2.3.3 
 
 
 
 
 
Dos cables se amarran juntos en C y se cargan corno indica la figura. Determine la 
tensión en a) el cable AC, b) el cable BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 19 
 
 
 
Problema resuelto 2.5 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.46 Las cuerdas AB y AC son lanzadas a una persona 
cuya lancha se ha hundido. Si a = 25° y la magnitud de 
la fuerza F/t ejercida por el rio sobre el lanchero es de 
70 lb, determine la tensión en a) la cuerda AB, b) la 
cuerda AC. 
 
 
 
 
2.44 Dos cables se amarran juntos en C 
y se cargan corno indica la figura. 
Determine la tensión en a) el cable AC, 
b) el cable BC. 
texto
 
 Página 19 
 
 
 
Problema resuelto 2.5 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.46 Las cuerdas AB y AC son lanzadas a una persona 
cuya lancha se ha hundido. Si a = 25° y la magnitud de 
la fuerza F/t ejercida por el rio sobre el lanchero es de 
70 lb, determine la tensión en a) la cuerda AB, b) la 
cuerda AC. 
 
 
 
 
2.44 Dos cables se amarran juntos en C 
y se cargan corno indica la figura. 
Determine la tensión en a) el cable AC, 
b) el cable BC. 
texto
 
Página | 25 
Las cuerdas AB y AC son lanzadas a una persona cuya lancha se ha hundido. Si a = 25° y la 
magnitud de la fuerza F/t ejercida por el rio sobre el lanchero es de 70 lb, determine la tensión 
en a) la cuerda AB, b) la cuerda AC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO ESPECIFICO 
Calcular la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes en el espacio 
descomponiendolas en sus componentes para aplicar problemas afines. 
 
SUBTEMAS 
 
3.1 COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA EN EL ESPACIO. 
3.2SUMA DE FUERZAS CONCURRENTES EN EL ESPACIO. 
EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA EN EL ESPACIO 
 
3.1 Componentes rectangulares de una fuerza en el Espacio 
Los problemas considerados en la primera parte de este capítulo involucraron 
únicamente dos dimensiones y pudieron formularse y resolverse en un solo plano. 
 
En esta sección y en las secciones siguientes del capítulo se analizarán problemas 
que comprenden las tres dimensiones del espacio. 
 
Considere una fuerza F que actúa en el origen O del sistema de coordenadas 
rectangulares x, y, z. Para definir la dirección de F, se traza el plano vertical OBAC 
que contiene a F y que se muestra en la figura 2.30 a. Este plano pasa a través del 
 CAPITULO 3. FUERZAS EN EL ESPACIO 
 
Página | 27 
eje vertical y, su orientación está definida por el ángulo Ф que forma con el plano 
xy, mientras que la dirección de F dentro del plano está definida por el ángulo y 
que forma F con el eje y. La fuerza F puede descomponerse en una componente 
vertical Fy y una componente horizontal Fh; esta operación, mostrada en la figura 
2.30b, se realiza en el plano OBAC de acuerdo con las reglas desarrolladas en la 
primera parte del capítulo. 
 
Las componentes escalares correspondientes son relación entre la magnitud de F 
y sus componentes rectangulares escalares: 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 29 
3.2 Suma de fuerzas concurrentes en el espacio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 30 
 
 
 
 
 
 
Página | 31 
3.3 Equilibrio de una partícula en el espacio. 
Una partícula A esta en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre A es 
cero. Las componentes Rx, Ry y Rz de la resultante están dadas por las relaciones (2.31); al 
expresar que las componentes de la resultante son cero, se escribe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO ESPECIFICO 
Diferenciar una fuerza externade una fuerza interna concliyendo que la primera 
puede provocar una translacion o una rotacion en el cuerpo rigido para obtener el 
momento de una fuerza. 
 
Subtemas 
4.1 fuerzas externas e internas 
4.2 momento de una fuerza con respecto a un punto 
4.3 terorema de varigon 
4.4 componentes rectangulares del momento de una fuerza 
4.5 momento de una fuerza con respecto a un eje dado 
4.6 momento de un par 
4.7 representacion de un par por medio de un vector 
4.8 descomposicion de una fuerza en otra fuerza aplicada en o y un par. 
 
 CAPITULO 4. CUERPOS RIGIDOS: SISTEMAS DE FUERZAS 
EQUIVALENTES 
 
Página | 33 
Al definir que un cuerpo rígido es aquel que no se defina, se supone que la mayoría 
de los cuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos. Sin embargo, 
las estructuras y maquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman 
bajo la acción de las cargas que actúan sobre ellas. A pesar de ello, por lo general 
esas deformaciones son pequeñas y no afectan las condiciones de equilibrio o de 
movimiento de la estructura en consideración. No obstante, tales deformaciones son 
importantes en lo concerniente a la resistencia a la falla de las estructuras y están 
consideradas en el estudio de la mecánica de materiales. 
 
4.1 Fuerzas externas e internas 
Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en dos grupos: 
1) fuerzas externas y 2) fuerzas internas.
 
 
1.- Las fuerzas externas representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el 
cuerpo rígido en consideración. Ellas son las responsables del comportamiento 
externo del cuerpo rígido. Las fuerzas externas causan que el cuerpo se mueva o 
aseguran que este permanezca en reposo. En el presente capitulo y en los capítulos 
4 y 5 se considerarán solo las fuerzas externas. 
 
2.- Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las partículas que 
conforman al cuerpo rígido. Si este está constituido en su estructura por varias 
partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes también se definen como 
fuerzas internas.
 
 
Como ejemplo de fuerzas externas, considérense las fuerzas que actúan sobre un 
camión descompuesto que es arrastrado hacia delante por varios hombres 
mediante cuerdas unidas a la defensa delantera (figura 3.1). Las fuerzas externas 
que actúan sobre el camión se muestran en un diagrama de cuerpo libre (figura 3.2). 
En primer lugar, se debe considerar el peso del camión. A pesar de que el peso 
representa el efecto de la atracción de la Tierra sobre cada una de las partículas 
que constituyen al camión, este se puede representar por medio de una sola fuerza 
 
Página | 34 
W. 
 
El punto de aplicación de esta fuerza, esto es, el punto en el que actúa la fuerza, se 
define como el centro de gravedad del camión. En el capítulo 5 se verá cómo se 
pueden determinar los centros de gravedad. El peso W hace que el camión se 
mueva hacia abajo. De hecho, si no fuera por la presencia del piso, el peso podría 
ocasionar que el camión se moviera hacia abajo, esto es, que cayera. El piso se 
opone a la caída del camión por medio de las reacciones R| y R2. Estas fuerzas se 
ejercen por el piso sobre el camión y, por tanto, deben ser incluidas entre las fuerzas 
externas que actúan sobre el camión. Los hombres ejercen la fuerza F al tirar de la 
cuerda. El punto de aplicación de F esta en la defensa delantera. La fuerza F tiende 
a hacer que el camión se mueva hacia delante en línea recta y, en realidad, logra 
moverlo puesto que no existe una fuerza externa que se oponga a dicho 
movimiento. (Para simplificar, en este caso se ha despreciado la resistencia a la 
rodadura.) Este movimiento del camión hacia delante, donde cada línea recta 
mantiene su orientación original (el piso del camión permanece horizontal y sus 
lados se mantienen verticales), se conoce como traslación. Otras fuerzas podrían 
ocasionar que el camión se moviera en forma diferente. Por ejemplo, la fuerza 
ejercida por un gato colocado debajo del eje delantero podría ocasionar que el 
camión rotara alrededor de su eje trasero. Este movimiento es una rotación. Por 
tanto, se puede concluir que cada una de las fuerzas externas que actúan sobre un 
cuerpo rígido puede ocasionar un movimiento de traslación, rotación o ambos, 
siempre y cuando dichas fuerzas noencuentren alguna oposición. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 35 
4.2 Momento de una fuerza con respecto a un punto 
En el sistema de unidades del SI, donde la fuerza se expresa en newtons (N) y la 
distancia se expresa en metros (m), el momento de una fuerza estará expresado en 
newtons-metro (N • m). En el sistema de unidades de uso común en Estados 
Unidos, donde la fuerza se expresa en libras y la distancia en pies o en pulgadas, 
el momento de una fuerza se expresa en lb ■ ft o en lb • in. 
 
 
Se 
puede observar que a pesar de que el momento M0 de una fuerza con respecto a 
un punto depende de la magnitud, la línea de acción y el sentido de la fuerza, dicho 
momento no depende de la posición que tiene el punto de aplicación de la fuerza a 
lo largo de su línea de acción. En consecuencia, el momento M0 de una fuerza F no 
caracteriza a la posición del punto de aplicación de F. 
 
 
 
 
Página | 36 
4.3 Teorema de Varignon. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 37 
4.4 Componentes rectangulares del momento de una fuerza 
 
 
 
 
Página | 38 
 
 
 
 
 
 Página 30 
 
 
 
Página | 39 
 
 
 
 
Página | 40 
4.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje dado 
 
 
 
 
Página | 41 
 
 
Página | 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 43 
4.6 Momento de un par 
 
 
 
 
 
 
Página | 44 
4.7 Representación de un par por medio de un vector 
Los pares que tienen el mismo momento, sin importar si actuan en el mismo plano 
o en planos paralelos, son equivalentes. Por tanto, no hay necesidad de dibujar las 
fuerzas que en realidad forman un par dado con el propósito de definir el efecto que 
dicho par tiene sobre un cuerpo rígido Es suficiente dibujar una flecha igual en 
magnitud y dirección al momento M del par (figura 3.38b). Por otra parte, en la 
sección 3.14 quedo expresado que la suma de dos pares es otro par y que el 
momento M del par resultante puede obtenerse mediante la suma vectorial los 
momentos M1 y M2, de los pares dados. Por consiguiente, los pares obedecen la 
ley para la adición de vectores y la flecha usada en la figura 3.38b para representar 
al par definido en la figura 3.38a puede considerarse como un vector verdadero. 
 
 
 
El vector que representa un par recibe el nombre de vector de par 
 
4.8 Descomposición de una fuerza en otra fuerza aplicada en 
“O” y un par. 
Considere una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido en un punto A definido por 
el vector de posición r (figura 3.39a). Suponga que por alguna razón se quiere que 
la fuerza actúe en el punto O. Aunque F se puede mover a lo largo de su línea de 
acción (principio de transmisibilidad), no es posible moverla al punto O. que no se 
encuentra sobre la línea de acción original de la fuerza, sin modificar el efecto que 
F tiene sobre el cuerpo rígido. 
 
 
 
Página | 45 
 
 
Cualquier fuerza F que actúe .sobre un cuerpo rígido puede ser trasladada a un 
punto abrir rario O siempre y cuando se agregue un p ar cuyo momento sea igual al 
momento de F con respecto a O.
El par tiende a impartirle al cuerpo rígido el mismo 
movimiento de rotación alrededor de O que la fuerza F ocasionaba antes de que 
fuera trasladada al punto O. El par se representa por el vector de par M0 que es 
perpendicular al plano que contiene a r y a F. Como M0 es un vector libre, puede 
ser aplicado en cualquier lugar; sin embargo, por conveniencia, usualmente el vector 
de par se fija en O, junto con F, y se hace referencia a la combinación obtenida 
como un sistema fuerza-par (figura 3.39c). 
 
 
 
 
Página | 46 
 
 
Página | 47 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO ESPECIFICO 
Comprender las condiciones de equilibrio en un cuerpo rigido, considerando que la 
fuerza y momento resultante en el debe ser igual a cero y de esta forma, resolver 
problemas de estructura. 
 
Subtema 
5.1 inroduccion al equilibrio 
5.2 diagrama de cuerpo libre 
5.3 reacciones en los puntos de apoyo y conexiones de una estructura 
bidimensinal 
 
5.1 Introducción al equilibrio 
Cuando la fuerza y el par son iguales a cero, las fuerzas externas forman un sistema 
equivalente a cero y se dice que el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio.
Por 
tanto, las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido 
se pueden obtener igualando a cero a R y a Mq en las relaciones (3.52) de la sección 
3.17: 
 
 CAPITULO 5. EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS 
 
Página | 49 
 
Si se descompone cada fuerza y cada momento en sus componentes rectangulares, 
se pueden expresar las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un 
cuerpo rígido por medio de las seis ecuaciones escalares que se presentan a 
continuación: 
 
 
 
 
Las ecuaciones obtenidas se pueden emplear para determinar fuerzas 
desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo rígido o reacciones 
desconocidas ejercidas sobre este por sus puntos de apoyo.
Para poder escribir las 
ecuaciones de equilibrio para un cuerpo rígido, es esencial identificar primero todas 
las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo y, entonces, dibujar el diagrama de 
cuerpo libre correspondiente. 
 
5.2 Diagrama de cuerpo libre. 
Al resolver un problema relacionado con el equilibrio de un cuerpo rígido es esencial 
que se consideren todas las fuerzas que actuan sobre este; además, es importante 
excluir cualquier fuerza que no esté dada directamente sobre dicho cuerpo. Omitir 
o agregar una fuerza extraña podría destruir las condiciones de equilibrio. Por tanto, 
el primer paso en la solución del problema es esquematizar un diagrama de cuerpo 
libre del cuerpo rígido en consideración. Los diagramas de cuerpo libre ya fueron 
utilizados en muchas ocasiones en el capítulo 2. Sin embargo, en vista de su 
importancia para la solución de problemas de equilibrio, aquí se resumen los 
diferentes pasos que se deben seguir al momento de dibujar un diagrama de cuerpo 
libre. 
 
1. Se debe tomar una decisión acertada en relación con la selección del cuerpo libre 
que será utilizado. Después se debe separar al cuerpo del suelo y de todos los 
 
Página | 50 
demás cuerpos. Así, se realiza un croquis del contorno del cuerpo ya aislado.
 
 
2. Todas las fuerzas externas deben indicarse en el diagrama de cuerpo libre. Estas 
fuerzas representan las acciones ejercidas sobre el cuerpo libre p or el suelo y p or 
los cuerpos que han sido separados del mismo; estas fuerzas deben aplicarse en 
los diversos puntos sobre los que el cuerpo libre estaba apoyado en el suelo o 
estaba conectado a otros cuerpos. También se debe incluir entre las fuerzas 
externas el peso del cuerpo libre, puesto que representa la atracción ejercida por la 
Tierra sobre las distintas partículas que lo constituyen. Como se verá en el capítulo 
5, el peso debe aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo. Cuando el cuerpo 
libre está constituido por varias partes, las fuerzas que dichas partes ejercen entre 
si no deben incluirse entre las fuerzas externas; siempre que se considere completo 
al cuerpo libre, son fuerzas internas. 
 
3. Las magnitudes y las direcciones de las fuerzas externas que son conocidas 
deben señalarse con claridad en el diagrama de cuerpo libre. Cuando se indiquen 
las direcciones de dichas fuerzas, se debe recordar que estas son las ejercidas 
sobre, y no por, el cuerpo libre. Por lo general, las fuerzas externas conocidas 
incluyen el peso del cuerpo libre y las fuerzas aplicadas con un propósito en 
particular. 
 
4. Las fuerzas externas desconocidas consisten en las reacciones a través de las 
cuales el suelo y otros cuerpos se oponen a un posible movimiento del cuerpo libre. 
Las reaccioneslo obligan a permanecer en la misma posición y, por esta razón, 
algunas veces reciben el nombre de fuerzas de restricción. Las reacciones se 
ejercen en los puntos donde el cuerpo libre esta apoyado o conectado a otros 
cuerpos y deben indicarse con claridad. 
 
5. El diagrama de cuerpo libre también debe incluir dimensiones, puesto que estas 
se pueden necesitar para el cálculo de momentos de fuerzas. Sin embargo, 
cualquier otro detalle debe omitirse. 
 
Página | 51 
5.3 Reacciones en los puntos de apoyo y conexiones de una 
estructura bidimensional. 
Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden ser divididas 
en tres grupos que corresponden a tres tipos de apoyos (puntos de apoyo) o 
conexiones: 
 
1. Reacciones equivalentes a una fuerza con una línea de acción conocida. Los 
apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen rodillos, 
balancines, superficies sin fricción, eslabones o bielas y cables cortos, collarines 
sobre barras sin fricción y pernos sin fricción en ranuras lisas. Cada uno de estos 
apoyos y conexiones pueden impedir el movimiento solo en una dirección. 
 
Cada una de estas reacciones involucra a una sola incógnita, es decir, la magnitud 
de la reacción; dicha magnitud debe representarse con una letra apropiada. La línea 
de acción de la reacción es conocida y debe indicarse con claridad en el diagrama 
de cuerpo libre. El sentido de la reacción debe ser como se muestra en la figura 4.1 
para los casos de una superficie sin fricción (hacia el cuerpo libre) o de un cable 
(alejándose del cuerpo libre). La reacción puede estar dirigida en uno u otro sentido 
en el caso de rodillos de doble carril, eslabones, collarines sobre barras y pernos en 
ranuras. Por lo general, los rodillos de un carril y los balancines son reversibles y, 
por tanto, las reacciones correspondientes también pueden estar dirigidas en uno u 
otro sentido. 
 
2. Reacciones equivalentes a una fuerza de magnitud y dirección desconocidas. Los 
apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen pernos sin 
fricción en orificios ajustados, articulaciones o bisagras y superficies rugosas. Estos 
pueden impedir la traslación del cuerpo rígido en todas direcciones, pero no pueden 
impedir la rotación del mismo con respecto a la conexión. Las reacciones de este 
grupo involucran dos incógnitas que usual mente se representan por sus 
componentes x y y. En el caso de una superficie rugosa, la componente 
perpendicular a la superficie debe dirigirse alejándose de esta. 
 
Página | 52 
 
3. Reacciones equivalentes a una fuerza y un par. Estas reacciones se originan por 
apoyos fijos, los cuales se oponen a cualquier movimiento del cuerpo libre y, por 
tanto, lo restringen por completo.
Los soportes fijos producen fuerzas sobre toda la 
superficie de contacto; sin embargo, estas fuerzas forman un sistema que se puede 
reducir a una fuerza y un par. Las reacciones de este grupo involucran tres 
incógnitas, las cuales consisten en las dos componentes de la fuerza v en el 
momento del par. 
 
 
 
 
 
Página | 53 
 
 
Página | 54 
 
 
 
 
 
Página | 55 
 
 
 
 
 
 
Página | 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO ESPECIFICO 
Localizar el centro de gravedad de un cuerpo rigido empleando algunas propiedades 
de simetria o una integracion simple y usarlo en la resolucion de problemas. 
 
Subtemas 
6.1introduccion a los centroides y centros de gravedad 
6.2 centro de gravedad de un cuerpo bidimencional 
6.3 centroide de areas y lineas 
6.4 primeros momentos de areas y lineas 
6.5 placas y alambres compuestos 
6.6 cargasdistribuidas en vigas 
6.7 fuerzas sobre superficies sumergidas 
 
 CAPITULO 6. FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDES Y CENTROS 
DE GRAVEDAD 
 
Página | 57 
6.1 Introducción a los centroides y centros de gravedad. 
Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo 
rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza 
de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del 
cuerpo.
 
 
De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que 
constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido 
debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre 
todo el cuerpo. Sin embargo, en este capítulo se aprenderá que la totalidad de 
dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente 
W. También se aprenderá como determinar el centro de gravedad, esto es, el punto 
de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas. 
 
Se introducen dos conceptos que están muy relacionados con la determinación del 
centro de gravedad de una placa o de un alambre:
el concepto de centroide de un 
área o de una línea y el concepto del primer momento de un área o de una línea 
con respecto a un eje dado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 58 
6.2 Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional. 
 
 
 
 
 Página 49 
 
 
 
 
 
Página | 59 
 
6.3 Centroide de áreas y líneas. 
 
 
 
 Página 49 
 
 
 
 
 
 Página 50 
 
6.3 Centroide de áreas y líneas. 
 
 
Página | 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 50 
 
6.3 Centroide de áreas y líneas. 
 
 
 Página 51 
 
 
 
 
 
Página | 61 
 
6.4 Primeros momentos de áreas y líneas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 52 
 
6.4 Primeros momentos de áreas y líneas. 
 
 
Página | 62 
 
 
 
Página | 63 
6.5 Placas y alambres compuestos. 
 
 
 
 
Página | 64 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 65 
 
 
 
Página | 66 
6.6 Cargas distribuidas en vigas. 
 
 
 
Página | 67 
 
6.7 Fuerza sobre superficies sumergidas. 
El procedimiento usado en la sección anterior puede 
emplearse para
determinar la resultante de las fuerzas 
de presión hidrostática
ejercidas sobre una superficie 
rectangular sumergida en un líquido.
Considérese la 
placa rectangular mostrada en la figura 5.18, la 
cual
tiene una longitud L y un ancho b, donde b se mide 
perpendicular al
plano de la figura. Como se señaló en la sección 5.8, la carga 
ejercida
sobre un elemento de la placa de longitud dx es w dx, donde w es la
carga 
por unidad de longitud. Sin embargo, esta carga también puede
expresarse como 
p dA = pb dx, donde p es la presión manométrica en
el líquido y b es el ancho de la 
placa; por tanto, w = bp. Como la presión manométrica en un líquido es
p = 􏰀h, 
donde 􏰀 es el peso específico del líquido h es la distancia vertical a partir de la 
superficie libre, se concluye que 
 
 
 
lo cual demuestra que la carga por unidad de longitud w es proporcional a h y, por 
tanto, varia linealmente con x.
De acuerdo con los resultados de la sección 5.8, se 
observa que la resultante R de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre un lado de 
la placa es igual en magnitud al área trapezoidal bajo la curva de carga y su línea 
de acción pasa a través del centroide C de dicha área. El punto V de la placa donde 
se aplica R se conoce como el centro de presión. 
 
A continuación, se consideran las fuerzas ejercidas por un líquido sobre una 
superficie curva de ancho constante(figura 5.19a). Como la determinación por 
integración directa de la resultante R de dichas fuerzas podría no ser fácil, se 
considera el cuerpo libre obtenido por la separación del volumen de líquido ABD el 
 
Página | 68 
cual está limitado por la superficie curva AB y por las dos superficies planas AD y 
DB como se muestra en la figura 5.19b. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo 
libre ABD son el peso W del volumen de líquido separado, la resultante Ri de las 
fuerzas ejercidas sobre AD, la resultante R2 de las fuerzas ejercidas sobre BD y la 
resultante - R de las fuerzas ejercidas por la superficie curva sobre el líquido. La 
resultante - R es igual y opuesta y tiene la misma línea de acción que la resultante 
R de las fuerzas ejercidas por el líquido sobre la superficie curva. Las fuerzas W, 
R1 y R2 se pueden determinar mediante los métodos convencionales; una vez que 
se han encontrado estos valores, la fuerza — R se obtiene al resolver las 
ecuaciones de equilibrio para el cuerpo libre de la figura 5.19b. Entonces la 
resultante R de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre la superficie curva se 
obtienen invirtiendo el sentido de —R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 69 
 
 
 
 
Página | 70 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO ESPECIFICO 
Considerar a las estructuras formadas por varios cuerpos rígidos como uno sólo, 
analizando las fuerzas externas e internas que intervienen en ellas, para solución 
de problemas que involucran cuerpos en contacto. 
 
Subtemas 
7.1 introduccion y definicion de la armadura 
7.2 analisis de armadura en un plano 
 
 
 
 
 CAPITULO 7. ANALISIS DE EXTRUCTURAS 
 
Página | 71 
7.1 Introducción y definición de la armadura 
Se considerarán tres categorías amplias de estructuras de ingeniería.
Definición de 
una armadura: 
 

1. Armaduras, las cuales están diseñadas para soportar cargas y por lo general 
son estructuras estacionarias que están totalmente restringidas. 
 
Las armaduras consisten exclusivamente de elementos rectos que están 
conectados en nodos localizados en los extremos de cada elemento. Por tanto, los 
elementos de una armadura son elementos sujetos a (los fuerzas, esto es, 
elementos sobre los cuales actúan dos fuerzas iguales y opuestas que están 
dirigidas a lo largo del elemento.
 
 
2. Armazones, los cuales están diseñados para soportar cargas, se usan también 
como estructuras estacionarias que están totalmente restringidas. Sin embargo, 
como en el caso de la grúa de la figura 6.1, los armazones siempre contienen por lo 
menos un elemento sujeto a varias fuerzas, esto es, un elemento sobre el cual 
actuan tres o más fuerzas que, en general, no están dirigidas a lo largo del 
elemento.
 
 
3. Maquinas, las cuales están diseñadas para transmitir y modificar fuerzas, son 
estructuras que contienen partes en movimiento. Las maquinas, al igual que los 
armazones, siempre contienen por lo menos un elemento sujeto a varias fuerzas. 
La armadura es uno de los principales tipos de estructuras que se usan en la 
ingeniería. Esta proporciona una solución práctica y económica para muchas 
situaciones de ingeniería, en especial para el diseño de puentes y edificios. En la 
figura 6.2a se muestra una armadura típica.
Una armadura consta de elementos 
rectos que se conectan en nodos. 
 
Los elementos de la armadura solo están conectados en sus extremos; por tanto, 
 
Página | 72 
ningún elemento continúa más allá de un nodo. Por ejemplo, en la figura 6.2a no 
existe un elemento AB, en su lugar existen dos elementos distintos AD y DB. La 
mayoría de las estructuras reales están hechas a partir de varias armaduras unidas 
entre sí para formar una armadura espacial. Cada armadura esta diseñada para 
soportar aquellas cargas que actúan en su plano y, por tanto, pueden ser tratadas 
como estructuras bidimensionales. 
 
Los elementos de una armadura, por lo general, son delgados y solo pueden 
soportar cargas laterales pequeñas; por eso todas las cargas deben estar aplicadas 
en los nodos y no sobre los elementos. Cuando se va a aplicar una carga 
concentrada entre dos nodos o cuando la armadura debe soportar una carga 
distribuida, como en el caso de la armadura de un puente, debe proporcionarse un 
sistema de piso, el cual, mediante el uso de travesaños y largueros, transmite la 
carga a los nodos. 
 
Los pesos de los elementos de la armadura los cargan los nodos, aplicándose la 
mitad del peso de cada elemento a cada uno de los nodos a los que este se conecta. 
A pesar de que en realidad los elementos están unidos entre sí por medio de 
conexiones remachadas o soldadas, es común suponer que los elementos están 
conectados por medio de pernos; por tanto, las fuerzas que actúan en cada uno de 
los extremos del elemento se reducen a una sola fuerza y no existe un par. 
 
 
 
Página | 73 
 
 
7.2 Análisis de armadura en un plano. 
 
Considere la armadura mostrada en la figura 6.6a, la cual esta constituida por cuatro 
elementos conectados por medio de pernos en A, B, C y D. Si se aplica una carga 
en B, la armadura se deformara hasta perder por completo su forma original. Por el 
contrario, la armadura de la figura 6.6b, la cual esta constituida por tres elementos 
conectados
por medio de pernos en A, B y C, solo se deformara ligeramente bajo 
la acción de una carga aplicada en B. La única deformación posible para esta 
armadura es la que involucra pequeños cambios en la longitud de sus elementos. 
Por tanto, se dice que la armadura de la figura 6.6b es una armadura rígida, aquí el 
termino rígida se ha empleado para indicar que la armadura no se colapsara. 
 
 
 
Como se muestra en la figura 6.6c, se puede obtener una armadura rígida más 
grande agregando dos elementos BD y CD a la armadura triangular básica de la 
figura 6.6b. Este procedimiento se puede repetir tantas veces como se desee y la 
armadura resultante será rígida si cada vez que se agregan dos nuevos elementos, 
estos se unen a
dos nodos ya existentes y además se conectan entre si en un 
nuevo nodo.* 
 
Una armadura que se puede construir de esta forma recibe el nombre de armadura 
simple.
Se debe señalar que una armadura simple no esta hecha necesariamente 
a partir de triángulos. Por ejemplo, la armadura de la figura 6.6d es una armadura 
simple que fue construida a partir del triángulo ABC y se agregaron sucesivamente 
 
Página | 74 
los nodos D, E, F y G. Por otra parte, las armaduras rígidas no siempre son 
armaduras simples, incluso cuando parecen estar hechas de triángulos. Por 
ejemplo, las armaduras de Fink y Baltimore mostradas en la figura 6.5, no son 
armaduras simples, puesto que no pueden construirse a partir de un solo triangulo 
en la forma descrita en el párrafo anterior. Todas las demás armaduras que se 
muestran en la figura 6.5 son armaduras simples, lo cual se puede verificar 
fácilmente. (Para la armadura K se debe comenzar con uno de los triángulos 
centrales.)
En la figura 6.6 se observa que la armadura triangular básica de la figura 
6.6b tiene tres elementos y tres nodos. La armadura de la figura 6.6c tiene dos 
elementos y un nodo adicionales, esto es, cinco elementos y cuatro nodos en total. 
Si se tiene presente que cada vez que se agregan dos nuevos elementos el número 
de nodos se incrementa en uno, se encuentra que en una armadura simple el 
número total de elementos es m = 2n — 3, donde n es el número total de nodos. 
 
párrafo anterior. Todas las demás armaduras que se muestran en la figura 6.5 son 
armaduras simples, lo cual se puede verificar fácilmente. (Para la armadura K se 
debe comenzar con uno de los triángulos centrales.)
En la figura 6.6 se observa 
que la armadura triangular básica de la figura 6.6b tiene tres elementos y tres nodos. 
La armadura de la figura 6.6c tiene dos elementos y un nodo adicionales, esto es, 
cinco elementos y cuatro nodosen total. Si se tiene presente que cada vez que se 
agregan dos nuevos elementos el número de nodos se incrementa en uno, se 
encuentra que en una armadura simple el número total de elementos es m = 2n — 
3, donde n es el número total de nodos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO ESPECIFICO 
Comprender que la fricción seca, juega un papel importante en los cuerpos rígidos 
en contacto, relacionándola con los ejes, ruedas, cuñas y tornillos, para obtener 
algún beneficio de ella. 
 
Subtemas 
8.1 introduccion 
8.2 coeficiente de friccion 
8.3 angulo de friccion 
8.4 problemas que involucran de friccion en seco 
8.5 cuñas 
8.6 tornillos de rosca cuadrada 
8.7 chumaceras 
8.8 friccion en ejes 
8.9 friccion en ruedas 
8.10 riccion en bandas 
 
 CAPITULO 8. FRICCION 
 
Página | 76 
8.1 Introducción. 
En los capítulos anteriores se supuso que las superficies en contacto eran 
superficies sin fricción o superficies rugosas. Si estas eran superficies sin fricción, 
la fuerza que cada una de las superficies ejercía sobre la otra era normal a las 
superficies y las dos se podían mover de manera libre una respecto a la otra. Si 
estas eran superficies rugosas, se supuso que se podían presentar fuerzas 
tangenciales para impedir el movimiento de una superficie con respecto a la otra. 
 
El anterior fue un punto de vista muy simplificado. En realidad, no existen superficies 
sin fricción perfectas. Cuando dos superficies están en contacto, siempre se 
presentan fuerzas tangenciales, llamadas fuerzas de fricción, cuando se trata de 
mover una de las superficies con respecto a la otra. Existen dos tipos de fricción: la 
fricción seca, que algunas veces es llamada fricción de Coulomb, y la fricción de 
fluidos. La fricción de fluidos se desarrolla entre capas de fluido que se mueven a 
diferentes velocidades, y es de gran importancia en problemas que involucran el 
flujo de fluidos a través de tuberías y orificios o cuando se trabaja con cuerpos que 
están sumergidos en fluidos en movimiento. Además, la fricción en fluidos también 
es básica en el análisis del movimiento de mecanismos lubricados. Este tipo de 
problemas se consideran en los libros sobre mecánica de fluidos. El presente 
estudio está limitado a la fricción seca, esto es, a problemas que involucran cuerpos 
rígidos que están en contacto a lo largo de superficies que no están lubricadas. 
8.2 Coeficiente de fricción. 
Un bloque de peso W se coloca sobre una superficie horizontal plana (figura 8.1a). 
Las fuerzas que actúan sobre el bloque son su peso W y la reacción de la superficie. 
Como el peso no tiene una componente horizontal, la reacción de la superficie 
tampoco la tiene; por tanto, la reacción es normal a la superficie y está representada 
por N en la figura 8.1a. Ahora, suponga que se aplica sobre el bloque una fuerza 
horizontal P (figura 8.1.). Si P es pequeña, el bloque no se moverá; por tanto, debe 
existir alguna otra fuerza horizontal que equilibre a P. Esta otra fuerza es la fuerza 
de fricción estática F, la cual es en realidad la resultante de diversas fuerzas que 
actúan sobre toda la superficie de contacto entre el bloque y el plano. 
 
Página | 77 
 
 
 
A partir del momento en que el bloque empieza a moverse, este continúa 
deslizándose con una velocidad que va aumentando mientras que la fuerza de 
fricción, representada por F* y denominada fuerza de fricción cinética, permanece 
constante.
La evidencia experimental muestra que el máximo valor Fm de la fuerza 
de fricción estática es proporcional a la componente normal N de la reacción de la 
superficie. Así, se tiene que 
 
 
 
Donde μs. es una constante llamada coeficiente de fricción estática. De forma 
similar, la magnitud Fk de de fricción cinética. 
 
Con base en la descripción que se expuso en los párrafos anteriores es posible 
afirmar que pueden ocurrir cuatro situaciones diferentes cuando un cuerpo rígido 
está en contacto con una superficie horizontal:
 
 
 Las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo no tienden a moverlo a lo largo dc la 
superficie de contacto; por tanto, no hay fuerza. 
 
Las fuerzas aplicadas tienden a mover al cuerpo a lo largo de la superficie de 
contacto, pero no son lo suficientemente grandes para ponerlo en movimiento. La 
fuerza de fricción F que se ha desarrollado puede encontrarse resolviendo las 
ecuaciones de equilibrio para el cuerpo. Como no hay evidencia de que F ha 
 
Página | 78 
alcanzado su valor máximo, no se puede utilizar la ecuación Fm = !jlsN para 
determinar la fuerza de fricción. 
 
Las fuerzas aplicadas hacen que el cuerpo esté a punto de comenzar a deslizarse, 
en este momento se dice que el movimiento es inminente. La fuerza de fricción F 
ha alcanzado su valor máximo F,„ y, junto con la fuerza normal N, equilibra las 
fuerzas aplicadas. Se pueden utilizar tanto las ecuaciones de equilibrio como la 
ecuación F,n = fisN. También es necesario señalar que la fuerza de fricción tiene un 
sentido opuesto al sentido del movimiento inminente. 
El cuerpo se desliza bajo la acción de las fuerzas aplicadas y ya no se pueden 
aplicar las ecuaciones de equilibrio. Sin embargo, ahora F es igual a F.. y se puede 
utilizar la ecuación Fk — WfcN. El sentido de F*. es opuesto al sentido del 
movimiento.
La fuerza de fricción cinética puede expresarse de la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 79 
8.3 Ángulo de fricción. 
 
 
 
 
 Página 69 
 
8.3 Ángulo de fricción. 
 
 
 
 Página 69 
 
8.3 Ángulo de fricción. 
 
 
 
Página | 80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 69 
 
8.3 Ángulo de fricción. 
 
 
 
Página | 81 
8.4 Problemas que involucran fricción en seco. 
 
Los métodos que deben utilizarse para resolver problemas que involucran fricción 
seca son los mismos que se emplearon en los capítulos anteriores. Si un problema 
involucra solo un movimiento de traslación, sin que sea posible una rotación, 
usualmente se puede tratar al cuerpo bajo consideración como si fuera una partícula 
Si actuan mas de tres fuerzas sobre el cuerpo bajo !consideración (incluyendo las 
reacciones en las superficies de contacto), la reacción en cada superficie será 
representada por sus componentes N y F y el problema se resolverá con las 
ecuaciones de equilibrio. Si solo actuan tres fuerzas sobre el cuerpo considerado, 
puede ser más conveniente representar cada reacción por medio de la fuerza única 
R y resolver el problema dibujando un triángulo de fuerzas. 
 
La mayoría de los problemas que involucran la fricción pertenecen a uno de los 
siguientes tres grupos: en el primer grupo de problemas todas las fuerzas aplicadas 
están dadas y los coeficientes de fricción se conocen; en estos casos, se desea 
determinar si el cuerpo considerado permanecerá en reposo o se deslizará. La 
fuerza de fricción F requerida para mantener el equilibrio es desconocida. 
 
En los problemas del segundo grupo, todas las fuerzas aplicadas están dadas v se 
sabe que el movimiento es inminente; se desea determinar el valor del coeficiente 
de fricción estática. Aquí, nuevamente se determina la fuerza de fricción y la fuerza 
normal dibujando un diagrama de cuerpo libre y resolviendo las ecuaciones de 
equilibrio. 
 
En los problemas del tercer grupo se proporciona el coeficiente de fricción estática 
y se sabe que el movimiento en una dirección dada es inminente; se desea 
determinar la magnitud o la dirección de una de las fuerzas aplicadas. La fuerza de 
fricción se debe mostrar en el diagrama de cuerpo libre con unsentido opuesto al 
del movimiento inminente y con una magnitud F„, = μsN 
 
 
Página | 82 
 
 
 
 
Página | 83 
 
 
 
 
 
Página | 84 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 85 
8.5 Cuñas. 
Las cuñas son máquinas simples que se utilizan para levantar grandes bloques de 
piedra y otras cargas pesadas. Estas cargas se pueden levantar aplicándole a la 
cuna una fuerza que es menor que el peso de la carga. Además, debido a la fricción 
entre las superficies en contacto, una cuña con una forma apropiada permanecerá 
en su lugar después que ha sido forzada bajo la carga. Por tanto, las cunas se 
pueden utilizar para hacer pequeños ajustes en la posición de piezas pesadas de 
maquinaria. 
 
Considere el bloque A mostrado en la figura 8.7a. Dicho bloque descansa sobre una 
pared vertical B y debe levantarse un poco forzando una cuña C entre el bloque A 
y una segunda cuna D. Se desea encontrar el valor mínimo de la fuerza P que debe 
aplicarse a la cuna C para mover el bloque. Se supondrá que el peso W del bloque 
es conocido, ya sea en libras o determinado en newtons a partir de la masa del 
bloque expresada en kilogramos. 
 
Los diagramas de cuerpo libre del bloque A y de la cuna C se han dibujado en la 
figura 8.7b y c. Las fuerzas que actuan sobre el bloque incluyen su peso y las 
fuerzas normal y de fricción en las superficies de contacto con la pared B y con la 
cuna C. Las magnitudes dc las fuerzas de fricción F j y F 2 son iguales, 
respectivamente, a μsN1 y μsN2 puesto que debe iniciarse el movimiento del 
bloque. Es importante mostrar las fuerzas de fricción con su sentido correcto. Puesto 
que el bloque se moverá hacia arriba, la fuerza F , ejercida por la pared sobre el 
bloque debe estar dirigida hacia abajo. Por otra parte, como la cuña C se mueve 
hacia la derecha, el movimiento relativo de A con respecto a C es hacia la izquierda 
y la fuerza F 2 ejercida por C sobre A debe estar dirigida hacia la derecha. 
 
Ahora, considerando al cuerpo libre C en la figura 8.7c, se observa que las fuerzas 
que actuan sobre C incluyen la fuerza aplicada P y a las fuerzas normales y de 
fricción en las superficies de contacto con A y con D. El peso de la cuña es pequeño 
 
Página | 86 
en comparación con las otras fuerzas que están 
involucradas y, por tanto, puede no tomarse en 
cuenta. 
 
Las fuerzas ejercidas por A sobre C son iguales y 
opuestas a las fuerzas N-2 y F 2 ejercidas por C sobre 
A y se representan, respectivamente, por — N2 y — 
F 2; por tanto, la fuerza de fricción — F 2 debe estar 
dirigida hacia la izquierda. Se puede comprobar que 
la fuerza F 3 ejercida por D también está dirigida hacia 
la izquierda
 
 
El número total de incógnitas involucradas en los dos 
diagramas del cuerpo libre pueden reducirse a cuatro 
si las fuerzas de fricción se expresan en términos de 
las fuerzas normales. Expresar que el bloque A y la 
cuña C están en equilibrio proporcionara cuatro 
ecuaciones que pueden resolverse para obtener la 
magnitud de P. Se debe señalar que en este ejemplo 
es más conveniente reemplazar cada par de fuerzas 
normal y de fricción por su resultante. Entonces, cada 
cuerpo libre está sometido a tres fuerzas y el 
problema se puede resolver dibujando los triángulos 
de fuerzas correspondientes. 
 
 
 
 
 
 
Página | 87 
8.6 Tornillos de rosca cuadrada. 
Los tomillos de rosca cuadrada se utilizan en gatos, prensas y otros mecanismos. 
Su estudio es similar al análisis de un bloque que se desliza a lo largo de un plano 
inclinado.
En el gato mostrado en la figura 8.8 el tomillo soporta una carga W y está 
apoyado en la base del gato. El contacto entre el tomillo y la base ocurre a lo largo 
de una porción dc sus roscas. Si se aplica una fuerza P sobre el mango, se puede 
hacer que el tornillo gire y levante a la carga W. 
 
La rosca de la base ha sido desenvuelta y se muestra como una línea recta en la 
figura 8.9a. La pendiente correcta de la línea recta se obtuvo al representar de 
manera horizontal el producto 2πr, donde r es el radio promedio de la rosca y 
verticalmente el avance L del tomillo, esto es, la distancia a través de la cual avanza 
el tomillo en una vuelta. 
 
El ángulo 6 que esta línea forma con la horizontal es el ángulo de avance. Como la 
fuerza dc fricción entre dos superficies en contacto no depende del área de contacto, 
se puede suponer que el área de contacto entre las dos roscas es menor que su 
valor real y, por tanto, puede representarse al tomillo por medio del bloque que se 
muestra en la figura 8.9a. Sin embargo, es necesario señalar que en este análisis 
del gato no se toma en cuenta la fricción entre la corona y el tomillo. 
 
El diagrama dc cuerpo libre del bloque debe incluir la carga W, la reacción R de la 
rosca de la base y la fuerza horizontal Q que tiene el mismo efecto que la fuerza P 
ejercida sobre el mango. La fuerza Q debe tener el mismo momento que P alrededor 
del eje del tomillo y, por tanto, su magnitud debe ser Q = Pa/r. De esta forma, se 
puede obtener la fuerza Q y, por consiguiente, la fuerza P requerida para levantar a 
la carga W, a partir del diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 8.9a. El 
ángulo de fricción se toma igual a Øs, puesto que se presume que la carga será 
levantada a través de una serie de golpes pequeños sucesivos. En los mecanismos 
que proporcionan una rotación continua de un tornillo, puede ser deseable distinguir 
entre la fuerza requerida para comenzar el movimiento (utilice Øs) y la fuerza 
 
Página | 88 
requerida para mantener el movimiento. 
 
 
 
Si el ángulo de fricción 4>.s es mayor que el ángulo de avance 0, se dice que el 
tornillo es auto bloqueante; el tomillo permanecerá en su lugar bajo la acción de la 
carga. El avance dc un tornillo no se debe confundir con su paso. El avance se 
definió como la distancia a través de la cual avanza el tornillo en una vuelta; el paso 
es la distancia medida entre dos roscas consecutivas. 
 
A pesar de que el avance y el paso son iguales en el caso de tornillos dc rosca 
simple, serán diferentes en el caso de tomillos de rosca múltiple, esto es, tornillos 
que tienen varias roscas independientes. Se puede comprobar fácilmente que para 
tomillos de rosca doble el avance es el doble del paso; para tomillos de rosca triple, 
el avance es el triple del paso v así de manera sucesiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 89 
 
8.7 Chumaceras. 
Las chumaceras se utilizan para proporcionar soporte lateral a flechas y ejes en 
rotación. Si la chumacera está totalmente lubricada, la resistencia por fricción 
depende de la velocidad de rotación, del juego entre el eje v la chumacera, v de la 
viscosidad del lubricante.
Considere dos ruedas, cada una de peso W, las cuales 
están montadas rígidamente sobre un eje soportado de manera simétrica por dos 
chumaceras (figura 8.10a). Si las ruedas giran, se encuentra que, para mantenerlas 
rotando a una velocidad constante, es necesario aplicarle a cada una un par M. 
8.8 Fricción en ejes. 
El diagrama de cuerpo libre de la figura 8.10c representa la proyección de una de 
las ruedas v de la mitad del eje correspondiente sobre un plano perpendicular al eje. 
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre incluyen el peso W de la rueda, el par 
M requerido para mantener su movimiento, y una fuerza R que representa la 
reacción de la chumacera. 
 
Página | 90 
 
Esta última fuerza es vertical, igual y opuesta a W, pero no pasa por el centro O del 
eje; R está localizada a la derecha de O a una distancia tal que su momento respecto 
a O equilibra el momento M del par. Por tanto, el contacto entre el eje y la chumacera 
no ocurre en el punto A más bajo cuando el eje está girando. El contacto ocurre en 
el punto B (figura 8.106) o, mejor dicho, a lo largo de una línea recta que interseca. 
Al plano de la figura en el