Apuntes_cinematica_1D - Ignacio Gallardo

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APUNTES DE FISICA
Universidad Nacional de San Luis
Fac. Cs. Físico-Matemáticas y Naturales
Departamento de Física
Para Estudiantes de las Carreras: 
Licenciatura en Química
Licenciatura en Biotecnología
Profesorado en Química
Capítulo 1
CINEMÁTICA 1D
Estos apuntes constituyen solo una guía y el
estudiante debe acompañarlos de los videos de
teoría sugeridos por el profesor, además de estudiar
los contenidos desde el libro.
Importante!!!!
La rama de la física que se ocupa del
estudio del movimiento, lo que lo
produce y lo afecta se llama
mecánica:
Cinemática: describe los tipos de movimiento
de un cuerpo.
Dinámica: explora las causas del movimiento.
Estática: estudia los cuerpos en reposo.
CINEMÁTICA: DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO
Nota: Un cuerpo puede ser una pelota, una persona, un auto, etc.
¿Qué es movimiento? movimiento (o moverse) implica un cambio de posición.
El movimiento puede describirse en parte
especificando qué tan lejos viaja algo al
cambiar de posición
Distancia es simplemente la longitud total del 
trayecto recorrido al moverse de un lugar a otro.
En Física hacemos diferencia entre
“desplazamiento” y “distancia recorrida”.
Desplazamiento es la distancia que existe entre la
posición final e inicial de un movimiento (o de una
parte del movimiento).
Sistema de Referencia y Desplazamiento
CINEMÁTICA: DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO
Para describir el movimiento de un cuerpo se requiere de un marco
de referencia y conocer la posición del cuerpo a un tiempo t.
Ԧ𝑟 𝑡 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
y
x
z
Ԧ𝑟(𝑡´)
𝑡´ = 𝑡 + ∆𝑡
Ԧ𝑟(𝑡)
∆Ԧ𝑟(𝑡)
Distancia recorrida
Nota: La distancia recorrida ≠ ∆Ԧ𝑟(𝑡) (desplazamiento)
Desplazamiento
0 2 4 6
CINEMÁTICA en una dimensión
Ԧ𝑥(𝑡)
𝑥
Ԧ𝑥𝑖 = Ԧ𝑥(𝑡)
Ԧ𝑥𝑓 = Ԧ𝑥(𝑡 + ∆𝑡)
Ԧ𝑥𝑖 = 𝑥 𝑡 𝑚 Ƹ𝑖
Ԧ𝑥𝑓 = 𝑥 𝑡 + ∆𝑡 𝑚 Ƹ𝑖
Ԧ𝑥(𝑡 + ∆𝑡)
La posición es un vector que tiene:
• Módulo
• Dirección
• Sentido
• Unidad
Vector posición y vector desplazamiento
vector 
desplazamiento
∆ Ԧ𝑥 = Ԧ𝑥𝑓 − Ԧ𝑥𝑖
El desplazamiento es un 
vector que tiene:
• Módulo
• Dirección
• Sentido
• Unidad
∆ Ԧ𝑥 = Ԧ𝑥(𝑡 + ∆𝑡) − Ԧ𝑥(𝑡)𝑖
∆ Ԧ𝑥
∆ Ԧ𝑥 = ∆𝑥 𝑚 Ƹ𝑖 = 𝑥 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑥 𝑡 𝑚 Ƹ𝑖
0 2 4 6 8 10
-2
0
2
4
6
x(m)
t(s)
Ejemplo de representación 
de la posición versus t
A partir de la tabla de datos es fácil determinar el 
desplazamiento:
Dx =xf -xi
Nota: El desplazamiento puede ser positivo, negativo 
o nulo.
t (s) x (m) Dx (m)
0 +30
10 +52 +22
20 +38 -14
30 0 -38
40 -37 -37
50 -53 -16
Un vehículo se mueve hacia delante y atrás sobre una calle, respecto de un cartel que se 
encuentra ubicado en el origen de coordenadas.
A
B
C
D
E
F
CINEMÁTICA en una dimensión
Ԧ𝑣𝑚 =
∆ Ԧ𝑥
∆𝑡
=
Ԧ𝑥𝑓 − Ԧ𝑥𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
=
Ԧ𝑥(𝑡 + ∆𝑡) − Ԧ𝑥(𝑡)
𝑡 + ∆𝑡 − 𝑡
Nota: 
∆ siempre 
significa final
menos inicial
A partir de esta definición observamos que la
velocidad posee dimensión de longitud dividida
por el tiempo.
En el sistema internacional es 
𝑚
𝑠
. La más conocida es de km/h.
Unidades
Velocidad Media
Velocidad media: es un vector y se define en términos del vector desplazamiento, ∆𝑥. 
El módulo de dicho vector se calcula como:
Ԧ𝑣𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
𝑚
𝑠
Ƹ𝑖
La velocidad media es 
un vector que tiene:
• Módulo :
∆𝑥
∆𝑡
• Dirección: igual al 
desplazamiento 
• Sentido: : igual al 
desplazamiento 
• Unidad
𝑣 =
𝐿
𝑡
CINEMÁTICA en una dimensión
Qué significa la velocidad media:
∆𝑥 = 𝑥𝑓- 𝑥𝑖
t(s)
x(m)
𝑥𝑓
𝑥𝑖
𝑡𝑓𝑡𝑖
∆𝑡 = 𝑡𝑓- 𝑡𝑖
(𝑡𝑓,𝑥𝑓)
(𝑡𝑖,𝑥𝑖)
Pendiente de la recta 
secante = 𝑣𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
Entre Dt (s) Dx (m) v (m/s)
(A) - (B) 10 +22 + 2,2
(B) - (C) 10 -14 - 1,4
(C) - (D) 10 -38 - 3,8
(D) - (E) 10 -37 - 3,7
(E) - (F) 10 -16 - 1,6
¿Cómo se interpreta el signo 
de la velocidad?
Velocidad Media
Indica la dirección y el sentido del movimiento.
la velocidad media es (+) si se mueve hacia la derecha a lo 
largo del eje x, y es (-) cuando el objeto se mueve hacia la 
izquierda, a lo largo del eje x.
Lo más probable es que la velocidad vaya
variando durante el trayecto. Por
momentos la velocidad aumentará, en
otros permanecerá constante o
simplemente disminuirá de acuerdo a
distintos factores del tránsito. Hasta que
finalmente llegue a destino.
Si usted conduce un automóvil a lo largo
de un camino recto de 20 km durante
media hora, su velocidad media en este
trayecto fue de 40 km/h. Sin embargo,
es poco probable que viaje durante todo
el trayecto con dicha velocidad.
El velocímetro de un automóvil da la
velocidad en un intervalo de tiempo
muy corto, así que su lectura se
aproxima a la velocidad instantánea
Velocidad Instantánea
Ԧ𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆ Ԧ𝑥
∆𝑡
=
𝑑 Ԧ𝑥
𝑑𝑡
Velocidad Instantánea
Pendiente de la recta tangenteGráficamente la velocidad instantánea es:
Ԧ𝑎𝑚 =
∆ Ԧ𝑣
∆𝑡
=
Ԧ𝑣𝑓 − Ԧ𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Unidad SI de aceleración: metros por segundo al cuadrado (m/s2).
La aceleración al igual que la velocidad es un vector.
• Módulo :
𝑑𝑣
𝑑𝑡
• Dirección: igual al cambio de velocidad 
• Sentido
• Unidad: 𝑎 =
𝐿
𝑡 2
en el sistema MKS se mide en 
𝑚
𝑠2
Aceleración
➢ A partir de esta definición vemos que el signo de la aceleración está ligado al signo 
del cambio en la velocidad ∆ Ԧ𝑣
➢ Como en el caso de la velocidad, también hay aceleración instantánea. Y corresponde 
cuando el Dt tiende a cero. 
Ԧ𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆ Ԧ𝑣
∆𝑡
=
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
Aceleración
Puesto que la velocidad es una cantidad vectorial, con magnitud y dirección, puede haber 
una aceleración cuando hay 
a) un cambio de magnitud, pero no de dirección,
b) un cambio de dirección, pero no de magnitud, o 
c) un cambio tanto de magnitud como de dirección.
La aceleración es un vector. En el caso del movimiento unidimensional necesitamos 
saber sólo el signo.
En este ejemplo la aceleración es negativa. Y el movimiento es desacelerado.
Aceleración
Existe diferencia entre aceleración negativa y desaceleración.
Aceleración negativa es una aceleración que va en sentido negativo según el sistema de referencia.
Un desaceleración es cuando la aceleración se opone al sentido de la velocidad.
En este caso la aceleración es positiva y el movimiento desacelerado
Aceleración
Ԧ𝑎
Ԧ𝑣
En este caso la aceleración y la velocidad 
tienen el mismo sentido Movimiento acelerado
Ԧ𝑎
Ԧ𝑣
En este caso la aceleración y la velocidad 
tienen el mismo sentido Movimiento acelerado
Ԧ𝑎
Ԧ𝑣
En este caso la aceleración y la velocidad 
tienen sentido opuesto Movimiento desacelerado
Ԧ𝑎
Ԧ𝑣
En este caso la aceleración y la velocidad 
tienen sentido opuesto Movimiento desacelerado
t(s)
v(m/s)
CINEMÁTICA en una dimensión
Análisis Gráfico: 
Pendiente de la recta 
secante = 𝑎𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
∆𝑣 = 𝑣𝑓- 𝑣𝑖
𝑣𝑓
𝑣𝑖
𝑡𝑓𝑡𝑖
∆𝑡 = 𝑡𝑓- 𝑡𝑖
(𝑡𝑓,𝑣𝑓)
(𝑡𝑖,𝑣𝑖)
Pendiente de la recta 
tangente = 𝑎(𝑡) =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Pendiente de la recta tangente = 𝑎(𝑡) =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
CINEMÁTICA en una dimensión
Podemos asegurar que si conocemos la aceleración instantánea y la velocidad
inicial 𝒗i
Ԧ𝑎(𝑡) =
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
Ԧ𝑣(𝑡) =
𝑑 Ԧ𝑥
𝑑𝑡
Podemos obtener
la velocidad instantánea
Y si conocemos la velocidad
instantánea y la posición inicial
𝒙i Podemos obtener
la posición a todo tiempo t
Ԧ𝑥(𝑡)
Descripción cinemática de un sistema
CINEMÁTICA en una dimensión: Movimiento Rectilíneo Uniforme
Ԧ𝑎 = 0Caso 1: Ԧ𝑎 𝑡 =
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
= 0
La velocidad 
no cambia𝑑 Ԧ𝑣 = 0
Ԧ𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
También se puede observar 
desde la aceleración media
Ԧ𝑎𝑚 =
∆ Ԧ𝑣
∆𝑡
=
Ԧ𝑣𝑓 − Ԧ𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
= 0 Ԧ𝑣𝑓 = Ԧ𝑣𝑖 = 𝑐𝑡𝑒
Si conocemos la velocidad 
inicial
Ԧ𝑣(𝑡 = 0) = Ԧ𝑣𝑖 Ԧ𝑣(𝑡) = Ԧ𝑣𝑖
Para todo 
tiempo t
Para todo 
tiempo t
Ԧ𝑣 𝑡 =
𝑑 Ԧ𝑥
𝑑𝑡
= cte
CINEMÁTICA en una dimensión: Movimiento Rectilíneo Uniforme
Ԧ𝑣 𝑡 =
𝑑 Ԧ𝑥
𝑑𝑡
Ԧ𝑣 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑 Ԧ𝑥 න
𝑡𝑖
𝑡𝑓
Ԧ𝑣 𝑡 𝑑𝑡 = න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝑑 Ԧ𝑥
Ԧ𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Ԧ𝑣 න
𝑡𝑖
𝑡𝑓𝑑𝑡 = න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝑑 Ԧ𝑥 Ԧ𝑣(𝑡𝑓 − 𝑡𝑖) = Ԧ𝑥𝑓 − Ԧ𝑥𝑖
Ԧ𝑥𝑓 = Ԧ𝑥𝑖 + Ԧ𝑣 ∙ (𝑡𝑓 − 𝑡𝑖)
Si 𝑡𝑖 =0 Ԧ𝑥 𝑡 = Ԧ𝑥𝑖 + Ԧ𝑣𝑡 MRU
Su módulo, 
dirección y sentido
No Cambian
CINEMÁTICA
Es importante diferenciar la velocidad con la rapidez o celeridad.
velocidad
Velocidad media Ԧ𝑣𝑚 =
∆ Ԧ𝑥
∆𝑡
Velocidad instantánea Ԧ𝑣 =
𝑑 Ԧ𝑥
𝑑𝑡
Son vectores que tiene:
• Módulo 
• Dirección
• Sentido
• Unidad
Rapidez o
celeridad
𝑣 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
∆𝑡
Es un escalar
Un objeto tiene Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) cuando
Su trayectoria es recta y su velocidad constante
La gráfica posición-tiempo (x vs. t) es 
una recta cuya pendiente es igual al 
módulo de la velocidad inicial.
La gráfica velocidad-tiempo (v 
vs. t) es una recta horizontal 
(paralela al eje t).
Movimiento Rectilíneo Uniforme
0 1 2 3 4
0
2
4
t(s)
a(m/s2)
Ԧ𝑎 = 0 Dada su 
velocidad inicial
Dada su posición inicial
CINEMÁTICA en una dimensión: Movimiento Rectilíneo Uniformemente variado
Ԧ𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ≠ 0Caso 2: Ԧ𝑎 𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑐𝑡𝑒 = Ԧ𝑎
Para todo tiempo t
Ԧ𝑎𝑑𝑡 = 𝑑 Ԧ𝑣
Ԧ𝑎න
0
𝑡𝑓
𝑑𝑡 = න
𝑣𝑖
𝑣𝑓
𝑑 Ԧ𝑣 Ԧ𝑎𝑡 = Ԧ𝑣𝑓 − Ԧ𝑣𝑖
Ԧ𝑣𝑓 = Ԧ𝑣𝑖 + Ԧ𝑎𝑡 Ԧ𝑣(𝑡) = Ԧ𝑣𝑖 + Ԧ𝑎𝑡
Si conocemos la velocidad 
inicial
Ԧ𝑣 𝑡 =
𝑑 Ԧ𝑥
𝑑𝑡
Dado que: න
0
𝑡𝑓
Ԧ𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝑑 Ԧ𝑥 න
0
𝑡𝑓
( Ԧ𝑣𝑖 + Ԧ𝑎𝑡)𝑑𝑡 = න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝑑 Ԧ𝑥
Por comodidad 
consideramos
𝑡𝑖 = 0
Ԧ𝑣𝑖𝑡 +
1
2
Ԧ𝑎𝑡2 = Ԧ𝑥𝑓 − Ԧ𝑥𝑖
Ԧ𝑥 𝑡 = Ԧ𝑥𝑖 + Ԧ𝑣𝑖𝑡 +
1
2
Ԧ𝑎𝑡2
Si conocemos la velocidad 
inicial y la posición inicial
Movimiento Rectilineo Uniformemente Variado
x
x (m)
t (s)0 10
10
20
40
30
90
x(t) = ½ 0.2 m/s2 t2
2,5
22,5
62,5 xi=0 ; vi=0 ; a=0.2m/s
2
Donde:
CINEMÁTICA en una dimensión: Movimiento Rectilíneo Uniformemente variado
Dada su 
Aceleración
y velocidad inicial
Dada su velocidad inicial
y posición inicial
Ԧ𝑣(𝑡) = Ԧ𝑣𝑖 + Ԧ𝑎𝑖𝑡
Ԧ𝑥 𝑡 = Ԧ𝑥𝑖 + Ԧ𝑣𝑖𝑡 +
1
2
Ԧ𝑎𝑖𝑡
2
¿Qué son las gráficas de velocidad vs. tiempo?
t
V
e
lo
c
id
a
d
Tiempo 
v
El eje vertical representa la velocidad del objeto.
La pendiente de una gráfica de velocidad 
representa la aceleración del objeto.
𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑣2 − 𝑣𝑖
𝑡2 − 𝑡𝑖
vi
v2
ti t2
¿Qué representa el área debajo de la gráfica de velocidad?
El área debajo de una gráfica de velocidad representa el 
desplazamiento del objeto.
Movimiento Rectilineo Uniformemente Variado (Análisis gráfico)
Ԧ𝑣(𝑡) = Ԧ𝑣𝑖 + Ԧ𝑎(𝑡 − 𝑡𝑖)
𝑎(t2− t1)
vi
Ejemplo:
El movimiento de un carrito de carreras se muestra en la siguiente gráfica de velocidad 
versus el tiempo.
A. ¿Cuál fue la aceleración del carrito en un intervalo de tiempo de 4s ?
B. ¿Cuál fue el desplazamiento del carrito entre t=0s y t=7s ?
Podemos encontrar la aceleración en un inetervalo de 4s al determinar la
pendiente de la gráfica de velocidad entre t1=3s y t2=7s.
A. 
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑣2 − 𝑣1
𝑡2 − 𝑡1
=
0𝑚/𝑠 − 6𝑚/𝑠
7𝑠 − 3𝑠
=
−6𝑚/𝑠
4𝑠
= −1.5m/𝑠2
B. 
El área del rectángulo
se encuentra con:
𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 3𝑠 ∗
6𝑚
𝑠
= 18𝑚
El área del triángulo 
se encuentra con:
𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
=
4𝑠 ∗
6𝑚
𝑠
2
= 12𝑚
Al sumar estas dos áreas obtenemos el desplazamiento total.
Área total = 18 m + 12 m = 30 m
Desplazamiento total = 30m
Movimiento Rectilineo Uniformemente Variado
Calcular usando las
ecuaciones de movimiento
Ecuaciones de movimiento cuando 𝒂 es constante:
Movimiento Rectilineo Uniformemente Variado
Ԧ𝑎𝑚 =
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Ԧ𝑥 𝑡 = Ԧ𝑥𝑖 + Ԧ𝑣𝑖 ∙ (𝑡 − 𝑡𝑖) +
1
2
Ԧ𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡𝑖)
2
Ԧ𝑣 𝑡 = 𝑣𝑖 + Ԧ𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡𝑖)
Ԧ𝑣𝑓
2 = Ԧ𝑣𝑖
2 + 2 Ԧ𝑎 ∙ ( Ԧ𝑥𝑓−Ԧ𝑥𝑖)
aceleración 
velocidad en función de t
velocidad en función de x
posición en función de t
Uno de los casos mas comunes de aceleración constante es la aceleración debida a 
la gravedad cerca de la superficie terrestre.
✓Todos los objetos caen hacia la superficie terrestre.
Dicha aceleración es la de la atracción gravitatoria:
g ≅ 9,8 m/s2 ≈ 10 m/s2
La contribución de Galileo fue:
En un lugar dado sobre la Tierra y en ausencia
de la resistencia del aire, todos los objetos caen
con la misma aceleración constante.
https://www.youtube.com/watch?time_continue=7&v=E43-CfukEgs
Movimiento Rectilineo Uniformemente Variado: Caída Libre
Sugerencia ver video de la experiencia real:
https://www.youtube.com/watch?time_continue=7&v=E43-CfukEgs
Caída libre
Ecuaciones de Movimiento para la caída libre de un objeto sin resistencia del aire 
corresponden a las de un MRUV, 
• donde hay que cambiar x por y.
• y la aceleración es Ԧ𝑎 = −𝑔 Ƹ𝑗
• Ԧ𝑣𝑖𝑦 = 0
𝑦 𝑡 = 𝑦𝑖 −
1
2
𝑔 ∙ 𝑡 − 𝑡𝑖
2
𝑣𝑦 𝑡 = −𝑔 ∙ 𝑡 − 𝑡𝑖
𝑣𝑓𝑦
2 = −2𝑔 ∙ 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
ti=0 
𝑦 𝑡 = 𝑦𝑖 −
1
2
𝑔 ∙ 𝑡2
𝑣𝑦 𝑡 = −𝑔 ∙ 𝑡
Ԧ𝑔
y
0
yi
Ԧ𝑣𝑦
Tiro vertical
Un objeto lanzado hacia arriba deja la mano del lanzador en el punto A.
Alcanza su altura máxima en B (la velocidad en este punto es nula) y
cambia su sentido. Finalmente regresa nuevamente a la mano en C.
yEcuaciones de Movimiento para la Tiro vertical de un objeto
despreciando la resistencia del aire corresponden a las de un
MRUV:
• donde hay que cambiar x por y.
• y la aceleración es Ԧ𝑎 = −𝑔 Ƹ𝑗
𝑦 𝑡 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖𝑦 ∙ 𝑡 −
1
2
𝑔 ∙ 𝑡2
𝑣𝑦 𝑡 = 𝑣𝑖𝑦 − 𝑔 ∙ 𝑡
hmax
yi
𝑣𝑓𝑦
2 = 𝑣𝑖𝑦
2 − 2𝑔 ∙ 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
ℎ𝑚𝑎𝑥 =
𝑣𝑖𝑦
2
2𝑔
𝑡ℎ𝑚𝑎𝑥 =
𝑣𝑖𝑦
𝑔 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑡ℎ𝑚𝑎𝑥
g