El Libro Negro de la Matemática_PSU, 2018, (Manual Pre-universitario de Matemáticas, con 1000 Ejercicios Resueltos) - Mauro Quintana - María Belén Fernández

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PAUTA DE EJERCICIOS RESUELTOS
CENTRO DE ESTUDIOS MATEMÁTICOS
MAURO QUINTANA LTDA.
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Centro de Estudios Matemáticos 
~aaa-o.\ ita Ma uro Qu i n ta na Ltda . 
112) ../3+2./2= ( 2.~~ t 3 ) := e O\ f"a-\?,) '2. 
2./2-../3 ~:;s=-"'t~) ---- ~ e>t ~ • 3..-.Ja_ -~3 t Lt•J.,. 
<e,-3 
A) 4../6 
B) 2../6+17 
11 
@ 4../65+11 
D) 4../6+11 
11 
l.\"~ - 3 
E) Ninguna de las anteriores 
113) Si Wa = p y q = ✓P , con m, n y a E z+. ¿cuál de las siguientes igualdades es 
correcta? eral 
~ ::. ~ O'\(\ ÍCl 
A) a= qnm 
m 
B) a= qn 
n 
C) a= qm 
@ a= qnm2 
2 
E) a= qmn 
m · m -n ~ex, 
N\~ ' fc5:1 /)m2 n e\OO ~m1-n 
(-(XO nccr1u ca·,-t:, 
114) Si se considera que el valor aproximado de ../5 dado por la calculadora es 2,236067978, 
n es ../5 aproximado por exceso a la décima, m es ../5 aproximado por defecto a la décima y 
r = jcm --Js/ + jc..Js -n/, entonces res igual a: : . r = {5_ -:-2/L + 1¡3-0" 
[ r= o, .i] 
A) -0,1 (\ = ~ .3; rn = -a..1 9--
-=-::> r -= ~ (2../l -ts)2.7 + i (\J 5 - 2/1 )2..1 
1 2., 2 - rs I t- l rs - 2, 3 t ., -r----- ~ 
V.,\lct> < o '-. 
115) Al ordenar en forma decreciente los números 
~ c, b,a 
~ a,b,c 
C) b, a, c 
D) c,a,b 
E) b, c,a 
a = 3 + ../5, b = .../8 + 2 y e = 3--/i. - 1, se obtiene: 
b ~ ~º .1.,Y 1-~ e~ 3 · 11 YI -
b ~ 4) 8 ~ 3 .1'd-
Rx" 'º ~ ./ el aa:n ~te ~'S; 
c¡7\::)7C. 
31 
Centro de Estudios Matemáticos 
Mauro Qu i ntana Ltda 
183) La diferencia entre los complejos z 1 Y Z2 es: 3 + 6i, si Zz = 2z¡; entonces z 2 vale: 
e\ ...:. h -=- ~-t ~ si _,. -=e " -== e t. 
~ - 3-6i 
- 6 -12i 
3-Gi 
D) 6-12i 
E) 6 + 12i 
t2. - -=t1. ~ '6 + <o i -'l... 
- ~3- :: ~~Coi ~ \ ~, = '2, , _______ _ -<o-,i. -t l 
184) Si z = 1-i y A• z 2 = 1, entonces.A v,re: . (. °' -\'oÁ) ( " - -l) = i. 
A) -½i (Q-\'o\) ( ~ -J..,(tA°l.) ::._i 
'2- ÁQ =-O i o~CB 
~b-== .i · b ~ .i 
; 2 
ai\ 1 . -J...-\. ·o.- ~ t) .k' =- _1 
\:::.!) 21 . rr-o +-½ . ( 
C) 1 +2i -a. ,\Q . -t'~ = i. 
D) 1 - 2i 
E) - 1 -i 
-- .1. A i 
:2- 1 
185) El valor de (¡·2 - ¡-1 r es: 
A) 2i 
-= - " 
~ J\.. - -A. -- - j .,( 
B) - 2i ( 1 -J.-i. .\-.i'") -1 e~,) - ... --~ -=-!_ 
~ 2i 
1 
D -
2i 
E) 1- i 
186) En la igualdad 2x - 1 + i = 3 + i , x vale 
A) O 
c~H 
E) 3 
187) En la igualdad (x - 2 yi X1 - i) = 7 + i los valores de x e y respectivamente son: 
A) 2" Y 3 
B) 3 y 2 
C) 2 y -3 
(oh 3 y -2 
'E( -2 y -3 
-l\~ =-- R 
~ 
)( - )(¡ -2'¡ i -2..y .:: ➔1-.l 
X -- 2'y-t i ( -x -2,~) ~ ::,+i 
X -~'-{ =- + 
- -y:. -d,. '\/ ;;; i 
48 
j 
f , 
; 
' 
' 
• 
; 
I 
' 
' • 
• 
• 
j 
• 
j 
j 
t 
, 
192) 
193) 
·10 
l 
El valor absoluto de .4 .3 es: 
l + l 
A) ✓2 
1 
B) -
2 
@~ 
D) 1 
2 
E) ✓2 
El conjugado de (¡-5 + ¡-1~ t1 es: 
A) 1 +; 
B) 1-i 
l 1 . 
C) - + - 1 
2 2 
@ 1 1 . -- - / 
2 2 
=7 
E) 
l 1 . 
- --- / 
2 2 
Centro de Estudios Matemáticos 
M au r o Qu in ta na L tda 
- 1. ~ 11.-tt_1. : fz. 
2 ~ 
194) Un complejo cuya parte rea l es 3 y cuyo valor abso luto es Jo es: 
A) -3 + 2i 
~ -3+2i 
(g)3 - 2i 
D) 3 - 3i 
E} 3 + 3i 
a-tb' .:: ~b\. 
l ~f'od -= ~ = \ C\--\ b" ' 
195} ¿Cuáles son las raíces de la ecuación x 1 = 8x- 17? 
A} 2 y 6 
X1--8 x -t-\'1'~ G 
B} 5 y 3 
C) 6i y 2i 
@i)4 +i y 4 - i 
A;::. ~'!. ~04 - l\ ·(':=t 
1 
- '?~ M 
E} ✓33 - 4 y -4-✓33 
' 
so 
~ -----=\Yi Jl \ 
✓ 
lff J.' 
2-
Centro de Estudios Matemáticos 
M au ro Q u i nt an a Lt da . 
394) Si p < O, entonces la magnitud del vector (-p)(p2, p2 es: 
A) -/Zpz ~cooxr qe, .K~ no~n ,wo ,s l f == { a '"tbi' 
B) -p
5 e ~tr (-p)/ lO rn~\t\p\,a::rros ru t,~ . 
C) -p 
D) 2p3 ::.) (-p) f(t:>1)'" T ( ~1.) ~ : (-p) · ~ 2 r fi 
®--Jzp3 e-~) { ~ 4 "'"f4- ~ E~ pº I 
l-~) ~~ . . 
395) Dados v = (a, 2) y Ü = (3,4). ¿Cuál de los siguientes números puede ser el valor de a 
para que la longitud de v sea el doble de la longitud de Ü? ,.. 
~(O\\ fil\ \ffi en.'Odcf\ 
~Q 1-+'1 1 = ~ ~ 9tl<s,, 
o"Lt4 -=. 4 . 25 
o~= -iCO -4 
1---
o=- qeo 
396) Si á = G, 6) y b = (-~, -6 ), entonces 4á - 2b es igual a: 
A) (3,0) 
B) {9,0) 
C) (9,12) 
D) (3,12) 
® {9,36) 
(Ce, ~\..\) - ( - ~./-\2')::: 
( q J 3CQ) ,, 
397) En el plano cartesiano de la figura adjunta, se ubican los vectores a y b. ¿Cuál(es) de las 
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 
1) 3á = (12,15) ¡: ;?l]::: :3( 4 ,5 ) , 
) 
➔ b➔ ( 7 l) ==6 21 IS ~ 11 a+ = , 
111) -E= (-3, -4) lC c4,5) ,.. e 3 / ~)...,. 
_&Sólol 
(fil) Sólo I y 11 
C) Sólo I y 111 
D) Sólo II y 111 
E) l,llylll 
(,-, 1,) _: . ® 
:-1 
ne - b -=--( ?J/4.\ ") 
-::: (-)14) .' . ® 
106 
y 
X 
Centro de Estudios Matemáticos 
lv1auro Quint ana L,da 
661) El histograma de la figura 15 muestra la distribución de las edades de un grupo de 
personas, en donde no se han indicado las edades de ellas. Se puede determinar la media 
aritmética de las edades dadas en el gráfico, si se conoce: (\ \ \,) e::, l\e(Q.:::or,ofl\(l(\\l. 
:'>e.. C.uir\y \(. Qi.\.)lt. X - V\'l 
(1) El valor de la mediana de la distribución T -
(2) La suma de todas las marcas de clases de los intervalos de la distribución. 
().) ~ e.o 1ffi~Q!>1b\~ (.,0("'\0Co r eJ2... r,ecuenoa 
\h.\o, cla.. ~ "Ce.. ~ c..\o. ~ ~ c l9- 1 
A) (1) Por si sola -+-A-. 0 _ . \ \ 35_ 
B) (2) Por si sola UUV.:) ;u:)2) 1 í'\ <2.r \Ja 10-:) Jo~ 
C) Ambas juntas, (1) y (2) CD (\ e =>t O. fig 1s zs l ---
9l_ Cada una por si sola, (1) y (2) 
® Se requiere información adicional 
i' ,l\ L)f\i rlo-, (\D h '{f' \o.. \~rv.:, 
c.k. e..l\ c.0f"\\rc,.r \e,..~ ~,ca.o ck c. 6.~Q..::) .), 
662) El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿cuánto pesa el quinto s la suma de 
los 4 primeros es 302? 
® 78 
B) 68 
C) 62 
D) 58 
E) 72 
at ot-c. t-dte.. ~ ¾ 
5 
Q. -\ b+':,_-ts}-t e :: ~%0 
~t t- ~ ~ 3iü J I e :. ~ 1 
663) La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio. ¿Cuál(es) de las 
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 
Edad (años) 15 16 17 18 19 
Alumnos so 40 60 50 20 ~ lDTF\L: 2 ?J) 
1) La moda es 17 años ✓ 0010 qe.<Y'd\ 'S~ '(e\)\\<. : \1" (CtO \Je.tes") 
11) La mediana es mayor que la media v \ 1' -;> \ (Q I T' ':r 
111) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años. ✓ ~O t-(oO-:::. ~O-=- '\C:r:::\1 t 
2., 
A) Solo 1 
B) Solo 11 
C) Solo I y 11 
D) Solo 11 y 111 
@ l,llylll 
,,1 N«:i(an ·. cb.i"O 1:zo -=- ~ 10 --=, 1 =t -'l-
t1~0·, (ro·l5): (40·l<o) -t- (~O·\~) r CscHi)+ (20~ 
i1a 
181 
Centro de Estudios Matemáticos 
rvlau r o Qu i ntana Lt da -
676) La siguiente tabla muestra un estudio de edades hecho en un grupo de lectores, ¿Cuál 
(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa (s). 
1) La amplitud o rango de l_a muestra es 11 años. ✓ '2..\-\0~\ \ \ 
11) La moda es 8 )( (O ()-eCQ .. .-~c.. r \~'(l"'Q,,~e_ 6 e.. \--, Q..'"\ -E'..... ~dé C>-.... vYlO 
111) La media es aproximadamente 14 años. X I S',SCo ~ r \-~ (\ < t(_c,.__ o... 
-e"::) \e_ \ ('\\ ~~\Jú \ Edades Nº de alumnos 
A) Solo 1 
B) Solo 11 
C) Solo I y 111 
@ Solo II y 111 
10 a 12 años 
13 a 15 años 
16 a 18 años 
19 a 21 años 
5 
7 
8 
+ 5 
-,-
E) Ninguna de las anteriores-z..5a\umrru en~ 
trr) )(=.11 · 5 + \ 4. ~ t- n- · ~ -r -zo . 5 - , s, s~ 
2.s 
677) La tabla adjunta muestra la distribución de frecuencias de una variable estadística X . Si 
m y p son números enteros positivos tales que p > 4m, entonces es correcto afirmar que: 
1) La mediana de la distribución se encuentra en el se1undo intervalo.\/ \ 
11) La distribución tiene dos modas. ~ {_{¿ !'¡ E!_ 'J_ \ í't~Q..í 'la. O::>. ~ '2.:) 
111) El promedio de X, obtenido a partir de la.marca de clase, es~ (p - m)✓ 
2 
Es (son) verdadera(s) 
A) Solo 1 
B) Solo 11 
C) Solo I y 11 
@ Solo I y 111 
E) 1,llylll 
X Frecuencia 
+1 
-1 
+1 
m:) x-=- c-i.p-~-t- (-J-4 rn) -~-T\ ~c1...~-&Yl"\t 
l 
+ (,&~ -ól..rn +4 {)-m) ~'\-1-
-z.. 
t- csp -srn )tv-1 )+C=tp-?,rn~(ptt 
2.G()+\J 
~ 1-t-l>p - '7fm -71l1 ;- 591.-15p -5\>m t-~O'\t1-p1. ·t'ip 
1..( ~ p-tt ) 
=- l 'S'QL '\S p - l':>Q rn -5"rn =- S &-i.+p- 3Qrn---t'l1 J 
= .2. C. o] ( 1)- <'1) +(~ ~ ~) ) 
2. ~~\ 
= r~ c\>-m\l 
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• • • • • 
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~ .. 
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• .. .. ... ... .. 
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• @) _l:i , lp t 5 · Y t W :r t-· o -::. ~ -=-1 ~L\ T 10 T <Qf t ti -:. 'l& -t(Q p 
• ,a t P • ., b ::{pp=-t'l-SS Centro de Estudios Matemáticos 
._ ffi de'' )) ~ a, E"" ~ 1 M ª u r º a u i n t ª n ª L t d ª . 
~ 683) De acuerdo a la información dada por la tabla de distribución de frecuencias de la figura, 
""t!} t-(e = ~¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 
- i~( -\1) 
.. ~ = 9 5 j:) Para algún valor de p, el promedio puede ser 6 )( · 
• '2.. fi 11) Para'cualquier valor positivo posible de p menor que 7, la mediana es 5 ✓ 
' en _ '\I 111) a = 0,2 solo si p = 7 
• rt - ~ x Frecuencia Frecuencia 
~ A) soIo·I Absoluta ·· Relativa 
'!11 ~f~ ·_1. B) Solo II Ti-r:r - i = O/~·~ i ! ~ l3 
., \(f :a ~ Sdlo I y 11 
6 2. \:::PSolo II y 111 l---=--I--__.L----4.....L...1___::c....c.......a--i 
.. E) 1, 11 y 111 L...:..7_____¡_....,__---=--------'--'-----'---1--< 
• t1e. ;, 5t5 = 5 
.. 2, 
• • • • • • .. 
• • . ··- -.. : 
• • • • • /j 
• M 
jj 
~ 
~ -, -, , , , , 
.... 
684) El gráfico adjunto muestra la distribución de frecuencias de una variable discreta X. En 
esta distribución es posible calcular la media aritmética de X, si : 
' ' 
(1) X1 = 3; Xz = 4; X3 = 5; X4 = 6 ✓ 
(2)·4x1 + 3Xz + X3 + 2X4 = 41 4 
L1 x-=~ - Y ,1 J 
'º 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
• C) Arribas juntas, (1) .y (2) . 
_@)Cada una por sí sola, (1) ó (2) .... 
E) Se requiere información adiciona! 
o 
' 
' 1 • . i ]. 
........_· .... J.._._......,.....,.._....__._..,_ :a: 
' Xj 1X: X, X~ 
685} El tercer cuartil de los datos 3; 2; 5; 5; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 10; 11; 20 es: 
A) 10,5 l'tOO~ [ a.,·~~ 5,5Jo,T/1~=}-,fJ5/ C\, \C>,; t1 ,'20 s 
B) 8 ' ~ ~\\)ti ~ 
@8,5 ~ -1() 
DI 9,5 
·. i Ninguno de los valores anteriores 
ES eL -\"f001eC\O 
fil TI\: 6 do:to i() 
[metT UXl(1i\: ,5,. ~ [ 
f-. \t. 
3 . lli 
Lt 
\/ d óCUO 
~tq 8'~ 5 /1 
188 
• • • • .. .. 
• -. 
~ .. .. 
~ú) -, <; ·ex;--~ ~ Cx) 
: . LO. \}().(\Cf\'lO \\Y ccrnb\D Centro de Estudios Matemáticos 
~q,e (). ''ó.\ • ll .~ ef)e_ a u r o Q u i n t a n a L t d a 
700) Debido a los os r su Ita os de la prueba de Matem~ a el profesor decide subir las 
notas en dos décimas. ¿Cuál de los siguientes estadígrafo~ ambia? 
X 1) Media 
~ Rango 
111) Varianza 
A) Solo 1 
B) Solo 11 
R_ Solo 111 
te2) Solo 11 y 111 
E) l, llylll 
é\'- ~ ,lo, e =) e-O-. 
(o.-17.{ fon), Ó l ) => ~ ~.., t--;;a T j._.) 
701) En un supermercado todo los fines de semana los artículos están rebajados en un 10%, 
aiil si se considera una muestra de 100 artículos, entonces ¿Cuál(es) de los siguientes 
aif!' estadígrafos de la muestra también variarían en el mismo porcentaje? 
~ 6\ c:ó~ © ~ . 
... -\-u~\; e.,I"\ 1) Media/ a:m'aQ1 ~~ "Ca)~ os ar1ttOS ~~ «:tc:tl 
_. g¿. vY\ 1 fY\O, 11) Rang? ~ , e(\ \J'\ ID/. 1 ~ lO ~ \a. m(tllO d\Jmln ... 'J:>.,.\cr; & ft~I) Desv1ac1on estanc!ary' a\\.(\ 4{)) . . 
.... ' ~ I Solo 1 
1 ® 1C')J l\.bv; \) ~{'\ ()_,~\ o-C\ '\e ,f'\ eQ_ t'Y)j~V)')O/ 
.... \]o.n~:' O B) Solo 11 ' • --:~.lf.ú2f)\.rtf!~/ ----,¡_ ~{!_~ ! ::}.. q. ,Ct,01 ;le~ q0e_oÜ-:r1,o. 
1
..,,,,. \O fl\\ ().C) Solo 111 ('{¡l) \ ~¡-~\1(0Ó~ '20 <:" .~p / ~ O, ~C) q.)Q_ \)a,<" \(\C'\ \o fY\l~ -~ - , 
~ ~ Solo I v 111 G"\ b e... e.'o.\a.r ( o._ \'\'\u \\:,S) \K o.'\do . ~,-· <..f\O.. c<1'i;s ~ 
_. ~ 1, 11 y 111 ~ l _,, \ , 1 ,,-,- ,- 1 , \ 
1 ____,,a 
11 0 /C\' 1 o.. _ ,·-\-cdo::::. Q.o::. .:k"'O_J; <?~1 q.,'}Q__ t-~CO- \lc:\,r\~n Q.~ ~ ,¿yo-. . 
702) La desviación estándar de los datos 4a, 4b y 4c es 0,16, entonces la cesviación estándar 
de los datos a, b y e es igual a: 
9(W\6X;ñ 
A) 0,1 
@ 0,04 
C) 0,16 
D) 0,64 
E) 1 
o- e 4 co.-\-'o-\C.)) -- º', le> 
C:Y Co.; b K ") ~ o J \ (o ~ 4 =(o.,, o~ 1 
703) Si se consideran d~sR"ue~~s~i,~<¿~ las~ R.._eJ'h~ '1le~ e un mi~t adulto se 
estimaba en 7.500 kg,'f en 'ra otra, el peM'promedio '~un ratón es de~ ~rá'nms, con una 
desviación estánidde 5 gramos. De acuerdo con estos datos, se puede deter ·nar ue· 
'itiC,\f:: ~ N"\(1) e . \J ==- ~ -cx)\tWl l~ J M 
A) Ambas mues ras üeñe igual dispersión X -t10.o e . \) -==-~ 
@) La muestra de los mamuts es más homogénea que la de los ratones i'9'.l) 
C) La muestra de los ratones es más homogénea que la de los mamuts. 
D) Una muestra para el peso de los mamuts siempre tendrá mayor dis ersión que una 
muestra para el peso de los ratones. 
E) No es posible comparar su dispersión 
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M a uro Qu i n tana L t d a . 
712) De acuerdo a la tabla adjunta, ¿Cuál(es) de las siguientes pr_oposiciones es (son) 1 Í 
verdadera(s)? . . {i) ~ · Q..o \\11,:,V\O \l ,_~ '{rd, : 
1) A+ B = 3 Qt- q -= C\ ::f:-~ X1 (x1 - i)2 Ú ~ . "/ t 
11) La desviación estándar es -/2. 4 B L\ (¡¡). \ ¡ 
111) La varianza es 2. : ~ Ó~ Í'i + \ +o , 
A) Solo 1 ® x-== t{t5t6+ f t g 7 A \ - 1 \ +'-'!)½- ' 
B) Sc;,lo 11 5• 8 4 6 
(e)) Solo II y 111 - := ~ = b = !S~ :: 'L 
D) l, llylll s- !S 
¿¡ Ninguna de la~anteriores ( 1 .. _ 6) 2.::: A 
O 
O 
O 
ff ·-= { 'L / 
='> (6 -L{) = Q . 
º .. º '1 =- 4 oºº .4 = \ 
713) Si todos los datos de una muestra se incrementan en 4 unidades, entonces la varianza: 
A) Se incrementa en 4 unidades 
B) Se incrementa en 2 unidades 
@ Queda igual 
D) Se incrementa en un 25% 
E) Se incrementa en un 50% 
714) Si todos los datos de una muestra se multiplican por 4, ¿Cuál(es) de las siguientes 
afirmaciones es (son) verdadera (~ ~ 
) El promedio se cuadruplid . 
1) La desviación típica se CJ.ládruplica . 
11) La varianza se dup·lica. 
© r\ l<k ~") =- d... M C. 'X) 
A) Solo 1 
® @) Solo 11 cr C c:J..,-,..) :: °' es ex) 
Solo I y 11 
~ ~'º 
D) Solo I y 111 © CT 'l. ( ot,i) J... 1.. cr 'l.Cx) E) 1, 11 y 111 -
197 
~ .... ,... ... 
, ... ... -.... -... .... ... ... 
...e 
...e ... .... ... _. _. _. 
-----"1 --~ 
Centro de Estudos Matemáticos 
M au r o Q uintana L tda . 
722) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? 
@ si todos los datos numéricos de una población son iguales, entonces la desviación 
estándar de esta población es O. ../ Sf I c,..<.S ro ro..'\ ó.U \)e(~ ®I) Si dos poblaciones de datos numéricos tienen igual promedio, entonces sus varianzas 
son iguales. X ~ tJO n~eof\cn,~ _...., ~ oe \~ ~S 
® 11) Si todos los datos de una población son aumentados en k, con k un entero 
positivo, entonces su varianza no se altera. 
A) Sólo 1 
~ "~º ,,~s~ 
B) Sólo 111 
C) Sólo II y 111 
@) Sólo I y 111 
E) l,llylll 
es 'l.. e x-t ~) = cr-i. CJ0 
723) Se tienen los siguientes valores de una variable X: 
A) 
B) 
C) 
D) 
® 
1 1 5 9 
t\e'·~~ 
¿Cuál de los siguientes estadísticos de X es Falso? 
La mediana es 3 --::::: ') 6 t- 5):: ~-= 3 ~ fl\eci(crí)..::: 3 ~e«XaeíO 
La media aritmética es 4 \)e.(0().000 a'½ ( f-<.') 1..1.., +- (' S~) 1. t (Cl ....c.tP. 
El rango es 8 \)ef(A()ÓE,(~ ) q - .1- = 8 '( 
La varianza es 11 \J ex-ónóelO~ • --i-~-
La desviación estándares 8 o,_=- l8-t i. + 75 ( o"L = 1.i../ 
~ S\ O'l.. =-11-=) O-= \J11' :. rol~ lt 
~------------
724) Se define la variable aleatoria X corno la cantidad de minutos de atraso de una persona 
a su trabajo en un cierto día. En la tabla adjunta se muestra la función de probabilidad de X . 
Dado que el valor esperado de X es 1,35 minutos entonces su desviación estándar es: 
A) ../3,35 minutos 
B) J 1,8225 minutos 
@) Jl,5275 minutos 
D) Jl,95 minutos 
E) Ninguna de las anteriores 
k O 1 2 3 4 
P(X = k) 1 1 1 1 1 
~ 4 S F, 70 
a 2C~) = ECX2.} - ( E(X))' 
cr Cx) = {f"cx-i) {~ ()c;))'2..., 
0-(X-) ~ (3_,:~f- C. -1,~'l.'-=- 4 1,5l-l51 
200 
Centro de Estudios Matemáticos 
M a uro O:.i i nt a n a Ltd a 
824) Una familia compuesta por: un papá, una mamá y dos hijos se sienta a la mesa para 
almorzar, si solo el papá siempre mantiene su lugar, entonces: ¿De cuántas maneras distintas 
se pueden sentar a la mesa para almorzar? 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
@) 6 
o:n·, ú.XJ\CX> ~~m a \J'Oi ~rra1 b~ ~ ~ a su \\n~~s ~ 4 ~\O 
tt1 ~ 
t\ftMF\-
t, 24 3\=u;J 
825) Una urna contiene 13 bolas negras, 12 rojas y 7 blancas. ¿Cuál es el menor número de 
extracciones para tener la certeza que hay a lo menos una de cada color? 
. . . . (n+l) !-n! • I . 
826) Siendo n distinto de cero s1 -- = 7n, entonces n es 1gua a. 
_____ , cn - i), n Cnt\1 - n -- :tn 
@) 1 (f\""T-\) ~ -n \. = 1-n n 't..+0 - 'Q( -':.\-n:..o 
B) ov1 ((\-\) ~ 0-i_ tn=o 
C) 10 rv (. ) 1 \\ (.,f\-4) -- o 
D) 1 \.,,'(\ -'\)\. [ f\ í'\t \ -n , .L l C\ -=. 1-l 
E) 2 (_ f\- \) l_ (\ :ÍQ \ 
827) ¿Para qué valor de x de tal modo que se cumpla que G) = 10? 
'f..'. =-1.0 ~('(-'\1 -=-\C)•~\. 
A) 4 ( 1 1.' X 'l. - X -=- 'd--0 
@D s ~-l) · '< 1.-x-J..O -=O 
C) 4 y s l 'í. - ~ > '. ( ')( - f) )( :. '() ( X - 15 J \. '1-. T y J ::. O ·"' ~ 
D) 10 ~--__:...-:--- ----- ~ )(. 
E) 12 l "< - ':).. ') l_ . J.~ X -:. 5 X-: - ,/" ~ s~o 
. . ntan en torno a una mesa para jugar a las cartas. Si las 
828) Cuatro pareJas de esposos se s1e b' , 
parejas deben quedar juntas entonces: ¿De cuantas maneras se puede_n u icar. 
A) 7! 
B) 149 
C) 124 
D) 100 
(9 96 
0) \b~\00") ó~ Q.OS @ ro,ws ~ Sen\O( o,l\s ) ~'~°'\ M ,eorocr e® \Urqa ;- o 
ce .e.o \tt'i). ;u .. 1.1. . 1,. · 1.1. 
~jOS ~e 4-=- ~'. 
@ 3! . l ! •Z. ' . . z 1. -z~ = Co · (Co - (o I 
223 
-¡a 
¡ÍII -
®~ 
23 
Centro de Estudios Matemáticos 
r-;1 a u ,- o a u ,1 t a n u L ~ d w. 
876) Al lanzar un dado cargado, la probabilidad de que salga un número impar es el triple de 
la probabilidad de que salga un número par. Si se lanza un dado dos veces, entonces ¿Cuál 
es la probabilidad de que ambos lanzamientos se obtenga un número impar? 
1 e\)( t '?, "X - .1. -::., 'X- 1.. 
A) - ~ - l '7.... 4 
B) 
1 L f> 
16 
C) 
3 
16 
@~ ~(,I.'\ . ~C.I.) - 3... 9.. - ~ . ~ -J [q] 16 
\ 1... 11. ~ '-' l(o E) 12 
16 
877) Se tienen S bolitas blancas y 3 negras en una urna y S blancas y 7 negras en otra urna. 
¿Cuántas bolitas blancas es necesario traspasar desde una urna a la otra para que la 
probabilidad de sacar una bolita negra sea la misma en ambas urnas? . 
3 
Q '2C 
\.,i.t->A ~ \RNA '2.. \ S'D-¼ ?.\ \J + )(u::. :r> 
AJ s se se -
B) 4 ~N -=t-N \OX ,:"\/-=- 20._B{ 
C) 3 :) -=t \25 
® 2 - .n + ".} 1 \ v2> - _5h_.L-+ -::::;1t):--:--\---~-:--:. X ~ '"LO 
e) 1 O D .;)t-' - "' 1 0 
878) En una urna con fichas azules, blancas, rojas y verdes, la probabilidad de escoger una 
ficha azul o blanca es 0,4 . Si en la urna hay 15 fichas de las cuales 7 son verdes entonces 
¿Cuál es el número de fichas rojas? 
A) 6 
B) S 
C) 4 
~! 1- \3 ,s 
879) Un concurso consiste en elegir una de tres cajas que se encuentran tapadas dentro de 
las cuales hay sobres y solo uno de ellos contiene el premio . La caja· 1 tiene 8 sobres, la caja 
2 tiene S sobres y la caja 3 tiene 4 sobres ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) 
verdadera (s). 
) La probabilidad de ganar si escoge la caja 3 es t
2 
• t -~~~\a'6:º 
1) Si el concursante ganó, la probabilidad que el sobre provenga de la caja 2 es~ 
23 
11) Si el concursante pierde, la probabilidad que el sobre provenga de la caja 1 es 35 
97 
~ - ll\ 24 \S I Z.. Tío 
. ,1: 
A) Solo 1 
B) Solo I y 11 
C) Solo 11 y 111 
\ -zQ D) Solo I y 111 
~1, llylll 
@~13 l -J 1 s 1.. 1" ·.i.-t~-= 'l3 -:1 P 
l/3 5 ~j_ V'A-ffl' - i- t] 1/~ -1 '5 \.U I ~~D 
u -=:71.. ¿3 o 
G~~ffcXl 
~ i 
120 ) 
237 
-
Centro de Estudios Matemáticos 
Mau ro Ou1ntt.1nn Ltdn 
899) De un naipe inglés, que consta de 52 cartas de cuatro tipos; corazón, diamante, espada 
y t rébol con números del 1 al 13, se toman 4 cartas. ¿Cuál es la probabilidad que todas 
correspondan a números distin~s~~.ic, O) 4 n~ 
) 
51 5o 49 
5 
1 ~ ':Sl.\\e«l\ cn la 1em ~~-\dV"r-:,<;:... 
.. .. .. ... .. .. .,. 
A 52 . 5 1 . 50 ~ ~ , •\A..VI...A 1 
B) 156 °is2. S '\ . l..t'i . ~ -:. \ (g 
3 e ~ 4C\ ,~ 
C) 51 ~ 
D) 532 ~~\C 
~ ~ . 22. ~ QXÑOJ\PCT\ 
\.::..!.J 17 5 49 1"''--' V 
.. .. .. .. .. .. 
Íflll .. 900) En un curso de 60 alumnos de habla hispana, 1 h habla inglés, ¼ habla francés y 1/ 10 los dos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad que un alumno elegido al azar hable aparte del \'2.. 
idioma español, solo un idioma? ~\o C\,u\Q.f'O ~uCZ.. V"o. 
l ~ uf\ ,o,o ; ¡.. Al ½ \)(l ::. i P C,tv.f):. \ -t \ - .i. ~ 2 ó-.o,'o r~ó.\ar\e.. '-
u / :~ P(, f) ~ .1.4 O 2 \J CQ_6 \a.. ¡. 
c¡ ¾ = 1 - ~ -=- 35 -~.:¿ \ krt>~c.ci~. 1i-= 
@ :~ P(In F) = 1. \).. 10 <oc ._ 
E) 7 10 - -~~ .. 
12 
t--------------------------,-- -Cf()- ~----1 .. 
901) Cierta tarde, en una pastelería que solo vende torta de pila o lúcuma, 38 personas ti-
compraron una torta. Aquellos que llevaron la de lúcuma excedieron en 6 a los que prefirieron 
piña. Si de los compradores, 12 fueron mujeres y 4 de ellas llevaron torta de piña, ¿Cuál es la @!illlll 
probabil idad que al revisar las boletas de compra, una de ellas corresponda a un cliente t-a 
hombre que prefirió torta de piña? '1 H X-t'{ T' \"t, ,. 38 .. • 
A) 2/19 p _..?' )ct-\O=i't-'i 
~ 6/19 '> Xtf X~""-= " .. 
\:J x-~:-2 -..,¡ 
902) 
C) 
4
/19 8t\ ~ 
7¡ s:: ~)( -:~l\ --D) 19 L ~ 
E) 10/19 ') y\,\ '< -: \'l. .. 
A) 
B) 
C) 
D) 
Al lanzar tres dados, ¿Cuál es la probabilidad de que no salga ningún 3? 
½ ~-.L 5 =¡~ij 21s¡ G> Ú) ~ 216 2s¡ 
21 6 
e--.. ,,. 
1
h6 
@ 12s; 216 
@1111 .. 
e--.. .. .. .. 243 .. -.. .. ,,. 
942) Una caja contiene dos tarjetas numeradas con el 1 y el 2 y se define la variable aleatoria 
X: suma de lso valores obtenidos en dos extracciones, con reposición. ¿Cuál de las 
siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? 
@ ll X es una variable aleatoria discreta 
® 11) El espacio muestra! tiene 3 elementos 
® lll RecX: {2 ,3,4} 
® ~\ J p~J ~ 
4" \JQ.lcr iif"\l\:() 
A) Solo 1 
B) Solo 11 
C) Solo 111 
D) Solo I y 11 
~ Solo I y 111 @ Q..ec. X '. ~ "l,, ~ ,~3 
~ t 1 ., '\ \ ::. '2. 
\1,t~ -=3 
f l.,l) =-'i 4 
943) Al lanzar un dado de seis caras no cargado y considerando la variable 
X : número de divisiores del puntaje obtenido en la cara superior. ¿Cuál 
aleatoria 
de los 
siguientes valor~s tiene una sola preimagen? ('\ 
@, 1T--~~ 
~JI~ ~ ><i 
E) 7 ft ~3 
U\\'c.o \ ...___ ~ a... 
+ le\ \Sntcos ~ 
'Ciec,c,n Qte.\ 
'SO'\ \ 'i ,~~ 
e.o~ ---- ' 
i,,~ ~~ I\>. caoC.~~_) ·º~ 
944) En el experimento de lanzar dos dados comunes, se define la variable aleatoria X como 
el valor absoluto de la diferencia de los números que se obtienen. ¿Cuál de las siguientes 
afirmaciones es falsa? 
S A) P(X 2: O)= 1 V Toó.O j2_ 
®<!b P(X 2: 2) = ~~ - -, 1 - PC '( ~~) :: 
l'<i'\ C) P(X = O) = ~ / 
\:::!,/ 36 
~ D) El recorrido de X es {0,1,2,3,4,5} ./ 
(y)E) P(X ~ 5) = 1 ✓ 1 Q00 ..Jl_ 
254 
,- -Pl)(-=-\ 
l - <o 
?Ji:> 
= ~(i, -l~ 
¼ 
Centro de Estudios Matemáticos 
M a u ro U , n tnn<-1 L t.d :, 
945) Una bolsa tiene 30 tarjetas, de las cuales tres de ellas tienen un DOS, cuatro de ellas 
tienen un CINCO, cinco de ellas tienen un SEIS, siete de ellas un DIEZ, cincode ellas un ONCE 
y seis de ellas un CATORCE. Se realiza el experimento de extraer una tarjeta al azar y se define 
la variable aleatoria X es P. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 
) P(X = 10) > P(X = 11)© fu=-1())::. + (CN"'O ~ :;> ..i 
) P(X=6)= 1/ 6 ~ ~ CC) 
1i P(x = 14) = 
1 
/ s ~CX-=-11) =- _s. -=- > f ()¡,~ \o) ;> Plx-:. 19 
~ 
A) Solo 1 
B) Solo 11 
C) Solo I y 11 
~ Sololylll 
(;Yl, llylll 
=1 1 
(o 
P(X =lY) -&_ _ .L 
~-5 
946) Se realiza un experimento que consiste en laz.v simultáneamente tres monedas de 
distinto color y se define la variable aleatoria X como la cantidad de sellos obtenidos Si X 
toma el valor 2. ¿Cuántos elementos del espacio muestra! de este experimento cumplen 
con esta condición? 
A) 6 
B) 5 
( c. -t~) ~ ::: c. e, -t- ~'S 
J., ,l, 
C) 4 o 1.. 
~~ 
) ;,41 __ 
J 
1 
947) Se lanza una moneda cuatro veces y se define la variable aleatoria X como el número de 
sellos obtenidos. ¿Cuál es el valor de F(2)? ) t, _ , 
Rz.) -:. ~(. )( ~2..)-::: p(X=Q + ~)C-.-\) ~ P\...X-~, 
:: ~:!~~~ ~ (ó)(t)0 ( l)~ + (~)( -t)t~)3 t(!Xtl(½)?. 
1 0,6250 
@ o,6875 _ j_ -t- ~ 1 <; ~ ,0 l ~ 
E) o,9375 l(p reo ~ 
1
<9 =-- o./ '(Al.,...,, 
948) Se define la variable aleatoria X, como el valor absoluto de la d iferencia de los puntos en 
el lanzamiento de los dos dados, entonces P(X =:; 3) es: ,, 
f'(,)( 4'.&) - . PC.X =o) t f(x-::.1 )-t f'(X=ót) +- ~(_)(-:::.3.1 
A) l/9 
B) 2/6 
C) 3/6 
D) 4/6 
@ s¡6 
255 
~ PlX-=«-t) ~ 1-3 _y -'-\ ~-' -=- _j_ . '::L ~ ..!1. Q :a~ --ri; +~ 
~ --,e - =- ~ º o '7:s ·n -v.;-lD ~ Centraoe Estudios f\?íatema cos 
2.-L ::C ~-~ ~}.¡ Mau , o ou ; n,ana L•d• ·CJ 
961) Una urna contiene 10 bolitas, todas del mismo tipo, cuatro están marcadas con el 1, dos 2.'5 
con el número 2 y el resto con el número 3. Se saca una bolita al azar de la urna Y se registra 
su número y se devuelve a la urna, luego se saca otra bolita al azar y se registra su número. 
SI se define la variable aleatoria X como "La suma de los números de las bolitas extraídas" . 
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 
® ) Los valores que puede tomar la variable aleatoria X son 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. 
CT)i) P(x = 3) = 22s @ 1no::xceoo J ~ e.9,. n\1f'Cro íl"\Cil mKc 
G)11) P(X = 4) = ~ q,e. Qveó~ ~ e') a. ~ ~ óO~ 
25 to\,-n~ ennvrnCJ'"QOO.s i. . 
A) Sólo 1 
B) Sólo 11 
(o Sólo 111 
Q,. PC. ·,e-=- 3 ') ' - a. ~ . ~ - ~ 
~ le5 T,6 ~s 
Jl Sólo II y 111 
5 !) 
E) Ninguna de las anteriores 
962) En el experimento de lanzar dos dados comunes se define la variable aleatoria X como 
el valor absoluto de la di ferencia delos números que se obtienen. ¿Cuál de las siguientes 
afirmaciones es FALSA? 
t1 2. 
A) P(X > O) = i -1 o 1 
B) P (X = 2) > P(X = 3) 1. 1 o 
C) P(X = O) = ~ ~ 2. 1 
6 
3 i. @ El recorrido de X es {1,2,3,4,5} 'i 
E) P(X > O) = 1 - P(x = O) ~ 1 ~ 
(o 5 'f 
~~ 5 
l. 3 e, 
\ z. 3 
o 1 2.. 
1 e ' z. 1 o 
3 1.. \ 
~ 
> 
'f 
• 
2. 
\ 
o 
a '\ P()(:,0) -: '20 
¼ 
b) P()'.--:..'2.)--_j_ 
~ 
963) Se lanza dos veces un dado, y se define la variable aleatoria X como el producto de los 
puntos obtenidos. ¿Cuántos elementos tiene el recorrido de la variable aleatoria X? 
A) 9 1 ~ 3 'i 5 <o 
B) 12 1,2..,~,<-f. 
C) 15 1 ,f 2 3 '¼ 5 <o 
@ 18 
2.- Q.... Lt ro <3 'º 1"' 
lo ,,1 I '2.-' t 5 
E) Ninguna de las anteriores 
3 ~ <o q (2 15 ,g 1 
'40 / l.'5 ,/ ~ . -..... 
4 4 ~ (2.. ló 20 ~ 18d~ 
5 .!S o f5 X) --..5 '3) 
~ 6 \'2.. li l'i 1J) ~ 
260 
5,,<é;>,, 9/ ~ 
~ I Cq 1 18 
) 
D .... 3~ ... 2 'i 
..... ~ 
1entes 
Centro de Estucfos MatemátiaJS 
M a uro Qu in t a n a Ltd a 
1002) Respecto al experimento E= {Lanzar dos monedaas al aire}, si se define la variable 
aleatoria X como cantidad de sellos obtenidos, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es 
(son) verdadera(s)? !?\ f"I. á 0 CQ..Ob roQ., :)Gtc,íl 
. ce ~ l romJ •h Q... -¿:I~-~o.do 
) X({cara, cara}) = O C S 11 O'' ef\ ro \J. . - - -
1) P(x = 1) = o,s se ~ , 
11) P(X = 1) = 2 · P(X = 2) SS \3J P(X-= i J :. ¼ 
A) Solo 1 
"-r 
2~S ,i 
B) 
C) 
D) 
X·, O \ 2 -=== C,5 
©> 
Solo 11 
Solo I y 11 
Solo I y 111 
l, llylll 
ÍY(X'=X) ~ Yi ~ ® ½ =-~·*, 
\.,..,-y---
4 s -1-
1003) Una caja contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras, todas exactamente iguales y solo se 
diferencian en su color. Una persona saca simultáneamente tres de esas bolas. Se define la 
variable aleatoria X como el número de bolas negras que obtuvo en la extracción. Con 
respecto a X, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 
1) P(X = O) = 0,1 
11) P(X = l) = 0,2 
11) P(X ~ l) = 0,7 
A) Solo I y 11 
@ Solo ly 111 
C) Solo II y 111 
D) 1, 11 y 111 
E) Ninguna de las anteriores 
® (1(.X:Q') ~ ~ S 
3 . _!: . .i. - ..L s · 4 3 \O 
@ PC,x~1) ~ 8s\/lBNB/ N88 
, 2k 
si x = O 
1004) 
9 
k 
Si pes una función de probabilidad definida por P(X = x) = 12 si k = 4 ó 5 
Entonces el valor de k es 
2k si k = l ó 2 ó 3 
~ 1"" ~ t- ~ \~ +~ -. .i. /2G,; si x = 6 
q \2... 9 
~Kt6K -t-2.\6K~4K =- ~\(; 
"' 2 A 1<.~ 36 
/...,J 31'" K:-:::.~ 
2.Yf 
~ 
274 
Centro de Estudios Matemáticos 
M au ro Q u i nt a na L td a . 
1103) ¿Cuál es la desviación estándar de la variable aleatoria X, si se sabe que E(X) = 2,1 Y 
E(X2) = 5,5? 
(9- -=- { E(xt} {ax)) -z. ' 
A) 
B) 
C) 
D) 
@ 
-3,4 
-1,09 
1,09 
3,4 
1,04 · 
-::: ~ ?,5 - iv1 1 
1104) En la siguiente tabla se muestra la función de probabilidad de variable aleatoria X 
\ P(/= x) \ o\ \ 0~2 1 0~3 1 0~1 1 
~ d'")=- f -0¡\l -tt ·O¡l,- ;-o,~ +ll ·O / 
Respecto a la tabla anterior, es cierto que: ~ ~\.,, 
=-0,4 1-0;4 tOA 1-01\J 
1) 
11) 
111) 
El valor esperado de X es 2,5 
La varianza es 1,09 
La desviación estándar es aproximadamente 1,04 
42.,5 -
A) Solo 1 @ 0--::- {t,09 1 @ é()ci) .::- 1 ·0,~ t ~ ·OJ 2 T 9-0,a t- '' · G,I 
B) Solo I y 11 
C) Solo I y 111 ~ 1 ,OL½ 
~ Solo II y 111 
E) l, llylll 
"8J( l.) :=:. .5, 5 l. 
o- i. =- 5 's - e~,\) = .., ,oq 
1105) Una caja contiene 3 bolitas rojas, 5 verdes y 7 negras, con la cual se realiza el siguiente 
juego: Un jugador saca de la caja una bolita al azar; si es roja gana $400, si es verde gana 
$180, pero si es negra pierde $Y. ¿Cuál es el valor de Y para que el juego se considere justo? 
3~ ~ '5\)~ =tN 
A) $200 _ . 9- ..::.0 
B) $250 €(X):. i · ~C:0 ~ 2- , l&O '/ l5 
~ · $300 \6 ,s 
l5) $450 ,.. ,_ - 4 ~ 2l00 
E) $500 \'l(Xj + C\()() 1\f-Ü -) ·~ \y=-ni l 
1106) ¿Cuál es la desviación estándar de los puntajes obtenidos al lanzar un dado común no 
cargado? I\ ¡ 2 ¡ ~14/51':> \ 
A) O f\):!) f 1/<, !/~ 1/~ll1,[<~ f7il 
~ 1,71 ñv)-,. .1. ,t 'L 1.1.-t ~-t.5 1-_i. =-~ 
' :1 2,92 o..¡,. S (s, Ó ~ {p ~ ~ 
D) 3,5 
E) 15,17 
- ' 
307 
Centro de Estudios Matemáticos 
Mauro Q u i n t an a Ltda . 
1112) En la tabla adjunta se muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria 
X. lCuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 
1 P(X k= k) 1 ~ 1 2~ 1 ; 1 2~ 1 ~ 1 
!I) 11) 111) 
El valor de pes 1/
7
. ~ f '\~-\~ +~a9-\p-= 1. 
1'"~= 1.. ::\ f:.. 
El valor esperado de X es 3. 
La desviación estándar de X es ~ill. i. 
(©E.(}\)~ p+ q~t73Q~Kf) t S 4) = 2i_p = 1-., _ =-º 
A) Sólo 1 -,. 
B) Sólo 11 ª°' "75 ,-5 \ 
C) Sólo 111 \t!!./ f(X1.) -== f"1~i> -\ 9\) ;- ~2.f + 1...Sf'= f> =- . ...t.;¡:_ 
@ Sólo I y 11 ,/7[: ,-
'l, l, llylll (9-- = ~~ - C\ - \ "f5:¡'3 ' "' f ~ ~ 1 (¾ 
1113) Se lanza un dado común y se define la variable aleatoria X como el número que indica 
la cara superior. Si E(X2 ) = 91, V(X) = 
6 
A) 3S 
3 
B) 179 
@)
12 
35 
12 
D) 90 
6 
E) Otro valor 
túd:. _;)_ 
~ 
1114) Se lanza una moneda hasta obtener sello y se define la variable aleatoria X como el 
número de monedas lanzadas. La función de distribución de X está dada por F(x ) = 2x _ 1 
2x 
para x E N . Calcule P(X = 3). 
A) ~ 
8 
B) '!_ 
8 
®¾ 
D) ~ 
2 
4-1 - q 
E) Otro valor 
310 
)j 
I} 
)} 
J) 
t 
t 
t 
,1 
Í' 
Centro de Estucfos MatemáticosMa uro Qu int an a lt da 
1118) Se realiza un experimento aleatorio donde uno de los posibles resultados es que 
ocurra un evento A, y se define la variable aleatoria X, que toma el valor (m - 1) si 
ocurre el evento A y el valor m si no ocurre dicho evento, con m > 1. Si dentro del 
experimento la probabilidad de que ocurra el evento A es igual a p ¿Cuál de la 
siguientes expresiones representa el valor esperado (esperanza matemática) de X? 
@>m-p 
B) 2mp-m-p 
re~~ cm,)) =- P 
~ l 't-::. rn ') = , -p 
cm-'\)~ -t rn( 1--P) =, =- prn-p + tn - f ín 
[=- cn-p I C) mp D) m+p 
E) 2mp 
1119) En un curso hay 15 mujeres y 10 hombres. Se escogen al azar dos personas del 
curso, una tras otra y con reposición, y se define la variable aleatoria X como la 
cantidad de mujeres escogidas. ¿Cuál es el valor esperado (esperanza matemática) 
de X? E>(.'\:.O) =- ~O • º- - '.b_ . 1 ::: 3_ 
25 ~ 5 5 2.5 
A) 
B) 
C) 
0,6 
0,96 
1 
D) 1,1 
fÜ\::.\) = 12 .!Q_ . i..; ~ .. '2 .2: ~ . 2 
2-5 2.5 v t:> J..5 
~(X:::2) =~ . !t'. % 2 . ~ ::. 9_ 
~1,2 z.,5 ¡~: 5 5 15 
/I 1 \1 ') q - \'l.+ \f) :::. ~ -
f (X) ~ O · ~ i_ · r~id: + .t- . -2.C:._ - - n 5 2.5 -
.l.. -.:-,,.) ;¡__,,, ._,, J.-
1120) En una bolsa hay cuatro tarjetas marcadas con la letra A y seis tarjetas marcadas con la 
letra B, todas de igual forma y tamaño. Un juego consiste en sacar dos tarjetas al azar, una 
a una y con reposición, donde si ambas corresponden al tipo A, entonces se gana $1.000; si 
ambas tarjetas son distintas, se gana $200; y si ambas tarjetas tiene la letra B, entonces se 
pierde $1.500. Si se desea participar del juego, entonces se estima, a partir del cálculo de 
esperanza, que el resultado del juego será: 
A) Perder $256 4-Pr 
~ Perder$284 (o B 
C) Ganar$100 
D) Ganar$256 
E) Ni ganar ni perder 
1. . ~ ._§ . 1.00 6 . ~ . ,m 
ló lO - jo jo 
312 
Centro de Estudios Matemáticos 
M a uro Qu i n t ana Ltda . 1139
) El ítem de selección múlti le d . 
alternativas. lCuál es la rob:bil'd e una prueba tiene 10 preguntas Y ca~a uno de ellas 5 '& l \() ¡~) 
correctas? p 
I 
ad de que un alumno(a) conteste no mas de 3 preguntas 
. f( )(f~) = ~(.X-'"Q') + ~K~f) t P('>c==-2)tPtx~~) 
:: ~::~~ = ( 1g)( ! ) º( f)'º + ( '?) ( t) '(\ )'t { \~ )( Sf(i)i 
Q)0,879 
~; ~:!~! +( l~')( !) 1 i1 l ;- 0¡07i º' L<oi -tOJ~ +-0/i ~ l CJ /8~1 
1140) . ~n un partido de tenis entre los jugadores A y B, la probabilidad de que gane A es de 0,8. 
S1 disputan en total 6 partidos, ¿Cuál es la probabilidad de que B gane más de 4 partidos? ~(b ,O, t..) 
@o,16% 'íD(:x· >Li\ ~ ~(x--=6) +lK~=G). ¡ ~ 
~) 2,5% \1 - l } - 1t' - (/ ) ){,( 8)'c ()(X\l.o 
q 65,54% =- (6) (o 12.)t) (o;B) 11- ? (o/L o, d 
D) 84% 5 y ~ 
E) 34,36% -=- 6 . ó , o~~ 7- · o i '8' t- o/ oooo 6<.J -=- o/ O) 16 /. le 
r--:-:-:-~=---~--:-----' - ~-----------1= )16/. 
1141) Si se considera que el 15% de los chilenos son hinchas de algún equipo de fútbol y se 
pregunta a 7 chilenos al azar si lo son, la probabilidad de que contesten positivamente tres 
de ellos, viene dada por la expresión: ~( '1-i t)¡ \ S-) 
A) P(X = 3) = (;) 0,154 . 0,853 \?\ '( = ~ ¡-( ~) ( o I llj ') 3( 0,8S) '4 
@ P(X = 3) = G) 0,153 · 0,854 
C) P(X = 3) = (;) 0,152 • 0,855 
D) P(X = 3) = (;) 0,155 • 0,852 
E) P(X = 3) = (;) 0,157 • 
1142) Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo 
una de ellas es correcta. Un estudiante que no había preparado la materia responde 
completamente al azar, marcando una respuesta aleatoriamente. La probabilidad de que 
acierte 4 preguntas es: ~l 6 / V<¡) 
1 3
) 1. 
@) (!) o,2s• -o,752 PC, X =4) ~ ( ~) ( U.)4( ~ 
B) (!) 0,30º · 0,704 ( ~ \ ) 4 ) '2.. 
C) (!)o,25º ·0,754 -= l\ ¡ (o,is (0,75 
D) (!) 0,254 · 0,755 
E) (!) 0,30° · 0,704 
318 
,\ 
} 
Centro de Estudios Matemáticos 
M au r o Q u i ntana Lt da 
1181) El peso de un paquete de cereales se distribuye normalmente con media 750 gramos Y 
desviación típica 25 gramos. Si se selecciona un paquete al azar, considerando que X es el 
peso del paquete en gramos. ¿Cuál(es) de la(s) siguientes afirmación(es) es(son) 
verdadera(s)? !'1,1 Y. ~
1
\í. 
l~i'. 
@ 1) P(X < 725) = 2P(X < 700) i_;, 
@ 11) P(X > 725) = P(X < 775) o,IZ ",. . 
@) 111) P(X < 725) + P(X < 775) = 2P(X < 750) 
A) Solo 1 ©P()(L':\25) = (~,b-t 2,.2 +o' W~l.5 :¡J) l ~s ~00 ~lS)-:. 
B) Solo 11 = ,5 ,q "/. v Gii) f()(t.-=tc.5) -~ f'(_'I( 
C) Sololylll Z· f>(}(L-:n}~- 2(l,1.to,\) -=-'-¡ E,;.., :: ,,q·t.tf'-1¡\i'. 
@ Solo ll y 111 1 • ---•------
E) I, 11 y 111 ~ f(X7=t2.S) :. 2 4 ~Ji'.t ~i'- = t'f,I "l. \OQí. = i 
~ J , ,.. º(XL-~)-= ).-S.:)1. -0).i . -= .::l. 
P(K ¿_ TTS):. 3<#,li'. -t ~:,. ~t'i,li~ ---. ~ j:=-1. 
1182) Juan dio tres _pruebas A, B, C y cuyos resultados se distribuyeron normalmente de la 
siguiente manera, A~N(50,2), B~N(60,4), C~N(100,10). Si Juan en la prueba A 
obtuvo 54 puntos, en la prueba B obtuvo 64 puntos y en la prueba C obtuvo 115 puntos. 
¿En cuál prueba le fue mejor? «l(O.can~ra( \OS te~\)\to.dOS VOJ.p ~ 
rúC mo. \, "1{').( y \) t< o.:o). € ~ íY10. 'IO'-
A) En lar tres pruebas le fue igual ¡:-, 
@ A rr) s~ ~ e) ,,s-100 =l-1,s / 
C) B :1; -::. ~ '2- 10 
o) e o- e) Co~º= ~ 
E) En la A y C le fue igual y mejor que ene.la B 
;¡ 7 -1 .. 5, 1. 
• 
: · °E() A \e f\.e- rf\ 
1183) En el año 2010 las estaturas de los alumnos de un curso se distribuían normalmente con 
media 1,5 m y varianz~ 0,1. En el año 2015, la media de estos mismos aumento en un 20%. 
¿Cuál será la nueva ·,/ex:: r..Jl'.il--::i de la muestra? /hlm&lt!:r 
_ M lO'l. · 
A) 0,2·0,1 ':)\ lOrnerl\O(X)ft; ·. f\-t~-tc. ~ ft /?.Ot. -t6JWi'.1"Ctl v. = (W i-X 
B) 0,22 • 0,1 t..) · f\ 
q 1,2 • 0,1 (j'rt"\. \O. ~ .c:.v ,"' - ... ,w ,t• r ,. - ):Z.' @) 1,22 . 0,1 u' V = &f-,.'X'l •l ""'l. - l( ,~., -::. ,Cl 1d . [S. c.~¡-~ -::. 1 
E) 1,2
2 
· 0,1
2 
'l. ,----,--, 1- O " 
\Olnl\'tO :: O" 1 ~ 0Ji. ') h~ ' J'l,D)• ro.,Í1 ::: ,, 2. • o 1 
1184) Si X se distribuye normalmente con media O y desviación estándar igual a 1, entonces 
P(X > 1,64) es igual a: 
@o,05 
B) 0,5 
C) 0,67 
D) 0,95 
E) 0,957 
i( X ✓ l,Co4) = 1- P (. )( L 1do~) 
332 
1- o,~l¾1 -- o,o"5 
~ 
e G,C\\.\,- soJ.~ ~ \°'-
, P( (g(l)l. )( 
, ~13,(o1. 
Centro de Estudios Matemáticos 
M auro Q u i nt a na L tda . 
1198)· Los promedios obtenidos por los alumnos de un colegio, en su último semestre de cuarto 
medio, tiene una distribución N(S,0; 0,8). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 
verdadera(s)? ~ ,t 
u (j 
@ I) Aproximadamente, el 68% de los alumnos tiene promedio entre 4,2 y 5,8. 
@ 11) Aproximadamente, el 2% de los alumnos tiene promedio menor a 3,4. 
@ 111) Un 13,6%, aproximadamente, tiene promedio entre 5,8 y 6,6. 
(Q 3Lt,\-t~\\,l • 
® film=- awjv. 
@ f\ reo.-=· 13Jo,. 
~\.\ ,\°l. 
A) Solo 1 
B) Solo 11 \l..,,t-. f. :a.. ,_-, 
;,,.., \ ;J/'1 • 
C) Sololylll ., __ .,.'f. " .,y. 
"'" ... , " O , 1 % D) Soló II y 111 . 
® 1, 11 v 111 a1f."' ----t-- +---+----4---i---J._;__ 
3i4• 'f,'2-
1199) Se estima que los resultados de la prueba de selección Universitaria (PSU) tienen una 
distribución normal N(S00,100). Si en el 2013 rindieron la prueba 240.000 y para postular 
a las universidades se exige un mínimo de 400 puntos. Entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes 
=o:,)es (son) verdadera(s)? ;q, ¡!" ~41 fl. . . ' \3,'i'. ,~_,,, \3 ~l. . 
i l) 38.088 alumnos tienen menos de 400 puntos_. . 2.,1.'l. 'l..,V. . 11) 324 alumnos tiene más de 800 puntos. 0 1,·1. c ·11. 111) 32.616 alumnos tienen entre 600 y 700 puntos. · -----t---+-----.._ ........ _ ___,. _ __.-+--+-
~ ~ m a:o 
Mil-(o O@) Solo 1 
B) Solo I y 11 
® vcx-,ya:,) ·. 
:© KX?~) 
' . ·. F q Solo I y 111 0,1 ri..1 2 t-13,~ = ,s; cv. ::Q\ ·r. . ·;t~C eco 
D) Solo II y 111 
E) 1, 11 y 111 ·~. ól.'iQ-cx::P ~ ~8-0~8• 100 ~ 
... \} 
0¡\ -~'iO c:cc~ 2~ 
-¡c:p 
1200) Sean X, W variables aleatorias con distribución N(80,4) y N(120,10) respectivamente. 
¿cuál(es) de las siguientes propos ;,,;;,;-~~~~,.....~;:.: ? X f',.., ~ ( 80, \\) 
1) P(w ~ Í 30) > P(X~ 84 ~ ~ \Jv f'-' N (. \1.0./ 10) 
11) P(X ~ 92) = P(W $; 90) · --" ~· 
111) P(W ~ 120) > P(X ~ 80 ) @ ~ ')( ' -.Jv/. 
~ :i .. ,~-\1.0 . ..... ~f>l w ao)~a:::v. 
~ - Solo 1\!/ "~ - . 
\fil) Solo 11 \O _· f C. X~ ) .:- a:Y. 
C) Solo 111 lvJ:;:.. \0 '='- 1.. @ -!.x-==- ~::&:O 
D) Solo I y 111 LO 4 
E) I, 11 y 111 -l 'X :;:: ~ 
z. x -= ~ .... 1.. cw-= co-12.cs -- - ~ 
Centro de Estudios Matemáticos 
Mauro Qu i ntana L t d a . 
1201) Si Z~N(0,1). ¿Cuál de las siguientes operaciones tienen y un valor igual a P(Z ~ _. )? 
@ P(Z ~ 2) ~' ~ -, ()\(l_~t"(C).. \ 
B) P(Z ~ 2) ------+~" Ó,mYX)."::) o.n~o.6 ~ ~-5. 
C) P(Z ~ -2) O( 2) 1iY; ~ ) 
D) 1 - P(Z ~ 2) 1r \X~ =\t\.'X - l.. 
E) 1 - P(Z ~ -2) 
1202) Si Z~N(0,1.), el valor de P(-1,96 ~ Z ~ 1,96) corresponde a: 
A) 
G 
0,990 
0,975 
0,950 
\>(-\,C\~ 4t L 1,q~') ~~ (1:; ~ ¡
1
q(oJ -f(t ~-1,Q~} 
,l., 
o, C\ T 5 - l \ - PC. '.t = l,Q(o)) 
D) 0,900 
E) 0,800 
Para responder las preguntas 1203, 1204, 1205 Y 1206 utilizaremos una compañía que produce 
lavadoras, el número de control de calidad de sus lavadoras se distribuye normalmente con 
media µ = 430 y u = 6. 
1203) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de lavadoras aprobadas sea mayor a 442? 
Q 
. B) 
C) 
D) 
E) 
2,3% 
1,5% 
15% ./2 
85% 
8,5% · Wi. 
~c. X" "? q4a,)-:: l., 3/ 
1204) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de lavadoras aprobadas sea mayor que 436? 
E>l )(743Co"i 
~ 84,1% ~4 ,,r. 
~ 15,9% ~ ,~,(p .,. . 
C) 50% 1-,at. 
D) 68,3% f!l)l, 
E) 84% ___ ____., _ __,_---4_ 
'1 ~ qa(p 
1205) ¿Entre que lavadoras se encuentra el 95,4% que aprobaron el control de calidad? 
A) ]430,436[ 
@' ]418,442[ 
C) ] 428,436[ 
D) ] 420,466[ 
E) ] 428,442[ 
~ 1 1~~ , ~4~c~ 
o.,"I H ,\ . \ "/ 
J ,., • ., i4,\ ·,, -t~ 1 • t ,~J 
~'• \~IV} . 
~· J ~ - i · 
<\,I '1.,1 -~)l·\\ i >l.\'·\¿_ L. -=. q~ / ·i i' . 
337 
~--1 r~,Co ' · 
, , 
' , 
~ 
• 
• 
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• 
• 
• 
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~ 
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~ 
~ 
• 
• 
A 
j 
' 
j 
' J 
' J 
Centro de Estudios Matemáticos 
Maur o Qu i n tana L t da . 
1240) Una variable aleatoria discreta tiene distribución binomial B(BO; 0,2). ¿Cuál es el valor de 
µ al aproximarla a una distribución normal? 
A) 8 
I); 3,6 
C) 12,8 
~ 16 
E) 4 
1241) Al lanzar una moneda no cargada 64 veces. Utilizando la distribución normal, ¿Cuál es la 
probabilidad de obtener menos de 36 caras? 
(O l"(rroO s~ CDnPó('U C01\0 ua d~1)1~Ó1_b!!)crnr . _ . _ -
A) 0,0793 )( I"- B( r_ 4 . Q,, 5) , Tipíf\tcnOJ (Q ct \ t. rd rro.1-. B) O, 1590 \J) ,; 1 
r1""i. 08410 .. '(·' )Jr1--n-o-:.t:'1·05,=.32.. 
1
• t~~ :.3(g .. 32.. -1.. 
~ , )(I',,"' 1v,O-- .r:::. r w ' - , cr ~ 
o¡ o,9564 o-~~n~• -=-f;'f,o,s-0.,,' ~ H~; ---+--
E) 0,0500 . 0--=ll : ~ t :C- ~-1) .:: 0.,f4 - , 
Para las preguntas 1242, 1243 y 1244 utilice un examen de 48 preguntas con la variable aleatoria 
"cantidad de respuestas correctas respondiendo al azar" y cada pregunta t iene 4 alternativas 
posibles con igual probabilidad de ser contestada y solo una respuesta correcta. 
1242) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria? 
A) N ( 48, ¾) 
B) N(48,3) 
C) N ( 12, ¾) 
@ B(48,¾) 
E) 8(48,4) 
canrtaed ~ ~to r-= 4l 
~CkO.b\Hdaa re. €xim::. z..sJ. = ¾- -=- 0 , i.5" 
-------- - , ~ ~~esENTrt CO'J lNfl" DIS TR\euucr-J eJNOH IAL 
1243) ¿Cuál es la desviación estándar aproximada de la distribución? 
/Al!)q = 3 
'íf} u= 3,582 
C) u= 4,4 
D) u= 6,7 
E) u = 5 
Pt1 qxoxi«ar1a a \J1Cl. at11n·bU(m normaL~ 
,0 ~ n · p :: 4K . .1. ::::. 12 
4 -
cr={ npo_ I = f 4~-.!J.1 -= íCf1 ~ - ..,.... " " 
1244) ¿Cuál es la probabilidad, aproximadamente, de responder correctamente menos de 6 
preguntas? Rl{UIDS ct bioomtaQ, CA oortro.Q. ' 
A) 0,056 AJ= O·():: 48 · O¡ 2,5 .:: [?J 
e
s,¡ o,3154 e)-; ( flºª- l: ( ¿¡q •o,i S ·O,i5' ~ fql =ll 
o,3745 r.,.. 
~E) 0,6255 
\..:J 0,023 
346 
1 
1 
{Jln~ 
ltSUJTE 
lAM1 
:IiO (;l 
Centro de Estudios Matemáticos 
Mau r o Qu i ntana Ltda . 
1274) La cantidad de televisores por familia en una ciudad, se modela por medio de una 
distribución normal con mediaµ y varianza 0,25. Se toma una muestra aleatoria de 100 familias 
de esta ciudad, obteniéndose una media de 2, 75 televisores. Para los resultados de esta muestra, 
¿Cuál de los siguientes intervalos es el intervalo de confianza de · el 0,95 paraµ? 
o,qs 
[ 1 96 
0,25 2 75 + 1 96 . 0,2S ] A) 2,75 - , · v'ioo , , , v'ioo 
- (]}[2,15-1,96 · ~ , 2,15 + 1,96. ~ l 
C) [2 75 - 19.6 · º·25 2 75 + 1 69 · 0•25 ] , , 10 , , 1 10 
D) [1 96 · ~ 1 96 · º'25 ] 
1 v'ioo , v'ioo 
E) [1 96 . o,25 1 96 . o,25 ] 
1 v'ioo , v'ioo 
1275) Con respecto al intervalo de confianza para una cierta media poblacional, ¿Cuál de las 
siguientes afirmaciones es .fALSA I_ 
I\ .s-- A) Si aumenta el tamaño de la muestra, disminuye la amplitud del intervalo de confianza. 
(B1r- Mientras mayor sea la media, mayor será la amplitud del intervalo de confianza. 
'tí Si disminuye el nivel de confianza, disminuye la amplitud del intervalo de confianza.~ -i 
D) Mientras menor sea la desviación estándar, menor será la amplitud del intervalo de 
confianza. -O-✓ 
E) A menor error, menor amplitud de intervalo./ 
1276) La edad de una población de personas sigue una distribución N(µ, 3) y una muestra de 36 
personas tiene una media de 14,1 años. Determina el intervalo de confianza paraµ con 95% de 
confianza. ~ q5o'A5 r.c: [)f-€) x-tE-) 
A) ]13,28; 14,92[ -----t--- , , ~-:. 1,q~• 3 = Q,Cf~ 
B) ]13,12; 15,08[ - V t V3G 
s.t [13,28; 14,92] qt,S1/. 
~ [13,12; 15,08] 1 o,91) J:.( : Cl'l,1-0A~i t'+,1 -to, 
E) [15,92; 15,92] / J • t::.Jfl~ CtJ
1 
l'l, ¡ 15,08) 
1277) Una muestra aleatoria simple de veinticinco estudiantes responden a una prueba de 
inteligencia espacial, obteniendo una media de cien puntos. Se sabe que la variable intel igencia 
espacial de todos los alumnos es una variable normal con una desviación típica igual a diez, pero 
se desconoce la media. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia espacial media de 
todos los.alum_nos, con un nivel de confianza de 0,99? O~ có\~GJ\ ~ 
'ttJT€RVfttO: ex-e i x+e:"J -=- '> l.( <V1.)-==- 2, {Ah [94,84; 105,16] 
sf [93,85; 105,201 e:;; e ·Cí tJ cQ. 
o [96,08,· 103,92] - -- 1-P v· -1 O • 5 ~1-ffi 'r,:,,='ze ..... J v:) D) [96, 72; 103,28] '4 t-7:l 
E) Ninguno de los intervalos anteriores 
355 
LSf 
'0/1.5' 
IQJ 
~-M 
J