INGENIERÍA ECONÓMICA1 - Nelson y Any

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INGENIERÍA ECONÓMICA
PRINCIPIOS BÁSICOS
La mayoría de ingenieros se enfrentan en su trabajo a situaciones en las cuales tienen que tomar decisiones que involucran dinero, tales como: 
-Creación de una planta totalmente nueva
Elaboración de nuevos productos
Remplazo de maquinaria obsoleta
Financiamiento del crecimiento de la empresa con un préstamo bancario o con la retención de utilidades
Elección entre dos procesos alternativos, etc.
PRINCIPIOS BÁSICOS
INGENIERÍA ECONÓMICA: 
Conjunto de técnicas de análisis en la industria productiva de bienes o servicios para la toma de las mejores decisiones económicas, en base al valor del dinero a través del tiempo; ejm. Análisis de costos en el área productiva, toma de decisiones económicas bajo riesgo, etc.
PRINCIPIOS BÁSICOS
INTERÉS( i) Y TASAS DE INTERÉS. Es el pago que se hace por el uso del dinero en un tiempo determinado, otras definiciones:
El cambio del valor del dinero con el paso del tiempo.
El dinero que produce un capital al prestarlo o invertirlo para que otros lo usen. Ejm. Si Ud. consigue un préstamo bancario, estará utilizando un dinero que no es suyo, sino del banco; o si deposita su dinero en ese banco, éste le pagará intereses por usar ese dinero.
Es el precio que tiene el dinero como cualquier otro bien. 
CAPITAL O MONTO INICIAL
CAPITAL
INTERESES
TIEMPO
INGENIERÍA ECONÓMICA; PRINCIPIOS BÁSICOS
Algunas medidas comunes del valor del dinero en el tiempo son:
Valor presente (VP] - Valor futuro (VF)
Valor anual (VA] - Tasa de retorno (TR)
Razón beneficio/costo (B/C) 
Costo capitalizado (C C)
En todos estos casos se considera el hecho de que el dinero vaIe hoy una suma diferente que en el futuro.
INGENIERÍA ECONÓMICA; PRINCIPIOS BÁSICOS
La manifestación del valor del dinero en el tiempo se conoce con el término interés, que es el incremento entre una suma original de dinero prestado y la suma final debida, o la suma original poseída (o invertida) y la suma final acumulada. Se hace referencia a la inversión original o al monto del préstamo como el principal.
INTERÉS( i) Y TASAS DE INTERÉS
Si una persona invirtió dinero en algún momento en el pasado, el interés será:
 Interés = monto total ahora – principal original.
Si ud. obtuvo un préstamo en el pasado, el interés será:
Cuando el interés se expresa como un % de la suma original por unidad de tiempo, el resultado es una tasa de interés.
Interés= Monto debido ahora – monto original
INTERÉS( i) Y TASAS DE INTERÉS
Tasa i(%) x 100%
Ejm. La empresa inversiones ABC, deciden invertir $ 100,000 el 1ero de marzo del 2012 y retiro exactamente en un año 150,000. Calcular el interés generado y la tasa de i respectiva
i= $ 150,000-100,000= 50,000
i%= x 100 = 50 %
INTERÉS( i) Y TASAS DE INTERÉS
Ejm. El Hornito-FAIIA, decide obtener un préstamo bancario para equipamiento de 100,000 soles por un año a un interés de 15 % anual, calcule:
a) El interés a pagar: i= 100,000 X 0,15= 15,000
b) El valor a pagar: P+ interés= 100,000 + 15,000 = 115,000 Hoy 1 año
 Total= P(1+tasa de interés)
 Total= 100,000(1+0.15)= 115,000 
100,000
Interés
15,000
Cantidad original del préstamo
INTERÉS( i) Y TASAS DE INTERÉS
Ejm. Calcule la suma de dinero que debe haber sido depositada hace 1 año para tener ahora $20,000 a una tasa de interés del 15% anual. Calcule los intereses ganados durante este periodo de tiempo.
Solución
Total acumulado= original + original(tasa de interés)
20,000 = X + X(0,15) = X(1+0.15) = X(1.15)
X = 20,000/1.15 = 17,391.30435, es la suma depositada.
i= 20,000 – 17,391.30435= 2608.69565, interés ganado en el periodo de tiempo. 
INTERÉS( i) Y TASAS DE INTERÉS
LA EQUIVALENCIA
Cuando se consideran juntos, el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés ayudan a desarrollar el concepto de equivalencia, el cual significa que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes son iguales en valor económico. 
Por ejemplo, si la tasa de interés es de 10% anual, $1000 hoy (tiempo presente) serían equivalentes a $1100 en un año a partir de hoy.
Cantidad causada = 1000 + l000(0.1) = l000(1 + 0.1) = 1100
Si se tienen $1000 hoy, tal cantidad es equivalente a $1000/1.1 = $909.0909 hace un año a una tasa de interés de 10% anual.
Se puede afirmar lo siguiente: $909.0909 hace un año es $1000 hoy y $1100 dentro de un año; son equivalentes
 entre sí a una tasa de interés del 10% anual.
INTERÉS( i) Y TASAS DE INTERÉS
Haga los cálculos necesarios a una tasa de interés del 15% anual para, determinar las equivalencias..
a) $98 hoy equivalen a $ 112.7 dentro de un año.
b) $200 hace un año equivalen a $ 230 hoy.
c) $3000 hoy equivalen a $ 3450 dentro de un año.
d) $3000 hoy equivalen a $ 2608.7 hace un año.
e) El interés acumulado en 1 año en una inversión de $2000 es $ 300.
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
Para más de un periodo de interés, los términos interés simple e interés compuesto resultan importantes.
El interés simple total durante diversos periodos
se calcula como:
Interés = (principal) (número de periodos)(tasa de interés) 
en donde la tasa de interés está expresada en forma decimal.
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
Si Ud. obtiene $1000 en préstamo durante 3 años a un interés simple del 5% anual, ¿ cuánto dinero pagará Ud. al final de los 3 años? 
Solución:
El interés para cada uno de los 3 años es:
Interés anual = 1000 (0.05) = $50
El interés total durante 3 años es: Interés total = 1000(3)(0.05) = $150
El monto adeudado después de 3 años es: $ 1000 + 150 = $ 1150
Los $50 de intereses acumulados durante el primer año y los $50 causados en el segundo año no ganan interés. El interés causado cada año se calcula solamente sobre eI principal de $1000.
El prestatario no realiza pago alguno hasta el final del año 3, de manera que la suma adeudada cada año aumenta uniformemente en $50, puesto que el interés simple se calcula sólo sobre el principal del préstamo.
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
interés compuesto: El interés acumulado para cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores.
Por tanto, el interés compuesto significa un interés sobre el interés, es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo también sobre el interés. 
Interés = (principal + todo el interés causado) (tasa de interés)
Si Ud. obtiene, en préstamo $1000 al 5 % d e interés anual compuesto, calcule la suma total a pagar después de 3 años. compare los resultados de este ejemplo y del anterior.
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
Solución: L a tasa de interés y la cantidad total a pagar cada año se calcula separadamente mediante la ecuación
Interés año I: $1000(0.05) = $50.00
Suma total causada después del año 1: $1000 + 50.00 = $1050.00
Interés año 2: $ 1050(0.05) = $52.50
Suma total causada después del año 2: $1050 + 52.50 = $1102.50
Interés año 3: $1102.50(0,05) = $55.13
Suma total causada después del año 3: $1102.50 + 55.13 = $1157.63
No se hacen pagos hasta que el principal más el interés acumulado sean causados al final del año 3.
Se reconoce la diferencia adeudada al valor del dinero en el tiempo. Se pagan interés extra de $1157.63 - $1150 = $7.63 comparado con el interés simple durante el periodo de 3 años. 
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
Ejm. Demuestre los conceptos de equivalencia utilizando los diferentes planes de rembolso de préstamos descritos a continuación. En cada plan se rembolsa un préstamo de $ 5,000 en 5 años al 8% de interés anual utilizando el interés simple o compuesto.
Plan 1: Interés simple; se paga todo al final. No se efectúa pago alguno del interés o principal hasta el final del año 5. El interés se acumula cada año sobre el principal solamente. S=P(1+in)= 5000(1+0.08x5)=7000
Plan 2: Interés compuesto; se paga todo al final. No se efectúa pago alguno del interés o del principal hasta el final del año 5. El interés se acumula cada año sobre el total del principaly sobre todo el interés causado.
S=P(1+i)n = 5000(1+0.08)5 =7346.640384
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
Plan 3: Interés simple pagado a medida que se causa; el principal se paga al final. El interés acumulado se paga cada año y todo el principal se rembolsa al final del año 5.
Plan 4: El interés compuesto y una porción del principal se paga anualmente. El interés causado y una quinta parte del principal ($ 1,000) se paga cada año. El saldo vigente del préstamo se reduce anualmente, de manera que el interés de cada año se reduce. 
Plan 5: Pagos iguales efectuados anualmente del interés compuesto y del principal. Cada año se efectúan pagos iguales; una porción que va hacia el rembolso del principal y la cantidad restante cubre los intereses acumulados. Dado que el saldo del préstamo disminuye a una tasa más lenta que en el plan 4, debido a los pagos iguales de fin de año, el interés merma pero a una tasa más lenta.
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
	DEUDA	AMORTIZACIÓN	INTERÉS	SALDO	CUOTA
	5000	1000	400	4000	1400
	4000	1000	320	3000	1320
	3000	1000	240	2000	1240
	2000	1000	160	1000	1160
	1000	1000	80	-	1080
	TOTAL				6200
5: n n
R=P(FRC,n,i) =i(1+i) / (1+i) -1
R= 6261.411362
TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA
 TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA
La tasa nominal es la tasa anual.
La tasa efectiva es la tasa de interés por periodos menores a un año (semestral trimestral mensual , etc.).
Rosa pide un préstamo de $ 10,000 a un interés de 24% anual, cuanto será su deuda al final del año?
Interés= 10,000 (0.24)=2400; al final del año deberá pagar 12,400. (tasa nominal)
La tasa de 24% anual se paga en dos partes (semestralmente), el pago será:
1200+1200(.12)+1200+10000=12544.
Trimestral?
Mensual?
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TASA EFECTIVA
T E
A
Es lo efectivamente cobrado o pagado. 
Recoge en su contenido el producto de las capitalizaciones o acumulaciones de ganancias
UNIDAD 
DE
 TIEMPO
RECORDAR:
A = ANUAL
S = SEMESTRAL
T = TRIMESTRAL
B = BIMESTRAL
M = MENSUAL
D = DIARIA
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TASA EFECTIVA
Siempre que dentro de una unidad de tiempo
(por ejemplo: un trimestre), exista más de una
 frecuencia de capitalización; entonces, la
Tasa Efectiva será mayor que la tasa nominal.
Con esta tasa sólo se permiten dos operaciones.:
POTENCIACION
RADICACION
o
CASOS PRACTICOS
Calcular la tasa efectiva semestral capitalizable trimestralmente. correspondiente a la tasa de interés del 50% nominal anual
	i = (1 + 0.50/4)2 - 1 = 0.26562 = 26.56%
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Si la tasa efectiva mensual es de 4%. Hallar la tasa equivalente diaria. 
	i01 = (1 + 0.04)1/30- 1 = 0.0013082 
		 = 0.13082%
CASOS PRACTICOS
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Si la tasa efectiva quincenal es de 1.5%. Hallar la tasa equivalente semestral. 
	i180 = (1 + 0.015)180/15- 1 = (1.015)12 - 1
		 = 0.195618 = 19.562%
CASOS PRACTICOS
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VALOR DEL DINERO 
(en el tiempo)
	CAPITALIZACION
	Proceso de pasar del Valor Actual o PRESENTE (P) al Valor Futuro (S). 
	
	El Valor Futuro es la cantidad de dinero que alcanzará una inversión en alguna fecha futura al ganar intereses a alguna tasa compuesta. 
REPASO
INTERES
SE DETERMINA COMO SIGUE:
P = CAPITAL
S = MONTO O VALOR ACUMULADO DE P
I = S - P = INTERES
Interés Simple
5
4
3
2
1
10,000.00
0
0
Final
Interés
Periodo
10,000.00x6%=600.00
10,600.00
10,000.00x6%=600.00
10,000.00x6%=600.00
10,000.00x6%=600.00
10,000.00x6%=600.00
11,200.00
11,800.00
12,400.00
13,000.00
Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual simple.
¿Cuánto debemos pagar al final?
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INTERES
INTERES SIMPLE
El Interés simple sobre el capital “P”,
por “n” tiempo, a la tasa “i”, está dado
por la expresión: I = Pin 
y el monto simple está dado por:
	S = P + I = P +Pin = P(1+in) 
	¿Cómo se calcula el interés (ganancia sobre capital)
I = P i n
Notación
Interés = stock inicial de efectivo * tasa de interés * horizonte temporal
Es una función que trabaja con tasas de interés y tiempo.
La tasa de interés SIEMPRE ingresa a las fórmulas expresada en TANTO POR UNO (=/100)
Cuando no se dice nada acerca de la tasa de interés, SE ASUME	que está expresada en términos ANUALES.
La tasa de interés y el tiempo SIEMPRE deben estar expresados en la misma unidad de medida, y se puede transformar cualquiera de ellos o ambos.
Leyes
I = P i n
P= stock inicial de efectivo
S= stock final de efectivo
i = tasa de interés (%)
I= interés, ganancia sobre capital (S/., US$, etc)
n = horizonte temporal (tiempo)	
Interés Simple
Basta que la TASA sea MAYOR a cero “0” para que el flujo financiero cambie.
Interés = ganancia sobre capital
Gráfico de interés simple
0
I
i
 P
 
 S
 n
I = P i n
Desplazamiento del flujo financiero
Valor 
Futuro
Valor Presente
o actual
DISMINUYE
CRECE
DISMINUYE
CRECE
03/04/90
03/04/00
03/04/2014
1 año		
2 semestres	
4 trimestres	
12 meses	
360 días (año comercial)	
1 semestre	
2 trimestres	
3 bimestres	
6 meses	
180 días	
Equivalencias
1 trimestre 
3 meses 
90 días
1 mes		 
30 días	
P = I . 
 i * n
 
 
Fórmulas
Para hallar el stock inicial, con esto se puede hallar el valor presente.
Para hallar la tasa de interés
 I
 i = ----------
 P * n
 
Fórmulas
 
 I
 n = ------------. 
 P * i
Para hallar el tiempo
 
Fórmulas
S = P + I
S = P + P i n
S = P ( 1 + in)
Para hallar el stock final de efectivo, hallar el valor futuro.
 
Fórmulas
 
 I = S - P
Para hallar el interés
 
Fórmulas
Asociación
P= valor actual o presente
S= valor futuro
Nota
Cuando debemos hallar la tasa de interés, SIEMPRE se debe multiplicar la respuesta * 100
	i = 50
 100 * 1
i = 0.5
i = 50%
	S = P ( 1 + in)
S = 100 ( 1 + 0.50 * 1)
S = 150.00
Ejemplo
I
i
P= $ 100
S= $ 150
n= 1 año 
¿Cuál será el interés generado por una inversión de US$ 15,000 durante 3 años a una tasa de interés del 12%?
I = ? 
Ejemplos
P= US$ 15,000 	I = Pin
n = 3 años		I = 15.000 * 3 * 0.12
i = 12% 			I = US$ 5.400
¿Qué interés será el capital de US$ 50,000, colocados al 5% mensual durante 2 años?
I = ? 
Ejemplos
P = US$ 50,000			I = Pin
i = 5%				I = 50,000*0.05*24
n = 2 años = 24 meses		I = US$ 60,000
n =	5 * 360 = 1.800 
		4 * 30 = 120
 	 		 28 
 1.948 ds
P = 10,000
i = 0.02
 90
¿Cuanto retiraré al cabo de 5 años 4 meses y 28 días si deposité US$ 10,000 a una tasa del 2% trimestral?
Ejemplos
S= P (1 + in)
S= 10,000 (1 + 0.02 * 1948)		 	 90	
S= 10,000 (1 + 0.00022222 * 1948)
S= 10,000 * 1.432888456
S= 14,328.88456
¿Cuanto retiraré al cabo de 5 años 4 meses y 28 días si deposité US$ 10,000 a una tasa del 2% trimestral?
Ejemplos
3.- Hoy retiré del banco la cantidad de $186 400. Si mi dinero estuvo a una tasa de interés del 8% durante 3 años. ¿Cuánto deposité?
186 400 = P ( 1 + 0.08*3 )
186 400 = P ( 1.24 )
P = $150 322.58
Ejemplos
(
)
n
n
(
)
n
/
1