Integración numérica - método del Trapecio - Apuntes de Ingeniería Civil

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INTEGRACION NUMERICA
Con la finalidad de obtener la integral definida de funciones
de una forma general sin necesidad de obtener la
antiderivada de la función existen una serie de métodos que
pueden agruparse bajo el término de cuadraturas.
Hay básicamente dos tipos de cuadratura: El primero es
utilizando las Series de Taylor, del cual se deriva la fórmula
de Newton Cotes, la cual dependiendo del número de
términos utilizado se obtienen las diferentes fórmulas como
la trapezoidal y las reglas de Simpson 1/3 y 3/8. Las
fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas
de integración numérica más comunes. Se basan en la
estrategia de reemplazar una función aproximada que sea
más fácil de integrar. La regla trapezoidal es la primera de
las fórmulas de integración cerrada de Newton-Cotes.
Formulas de integración de Newton - Cotes
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los
esquemas de integración numérica más comunes.
Se basan en la estrategia de reemplazar una función
complicada o datos tabulados con una función aproximada
que sea fácil de integrar:𝐼 = න𝑎𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅න𝑎𝑏𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥
donde 𝑓𝑛(𝑥) es igual a un polinomio de la forma:𝑓𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 + …+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑥𝑛
donde 𝑛 es el orden del polinomio
a) se usa el polinomio de primer
orden (una línea recta) como
una aproximación
b) se usa el polinomio de
segundo orden (una
parábola) como una
aproximación.
c) se usan tres segmentos de
línea recta para aproximar la
integral. Pueden utilizarse
polinomios de orden superior
para los mismos propósitos.
REGLA DEL TRAPECIO
La regla del trapecio consiste en realizar una representación 
aproximada de una función 𝑓(𝑥) a través de lo que se 
conoce como polinomio de grado uno 𝑓1(𝑥), para que la 
integración aproximada de la función en 𝑥 se determine por:
𝐼 = න𝑎𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ (𝑏 − 𝑎) 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)2
Evaluando la función en sus límites:𝑠𝑖 𝑎 = 0 ; 𝑓 0 = 1𝑠𝑖 𝑏 = 1 ;𝑓 1 = 𝑒𝐼 = න𝑎𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ (𝑏 − 𝑎) 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)2𝐼 = 1 − 0 1 + 𝑒2 = 1 1 + 𝑒2 = 1,8591
Si se babe que el valor exacto de la integral es 1,71828
Entonces 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡 = 1,71828− 1,8591 = 0,14
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟏 ∶ Aproxime el valor de la integral 01𝑒𝑥𝑑𝑥׬
mediante el método del trapecio simple.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ________________________________________________________
Evaluando la función en sus límites:𝑠𝑖 𝑎 = 0 ; 𝑓 0 = 0,2𝑠𝑖 𝑏 = 0,8 ;𝑓 0,8 = 0,232
𝐼 = 0,8 − 0 0,2 + 0,2322 = 0,1728
Si se babe que el valor exacto de la integral es 1,640533
Entonces𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡 = 1,640533− 0,1728 = 1,46733
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟐: Aproxime el valor de la integral0,2)00,8׬ + 25𝑥 − 200𝑥2 + 675𝑥3 − 900𝑥4 + 400𝑥5)𝑑𝑥
mediante el método del trapecio simple.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ________________________________________________________
Existe un error relativo porcentual de 89,5%
Este porcentaje de error se puede reducir, mejorando la
aproximación, para ello se puede tomar trapecios
parciales más pequeños y luego sumarlos.
REGLA DEL TRAPECIO DE APLICACIÓN MULTIPLE
Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio
consiste en dividir el intervalo de integración de 𝑎 a 𝑏 en varios
segmentos, y aplicar el método a cada uno de ellos. Las áreas
de los segmentos se suman después para obtener la integral en
todo el intervalo abierto.
Subdividiendo el intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos, todos
de la misma longitud ℎ = 𝑏 − 𝑎𝑛𝐼 = න𝑎𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ (𝑏 − 𝑎) 𝑓 𝑥0 + 2σ𝑖=0𝑛−1 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓(𝑥𝑛)2𝑛
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟑: Aproxime el valor de la integral0,2)00,8׬+ 25𝑥− 200𝑥2+ 675𝑥3− 900𝑥4+ 400𝑥5)𝑑𝑥 mediante el
método del trapecio múltiple con dos intervalos.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ________________________________________________________𝑛 = 2 ; ℎ = 0,4
Evaluando la función en los tres puntos:𝑥0 = 0 ; 𝑓 𝑥0 = 0,2𝑥1 = 0,4 ;𝑓 𝑥1 = 2,456𝑥2 = 0,8 ;𝑓 𝑥2 = 0,232𝐼 = න𝑎𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ (𝑏 − 𝑎) 𝑓 𝑥0 + 2𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)2𝑛𝐼 = 0,8 − 0 0,2+ 2 2,456 + 0,2322 2 = 1,0688𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡 = 1,640533− 1,0688 = 0,57173𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡 % = 34,9%
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟒: Calcular el valor aproximado de la integral01׬ 𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)𝑑𝑥 utilizando el método del trapecio múltiple con 8
intervalos y compárase con el valor exacto.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ________________________________________________________
𝐼 = 1 − 0 0+ 2 0,05228+ 0,08888+ 0,11483+ 0,13333+ 0,14652+ 0,15584+ 0,162319 + 0,166662 8𝐼 = 0,117166
Si se babe que el valor exacto de la integral es 0,1177830𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡 = 0,1177830− 0,117166 = 0,000617𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡 % = 0,52%
𝒊 0 1 2 3 4 5 6 7 8𝒙𝒊 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1𝒇 𝒙𝟎 0 0,05228 0,08888 0,11483 0,13333 0,14652 0,15584 0,162319 0,16666
𝑛 = 8 ; ℎ = 0,125. Evaluando la función en todos los puntos: