UD4 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 15: Sistemas de Ecuaciones y Matrices
Matemáticas I 2019-2
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales
A B C
Máquina I 1 2 3
Máquina II 1 2 6
Máquina III 1 10 5
Una empresa produce tres bienes, A, B y C, los que pro-
cesa en tres máquinas. El tiempo (en horas) requerido para
procesar cada unidad está dado en la tabla. La empresa dis-
pone de la máquina I por 110 horas, de la máquina II por
170 horas y de la máquina III por 190 horas.
1. ¿Cuantas unidades de cada producto debeŕıan producirse con el objetivo de emplear todo
el tiempo disponible de las tres máquinas?
2. Si los tres productos no requieren ser procesados por la máquina III. ¿ Cuantas unidades
de cada producto debeŕıan producirse con el objetivo de emplear todo el tiempo disponible
de las dos primeras máquinas?
Suponga que la empresa produce x unidades del bien A, y unidades del bien B y z unidades
del bien C. Entonces a la máquina I le toma x horas procesar el bien A, 2y horas procesar
el bien B, y 3z horas procesar el bien C. Dado que la cantidad de horas que se dispone de la
máquina I es de 110 horas, es necesario que x + 2y + 3z = 110. Análogamente, para las otras
dos máquinas tenemos
x+ 2y + 6z = 170 y x+ 10y + 5z = 190.
Para encontrar el número de unidades que se producen de cada producto, de tal manera que
se use todo el tiempo disponible de las tres máquinas, debemos resolver las ecuaciones si-
multáneamente y aśı encontrar los valores de x, y y z. En el caso que los bienes no necesitan ser
procesados por la máquina III, solo debemos encontrar los valores de x, y y z que satisfagan a
las dos primeras ecuaciones.
Definición 1.1. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto
de ecuaciones que se representa por
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
. . .
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm;
(1)
donde las constantes aij, bi ∈ R son llamadas coeficientes del sistema.
El conjunto solución del sistema definido por (1) es el conjunto de los valores x1, x2, . . . , xn
que satisfacen las m ecuaciones al simultáneamente el cual se puede representar como un con-
junto de puntos de la forma (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Ejemplo 1.2. En el problema inicial, para encontrar el número de unidades que se producen
de cada producto, de tal manera que se use todo el tiempo disponible de las tres máquinas,
debemos encontrar la solución del sistema
x + 2y + 3z = 110
x + 2y + 6z = 170
x + 10y + 5z = 190
Ejemplos 1.3. Algunos ejemplos sencillos de sistemas de ecuaciones lineales y conjuntos solu-
ción son los siguientes.{
x+ y = 3
x− y = 1 tiene como única solución x = 2 e y = 1 la cual denotamos como el par
ordenado (2, 1) y el conjunto solución como {(2, 1)}.{
x− y = 1
−x+ y = 2 no tiene solución. Por lo tanto su conjunto solución es ∅.{
x− y = 1
−x+ y = −1 puede reducirse a una sola ecuación. Esto significa que la única con-
dición es x− y = 1 ó x = 1 + y. Entonces si y = k tenemos que x = 1 + k y por lo tanto
el conjunto solución es {(1 + k, k) : k ∈ R}.
Ejercicio 1.4. Grafique cada una de las rectas anteriores y el correspondiente conjunto solución.
¿Cómo se relaciona esto con un teorema dado anteriormente?
2. Matrices
Definición 2.1. Si M = {1, 2, . . . ,m} y N = {1, 2, . . . , n} definimos una matriz de orden
(m,n) como una función A : M ×N → R. El orden se denota por m× n entendiendo que esto
se refiere al par ordenado (m,n) y no al producto de m y n. Denotamos por ai j = A(i, j) a los
cuales llamamos elementos, entradas, o coeficientes de la matriz.
Observación 2.2. Una matriz puede entonces representarse como un arreglo rectangular de
números reales en filas o columnas. Usaremos las siguientes notaciones para una matriz
A = Am×n = (ai j)m×n = (ai j) =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn

Ejemplo 2.3. La matriz cero, denotada por 0m×n, es la matriz cuyos elementos son todos cero.
Ejemplo 2.4. Construir la matriz A = (aij)4×3 donde aij = i− 2j.
Solución. La matriz A tiene 4·3 = 12 elementos. Tenemos a11 = 1−2(1) = −1, a12 = 1−2(2) =
−3, a13 = 1− 2(3) = −5, y aśı sucesivamente. La matriz completa es
A =

−1 −3 −5
0 −2 −4
1 1 −3
2 0 −2

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Definición 2.5. Una matriz cuadrada de orden n es una matriz de orden n× n y se denota
por An en vez de An×n. Enuna matriz cuadrada An = (aij)n×n, los elementos a11, a22, . . . , ann
forman la diagonal principal de la matriz.
Ejemplo 2.6. En la matriz cuadrada A =
2 3 71 −2 0
0 1 5
, la diagonal de A está formada por los
elementos a11 = 2, a22 = −2, a33 = 5.
Considere el sistema de ecuaciones lineales
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
. . .
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm;
(2)
de m ecuaciones con n incognitas. Es natural representar los coeficientes de las incógnitas xi
de (2) por la matriz A de orden m× n
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 (3)
En este caso, la matriz A se llama matriz de coeficientes de (2). Por ejemplo, las matrices
de coeficientes de los sistemas de ecuaciones en el ejemplo inicial son1 2 31 2 6
1 10 5
 y [1 2 3
1 2 6
]
Observación 2.7. Existe una correspondencia entre las incógnitas o variables del sistema lineal
y las columnas de la matriz de coeficientes.
Definición 2.8. La matriz identidad, denotada por In, es la matriz cuadrada cuya diagonal
principal esta formada por 1’s y el resto de sus elementos son ceros. Por ejemplo
I2 =
[
1 0
0 1
]
e I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1

Definición 2.9. Una matriz cuadrada A es triangular superior cuando i > j implica aij = 0.
A es triangular inferior cuando i < j implica aij = 0. Una matriz es diagonal cuando es
triangular superior e inferior.
Ejemplo 2.10. Las siguientes matrices son triangular superior, triangular inferior y diagonal,
respectivamente. 3 1 20 2 4
0 0 1
 ,
3 0 01 2 0
2 1 1
 ,
3 0 00 2 0
0 0 1
 .
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Ejercicios Adicionales
1. En los siguientes problemas plantee el sistema de ecuaciones, identifique la matriz de
coeficientes y resuelva.
a) Un museo cobra 9 soles la entrada por adulto y 7 soles por menores de edad. En un
d́ıa con una asistencia de 325 personas se recaudó 2495 soles. ¿Cuántos adultos y
cuántos menores de edad fueron al museo ese d́ıa?
b) Un inversionista tiene 150 mil soles a su disposición. Los bonos le dan un rendimiento
del 10 % anual y los certificados bancarios un rendimiento del 5 % anual. Si bien los
bonos dan un mayor rendimiento, en el mercado actual los certificados bancarios son
más seguros. Si el inversionista desea ganar 12 mil soles al término de un año al in-
vertir todo su dinero, ¿cómo debe distribuir su inversión entre estos dos instrumentos
financieros?
c) Se desean adquirir 200 arreglos florales para un matrimonio. Un arreglo cuesta 25
soles por unidad y el otro 45 soles por unidad. Si el presupuesto es de 7400 soles,
¿Cuántos arreglos de cada tipo se debe comprar?
d) La empresa A usa tres toneladas del insumo 1 y dos toneladas del insumo 2. La
empresa B usa una tonelada del insumo 1 y tres toneladas del insumo 2. La empresa
A gasta siete millones de soles en insumos y la empresa B seis millones. Un estudio
muestra que si estas empresas se fusionan la empresa resultante requerirá dos tone-
ladas del insumo 1 y seis toneladas del insumo 2. ¿Cuál es el gasto en insumos de la
empresa resultante? ¿Les conviene fusionarse?
e) Anualmente, en una población rural para producir una tonelada de trigo se requieren
a bueyes para arar la tierra. Para mantener un buey saludable se requieren b toneladas
de trigo para alimentar a sus cuidadores. La población debe cubrir una demanda de
d toneladas de trigo para hacer trueque con poblaciones aledañas. Si x es el número
de toneladas de trigo que se deben cosechar, e y es el número de bueyes que se deben
mantener, ¿cuál es el valor de x e y en función de las constantes a, b, y d?
Solución. Del enunciado se sigue que by representa la cantidad total de trigo que se
requiere para alimentar a las familias de los cuidadores y d es la demanda de trigo
de los otros pueblos. Por lo tanto x = by + d. Además ax representa la cantidad de
bueyes que se requiere para arar la tierra, es decir y = ax. Finalmente
x = by + d
y = ax
−→ A =
[
1 −b
−a 1
]
−→
x =
d
1− ab
y =
ad
1− ab
2. Los siguientes problemas requieren el modelamiento usando sistemas de ecuaciones lineales
con tres incógnitas. Plantee el sistema de ecuaciones lineales en cada caso (no es necesario
que los resuelva).
a) Se dispone de 50 mil soles que se quieren invertir en certificados bancarios, bonos,
y acciones en la bolsa. Se estima que los certificados bancarios tienen un retorno de
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5 % anual, los bonos de 9 % anual, y las acciones de 16 % anual (asumiendo que la
economı́a siga creciendo). El inversionista desea un retorno total de 4000 soles al final
de año. Plantee el sistema de ecuaciones e identifique la matriz de coeficientes del
sistema. Para evitar demasiado riesgo se decide invertir tres veces más en certificados
bancarios que en las acciones de la bolsa. Plantee el nuevo sistema de ecuaciones e
identifique la matriz de coeficientes del sistema.
Solución. Hacemos x = monto invertido en certificados bancarios, y = monto inverti-
do en bonos, y = monto invertido en acciones de la bolsa. El problema nos dice enton-
ces que la suma de montos es de 50000 soles, es decir x+y+z = 50000. Al final del año
debemos tener un retorno total de 4000 soles, es decir 0.05x+ 0.09y+ 0.16z = 4000.
Finalmente como se decide invertir tres veces más en certificados bancarios que en
las acciones de la bolsa esto nos dice que x = 3z. La matriz de coeficientes para la
segunda parte del problema es entonces 1 1 10.05 0.09 0.16
1 0 −3

b) En un pueblo minero se tiene tiene un ferrocarril y una planta de enerǵıa eléctrica.
Para que la mina pueda producir el equivalente a un sol en oro, se deben gastar 20
centavos de dichooro, 10 centavos de transporte y 20 centavos de enerǵıa eléctrica.
Para que el ferrocarril produzca el equivalente a 1 sol de transporte, se deben gastar
10 centavos en oro, 10 centavos de transporte y 40 centavos de enerǵıa eléctrica. Para
producir 1 sol de enerǵıa eléctrica la planta requiere 20 centavos de oro, 20 centavos
de transporte y 30 centavos de enerǵıa eléctrica. El presente año existe una demanda
de 1.2 millones de soles en oro, 0.8 millones de soles en transporte y 1.5 millones de
soles en enerǵıa eléctrica. Plantee el sistema e identifique la matriz de coeficientes.
Solución. Definimos como x la producción total de oro en soles, y como la producción
total de transporte en soles, z como la producción total de enerǵıa eléctrica en soles.
La producción total de oro debe igualar a la demanda total. La demanda de oro de
los diferentes sectores son 0.2 por unidad de oro, 0.1 por unidad de transporte y 0.4
por unidad de enerǵıa. Además existe una demanda externa de 1200000. Por lo tanto
x = (0.2)x+ (0.1)y + (0.2)z + 1200000.
De la misma manera vemos que
y = (0.1)x+ (0.1)y + (0.2)z + 800000 ∧ z = (0.2)x+ (0.4)y + (0.3)z + 1500000
Para calcular la matriz de coeficientes notamos que
x = (0.2)x+ (0.1)y + (0.2)z + 1200000 ←→ (0.8)x− (0.1)y − (0.2)z = 1200000
y haciendo lo mismo con las otras dos ecuaciones obtenemos 0.8 −0.1 −0.2−0.1 0.9 −0.2
−0.2 −0.4 0.7

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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 16: Operaciones con Matrices
Matemáticas I 2019-2
3. Operaciones Básicas
Definición 3.1. Decimos que dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)m×n son iguales y escri-
biremos A = B, cuando aij = bij para todo i = 1, 2, . . . ,m y j = 1, 2, . . . , n.
Ejemplo 3.2. Las matrices [
2t− 1 4
t u− 5
]
y
[
3 2u− 8
2 1
]
son iguales si y sólo si t = 2 y u = 6.
Definición 3.3. Sean A = (aij)m×n, B = (bij)m×n matrices del mismo orden y α ∈ R, definimos
la suma de las matrices A y B como la matriz
A+B = (aij + bij)m×n
y el producto escalar de la matriz A por el número real α como la matriz
α · A = (α · aij)m×n.
De la definiciones anteriores obtenemos las siguientes propiedades.
Proposición 3.4. Sean A,B,C matrices del mismo orden y α, β números reales, entonces:
A+B = B + A
(A+B) + C = A+ (B + C).
Existe una matriz 0m×n tal que A+0 = A
para toda matriz A.
Para toda matriz A existe una matriz D
del mismo orden tal que A+D = 0.
(α + β) · A = α · A+ β · A.
α · (A+B) = α · A+ α ·B.
Demostración. Para la primera propiedad hacemos A + B = (aij + bij)m×n = (bij + aij)m×n =
B+A. La segunda es similar. La tercera hace referencia a la matriz cero. Para la cuarta hacemos
dij = −aij. Las últimas dos se prueban de forma similar.
Definición 3.5. La traspuesta de una matriz Am×n es la matriz de orden n × m definida
por AT = Bn×m = (bij)n×m donde bij = aji, es decir, el resultado de intercambiar filas por
columnas. Otra notación usada comúnmente es AT = A′.
Ejemplo 3.6. 2 3 71 −2 0
0 1 5
T =
2 1 03 −2 1
7 0 5
 , [2 3 7
1 −2 0
]T
=
2 13 −2
7 0

c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Definición 3.7. Una matriz se dice simétrica si A = AT y antisimétrica cuando AT = −AT .
Ejemplo 3.8. Las primeras dos matrices son simétricas y las dos últimas son antisimétricas:
[
1 2
2 3
]
,
 1 2 −12 0 4
−1 4 −3
 ,
 0 1 2−1 0 −2
−2 2 0
 , [0 −6
6 0
]
Definición 3.9. La traza de una matriz cuadrada A es la suma de los elementos de su diagonal
principal y se denota por traza(A).
Ejemplo 3.10. Las trazas de las cuatro matrices en el ejemplo anterior son 4, -2, 0 y 0 respec-
tivamente.
4. Producto Matricial
Definición 4.1. Sean A = (aik)m×p y B = (bkj)p×n. El producto matricial de A y B se
denota por C = A ·B y se define como la matriz C = (cij)m×n cuyo elemento en la i-ésima fila
y j-ésima columna es
cij =
p∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj
Una manera de visualizar el producto matricial es la siguiente:
b11 . . . b1j . . . b1n
...
...
...
bk1 . . . bkj . . . bkn
...
...
...
bp1 . . . bpj . . . bpn

p×n
a11 . . . a1k . . . a1p
...
...
...
ai1 . . . aik . . . aip
...
...
...
am1 . . . amk . . . amp

m×p

c11 . . . c1j . . . c1n
...
...
...
ci1 . . . cij . . . cin
...
...
...
cm1 . . . cmj . . . cmn

m×n
Observación 4.2. Notemos que el producto A·B solo está definido cuando el número de columnas
de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B.
Ejemplo 4.3. Es sencillo comprobar la igualdad[
1 1
1 −1
]
·
[
1 1
2 −1
]
=
[
3 0
−1 2
]
.
Ejemplo 4.4. Sean las matrices A =
[
1 x
y 2
]
2×2
, B =
[
5
4
]
2×1
, C =
[
9
−2
]
2×2
entonces AB = C
si y solo si x = 1 e y = −2.
Teorema 4.5. Si A, B, C son matrices del orden apropiado entonces
2
M
at
e
1
UP
M
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e
1
UP
M
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e
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UP
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(AB)C = A(BC)
A(B + C) = AB + AC
(A+B)C = AC +BC
ImAm×n = Am×nIn = Am×n.
Observación 4.6. Es importante resaltar que en general si An y Bn son matrices cuadradas
entonces no es cierto que A ·B = B · A.
5. Representación Matricial de Sistemas Lineales
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales general y hagamos
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 , x =

x1
x2
...
xn
 , b =

b1
b2
...
bm
 . (4)
Aśı, tenemos que
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
. . .
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm;
(5)
se puede escribir como Ax = b.
Ejemplo 5.1. En el ejemplo visto anteriormente tenemos que el sistema se puede escribir de
la forma Ax = b, donde
A =
1 2 31 2 6
1 10 5
 , x =
xy
z
 y b =
110170
190

en el primer caso y
A =
[
1 2 3
1 2 6
]
, x =
xy
z
 y b = [110
170
]
en el segundo.
3
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Ejercicios Adicionales
1. Represente los sistemas de ecuaciones de la clase anterior en forma matricial.
2. En los siguientes problemas A y B son matrices cuadradas del mismo orden.
a) Encuentre A y B tales que AB 6= BA.
b) Muestre que si A y B son matrices diagonales entonces AB = BA. ¿Será esto cierto
para matrices triangulares?
3. Muestre que
(A+B)T = AT +BT (αA)T = αAT (AB)T = BTAT
4. Las matrices A, B, C, D, E y F se definen de la siguiente manera:
A =
[
3 2
−1 1
]
, B =
[
1 1 1
−1 0 1
]
, C =
[
−2 1 0
0 1 0
]
,
D =
[
4 2
]
, E =
 2−1
−3
 , F =
 1 0 −1−1 1 0
0 1 −1

Calcule las matrices dadas o explique por qué no se pueden calcular:
a) C −B
b) B − C
c) 4B − 5C
d) D + E
e) AD
f ) AE
g) CE
h) EC
i) FE
j ) EF
k) BF
l) FC
m) A3
n) F 2
ñ) BC
o) BF + C
5. Consideremos las matrices señaladas en el problema anterior. Si X =
[
x11 x12
x21 x22
]
es una
matriz de variables, calcule X o explique por qué no se puede calcular.
a) 2X + A = CBT
b) DX = 0
c) XB = 0
d) 2X + A = 0
e) DX = I2
f ) XB = 0
g) 2X + A = I2
h) XD = 0
i) BX = 0
6. Si A =
[
1 1
0 1
]
calcule A2, A3, A4 y deduzca una formula para An. Demuestre dicha
formula usando inducción.
7. Si A =
[
1 1
1 1
]
calcule A2, A3, A4 y deduzca una formula para An. Demuestre dicha
formula usando inducción.
8. Diariamente una empresa de electrodomésticos produce las siguientes cantidades de tres
productos diferentes en sus tres plantas indicadas en la primera tabla. En la segunda
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tabla se muestran las ganancias diarias en los dos últimos meses por la venta de cada
electrodoméstico producido.
Licuadoras Batidoras Microondas[ ]Cono Norte 30 50 40
Cono Sur 80 10 20
Cercado 40 30 60
Marzo Abril[ ]Licuadoras 5 4
Batidoras 4 2
Microondas 10 7
A la matriz representada por la primera tabla la llamamos A y la segunda B.
a) Calcule A ·B y BT · A.
b) ¿Cuál fue la ganancia diaria de la planta del Cono Sur en Abril?
c) ¿Cuál fue la ganancia diaria de la empresa en Marzo?
d) ¿Cuál fue la ganancia diaria de la empresa en Marzo por la producción de Microon-
das?
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 17: Eliminación Gaussiana
Matemáticas I 2019-2
La eliminación Gaussiana es un proceso que nos permite resolver un sistema lineal de
ecuaciones de forma sistemática. Recordemos que estábamos interesados en resolver el sistema
Ax = b, donde
A =
1 2 31 2 6
1 10 5
 , x =
xy
z
 y b =
110170
190

Este sistema se puede representar aumentado una columna a la matriz de coeficientes
x+ 2y + 3z = 110
x+ 2y + 6z = 170
x+ 10y + 5z = 190
←→
 1 2 3 1101 2 6 170
1 10 5 190

A esta matriz se le conoce como la matriz aumentada del sistema. Para resolver el sistema
deseamos manipular las ecuaciones en la izquierda, pero en vez de repetir las incógnitas x, y, z
sólo prestamos atención a los coeficientes. Por ejemplo, si deseamos eliminar x de la segunda y
tercera ecuacióndebemos multiplicar por -1 la primera fila y sumar el resultado a la ecuación
correspondiente. Aśı el sistema se reduce a
x+ 2y + 3z = 110
3z = 60
8y + 2z = 80
←→
 1 2 3 1100 0 3 60
0 8 2 80

Otras acciones que podemos tomar para resolver el sistema es cambiar el orden de las ecuaciones
y re-escalar una ecuación por una constante diferente de cero. Esto se refleja en la matriz aumen-
tada como un cambio en el orden de las filas y un re-escalamiento de una fila. Si continuamos
de esta manera encontramos la siguiente secuencia de matrices aumentadas que representan
sistemas con la misma solución.
 1 2 3 1101 2 6 170
1 10 5 190
 −→
 1 2 3 1100 0 3 60
0 8 2 80
 −→
 1 2 3 1100 1 0.25 10
0 0 1 20

−→
 1 0 0 400 1 0 5
0 0 1 20
 ←→ x = 40y = 5
z = 20
El sistema tiene entonces solución única y el conjunto solución es

405
20
.
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Definición 5.2. Dado el sistema lineal
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
. . .
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
se define la matriz aumentada asociada a dicho sistema como
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
...
. . .
...
...
am1 am2 . . . amn bm

Definición 5.3. Una fila de una matriz se dice nula cuando todos sus elementos son ceros.
El pivote de una fila no nula es el primer elemento no nulo de dicha fila. Una matriz se dice
escalonada cuando cumple las siguientes condiciones:
1. Las filas nulas están por debajo de las filas no nulas.
2. El pivote de cada fila esta a la derecha del pivote de la fila anterior.
Ejemplo 5.4. Los siguientes son ejemplos de matrices escalonadas
[
1 0
0 1
]
,
2 0 1 00 −2 3 1
0 0 0 0
 ,
0 2 1 −10 0 0 1
0 0 0 0
 ,
0 0 1 10 0 0 0
0 0 0 0
 , [−3 4 1 0
0 0 7 2
]
Definición 5.5. Una matriz escalonada se dice reducida cuando cumple las siguientes dos
condiciones: 
1 0 ∗ 0 ∗ ∗
0 1 ∗ 0 ∗ ∗
0 0 0 1 ∗ ∗
0 0 0 0 0 0

1. Todos los pivotes son iguales a 1.
2. Los otros elementos de una columna que contiene un pivote
son ceros.
Ejemplo 5.6. Los siguientes son ejemplos de matrices reducidas
[
1 0
0 1
]
,
1 0 1 00 1 3 1
0 0 0 0
 ,
0 1 −1 00 0 0 1
0 0 0 0
 ,
0 0 1 10 0 0 0
0 0 0 0
 , [1 4 0 1
0 0 1 −2
]
Definición 5.7. Una operación elemental en las filas de una matriz es cualquiera de las
siguientes operaciones.
Fi ↔ Fj: Intercambiar la fila i con la fila j.
k · Fi: Re-escalar la fila i por k 6= 0.
Fi + k · Fj: Sumar a la fila i la fila j multiplicada por k.
Dos matrices se dicen equivalentes por filas cuando existe una secuencia de operaciones
elementales que transforma una en la otra.
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Ejemplo 5.8. En el ejemplo inicial, la matriz
 1 2 3 1101 2 6 170
1 10 5 190
 se transforma en la matriz 1 0 0 400 1 0 5
0 0 1 20
 luego de aplicar la secuencia de operaciones F2 − F1, F3 − F1, 13F2, 18F3, F2 ↔
F3, F2 − 14F3, F1 − 3F3, F1 − 2F2.
Teorema 5.9. Toda matriz es equivalente por filas a una única matriz reducida.
El proceso de reducir una matriz se conoce como eliminación Gaussiana. Cuando la matriz
está reducida es muy sencillo describir el conjunto solución. Las variables correspondientes a
las columnas que contienen pivotes son dependientes y el resto son independientes. En la
segunda parte del ejemplo inicial obtenemos[
1 2 3 110
1 2 6 170
]
←→
[
1 2 0 50
0 0 1 20
]
←→ 1x+ 2y + 0z = 50
0x+ 0y + 1z = 20
←→ x+ 2y = 50
z = 20
En este caso vemos que y puede asumir cualquier valor. Todas la posibles soluciones son entonces
x = 50− 2y
y = y
z = 20
←→

50− 2yy
20
 : y ∈ R

Regresamos ahora al problema original para interpretar la respuesta que hemos encontrado.
El significado de las variables es el número de cada bien que debe ser producido para usar
la capacidad total de las máquinas disponibles. En este caso tiene sentido requerir que dicho
número sea entero y mayor o igual a cero. Por lo tanto se necesita que
y ∈ Z, 50− 2y ≥ 0, y ≥ 0, 20 ≥ 0
de donde vemos que las soluciones para este problema son
50− 2yy
20
 : y ∈ Z ∧ 0 ≤ y ≤ 25
 .
Observación 5.10. Si al reducir una matriz aumentada obtenemos una fila con pivote en la
última columna eso quiere decir que el sistema no tiene solución. En efecto, si tuviésemos una
fila de la forma [0 · · · 0 | 1] eso quiere decir que 0x1 + · · · + 0xn = 1 pero entonces 0 = 1. Esta
contradicción nos dice que el sistema no tiene solución.
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EjerciciosAdicionales
1. Resuelva los sistemas lineales planteados en la sección anterior.
2. Encuentre todas las posibles formas reducidas de una matriz triangular superior de orden
dos. Encuentre todas las posibles formas reducidas de una matriz diagonal de orden tres.
3. Resuelva la ecuación AX −B + C = 0, siendo:
A =
[
4 1
−1 1
]
B =
[
1 2 0 −1
−2 −11 1 0
]
C =
[
0 −1 2 1
1 0 −3 0
]
.
4. Una persona gana 1200 soles. Con todo su sueldo puede comprar 6 camisas, 2 pantalones
y 3 pares de zapatos o 5 camisas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos quedándole 100 soles
o puede comprar 12 camisas, 2 pares de zapatos y 1 pantalón quedándole 50 soles. Hallar
el precio de cada art́ıculo.
5. Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro produc-
tos diferentes. Las máquinas están en operación 8 horas diarias. El número de horas que
cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatro productos está dado
por
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4
Máquina 1 1 2 1 2
Máquina 2 2 0 1 1
Máquina 3 1 2 3 0
Encuentre el número entero de unidades que se deben producir de cada uno de los 4
productos en un d́ıa para utilizar completamente las tres máquinas.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 18: Determinantes
Matemáticas I 2019-2
Definición 5.11. Si An es una matriz cuadrada, la matriz menor (i, j) de A se define como
la matriz de orden (n−1)× (n−1) que resulta de eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna.
Ejemplo 5.12. Si A =
3 1 21 2 4
2 1 1
, M11(A) = [2 41 1
]
, M12(A) =
[
1 4
2 1
]
y M13(A) =
[
1 2
2 1
]
.
Definición 5.13. El determinante es una función que asigna a cada matriz cuadrada A un
número real que se representa por |A| o detA y se define inductivamente de la siguiente manera.
Si A = [a11] es una matriz cuadrada de orden 1 entonces |A| = a11.
Si el determinante de una matriz cuadrada de orden n ya está definido y A es una matriz
de orden (n+ 1) entonces
|A| =
n+1∑
k=1
(−1)1+ka1k|M1k(A)| (6)
Proposición 5.14. De la definición anterior se sigue que
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32−a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12
Observación 5.15. La ecuación (6) es la expansión del determinante en la primera fila.
Es posible demostrar que la expansión del determinante en cualquier fila o columna nos da el
mismo número.
Ejemplo 5.16. Determinar el valor de x tal que
∣∣∣∣∣∣
1 3 2
2 x −2
−1 2 5
∣∣∣∣∣∣ = 16
Solución. De la definición se tiene∣∣∣∣∣∣
1 3 2
2 x −2
−1 2 5
∣∣∣∣∣∣ = 1
∣∣∣∣x −22 5
∣∣∣∣−3 ∣∣∣∣ 2 −2−1 5
∣∣∣∣+ 2 ∣∣∣∣ 2 x−1 2
∣∣∣∣ = 1(5x+ 4)−3(10−2) + 2(4 +x) = 7x−12
Por lo tanto 7x− 12 = 16 cuando x = 4.
Teorema 5.17. Sea An y Bn matrices cuadradas y c ∈ R una constante, entonces
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|In| = 1 |AT | = |A| |c · A| = cn|A| |A ·B| = |A| · |B|
Teorema 5.18. Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden.
Si B es el resultado de re-escalar una fila por la constante c entonces |B| = c|A|.
Si B es el resultado de intercambiar dos filas de A entonces |B| = −|A|.
Si B es el resultado de multiplicar una fila de A por una constante y sumarla a otra fila
entonces |B| = |A|.
Observación 5.19. El teorema anterior sigue siendo cierto si en vez de filas consideramos co-
lumnas.
Ejercicio 5.20. Calcular el determinante de las siguientes matrices
A =
1 3 72 1 3
2 5 6

B =

1 0 0 2
2 1 0 0
0 5 3 0
0 0 1 2

C =
x 3 72 y 3
0 0 1

D =

1 0 0 . . . 1
0 2 0 . . . 0
0 0 3 . . . 0
...
...
...
. . .
...
1 1 1 . . . n

Teorema 5.21 (Regla de Cramer para n = 2). Si Ax = b es un sistema con solución única
donde A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, b =
[
b1
b2
]
entonces dicha solución se puede calcular mediante la fórmula
x1 =
∣∣∣∣b1 a12b2 a22
∣∣∣∣
|A|
, x2 =
∣∣∣∣a11 b1a21 b2
∣∣∣∣
|A|
.
Teorema 5.22 (Regla de Cramer para n = 3). Si Ax = b es un sistema con solución única
donde A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
, b =
b1b2
b3
 entonces dicha solución se puede calcular mediante la
fórmula
x1 =
∣∣∣∣∣∣
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
|A|
, x2 =
∣∣∣∣∣∣
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
∣∣∣∣∣∣
|A|
, x2 =
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
∣∣∣∣∣∣
|A|
.
Ejercicio 5.23. Enuncie la Regla de Cramer cuando la matriz tiene orden n.
Ejemplo 5.24. La matriz de coeficientes del sistema
2x+ y = 5
x− y = 1
tiene determinante igual a -3. Entonces
x1 =
∣∣∣∣5 11 −1
∣∣∣∣
−3
=
−6
−3
= 2, x2 =
∣∣∣∣2 51 1
∣∣∣∣
−3
=
−3
−3
= 1.
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Ejercicios Adicionales
1. Demostrar que cada uno de los determinantes siguientes es cero.
a)
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
2 4 5
3 6 8
∣∣∣∣∣∣ b)
∣∣∣∣∣∣
1 a b+ c
1 b c+ a
1 c a+ b
∣∣∣∣∣∣
2. Calcular cada uno de los siguientes determinantes.
a) |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 5 2
0 −1 3 4
2 1 9 6
3 2 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ b) |B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−2 1 0 4
3 −1 5 2
−2 7 3 1
3 −7 2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣
3. Sabiendo que |A| =
∣∣∣∣∣∣
x −3 1
y 0 1
z 7 1
∣∣∣∣∣∣ = 6, calcule el valor de |B| =
∣∣∣∣∣∣
z/2 z + 7 3
y/2 y 3
x/2 x− 3 3
∣∣∣∣∣∣.
4. Resuelva los siguientes sistemas, aplicando la regla de cramer:
a)
−x+ 4y = −6
2x− 3y = 7
b)
x− 2y + z = −3
2x+ 3y − z = 3
x− y + 3z = 6
5. Una cadena de supermercados vende carne molida del tipo popular y selecta. Un lote de
carne molida popular contiene 3 kg de grasa y 17 kg de carne roja, un lote de carne molida
selecta contiene 2 kg de grasa y 18 kg de carne roja. En un momento dado se cuenta con
10 kg de grasa y 90 kg de carne roja. ¿Cuántos lotes de carne molida popular y selecta se
pueden producir utilizando toda la carne y toda la grasa sin desperdiciar nada? Resuelva
el problema mediante la regla de Cramer.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 19: Inversa y Rango
Matemáticas I 2019-2
6. Inversa
Definición 6.1. Si An es una matriz cuadrada y Bn es una matriz que cumple A·B = B ·A = In
entonces decimos que B es una matriz inversa de A.
Ejemplo 6.2. Es sencillo mostrar que la inversa de
[
2 0
0 1
3
]
es
[
1
2
0
0 3
]
. Sin embargo A =
[
1 0
0 0
]
no tiene inversa (asumiendo que B =
[
a b
c d
]
es una inversa de A · B = I obtenemos una
contradicción).
Teorema 6.3. La matriz cuadrada An tiene inversa si y sólo si |A| 6= 0. En este caso dicha
inversa es única y se denota por A−1.
Vemos que en el ejemplo anterior la primera matriz tenia determinante 2/3 lo cual nos dice
que posee una inversa. Sin embargo la segunda matriz tiene determinante cero y por lo tanto
la inversa no existe. Para calcular la inversa de una matriz An primero construimos la matriz
[A|In]. Usando eliminación gaussiana es posible reducir la matriz a la forma [In|B]. Es posible
entonces demostrar que B = A−1.
Ejemplo 6.4. Para calcular la inversa de
1 2 31 2 6
1 10 5
 aumentamos la identidad y reducimos
 1 2 3 1 0 01 2 6 0 1 0
1 10 5 0 0 1
←→
 1 2 3 1 0 00 8 2 −1 0 1
0 0 3 −1 1 0
←→
 1 0 0 2512 −56 −140 1 0 − 1
24
− 1
12
1
8
0 0 1 −1
3
1
3
0

Es un ejercicio sencillo comprobar que A ·B = B · A = I3 donde
 2512 −56 −14− 1
24
− 1
12
1
8
−1
3
1
3
0
.
7. Rango
Recordemos que un sistema lineal de ecuaciones puede tener solución única, infinitas solu-
ciones, o ninguna solución. Deseamos dar condiciones para reconocer cuando un sistema tiene
cualquiera de estos tres tipos de conjunto solución y mostrar qué se puede hacer cuando el
sistema no tiene solución. Consideremos el sistema Ax = b donde A tiene orden m× n.
Ya vimos que la regla de Cramer expresa la solución de un sistema en función de un cociente
de determinantes en el caso que A sea cuadrada. De hecho podemos afirmar que
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Teorema 7.1. Cuando A es cuadrada el sistema Anx = b tiene solución única si y sólo si
|An| 6= 0.
Definición 7.2. El rango es una función que asigna a una matriz el número de pivotes de la ma-
triz reducida obtenida al aplicar eliminación gaussiana. Denotamos este número por rango(A).
Ejemplo 7.3. El rango de las siguientes matrices es 2 excepto por la penúltima que tiene rango
1. [
1 0
0 1
]
,
1 0 1 00 1 3 1
0 0 0 0
 ,
0 1 −1 00 0 0 1
0 0 0 0
 ,
0 0 1 10 0 0 0
0 0 0 0
 , [1 4 0 1
0 0 1 −2
]
Definición 7.4. El sistema Am×nx = b se dice consistente cuando el conjunto solución no es
vaćıo.
Teorema 7.5. El sistema Am×nx = b es consistente si y sólo si rango(Am×n) es igual al rango
de la matriz aumentada del sistema.
Vimos anteriormente que si una matriz aumentada tiene una fila de la forma [0 · · · 0|1] el
sistema no tiene solución. Esta fila aumenta el rango y por lo tanto el sistema es inconsistente.
Teorema 7.6. Cuando Am×nx = b es consistente el sistema tiene solución única si y sólo si
rango(Am×n) = n.
Recordemos que existe una correspondencia entre las columnas de la matriz de coeficientes
y las variables del sistema. Si reducimos la matriz aumentada y obtenemos un pivote por cada
columna esto significa que cada variable queda completamente determinada y por lo tanto la
solución es única.
Ejemplo 7.7. Analice bajo qué condiciones el sistema
x− z = 2
x+ y + (h+ 1)z = h+ 3
x+ y + z = 3
−x+ y + (h+ 3)z = −h
tiene solución única, infinitas soluciones, o no tiene solución.
Solución. Usando eliminación gaussiana es posible reducir la matriz aumentada a
1 0 −1 2
0 1 2 1
0 0 h h
0 0 0 1− 2h

De donde podemos concluir que si h = 1/2 el sistema es consistente y tiene solución única.
Caso contrario el sistema es inconsistente.
2
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at
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1
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Ejercicios Adicionales
1. Construya el sistema de ecuaciones lineales sin solución más pequeño posible donde se
tengan más incógnitas que ecuaciones.
2. Describa las condiciones para que el sistema
x+ y = b1
0x+ y = b2
2x+ 3y = b3
sea consistente.
3. Si la única solución del sistema Ax = 0 es x1 = x2 = · · · = xn = 0, calcule el rango de A.
4. Sean A y B matrices invertibles. Demuestre las siguientes proposiciones.
a) (AB)−1 = B−1A−1, Es decir AB es invertible
b) (A−1)−1 = A
c) (k · A)−1 = 1
k
A−1, donde k es un número real no nulo.
d) (AT )−1 = (A−1)T , Es decir AT es invertible.
5. Encuentre los valores de x e y, tales que A y B no admitan inversa.
a) A =
1 1 xx 0 −1
6 −1 0
 b) B =
3 y y1 −1 0
3 −2 0

6. Demostrar que si ad− bc 6= 0 entonces la inversa de la matriz
A =
[
a b
c d
]
es
B =
1
ad− bc
[
d −b
−c a
]
7. Encontrar la inversa de
A =
1 2 32 5 3
1 0 8
 ,
¿Cuál es el rango de A−1?
¿Qué condiciones deben satisfacer b1, b2 y b3 para que el sistema de ecuaciones
x1 + x2 + 2x3 = b1
x1 + x3 = b2
2x1 + x2 + 3x3 = b3
sea consistente?
3
	Sistemas de Ecuaciones Lineales
	Matrices
	Operaciones Básicas
	Producto Matricial
	Representación Matricial de Sistemas Lineales
	Inversa
	Rango