UD3 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 9: Rectas
Matemáticas I 2019-2
1. Coordenadas Cartesianas
Definición 1.1. El plano cartesiano se define como el conjunto R×R = R2. El par ordenado
(a, b) ∈ R2 es un punto o coordenada del plano el cual a veces denotamos por una letra
mayúscula como P . El subconjunto {(x, 0) ∈ R2 : x ∈ R} se denomina eje de abscisas o eje
x y el subconjunto {(0, y) ∈ R2 : y ∈ R} se denomina eje de ordenadas o eje y. Los ejes
dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes y se interceptan en el punto (0, 0)
denotado por la letra O. Entonces el plano cartesiano es la union (disjunta) de los ejes con los
cuadrantes.
Definición 1.2. Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) son punto en R2 entonces definimos la distancia
entre P y Q como
d(P,Q) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
x
y
O
1er Cuad.2do Cuad.
3er Cuad. 4to Cuad.
x
y
y1
x1
P
x
y
P
Q
Ejercicio 1.3. Determine el punto en el eje x que equidiste de los puntos (1,4) y (8,3).
Teorema 1.4. Si P,Q,R ∈ R2 son puntos en el plano entonces
d(P,Q) ≥ 0
d(P,Q) = 0↔ P = Q
d(P,Q) = d(Q,P )
d(P,R) ≤ d(P,Q) + d(Q,R)
La demostración de este teorema queda como ejercicio excepto por la última desigualdad la
cual requiere de un estudio más cuidadoso.
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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2. Rectas
Definición 2.1. Dados dos puntos distintos P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) en R2 tales que x1 6= x2
definimos la pendiente o razón de cambio entre estos dos puntos como la razón
pend(P,Q) =
y2 − y1
x2 − x1
=
∆y
∆x
.
Si x1 = x2 decimos simplemente que la pendiente entre ambos puntos es vertical. En el caso de
pendiente vertical decimos que la razón de cambio no esta definida (ya que no hay cambio en el
eje x y por lo tanto ∆x = 0). Cuando la pendiente es cero diremos también que es horizontal.
Definición 2.2. La pendiente puede ser entonces un número real o vertical. Denotamos por
R̂ = R ∪ {vertical} el conjunto de todas las posibles pendientes.
Observación 2.3. Cuando la pendiente es un número real, notemos que si intercambiamos los
roles de P y Q la pendiente
pend(P,Q) =
y2 − y1
x2 − x1
=
y1 − y2
x1 − x2
= pend(Q,P )
es la misma. Esto también se aplica en el caso que la pendiente sea vertical (ejercicio).
Ejemplo 2.4. Si P = (1, 1), Q = (−2,−1), y R = (1,−2) entonces
pend(P,Q) =
2
3
, pend(Q,R) = −1
3
, pend(P,R) = vertical .
Definición 2.5. Dados una pendiente m ∈ R̂ y un punto P ∈ R2 la recta l = l(m,P ) de
pendiente m y que pasa por el punto P es el subconjunto de R2
l(m,P ) = {Q ∈ R2 : Q = P ∨ pend(P,Q) = m}
El punto P se llama punto de paso.
Proposición 2.6. En una recta cualquier par de puntos diferentes tienen la misma pendiente.
Observación 2.7. De esta proposición se sigue que podemos pensar en rectas como un subcon-
junto de puntos de pendiente constante. Podemos también escribir m = pend(l) para referirnos
a la pendiente de una recta.
Teorema 2.8. Sean l1 = l(m1, P1) y l2 = l(m2, P2) dos rectas. Si P1 = P2, entonces
l1 = l2 ↔ m1 = m2
y si P1 6= P2, entonces
l1 = l2 ↔ m1 = m2 = pend(P1, P2)
Ejemplo 2.9. Si las rectas l1(2, (3, h)) y l2(1 + h, (2 + k, 4)) son iguales, calcule h y k.
Solución. Si las rectas son iguales entonces las pendientes también deben serlo por el teorema
anterior. Entonces 2 = 1 + h nos dice que h = 1. Del teorema anterior
4− h
2 + k − 3
=
3
k − 1
= 2 −→ 2k − 2 = 3
de donde k = 5/2.
Teorema 2.10. Dos rectas siempre cumplen una y sólo una de las siguientes condiciones: son
iguales, se intersecan en un sólo punto o tienen intesección vaćıa.
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3. Ecuación
Una recta como subconjunto de R × R determina una relación (binaria) entre sus coorde-
nadas. Toda relación determinada por una recta se denomina relación lineal. Una forma de
expresar esta relación es por medio de una ecuación.
Teorema 3.1. Toda recta se puede expresar como el conjunto de puntos (x, y) en R2 que
cumplen la ecuación general:
Ax+By + C = 0
donde A, B y C son constantes que cumplen A2 +B2 6= 0.
Definición 3.2. Si una recta interseca el eje x en un único punto (a, 0) entonces el x-intercepto
es la constante a. Si una recta interseca el eje y en un único punto (0, b) entonces el y-intercepto
es la constante b.
Corolario 3.3. Sea l(m,P ) una recta donde P = (x0, y0).
Si m ∈ R, los puntos (x, y) ∈ l(m,P ) satisfacen la ecuación punto-pendiente:
y − y0 = m(x− x0)
Si m ∈ R, los puntos (x, y) ∈ l(m,P ) satisfacen la ecuación pendiente-intercepto:y = mx+ b
Si los interceptos son no nulos, los puntos (x, y) ∈ l(m,P ) satisfacen la ecuación doble
intercepto:
x
a
+
y
b
= 1
Si la pendiente es vertical, los puntos (x, y) ∈ l(m,P ) satisfacen la ecuación
x = a
Ejemplo 3.4. Cuando el punto de paso es el origen y la pendiente es cero obtenemos el eje x
con ecuación y = 0. Cuando la pendiente es vertical obtenemos la ecuación x = 0 porque en
este caso la primera componente es constante y la primera componente del origen es cero.
Ejercicio 3.5. Escriba las diferentes formas de la ecuación de la recta que pasa por los puntos
(1,1) y (-2,-1).
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Ejercicios Adicionales
1. Encuentre las tres diferentes formas de la ecuación de la recta (cuando sea posible) que
satisface las siguientes condiciones y grafique.
a) (1,2) es un punto de paso y la pendiente es 4.
b) (−3,
√
2) es un punto de paso y la pendiente es -3.
c) (−101, 3) es un punto de paso y la pendiente es vertical.
d) El x-intercepto es 2 y el y-intercepto es -2.
e) La pendiente es -1 y el x intercepto es
√
3.
f ) La pendiente es 4 y el y intercepto es -2.
2. Determine la pendiente, x-intercepto e y-intercepto (cuando sea posible) de las siguientes
rectas y grafique.
a) 3x+ 4 = 5
b) 2x− 1 = 10
c) y = 8
d) x = −2
e) 2x− 3y + 1 = 0
f ) x = 5y + 2
3. Muestre que el conjunto de puntos
{(x, y) ∈ R2 : x = at+ b, y = ct+ d, t ∈ R}
donde a, b, c, d son constantes forma una recta. ¿Cuál es el significado de estas constantes?
A las ecuaciones x = at + d, y = ct + d se les conoce como ecuaciones paramétricas
de una recta.
4. Determine los valores de las constantes h y k de forma que:
a) La recta l1 de ecuación 3hx+ 5y + h− 2 = 0 pase por el punto (−1, 4).
b) La recta l2 de ecuación kx−y = 3k−6 intersecte el eje x a 5 unidades a la izquierda
del origen.
Grafique además ambas rectas en un mismo plano.
5. Sea p el precio unitario de un bien y q la cantidad de unidades que se está dispuesto
a comprar. Cuando pensamos en q como función de p decimos que q es la demanda
de dicho bien. Si sabemos que se está dispuesto a pagar 70 soles por 10 unidades y la
demanda disminuye a una razón constante de 2 unidades por cada sol adicional en el
precio, determine la ecuación de la demanda en función del precio.
6. El costo de producir 50 unidades de un bien es 27,000 soles y el precio de producir
100 unidades es 38,000 soles. Si la relación entre el costo de producción y las unidades
producidas es lineal, ¿Cuál es es costo de producir 80 unidades? El costo fijo se puede
definir como el costo de producir cero unidades. Calcule el costo fijo. Represente sus
respuestas en un plano cartesiano.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 10: Paralelismo y Perpendicularidad
Matemáticas I 2019-2
4. Punto medio
Definición 4.1. Si P = (x1, y1), Q = (x2, y2) ∈ R2 son puntos en el plano y r ∈ R es un número
real, la suma y el producto escalar se definen por
P +Q = (x1 + x2, y1 + y2) y r · P = (rx1, ry1)
Teorema 4.2. Si P = (x1, y1), Q = (x2, y2) ∈ R2 son puntos en el plano entonces el punto
R = M(P,Q) =
1
2
(P +Q) =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
divide el segmento PQ en dos partes iguales, es decir
d(P,R) = d(R,Q) =
1
2
d(P,Q)
El punto M(P,Q) se denomina punto medio del segmento PQ
5. Paralelismo
Definición 5.1. Dos rectas son paralelas cuando son iguales o no se intersectan. Si l1, l2 son
paralelas usaremos la notación l1 ‖ l2.
Ejemplo 5.2. Muestre que l1(3, (1, 2)) y l2(3, (2,−3)) son paralelas.
Solución. Las ecuaciones intercepto-pendiente de cada recta son y = 3x − 1, y = 3x − 9.
Como los interceptos son diferentes las rectas también lo son. Para que las rectas sean paralelas
debemos mostrar que no se intersectan en absoluto. Si (x0, y0) fuese un punto de intersección
entonces dicho debeŕıa satisfacer ambas ecuaciones: y0 = 3x0 − 1, y0 = 3x0 − 9. Pero de la
igualdad 3x0− 1 = 3x0− 9 obtenemos la contradicción −1 = −9. Por lo tanto (x0, y0) no existe
y las rectas son paralelas.
Teorema 5.3. Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
Observación 5.4. De este teorema podemos ver que para reconocer si dos rectas son paralelas
es suficiente calcular sus pendientes. El ejemplo 5.2 se puede resolver entonces notando que
ambas pendientes son iguales a 3.
Ejemplo 5.5. El valor de una propiedad se aprecia a una razón constante. Si el valor hace 5
años fue de medio millon de soles y el valor hoy es de un millón de soles, ¿Cuál será el valor
en 5 años? Si una segunda propiedad se aprecia a la misma razón constante pero su precio el
año pasado fue de 300,000 soles, ¿Cuál será el valor el próximo año?. Grafique la relación entre
el valor de cada propiedad y el tiempo en un solo plano cartesiano donde el tiempo se mide en
años y el valor en centenas de miles de soles.
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Prop. 1
Prop. 2
(0, 10)
(0, 4)
Solución. Usando las unidades recomendadas calculamos prime-
ro la razón de cambio pend((−5, 5), (0, 10)) = (10 − 5)/(0 −
(−5)) = 1. Si denotamos el tiempo como t y el valor de la pro-
piedad como V entonces para la primera propiedad tenemos la
ecuación punto-pendiente V −10 = (1)(t−0), es decir V = t+10.
Esto quiere decir que el valor en cinco años será de un millón y
medio de soles. Para el segundo bien como la razón de cambio
es la misma tenemos la ecuación V − 3 = (1)(t − (−1)), es de-
cir, V = t + 4. Por lo tanto, el valor de la segunda propiedad el
próximo año será de medio millón de soles. Gráficamente pode-
mos representar estas relaciones como en la figura.
6. Triángulos y Cuadriláteros
Definición 6.1. Un triángulo es una figura formada por tres puntos no colineales llamados
vértices y los segmentos que los unen llamados lados. Si A, B y C son los vértices, denotamos
por ABC al triángulo.
Definición 6.2. Un triángulo es
1. recto, si uno de los ángulos formados por dos lados es igual a π/2 radianes;
2. isósceles, cuando al menos dos de sus lados tienen la misma longitud;
3. equilátero, cuando sus tres lados tienen la misma longitud.
Definición 6.3. Un cuadrilátero es una figura formada por cuatros puntos distintos llamados
vértices y cuatro segmentos formados por los vértices llamados lados de manera que se cumplen
las siguientes condiciones:
1. Tres vértices cualesquiera no pueden ser colineales.
2. Cada vértice es la intersección de exactamente dos lados.
3. Dos lados solo se pueden intersectar en un vértice común.
Un cuadrilátero será denotado por ABCD donde A, B, C y D son los vértices y AB, BC,
CD y DA son los lados. En este caso los segmentos AC y BD son llamados diagonales del
cuadrilátero.
Observación 6.4. Si ABCD es un cuadrilátero, entonces existen otras formas de referirnos al
mismo cuadrilátero, por ejemplo CDAB o DCBA.
Definición 6.5. Una cuadrilátero es un
1. trapezio, si dos lados opuestos son paralelos;
2. paralelogramo, si todos sus lados opuestos son paralelos;
3. rombo, si es un paralelogramo de lados con longitudes iguales;
4. rectángulo, si los cuatro ángulos formados por los lados son iguales a π/2 radianes;
5. cuadrado, si es un rectángulo de lados con longitudes iguales.
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7. Perpendicularidad
Teorema 7.1 (de Pitágoras). Un triángulo es recto si y sólo si la suma de los cuadrados de
dos de sus lados es igual al cuadrado de su tercer lado.
Definición 7.2. Dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo entre ellas es recto. Cuando
l1, l2 son perpendiculares usaremos la notación l1 ⊥ l2.
De esta definición y la definición de distancia se sigue que las rectas horizontales son per-
pendiculares a las verticales. Para las demás rectas tenemos el siguiente teorema.
Teorema 7.3. Dos rectas l1 = l1(m1, P1) y l2 = l2(m2, P2) con m1,m2 ∈ R \ {0} son perpendi-
culares si y sólo si m1m2 = −1.
Ejemplo 7.4. Muestre que si P = (−4,−1), Q = (6, 1), R = (5, 6) y S = (−5, 4) entonces
PQRS es un rectángulo.
Solución. Para mostrar que los puntos forman un rectángulo es suficiente mostrar que PQ es
paralelo a RS, PS es paralelo a QR, y PQ es perpendicular a QR. Esto se traduce en
pend(P,Q) = pend(R, S) , pend(P, S) = pend(Q,R) y pend(P,Q) · pend(Q,R) = −1
lo cual se verifica por un cálculo directo.
Teorema 7.5. Si P = (x1, y1), Q = (x2, y2) ∈ R2 son dos puntos cualesquiera, entonces
OP (P +Q)Q es un paralelogramo.
Solución. Para el caso en que las pendientes son números reales,
pend(O,P ) =
y1
x1
=
y1 + y2 − y2
x1 + x2 − x2
= pend(Q,P +Q)
y
pend(O,Q) =
y2
x2
=
y1 + y2 − y1
x1 + x2 − x1
= pend(P, P +Q)
implican que los puntos O,P,Q, P +Q forman un paralelogramo.
Corolario 7.6. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y sólo si
M(A,C) = M(B,D)
Ejercicios Adicionales
1. Pruebe que dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
2. Pruebe que el eje de abscisas es perpendicular al eje de ordenadas.
3. Demuestre que dos rectas l1 = l1(m1, P1) y l2 = l2(m2, P2) con m1,m2 ∈ R \ {0} son
perpendiculares si y sólo si m1m2 = −1.
4. Encuentre una ecuación para cada recta descrita por las siguientes propiedades.
a) La recta pasa por (5,6) y es paralela al eje x.
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b) La recta pasa por (1,-6) y es paralela a la recta de ecuación x+ 2y = 6.
c) La recta pasa por (-1,-2) y es perpendicular a la recta de ecuación 2x+ 5y + 8 = 0.
d) La recta pasa por (1/2,-2/3) y es perpendicular a la recta de ecuación 4x− 8y = 1.
e) La recta pasa por el punto medio entre (1,3) y (5,2) y es perpendicular al segmento
determinado por estos puntos.
5. Encuentre la ecuación de la recta paralela a 3x+ 4y+ 10 = 0 que pasa por el punto (3, 3).
6. Determine la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta de
ecuación 4x+ 6y + 5 = 0.
7. Determine la distancia del punto (1,2) a la recta de ecuación y = −2x + 1. (Sugerencia:
determine la ecuación de la rectaperpendicular a la recta dada y que pasa por el punto
dado)
8. Muestre que los puntos (6,-7), (11,-3) y (2,-2) forman un triángulo rectángulo y calcule
su área.
9. Muestre que los puntos (1,1), (11,3), (10,8) y (0,6) forman un paralelogramo y calcule el
punto de intesección de su diagonales. ¿Cuál es la distancia de dicho punto a los vértices
del paralelogramo?
10. Muestre que los puntos (-2,9), (4,6), (1,0) y (-5,3) son los vértices de un cuadrado. De-
termine el área de dicho cuadrado.
11. Demuestre que si l1 ⊥ l3 y l2 ⊥ l3 entonces l1 ‖ l2.
12. Demuestre que si l1 ⊥ l2 y l2 ‖ l3 entonces l1 ⊥ l3.
13. Para calcular la distancia del punto P a la recta l se calcula la distancia d(P,Q) donde
Q = l ∩ l′ y l′ es la recta que pasa por P y es perpendicular a l. Calcule la distancia del
punto a la recta dados:
a) P = (2, 3) y l es la recta vertical que pasa por el punto (−1,−1).
b) P = (−1,−1) y l es la recta horizontal que pasa por el punto (2, 3).
c) P = (2, 3) y l es la recta de ecuación 2x+ y + 3 = 0.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 11: Aplicaciones
Matemáticas I 2019-2
8. Oferta y Demanda
En el contexto económico en donde se consideran los productos y sus precios existe un
concepto muy importante que es el de “equilibrio”. Para ello primero describimos la variación
de precios en respuesta a un cambio en el número de productos desde el punto de vista del
productor y del consumidor. Nos restringiremos al caso lineal.
Denotamos por p al precio unitario de un producto y por q al número de unidades de dicho
producto. Ambas se asumen usualmente como números reales no negativos, es decir, elementos
del conjunto R0+ = {x ∈ R : x ≥ 0}.
Definición 8.1. La oferta es una relación O ⊂ R0+×R0+ donde (q, p) ∈ O representa el precio
unitario p al que un productor esta dispuesto a vender q unidades de un bien.
Definición 8.2. La demanda es una relación D ⊂ R0+ × R0+ donde (q, p) ∈ D representa el
precio unitario p que un comprador esta dispuesto a pagar por q unidades de un bien.
Uno de las leyes de la oferta y demanda nos dice que un aumento en el precio tiende a
disminuir la demanda y a aumentar la oferta. Entonces las siguientes figuras pueden representar
la oferta y demanda de un bien.
p
q
Oferta
p
q
Demanda
Ejemplo 8.3. Un productor oferta 5 unidades de un producto cuando el precio unitario llega
a 30 soles y ofertará 10 unidades cuando el precio alcance los 40 soles. Al mismo tiempo un
comprador puede gastar 100 soles en dos unidades y por cada 10 soles de aumento en el precio
unitario dejará de comprar 2 unidades. Asumiendo que la oferta y la demanda son relaciones
lineales, descŕıbalas con las ecuaciones generales de dos rectas y explique el significado de las
pendientes.
Solución. La oferta contiene los puntos (5, 30) y (10, 40) cuya pendiente es 2. Por lo tanto la
ecuación de la oferta es p − 30 = 2(q − 5) la cual se puede expresar de forma general como
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p− 2q − 20 = 0. En este caso la pendiente nos dice cuantos soles adicionales debe aumentar el
precio para ofertar una unidad adicional, en este caso, 2 soles por unidad.
Para la demanda, si dos unidades se compran a 100 soles el precio unitario es de 50 soles.
Vemos que el punto de paso es entonces (2, 50). Como un cambio negativo de 2 unidades
corresponde a un cambio positivo de 10 soles la razón de cambio es 10/(−2) = −5. La ecuación
de la demanda será entonces p−50 = −5(q−2) el cual se puede expresar como p+5q−60 = 0.
La pendiente nos dice cuando soles debe disminuir el precio para comprar una unidad adicional,
en este caso 5 soles por unidad.
p
q
O
D
pe
qe
Otra de las leyes de la oferta y la demanda es que el precio
del mercado tiende al nivel en el cual la demanda iguala a la
oferta. Esto lo traducimos en la siguiente definición.
Definición 8.4. El punto de equilibrio entre la oferta y la
demanda es el punto (qe, pe) donde la oferta y la demanda se
intersectan, es decir, {(qe, pe)} = O ∩ D. A pe lo llamamos
el precio de equilibrio o precio del mercado y a qe la
cantidad de equilibrio o cantidad de mercado.
Ejemplo 8.5. En el ejemplo anterior el punto de equilibro se obtiene resolviendo el sistema de
ecuaciones p− 2q = 20 y p+ 5q = 60 de donde (qe, pe) = (40/7, 220/7).
pe
qe
p
q
O
D
Si el precio del mercado se estable en pe entonces el consu-
midor esta pagando menos por unidad de lo que teńıa planeado
pagar. Esto le genera un exceso siempre y cuando compre a lo
más qe unidades. Al comprar qe unidades al precio unitario de
pe el consumidor esta gastando pe · qe el cual se puede pensar
como el área de un rectángulo. Pero en verdad este comprador
estaba preparado para gastar el área encerrada por los ejes, la
demanda y la recta vertical q = qe. La diferencia es un exceso a
favor del consumidor. De la misma forma podemos pensar en el exceso del productor al vender
a lo más qe unidades al precio pe que está por encima del precio que estaba preparado para
vender.
Definición 8.6. El excedente del consumidor es el área encerrada por la demanda, el eje
p y la recta horizontal p = pe y se denota por EC. El excedente del productor es el área
encerrada por la oferta, el eje p y la recta horizontal p = pe y se denota por EC. También se
define el excedente como la suma del excedente del consumidor y el excedente del productor.
Ejemplo 8.7. Para el caso estudiado anteriormente el excedente del consumidor es 4000
49
y el
excedente del productor es 1600
49
. El excedente será entonces 5600
49
.
9. Ingreso, Costo y Utilidad
Otra aplicación en la que las relacioneslineales pueden echar luces son el de ingreso, costo
y utilidad de un productor. A continuación definimos la notación que usaremos.
Pensaremos en un productor que fabrica q unidades de un bien a un precio unitario p. El
ingreso se denota por I y se puede entender entonces como el producto I = p · q. El costo fijo
es el costo que se mantiene constante durante el proceso de producción y se denota por Cf .
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El costo variable se puede definir como el producto del costo unitario Cu de producción
multiplicado por el número de unidades q. El costo o costo total es el costo en el que el
productor incurre al producir q unidades el cual denotamos por C. Por lo tanto C = Cv + Cf .
La utilidad se define como la diferencia U = I − C la cual se puede expresar entonces como
U = pq − qCu − Cf .
Como vemos, existe una relación entre el ingreso y las unidades producidas aśı como también
entre el costo y las unidades producidas. Podemos entonces pensar en ellas como relaciones,
subconjuntos de R+0 ×R+0 . Definimos el punto de equilibrio en este contexto como la intersec-
ción del ingreso con el costo. Si dicho punto es (q0,M0) entonces q0 es el nivel de producción
de equilibrio y M0 se denomina monto de equilibrio.
S/.
q
I
C
9000
1000
Ejemplo 9.1. Un fabricante vende un producto a p soles por
unidad. Los costos fijos del fabricante son de 4,000 soles por
mes y los costos variables son de 5 soles por unidad. Si en el
punto de equilibrio se venden 1,000 unidades, determine las
ecuaciones que representan el costo, el ingreso y la utilidad.
Gráfique el ingreso, el costo y el puntos de equilibrio.
Solución. Del problema tenemos que Cf = 4000 y Cv = 5q.
Por lo tanto C = 4000 + 5q. Como el ingreso es I = p · q la
condición de equilibrio se traduce en 4000 + 5(1000) = 1000p de donde obtenemos el precio
p = 9. Por lo tanto el Ingreso es I = 9q y la utilidad es U = I−C = 9q−4000−5q = 4q−4000.
De este análisis obtenemos la gráfica provista.
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Ejercicios Adicionales
1. Un fabricante vende un producto en 10 soles por unidad. Los costos fijos del fabricante
son de 1200 soles por mes y los costos variables son de 2.5 soles por unidad. ¿Cuántas
unidades debe producir el fabricante cada mes para alcanzar su punto de equilibrio?
2. Una nueva compañ́ıa telefónica ofrece dos planes de larga distancia internacional:
a) Plan A: cargo fijo de 85 soles mensuales y 4 centavos por minuto.
b) Plan B: cargo fijo de 5 soles mensuales y 14 centavos por minuto.
Determine a partir de qué punto el plan A será mas ventajoso.
3. En un mercado los consumidores tienen una demanda dada por la ecuación: q = 100−6p.
Los productores desean vender 31 unidades a 31 soles y 34 unidades a 68 soles. Encuentre
la ecuación de la demanda, el punto de equilibrio, el excedente del consumidor y del
productor.
4. En el equilibrio se venden 52 unidades a 8 soles por unidad. Por cada aumento de 10 soles
en el precio unitario los consumidores demandan 60 unidades menos y los productores
ofertan 30 unidades adicionales. Encuentre la ecuación de la oferta y la demanda, el
punto de equilibrio, y los excedentes del consumidor y del productor.
5. Las ecuaciones O : p = m1q + b1 y D : p = m2q + b2 representan la oferta y la demanda
donde las constantes m1,m2, b1, b2 satisfacen m1 > 0, m2 < 0, 0 < b1 < b2. Calcule la el
precio de equilibrio, el excedente del consumidor y el excedente del productor en función
de estas constantes.
6. Se sabe que en un mercado el productor aumenta la oferta en una unidad por cada sol
que aumente el precio unitario. Además se conoce que el precio del mercado (equilibrio)
es de 3 soles por unidad. Si el excedente del productor es de 2 soles, encuentre la ecuación
de la oferta. (Rpta. p = 1 + q)
7. En una empresa el costo unitario es de 5 soles y el costo fijo es de 15000 soles. Si el precio
unitario se establece en 9 soles, calcule el ingreso, el costo total, el punto de equilibrio y
grafique.
8. El costo fijo de una empresa es de 15000 soles y el costo unitario es de 5 soles por unidad.
¿Cuál es el precio unitario si se desea estar en equilibrio al producir 3750 unidades.
Grafique el costo y el ingreso.
9. Una agencia inmobiliaria de La Molina dispone de un edificio de 50 departamentos. Cuan-
do el precio del alquiler es de $380 mensuales se alquilan los 50 departamentos, pero cuando
el precio del alquiler es de $425 solo 47 departamentos son ocupados. Suponiendo que la
relación entre el precio del alquiler p y el numero de departamentos ocupados x viene
representada por una recta.
a) Hallar una ecuación lineal que relacione p con la variable x.
b) Interprete el valor de la pendiente y la intersección con el eje correspondiente a la
variable p.
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c) Usando la ecuación obtenida en la parte a), determine el número de departamentos
ocupados cuando el alquiler sea de $455.
10. El costo de producción de cierto producto mantiene un comportamiento lineal. Por cada
unidad adicional producida, el costo se incrementa en S/.12.5. Además el costo total de
producción para 80 unidades asciende a 3500 soles.
a) Determine la ecuación de costo.
b) Si precio de venta de cada art́ıculo se estima en S/.15. determine con cuantos art́ıculos
producidos y vendidos no se gana ni se pierde.
c) En un mismo sistema de coordenadas trace la gráfica del costo, ingreso y utilidad,
indicando claramente el punto de equilibrio de producción y los interceptos con los
ejes.
11. Encuentre las ecuaciones de oferta y demanda representadas en la siguiente figura.
p
q
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p = aq + b
p = 25− cq
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12. Para determinado producto, el mercado de abarrotes de San Juan se observa lo siguiente:
Por un lado, los productores están dispuestos a ofrecer 54 kilos si el precio fuese de 50 soles
el kilo y si fuese 40 soles el kilo solo ofreceŕıan 42 kilos. Por otro lado, los consumidores,
compraŕıan 3 kilos a 11 soles cada kilo, pero si el precio fuese de 9 soles compraŕıan 9
kilos; si tanto la oferta como la demanda son lineales, determine:
a) La ecuación de la oferta y la demanda.
b) El precio y la cantidad de equilibrio del mercado.
13. Estudiantes de la U.P. están realizando un estudio de mercado para dos bienes (A y B)
que se comercializan en Lima. Después de haber hecho el diseño de encuestas y el trabajo
en campo, están desarrollando la parte cuantitativa y encuentran que:
Para el bien A, cuando el precio p es de S/.10, la cantidad demandada q es de
2 unidades. Su comportamiento es lineal y cuando el precio disminuye en 20 % la
cantidad demandada se triplica.
La demanda del bien B está dada por la ecuación: p+ q = 14.
La gráfica de la oferta para ambos bienes es perpendicular a la gráfica de la demanda
del bien A en el punto donde p = 10 y q = 2.
Con esta información se solicita lo siguiente:
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a) La expresión de la demanda del bien 1, para p en términos de q.
b) El precio para el que se demanda la misma cantidad de ambos bienes.
c) La expresión de una oferta para p en términos de q.
d) Las gráficas (en un mismo plano) de las demandas de ambos bienes y de la oferta.
14. Un fabricante de relojes determina que el costo de mano de obra y de materiales por cada
reloj producido es de 15$. Debe producir y vender 400 relojes para no perder ni ganar,
pero esta cantidad se reducirá a su mitad si el precio de venta de cada reloj se incrementa
en $5.
a) Determine las ecuaciones del costo, ingreso y utilidad del fabricante.
b) En un mismo sistema de coordenadas trace la grafica del costo, ingreso y utilidad.
c) Determine la cantidad de unidades que se deben producir y vender para obtener una
utilidad de 50 % del costo total.
15. Una empresa produce agendas con tapa de cuero y las vende a S/.65 cada una. Los costo
fijos mensuales son de S/.35 000 y el costo unitario es S/.40. determine:
a) ¿Cuál es el punto de equilibrio?
b) ¿Cuántas unidades debe vender y producir para ganar por lo menos S/.12 000?
16. Para determinado producto, el mercado de abarrotes de San Juan se observa lo siguiente:
Por un lado, los productores están dispuestos a ofrecer 54 kilos si el precio fuese de 50 soles
el kilo y si fuese 40 soles el kilo solo ofreceŕıan 42 kilos. Por otro lado, los consumidores,
compraŕıan 3 kilos a 11 soles cada kilo, pero si el precio fuese de 9 soles compraŕıan 9
kilos; si tanto la oferta como la demanda son lineales, determine:
a) La ecuación de la oferta y la demanda.
b) El precio y la cantidad de equilibrio del mercado.
17. Los costos fijos de un fabricante de bicicletas equivalen a 200 veces su costo variable
unitario, mientras que el precio de venta unitario es superior en 80 % al costo variable
unitario.
a) Determine el numero de bicicletas que se deben producir y vender para alcanzar el
punto de equilibrio.
b) ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para obtener de utilidad un 20 % del
costo total?
18. Para producir cierto articulo domestico una empresa tiene un costo fijo de $2000 y fabricar
cada art́ıculo tiene un costo de 60 centavos por la mano de obra y el material utilizado,
¿Cuál será el precio de venta si se espera que por la venta de 12000 unidades la utilidad
sea de 1600 dólares?
19. En la fabricación de un componente para una maquina, el costo fijo es de $850 y cuando
se producen 200 unidades el costo total es de $1450.
a) Determine el costo unitario.
b) Calcule la utilidad por la venta de 300 unidades, si se alcanza el equilibrio cuando
se producen 170 unidades.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 12: Transformaciones de Coordenadas
Matemáticas I 2019-2
10. Traslaciones
x
y
x′
y′
O
O′ = (h, k)
Definición 10.1. Sean h, k ∈ R constantes. Una traslación de
coordenadas es una relación en R2 que asigna a cada coordenada
(x, y) ∈ R2 la coordenada (x′, y′) ∈ R2 definida por las ecuaciones
x′ = x− h y′ = y − k
Cuando k = 0 la traslación se dice horizontal y cuando h = 0 se
dice vertical. Denotamos la traslación por TP donde P = (h, k)
y podemos entenderla como la traslación que lleva el punto P al
origen. Si Q = (x, y) entonces usamos la notación TP (Q) = Q
′ =
(x′, y′).
Ejemplo 10.2. Los puntos (6,-7), (11,-3) y (2,-2) forman un triángulorectángulo. En este caso
si hacemos la traslación T(2,−2) obtenemos los puntos (4,−5), (9,−1) y (0, 0). En este nuevo
sistema de coordenadas los tres puntos también forman un triángulo rectángulo.
Ejemplo 10.3. Sea l1 la recta representada por y = −4x+3. Si trasladamos el origen a (−1, 2)
(es decir, x′ = x+ 1 e y′ = y − 2) obtenemos la recta l2 con ecuación
y + 2 = −4(x′ − 1) + 3 ←→ y′ = −4x′ + 5
en el nuevo sistema de coordenadas. Decimos entonces también que T(−1,2)(l1) = l2.
Ejercicio 10.4. La recta representada por la ecuación y = 2x − 1 se desea representar en
un nuevo sistema de coordenadas de forma que pase por el origen. Encuentre una traslación
horizontal y una vertical que tenga dicho efecto y escriba la ecuación de la nueva recta.
11. Re-escalamientos
Definición 11.1. Sean h, k ∈ R constantes positivas. Un re-escalamiento de coordenadas
es una relación en R2 que asigna a cada coordenada (x, y) ∈ R2 la coordenada (x′, y′) ∈ R2
definida por las ecuaciones
x′ =
1
h
· x y′ = 1
k
· y
Cuando k = 1 el re-escalamiento es horizontal y cuando h = 1 es vertical. Denotamos el re-
escalamiento por EP donde P = (h, k) y podemos pensar en esta transformación de coordenadas
como una transformación que re-escala el eje de abscisas por el factor h y el eje de ordenadas
por el factor k. Si Q = (x, y) entonces usamos la notación EP (Q) = Q
′ = (x′, y′).
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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x
y
h = 1,5 y k = 0,5
x′
y′
Ejemplo 11.2. La recta y = −4x+3 tiene pendiente −4. Si deseamos representar la recta en un
sistema de coordenadas donde la pendiente sea -1 entonces podemos re-escalar de la siguiente
manera. En la nueva coordenada tenemos ky′ = −4(hx′) + 3 ó y′ = −4h
k
x + 3
k
. Si deseamos
que la nueva pendiente sea -1 hacemos −4h
k
= −1 y vemos que k = 4h. Ahora podemos elegir
cualquier re-escalamiento que cumpla esta condición. Por ejemplo E(1,4) es un re-escalamiento
vertical que cumple esta condición.
Ejercicio 11.3. La recta representada por la ecuación y = 2x − 1 se desea representar en
un nuevo sistema de coordenadas de forma que tenga pendiente igual a 1. Encuentre un re-
escalamiento horizontal y otro vertical que tengan dicho efecto.
12. Reflexiones
x
y
l
P
Q
R
Definición 12.1. Sean l ⊂ R2 una recta, P = (x, y) ∈ R2.
Definimos la reflexión de P a través de la recta l como Q =
(x′, y′) ∈ R2 de la siguiente manera. Si P ∈ l entonces Q = P . Si
P /∈ l entonces construimos la recta r tal que P ∈ r y r ⊥ l. Sea
R el punto de intersección de l con r. Definimos Q como el punto
tal que R es el punto medio entre P y Q. La recta l se denomina
eje de reflexión.
Si hacemos esto con todos los puntos del plano a esta la lla-
mamos una reflexión del plano cartesiano a través del eje l y
lo denotamos por Rl. Si Q = (x, y) entonces usamos la notación
Rl(Q) = Q
′ = (x′, y′).
Ejemplo 12.2. Calcule la reflexión del punto P = (1,−1) a través de la recta determinada
por los puntos (−2,−1) y (2, 2).
Solución. Calculando la pendiente vemos que el eje de reflexión tiene ecuación y = 3
4
x+ 1
2
. La
recta perpendicular que pasa por (1,−1) tiene ecuación y = −4
3
x+ 1
3
. El punto de intersección
de estas dos rectas se encuentra resolviendo el sistema. De ah́ı obtenemos
(
− 2
25
, 11
25
)
. Como este
punto de intersección es el punto de medio entre P y Q obtenemos una ecuación que de la
ecuación del punto medio que nos da Q =
(
−29
25
, 47
25
)
.
Definición 12.3. Sean S1 y S2 dos transformaciones de coordenadas cualesquiera. Si aplicamos
primero S1 y luego S2 llamaremos también al resultado una transformación de coordenadas.
Denotaremos dicha transformación por S2 ◦ S1 y la llamamos la composición de dos transfor-
maciones (notemos que el orden se lee de derecha a izquierda).
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Teorema 12.4.
1. Cuando el eje de reflexión es el eje de las ordenadas la reflexión se dice horizontal, se
denota por Rh, y se puede probar que
x′ = −x y′ = y
2. Cuando el eje de reflexión es el eje de las abscisas la reflexión se dice vertical, se denota
por Rv, y se comprueba que
x′ = x y′ = −y
3. Si el eje de reflexión es la recta determinada por la ecuación y = x la reflexión es diago-
nal, se denota por Rd, y podemos demostrar que
x′ = y y′ = x
4. El resultado de una reflexión horizontal seguida de una reflexión vertical se denomina
reflexión a través del origen, se denota por RO = Rv ◦ Rh, y se calcula directamente
que
x′ = −x y′ = −y
5. El resultado de una reflexión diagonal seguida de una reflexión horizontal es Rh ◦ Rd y
se puede demostrar que ésta es una rotación por un ángulo recto. Se calcula directamente
que
x′ = −y y′ = x
x
y
PQ
Demostración. Para el primer enunciado el eje de reflexión es
la recta x = 0. Si P = (x, y) entonces Q = (−x, y) porque
el segmento PQ tiene ordenada constante, lo cual nos dice que
paralelo al eje x y por lo tanto es perpendicular al eje y. La
distancia de P al eje y es x y la distancia de Q al eje y también
lo es. Entonces x′ = −x e y′ = y. Estas ecuaciones también son
válidas cuando P pertenece al eje de reflexión.
Los demás enunciados de demuestran de forma similar y que-
dan como ejercicio. Para el último enunciado se debe comprobar usando el Teorema de Pitágoras
que OP , OQ y PQ forman un triángulo rectángulo.
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Ejercicios Adicionales
1. Termine la demostración del teorema 12.4
2. Consideremos la transformación de coordenadas
x′ =
x+ y
2
y y′ =
x− y
2
a) Muestre que en este caso x = x′ + y′ e y = x′ − y′.
b) Pruebe que el eje x se transforma en la recta y′ = x′ y el eje y en la recta y′ = −x′.
3. Los cambios de coordenadas cambian las ecuaciones de las rectas. ¿Qué transformaciones
no cambian la pendiente? Para las transformaciones que cambian la pendiente calcule la
nueva pendiente en función de la original.
4. Los puntos P = (2, 2), Q = (6, 2), R = (6, 4) y S = (2, 4) forman un rectángulo. Encuentre
una traslación de modo que el nuevo origen de coordenadas sea el punto de intersección
de las diagonales del rectángulo, además halle las nuevas coordenadas de los vértices.
5. Dada la ecuación y = mx + b, con m > 0; muestre que en cualquier re-escalamiento la
recta tiene pendiente positiva.¿Que sucede con la pendiente cuando m < 0, m = 0?.
6. Sea la recta y = 2x + 2, hallar las ecuaciones de las rectas que resultan de la reflexión
horizontal, vertical y diagonal de esta recta.
7. Pruebe que si el eje de reflexión es la recta y = −x, entonces el reflejo del punto P = (x, y)
es Q = (x′, y′), donde x′ = −y, y′ = −x.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clases 13 y 14: Cónicas
Matemáticas I 2019-2
13. Completando Cuadrados
Teorema 13.1. Un polinomio p(x) = ax2 + bx+ c donde a 6= 0 se puede expresar como
p(x) = a
(
x+
b
2a
)2
+ c− b
2
4a
A este proceso se le denomina completar cuadrados.
Ejemplos 13.2. Si p(x) = 2x2 − 4x+ 3 al completar cuadrados obtenemos
p(x) = 2(x2 − 2x) + 3 = 2(x2 − 2x+ 1− 1) + 3 = 2(x2 − 2x+ 1) + 3− 2 = 2(x− 1)2 + 1.
Si p(x) = x2 + πx obtenemos
p(x) =
(
x+
π
2
)2
− π
2
4
14. Circunferencias
x
y
k
h
C
r
Definición 14.1. La circunferencia centrada en C = (h, k) ∈
R2 y de radio r > 0 es el conjunto de puntos en R2 que están a
una distancia r de C. Por la definición de distancia, estos puntos
satisfacen la ecuación (x− h)2 + (y − k)2 = r2 la cual llamamos la
ecuación estándar de la circunferencia. Si denotamos por A dicho
conjunto se sigue que
A = {(x, y) ∈ R2 : (x− h)2 + (y − k)2 = r2}
Cuando r = 1 a la circunferencia se le dice unitaria.
Observación 14.2. Toda circunferencia puede llevarse, mediante una transformación de coor-
denadas, a una circunferencia unitaria centrada en el origen. Es decir, si a circunferencia de
ecuación (x−h)2+(y−k)2 = r2 le aplicamos le aplicamos primero T(h,k) y luego E(r,r) obtenemos
la circunferencia de ecuación (x′)2 + (y′)2 = 1.
Ejemplo 14.3. Encuentre la ecuación estándar de la circunferencia que contiene los puntos
P = (1, 3) y Q = (−1, 1) diametralmente opuestos.
Solución. Si los puntos son diametralmente opuestos esto quiere decir que el centro de la cir-
cunferencia esta en en el punto medio C = (0, 2). Ahora, como d(C,P ) =
√
12 + 12 =
√
2
tenemos que la ecuación estándar es x2 + (y − 2)2 = 2.
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15. Tangentes
Definición 15.1. Una recta tangente a una circunferencia es cualquier recta que intersecta
la circunferencia en un solo punto. A dicho punto se le llama punto de tangencia.
Teorema 15.2. Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular a la recta determi-
nada por el centro de la circunferencia y el punto de tangencia.
Ejemplo 15.3. Encuentre la ecuación general de la recta tangente a la circunferencia de ecua-
ción x2 + y2 = 25 con punto de tangencia T = (−3,−4).
Solución. Como el centro de la circunferencia esta en el origen tenemos pend(O, T ) = 4/3. Del
teorema, la perpendicular tendrá pendiente −3/4 y por lo tanto la ecuación punto-pendiente
es y + 4 = −(3/4)(x+ 3) de donde obtenemos la ecuación general 3x+ 4y + 25 = 0.
Ejemplo 15.4. Encuentre el punto de tangencia T en el primer cuadrante de la recta que pasa
por el punto P = (−1, 7) y es tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 25.
Solución. De la ecuación vemos que el centro de la circunferencia esta en el origen. Notemos que
del teorema 15.2 el origen, el punto P y el punto T forman un triángulo rectángulo. La distancia
del origen al punto P es
√
50 y es la medida de la hipotenusa. La distancia del origen al punto T
es 5 porque este es el radio de la circunferencia. Por el Teorema de Pitágoras d(P, T ) =
√
25. Pero
además el punto T pertenece a la circunferencia y por lo tanto debe satisfacer dicha ecuación.
Si denotamos por (x0, y0) las coordenadas de T entoncesdichas coordenadas satisfacen
(x0 + 1)
2 + (y0 − 7)2 = 25 y x20 + y20 = 25
Simplificando obtenemos la ecuación x20 + x0 − 12 = 0 de donde x0 = 3 ó x0 = −4 pero como
T debe estar en el primer cuadrante se obtiene T = (3, 4).
16. Elipses
x
y
k
h
C
a
b
V1V3
V2
V4
Definición 16.1. La elipse centrada en C = (h, k) de radios a, b >
0 es el conjunto de puntos en R2 que satisfacen la ecuación
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1.
Los puntos (h±a, k) y (h, k± b) son llamados vértices de la elipse.
Las rectas que pasan por C y son paralelas a los ejes se denominan
eje mayor y eje menor dependiendo de las distancias entre los
vertices de cada eje.
Ejemplo 16.2. Encuentre la intersección de la elipse de ecuación
x2 + 4y2 = 4 con la recta de ecuación y = x+ 1.
Solución. Reemplazando la ecuación de la recta en la elipse obtenemos x2 + 4(x + 1)2 = 4 de
donde obtenemos 5x2 + 8x = 0 y por lo tanto x = 0 ó x = −8/5. Reemplazando en la ecuación
de la recta obtenemos que la intersección es el conjunto {(0, 1), (−8/5,−3/5)}.
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Observación 16.3. Toda elipse puede llevarse, mediante una transformación de coordenadas, a
una circunferencia unitaria centrada en el origen. Es decir, si a la elipse de ecuación
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
le aplicamos primero T(h,k) y luego E(a,b) obtenemos la circunferencia de ecuación
(x′)2 + (y′)2 = 1
17. Parábolas
x
y
k
h
k +m
h+ 1
V
Definición 17.1. Si h, k,m son constantes con m 6= 0, una
parábola con eje vertical es el conjunto de puntos en el
plano que satisfacen la siguiente ecuación
y − k = m(x− h)2
donde V = (h, k) es el vértice de la parábola. Decimos que
la parábola se abre hacia arriba si m > 0 y hacia abajo si
m < 0. Una parábola con eje horizontal es el conjunto de
puntos en el plano que satisfacen la siguiente ecuación
x− h = m(y − k)2
donde V = (h, k) es el vértice de la parábola. Decimos que la parábola se abre hacia la
derecha si m > 0 y hacia la izquierda si m < 0.
Observación 17.2. Usando transformaciones de coordenadas toda parábola se puede representar
como el conjunto de puntos en el plano que satisface la ecuación (y′) = (x′)2.
18. Hipérbolas
x
y
C = (h, k) V1 = (h+ a, k)V2
(h, k + b)
aśıntotas
Definición 18.1. Sean h, k, a, b constantes tales que
a, b > 0. La hipérbola de centro C = (h, k) es el con-
junto de puntos del plano que satisfacen la ecuación
(x− h)2
a2
− (y − k)
2
b2
= 1
Los puntos (h±a, k) son llamados vértices y la recta que
determinan se denomina eje transversal. En este caso
entonces el eje transversal es horizontal. Las aśıntotas
de la hipérbola son las rectas
y − k = ± b
a
(x− h)
Ejercicio 18.2. Dé la definición de hipérbola con eje transversal vertical junto con sus vértices
y aśıntotas y graf́ıquelo en el plano cartesiano.
Observación 18.3. Usando transformaciones de coordenadas toda hipérbola se puede representar
como el conjunto de puntos en el plano que satisface la ecuación x2 − y2 = 1.
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Ejemplo 18.4. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos vértices se encuentran en los puntos
(0,±3) y cuyas aśıntotas tienen ecuación y = ±3x. También encuentre la transformación de
coordenadas que convierte esta en la hipérbola de ecuación (x′)2 − (y′)2 = 1.
Solución. De los vértices podemos reconocer ésta como una hipérbola con eje transversal ver-
tical. Como el centro es el punto medio entre los vértices esto nos dice que C = O. Por lo tanto
la hipérbola tiene ecuación
y2
b2
− x
2
a2
= 1
Para encontrar a y b sólo debemos dibujar el rectángulo como en la definición de hipérbola.
Esto nos dice que a = 1 y b = 3. Finalmente, la transformación de coordenadas necesaria es Rd
seguida de E(3,1).
Ejercicio 18.5. Muestre que la relación definida en R− {0} por la ecuación xy = 1 se puede
convertir en la hipérbola de ecuación (x′)2 − (y′)2 = 1 usado la transformación de coordenadas
x′ =
x+ y
2
e y′ =
x− y
2
Observación 18.6. De hecho se puede demostrar que la transformación de coordenadas en el
ejercicio anterior es una rotación de π/4 radianes seguida de un re-escalamiento y por lo tanto
el conjunto de puntos en el plano que satisfacen la ecuación xy = 1 forman una hipérbola girada
π/4 radianes.
Teorema 18.7. Toda cónica es el conjunto de puntos del plano que satisface una ecuación de
la forma
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0
donde A2 +B2 + C2 6= 0.
Observación 18.8. La constante B en cierto sentido determina la rotación de los ejes mayor
y menor en el caso de elipses, el eje vertical u horizontal en el caso de parábolas, y el eje
transversal en el caso de hipérbolas.
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Problemas Adicionales
1. Investigue si las siguientes ecuaciones determinan una circunferencia, de serlo calcule el
centro y radio. En el caso de obtener una circunferencia también encuentre la transforma-
ción de coordenadas que la convierte en la circunferencia unitaria centrada en el origen.
a) x2 − 2x+ y2 + 2y − 4 = 0
b) x2 − 4x+ y2 + 2y + 6 = 0
c) x2 + 2x+ y2 − 6 = 0
d) x2 − 6x+ y2 − 6y + 18
2. Determine el centro y los radios de las elipses representadas por las siguientes ecuaciones.
También calcule la transformación de coordenadas que la convierte en la circunferencia
unitaria centrada en el origen.
a) −9x2 − 36y2 + 36 = 0
b) x2 + 4y2 − 8y = 0
c) 3x2 + 18x+ y2 − 2y + 16 = 0
d) x2 − 2x+ y2 − 2y + 1 = 0
3. Esboce las siguientes parábolas. Determine la transformación de coordenadas que la con-
vierte en la parábola de ecuación y = x2.
a) x2 − y + 2 = 0
b) 3x− y2 + 2y = 0
c) −y + 4x2 + 8x+ 17 = 0
d) 2x+ y2 + 1 = 0
4. Esboce las siguientes hipérbolas. Indique los vértices y aśıntotas. También determine la
transformación de coordenadas que la convierte en la hipérbola de ecuación x2 − y2 = 1.
a) 9(x+ 3)2 − 4y2 − 36 = 0
b) y2 − x2 − 2 = 0
c) 2x2 − 4x− y2 − 4y − 6 = 0
d) 25x2 − 25y2 + 625 = 0
5. Sea k 6= 0 una constante. Determine la transformación de coordenadas que convierte la
hipérbola xy = k en la hipérbola de ecuación (x′)2 − (y′)2 = 1.
6. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la elipse de ecuación
(x− 1)2
4
+
(y + 1)2
2
= 1
que pasa por el punto (1,−3) si sabemos que dicha pendiente es negativa.
Solución. Si bien el teorema 15.2 no se aplica en el caso de elipses, la observación 16.3 nos
dice que podemos cambiar las coordenadas para obtener una circunferencia, resolver el
problema y finalmente regresar al sistema de coordenadas original para dar la respuesta.
De la ecuación es clara la traslación que debemos aplicar. Para el re-escalamiento notemos
que los radios de la elipse son 2 y
√
2. Aplicamos primero la traslación T(1,−1) y luego el
re-escalamiento E(2,
√
2). Esto transforma la elipse en la circunferencia unitaria centrada
en el origen y el punto P = (1,−3) en el nuevo punto P ′ = (0,−
√
2).
Procedemos ahora como en el ejemplo 15.4. El punto de tangencia es
(
− 1√
2
,− 1√
2
)
y
por lo tanto la pendiente es igual a −1. La traslación no cambia la pendiente pero el
5
M
at
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1
UP
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1
UP
re-escalamiento si lo hace. La pendiente en las coordenadas originales será entonces el
resultado de aplicar E( 1
2
, 1√
2
) a −1, es decir, − 1√
2
.
7. La tangente a una parábola es una recta que no es paralela al eje de la parábola y que
la intercepta en un sólo punto. A dicho punto se le denomina punto de tangencia.
Teorema 18.9. La recta tangente a la parábola cuyos puntos satisfacen la ecuación y = x2
tiene ecuación y = 2ax− a2 en el punto de tangencia (a, a2).
Para demostrar el teorema anterior siga los siguientes pasos. El punto (a, a2) pertenece a
la parábola de ecuación y = x2.
a) Si m ∈ R es la pendiente de la recta tangente, muestre que este punto satisface el
sistema de ecuaciones
y − a2 = m(x− a)
y = x2
b) Eliminando y del sistema anterior encuentre una ecuación cuadrática en x. Muestre
que el discriminante de la ecuación es (m− 2a)2 y sabiendo que el sistema anterior
tiene una sola solución encuentre m en función de a.
c) Con esta información escriba la ecuación punto-pendiente de la recta tangente y
simplifique para hallar la ecuación en el teorema 18.9.
8. Encuentre el x-intercepto de la recta tangente a la parábola x = 4y2 en el punto de
tangencia (1, 1/2).
Solución. Aplicando la observación anterior, primero transformamos las coordenadas por
medio de una reflexión diagonal Rd y luego el re-escalamiento E(1/2,1) para obtener la
parábola de ecuación y′ = (x′)2 en las nuevas coordenadas. Esto hace que el punto (1, 1/2)
se transforme en el punto (1, 1). Del teorema 18.9 tenemos entonces que la recta tangente
tiene ecuación y′ = 2x′− 1. Regresando a las coordenadas originales mediante E(2,1) y Rd
obtenemos la recta de ecuación 4y = x+ 1 cuyo x intercepto es −1.
6
	Coordenadas Cartesianas
	Rectas
	Ecuación
	Punto medio
	Paralelismo
	Triángulos y Cuadriláteros
	Perpendicularidad
	Oferta y Demanda
	Ingreso, Costo y Utilidad
	Traslaciones
	Re-escalamientos
	Reflexiones
	Completando Cuadrados
	Circunferencias
	Tangentes
	Elipses
	Parábolas
	Hipérbolas