UD2 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clases 5: Inducción
Matemáticas I 2019-2
1. Definición
Recordemos que el conjunto de números naturales se define por N = {1, 2, 3, ...} y el conjunto
de números enteros por Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...}.
Principio de Inducción. Para todo predicado P si P (1) es verdadero y se puede mostrar que
P (k) implica P (k + 1) para cualquier k ∈ N entonces podemos concluir que P (n) es verda-
dero para todo n ∈ N. Análogamente, este principio se puede expresar diciendo que para todo
predicado P el argumento
P (1), ∀k ∈ N [P (k)→ P (k + 1)] ` ∀n ∈ N [P (n)]
es válido.
En una prueba por inducción la parte en donde mostramos que ∀ k ∈ N, [P (k)→ P (k+ 1)]
se suele llamar el paso inductivo y nos referimos a P (k) como la hipótesis inductiva.
Ejemplo 1.1. Demuestre que 5n − 1 es múltiplo de 4 para todo n ≥ 1.
Solución.-. Para k = 1 vemos que 51 − 1 = 4 = 4 · 1, es decir, es un múltiplo de 4. Si es cierto
para k demostramos que es cierto para k + 1. Asumimos entonces que 5k − 1 = 4 ·m. Luego
5k+1 − 1 = 5 · 5k − 1 = (4 + 1)5k − 1 = 4 · 5k + 5k − 1 = 4 · 5k + 4 ·m = 4(5k +m)
2. Sumatorias
Definición 2.1. Una sucesión es una función cuyo dominio es N. Si f : N→ B es una sucesión
escribimos an = f(n). La sucesión también se puede expresar como (a1, a2, a3, ...) o de forma
más compacta como (an)n∈N. El rango de esta función es el conjunto de todos los elementos en
la sucesión y podemos denotarlo por {an}n∈N.
Ejemplo 2.2. Si an = n la sucesión es (1, 2, 3, ...). Si bn = 1/n esta sucesión es
(
1,
1
2
,
1
3
, ...
)
.
Definición 2.3. Si (ak)k∈N es una sucesión entonces definimos la sumatoria de los primeros
n términos como
sn =
n∑
k=1
ak = a1 + a2 + · · ·+ an.
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Ejemplo 2.4. Muestre que P (n) = “1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+1)
2
” es cierto para todo n ∈ N.
Solución. Para usar el principio de inducción primero mostramos que P (1) es verdadero. En
efecto, por un lado la “suma” del primer número natural es 1. Por otro lado 1(1+1)
2
= 1 y como
ambas expresiones coinciden P (1) es cierto.
Ahora asumimos que P (k) es cierto y debemos demostrar que P (k + 1) también lo es.
Verificamos esto mediante las igualdades
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) = k(k + 1)
2
+ (k + 1) =
k(k + 1)
2
+
2(k + 1)
2
=
(k + 1)(k + 2)
2
=
(k + 1)((k + 1) + 1)
2
.
Ejercicio 2.5. Demuestre que
n∑
k=1
(2k − 1) = n2.
Observación 2.6. Si bien usualmente empezamos todo argumento inductivo probando P (1) es
posible empezar probando P (m) donde m es cualquier número entero fijo. Si el argumento
inductivo es válido entonces P (n) será verdadero para todo n ∈ Z tal que n ≥ m. Esto significa
que el conjunto universal es U = {m,m + 1,m + 2, ...}. El conjunto universal también puede
ser el conjunto de todos los naturales pares o todo los naturales impares. En estos casos el paso
inductivo requiere probar P (k)→ P (k + 2) para todo k ∈ U .
Ejemplo 2.7. Muestre que
n∑
k=0
xk = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn = 1− x
n+1
1− x
para todo n ≥ 0 donde x 6= 1.
Solución. Para n = 0 verificamos que
0∑
k=0
xk = 1 =
1− x
1− x
.
Asumiendo que el enunciado es cierto para n = k ahora vemos que
1 + x+ · · ·+ xk + xk+1 = 1− x
k+1
1− x
+ xk+1 =
1− xk+1 + xk+1 − xk+2
1− x
=
1− x(k+1)+1
1− x
lo cual nos dice que el enunciado es cierto para n = k + 1.
3. Definiciones Inductivas
El principio de inducción no sólo se puede usar para demostrar un enunciado sino también
para definir sucesiones. A este tipo de definición se le suele llamar definición inductiva o
recursiva. A continuación mostramos algunos ejemplos.
Definición 3.1. El factorial de un número natural n se representa por n! y se define inducti-
vamente por 1! = 1 y (k + 1)! = (k + 1)k!.
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De la definición se sigue que n! = n(n− 1) · · · (2)(1). Para muchas aplicaciones también se
considera 0! = 1.
Observación 3.2. Recordemos que en el paso inductivo se nos pide demostrar P (k+1) asumiendo
la veracidad de P (k). Sin embargo, en ocasiones es preciso asumir que P (1), P (2), ..., P (k−1),
P (k) son todos verdaderos para demostrar que P (k + 1) es verdadero.
Ejemplo 3.3. Sean a1 = a2 = 5 y definimos la sucesión (an)n∈N inductivamente por an+1 =
an + 6an−1. Demuestre que
an = 3
n − (−2)n, n ≥ 1
Solución. Para n = 1 obtenemos a1 = 3
1 − (−2)1 = 5. Para el paso inductivo, asumiendo que
P (k − 1) y P (k) son ciertos, calculamos
ak+1 = ak + 6ak−1= 3
k − (−2)k + 6(3k−1 − (−2)k−1)
= 9 · 3k−1 − (−2)(−2)k−1 − 6(−2)k−1
= 3k+1 − (4)(−2)k−1 = 3k+1 − (−2)k+1
lo cual nos dice que P (k + 1) es cierto.
Ejemplo 3.4. Una definición recursiva muy importante es la de los números de Fibonacci.
Definimos la sucesión (Fn)n∈N recursivamente por
F1 = 1, F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn.
Encuentre los primeros diez términos de la sucesión y demuestre que
F 2n+2 − F 2n+1 = Fn · Fn+3
para todo n ∈ N.
Solución.-. Los términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 y 55. Para la ecuación usamos la definición
inductiva
F 2n+2 − F 2n+1 = (Fn+2 − Fn+1)(Fn+2 + Fn+1) = (Fn+1 + Fn − Fn+1) · Fn+3 = Fn · Fn+3
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Ejercicios Adicionales
1. Pruebe las siguientes igualdades para todo n ∈ N.
a) 12 + 22 + · · ·+ n2 = n(n+1)(2n+1)
6
b) 13 + 23 + · · ·+ n3 = n
2(n+1)2
4
c)
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ · · ·+ 1
n · (n+ 1)
=
n
n+ 1
d) 1 · 3 + 2 · 4 + · · ·+ n · (n+ 2) = n(n+ 1)(2n+ 7)
6
2. Demuestre cada una de las afirmaciones usado inducción.
a)
n∑
k=1
(ak+1 − ak) = an+1 − a1, para todo n ∈ N.
b)
(
1− 1
2
)(
1− 1
3
)(
1− 1
4
)
· · ·
(
1− 1
n
)
=
1
n
, para todo n ≥ 2.
c) Si a1 = 1, an+1 = 1 + 2an, pruebe que an = 2
n − 1 para todo n ∈ N.
3. Si n es un natural impar, pruebe que n3 − n es siempre un múltiplo de 24.
4. Las igualdades
a1 = 1, an+1 =
√
2an
definen recursivamente la sucesión (an)n∈N. Calcule los primeros cuatro términos, deter-
mine una fórmula no recursiva para todo an en función de n y demuestre dicha fórmula
por inducción.
5. Demuestre que para todo n ∈ N
n∑
k=1
(Fk)
2 = Fn · Fn+1
donde Fn es el enésimo número de Fibonacci.
6. Sea ϕ la constante definida por la igualdad ϕ =
1 +
√
5
2
a) Verifique la siguiente igualdad: ϕ2 = 1 + 1 · ϕ
b) Demuestre por inducción que si Fn es el n-ésimo número de Fibonacci, entonces:
ϕn = Fn−1 + ϕ · Fn, ∀n ≥ 2
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clases 6: Sucesiones
Matemáticas I 2019-2
4. Operaciones
Empecemos con algunos ejemplos importantes de sucesiones.
Ejemplos 4.1.
Cuando ∀n ∈ N, [an = c] donde c ∈ R decimos que la sucesión es constante. Si c = 0
obtenemos la sucesión cero.
Una sucesión aritmética se define como an = c + (n − 1)d donde c y d son constantes.
La constante c es llamada valor inicial y la constante d la diferencia común ya que
para cualquier par de términos consecutivos se tiene que
an+1 − an = c+ (n)d− [c+ (n− 1)d] = d.
Una sucesión es geométrica cuando an = c · rn−1 donde c es el valor inicial y r > 0 es
la razón común ya que para cualquier par de términos consecutivos obtenemos
an+1
an
=
c · rn
c · rn−1
= r.
Como vimos anteriormente, las sucesiones pueden ser definidas inductivamente. Por ejem-
plo si hacemos a1 = 1, an+1 =
√
1 + an obtenemos una sucesión.
Definición 4.2. Dadas las sucesiones (an)n∈N y (bn)n∈N definimos las siguientes operaciones.
La suma (an)n∈N + (bn)n∈N es la nueva sucesión (an + bn)n∈N. El producto (an)n∈N · (bn)n∈N
es la nueva sucesión (an · bn)n∈N. Si an 6= 0 para todo n ∈ N, la inversa multiplicativa de
(an)n∈N es la sucesión (1/an)n∈N.
Ejemplos 4.3.
1. La suma de la sucesión de números pares con la sucesión de múltiplos de tres es la sucesión
de múltiplos de cinco. En efecto, si an = 2n y bn = 3n entonces an + bn = 2n+ 3n = 5n.
2. Cuando (an)n∈N es contante obtenemos c · (bn)n∈N = (c · bn)n∈N. Si (bn)n∈N tiene inversa
multiplicativa podemos definir el cociente como (an)n∈N/(bn)n∈N = (an/bn)n∈N.
3. Sea (an)n∈N una sucesión. Su opuesto aditivo es la sucesión (−an)n∈N y se puede com-
probar que su suma con la sucesión original es la sucesión constante cero.
4. El producto de cualquier sucesión con la sucesión constante 1 es la sucesión original. Si
reemplazamos 1 con 0, en el producto anterior, el resultado es siempre la sucesión cero.
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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5. Monotonicidad y Acotamiento
Definición 5.1. Una sucesión (an)n∈N es monótona cuando satisface cualquiera de las siguien-
tes definiciones.
Si ∀n ∈ N, [an ≤ an+1]; decimos que la sucesión es creciente.
Si ∀n ∈ N, [an ≥ an+1]; decimos que la sucesión es decreciente.
Si ∀n ∈ N, [an < an+1]; decimos que la sucesión es estrictamente creciente.
Si ∀n ∈ N, [an > an+1]; decimos que la sucesión es estrictamente decreciente.
Teorema 5.2.
Toda sucesión estrictamente creciente es creciente y toda sucesión estrictamente decre-
ciente es decreciente.
Una sucesión es constantesi y solo si es creciente y decreciente.
La sucesión (an)n∈N es (estrictamente) creciente si y solo si la sucesión (−an)n∈N es
(estrictamente) decreciente.
La suma de sucesiones con el mismo tipo de monotonicidad es una sucesión monótona del
mismo tipo. Si los términos son positivos lo mismo es cierto para el producto, es decir, la
monotonicidad se preserva.
Ejemplos 5.3.
La sucesión aritmética es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente
decreciente si y solo si d ≥ 0, d ≤ 0, d > 0 o d < 0 respectivamente.
Cuando c > 0, la sucesión geométrica es creciente, decreciente, estrictamente creciente o
estrictamente decreciente si y solo si r ≥ 1, r ≤ 1, r > 1 o r < 1 respectivamente.
La sucesión (an)n∈N definida por an = 1/n para todo n ∈ N es estrictamente decreciente
ya que
n < n+ 1 −→ an+1 =
1
n+ 1
<
1
n
= an
La sucesión (an)n∈N definida por a1 = 1, an+1 =
√
1 + an es estrictamente creciente.
Para ello primero demostramos por inducción que an > 0 para todo n ∈ N. En efecto,
a1 = 1 > 0 y asumiendo que an > 0 obtenemos que
an + 1 > 1 > 0 −→ an+1 =
√
an + 1 > 0
A continuación probamos por inducción que {an}n∈N es estrictamente creciente. Para
n = 1, esto es equivalente a la proposición 1 = a1 < a2 =
√
2, la cual es verdadera. Para
el paso inductivo vemos que
an < an+1 −→ an + 1 < an+1 + 1 −→ an+1 =
√
an + 1 <
√
an+1 + 1 = an+2
donde podemos tomar la ráız cuadrada ya que hemos demostrado que los términos son
todos positivos.
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Definición 5.4. Una sucesión (an)n∈N es acotada superiormente si lo es como un subcon-
junto de R. Esto es equivalente a la proposición
∃M ∈ R, ∀n ∈ N, [an ≤M ]
El número M es una cota superior. Análogamente se define el concepto de cota inferior. Una
sucesión se dice acotada cuando lo es superior e inferiormente.
Ejemplos 5.5.
Toda sucesión constante es acotada por la misma constante.
La sucesión (1/n)n∈N es acotada superiormente por M1 = 1 ya que n ≥ 1 implica 1/n ≤ 1
y es acotada inferiormente por M2 = 0 porque n > 0 implica 1/n > 0.
La sucesión definida por an = n es acotada inferiormente porque los naturales son po-
sitivos, pero no es acotada superiormente porque para M ≤ 0 cualquier elemento de la
sucesión cumple an ≥ M y para M > 0 siempre podemos encontrar un natural mayor
que él, por ejemplo, n = JMK + 1.
Ya vimos que la sucesión (an)n∈N definida inductivamente por a1 = 1, an+1 =
√
an + 1
es acotada inferiormente pues todos sus términos son positivos. Adicionalmente, esta
sucesión está acotada superiormente por M = 2. Esto lo demostramos por inducción. Es
claro que a1 = 1 ≤ 2. Para el paso inductivo hacemos
an ≤ 2 −→ an + 1 ≤ 3 −→ an+1 =
√
an + 1 ≤
√
3 ≤ 2
Ejercicio 5.6. Demuestre por inducción que la sucesión definida por a1 = 3 y an+1 = (1+a
2
n)/2
cumple an > 1 para todo n ∈ N. Use lo probado anteriormente para demostrar que la sucesión
es estŕıctamente creciente (esto no requiere inducción).
Ejercicio 5.7. Demuestre que la suma y el producto de sucesiones acotadas también son
sucesiones acotadas.
Ejercicio 5.8. La renta nacional en el periodo n se denota por Rn donde n ∈ N. Asumimos
que en el primer periodo la renta nacional es igual a la constante real positiva c. Si se satisface
la ecuación
aRn = b(Rn −Rn−1)
para todo n ≥ 2 donde a, b ∈ R cumplen 0 < a < b, determine una fórmula cerrada para la renta
nacional en función de a, b y c. ¿Qué se puede decir del resultado en términos de porcentajes?
Determine el tipo de monotocidad de la sucesión (Rn)n∈N ¿Es la sucesión acotada inferiormente
o superiormente?
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Ejercicios Adicionales
1. Determine el tipo de monotonicidad o acotamiento de las sucesiones definidas por las
siguientes reglas de correspondencia para todo n ∈ N.
a) an = (−5)n
b) an =
1
2n− 1
c) an =
1
(−n)3
d) an =
n
n2 + 1
e) an = n+
1
n
f ) an =
5n+2
7n
2. Demuestre que (an)n∈N es acotada si y solo si
∃M > 0, ∀n ∈ N, [ |an| ≤M ]
3. Demuestre que la suma de sucesiones aritméticas es una sucesión aritmética. También
pruebe que el producto de sucesiones geométricas es una sucesión geométrica. ¿Qué debe
cumplirse para que el producto de dos sucesiones aritméticas sea también aritmética?
4. Pruebe que una sucesión creciente y acotada superiormente es acotada.
5. Demuestre que la sucesión (an)n∈N definida inductivamente por a1 = 1 y an+1 =
√
3an es
creciente y acotada superiormente por 3.
6. Pruebe que la sucesión (an)n∈N definida por an = (2n−7)/(3n+ 2) es creciente y acotada
superiormente.
7. Pruebe que (an)n∈N definida por an =
√
n/(n+ 1) es decreciente y acotada inferiormente.
8. Demuestre que si an > r para todo n ∈ N donde r es una constante positiva, entonces la
sucesión (1/an)n∈N es acotada.
9. ¿Si (an)n∈N es acotada, la sucesión (1/an)n∈N también lo será?
10. Usando ejemplos, muestre que el producto de sucesiones estrictamente crecientes puede
ser estrictamente creciente, estrictamente decreciente o inclusive constante.
11. Si 0 < r < 1, demuestre que la sucesión (sn)n∈N definida por
sn = 1 + r + r
2 + · · ·+ rn−1
es creciente y acotada.
12. Dada la sucesión (an)n∈N, denotamos por pn la nueva sucesión definida por
pn =
a1 + a2 + · · ·+ an
n
Demuestre que si (an)n∈N es acotada superiormente, entonces (pn)n∈N también lo será.
Demuestre además que si (an)n∈N es creciente, entonces (pn)n∈N también lo será.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clases 7: Convergencia
Matemáticas I 2019-2
6. Definición
Intuitivamente un sucesión converge cuando a medida que el ı́ndice n aumenta, los elementos
de la sucesión an se acercan cada vez más a un número real L que es llamado el ĺımite de la
sucesión. Es decir, a partir de un ı́ndice N , todos los an con n > N están cerca de L, lo cual
podemos expresar por
L− ε < an < L+ ε ←→ |an − L| < ε
donde ε es un número real que mide dicha cercańıa. De la siguiente figura podemos ver como a
medida que ε se hace más pequeño el intervalo ]L− ε, L+ ε[ se contrae, pero siempre podemos
encontrar un ı́ndice N a partir del cual todos los elementos de la sucesión an con n > N están
dentro de este intervalo. Llamaremos a ε el error y a N el ı́ndice de tolerancia.
Entonces, para todo error existe un ı́ndice de tolerancia con la propiedad de que a partir de
dicho ı́ndice, la distancia de los elementos de la sucesión al número real L son menores que el
error. Aśı tenemos la siguiente definición.
Definición 6.1 (Convergencia). La sucesión (an)n∈N converge si existe un L ∈ R tal que
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, [n > N −→ |an − L| < ε]
En este caso escribimos
ĺım
n→∞
an = L
y diremos que el ĺımite de la sucesión es L.
Ejemplos 6.2.
Toda sucesión constante an = c es convergente y su ĺımite es dicha constante. Esto se sigue
de la definición tomando L = c ya que para cualquier error ε podemos tomar cualquier
ı́ndice de tolerancia N ∈ N pues n > N implica |an − L| = |c− c| = 0 < ε.
La sucesión (an)n∈N definida por an = 1/n es convergente. En general para llegar a este
tipo de demostración empezamos con el consecuente |an −L| < ε e intentamos encontrar
la condición que debe cumplir n para que esto sea cierto por medio de equivalencias.
Como
|an − L| < ε ←→
∣∣∣∣ 1n − 0
∣∣∣∣ < ε ←→ 1n < ε ←→ n > 1ε
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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es suficiente tomar N = J1/εK + 1 (el máximo entero y suma señalada aseguran que
N ∈ N). En efecto, para todo ε > 0 tomando N = J1/εK + 1 vemos que
n > N −→ n > 1
ε
−→
∣∣∣∣ 1n − 0
∣∣∣∣ < ε
como pide la definición. Acabamos de demostrar entonces que ĺım
n→∞
1
n
= 0.
La sucesión definida por an = (n
2 + 2n + 1)/(n2 + 2n) para todo n ∈ N, es convergente.
Para demostrarlo tomamos N =
r√
1 + 1
ε
− 1
z
+ 1 y vemos que
n > N −→ n >
√
1 +
1
ε
− 1 −→ 1
(n+ 1)2 − 1
< ε −→
∣∣∣∣n2 + 2n+ 1n2 + 2n − 1
∣∣∣∣ < ε.
Esto demuestra que ĺım
n→∞
n2 + 2n+ 1
n2 + 2n
= 1.
Teorema 6.3. Toda sucesión convergente tiene un único ĺımite.
Demostración. Asumiendo que L1 y L2 son dos ĺımites, debemos deducir que L1 = L2. En
efecto, dado ε/2 > 0 podemos producir de la definición de convergencia a L1 un N1 tal que
n > N1 implica |an−L1| < ε/2. De la definición de convergencia a L2 encontramos un N2 tal que
n > N2 implica |an − L2| < ε/2. Pero entonces, para todo ε > 0 vemos que n > máx{N1, N2}
implica
|L1 − L2| = |L1 − an + an − L2| ≤ |an − L1|+ |an − L2| <
ε
2
+
ε
2
= ε
de donde |L1 − L2| = 0 (del ejercicio adicional resuelto en la clase 3), es decir L1 = L2.
Ejercicio 6.4. Niegue la definición de convergencia y demuestre que la sucesión definida por
an = (−1)n no converge a 1 ni a −1.
7. Propiedades
Teorema 7.1.
1. Toda sucesición creciente y acotada superiormente es convergente. Más aún, el ĺımite es
el supremo de la sucesión.
2. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente.
3. Toda sucesión convergente es acotada.
Ejemplos 7.2.
1. Vimos que la sucesión definida de manera inductiva por a1 = 1, an =
√
an + 1 es estric-
tamente creciente y acotada superiormente. Por lo tanto es convergente. El ĺımite será
calculado al estudiar el álgebra de ĺımites.
2. La sucesión (1/n)n∈N es decreciente y por lo tanto monótona. A la vez, esta sucesión está
acotada superiormente por 1 e inferiormente por 0. Esto nos dice que es convergente.
3. La contrapositiva del tercer enunciado del teorema nos dice que si una sucesión no es
acotada, entonces no puede ser convergente. Por ejemplo, la sucesión (n2)n∈N no es con-
vergente porque no es acotada.
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Ejercicios Adicionales
1. Demuestre por definición que si (an)n∈N es una sucesión, entonces
ĺım
n→∞
an = 0 ←→ ĺım
n→∞
|an| = 0
2. Dada la sucesión (an)n∈N, pruebe que si ĺım
n→∞
an = L, entonces ĺımn→∞ |an| = |L|. ¿Se
cumple el rećıproco?
3. Si ĺım
n→∞
an = L, entonces demuestre que ĺım
n→∞
an+k = L para cualquier k ∈ N.
4. Pruebe los siguientes ĺımites usando la definición.
a) ĺım
n→∞
2n− 1
n+ 2
= 2
b) ĺım
n→∞
n+ α
n+ β
= 1, donde α > β > 0
c) ĺım
n→∞
n2 + n+ 1
n2 + 1
= 0
d) ĺım
n→∞
1
−n3 − 1
= 0
5. a) Demuestre que
n
n2 + 1
<
1
n
para todo n ∈ N.
b) Use la parte a)para demostrar usando la definición que ĺım
n→∞
n2 + n+ 1
n2 + 1
= 1.
6. Como se ha visto en clase y en los ejercicios anteriores, usualmente el ı́ndice de tolerancia
N depende del error ε. ¿Qué se puede decir sobre una sucesión convergente si el ı́ndice de
tolerancia no depende de ε? (Sugerencia: si N no depende de ε esto significa que existe
un único N constante que se aplica a todo ε).
7. a) Pruebe por inducción la desigualdad de Bernoulli:
(1 + a)n ≥ 1 + na
para todo n ∈ N y a ∈ R que satisface a ≥ −1.
b) Si 0 < b < 1 escriba b = 1/(1+a) y aplique la desigualdad de Bernoulli a esta última
desigualdad para demostrar que
bn <
1
na
para todo n ∈ N.
c) Use la parte anterior para demostrar por definición que
ĺım
n→∞
bn = 0
d) Del ejercicio anterior y el primer ejercicio, demuestre que si −1 < c < 0, entonces
ĺım
n→∞
cn = 0
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clases 8: Cálculo de ĺımites
Matemáticas I 2019-2
Teorema 7.3. Sean (an)n∈N y (bn)n∈N sucesiónes convergentes con ĺımites L y M respectiva-
mente. Entonces:
1. ĺım
n→∞
(an + bn) = L+M
2. ĺım
n→∞
(an · bn) = L ·M
3. Si bn 6= 0 y M 6= 0, ĺım
n→∞
(
an
bn
)
=
L
M
4. ĺım
n→∞
apn = L
p, donde an, p > 0
5. ĺım
n→∞
ran = rL, donde r > 0
6. ĺım
n→∞
rn = 0, donde |r| < 1
Demostración. A continuación se presenta la demostración de la primera propiedad. Debido al
grado de dificultad se omiten el resto de las pruebas. Para ε > 0 tomamos N = máx{N1, N2}
donde N1 se obtiene de la definición de convergencia de (an)n∈N con ε1 = ε/2 y N2 se obtiene
de la definición de convergencia de (bn)n∈N con ε2 = ε/2. De esta manera
n > N −→ |(an + bn)− (L1 + L2)| ≤ |an − L1|+ |bn − L2| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Observación 7.4. En ocasiones se desea evaluar ĺımites de la forma
ĺım
n→∞
1
n− 2
y ĺım
n→∞
√
1− 3
n
La primera suscesión no está definida para n = 2 y la segunda no lo está para n = 1 y n = 2.
Sin embargo, aún estamos interesados en el comportamiento de estas sucesiones a medida que
n crece. Por ello, si la sucesión no está definida para un número finito de términos, obviaremos
dichos términos y usaremos el álgebra de ĺımites. En este caso el ĺımite de la primera sucesión
es 0 y el de la segunda es 1. Los siguientes ĺımites no existen
ĺım
n→∞
1
n(1 + (−1)n)
y ĺım
n→∞
√
10− n
por que las sucesiones no están definidas para un número infinito de términos.
Ejemplos 7.5.
ĺım
n→∞
4n2 − n+ 1
−3n2 + 9n− 14
= ĺım
n→∞
4− 1
n
+
1
n2
−3 + 9 · 1
n
− 14 · 1
n2
=
4− 0 + 0
−3 + 9 · 14 · 0
= −4
3
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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ĺım
n→∞
√
2n− 1
8n+ 1
=
√
ĺım
n→∞
2− 1
n
8 + 1
n
=
√
2
8
=
1
2
ĺım
n→∞
2
3n2+1
1−n2
6
1−3n2
n2+2n
=
2
ĺım
n→∞
3n2 + 1
1− n2
6
ĺım
n→∞
1− 3n2
n2 + 2n
=
2−3
6−3
= 33 = 27
ĺım
n→∞
3 · 2n + 2 · 3n
3n
= ĺım
n→∞
3
(
2
3
)n
+ 2 = 3 · 0 + 2 = 2
Recordemos que la sucesión (an)n∈N definida por a1 = 1 y an+1 =
√
an + 1 es convergente
y por lo tanto ĺım
n→∞
an = L. Tomando el ĺımite de la ecuación
an+1 =
√
an + 1 −→ ĺım
n→∞
an+1 = ĺım
n→∞
√
an + 1 −→ L =
√
L+ 1
vemos que L2 − L− 1 = 0. Como L debe ser positivo obtenemos L = 1 +
√
5
2
.
Siempre es importante primero demostrar que la sucesión es convergente para usar el
álgebra de ĺımites. La sucesión definida por a1 = 3 y an+1 = (a
2
n + 1)/2 es estrictamente
creciente y an ≥ 3 para todo n. Si aplicamos el álgebra de ĺımites obtenemos
L =
L2 + 1
2
−→ L2 − 2L+ 1 = 0 −→ L = 1
Esta es una contradicción y por lo tanto la sucesión no es convergente.
Teorema 7.6 (del Sandwich). Si
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
bn = L y an ≤ cn ≤ bn
para todo n ∈ N entonces la sucesión definida por cn es convergente y ĺım
n→∞
cn = L.
Ejemplos 7.7.
Como
0 ≤ 1
n2 + 3
≤ 1
n
y ĺım
n→∞
0 = ĺım
n→∞
1
n
= 0
vemos que ĺım
n→∞
1
n2 + 3
= 0.
De igual manera,
0 ≤ 1
n!
≤ 1
n
∧ ĺım
n→∞
0 = ĺım
n→∞
1
n
= 0 −→ ĺım
n to∞
1
n!
= 0
Si n ≥ 2, entonces 1
(1− 1n)
≤ 2 y por lo tanto
0 ≤ n
2
n!
=
(n)(n)
(1)(2) · · · (n− 2)(n− 1)(n)
=
1
(n− 2)!
(
1− 1
n
)
(1)
≤ 2
(n− 2)!
lo cual nos dice que ĺım
n→∞
n2
n!
= 0 por el teorema del sandwich.
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Ejercicios Adicionales
1. Justifique por qué ĺım
n→∞
an = L y ĺım
n→∞
an − bn = 0 implican que la sucesión (bn)n∈N es
convergente y calcule dicho ĺımite.
2. Si solo sabemos que ĺım
n→∞
an − bn = 0, ¿podemos concluir que (an)n∈N y (bn)n∈N son
convergentes?
3. Calcule el ĺımitede las siguientes sucesiones.
a) an =
an+ b
cn+ d
, donde c 6= 0 (L = a/c)
b) an =
n2 + 1
n3 − 2n+ 3
(L = 0)
c) an =
√
n2 + 1− n (L = 0)
d) an =
√
n2 + n− n (L = 1/2)
e) an = n−
√
n+ 1
√
n− 1 (L = 0)
f ) an = n−
√
n+ 1
√
n+ 2 (L = −3/2)
g) an =
√
2n− 1 + 1√
n− 4− 1
(L =
√
2)
h) an =
πn + π−n
π2n − 1
(L = 0)
i) an =
n
√
53−2n (L = 1/25)
4. Usando el álgebra de ĺımites, muestre que si
ĺım
n→∞
an − L
an + L
= 0
entonces la sucesión (an)n∈N es convergente y calcule dicho ĺımite (sugerencia: considere
la sucesión definida por bn =
an−L
an+L
y despeje an en función de L y bn).
5. Demuestre que si a0 = 0 y an+1 = (an + 1)/2 entonces la sucesión {an} es convergente y
calcule el ĺımite.
6. Sean p(x) y q(x) polinomios. Calcule el ĺımite de la sucesión an = p(n)/q(n) tomando en
cuenta dos casos: grad p = grad q y grad p < grad q.
7. Demuestre que si sn = 1 + r + r
2 + r3 + · · ·+ rn, donde |r| < 1, entonces
ĺım
n→∞
sn =
1
1− r
8. a) Usando inducción, demuestre que 2n ≤ (n− 1)! para todo natural n ≥ 6.
b) Use la parte a) y el teorema del sandwich para probar que ĺım
n→∞
2n
n!
= 0
9. a) Demuestre que 1 ≤
((
2
3
)n
+ 1
) 1
n
≤ 2
1
n .
b) Use la parte a) y el teorema del sandwich para calcular el ĺımite de la sucesión
an =
n
√
2n + 3n
c) Generalize las ideas anteriores para probar que si 0 < a < b entonces
ĺım
n→∞
n
√
an + bn = b
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10. La ecuación loǵıstica discreta se define por
an+1 = ran(1− an)
lo cual define una sucesión (an)n∈N cuando el valor inicial a1 es conocido. Para este ejercicio
asumimos que r = 2 y a1 = 1/4.
a) Demuestre por inducción que an =
1
2
− 2−1−2n−1 .
b) Calcule el ĺımite de la sucesión.
11. Supongamos que el costo de producir q unidades de cierto producto es
C(q) = 4000 +
20q2 − 99q
q2 + 1
medido en soles donde q ∈ N. A medida que el número de unidades crece indefinidamente,
¿a qué valor se acerca el costo? Determine a partir de qué nivel de producción el costo es
mayor o igual a 4010 soles.
12. Se sabe que la utilidad de una empresa en función del tiempo t está dada por
U(t) =
kt2 + k2t
2t2 + 2k3
− 1
medida en soles donde k es una constante y t ∈ N. Si a largo plazo no hay ganancias ni
pérdidas, ¿cuál será el valor de la constante k?
13. Sea Wt el nivel salarial en el año t ∈ N donde W1 representa el nivel salarial inicial el
presenta año y es igual a una constante positiva. Asumimos que
Wt+1 = a+ bWt
para todo n ∈ N donde a y b son constantes que cumplen 0 < b < a < 1.
a) Calcule una fórmula cerrada para Wt, es decir, exprese Wt solo en términos de a, b,
t y el nivel salarial inicial W1.
b) A medida que t crece indefinidamente, ¿qué se puede decir del nivel salarial?
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	Definición
	Sumatorias
	Definiciones Inductivas
	Operaciones
	Monotonicidad y Acotamiento
	Definición
	Propiedades
	anm0: