UD1 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 0: Proposiciones y Equivalencias
Matemáticas I 2019-2
1. Proposiciones Simples
Definición 1.1. Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso.
Ejemplos 1.2. Algunos ejemplos de proposiciones son “El cielo es azul”, “Mañana es Lunes”,
“él no es vegetariano”. Las siguientes no son proposiciones: “¿Qué d́ıa es hoy?”, “¡Bravo!”, “No
escribas esto”.
Definición 1.3. Si p es una proposición sus posibles valores se representan por medio de una
tabla de verdad como la siguiente:
p
V
F
Definición 1.4. La negación u opuesto de una proposición p es la proposición con los valores
opuestos y es denotada por ¬p. Su tabla de verdad será entonces:
p ¬p
V F
F V
Ejemplo 1.5. Si p = “Mañana es Lunes”, entonces ¬p = “Mañana no es Lunes”.
Observación 1.6. ¿Cuál es el opuesto de “Todos los d́ıas sale el sol”? Un error común es pensar
que el opuesto es “Nunca sale el sol”, cuando de hecho el opuesto es “Algún d́ıa no sale el sol”.
Esto lo estudiaremos en mayor profundidad cuando definamos cuantificadores.
Hasta ahora todas las proposiciones que hemos presentados son simples en el sentido que
no pueden ser divididas en una combinación de otras proposiciones. A continuación veremos
cómo llevar a cabo dichas combinaciones.
2. Proposiciones Compuestas
Definición 2.1. La conjunción de dos proposiciones p, q es la nueva proposición “p y q” y
es denotada por p ∧ q. La disyunción es la proposición “p o q” y es denotada por p ∨ q. Las
tablas de verdad de estas operaciones son
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Ejemplo 2.2. Si p = “Terminó la tarea” y q = “Voy a la playa” entonces la conjunción es la
expresión “Terminó la tarea y voy a la playa” y la disyunción es la expresión “Terminó la tarea
o voy a la playa”.
Definición 2.3. La disyunción exclusiva de dos proposiciones p, q es la nueva proposición
“O p o q (pero no ambas al mismo tiempo)” y es denotada por p Y q. Su tabla de verdad esta
dada por
p q p Y q
V V F
V F V
F V V
F F F
Definición 2.4. Si p, q son proposiciones definimos la proposición condicional como el enun-
ciado “Si p entonces q” y la denotamos como p→ q. En este caso p se denomina el antecedente
y q el consecuente. La proposición bicondicional se define como “p si y solo si q” y se denota
por p↔ q. Las tablas de verdad asociadas son
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q p↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ejemplo 2.5. Si p = “Terminé la tarea” y q = “Voy a la playa” entonces la condicional será
p→ q = “Si terminé la tarea entonces voy a la playa”. Los valores de la tabla de verdad de la
condicional son claros en este caso cuando p es verdadero. Cuando p es falso p→ q es siempre
verdadera porque la condicional no especifica que debeŕıa pasar si ¬p es verdadero.
Definición 2.6. Dada la proposición condicional p→ q definimos tres proposiciones asociadas.
La proposición conversa o rećıproca se define como q → p.
La proposición inversa es la proposición ¬p→ ¬q.
La proposición contrapositiva se define como ¬q → ¬p.
Ejemplo 2.7. Vimos que la proposición “Si terminé la tarea entonces voy a la playa” es una
condicional. En este caso la rećıproca será “Si voy a la playa entonces terminé la tarea”, la
inversa es “Si no terminé la tarea entonces no voy a la playa” y la contrapositiva será “Si no
voy a la playa entonces no terminé la tarea”.
Ejercicio 2.8. Dada la proposición condicional p → q construya las tablas de verdad de las
proposiciones conversa, inversa, y contrapositiva.
Observación 2.9. Las proposiciones en esta sección son llamadas compuestas porque son el
resultado de una combinación de proposiciones simples.
Definición 2.10. Una proposición compuesta es una tautoloǵıa cuando su tabla de verdad
tiene solo valores verdaderos sin importar el valor de verdad de sus proposiciones simples.
Ejemplo 2.11. La proposición p ∨ ¬p es una tautoloǵıa de la siguiente tabla.
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p p ∨ ¬p
V V F
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Ejercicio 2.12. Muestre que la siguiente proposición es una tautoloǵıa: “Si hacer la tarea im-
plica ir a la playa e ir a la playa implica broncearse, entonces hacer la tarea implica broncearse”.
3. Equivalencias
Definición 3.1. Decimos que dos proposiciones compuestas P , Q son equivalentes si tienen la
misma tabla de verdad y en este caso escribimos P ≡ Q.
Ejemplo 3.2. La proposiciónp → q es equivalente a ¬p ∨ q como podemos ver de la tabla.
Esto quiere decir que la proposición “Si terminó la tarea entonces voy a la playa” es equivalente
a “No terminó la tarea o voy a la playa”.
p q ¬p ∨ q
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V
Ejercicio 3.3. Demuestre cada una de las siguientes equivalencias
p ∧ p ≡ p
p ∨ p ≡ p
p ≡ ¬(¬p)
p→ q ≡ ¬q → ¬p
p→ q ≡ ¬p ∨ q
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)
p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)
¬p Y q ≡ p Y ¬q
¬(p Y q) ≡ p Y ¬q
(p Y q) Y r ≡ p Y (q Y r)
¬(p Y q) ≡ p↔ q
p Y q ≡ q Y p
p ∨ q ≡ q ∨ p
p ∧ q ≡ q ∧ p
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
Las dos últimas equivalencias se denominan “Leyes de De Morgan”.
Ejemplo 3.4. ¿Son las siguientes proposiciones equivalentes?
Si una empresa tiene buenos empleados, entonces si dichos empleados trabajan duro la
empresa no quebrará.
Si una empresa tiene buenos empleados y dichos empleados trabajan duro entonces la
empresa no quebrará.
Sea p = “Una empresa tiene buenos empleados”, q = “Los empleados trabajan duro”, y r
= “La empresa no quebrará”. La primera proposición se puede representar por p→ (q → r) y
la segunda por (p ∧ q)→ r. Escribiendo la tabla de verdad verificamos la equivalencia
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p q r p → (q → r) (p ∧ q) → r
V V V V V V V
V V F F F V F
V F V V V F V
V F F V V F V
F V V V V F V
F V F V F F V
F F V V V F V
F F F V V F V
Otra formar de probar que que estas proposiciones son equivalentes es usando las equivalencias
mostradas en los ejercicios. En efecto,
p→ (q → r) ≡ p→ (¬q ∨ r) ≡ ¬p ∨ (¬q ∨ r)
(p ∧ q)→ r ≡ ¬(p ∧ q) ∨ r ≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ r
implica que ambas proposiciones son equivalentes ya que las últimas dos expresiones lo son.
Ejercicio 3.5. Sean p, q y r proposiciones simples. Definimos la proposición T (p, q, r) = “Exac-
tamente una de las proposiciones p, q o r es verdadera”.
1. Calcule la tabla de verdad de T (p, q, r)
2. Encuentre una proposición compuesta equivalente a T (p, q, r) pero expresada en términos
de p, q, r y conectores lógicos conocidos.
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Ejercicios Adicionales
1. Escriba los siguientes enunciados en su forma lógica formal.
“Si llueve el piso se moja. Cuando el piso se moja hay que limpiarlo.”
“Si llueve hay que limpiar el piso.”
“No es cierto que si esta lloviendo entonces no uso el paraguas.”
“Está lloviendo y uso el paraguas.”
2. Considere la siguiente proposición compuesta: “Si el valor de las acciones de la compañ́ıa
aumenta o se declaran dividendos, entonces los accionistas se reunirán si y solo si dos
cosas ocurren: la junta de directores convoca a reunión y el presidente del directorio no
renuncia”.
a) Escriba la proposición anterior en su forma lógica formal.
b) Determine el valor de verdad de la proposición bajo las siguientes condiciones
El valor de las acciones aumenta, no se declaran dividendos, los accionistas se
reunirán, la junta de directores convoca a reunión, y el presidente del directorio
renuncia.
El valor de las acciones cae, se declaran dividendos, los accionistas no se reunirán,
la junta de directores no llama a reunión y el presidente del directorio renuncia.
3. Si p = “Hace frio” y q = “esta nublado” escriba como una oración los siguientes enuncia-
dos.
¬p
p ∧ q
p↔ q
¬q → ¬p
p ∨ ¬q
¬(¬q)
4. Escriba como una oración la conversa, inversa, y contrapositiva de las siguientes condi-
cionales.
“Si hoy es Lunes, entonces tengo clase de Mate 1”.
“Yo saco mi paraguas si llueve”.
“No puedo entrar a la piscina si estoy con gripe”.
5. Verifique en cada caso si el primer enunciado es equivalente al segundo. Justifique su
respuesta en cada caso usando la lógica de proposiciones.
a) “Si llueve el piso se moja. Cuando el piso se moja hay que limpiarlo.”
“Si llueve hay que limpiar el piso.”
b) “No es cierto que si esta lloviendo entonces no uso el paraguas.”
“Está lloviendo y uso el paraguas.”
6. Demuestre cada una de las siguientes equivalencias o justifique porque no lo son.
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a) p ∧ p ≡ p
b) p ∨ p ≡ p
c) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
d) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
e) p ≡ ¬(¬p)
f ) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
g) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
h) (p↔ q) ∧ q ≡ p
i) (p ∨ q) ∧ ¬q ≡ p ∧ ¬q
j ) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
k) ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
l) p Y q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
m) ¬(p Y q) ≡ p Y ¬q
7. Demuestre que la proposición condicional es equivalente a su contrapositiva. También
demuestre que la rećıproca es equivalente a la inversa.
8. Demuestre que P ≡ Q es equivalente a afirmar que P ↔ Q es una tautoloǵıa.
9. Escribalas siguientes proposiciones sin usar condicionales y sin negar proposiciones com-
puestas.
a) “Si hace fŕıo me pongo la gorra.”
b) “Las empresas reducen personal o liquidan activos, siempre y cuando la economı́a
nacional entre en recesión.”
c) “Mañana hago la tarea si me levanto temprano y no voy al gimnasio.”
10. Escriba la negación de cada proposición sin negar proposiciones compuestas.
a) “Si no duermo bien no voy a poder concentrarme en clase.”
b) “Voy a la playa si y solo si termino la tarea. ”
c) “Si llueve mucho entonces no saco el carro.”
11. Determine el converso y contrapositivo de cada condicional sin negar proposiciones com-
puestas.
a) “Si hace fŕıo me pongo la gorra.”
b) “Las empresas reducen personal o liquidan activos, siempre y cuando la economı́a
nacional entre en recesión.”
c) “Mañana hago la tarea si me levanto temprano y no voy al gimnasio.”
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 1: Argumentos y Cuantificadores
Matemáticas I 2019-2
4. Argumentos
Definición 4.1. Un argumento es una lista de proposiciones P1, P2, ..., Pn llamadas premisas
y una proposición Q llamada conclusión. Un argumento se denota por P1, P2, ..., Pn ` Q.
Ejemplos 4.2.
El argumento “Cuando llueve el piso esta mojado. En este momento esta lloviendo. Por
lo tanto el piso esta mojado” puede representarse por
p→ q, p ` q
donde p = “Esta lloviendo”, q = “El piso esta mojado”.
El argumento “Si termino la tarea voy a la playa. No terminé la tarea. Por lo tanto no
iré a la playa.” puede representarse por
p→ q, ¬p ` ¬q
Definición 4.3. Un argumento es válido cuando la veracidad de las premisas implica la vera-
cidad de la conclusión.
Ejemplo 4.4. De la tabla de la condicional vemos que si p es verdadero y p → q también lo
es, entonces q es necesariamente verdadero. Esto nos dice que el argumento
p→ q, p ` q
es válido
Ejercicio 4.5. Muestre que cada uno de los siguientes argumentos es válido.
¬q, p→ q ` ¬p
p→ q, p→ ¬q ` ¬p
p→ q, q → r ` p→ r
p ` p ∨ q
p ∧ q ` p
p, q ` p ∧ q
p→ q, q → p ` p↔ q
p, p↔ q ` q
¬p, p↔ q ` ¬q
p ∨ q,¬p ` q
p Y q, p ` ¬q
p Y q Y r, p ` q ↔ r
Ejemplo 4.6. Deseamos mostrar que el argumento
p→ q, q → r, ¬r ` ¬p
es válido. En efecto, como
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p→ q, q → r ` p→ r es válido sabemos que p→ r es verdadero. De la validez de
¬q, p→ q ` ¬p se sigue entonces que ¬p es verdadero.
Teorema 4.7. El argumento P1, P2, ..., Pn ` Q es válido si y sólo si P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧ Pn → Q es
una tautoloǵıa.
Ejemplo 4.8. El argumento de la primera parte del ejemplo 1.2 es válido usando uno de los
ejercicios anteriores. También podemos verificarlo mostrando la siguiente tabla de verdad.
p q ((p → q) ∧ p) → q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Ejemplo 4.9. Deseamos mostrar que el siguiente argumento es inválido: “Si eres un alumno de
la U.P. entonces eres inteligente. De hecho, tú eres inteligente y emprendedor. Por consiguiente,
si eres emprendedor entonces debes ser de la U.P.” En efecto, si hacemos p = “Eres alumno de
la U.P.”, q = “Eres inteligente” y r = “Eres emprendedor” podemos entonces representar el
argumento como
p→ q, q ∧ r ` r → p.
Construyendo la tabla de verdad podemos mostrar que si p es falso y q, r son verdaderos
entonces la condicional ((p→ q)∧ (q∧ r))→ (r → p) es falsa lo cual muestra que el argumento
es inválido.
p q r ((p → q) ∧ (q ∧ r )) → (r → p)
...
...
F V V V V V F F
...
...
5. Cuantificadores
Ejemplo 5.1. En la proposición “Esta pizarra es blanca” podemos identificar el sujeto: “Esta
pizarra” y el predicado: “es blanca”. Si denotamos por a el sujeto “esta pizarra” y por P el
predicado “es blanca” entonces podemos referirnos a la proposición original por P (a), es decir,
“sujeto a tiene propiedad P”. Si b = “esa pizarra” entonces
P (a) = “sujeto a tiene propiedad P” = “Esta pizarra es blanca”.
P (b) = “sujeto b tiene propiedad P” = “Esa pizarra es blanca”.
En principio asumimos que los sujetos a y b son miembros de una colección que debe ser
clara por el contexto o establecida por el lector. En este caso la colección podŕıa ser todas las
pizarras en este pabellón, en esta universidad, en este páıs, o en el mundo entero. Si denotamos
por C la colección de todas las pizarras en la U.P. la expresión a ∈ C significa “el miembro a
pertenece a la colección C” = “a es una pizarra de la U.P.”
Definición 5.2. Una variable es un śımbolo que representa un miembro no especificado de
una colección.
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Ejemplo 5.3. Denotamos por C la colección de todas las pizarras de la U.P. En este caso a
representa “esta pizarra” y la variable x representa cualquier pizarra de la universidad. Entonces
el enunciado P (x) significa “la pizarra x es blanca”.
Observación 5.4. P (x) no es una proposición ya que x no está especificada y por ello P (x) no
puede ser verdadero o falso hasta que le asignemos una valor espećıfico (como a o b).
Los cuantificadores nos permiten construir una proposición usando variables y predicados.
Definición 5.5. El cuantificador universal se define como la expresión “Para todo ...” y
se denota por ∀. El cuantificador existencial se define como la expresión “Existe ...” y se
denota por ∃. En términos de proposiciones tenemos
∀x ∈ C, [P (x)] ≡ P (a) para todo a en C.
∃x ∈ C, [P (x)] ≡ P (a) para algún a espećıfico de C.
Ejemplo 5.6. Con la notación introducida en los ejemplos anteriores vemos que la expresión
∀x ∈ C, [P (x)] significa “Para toda pizarra x en la U.P., x es blanca” = “Toda pizarra en la
U.P. es blanca”. Además, la expresión ∃x ∈ C, [P (x)] significa entonces “Existe una pizarra x
en la U.P. tal que x es blanca” = “Al menos una pizarra en la U.P. es blanca”.
Si no es cierto que todos los miembros de una colección cumplen cierta propiedad entonces
debe ser cierto que al menos uno de ellos no cumple dicha propiedad y viceversa. Esto quiere
decir que los cuantificadores universal y existencial son opuestos el uno del otro. Esta idea se
formaliza en la siguiente proposición.
Proposición 5.7. Para toda colección C y predicado P tenemos
¬(∀x ∈ C, [P (x)]) ≡ ∃x ∈ C, [¬P (x)],
¬(∃x ∈ C, [P (x)]) ≡ ∀x ∈ C, [¬P (x)].
Observación 5.8. En ocasiones es necesario determinar si todo miembro de una colección tiene
cierta propiedad. En términos lógicos se nos pide demostrar que ∀x ∈ C, [P (x)]. Cuando esto
no es cierto la proposición anterior nos dice que debemos encontrar por lo menos un elemento
a ∈ C tal que ¬P (a). Dicho elemento que prueba la falsedad del enunciado original es llamado
un contraejemplo.
Ejemplo 5.9. Consideremos la siguiente proposición: “No es cierto que para toda pizarra en
la U.P. se cumpla que si una pizarra esta en este pabellón entonces dicha pizarra es blanca”.
Queremos encontrar una proposición equivalente que no esté en la forma de una negación para
entenderla mejor. Sea C la colección de pizarras de la U.P., P es el predicado “es blanca” y
Q el predicado “pertenece a este pabellón”. Entonces la proposición inicial se puede expresar
como ¬(∀x ∈ C, [Q(x)→ P (x)]). Usando las propiedades estudiadas vemos que
¬(∀x ∈ C, [Q(x)→ P (x)]) ≡ ∃x ∈ C,¬[Q(x)→ P (x)]
≡ ∃x ∈ C,¬[¬Q(x) ∨ P (x])]
≡ ∃x ∈ C, [Q(x) ∧ ¬P (x])]
Esto significa que la proposición original es equivalente a la proposición “Existe al menos una
pizarra en este pabellón que no es blanca”.
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Ejemplo 5.10. Es posible considerar predicados que dependen de dos variables. Por ejemplo,
sean A la colección de alumnos de la universidad, M la colección de profesores de Mate 1, y
P (x, y) = “el alumno x está matriculado con el profesor y”. Entonces
∀x ∈ A, ∀y ∈ M, [P (x, y)] ≡ “Todo alumno está matriculado con todo profesor de Mate
1”.
∀x ∈ A,∃y ∈M, [P (x, y)] ≡ “Todo alumno está matriculado con al menos un profesor de
Mate 1”.
∃x ∈ A, ∀y ∈ M, [P (x, y)] ≡ “Existe al menos un alumno matriculado con todos los
profesores de Mate 1”.
∃x ∈ A,∃y ∈ M, [P (x, y)] ≡ “Existe al menos un alumno matriculado con al menos un
profesor de Mate 1”.
A M A M A M A M
∀x ∈ A,∀y ∈M ∀x ∈ A, ∃y ∈M ∃x ∈ A, ∀y ∈M ∃x ∈ A,∃y ∈M
La negación de la primera proposición es ∃x ∈ A, ∃y ∈ M, [¬P (x, y)] lo cual quiere decir
en palabras que “existe al menos un alumno de la universidad que no está matriculado con al
menos un profesor de mate 1”.
Observación 5.11. En ocasiones cuando se usa el cuantificador existencial es útil mencionar que
dicha existencia es única. Si escribimos ∃!x ∈ C, [P (x)] esto quiere decir que existe un único
x ∈ C que satisface la propiedad P . Por ejemplo, todo alumno de Mate 1 está matriculado con
al menos un profesor, pero de hecho nadie puede matricularse con más de un profesor. En este
caso es más apropiado usar ∃! que ∃. El opuesto ¬∃! significa que no existe un único elemento
con cierta propiedad, eso quiere decir que existen al menos dos elementos o ningún elemento
con dicha propiedad.
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Ejercicios Adicionales
1. El siguiente párrafo representa un argumento.
Cuando está soleado salgo a correr. Si duermo bien también salgo a correr. Hoy está
soleado o dormı́ bien. Por lo tanto salgo a correr.
Escriba el argumento de manera formal y muestre que es válido (debe analizar diferentes
casos).
2. Demuestre que los siguientes argumentos son válidos o justifique por qué no lo son.
a) p, p Y q ` q
b) ¬q, p→ q ` ¬p
c) p→ q, q → r ` p→ r
d) p Y q,¬p ` q
3. Verifique si los siguientes argumentos son válidos. Justifique su respuesta en cada caso
usando la lógica de proposiciones.
a) “Si llueve entonces el piso se moja. Cuando el piso se moja hay que limpiarlo. Por
lo tanto, si llueve hay que limpiar el piso”.
b) “Si hay nubes en el cielo el sol no brilla y si el sol no brilla hace fŕıo. Como en este
momento no hace fŕıo entonces no deben haber nubes en el cielo”.
c) “Tu vas a la playa si y solo si terminas la tarea. Si vas a playa entonces no vas al
gimnasio. Por lo tanto, o vas al gimnasio o terminas la tarea”.
4. Traduzca al lenguaje simbólico de lógica formal las siguientes proposiciones.
a) En el banco de la esquina, alguien hizo sonar la alarma y todos salieron corriendo.
b)Si todos los expertos creen que fumar es dañino, entonces todos deberán dejar de
fumar.
c) En este colegio, si es feriado, entonces todos los estudiantes están fuera del colegio.
5. Usando cuantificadores, indique un enunciado equivalente al siguiente, en donde no haya
negación de proposiciones compuestas ni aparezcan condicionales: “No es cierto que, si
algunos de los poĺıticos mienten entonces todos los poĺıticos no son respetables”.
6. Estableciendo un diccionario e usando cuantificadores escriba en lenguaje formal los si-
guientes enunciados: “Si un pato no es vertebrado, entonces hay patos sin plumas”, “Todos
los patos tienen plumas”.
7. Niegue los siguientes enunciados sin hacer uso de la negación de proposiciones compuestas
ni condicionales.
∀ � ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, [(� > 0 ∧ n > N) −→ |an − L| < �]
∀ � ∈ R, ∃ δ ∈ R, ∀x ∈ R, [(� > 0 ∧ δ > 0 ∧ 0 < |x−x0| < δ) −→ |f(x)−L| < �]
∀M ∈ R, ∃N ∈ R, ∀x ∈ R, [(M > 0 ∧ N > 0 ∧ x > N) −→ f(x) > M ]
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 2: Conjuntos y Relaciones
Matemáticas I 2019-2
6. Conjuntos
Definición 6.1. Un conjunto es una colección abstracta cuyos miembros son llamados ele-
mentos. Si a es un elemento del conjunto A escribimos a ∈ A. Cuando a no es un elemento de
A escribimos ¬(a ∈ A) o a /∈ A.
Axioma 6.2. Existe un conjunto que no posee elementos llamado conjunto vaćıo y denotado
por {} o por ∅.
Existen dos maneras de describir los elementos de un conjunto. La primera es listarlos
como en A = {a, b, c, ..., z}. A esta se le llama una definición por extensión. La segunda es
describir los elementos por medio de una propiedad, por ejemplo B = {pizarras en la U.P. :
dichas pizarras son blancas}. A esta se le llama una definición por comprensión y usualmente
se expresa como B = {x : P (x)} donde P (x) = “x tiene propiedad P”.
Ejemplos 6.3. Algunos ejemplos de conjuntos son A = {lapicero 1, lapicero 2, lapicero 3} y
B = {lapiceros en la U.P. : dicho lapicero es rojo y nuevo} = {x ∈ U : P (x) ∧Q(x)} donde U
es el conjunto de lapiceros en la U.P., P (x) = “x es rojo” y Q(x) = “x es nuevo”.
Observación 6.4. En una definición por comprensión se hace referencia a un conjunto universal
de donde se escogen los elementos usando la propiedad. En el ejemplo anterior dicho conjunto
es U .
Definición 6.5. El conjunto A está incluido en B si todo elemento de A es un elemento de
B. Esto es equivalente a mostrar que
∀x ∈ U, [x ∈ A→ x ∈ B].
En este caso escribimos A ⊂ B. A y B son iguales si A ⊂ B y B ⊂ A. Esto último es
equivalente a mostrar que
∀x ∈ U, [x ∈ A↔ x ∈ B].
Teorema 6.6. Sea U un conjunto universal.
Para todo conjunto A se cumple ∅ ⊂ A.
El conjunto vaćıo es único.
(A = ∅) ≡ (∀x ∈ U, [x /∈ A])
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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7. Operaciones
Definición 7.1. Sea U un conjunto universal y A, B subconjuntos de U .
El complemento de A en U es el conjunto Ac = {x ∈ U : x /∈ A}.
La unión de A y B se define como A ∪B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
La intersección de A y B es el conjunto A ∩B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
La diferencia de A y B es el conjunto A−B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)}.
La diferencia simétrica de A y B es el conjunto A∆B = {x ∈ U : (x ∈ A) Y (x ∈ B)}.
En las siguientes figuras representamos los conjuntos mediante diagramas de Venn.
U
A
Ac
U
A B
A ∪B
U
A B
A ∩B
Definición 7.2. Decimos que los conjuntos A y B son disjuntos cuando A ∩B = ∅.
Teorema 7.3. Si U es un conjunto universal y A, B, C son subconjuntos entonces
A ∪B = B ∪ A
A ∩B = B ∩ A
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
La prueba de este teorema se deriva de la manipulación de la definición usando la lógica de
proposiciones. Por ejemplo la última propiedad se deriva de la siguiente manera
x ∈ (A ∩B)c ↔ ¬(x ∈ A ∩B)↔ ¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))
↔ ¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)↔ (x ∈ Ac) ∨ (x ∈ Bc)
↔ x ∈ Ac ∪Bc
Es posible también demostrar estas propiedades mediante el uso adecuado de tablas de verdad.
Las pruebas del resto de propiedades quedan como ejercicio.
Ejemplo 7.4. Las dos últimas propiedades del teorema anterior son llamadas “Leyes de De
Morgan” para conjuntos. En particular, la propiedad demostrada significa por ejemplo que si
A = { lapiceros rojos en la U.P.} y B = {lapiceros nuevos en la U.P.} entonces el conjunto de
lapiceros de la U.P. que no son simultáneamente rojos y nuevos es igual al conjunto de lapiceros
que no son rojos unido con el conjunto de lapiceros que no son nuevos.
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8. Relaciones
Definición 8.1. Si a ∈ A y b ∈ B entonces definimos (a, b) como el par ordenado donde a
es la primera coordenada y b la segunda. En este caso
(a, b) = (c, d) ↔ a = c ∧ b = d
Definición 8.2. El producto cartesiano de A y B se define como
A×B = {(x, y) : (x ∈ A) ∧ (y ∈ B)}
Definición 8.3. Una relación (binaria) entre los conjuntos A y B es un subconjunto R ⊂ A×B
del producto cartesiano. En este caso A se llama el conjunto de partida y B el conjunto de
llegada. Cuando A = B diremos que R ⊂ A× A es un relación en A.
Ejemplo 8.4. Sea A = {a, b, c} y B = {d, e, f, g}. Definimos la relación R como el subconjunto
R = {(a, d), (a, e), (c, e), (c, f)} ⊂ A×B.
a
b
c
A B
d
e
f
g A
B
a b c
d
e
f
g
En las figuras podemos ver dos formas en las que se puede representar una relación. En
la primera las flechas indican la forma en que los elementos de A están relacionados con los
elementos de B. En la segunda los ćırculos representan el producto cartesiano A×B y los que
son sólidos representan la relación.
Definición 8.5. Si R ⊂ A×B es una relación entonces el dominio de R se define como
domR = {x ∈ A : ∃ y ∈ B, [(x, y) ∈ R]}
y el rango de R como
ranR = {y ∈ B : ∃x ∈ A, [(x, y) ∈ R]}
Ejemplo 8.6. En el ejemplo anterior domR = {a, c} y ranR = {d, e, f}.
Definición 8.7. Una relación es una función cuando cada elemento del dominio se relaciona
con un único elemento del rango. En śımbolos tenemos
∀x ∈ domR, ∃! y ∈ ranR, [(x, y) ∈ R].
Esto es equivalente a verificar que (a, b) ∈ R y (a, c) ∈ R implican b = c. En este caso denotamos
la función por f en vez de R y escribimos f : dom f ⊂ A → B. En vez de decir que (a, b) ∈ f
decimos que f(a) = b.
A veces escribimos f : A→ B para denotar que A = dom f .
Observación 8.8. Si bien a cada elemento del dominio de una función se le relaciona con un
único elemento del rango, cada elemento del rango podŕıa estar relacionado con varios elementos
del dominio.
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Ejercicios Adicionales
1. Definir por comprensión cada uno de los siguientes conjuntos
a) A = {1, 4, 9, 16, 25}. b) B = {1, 2, 4, 8, 16, 32}. c) C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}
2. Sea U = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} el conjunto universal, y sean A = {−1, 0, 1}, B =
{−2,−1, 0, 1, 2}, C={-3,1,2}. Determinar cada uno de los siguientes conjuntos.
a) Bc
b) Ac
c) Ac ∪Bc
d) B ∩ Cc
e) (A ∩B)c
f ) (B ∪ C)c
3. Exprese el área sombreada en el diagrama de Venn en el lenguaje de teoŕıa de conjuntos.
U
A B
U
A B
A
B C
U
4. Sean A y B dos subconjuntos del conjunto universal U . Definimos la diferencia de A con
B, denotada por A − B, como A ∩ Bc es decir A − B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}.
Definimos la diferencia simétrica de A y B como A4B = (A−B) ∪ (B − A).
a) Represente los conjuntos definidos mediante diagramas de Venn.
b) Si A ⊂ B, pruebe que A−B = ∅.
c) Demuestre que (A−B)c = Ac ∪B.
5. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 5, 6, 8}. Consideremos las relaciones R1 =
{(1, 5), (2, 8), (4, 6), (1, 6)} y R2 = {(2, 3)(3, 3)(4, 6)} en A×B.
a) Halle el dominio y el rango de cada relación.
b) ¿Cuál de las relaciones es función?
6. Demostrar que si A y B son conjuntos entonces
a) A ⊂ B ↔ Bc ⊂ Ac
b) A ∩B = ∅ ↔ B ∩ Ac = B
7. Sean A, B y C ⊂ U conjuntos. Demuestre las afirmaciones verdaderas y de contraejemplos
para las falsas:
a) Si A ⊂ B y B 6⊂ C entonces A 6⊂ C
b) (A−B)c = Ac ∩B
c) (A−B)− C = A− (B ∪ C)
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d) (A−B) ∩ C = (A ∩ C)− (B ∩ C)
8. Sean A, B y C conjuntos. ¿Es verdad que
a) Si A ∪B = A ∪ C entonces B = C ?
b) Si A ∩B = A ∩ C entonces B = C ?
9. Determine todas las funciones de X = {a, b, c} en Y = {1, 2}.
10. Si A = {a + b, 8, 2a − 2b + 4} es un conjunto con un solo elemento y B = {x ∈ Z : x =
ak, k ∈ Z}, C = {x ∈ Z : x = bk, k ∈ Z}; halle (Bc ∪ Cc)c.
11. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 6}, C = {(x, y) ∈ A × B : y ≥ 2x}. Determine el dominio
y rango de C.
12. Sean a, b ∈ N. Si f = {(1, 8), (2,−3), (1, a2 + b2), (−1, a+ b), (a2 + b, a), (b− b2, b)} es una
función, halle a y b.
13. Sean A = {1, 3, 5}, B = {3, 4, 5, 9}, C = {(x, y) ∈ A×B : y = 3x}. Determine el dominio
y rango de C.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 3: Números Reales
Matemáticas I 2019-2
La importancia de los números reales se debe a su uso ubicuo en las ciencias. Junto con
la lógica y la teoŕıa de conjuntos, los números reales forman parte de los cimientos de las
matemáticas modernas. Es imposible dar una listadefinitiva de las razones por las cuales es
importante el estudio de los números reales, pero podemos señalar dos aspectos relevantes.
−1 0 1 2
Z
Q
R
Desde el punto de vista geométrico, los números reales forman
una recta “continua”. En términos teóricos esto se traduce en la
completitud de los números reales. No es dif́ıcil imaginar los números
enteros como entes aislados. De hecho los números racionales también
lo son en cierto sentido. La figura muestra la representación gráfica
muchas veces usada.
Desde el punto de vista algebraico, los números reales proveen de
soluciones a ciertas ecuaciones. Mostraremos que
√
2 es un número
real no-racional que soluciona la ecuación x2 = 2.
De la misma forma en que un conjunto puede ser definido por extensión o por compresión,
los números reales se pueden definir construyendo expĺıcitamente sus elementos o enunciando
las propiedades (axiomas) que satisfacen. Ya que la construcción de los números reales requiere
de un formalismo que va más allá de los objetivos de este curso, definiremos este conjunto
axiomaticamente. Denotamos por R el conjunto de números reales el cual pensamos como una
extensión de los racionales Q y por lo tanto N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. La suma de dos números reales
a, b ∈ R se denota por a+ b y el producto por a · b.
Axioma 8.9 (Algebraico).
∀a, b, c ∈ R, [a+ (b+ c) = (a+ b) + c ∧ a · (b · c) = (a · b) · c] (Clausura)
∀a, b ∈ R, [a+ b = b+ a ∧ a · b = b · a] (Conmutatividad)
∀a, b, c ∈ R, [a · (b+ c) = a · b+ a · c] (Distributividad)
∀a ∈ R, [a+ 0 = a ∧ a · 1 = a] (Elemento neutro)
∀a ∈ R, ∃b ∈ R, [a+ b = 0] (Inverso aditivo)
∀a 6= 0 ∈ R, ∃b ∈ R, [a · b = 1] (Inverso multiplicativo)
El axioma anterior no define completamente los números reales pero si nos permiten mostrar
que para solucionar ecuaciones los números racionales no son suficientes.
Teorema 8.10.
√
2 no es racional.
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Demostración. Si
√
2 fuese racional entonces podŕıamos escribir
√
2 =
m
n
donde m y n no
tienen factores comunes. Luego m =
√
2n ó m2 = 2n2. Esto nos dice que m2 es par y por lo
tanto m es par. Ahora, m = 2k y m2 = (2k)2 = 4k2 lo cual implica que 4k2 = 2n2 y entonces
n2 = 2k2. Hemos demostrado aśı que n2 es par, y por consiguiente n también lo es. Esta es una
contradicción porque asumimos que m y n no teńıan factor común. Por lo tanto la premisa es
falsa, es decir,
√
2 no es racional.
Teorema 8.11. Si p(x) = ax2 + bx + c donde a, b, c ∈ R y a 6= 0, entonces el polinomio tiene
ráıces reales si y sólo si b2 − 4ac ≥ 0. En este caso
x =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
y definimos ∆ = b2 − 4ac como el discriminante del polinomio.
Observación 8.12. Del teorema anterior vemos que si ∆ = 0 la solución es única.
Axioma 8.13 (de Orden). Existe un subconjunto P ⊂ R con las siguientes caracteŕısticas.
∀a, b ∈ P, [(a+ b ∈ P ) ∧ (a · b ∈ P )]
∀a, b ∈ R− {0}, [(a ∈ P ) Y (−a ∈ P )]
0 6∈ P
El axioma anterior nos permite definir la relación de orden de los números reales.
Definición 8.14.
Si a ∈ P decimos que a es positivo.
Escribimos a < b ó b > a cuando (b− a) ∈ P .
Si a < 0 decimos que a es negativo.
Decimos que a ≤ b ó b ≥ a cuando a < b o a = b.
Teorema 8.15. Si a, b, c, d ∈ R entonces
Exactamente sólo una de las siguientes
condiciones siempre es verdadera:
a < b, b < a, ó a = b.
a < b y b < c implican a < c.
a < b y c < d implica a+ c < b+ d.
a < b y 0 < c implica a · c < b · c.
Si a 6= 0 entonces a2 > 0.
1 > 0.
a < b y c < 0 implica b · c < a · c
Si a < b entonces −b < −a.
Si a · b > 0 entonces ambos son positivos
o ambos son negativos.
0 < a < b implica 0 <
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b
<
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Demostración. Cada uno de los enunciados se siguen de la definición y el axioma de orden de
los números reales.
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Definición 8.16. Un subconjunto no vaćıo A ⊂ R tiene un elemento máximo denotado por
m = máxA cuando
m ∈ A ∧ ∀x ∈ A, [x ≤ m]
Definición 8.17. Un subconjunto no vaćıo A ⊂ R es acotado superiormente si
∃M ∈ R, ∀x ∈ A, [x ≤M ]
A dicha constante M se le denomina una cota superior.
De la definición se sigue que si A tiene un elemento máximo, dicho elemento es único y el
conjunto A es acotado superiormente. El rećıproco no es necesariamente cierto. El conjunto
A = [0, 1] tiene un elemento máximo pero el conjunto B =]0, 1[ no lo tiene. En ambos casos el
número 1 es una cota superior. De hecho el 1 es la menor de todas las cotas superiores de B.
De esta manera llegamos a la siguiente definición.
Definición 8.18. El supremo de un conjunto A acotado superiormente es la menor de las
cotas superiores. Denotaremos el supremo por supA.
Análogamente se pueden definir los conceptos de cota inferior, mı́nimo e ı́nfimo.
Axioma 8.19 (de Completitud o del Supremo). Todo subconjunto no vaćıo de R y acotado
superiormente tiene supremo.
El conjunto A = {x ∈ Q : x2 < 2} es acotado superiormente. Al supremo de este conjunto
se le llama
√
2, el cual hemos demostrado que no es un número racional.
Los axiomas algebraicos, de orden, y de completitud definen completamente a los número
reales. De hecho se puede demostrar que cualquier conjunto con estas mismas propiedades debe
ser necesariamente el conjunto de los números reales.
En ocasiones es necesario extraer la parte entera de un número real. Esto lo hacemos me-
diante la siguiente definición.
En ocasiones es necesario extraer la parte entera de un número real. Esto lo hacemos me-
diante la siguiente definición.
Definición 8.20. El máximo entero de un número real x se define como JxK = n ∈ Z donde
n satisface n ≤ x < n+ 1. De esta manera JxK es el máximo enteromenor o igual a x.
Ejemplos 8.21. Algunos ejemplos son J
√
2K = 1, JeK = 2, JπK = 3. Además J−
√
2K = −2,
J−eK = −3, J−πK = −4. De hecho, x es un número entero si y sólo si JxK = x.
Ejercicio 8.22. Demuestre que JxK = x si y solo si x ∈ Z.
Ejercicio 8.23. Pruebe que Jx+mK = JxK +m para todo m ∈ Z y −J−xK es el menor entero
mayor o igual a x.
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Ejercicios Adicionales
1. Sean a, b, c, x ∈ R − {0}. Si x es el inverso multiplicativo de (a + c) 6= 0 y c el inverso
aditivo de (a+ b); calcule el valor de bx+ 1.
2. Demuestre que si c ≥ 0 y para todo � > 0 se verifica que c < �, entonces c = 0.
Solución. Supongamos por contradicción que c 6= 0, entonces c > 0. Tomando � = c
2
> 0
por hipótesis tenemos que c < � = c
2
. Cancelando c a ambos lados deducios que 1 < 1
2
lo
cual representa una contradicción. Por lo tanto c = 0.
3. Demuestre que
√
2 +
√
3 es un número irracional.
4. Si a, b, c, d ∈ R entonces demuestre cada una de las siguientes propiedades usando las
definiciones y propiedades básicas del conjunto P .
Exactamente sólo una de las siguientes
condiciones siempre es verdadera:
a < b, b < a, ó a = b.
a < b y b < c implican a < c.
a < b y c < d implica a+ c < b+ d.
a < b y 0 < c implica a · c < b · c.
Si a 6= 0 entonces a2 > 0.
1 > 0.
a < b y c < 0 implica b · c < a · c
Si a < b entonces −b < −a.
Si a · b > 0 entonces ambos son positi-
vos o ambos son negativos.
0 < a < b implica 0 <
1
b
<
1
a
5. Si p(x) = x2 + kx + 1/16, ¿para qué valores de k se cumple que p(x) = 0 tiene solución
única?, tiene dos soluciones reales?, no tiene solución?
6. Si m 6= 0 y a son constantes, ¿qué condición deben satisfacer para que la ecuación x2−a2 =
m(x− a) tenga una única solución?
7. Si m, b y r son constantes reales, ¿qué condición debe satisfacer estas constantes para que
la ecuación (1 +m2)x2 + (2mb)x+ b2 − r2 = 0 tenga solución única?
8. Demuestre que −3/2 es negativo usando las definiciones.
9. Determine si los siguientes subconjuntos de R tienen un máximo y calcule el supremo en
caso sea acotado superiormente.
{x ∈ R : x < 30}
R−Q
{x ∈ Q : 3x3 < 1}
{x ∈ R : −x ≥ 4}
{x ∈ R : x = −1/n, n ∈ N}
{x ∈ R : x = (−1)n/n, n ∈ N}
10. Muestre que el supremo de un conjunto acotado es único.
11. Si
√
JxK es un número natural, ¿qué restricción tiene x?
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 4: Intervalos y Valor Absoluto
Matemáticas I 2019-2
9. Intervalos
Los números reales usualmente se representan por la siguiente figura a la cual se le conoce
como la recta real.
R
-3 -2 -1 0 1 2 3
√
2 πe
De vital importancia son los siguientes subconjuntos de los números reales.
Definición 9.1. Un intervalo es un subconjunto de R tal que cualquier número entre dos
elementos del subconjunto también pertenece a dicho subconjunto. Es decir, I ⊂ R es un
intervalo si cumple
∀x, z ∈ I, ∀y ∈ R, [x < y < z −→ y ∈ I].
a b
a
b
Ejemplo 9.2. De la definición se sigue que los siguientes
subconjuntos son todos intervalos
[a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b}
]a,+∞[ = {x ∈ R : a < x}
]−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
donde a < b son número reales. La figura muestra su repre-
sentación gráfica.
Ejercicio 9.3. Los ejemplos dados no son la lista completa de todos los posibles tipos de
intervalos. Complete la lista y grafique. Demuestre que un subconjunto de R con un elemento
es un intervalo. Demuestre además que el conjunto vaćıo es un intervalo. En estos dos últimos
casos el intervalo se dice degenerado.
Ejercicio 9.4. En cada caso calcule A∪B, A∩B, A∆B, Ac, Bc expresando el resultado como
conjunto y graficándolo.
A =]− 1, 2[, B = [−3, 0[
A =]−∞, 2[, B = [π,+∞[
A = [−1, 2], B =]0, 1[
A = [−1, 2[, B = [5, 6[
A =]−∞, 1[, B = [−1,+∞[
A =]− 1, 2[, B =]0,+∞[
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Teorema 9.5. Sean r1 ≤ r2 las ráıces del polinomio p(x) = ax2 + bx+ c donde a > 0. Entonces
{x ∈ R : p(x) ≥ 0} =]−∞, r1] ∪ [r2,+∞[
{x ∈ R : p(x) ≤ 0} = [r1, r2]
Teorema 9.6. Si p(x) = ax2 + bx+ c donde a > 0 y ∆ < 0, entonces {x ∈ R : p(x) ≥ 0} = R.
Ejercicio 9.7. Exprese los siguientes conjuntos como unión de intervalos.
{x ∈ R : x2 + 2x ≤ 3}
{x ∈ R : x2 − 2x+ 1 > 0}
{x ∈ R : 4x2− 5x+ 7 ≤ 0}
{x ∈ R : x4 − x2 ≥ 0}
10. Valor Absoluto
Definición 10.1. El valor absoluto de un número real a ∈ R se define como
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Teorema 10.2. Si a, b ∈ R entonces
|a| =
√
a2
|a| = | − a|
|a| = |b| ↔ a = b ∨ a = −b
|a| = b↔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)
|a · b| = |a| · |b|
|a|2 = a2 = |a2|∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , para b 6= 0
|an| = |a|n, para a 6= 0 y n ∈ Z
Demostración. Para la primera propiedad, como a2 ≥ 0 entonces es posible calcular su ráız
cuadrada. Cuando a ≥ 0 se tiene que
√
a2 = a. Pero cuando a < 0 obtenemos
√
a2 = −a
porque estamos tomando la ráız positiva. Las otras quedan como ejercicio.
Ejemplos 10.3.
Si 0 < a < b entonces |5a − 5b| = 5b − 5a. Esto se debe a que b − a > 0 implica que
5b− 5a > 0.
Si |x− 2| = 4 entonces x− 2 = 4 ó x− 2 = −4 de donde el conjunto de soluciones de esta
ecuación es {−2, 6}.
Para que |x + 2| = −x se necesita que −x ≥ 0 y x + 2 = −x ó x + 2 = x. Por lo tanto
x ≤ 0 y x = −1 ó 2 = 0. Esto nos dice que la única solución es -1.
Queremos resolver la ecuación
∣∣∣∣4x− 2x− 1
∣∣∣∣ = 1 donde x 6= 1. De las propiedades tenemos que
|4x− 2| = |x− 1| y entonces 4x− 2 = x− 1 ó 4x− 2 = −x+ 1. Por lo tanto el conjunto
de soluciones de esta ecuación es {1/3, 3/5}.
Proposición 10.4. Si a > 0 entonces
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|x| < a ↔ −a < x < a |x| > a ↔ x > a ∨ x < −a
Demostración. La primera desigualdad se sigue de la definición notando que |x| < a si y sólo si
x < a cuando x > 0 y −x < a cuando x < 0. La segunda propiedad queda como ejercicio.
Ejercicio 10.5. En cada caso describa el conjunto de soluciones a la ecuación sin usar valor
absoluto y graf́ıquelo.
|x| < 1
|x+ 2| < 2
|x+ 6| ≥ 1
|2x− 1| ≥ 3
5 ≤ |x− 2| < 7
|9x+ 3| < −3
Teorema 10.6 (Desigualdad Triangular). Dados a, b ∈ R se tiene que
|a+ b| ≤ |a|+ |b|
Demostración. De las propiedades del valor absoluto obtenemos
−|a| ≤ a ≤ |a| ∧ −|b| ≤ b ≤ |b|
y por lo tanto
−(|a|+ |b|) ≤ a+ b ≤ |a|+ |b|.
Otra vez, de las propiedades del valor absoluto se sigue que |a+ b| ≤ |a|+ |b|.
a b
Desde el punto de vista geométrico ahora podemos pensar en
la recta real como un sistema de coordenadas de una dimensión.
A cada punto le corresponde un número real y esta correspon-
dencia nos permite medir distancias.
Definición 10.7. La distancia entre dos puntos a, b ∈ R en la recta real se define como
d(a, b) = |b− a|
La distancia satisface las siguientes propiedades.
Teorema 10.8. Si a, b, c ∈ R son puntos en la recta real entonces
d(a, b) ≥ 0
d(a, b) = 0↔ a = b
d(a, b) = d(b, a)
d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c)
Ejercicio 10.9. Demostrar cada una de estas propiedades (la última se sigue de la desigualdad
triangular).
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Ejercicios Adicionales
1. Dados los intervalos A =] − 1; 4], B = [−8; 14] y C =] − ∞; 8[, calcular los siguientes
conjuntos
a) (A ∪B) ∩ C
b) (A ∩ C) ∪B
c) (B − A) ∩ C
2. Dados los intervalos A = [1, a] y B =]b, 2[ con a y b entero, si cada intervalo posee
solamente 4 números enteros ¿Cuáles son los valores de a y b?.
3. Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a) El número 1− x se encuentra en el intervalo [2, 4] siempre que x ∈ [−3,−1].
b) Si x ∈]− 5;−2[ entonces 3− x se encuentra en el intervalo ]5; 8[.
4. Resuelva cada una de las ecuaciones:
a) |4x− 1| = 5
b) |3x− 1|+ 4 = 0
c) |4− x| = 3|2x− 2|
d)
|2x+ 3|
6− x
= x
5. Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a) |2x− 1| > 3
b) |x− 3| > −1
c) 3|x− 3| ≤ |x+ 7|
6. Dados a, b ∈ R. Verifique que
a) máx{a, b} = a+ b+ |a− b|
2
b) mı́n{a, b} = a+ b− |a− b|
2
7. Demuestre que para todo a, b ∈ R se tiene la inecuación
||a| − |b|| ≤ |a− b| ≤ |a|+ |b|.
8. Exprese el conjunto solución como unión de intervalos.
x2 + 1 ≤ 0
1
|x|
≥ |x|
∣∣∣∣3x+ 5x
∣∣∣∣ ≥ 2∣∣∣∣x+ 1x− 2
∣∣∣∣ > 2
∣∣∣∣3x− 1x+ 7
∣∣∣∣ < 3
|2x+ 5| ≥ |x+ 4|
4
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