Regresion polinomial - Apuntes de Ingeniería Civil

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AJUSTE DE CURVAS 
E INTERPOLACION
AJUSTE DE CURVAS
El análisis de la tendencia representa en el proceso
de utilizar el comportamiento de los datos para
realizar predicciones. En casos donde los datos
son medidas de alta precisión se usan polinomios
de interpolación. Los datos imprecisos se analizan
mediante una regresión por mínimos cuadrados.
El ajuste de curvas es importante para implementar
otros métodos numéricos, tales como la integración
y la solución aproximada de ecuaciones
diferenciales.
Las técnicas de ajuste de curvas son útiles para
obtener funciones simples con la finalidad de
aproximar funciones complicadas.
REGRESION POLINOMIAL
Debido a que los polinomios pueden
manejarse fácilmente, es común ajustar
tales funciones a datos cuya gráfica es no
lineal. La ventaja de este método radica en
que las ecuaciones normales son lineales.
En este esquema 𝑛 representa el grado del
polinomio y 𝑁 representa el número de
puntos.
Sea la relación funcional.𝑦𝑖 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎2𝑥𝑖2 + …+𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛 + 𝜀
Donde la suma de los cuadrados de los errores o
residuos es:𝑆 =෍𝑖=1𝑁 (𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 −𝑎2𝑥𝑖2 − …− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)2
Derivando con respecto a cada uno de los
coeficientes desconocidos del polinomio e
igualando a cero𝜕𝑠𝜕𝑎0 = 0 ; 𝜕𝑠𝜕𝑎1 = 0 ; … ; 𝜕𝑠𝜕𝑎𝑛 = 0
Expresando las ecuaciones en su forma matricial:
𝑁 ෍𝑥𝑖 ෍𝑥𝑖2 ෍𝑥𝑖3 … ෍𝑥𝑖𝑛
෍𝑥𝑖 ෍𝑥𝑖2 ෍𝑥𝑖3 ෍𝑥𝑖4 … ෍𝑥𝑖𝑛+1
෍𝑥𝑖2 ෍𝑥𝑖3: :෍𝑥𝑖𝑛 ෍𝑥𝑖𝑛+1
෍𝑥𝑖4 ෍𝑥𝑖5: :෍𝑥𝑖𝑛+2 ෍𝑥𝑖𝑛+3
… ෍𝑥𝑖𝑛+2: :… ෍𝑥𝑖2𝑛
𝑎0
𝑎1
𝑎2
:𝑎𝑛
=
෍𝑦𝑖
෍𝑥𝑖𝑦𝑖
෍𝑥𝑖2𝑦𝑖:෍𝑥𝑖𝑛𝑦𝑖
Al resolver el sistema se obtendrá los valores de 
los coeficientes 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 , ..., 𝑎𝑛
𝑥𝑖 0,05 0,11 0,15 0,31 0,46 0,52 0,70 0,74 0,82 0,98 1,17𝑦𝑖 0,956 0,890 0,832 0,717 0,571 0,539 0,378 0,370 0,306 0,242 0,104
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: En el siguiente conjunto de datos observados,
encontrar los valores de los parámetros 𝑎0, 𝑎1 y 𝑎2, si los
datos se ajustan a un polinomio de segundo grado .
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
.σ 𝑥𝑖 = 6,01
.σ 𝑥𝑖2 = 4.6545
.σ 𝑥𝑖3 = 4.1150
. σ𝑥𝑖4 = 3.9161
N=11
.σ 𝑦𝑖 = 5,905
.σ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 2,1839
.σ 𝑥𝑖2𝑦𝑖 = 1,3357
11𝑎0 + 6.01𝑎1+ 4.6545𝑎2 = 5.9056.01𝑎0 + 4,6545𝑎1 + 4.1150𝑎2 = 2.18394.6545𝑎0+ 4.1150𝑎1 + 3.9161𝑎2 = 1.3357
Construyendo las ecuaciones normales:
Resolviendo el sistema:
𝑎0 = 0.998 ; 𝑎1 = −1.018 ; 𝑎2 = 0.225
Luego la ecuación polinómica por mínimos cuadrados es:
𝑦(𝑥) = 0.998− 1.018𝑥 + 0.225𝑥2