inbound1277879117677394990 - Carlos Alberto Hernandez Noriega

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CH-FyA-0497 
Guía 81: Proposiciones en estadística 
 
2 
 
 
Guía 
81 
Meta 27 
 
GRADO 8 
GUÍA DEL ESTUDIANTE 
 
PROPORCIONES EN 
ESTADÍSTICA Y NUEVAS 
SITUACIONES DE CONTEO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas 
Fe y Alegría Colombia 
 
Fe y Alegría Colombia 
 Víctor Murillo 
 Director Nacional 
 
Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos 
 Jaime Benjumea - Marcela Vega 
 
Autores de la guía 81 
Francy Paola González Castelblanco 
Andrés Forero Cuervo 
 
Coordinación pedagógica 
Francy Paola González Castelblanco 
Andrés Forero Cuervo 
GRUPO LEMA www.grupolema.org 
 
Revisores 
Jaime Benjumea 
Francy Paola González Castelblanco
 
http://www.grupolema.org/
 
4 
 
Guía 
81 
GRADO 8 
PROPORCIONES EN ESTADÍSTICA Y 
NUEVAS SITUACIONES DE CONTEO 
 
GRADO 8 - META 27 - PENSAMIENTO ALEATORIO 
Guía 79 
(Duración 13 h) 
 
• Frecuencias simples absolutas, 
simples relativas, acumuladas 
absolutas y acumuladas relativas 
• Frecuencias en histogramas y otras 
representaciones 
 
• Máxima “frecuencia” en un conjunto 
de datos agrupados 
• Aproximación del promedio y la 
mediana en datos agrupados 
• Analizar si el promedio o la mediana 
son buenas medidas de centro de un 
conjunto de datos dados 
Guía 80 
(Duración 13 h) 
 
• Conteo con modelos de área 
• Relaciones entre modelos de área, 
árboles y tablas 
 
• Unión de 2 o más eventos 
• Eventos mutuamente excluyentes 
• Probabilidad de la unión de 
eventos (disjuntos o no) 
• Complemento de un evento 
• Probabilidad del complemento de 
un evento 
Guía 81 
(Duración 13 h) 
 
ACTIVIDAD 1 
• Proporciones en una población 
• Inferir proporciones de una 
población con respecto a una 
propiedad, a partir de una muestra 
ACTIVIDAD 2 
• Profundización en técnicas de 
conteo 
• Suma de los primeros n enteros 
positivos 
• Introducción a combinaciones 
(donde el orden no importa) 
 
META DE APRENDIZAJE 27 
A partir de información agrupada de tiempos de carreras, ahorros anuales, precios de venta y medidas de 
plantas, entre otros datos de mi interés, los reagrupo (frecuencia: simple y acumulada; absoluta y relativa) e 
identifico medidas aproximadas de tendencia (promedio y mediana); uso modelos de áreas para contar, los 
relaciono con árboles de conteo y los uso para inferir proporciones en poblaciones; hallo la probabilidad de 
eventos que surgen a partir de otros (eventos mutuamente excluyentes, ley de la suma), y relaciono las 
probabilidades de eventos complementarios (ley del complemento), aplicándolo a situaciones de votación en 
elecciones. Así, aprendo a presentar lo que sé de diversas formas y a combinar información para hacer 
inferencias. 
 
PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 81: 
● ¿Qué características de una muestra representativa son también aplicables a la población total? ¿Y cuáles no? 
(Responde con una variable estadística en mente) 
● ¿Qué habilidades son importantes a la hora de resolver problemas de matemáticas si no sé por dónde comenzar? 
● ¿Cómo puedo contar combinaciones de objetos si el orden en que aparecen no nos importa? 
 
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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 81 
 
● Razono para hallar una proporción exacta en una muestra. 
● Estimo una proporción en una población a partir de una muestra y justifico mi estimación. 
● Represento una proporción gráficamente y relaciono mi gráfica con mis cálculos. 
● Hago dibujos y diagramas para codificar una situación de conteo. 
● Reconozco simetrías para calcular la suma de los primeros N números enteros positivos. 
● Resuelvo problemas de combinaciones, donde el orden no importa, comparando con el caso donde el orden 
sí importa. 
 
 
 
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos 
La innovación educativa para las instituciones educativas de 
Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno 
GUÍA 81 
 
GRADO 8 
ACTIVIDAD 
1 
 
6 
 
ACTIVIDAD 1: HALLAR PROPORCIONES EN UNA POBLACIÓN 
 
Aprendamos a inferir información de una muestra en un estudio estadístico para sacar 
conclusiones aproximadas sobre la proporción de cierto grupo en una población. 
 
A) Activando saberes previos: proporciones 
 
RECUERDA QUE... 
 
● Dos razones a:b y c:d 
son EQUIVALENTES si 
la fracción a/b es igual a 
la fracción c/d. 
 
○ Ej: 2:4 y 4:8 son 
equivalentes. 
 
○ Si multiplicamos 
ambos números de la 
razón a:b por el 
mismo valor c ≠ 0, 
obtenemos la razón 
ca: cb, que es una 
razón equivalente a 
a:b. Lo mismo si 
dividimos entre c. 
● Si cierta cantidad b tiene a de cierta característica (con a ≤ b), la 
PROPORCIÓN de esa característica en el total es igual a 
p = a/b, que es un número de 0 a 1. La proporción nos da 
una medida relativa de cuánto de algo hay en un total, 
sin decirnos la cantidad absoluta. 
○ En este caso, las razones a:b y p:1 son proporcionales. 
○ p se puede ver como un porcentaje o fracción. 
 
● Ejemplo: en una mezcla, de cada 120 gramos de líquido, 30 
gramos son de agua A. Así, hay una proporción de p = 0,25 de A 
en T, que podemos representar con tablas, gráficas y ecuaciones: 
 
Tabla: 
A T 
30 120 
3 12 
0,25 1 
 
Gráfica: 
 
 
 
Ecuación: 
 
A = 0,75 • T 
 
 
PRACTICA 
 
i) Halla las proporciones en las siguientes 
situaciones: 
 
a) 4 de cada 8 animales son gatos. 
 
b) 12 de cada 13 máquinas están funcionando 
normalmente. 
 
c) 10 de los 10 vasos están llenos. 
ii) Para cada proporción, elabora un dibujo (rectangular, 
circular u otro) que represente la proporción: 
 
a) 0,25 
b) 0,9 
c) 1/6 
d) 0,4 
 
 
 
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GUÍA 81 
 
GRADO 8 
ACTIVIDAD 
1 
 
7 
 
 
iii) Si la proporción de elementos de un conjunto X con la 
propiedad Y es 0,2 y la proporción de esos Y que tienen 
la propiedad Z es de 2/3, halla la proporción de 
elementos del conjunto X que tienen ambas propiedades 
Y y Z. 
 
(Verifica las respuestas con tu profesor) 
B) Conceptos: escalando muestras a poblaciones 
 
Exploración: ¿Cuántas computadoras se necesitan? 
 
Antes de comenzar discute en clase: ¿Cómo usas la tecnología para aprender cosas nuevas? 
¿Tienes acceso fácil a ella con celular o computador? ¿Qué programas utilizas? 
 
Una organización sin ánimo de lucro te contrató para hacer un estudio de necesidades de una comunidad de 
varios colegios. En total hay 2 500 estudiantes, de grados 6 a 11. La idea es que la organización compre 
algunos computadores y se los preste a los estudiantes: 
 
 
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GUÍA 81 
 
GRADO 8 
ACTIVIDAD 
1 
 
8 
● No se quieren comprar más equipos de los necesarios, es decir, se quiere optimizar la decisión. 
● En particular, no se quiere comprar computadores para estudiantes que ya los tienen. 
● Se quiere dar prioridad a los estudiantes que más los aprovecharían. 
 
Tomas una muestra representativa de 40 estudiantes de la población y a cada uno le haces varias preguntas: 
¿Tiene un computador en su hogar? Si no, ¿qué tanto, de 1 a 10, lo aprovecharía para sus estudios si le 
prestaran uno? 
 
Antes de continuar, responde: ¿cómo se te ocurre tomar una muestra que sea representativa? 
 
Estos fueron los 40 resultados. Por ejemplo, “YA” indica que ya se cuenta con computador. “NO; 8” indica 
que no se cuenta con computador, y se aprovecharía 8 de 10 (es decir, bastante). 
 
YA NO (5) NO (3) NO (3) NO (2) YA NO (4) YA NO (5) YA 
NO (5) YA YA NO (4) NO (3) NO (4) NO (5) NO (4) YA YA 
NO (4) NO (3) NO (5) YA YA NO (5) YA YAYA NO (5) 
NO (4) YA NO (5) NO (5) NO (4) NO (2) NO (5) YA NO (4) YA 
 
Queremos ver qué proporción de la muestra respondió “NO” a la pregunta. Contando 
hay 24 (verifícalo). Usando la razón parte todo 24:40 podemos calcular la 
proporción de respuestas “NO” en la muestra: como p = 24/40 = 12/20 = 6/10 = 0.6, 
entonces 0.6 de toda la muestra no tiene computador. 
 
Como la muestra es representativa (con respecto a tener o no computador), 
esperamos que la proporción en la población sea aproximadamente la misma (aunque 
no es exactamente la misma necesariamente). Entonces nos preguntamos: ¿cuánto es 0.6 de 2 500? 
Respuesta: 0,6 • 2 500 = 6 • 250 = 1 500. 
 
Otra estrategia: si y es el número de estudiantes de la 
población que no tienen computador, entonces las razones 
y : 2 500 y 24 : 40 son equivalentes (aproximadamente). 
¿Cómo usarías esta información para hallar X? Resuélvelo 
usando, por ejemplo, esquemas con barras. 
 
Otra estrategia: Esperamos que todas las muestras representativas, así como 
la población, tengan aproximadamente la misma proporción entre y (número de 
respuestas “No”) y x (tamaño de la muestra, o de la población). Así, esta es 
una relación aproximadamente lineal, como ves en la imagen. 
 
 
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GUÍA 81 
 
GRADO 8 
ACTIVIDAD 
1 
 
9 
A partir de la gráfica vemos que la pendiente es 0.6, luego y = 0.6 x es su ecuación. Entonces, 
reemplazando para la población (donde x = 2 500), nos da que y = 0.6 • 2 500 = 1 500, así que esperamos 
que aproximadamente haya 1,500 estudiantes que necesitan computador (de nuevo, es un aproximado). 
 
Entonces estimamos que 1 500 estudiantes no tienen acceso a computador. 
 
Responde: 
 
a) ¿Cuál sería una muestra sesgada en este caso? En tu ejemplo de muestra, esperarías que su valor de p 
fuera mayor o menor que 0,6? Explica. 
 
b) Un amigo muestreó a 80 estudiantes (de la misma población), y no sabe si esta es sesgada. Le 
preguntas cuántas respuestas de “NO” tiene, y te dice que 30. ¿Qué opinas, a partir de tus datos? 
 
c) Supongamos que la empresa ve tu estudio, pero te dice que sólo tiene 800 computadores para prestar. 
A partir de las respuestas en tu muestra, elabora un plan de acción para prestar estos computadores. 
 
 
Mini-explicación: Proporción estimada de cierta característica en una población 
PROPORCIÓN 
ESTIMADA 
Supongamos que tenemos una población de tamaño N, y queremos estimar el número Y 
de objetos de la población con cierta propiedad. Para esto podemos hacer lo siguiente: 
● Tomar una muestra representativa de tamaño n (así que n < N); 
● Calcular la proporción exacta p de elementos de la muestra que cumplen con la 
propiedad. p es un valor en [0, 1]. 
● Multiplicar a p por N, para obtener el estimado buscado: Y = p • n. 
 
Es importante saber que el número Y que hallemos es solo una aproximación del número 
real de objetos de la población con la propiedad. 
 
Si la muestra no es representativa con respecto a la propiedad que queremos estudiar, 
entonces nuestra aproximación será poco adecuada. 
 
 
 
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GRADO 8 
ACTIVIDAD 
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Paso 1: Ejemplo: Proporción de calentadores defectuosos 
 
 
La marca Calurosa fabrica calentadores de agua para toda Latinoamérica. 
Últimamente la firma ha tenido mala reputación en foros, blogs, varias 
páginas web y otros medios debido a supuestas fallas en el sistema, 
principalmente en Ecuador, Chile y Colombia. Eres un funcionario encargado 
del control de calidad y decides investigar. 
 
Los controles de calidad de la empresa aseguran que menos del 0,17% de los 
calentadores presentan fallas al operar por primera vez. 
 
a) Según lo anterior: si se fabrican 100 000 calentadores, ¿cuántos 
esperarías, máximo, que tuvieran fallas al inicio del ciclo de funcionamiento? 
 
R: Recordemos que 0,17% significa 0,17 de cada 100. Utilizando 
proporcionalidad, esto es lo mismo que 17 de cada 10 000, o 170 de cada 100 
000. Entonces esperas que fallen máximo 170 calentadores. 
 
b) Tomas una muestra representativa (enfocada en los 3 países que parecen 
tener el problema) de 2 000 calentadores, seleccionados al azar y variados 
almacenes. Luego de inspeccionarlos descubres que 4 presentan fallas. ¿Qué 
puedes concluir? 
 
R: Calculamos la proporción de fallas: 
4
2 000
=
2
1 000
=
0,2
100
= 0,2%. Como 
0,2 > 0,17, hay un problema con los calentadores, según los estándares de 
calidad. Sin embargo, 0,2 no es mucho mayor que 0,17, así que el problema 
parece no ser tan terrible como lo anunciado. 
 
Sin embargo, se debe notificar inmediatamente a la empresa de que se está violando la tolerancia en la 
calidad y se deben tomar medidas. 
 
 
 
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GRADO 8 
ACTIVIDAD 
1 
 
11 
Paso 2: Completa este ejemplo: Una de estas muestras no es como las otras... 
 
Quieres estimar cuántos pueblos en Brasil tienen cierta característica C. Investigando encuentras que 4 
organizaciones hicieron cada una un estudio estadístico. Completa la siguiente tabla: 
 
Estudio 
# 
Tamaño 
N 
# de pueblos 
que satisfacen C 
Proporción 
1 120 66 0,55 
2 170 62 ? 
3 150 ? 0,53 
4 ? 54 0,59 
 
A partir de la tabla, responde: 
 
● ¿Parecen ser consistentes los 4 estudios entre sí? Explica. 
 
 
 
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GRADO 8 
ACTIVIDAD 
1 
 
12 
● ¿Crees que las 4 muestras son representativas? Explica tu razonamiento. 
 
● ¿Qué pasos seguirías para dar tu 
estimado sobre la cantidad de 
pueblos en Brasil con la 
característica C? ¿Necesitas más 
información? 
 
● En el plano que ves, ubica 4 puntos 
que representen los distintos 
estudios. ¿Qué observas? 
 
● A partir de tus conclusiones, 
especula qué característica C 
podría ser la que se está 
estudiando. 
 
 
 
 
Paso 3: Tu turno: Estimando un rango de proporción 
 
Quieres estimar qué proporción de las 900 000 personas de una ciudad rusa X nacieron en rusia. 
● En una encuesta a 2 400 personas de la ciudad X, 864 personas dijeron nacer en la ciudad X. 
● En otra encuesta a 1 600 personas de la ciudad X, 977 personas dijeron nacer fuera de Rusia. 
 
¿Cómo puedes estimar, a partir de los datos, el rango aproximado de la proporción de rusos que viven en la 
ciudad X? Sustenta tu respuesta con tablas o diagramas. 
 
 
PROYECTO 
GRUPAL 
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 
 
Formen grupos de 4 estudiantes. Vamos a trabajar en un proyecto para aplicar lo que aprendimos. 
Instrucciones: 
 
1. Elijan una población de interés y una propiedad de algunos de los objetos de esa población. Antes 
de continuar, hagan una conjetura sobre el valor de la proporción de objetos con la característica. 
 
Aquí hay algunas ideas que puedes usar de inspiración: 
 
 
 
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GRADO 8 
ACTIVIDAD 
1 
 
13 
 
 
Padres y madres de 
nuestro colegio o 
barrio. 
 
Propiedad: el padre o 
madre practica 
deportes. 
 
 
Páginas de un libro de 
más de 1000 páginas 
 
Propiedad: la página 
tiene al menos una 
ilustración. 
 
 
Piedras en una playa o 
en un parque 
 
Propiedad:la piedra es 
de color negro. 
 
 
Canciones de cierto 
género musical. 
 
Propiedad: la canción le 
gusta a todos los 
miembros de nuestro 
grupo. 
 
 
Bebidas en distintas 
tiendas. 
 
Propiedad: la bebida 
tiene 0 g. de azúcar. 
 
 
Mascotas de mi barrio. 
 
Propiedad: la mascota 
es un perro. 
 
 
Cajas en tiendas o 
fábricas. 
 
Propiedad: la caja está 
en perfecto estado. 
 
 
Árboles en un bosque, 
parque o región. 
 
Propiedad: el árbol 
mide más de 3 m. 
 
2. Recojan una muestra representativa de alrededor de 50 − 100 objetos, anotando 
para cada uno, si tiene o no la característica elegida. 
 
3. Hagan un diagrama circular para representar la proporción de la muestra y la proporción estimada 
de la población. 
 
4. ¿Qué tanto atinaron en su predicción inicial? ¿Qué limitaciones podría tener el estudio? Expliquen. 
 
 
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GRADO 8 
ACTIVIDAD 
1 
 
14 
C) Resuelve y practica 
 
1) Un profesor hace una pregunta de química a 
todos los 24 estudiantes de una clase de grado 
10 y mide los tiempos de respuesta en minutos: 
 
2 6 7 7 4 9 
6 2 7 2 4 4 
1 4 3 3 4 2 
5 3 3 1 2 4 
 
a) ¿Qué proporción de estudiantes completaron 
la pregunta en exactamente 4 minutos? 
Represéntalo usando un diagrama circular. 
 
b) ¿Qué proporción de estudiantes completaron 
la pregunta en menos de 4 minutos? 
Represéntalo usando un diagrama de área. 
 
c) En el colegio hay 400 estudiantes de 
bachillerato. Un estudiante afirma que, a partir 
de los datos, unos 180 estudiantes responderán 
la pregunta en menos de 4 minutos. ¿Estás de 
acuerdo con esta afirmación? Explica. 
 
2) De 600 almacenes de cadena en un país, se 
estima que 190 utilizan cámaras de seguridad. 
Si quieres corroborar que este valor es una 
buena estimación y tomas una muestra 
representativa de 160 almacenes, ¿qué 
esperarías medir? Explica. 
 
3) Vocales A, E: 
Toma la página de un libro con muchas palabras. 
Tu población son “las palabras de la página”. 
 
a) Selecciona una muestra representativa al 
azar. Para cada una, anota si la palabra tiene la 
letra A, y si la palabra tiene la letra E. 
b) Mide alguna otra proporción de tu interés. 
 
4) Este histograma muestra la distribución de 
tiempos de una muestra representativa de 200 
tiempos de carrera que hacen parte 1 300 tiempos 
de un atleta profesional. El primer intervalo es 
[20,4 , 20,7) con un poco más de 15 datos. 
 
 
 
a) Razona: ¿Cómo crees que se seleccionó la 
muestra? Da un ejemplo de una muestra NO 
representativa. 
 
b) Estima, de los 1 300 tiempos, cuántos son 
menores a 21,0 seg. 
 
c) Estima la proporción de los 1 300 tiempos que son 
mayores a 21,45 seg. 
 
 
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GRADO 8 
ACTIVIDAD 
1 
 
15 
 
A partir de tu muestra, estima la proporción de 
palabras de la página con la letra A, con la letra 
E, y con ambas letras (ej: “BANDEJA”). 
Representa tu hallazgo gráficamente. 
D) Resumen 
 
 
 
 
 
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GRADO 8 
ACTIVIDAD 
1 
 
16 
E) Valoración 
 
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno 
 
Tema ⚫⚪⚪ 
No entiendo 
los conceptos 
(TODAVÍA) 
⚫⚫⚪ 
Voy bien pero 
quiero más 
práctica 
⚫⚫⚫ 
Comprendí 
muy bien 
el tema 
Razono para 
hallar una 
proporción 
exacta en una 
muestra 
 
Estimo una 
proporción en una 
población a partir 
de una muestra y 
justifico mi 
estimación 
 
Represento una 
proporción 
gráficamente y 
relaciono mi 
gráfica con mis 
cálculos 
 
 
ii) Preguntas de comprensión 
 
1) Para hallar una proporción... 
[ ] debemos recoger datos cualitativos. 
[ ] podemos usar datos cualitativos, pero 
también cuantitativos. 
 
2) Si sé la proporción en la muestra K, 
puedo estimar la proporción en la 
población... 
[ ] postulando que es igual a K. 
[ ] multiplicando la proporción de la 
muestra por el tamaño de la población. 
 
3) Si sé la proporción en la muestra, K, 
puedo estimar la cantidad de miembros en 
la población con la propiedad... 
[ ] postulando que es igual a K. 
[ ] multiplicando K por el tamaño de la 
población. 
 
4) En una muestra representativa de 
personas, la razón de hombres a mujeres 
es 2:3. Una buena estimación de la 
proporción de hombres en la población es... 
[ ] 0,66 
[ ] 0,4. 
 
(Verifica las respuestas con tu profesor) 
iii) Resuelvo un problema 
 
Se tomaron 5 muestras de una población de bombillos 
para intentar estimar la proporción de bombillos que 
dura más de 10 años. Esta tabla resume las muestras: 
 
Muestra Tamaño # de bombillos que duran 11+ años 
A 100 49 
B 80 70 
Las muestras fueron tomadas al azar. 
 
a) Se conjetura que la proporción de bombillos 
de la población que duran más de 10 años es 
más de la mitad. ¿Parecen los datos sustentar 
esa conclusión? 
 
b) ¿Las muestras parecen darte un único buen 
estimado de la proporción real? Si no, ¿qué 
 
 
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GRADO 8 
ACTIVIDAD 
1 
 
17 
C 120 80 
D 120 110 
E 150 80 
 
podrías hacer? Explica. 
 
 
 
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GRADO 8 
ACTIVIDAD 
2 
 
 
18 
 
ACTIVIDAD 2: AMPLIEMOS NUESTRAS TÉCNICAS PARA CONTAR 
 
Aprendamos a usar fórmulas, técnicas y principios de conteo que ya sabemos a nuevas 
situaciones, y comparemos distintas formas de llegar a la misma respuesta. 
 
A) Activando saberes previos 
 
RECUERDA QUE... 
 
● Si tenemos X formas de hacer algo y Y 
formas de hacer otra cosa que no depende 
de la primera, entonces tenemos X • Y 
formas de hacer ambas cosas. (Principio de 
multiplicación) 
○ Los árboles nos ayudan a contar 
en este tipo de situaciones. 
 
● Si tenemos que elegir un objeto y podemos 
elegirlo de una colección de X objetos o de 
otra de Y objetos, y las colecciones no 
tienen elementos en común, entonces 
tenemos X+Y opciones en total. (Principio de 
la suma) 
● Ejemplo: si en una casa hay 5 perros y 4 
gatos, entonces hay 9 mascotas 
(suponiendo que todas las mascotas son 
perros o gatos). 
● Si tenemos que elegir un objeto y podemos 
elegirlo de una colección de X objetos o de otra 
de Y objetos, y las colecciones tienen K 
elementos en común, entonces tenemos 
X+Y − K opciones en total. 
(Principio de la unión). 
○ Por ejemplo, si Harold cantó 14 
canciones el sábado, 23 
canciones el domingo, pero 5 de 
las canciones del sábado 
también las cantó el domingo, 
entonces Harold cantó 14 + 23 − 
5 = 32 canciones distintas 
(aunque cantó 37 veces). 
 
● Si tenemos un total de T cosas y 
queremos contar cuántas tienen cierta 
propiedad, entonces podemos contar las 
que NO tienen la propiedad (digamos, X) 
y nuestra respuesta será T − X. 
(Principio del complemento). 
 
PRACTICA 
 
i) En un auditorio hay 200 personas, de las 
cuales 96 son mujeres. Si una persona se elige al 
azar, ¿cuál es la probabilidad de ser hombre? 
 
ii) Un restaurante tiene 3 cartas distintas. 
La primera tiene 7 opciones de almuerzo; la 
segunda 6 y la tercera 10. 
 
iii) Unos padres quieren ponerle un nombre a su hija. 
Tienen dos ideas:● Un único nombre, para el cual tienen 4 
opciones, 
● Un nombre compuesto por 2 nombres, para el 
cual tienen 5 opciones para el primer nombre 
y 3 opciones para el segundo nombre. 
¿Cuántas opciones hay en total? 
 
 
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GUÍA 81 
 
GRADO 8 
ACTIVIDAD 
2 
 
 
19 
Si la primera carta y la segunda carta tienen 2 
almuerzos en común, y ninguno de los de la 
tercera carta, ¿cuántos almuerzos totales 
distintos hay? 
 
iv) Si se lanzan 5 monedas, ¿cuál es la probabilidad 
de que todas caigan en lo mismo (todas C, o todas 
S)? ¿Y si se lanzan 10 monedas? 
 
 
 
(Verifica las respuestas con tu profesor) 
B) Conceptos 
 
Exploremos: Muchos cumpleaños 
 
Antes de comenzar comparte en clase: ¿cuándo es tu cumpleaños? ¿cómo te gusta celebrarlo? 
 
Carmen, Ricardo y Marina tienen maneras muy distintas de 
celebrar su cumpleaños: 
 
● A Carmen se le celebra de forma típica: cada año, se le ponen 
en su torta tantas velas como la edad que cumple. 
● Ricardo (bueno, sus padres) puso 30 velas para su cumpleaños 
#1, y cada año suma 1 vela más. 
● Marina puso 30 velas para su cumpleaños #1, 28 para el 
siguiente, 30 para el siguiente y así sucesivamente. 
 
Queremos saber cuántas velas ha usado cada personas a lo largo de los años. Supongamos que todos 
acaban de cumplir 10 años. 
 
El caso de Carmen: 
 
Representemos las velas con un gráfico en forma de escalera, en 
donde cada fila representa una celebración (1, 2, 3, etc): 
 
Como vemos, hay 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 velas. Podríamos 
hacer esta suma, pero hay otra manera: supongamos que “duplicamos” 
el dibujo, para formar un rectángulo. 
 
Queda un rectángulo de 10 × 11, que tiene 110 velas, luego la figura 
original (“escalera”), debe tener 55 (la mitad) de las velas. 
 
 
 
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Así, Carmen ha utilizado 55 velas. 
 
El caso de Ricardo: 
 
Ricardo usa 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 velas. 
 
Reconocemos que cada sumando tiene un 30. Así, Ricardo ha usado 
10 × 30 + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) velas. 
 
Mirando el caso de Carmen, este valor es 10 × 30 + 45 = 345 velas. 
 
Otra manera de calcular el caso de Ricardo es con una tabla: 
esta fila tiene como suma las velas usadas, que podemos llamar X: 
 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 
 
En esta tabla agregamos la misma fila, pero al revés: 
 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 
39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 
 
Ahora sumamos cada columna de la tabla anterior: 
 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 
39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 
69 69 69 69 69 69 69 69 69 69 
 
Como las dos primeras filas suman X cada una, entonces X + X = 10 veces 69, es decir X = 5 veces 69. 
Entonces, X = 5 • 69 = 345. 
 
El caso de Marina: Recordemos que Marina usa velas de forma alternada: 30, 28, 30, 28, etc. 
 
Una forma rápida de contar sus velas es usando el promedio. Si ella usara 29 el primer cumpleaños, 29 el 
segundo, y así sucesivamente (es decir, balanceando las cantidades), entonces sería más fácil contar: 
10 • 29 = 290 velas. 
 
Otra forma de contar es usar tablas, como hicimos con Ricardo. Sea X la suma que buscamos: 
 
30 28 30 28 30 28 30 28 30 28 
 
 
 
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30 28 30 28 30 28 30 28 30 28 
28 30 28 30 28 30 28 30 28 30 
 
30 28 30 28 30 28 30 28 30 28 
28 30 28 30 28 30 28 30 28 30 
58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 
 
Así, 2X = 10 • 58, luego X = 10 • 29 = 290. 
 
 
Responde: 
 
a) ¿Cuál de los tres casos te pareció más difícil? ¿Viste relaciones entre los casos? Explica. 
 
b) Utiliza un esquema de áreas similar al de Carmen, para visualizar el caso de Ricardo. 
 
c) Supongamos que los tres personajes acaban de cumplir 40 años… calcula, para cada uno, el número de 
velas, usando las mismas ideas de simetría y duplicación. 
 
d) ¿Cuánto es 1 + 3 + 5 + 7 + • • • + 19 + 21? (Descífralo usando una imagen). 
 
MINI-EXPLICACIÓN: Conteo en situaciones nuevas 
 
CONTEO EN 
SITUACIONES 
NUEVAS 
En el conteo (y en general en matemáticas), vamos a encontrarnos con muchas 
problemas o situaciones novedosas que no podemos resolver tan fácilmente. A 
continuación algunas recomendaciones generales: 
 
● Hacer dibujos para explorar el problema. Esto ayuda a entender el problema 
desde otro ángulo, ver simetrías o patrones, etc. 
○ Muchas veces el primer dibujo que haces no es el más poderoso, así 
que mantente abierto a modificarlo. 
● Partir lo que quieres contar en categorías: este es básicamente el principio de 
la suma. Si tus categorías son disjuntas, mucho mejor, pero si no, no te 
preocupes, puedes luego intentar contar cuántos objetos hay en común. 
● Pensar en relaciones con otros problemas que ya conoces. Hazte la pregunta: 
¿ya he resuelto algo similar pero en otros contextos? 
● Crear tu propio problema que sea un poco más sencillo. Esto te ayuda a 
entender mejor el problema, y por un momento lo estás haciendo más fácil. 
Para esto, puedes cambiar algunas partes del problema “a tu favor”. Eso sí, 
debes regresar en algún momento al problema inicial. 
● Mantenerte positivo: el hecho de que parezca que no avanzas o te bloqueas 
indica que tu cerebro está trabajando fuerte, buscando nuevos caminos. Eso 
 
 
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22 
sí, no dudes de buscar ayuda si realmente te sientes bloqueado, pero date un 
buen tiempo para ensayar opciones. 
 
Ejemplo: ¿Cuántos partidos? 
 
La directora de una liga de baloncesto quiere organizar un torneo con 12 
equipos en una ciudad neutral. A ella se le ocurren dos opciones: 
 
OPCIÓN 1: Un solo grupo donde juegan todos contra todos, y se declara el 
ganador (equipo con más victorias, y si hay empates, más puntos anotados). 
 
OPCIÓN 2: Se forman 2 grupos de 6 equipos cada uno. En cada grupo 
juegan todos contra todos, y finalmente se juega una final entre el primero 
de cada grupo. 
 
La directora quiere la opción con el menor número de partidos, ¿cuál elegir? 
 
Solución: Vamos a contar el número de partidos en cada opción. 
 
Opción 1: Supongamos que estos son los 12 equipos: E1, E2, …, E12. 
Para construir un partido hacemos un árbol. La primera rama abre en 12 (elegir un equipo) y la segunda 
rama en 11 (elegir el otro equipo). 
 
El problema con este conteo es que, si se piensa, estamos contando 2 veces cada partido. Por ejemplo, el 
partido E1 vs E4 es el mismo que E4 vs E1 (pues no importa el orden), y ambos son nodos finales del árbol. 
 
No hay problema! Lo único que debemos hacer entonces es dividir la cantidad de nodos entre 2: 
Número de partidos = (12 • 11)/2 = 6 • 11 = 66. 
 
 
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23 
 
Otra forma de visualizar el conteo es usando una tabla de 12 × 12. 
Cada casilla representa un potencial partido. La diagonal de la 
tabla no puede usarse, porque un equipo no puede jugar contra sí 
mismo. 
 
 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 
E1 x 
E2 
E3 
E4E5 
E6 
E7 
E8 
E9 x 
E10 
E11 
E12 
 
De forma similar a como en el árbol, estamos contando 2 
veces cada partido. Entonces: 
 
● La tabla tiene 12 × 12 = 144 casillas. 
● Eliminamos las de la diagonal (que son 12) y nos quedan 
132 casillas. 
● Dividimos entre 2, nos quedan 66 casillas (por 
ejemplo, todas las de arriba de la diagonal. 
¡Hemos llegado al mismo resultado! 
 
Como puedes ver a la derecha, los 66 partidos corresponden 
a aristas (líneas) en el grafo que tiene 12 nodos (puntos). 
 
Ahora conectemos con los cumpleaños: otra forma de contar 
las casillas de la tabla arriba de la diagonal es por cada fila: 
E1 juega 11 partidos; E2 también juega 11, pero como ya contamos el que jugará con E1, solo sumamos 10. 
E3 jugará 9 partidos nuevos (sin contar los que ya contamos contra E1 y E2), E4 jugará 8 partidos nuevos, 
y así sucesivamente, hasta llegar a E11 que jugará un partido nuevo (contra E12). 
 
 
 
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Así, hay 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 partidos. Como en el caso de los cumpleaños, podemos 
usar simetrías para hallar este valor: 
 
X = 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 
X = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 (cambiar el orden) 
2X = 12 + 12 + 12 … (11 veces) = 12 • 11 sumar 
Así que X = 6 • 11 = 66. Mismo resultado que antes. 
La gráfica a la derecha ilustra otra manera de llegar al 66. 
 
Opción 2: En esta opción hay 2 grupos de 6 equipos cada uno, que 
juegan todos contra todos en cada grupo. 
 
En cada grupo habrá 5+4+3+2+1 = (5•6)/2 = 15 partidos. (El razonamiento es igual al caso de la opción 1, 
pero con valores más pequeños). Así que contando la gran final, habrá solo 15 + 15 + 1 = 31 partidos, menos 
de la mitad de los del caso 1. 
 
Paso 2: Completa este ejemplo: Uno, dos, tres (sabores) 
 
Cuentas con 14 ingredientes para acompañar una ensalada: nueces, 
cebolla, champiñones, queso parmesano, queso feta, tomates, ajonjolí, 
algas, chile, fríjoles, pan en cuadritos, tofu, espagueti y uvas. 
 
Quieres pensar si ofrecer solo 1 opción, 2 opciones, 3 opciones o 4 
opciones de ingredientes a tus clientes, y quieres contar, para cada caso, 
cuántas combinaciones habría. 
 
Si se ofrece 1 sola opción, es claro que hay 14 posibilidades distintas, una 
por cada ingrediente. Además, si te llega un nuevo ingrediente, solo se 
genera 1 posibilidad nueva. 
 
a) Ahora supongamos que cada cliente debe elegir 2 ingredientes, de los 14 posibles, para su ensalada. 
¿Cuántas combinaciones posibles hay? Para ello, piensa en los ejemplos anteriores de esta actividad, y los 
recursos: árboles, tablas, escaleras, sumas duplicadas, etc. 
 
b) Primero, verifica que la respuesta en a) es 105. Ahora, si te llegara un nuevo ingrediente (pera), 
pasarías de 105 combinaciones a cuántas combinaciones? Explica tu razonamiento. 
 
 
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25 
 
c) Ahora supongamos que cada cliente 
debe elegir 3 ingredientes, de los 14 
posibles, para su ensalada. ¿Cuántas 
combinaciones posibles hay? Para ello, 
primero completa el siguiente esquema 
de conteo de ingredientes: 
 
El número de opciones que obtienes incluye repeticiones en combinaciones? Ayuda: por ejemplo, la 
combinación 1) cebolla, 2) algas, 3) tofu es igual que 1) algas, 2) cebolla, 3) tofu. En total, ¿cuántas hay? 
 
Usa esto para hallar el número real de combinaciones, que es mucho menor que el del esquema. 
 
d) Supongamos que te llegó un ingrediente nuevo (#15). En cuánto aumenta el número de “3-
combinaciones” de ingredientes con respecto a tu respuesta en c)? 
Paso 3: 1-2-4: Tu turno (individual, en parejas y en grupos de 4) 
 
Elije alguna de las situaciones trabajadas en la actividad o una similar. Plantea un nuevo problema 
que quisieras resolver contando, alterando la situación (por ejemplo, en vez de la suma 1 + … + 10, 
considerar la suma 100 + 101 + … + 139 + 140). 
 
 
Júntate con otro estudiante e intenten resolver juntos los problemas que se propusieron, 
intercambiando ideas y trabajando en equipo. 
 
 
Júntense con otra pareja y compartan sus situaciones. Verifiquen las soluciones y encuentren 
errores o conteos que estén incompletos. 
Finalmente, busquen a su profesor para dialogar y compartir sus técnicas de conteo, aclarando 
los conceptos. 
 
 
PROYECTO 
GRUPAL 
APLIQUEMOS LO APRENDIDO 
 
Formen grupos de 4 estudiantes. Vamos a trabajar en un proyecto para aplicar lo que aprendimos. 
Instrucciones: 
 
1. Elijan un deporte de equipo en el que quisieran organizar un campeonato con 18 equipos distintos. 
 
2. Entre todos, hagan una lluvia de ideas sobre cómo podrían organizar el torneo. Incluyan la opción 
“todos contra todos”, así como otras opciones. Pueden buscar en internet sobre distintos formatos 
 
 
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26 
de competencias, pero sean creativos e ideen novedosas formas. 
 
3. Para cada opción de formato del torneo, cuenten cuántos partidos hay. 
 
4. Ahora hagan lo mismo, pero suponiendo que hay 36 equipos distintos. Acá pueden escribir las 
respuestas sin justificación. 
 
5. Elaboren una cartelera o presentación de diapositivas que explique cómo llegaron a cada respuesta 
en 3. Incluyan tablas, gráficas y otros recursos visuales. Preséntenlo a otros compañeros. 
 
Reflexionen: ¿les sorprendieron las respuestas a las que llegaron? 
 
 
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27 
 
C) Resuelve y practica 
 
 
1) Calcula la suma de los primeros 10,000 números 
enteros positivos. 
 
2) En una fiesta hay 10 personas. Si todos se 
saludan con un apretón de manos, ¿cuántos 
apretones de manos hay? Si llegan 2 personas 
más, ¿en cuánto aumenta el conteo de apretones? 
 
3) El lunes (día 1) gastas $1 000, al día siguiente 
gastas $1 000 más que el día anterior, y así 
sucesivamente. Al cabo de 31 días, ¿cuál fue tu 
gasto diario en promedio? ¿Al cabo de N días? 
Explica y verifica tu respuesta. 
 
4) Considera este conjunto de números: 
 
345 854 834 786 457 473 
743 645 675 453 643 483 
348 867 548 765 437 754 
678 346 458 546 584 
745 687 475 576 435 734 
 347 456 364 856 438 
436 574 384 756 768 564 
876 845 374 463 543 
654 354 534 465 547 634 
 657 843 567 485 
 
a) ¿Se te ocurre una manera razonable de llenar 
las cinco casillas que faltan? Hazlo. 
 
b) Con los 60 números que tienes, piensa en 
formas de partir este conjunto en varios grupos 
iguales, según características comunes. Hay 
muchas opciones de hacer esto. 
 
5) 
a) Escribe los primeros 16 múltiplos positivos de 4. 
b) Divídelos en 4 grupos haciendo que cada grupo 
sume lo mismo. 
c) Utiliza esto para calcular la suma de los primeros 
20 múltiplos positivos de 4. 
 
6) Estás inventando un superhéroe y quieres que 
este tenga exactamente 8 de los siguientes 11 super 
poderes: 
 
● Visión nocturna 
● Viaje en el tiempo 
● Fuerza de 10 elefantes 
● Telepatía 
● .... 
 
a) Completa la lista anterior. 
 
b) ¿cuántos distintos superhéroes puedes hacer? 
 
 
7) Para un partido de Voleibolde playa, hay 7 
jugadores. Se quieren seleccionar a 4 de ellos, para 
hacer 2 parejas y jugar el partido. 
 
a) ¿Cuántos partidos se pueden hacer en total? 
 
Nota: el partido “Ana y Juan Vs. Pedro y Luisa” es 
igual al partido “Luisa y Pedro Vs. Ana y Juan”, pero 
distinto a “Pedro y Ana Vs. Juan y Luisa” 
 
Ayuda: puedes pensar primero en un árbol con 7 × 6 
× 5 × 4 objetos, y analizar las repeticiones. 
 
c) Fijemos un jugador, digamos A = “Andrés”, de 
esos 7. Si se elige uno de los partidos al azar, ¿cuál 
es la probabilidad de que Andrés juegue? 
 
 
 
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28 
c) Según la tabla, ¿60 es la respuesta a qué 
pregunta de conteo? 
 
d) Opcional: Usando b), ¿qué preguntas de conteo 
podrías responder, cuya respuesta sea el número 
de grupos que armaste? 
 
 
D) Resumen 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
E) Valoración 
 
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno 
 
Tema ⚫⚪⚪ 
No entiendo 
los conceptos 
(TODAVÍA) 
⚫⚫⚪ 
Voy bien pero 
quiero más 
práctica 
⚫⚫⚫ 
Comprendí 
muy bien 
el tema 
Hago dibujos y 
diagramas para 
codificar una 
situación de 
conteo 
 
Reconozco 
simetrías para 
calcular la suma 
de los primeros 
N números 
enteros positivos 
 
Resuelvo 
problemas de 
combinaciones, 
donde el orden no 
importa, 
comparando con 
el caso donde el 
orden sí importa 
 
 
 
ii) Preguntas de comprensión 
 
1) Si tenemos una colección de 4 objetos, 
¿de cuántas formas podemos elegir 2, sin 
que el orden importe? 
[ ] 6. 
[ ] 8. 
 
2) Si tenemos una colección de 5 objetos, 
¿de cuántas formas podemos elegir 2, si el 
orden importa? 
[ ] 10. 
[ ] 20. 
 
3) Si lanzamos un dado de 6 caras 4 veces 
y vamos anotando los resultados en orden, 
¿cuántos resultados posibles hay? 
[ ] 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4. 
[ ] 6 x 6 x 6 x 6. 
 
4) Si X = 2 + 4 + • • • + 10 + 32, entonces... 
[ ] 2X = 34 • 16. 
[ ] 2X = 32 • 16. 
 
(Verifica las respuestas con tu profesor) 
iii) Resuelvo un problema 
 
Tienes dos maletas iguales y seis libros distintos (a-f). 
 
a) Quieres poner 3 libros en cada maleta. ¿De cuántas formas distintas puedes hacer esto? 
Nota: el orden de los libros en la maleta NO nos importa. Por ejemplo, las siguientes son iguales: 
● Maleta #1: { a, b, d } y Maleta #2: { c, e, f }; 
● Maleta #1: { e, c, f } y Maleta #2: { a, d, b }. 
Pero ambos son distintos a: 
 
 
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30 
● Maleta #1: { a, b, c } ; Maleta #2: { e, d, f }. 
 
b) Si ahora quieres poner 4 libros en una maleta y 2 en la otra, ¿cuántas formas hay de hacerlo? 
c) Si ahora quieres poner 5 libros en una maleta y solo 1 en la otra, ¿cuántas formas hay de hacerlo?