Aritmética - El postulante (1)

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COLECCIÓN EL POSTULANTE
ARITMÉTICA
CO LECCIÓ N EL POSTULANTE
ARITMÉTICA
ARITMÉTICA - COLECCIÓN El POSTULANTE
Salvador Timoteo
© Salvador Timoteo
Diseño de portada: Óscar Farro 
Composición de interiores: Natalia Mogollón 
Responsable de edición: Alex Cubas
© Editorial San Marcos E. I. R. L., editor 
Jr. Dávalos Lissón 135, Lima 
Telefax: 331-1522 
RUC 20260100808
E-mail: informes@editorialsanmarcos.com
Primera edición: 2007 
Segunda edición: 2013 
Tiraje: 1000 ejemplares
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú 
Registro N.° 2012-11992 
ISBN 978-612-302-918-0
Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, 
sin previa autorización escrita del autor y del editor.
Impreso en el Perú / Printed in Perú
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ÍNDICE
Razones - Proporciones - P rom ed ios............................................................................................................. 9
Magnitudes proporcionales............................................................................................................................... 19
Reparto p roporc iona l.......................................................................................................................................... 23
Regia de tre s ......................................................................................................................................................... 27
Porcentajes - Mezclas ....................................................................................................................................... 31
Interés - D escuento............................................................................................................................................. 40
Numeración - C on teo .......................................................................................................................................... 48
Cuatro operaciones............................................................................................................................................. 58
Divisibilidad............................................................................................................................................................. 69
Números prim os.................................................. 79
Máximo común divisor - Mínimo común múltiplo.......................................................................................... 87
Potenciación y rad icac ión .................................................................................................................................. 94
Teoría de conjuntos ................................................ 102
Números rac iona les............................................................................................................................................ 114
PRESENTACIÓN
Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando 
en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, 
institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional.
La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son 
desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado 
de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para 
enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar 
y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria 
exitosa.
Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al s fa ffde docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe­
dro de Castro, Jorge Solari y Nathali Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias 
de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de 
los contenidos.
-E L E D ITO R -
RAZONES - PROPORCIONES - PROMEDIOS
RAZON
Es la comparación que se establece entre dos can­
tidades de una magnitud mediante las operaciones 
de sustracción o división, lo cual nos induce a se­
ñalar que se tiene dos clases de razón.
Razón aritmética. Es la que se obtiene mediante 
la sustracción y consiste en determinar en cuánto 
excede una de las cantidades a la otra: a - b = r
Ejemplo:
Los automóviles A y B se desplazan con velocida­
des de 28 m/s y 23 m/s respectivamente, compare­
mos sus velocidades:
razón aritmética
28 m/s -> 23 m/s = 5 m/s
antecedente consecuente
Interpretación: la velocidad del automóvil A excede 
en 5 m/s a la velocidad del automóvil B.
Razón geométrica. Es la que se obtiene mediante
ia división y consiste en determinar cuántas veces
cada una de las cantidades contiene la unidad de
referencia: — = k 
b
Ejemplo:
Los edificios A y B tienen una altura de 60 m y 36 m, 
respectivamente, comparemos sus alturas (en ese 
orden):
razón geométrica
antecedente ------► 60 m _ 5
consecuente ------► 36 m 3
I
valor de la razón
Interpretación:
Las alturas de los edificios A y B son entre sí 
como 5 es a 3 porque:
Altura de A: 5(12 m)
Donde: 12 m es la unidad de referencia. 
Altura de B: 3(12 m)
Por cada 5 unidades de 60 m hay 3 unidades 
de 36 m.
Las alturas de los edificios A y B están en la 
relación de 5 a 3.
Recuerde:
RAZÓN
Aritmética Geométrica
a - b = r
Términos: 
a: antecedente 
b: consecuente 
r y k: valores de las razones
Cuando en el texto se mencione solamente razón o 
relación se debe entender que se hace referencia a 
la razón geométrica.
PROPORCIÓN
Es la igualdad en valor numérico de dos razones 
de la misma clase.
Proporción aritmética. Es aquella que se forma 
al igualar los valores numéricos de dos razones 
aritméticas.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las edades 
de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años 
y 14 años.
Extremos
i i
I. 18 años - 15 años = 17 años - 14 años
t t
Medios
Extremos
I 1
II. 18 años - 17 años = 15 años - 14 años
t í
Medios
Llevando los extremos y medios a un solo miembro 
de la igualdad se obtiene lo siguiente:
Extremos Medios
• 18 años + 14 años = 17 años + 15 años 
32 años = 32 años
1 0 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Extremos Medios
• 18 años + 14 años = 15 años + 17 años 
32 años = 32 años
De donde podemos concluir que en toda propor­
ción aritmética:
[suma de extremos] = [suma de medios]
Dependiendo del valor que asumen los términos 
medios las proporciones aritméticas presentan dos 
tipos.
A. Discreta. Cuando los valores de los términos 
medios son diferentes.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las altu­
ras de 4 árboles y que son: 25 m; 18 m; 42 m y 
35 m.
R eso luc ión :
Debemos comparar las alturas de dichos ár­
boles mediante una resta.
25 m - 18m = 7 m a la vez 42 m - 35 m = 7 m 
Como el valor de cada razón es el mismo pode­
mos establecer: 2 5 m - 1 8 m = 4 2 m - 3 5 m 
que es una proporción aritmética discreta. 
Convenclonalmente se asumen los términos 
de la proporción aritmética en el orden como 
se presentan en el problema:
í 1 -er ̂ i z ° ) - ( 3er W 4 M[térm ino/ [term ino/ [té rm ino / [term ino/ 
Ejemplo:
Halle la cuarta diferencial de los precios de 
tres artículos que son: S/.50, S/.34 y S/.29.
R eso luc ión :
La cuarta diferencial es el cuarto término en la 
proporción: 50 - 34 = 29 - c; c = 13, enton­
ces 13 es la cuarta diferencial de 50; 34 y 29.
B. Continua. Cuando los valores de lostérminos 
medios son ¡guales.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética continua con los 
volúmenes de 4 recipientes y que son 19 cm3, 
15 cm3 y 11 cm3.
R eso luc ión :
Podría ser:
19 cm3 - 15 cm 3 = 15 cm3 - 11 cm3
ya que generalmente se asume el orden en 
que se dan los términos.
Recuerde:
Proporción aritmética
Discreta
“a excede a b como c excede a d” 
Extremos
J i
a - b = c - d
t _ J “
Medios
d: cuarta diferencial de a, b y c
Continua
Extremos
I *
a - b = b - c
Medios 
b: media diferencial de a y c 
c: tercera diferencial de a y b
Proporción geométrica. Es aquella que se forma 
al igualar los valores numéricos de dos razones 
geométricas.
Ejemplo:
Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son 
24 L, 6 L, 16 L y 4 L las cuales se comparan me­
diante la división del siguiente modo:
M i = 4
6 L
l i L k _ 4
4 L
24 L = 16L 
6 L 4 L
24 L y 4 L: términos extremos 
6 L y 16 L: términos medios
Interpretación: la capacidad de 24 L es a la capaci­
dad de 6 L como la de 16 L es a la de 4 L.
Ejemplo:
Forme una proporción geométrica con las veloci­
dades de 4 automóviles y que son: 15 m/s; 20 m/s; 
9 m/s y 12 m/s.
A r it m é t ic a I 1 1
R eso luc ión :
I 15 m/s _ 9 m/s _ 3
20m /s 12 m/s 4
Extremos: 15 m/s y 12 m/s 
Medios: 20 m/s y 9 m/s
3
Valor de cada razón geométrica: ^
II 20 m/s 12 m/s 4
15 m/s 9 m/s 3
Extremos: 20 m/s y 9 m/s
Medios: 15 m/s y 12 m/s
Valor de cada razón geométrica: ^
Llevando los términos medios y extremos a 
un solo miembro de la igualdad se obtiene lo 
siguiente:
Extremos Medios
(15 m/s)(12 m/s) = (9 m/s)(20 m/s) 
1 8 0 = 1 8 0 
Extremos Medios
(20 m/s)(9 m/s) = (12 m/s)(15 m/s)
180 = 1 8 0
De donde podemos concluir que en toda pro­
porción geométrica:
[Producto de extremos] = [Producto de medios]
Dependiendo del valor que asumen los tér­
minos medios, las proporciones geométricas 
presentan dos tipos:
A. Discreta. Cuando los valores de los términos 
medios son diferentes:
— = — 
b d
Convencionalmente se asumen los términos 
de la proporción en el orden como se presen­
tan en el problema:
(1.er término) __ (3.er término)
(2.° término) (4.° término)
Ejemplo:
Calcula la cuarta proporcional de las estaturas 
de 3 estudiantes que son: 1,6 m; 1,2 m y 1,4 m
R eso luc ión :
La cuarta proporcional es el cuarto término de
.. 1,6 1,4
la proporción = — =, x = 1,05 es la cuar­
ta proporcional.
B. Continua. Cuando los valores de los términos 
medios son iguales.
a _ b 
b _ c
Recuerde:
Proporción geométrica
Discreta Continua
a _ c 
b d
d: cuarta proporcional 
de a, b y c
a b 
b ~ c
b: media proporcional 
de a y c. 
c: tercera proporcional 
de a y b.
Propiedad de la proporción geométrica. Al efec­
tuar las operaciones de adición y/o sustracción con 
los términos de una razón en la proporción, estas 
mismas operaciones se verifican con los términos 
de la otra razón.
Si:
a c a + b c + d a + b c + d— — — - >---------— o --------= --------- o
b d b d a c
b - a _ d - c a + b _ c + d
b d a - b c - d
Serie de razones geométricas equivalentes
En algunas oportunidades nos encontraremos con 
razones geométricas que tienen el mismo valor nu­
mérico, como:
— = 2 ' — = 2 - — = 2 
5 7 ’ 3 6
Las cuales pueden igualarse del siguiente modo: 
10 14 fi 1?
- = — = - = — = 2 , la cual es llamada serie de 
5 7 3 6
razones geométricas equivalentes.
Donde:
10; 14; 6 y 12 son los antecedentes.
5; 7; 3 y 6 son los consecuentes.
2 es la constante de proporcionalidad.
Realicemos algunas operaciones con los términos:
. 10 + 14 + 6 = 30 = 2 . 10 + 1 2 - 6 = 16 = „
5 + 7 + 3 15 ’ 5 + 6 - 3 8
En ambos casos se observa que la constante de 
proporcionalidad no ha variado lo cual nos induce a: 
10 = 14 = 6 = 12 = 10 + 14 = 1 0 - 6 __
5 7 3 6 5 + 7 5 —3
1 2 | C olec ció n El P o s tu la n te
10 + 6 - 1 2 10 + 1 4 - 6 - 1 2
5 + 3 - 6 
10 x 14 x 6
5 + 7 - 3 - 6
= 2
5 x 7 x 3 
10 x 14 x 6 x 12 
5 x 7 x 3 x 6
2 x 2 x 2
2 x 2 x 2 x 2 = 2
Se puede observar que al multiplicar los antece­
dentes y consecuentes la constante de propor­
cionalidad se ve afectada de un exponente que 
numéricamente es igual a la cantidad de razones 
consideradas para la multiplicación.
cY bota /:....... - ........... „
En general para n razones de igual valor nu­
mérico:
_ ^2 _ ^3 _ £2. _ k
C1 C2 C3 cn
Donde:
a¡: antecedente; c¡: consecuente 
k: constante de proporcionalidad
Además:
a! = c, k 
a2 = c2 k 
83 = c3 k
an = c„ k
En el cual se cumplen las siguientes propiedades:
- O í - - —
C1 C2 C3 cn
3i -+- 82 + a3 + ••• + an
= k
C1 + C2 + C3 + ... + cn
Se cumple:
= k
suma de antecedentes 
súma de consecuentes
a1a2 a3 cII
c I
C1.C2.C3 ■•Cn
í a i f - [
a2\n _ / a3\n _
- i 3")"V C-i / O M
1
O W
1
U n /
Se cumple:
producto de antecedentes
producto de consecuentes
kn
Donde n es el número de razones que se 
multiplican.
Propiedad:
En las siguientes series de razones geométricas:
_8_ = 12 = 18 
12 18 27
81
54
54
36
36
24
24
16
se observa que el primer consecuente es igual al. 
segundo antecedente, el segundo consecuente 
igual al tercer antecedente y así sucesivamente. A 
este tipo de serie se le denomina: serie de razones 
geométricas continuas equivalentes.
En general:
a = ek 
b = ek3
ek 
= ek
PROMEDIO
Dado un conjunto de datos es frecuente calcular un 
valor referencial (que represente a dichos datos) 
cuyo valor se encuentra comprendido entre los va­
lores extremos (mínimo y máximo dato) o es igual 
a uno de los extremos y se le denomina promedio.
En general: para n datos a-, < a2 < ... < an 
se tiene que:
a-, < promedio < an
Promedio aritmético o media aritmética (MA) 
Ejemplo:
Calcular el promedio aritmético de las tempe­
raturas de 5 ciudades y que son: 14°; 13°; 11°; 
12°; 15°.
R eso luc ión :
14° + 13°+ 12°+ 11°+ 15° = 65^ 
5 5
MA = - 13°
Es el más sencillo y ya lo habíamos trabajado 
en el ejemplo anterior:
MA =
MA =
suma de datos 
cantidad de datos
3 i + a2 + 83 + ... + an 
n
Para determinar la variación que experimenta 
el promedio aritmético de un conjunto de da­
tos solo es necesario considerar el incremen­
to o disminución en la suma de los datos.
A r itm é tic a | 1 3
I variación del | 
I promedio I
incremento o disminución 
en la suma de los datos 
cantidad de datos
Cuando de un conjunto de datos se conoce su 
promedio implícitamente ya se tiene la suma 
de ios datos.
MA (n datos) = k => suma (n datos) = n(k)
Promedio ponderado
Datos: a 3 a2 a3
Pesos: P3 P2 P3
a k
Pk
promedio _ a-|P| + a2P2 + a3P3+ ... + akFj( 
ponderado “ p, + p2 + p3 + ... + pk
Promedio geométrico o media geométrica 
(MG). Es un promedio que permite promediar 
índices y tasas de crecimiento y el procedi­
miento para calcularlo es:
MG = 2^2 í^p roducto de los datos
MG = 5 ja ,x a 2x a 3x ... x a „
Promedio armónico o media armónica (MH).
Es la inversa del promedio aritmético de los 
recíprocos de los datos:
MH = - cantidad de datos
suma de las inversas de los datos
MH = - n
1 1 1 1 — + — + — + .. .+ — 
a 1 a 2 a 3 a n
Mediana (Me). Es un promedio que represen­
ta el punto medio de los datos para determi­
narlo el procedimiento es el siguiente:
Se ordenan los datos en forma creciente o de­
creciente.
- Si el número de datos es impar, la media­
na es el dato central.
- Si el número de datos es par, la media­
na es el promedio aritmético de los datos 
centrales.
Moda (Mo). Es el valor más frecuente o el que 
más se repite en un conjunto de datos.
Propiedades (MA, MG y MH)
1. Para un conjunto de datos no iguales se tiene 
que:
MH < MG < MA
Cuando los datos son iguales se cumple que:
MH = MG = MA
2. Siempre para dos datos a y b se cumple que:
(MA)(MH) = (MG )2
Para dos números: 
MA(a; b) =
MG(a; b) = -lab 
2MH(a; b) : = 2ab1 + 1 a+b 
a b
2 .
EJERCICIOS RESUELTOS
Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se 
aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se ob­
tienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor?
R eso luc ión :_ . . a 2 a = 2k (menor)
Por dato: f = -=■ => , '
b 5 b = 5k (mayor)
Además: 2k + 175 = 5k + 115
60 = 3k =. k = 20
Luego: menor = 2k = 40
El producto de los cuatro términos de una 
proporción geométrica es 50 625. Sabiendo 
que los medios son iguales y que uno de los 
extremos es 75, indicar la suma de los cuatro 
términos de la proporción.
R eso luc ión :
75 bSea la proporción: — = — = k 
b d
Por dato: (75)(d)(b)(b) = 50 625
Entonces: b4 = 154 =* b = 15 
Además por propiedad:
(75)(d) = (15)(15) => d = 3 
Luego: 75 + 2b + d = 108
1 4 I C o lec c ió n El Po s tu la n te
El jardinero A planta rosas más rápidamente 
que el jardinero B en la proporción de 4 a 3. 
Cuando B planta x rosas en 1 hora. A planta 
x + 2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 
horas?
R eso luc ión :
Por dato: A = 1 = 
B 3
A = 4t 
B = 3t
> x = 6
Además en 1 hora 
2 + x = 4t 
x = 3t
Luego, B en 4 horas planta:
6(4) = 24 rosas.
4. La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su 
producto es 1152. Encontrar el mayor de los 
dos números.
R eso luc ión :
a 3 3Sean a y b los números: — = — => a = — b
b 4 4
f a b , 1152 > f ( f b ) b :
b2 92 - = 1152 =9 b = 2304 =
= 1152 
482
=> b = 48 (mayor) A a = 36 (menor)
.. b = 48
5. Un asunto fue sometido a votación de 600 
personas y se perdió; habiendo votado de 
nuevo las mismas personas sobre el mismo 
asunto, fue ganado el caso por el doble de 
votos por el que se había perdido la primera 
vez, y la nueva mayoría fue con respecto a la 
anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas 
cambiaron de opinión?
R eso luc ión :
A favor En contra
Diferencia 
de votos
1 ,a vot. F 60 0 - F 600 - 2F
2 .a vot 6 0 0 - V V 6 0 0 - 2V
Por dato:
• 600 - 2V = 2(600 - 2F)
600 - 2V = 1200 - 4F 
4F - 2V = 600
2F - V = 300 =9 V = 2F - 300
6 0 0 - V = 8 
600 - F 7
Por propiedad de proporciones:'
F - V 1 F - ( 2 F - 300) -i
600 - F “ 7 ~ 600 - F “ 7
-7 F + 2100 = 600 - F 
1500 = 6 F => F = 250; V = 200 
Cambian de opinión: 150
¿Cuál es la diferencia entre los extremos de 
una proporción continua si la suma de sus cua­
tro términos es 36 y la razón entre la suma y 
diferencia de los dos primeros términos es 3?
R eso luc ión :
Sea la proporción: — = — = k 
b d
a 4- 2b + d — 36 ■•■('!)
a + b
a - b
dones: — = 2 =9 a = 2b 
b
Reemplazando en la proporción:
2b 
b
Luego en (1):
2b + 2b + - = 36 =9 - b = 36
2 2
b = 8 ;a = 1 6 y d = 4
.-. a - d = 12
El promedio de 50 números es 38; siendo 45 y 
55 dos de los números. Eliminando estos dos 
números, hallar el promedio de los restantes.
= 3, de aquí por propiedad de propor-
k = 2
Sn
n
R eso luc ión :
Vamos a convenir que: MAn =
Entonces en el problema:
| ^ = 38=9 S50 = 1900 
5U
Como dos de los números son 45 y 55; quedan: 
S48 = 1900 - (45 + 55) =9 S48 = 1800 
Luego: MA48 = 37,5
Se tienen 4 números enteros y positivos, se 
seleccionan 3 cualesquiera de ellos y se cal­
cula su media aritmética, a la cual se agrega 
el entero restante, esto da 29, repitiendo el
A r itm é tic a | 1 5
proceso 3 veces más se obtienen como resul­
tados 23, 21 y 17. Hallar uno de los enteros 
originales.
R eso luc ión :
Sean a, b, c y d los números: 
a + b + c
3
b + c + d
+ d = 29 ...(1)
a = 23 ...(2)
a + b + d
a + c + d
+ c = 21
+b = 17
...(3)
(4)
Sumando miembro a miembro:
3(a + b + c + d)
 h (a + b + c + d) = 90
a + b + c + d = 45
En (1): a + ^ + c = 29 - d
45 - d = 87 - 3d => d = 21
En (2): a = 12; en (3): c = 9; en (4): b = 13
9. Hallar dos números tales que su medía arit­
mética sea 18,5 y su media geométrica 17,5.
R eso luc ión :
Sean a y b los números.
MA(a; b) = ^ -± -^ = 18,5 =* a + b = 37
MG(a; b) = Váb = 17,5 => a x b = 306,25 
Debemos buscar dos números que multiplica­
dos den 306,25 y sumados 37.
Así, de: a x b = 306,25
a x b = 2 4 ,5 x 1 2 ,5
Los números son: 24,5 y 12,5
10. Tres números enteros a, b y c, tienen una 
media aritmética de 5 y una media geométri­
ca de 3/120" • Además, se sabe que el produc­
to be = 30. Hallar la media armónica de estos 
números.
R eso luc ión :
Por dato:
MA = -a ^ ^ + c = 5=>a + b + c = 15
MG Vabc = 3VT20 = abe = 120
De donde: a(30) = 120; (be = 30) 
^ a = 4
Luego:
b + c = 11 
be = 30
b = 5; c = 6
v
b = 6 ; c = 5
MH(a; b; c) : 3.4.5 .6 _ 180 _ 360
20 + 24 + 30 37 74
11. El peso promedio de todos los estudiantes de 
una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes 
de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de 
ambas clases combinadas es 70 y el número 
de estudiantes en la clase B excede a la de A 
en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B?
R eso luc ión :
Sea n el número de estudiantes en B y n - 16 
el número de estudiantes en A:
71,2n + 68,4(n - 16)
=» Prom. = = 70
• 2n - 16
139,6n - 1094,4 = 140n - 1120 =. n = 64
[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS ! ' ]
1. Dada la siguiente serie de razones geométri­
cas equivalentes:
27 _ _b_ _ 15 _ _d_ 
a 70 c 14 
además: b - d = 24. Hallar: a + b + c + d
a) 126 
d) 162
b) 134 
e) 146
c) 143
2. Si: -§■ = - = - y además: 
b c d
(a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = 4900 
Hallar: 3(ab + be + cd)
a) 70 
d) 120
b) 280 
e) 210
c) 35
3. Dado la siquiente serie: — = — = — = k ; k e E + 
a b d e
Además: c +e = 15; b +d = 14 
Calcular: (a + b + c)
1 6 | C o lec c ió n E l Po s tu la n te
a) 25 b) 30 c) 36
d ) 42 e) 28
4. En una proporción geométrica continua se 
sabe que la diferencia de los extremos es 40 
y la suma de sus términos es 100. Calcular la 
media aritmética de los extremos e indicar la 
suma de sus cifras.
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 8
5. En una proporción geométrica continua la 
suma de los extremos es 75 y la diferencia de 
los mismos es 21. Calcular la media propor­
cional.
a) 18 b) 30 c) 24 d) 36 e) 32
6 . En una proporción continua, la suma de los 
extremos es 73 y la suma de los cuadrados 
de los extremos es 4177. Determine la media 
proporcional.
a) 18 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32
7. Hallar el valor de b si: | = | = | y 
a + 2b -t- 3c — 430
a) 90 b) 30 c) 105
d) 35 e) 70
8 . La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su 
producto es 1152. Encontrar el mayor de los 2 
números.
a) 36 b) 48 c) 50
d) 60 e) 72
9 - S i : f = r i “ Í 5 I Í 5 I T F = 7 8
hallar: C + P + V
a) 180 b) 240
d) 300 e) 210
10. Sabiendo que: = -|y
donde (d + b) - (c + a)
Hallar: a + b + c + d
a) 101 b) 10 010 c) 1001
d) 111 e) 1010
11. La suma de tres números es 650. Esta suma 
es a la diferencia del primero con el último 
como 50 es a 9 y esta misma suma es a la di­
ferencia de los últimos como 25 es a 1. Hallar 
el mayor de los números.
a) 295 b) 169 c) 195
d) 286 e) 210
12. La anchura de una alfombra rectangular es a 
su largo como 2 es a 3. Si se le corta por los 
4 costados una tira de 10 cm de ancho, la su­
perficie disminuye en 56 dm2. Diga cuál es el 
largo de la alfombra.
a ) 2 1 dm b ) 1 2 dm c )1 5 d m
d )1 8 d m e) 28 dm
13. Para envasar 15 000 litros de aceite se dispo­
ne de botellas de 1/2 litro, 1 litro, 5 litros. Por 
cada botella de 5 litros hay 10 de un litro y 20 
de medio litro. Al terminar de envasar el acei­
te, no sobra ninguna botella vacía. ¿Cuántas 
botellas había en total?
a) 18 000 b) 30 000 c) 18 600
d) 27 000 e) 240
14. Se tiene una serie de razones geométricas 
continuas equivalentes, donde cada conse­
cuente es el triple de su antecedente; además 
la suma de sus extremos es 488. Dar como 
respuesta el mayor término.
a) 486 b) 242 c) 345
d ) 620 e) 70
15. El número de niños y niñas en una fiesta in­
fantil está en la relación de 2 a 5. Si al cabo de 
2 horas llegan 10 parejas y 6 niños, la nueva 
relación sería de 4 a 7. Hallar el número de 
asistentes.
a) 96 b) 121 c) 84
d) 91 e) 110
16. Hace 8 años la razón de las edades de dos 
hermanos era 2/5 y dentro de 12 años la razón 
sería 4/5. Hallar la edad del menor de los her­
manos.
a) 16 b) 18 c) 15 d) 9 e) 12
c) 270
c d 
~ 48 ~ 75 
= 143
A r itm é tic a | 1 7
17. La razón de x a y es 343 veces la razónde y2 
a x2; hallar la razón de x a y.
a) 5/1 b) 5/2 c) 6/1
d) 7/2 e) 7/1
18. En una urna se tienen 400 bolas, de las cua­
les 160 son blancas y las restantes, negras. 
¿Cuántas blancas se deben añadir para que 
por cada 2 negras haya 3 bolas blancas?
a) 200 b) 240 c) 100
d) 120 e) 0
19. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de 
una proporción geométrica continua, si la 
suma de sus cuatro términos es 32 y la razón
entre la suma y diferencia de los dos primeros
términos es 2?
a) 9 b) 14 c) 10 d) 16 e) 12
20. En una proporción geométrica continua, el pri­
mer término es 1/9 del cuarto término. Si la 
suma de los medios es 72, hallar la diferencia 
de los extremos.
a) 60 b) 90 c) 72 d) 96 e) 84
1 . b 5. d 9. a 13. b 17. e
2 . e 6 . c 10 . c 14. a 18. a
3. c 7. e 11 . d 15. e 19. d
4. c
-QOÓ 12 . d 16. e 2 0 . d
[ " e jer c ic io s PROPUESTOS 2 l
1. El promedio de 5 números es 85. Se conside­
ra un sexto número y el promedio aumenta en 
15. Hallar el sexto número.
a) 155 b) 165 c) 175
d) 170 e) 185
2. En un salón de clase, a alumnos tienen 14 
años, b alumnos tienen 11 años y c alumnos 
tienen 13 años. SI el promedio de todos es 12 
años, hallar a.
a) 2b - a b) b - 2a c) 2b
d) a - b e) a + b
3. El promedio aritmético de los cuadrados de 2 
números consecutivos es 380,5. Hallar el me­
nor de ellos.
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
4. Un estudiante de una academia ha obtenido 
13; 14; 16; 12 y a en sus 5 exámenes, además 
el último tiene doble peso que los otros. Deter­
mina el valor de a si el promedio ponderado 
es 13,5.
a) 12 b) 12,5 c) 13
d) 13,5 e) 14
5. El promedio de 50 números es 30. Si se re­
tiran 5 números cuyo pñomedlo es 48. ¿En
cuánto disminuye el promedio?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6 . El promedio de las edades de 5 hombres es 
28 años, además ninguno de ellos es menor 
de 25 años. ¿Cuál es la máxima edad que po­
dría tener uno de ellos?
a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44
7. La suma de 2 números es 18 y sus promedios 
aritmético y armónico son consecutivos. Halla 
la diferencia de dichos números.
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e )1 5
8 . El doble del promedio aritmético de 2 nú­
meros es igual al cuadrado de su promedio 
geométrico más 1. Si uno de los números es 
120. ¿Cuál es el otro?
a) 120 b) 60 c) 30 d) 4 e) 1
9. El promedio armónico de 40 números es 16 y 
el de otros 30 números es 12. Halle el prome­
dio armónico de los 70 números.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e )1 8
10. El mayor promedio de 2 números es 100, 
mientras que su menor promedio es 36. Hallar 
la diferencia de dichos números.
a) 180 b) 160 c) 140
d) 120 e) 182
1 8 | C o lec ció n El Po s tu la n te
11.
12 .
13.
El promedio armónico de 3 números es 
180/37, uno de los números es 5 y el prome­
dio geométrico de los otros 2 números es 6 . 
Dar como respuesta el menor de estos 3 nú­
meros.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 12
El promedio geométrico de 2 números es 12 y 
la suma de sus promedios, aritmético y armóni­
co es 26. ¿Cuál es la suma de dichos números?
a) 40 
d) 36
b) 18 
e) 20
c) 32
La media aritmética de 5 números es 120. SI 
le agregamos 5 nuevos números la MA queda 
aumentada en 80. ¿Cuál es la MA de los 5 
números?
a) 200 
d) 320
b) 240 
e) 360
c) 280
14. La media aritmética de 2 números es 20,5 y la 
media geométrica es 20. Hallar el menor nú­
mero.
a) 20,5
d) 11
b ) 11,5 
e) 18
c) 16
15. La media aritmética de 3 números es 13/3, la 
media geométrica de los mismos es igual a
16.
17.
18.
uno de ellos y su media armónica es igual a 
27/13. ¿Cuál es uno de los números?
a) 9 
d) 6
b) 8 
e) 10
c) 72
Un ciclista viaja de A hacia B a 60 km/h, y re­
gresa por el mismo camino a 30 km/h. Hallar 
la velocidad media de su recorrido total.
a) 50 km/h 
d) 35 km/h
b) 4 km/h 
e) 30 km/h
c) 40 km/h
¿Cuántas horas emplea un móvil para reco­
rrer 480 km. Viajando a una velocidad media 
de 60 km/h, si hace 3 paradas de 15 minutos.
a) 8,15 h 
d) 8,75 h
b) 8,45 h 
e) 8,90 h
c) 8,50 h
Hallar la suma de dos números que se dife­
rencian en 24, y además la diferencia que 
existe entre su MG y MA es 6 .
a) 24 
d) 30
b) 26 
e) 32
c) 28
U1
y 1 . c 5. c 9. c 13. c 17. d
> 2 . b 6 . a 10 . b 14. c 18. d
<
I 3. d 7. a 11 . c 15. a
U 4. d 8 , e 12 . d 16. c y
MAGNITUDES PROPORCIONALES
MAGNITUD
Se entiende como magnitud, para nuestro estu­
dio, a todo aquello que experimenta cambios o 
variación, el cual puede ser medido o cuantificado 
(magnitud matemática).
CANTIDAD
Es un estado particular de la magnitud en un deter­
minado momento de análisis, el cual resulta de me­
dir (cuantificar) la variación, expresado en ciertas 
unidades de medida. Si tiene unidades se dice que 
es concreta, si carece de unidades es abstracta.
RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES
Dos magnitudes son proporcionales cuando al va­
riar uno de ellos entonces la otra también varía en 
la misma proporción.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP) 
Ejemplo:
En un determinado momento Lolo coloca 5 estacas 
de diferentes alturas y luego procede a medir la 
sombra que proyecta cada una de ellas, todo ello 
lo anota en la siguiente tabla.
Som bra proyectada (cm) 4 6 12 36 48
Altura de cada estaca (cm) 2 3 6 18 24
Resolución:
Intuitivamente se puede afirmar que a mayor altura 
de la estaca, mayor sombra proyectada. Esta afir­
mación, matemáticamente se puede expresar así:
Valor de la sombra 4 6 12 
Valor de la altura 2 3 ~ 6
_ 36 _ 48 _ 2 (constante) 
18 24
Donde los puntos corresponden a una recta que 
pasa por el origen de coordenadas, la cual presen­
ta una Inclinación respecto al eje horizontal (lla­
mada pendiente) que numéricamente es igual a la
razón geométrica de los valores correspondientes 
a las magnitudes.
Podemos observar que las magnitudes sombra 
proyectada y altura de las estacas cumplen que el 
cociente de sus valores correspondientes es cons­
tante y que su gráfica es una recta.
Cuando 2 magnitudes cumplen estas 2 condicio­
nes les llamaremos magnitudes directamente pro­
porcionales. De aquí podemos mencionar que si 
los valores de las magnitudes aumentan (o dismi­
nuyen) en la misma proporción son directamente 
proporcionales.
En general para dos magnitudes A y B estas se 
relacionan en forma directamente proporcional si 
el cociente de sus valores correspondientes es una 
constante.
Notación: valor de (A) 
Valor de (A 
Valor de (B)
Valor de (A)
A DP B => — = constante
A a B => A = k
La gráfica de dos magnitudes DP, son puntos 
que pertenecen a una recta que pasa por el 
origen de coordenadas.
En cualquier punto de la gráfica (excepto el 
origen de coordenadas) el cociente de cada 
par de valores resulta una constante.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES 
(IP)
Ejemplo:
Una empresa constructora estudia, el tiempo que 
emplea un grupo de obreros para realizar una obra 
(todos los obreros rinden igual) y estos son los da­
tos obtenidos:
n.° de obreros 10 20 24 30 40 50
Tiem po (días) 60 30 25 20 15 12
Se observa cuando hay más obr os menos tiem­
po se emplea. El comportamiento de los valores 
es inverso, esto lleva a señalar que la magnitud 
obreros y tiempo son inversamente proporciona­
les. Además de ello se tiene que:
10(60) = 20(30) = 24(25) = 30(20) = 40(15)
= 50(12) = 600
2 0 | C o lec c ió n El Po s tu la n te
De donde:
(Valor de \/V a lo r del\ = constante (obra a rea|¡zar) 
\ obreros / \ tiempo /
Gráficamente: 
tiempo (días)
Cada sector rectangular que se genera con un 
punto de la gráfica y los ejes tienen la misma su­
perficie y que físicamente corresponde a la obra 
realizada.
En general, dos magnitudes A y B son inversamen­
te proporcionales si el producto de sus valores co­
rrespondientes es constante.
Notación:
A(IP)B => (valor de A)(valor de B) = constante 
A Í i j B => A.B = k
La gráfica de dos magnitudes 1P, son puntos 
que pertenecen a una rama de una hipérbola 
equilátera.
En cualquier punto de la gráfica el producto de 
cada par de valores correspondientes resulta 
una constante.
Propiedades
Cuando se tienen más de 2 magnitudes comoA, 
B, C y D se analizan dos a dos, tomando a una de 
ellas como referencia para el análisis y mantenien­
do a las otras en su valor constante.
A DP B (C y D constantes)
A IP C (B y D constantes)
A DP D (B y C constantes)
AC=> — = constante 
BD
A DP B = B DP A
A IP B = B IP A 
• A IP B => A D P 1
A DP B =» A" DP Bn 
A IP B =» A " IP B n
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Una rueda A de 80 dientes engrana con otra 
rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra 
rueda C de 15 dientes que engrana con una 
rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por 
minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda D?
R eso luc ión :
Gráficamente, las ruedas están dispuestas 
como sigue:
J A \
L O J 
¿ 80
B
J °
C 50
c Y lo ia - :----------------------
; Si la rueda tiene menos dientes, da más 
¡ vueltas; lo que indica que:
I (N.° de dientes)(N.° de vueltas) = k (IR)
Así, en un minuto:
1.° 80(120) = 50(N.° VB) =* N.° VB = 192
2.° Pero N.° VB = N.° Vc = 192 (tiene el mismo 
eje)
3.° 15(192) = 40(N.° V D) => N.° V D = 72
2. Según la ley de Boyle, la presión es inversa­
mente proporcional al volumen que contiene 
determinada cantidad de gas. ¿A qué presión 
está sometido un gas si al aumentar esta pre­
sión en 2 atmósferas, el volumen varía en un 
40%?
R eso luc ión :
P: presión; V: volumen
Observación:
Si la presión aumenta; entonces el volumen 
disminuye, pues son IP.
A r itm é tic a | 2 1
Así: P x V = k (constante)
P x V = (P + 2 ) - ^ - x V 
100
10P = 6 P + 12
4P = 12 =? P = 3 atmósferas
Dos cantidades son inversamente proporcio­
nales a una tercera. ¿Cómo son entre sí estas 
cantidades?
R eso luc ión :
Sean A y B las magnitudes y C una tercera 
magnitud.
Por dato: C iP B y C IP A 
Por propiedad: C IP (A x B)
Por lo tanto:
C x A x B = k (constante)
.'. Son inversamente proporcionales.
Un tendero hurta en el peso empleando una 
balanza de brazos desiguales que miden 
22 cm y 20 cm. Una mujer compra 4,4 kg de 
azúcar y el tendero pone las pesas sobre el 
platillo correspondiente al brazo menor de la 
balanza. La mujer compra otros 4,4 kg dei 
mismo artículo y obliga al comerciante a po­
ner las pesas en el otro platillo. En los 8,8 kg 
¿cuánto dio de más o menos el tendero?
R eso luc ión :
20 22
P(20) = 4,4(22) . p = 4,84 kg
Al colocar las pesas en el brazo menor nece­
sita más azúcar para equilibrar.
Entrega de más: 0,44 kg
M
20 22
i p j
4,4(20) = 22 x P =» P = 4 kg 
Entrega 0,4 kg menos; luego en los í 
trega:
0,44 - 0,40 = 0,04 kg = 40 g más
I kg en-
Una persona dispone de un capital de 584 250 
soles que lo ha dividido en tres partes para Im­
ponerlas al 2%, al 4% y al 5% respectivamente. 
Sabiendo que todas las partes le producen igual 
interés. ¿Cuál es la parte impuesta al 4%?
R eso luc ión :
Si los intereses son iguales; entonces los ca­
pitales son IP a las tasas
C-i x 2 = C2 x 4 = C3 x 5 
1
Multiplicando por tenemos:
C-i x 2 x -¿r = C2 x 4 x -L . = C3 x 5 x - 7- 
20 20 * 20
10
9 i
5
C 3
4
: k ^ k :
C1 + C2 + C3 
1 Ó T 5 + 4
^ k = 584 250 = 30 750 
19
Luego, la parte Impuesta al 4% es: 
C2 = 5 x 30 750 = 153 750 soles
[ " e je r c ic io s PROPUESTOS T j
1. A es directamente proporcional a la raíz cua­
drada de B e Inversamente proporcional al 
cuadrado de C. Cuando A es 8 , B es 16 y C es 
6 . Calcular el valor de B cuando A sea 9 y C 
sea 4.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)<
2. Se tienen las magnitudes A; B; C y D tales que 
A es DP a B; A es IP a C: A es IP a D. Cuando 
A = 5; B = 2C y D = 2, hallar el valor de A 
cuando B = 48; C = 2 y D = 3.
a) 36 b) 35 c) 40 d )4 5 e) 32
3. Se sabe que una magnitud A es Inversamente 
proporcional a B. Hallar el valor de A sabiendo 
que si disminuye en 36 unidades el valor de B 
varía en un cuarto.
a) 24 b) 36 c) 180 d) 60 e) 48
4. X varía en razón directa a Y e inversa al cua­
drado de Z. Cuando X es 10, Y es 4 y Z es 14. 
Hallar el valor de X cuando Y sea 16 y Z sea 7.
a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120
5. A es directamente proporcional al cuadrado de B 
e inversamente proporcional a la raíz cúbica de 
C. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye 
en sus 26/27, ¿qué sucede con el valor de A?
a) Se multiplica por 12
b) Disminuye en 1/11 de su valor
c) Aumenta en 1/11 de su valor
d) Se triplica
e) Se cuadruplica
6 . A y B son directamente proporcionales. Cuan­
do el valor inicial de B se triplica, el valor de 
A aumenta en 10 unidades. Cuando el nuevo 
valor de B se divide entre 5, ¿cómo varía el 
valor de A respecto al inicial?
a) Aumenta en 15 b) Disminuye en 10
c) Disminuye en 12 d) Disminuye en 2
e) No se altera
7. A y B son inversamente proporcionales con 
constante de proporcionalidad igual a k. ¿Cuál 
es este valor si la constante de proporcionali­
dad entre la suma y diferencia de A y 1/B es 6?
a) 6/5 b) 7/5 c) 2 d) 7 e) 6/7
8 . Sea F una función de proporcionalidad, tal 
que: F(4) + F(6 ) = 20
F(31)
Hallar el valor del producto: —- — F(7) F(3)
a) 372 b) 744 c) 558
d ) 704 e ) 1488
9. El consumo es directamente proporcional a su 
sueldo. El resto lo ahorra, un señor cuyo suel­
do es $560 ahorra $70. Si recibe un aumento, 
consume $910. ¿De cuánto es el aumento?
a) $450 b) $480 c) $490
d) $560 e) $500
10. La figura muestra los engranajes W, I, L e Y 
con 8 ; 1 2 ; 16 y 6 dientes cada uno respectiva­
mente. Si W da 18 vueltas por minuto, ¿cuán­
tas vueltas dará Y en 3 minutos?
2 2 j C ole c c ió n E l Po s tu la n te -------------------------------------
a) 24 b) 48 c) 72
d ) 96 e) 100
11. Una rueda A de 20 dientes engranada con otra 
rueda B de 75 dientes. Fija al eje B, hay otra 
rueda C de 35 dientes que engrana con otra 
rueda D de 20 dientes. Si A da 60 vueltas por 
minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?
a) 24 b) 28 c) 36 d) 60 e) 21
12. Se tienen 2 magnitudes A y B; tales que A es 
inversamente proporcional con B2; si cuando 
B aumenta en 25% el valor de A varia en 144 
unidades. ¿En cuánto aumenta o disminuye 
cuando B disminuye en 20%?
a) Aumenta (22%) b) Disminuye (22%)
c) Disminuye (10%) d) Aumenta (10%)
e) Aumenta (50%)
13. SI: A es DP a B2 (C = constante); C es DP a 
VA (B = constante). Sea la tabla:a
A 4 X
B 2 1 / 2
C 1 1 / 2
hallar x.
a) 1/4 b) 1/8 c) 1/16
d ) 1 ' e ) 1/64
14. SI A es IP a B2; A es DP a D y D es IP a VC , 
hallar x de la siguiente tabla.
A 2 4
B 2 X
C 9 4
D 4 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 12
tn
u
>
1 . d 5. a 9. b
N
13. c
2 . c 6 . d 10 . d 14. b
< 3. c 7. b 11 . b
u 4. b 8 . b 1 2 . a J
REPARTO PROPORCIONAL
Como aplicación de la proporcionalidad consiste 
en repartir una cantidad en partes directa o Inver­
samente proporcionales a ciertas cantidades que 
llamaremos indicadores.
Problema general
Repartir S en partes P2; ...; Pn que sean DP a 
b-i; b2; ...; bn. Determinar cada una de las partes.
R eso luc ión :
Partes: P,; P2; ...; Pn => S = P, + P2 + ... + Pn 
Indicadores: b-,; b2; ...; bn 
Por dato: P,; P2; ...; Pn DP b^ b2; ...; bn 
Pl P2 Pn
bi
= k (constante de proporcionalidad)
Por propiedad: k = Pl + Ps + ••• + Pn ^ k = —
bi + b2 + ... + bn Sj
S¡: suma de indicadores
Luego: P, = b,k; P2 = b2k; Pn = bnk
Ejemplos:
1. Repartir 25 200 en partes DP a 5; 7 y 9. Deter­
minar cada una de las partes.
R eso luc ión :
Sean las partes:
A ; B y C = > S = A + B + C = 25 200 
Del dato: A; B; C DP 5; 7; 9
^ S ¡ = 5 + 7 + 9 = 21
=■ k = =* k = 1200 21
Luego: A = 5.(1200) = 6000 
B = 7.(1200) = 8400 
C = 9.(1200) = 10 800
2. Repartir 12 600 en partes IP a 1/4; 1/7 y 1/10. 
Dar como respuesta la menor de las partes.
R eso luc ión :
Partes: A ;B y C = > S = A + B + C = 12 600 
Usando propiedad:
A IP - 1 ^ A DP 4 
4
B IP U B DP 7
C IP -!-=> C DP 10 
10
Luego: S¡ = 4 + 7 + 10 = 21
k =
12 600 
21
k = 600
Por tanto, la menor de las partes es:
A = 4(600) = 2400
3. Repartir 252 800 en partes DP a 3; 4 y 6 e IP 
a 5; 5 y 7. Determinar la diferencia entre la 
mayor y menor de las partes.
R eso luc ión :
Partes: A; B y C a S = A + B + C = 252 800 
Como: A; B :C IP 5 ; 5; 7
a A;B; C DP
5 5 7 
MCM (5; 7) = 35; luego:
A DP 3 A A DP DP f . 3 5 = 21
5 5
B DP 4 a B DP 1 , B DP - .3 5 = 28 
5 5
C DP 6 A C DP 1=>C DP y .35 = 30
a S¡ = 21 + 28 + 30 = 7 9 a k = ^ | |5 ° = 3200
Por lo tanto, la diferencia entre la mayor y me­
nor parte es:
C - A = 30k — 21 k = 9(3200) = 28 800 
REGLA DE COMPAÑÍA
En este caso se reparten las ganancias (G) o pér­
didas directamente proporcionales a los capitales 
(C) aportados y los tiempos (T) de imposición de 
cada uno de los socios, respectivamente.
Es decir:
G DP C (T constante) y G DP T (C constante)
_G_
CT
G-| G2
C1T1 C2T2 C,
En particular, si:
1. C-j = C2 = ... = Cn, entonces:
Gi _ G2 _ _ Gn _
T ™ " ' = \ 1
• G DP C.T =
En general:
= k (constante) 
G„
■ = k
2 4 | C o lec ció n El Po s tu la n te
2. T-i = T2 = ... = Tn, entonces:
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dos pastores que llevan 5 y 3 panes respecti­
vamente, se encuentran con un cazador ham­
briento y comparten con este los 8 panes en 
partes iguales. SI el cazador pagó S/.8.00 por 
su parte. ¿Cómo deben repartirse los pasto­
res el dinero entre si?
R eso luc ión :
Total de panes = 8 
1,er pastor tiene: 5 
2 ° pastor tiene: 3 
Como c/u de los 3 come 8/3
o y
El 1 ,er pastor ayuda con: 5 - — = —
El 2.° pastor ayuda con: 3 - ^
Entonces el reparto se hace en forma DP a lo 
que cada uno ayuda.
O sea: 1.° DP 7
El primero recibe: 7 soles 
y el segundo recibe: 1 sol
2. Repartir 154 en partes directamente propor­
cionales a 2/3; 1/4; 1/5; 1/6.
R eso luc ión :
S = 154 
Partes:
1.a DP —x 6 0 = 40
3
2.a D P -1 x 6 0 = 15
4
3.a DP | x 6 0 = 12
5 ’
4.a DP 4 x 60 = 10
6 W 7
k = 154
77
Observación: 60 = MCM (3; 4; 5 y 6)
Luego:
1.a -► 80; 2.a -> 30; 3.a — 24; 4.a — 20
3. Una persona dispuso en su testamento que 
se entrega a 3 sobrinos suyos la cantidad 
de S/.19 695 para que se repartan propor- 
clonalmente a las edades que cada uno de 
ellos tenga el día que falleciera. Uno de ellos 
tenía 36 años el día que su tío falleció y le 
correspondió S/.7020 pero renunció a ellos y 
el reparto se hizo entre los otros 2, también 
proporcionales a sus edades, por lo que a uno 
de ellos le correspondió S/.2700 adicionales. 
Calcular las edades.
R eso luc ión :
Primer reparto (19 695)
DP
36 ->• 36 x — — = 7020 
36 + (a + b)
entonces: a + b = 65
Segundo reparto (7020)
DP
a —> a x Z°20 = 2700 ^ a = 25 
65
b = 40
.-. Las edades son: 36; 25 y 40
4. Un hombre decide repartir una herencia en 
forma proporcional al orden en que nacieron 
sus hijos. La herencia total es S/.480 000; adi­
cionalmente deja S/.160 000 para el mayor, 
de tal modo que el primero y último hijo reci­
ban igual herencia. ¿Cuál es el mayor número 
de hijos que tiene este personaje?
R eso luc ión :
S = 480 000 
Orden:
1.° 2.° 3.°
i
mayor
Les toca: k; 2k; 3k; ...; nk 
De donde:
k + 2k + 3k + ...+ nk = 480 000 
n(n + 1)
k x — —— - = 480 000 ...(1)
n.°
i
menor
A r itm é t ic a | 2 5
Además, por dato:
k + 160 000 = nk ■ > (n - 1)k = 160 000 ...(2) 
Dividiendo (1) (2):
n2 - 5n + 6 = 0
(n - 3 )(n -2 ) = 0 => ^ = 3; n2 = 2 
Mayor número de hijos = 3
5. Se reparte 738 en forma directamente pro­
porcional a dos cantidades de modo que ellas 
están en ia relación de 32 a 9. Hallar la suma 
de las cifras de la cantidad menor.
R eso luc ión :
Por condición del problema:
A = 32 A = 32K
B 9 B = 9K
Entonces: A + B = 41K = 738 
K = 18 
Luego: A = 32(18) = 576 
B = 9(18) = 162 
Suma de cifras de menor cantidad:
1 + 6 + 2 = 9
[^EJERCICIOS PROPUESTOS l
1. Efectuar el reparto de 7227 en forma inversa­
mente proporcional a 4; 8 y 12. Dar la diferen­
cia entre la mayor y menor de las partes que 
se obtiene.
a) 2828 b) 2728 C) 2628
d) 2840 e) 2943
2. Se reparte una cantidad N en forma DP a los 
números 2; 3; 5 y 7. La tercera cantidad repar­
tida (en orden ascendente) resultó 600. Hallar 
la suma de las cifras de la cantidad total.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
3. Se desea repartir $7200 en partes DP a las 
raíces cuadradas de los números 200; 392 
y 288. Dar como respuesta la menor de las 
partes.
a) $2000 b) $2800 c )$ 1 2 0 0
d) $2400 e ) $3200
4. Repartir 1240 DP a 2400; 2401; 2402; 2403 y 2404. 
Hallar la suma de cifras de la mayor parte.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
5. Repartir 648 en forma DP a 4 y 6 y a la vez en 
forma IP a 3 y 9. Dar la diferencia de las partes 
obtenidas.
a) 214 b) 215 c )216
d) 217 e) 218
6 . El profesor de aritmética decidió premiar a 
sus mejores alumnos regalándoles $9200 en 
forma directamente proporcional al número de 
problemas que resuelven de la guía. El prime­
ro resolvió 17 problemas, el segundo 15 y el 
tercero 14. Indica cuánto le tocó al segundo.
a) 3000 b) 3400 c) 2800
d) 3500 e) 4000
7. Repartir 28 380 en partes IP a los números
2/7; 4/5; 6/7 y 12/15. Dar como respuesta la
menor de las partes.
a) 3000 b) 3400 c) 2800
d) 4620 e) 4000
8 . Repartir 580 en partes DP a los números 6 ; 8 
y 9 e IP a los números 5; 4 y 12, además DP 
a los números 10; 7 y 4 Indicar la diferencia 
entre el mayor y la menor de las partes.
a) 180 b) 160 c) 200
d) 250 e) 220
9. Se reparten 1000 en tres partes inversamen­
te proporcionales a 183; 64 y 242. Dar como 
respuesta una de las partes.
a) 144 b) 288 c) 576
d) 324 e) 162
10. Descomponer 304 000 en tres partes de ma­
nera que los 2/3 de ¡a primera sea igual a los 
5/6 de la segunda y los 4/9 de la segunda 
igual a los 8/7 de ia tercera. Dar como res­
puesta la menor parte.
a) 44 200 b) 44 400 c) 44 600
d) 44 800 e) 45 000
2 6 I C o lec ció n El Po s tu la n te
11. Al repartir N en tres partes A, B y C de manera 
que A es a B como 3 es a 4 y B es a C como 
7 es a 3, se obtuvo como parte mayor 1400. 
Calcular el valor de N.
a) 2000 b) 6400 c) 3050
d) 2300 e) 3250
12. Se reparte una herencia en forma proporcio­
nal a las edades de 3 personas y recibieron 6 ; 
12 y 24 millones, respectivamente. ¿Cuánto le 
habría tocado al segundo, si el reparto hubie­
ra sido Inverso a sus edades?
a) 6 millones b) 12 millones
c) 24 millones d) 9 millones
e) 18 millones
13. Hallar tres números que sumen 472 y que sus 
cuadrados sean proporcionales a 1/8; 1/50 y 
1/98. Dar el mayor,
a) 180 b) 430 c) 120
d) 280 e) 320
14. Tres automovilistas deciden repartirse $3100 
en forma proporcional a las velocidades de 
sus vehículos. Si luego de una competencia 
se observó que el primero de demoró 2 h,
el segundo 3 h y el tercero 5 h en llegar a la
meta. Hallar cuánto le tocó al primero.
a) 1500 b) 1200 c) 1300
d) 600 e) 900
15. Al repartir $76 700 en 3 partes DP a 3; 5 y 
6 y DP a f72\ V128 y V200, respectivamen­
te. ¿Cuál es la diferencia entre las 2 mayores 
partes?
a) 10 000 b) 11 000 c) 12 000
d) 13 000 e) 14 000
16. Una cantidad es repartida en forma proporcio­
nal a tres números y son 96; 32 y 24. ¿Cuál 
habría sido la mayor de las partes; si el repar­
to se hubiera hecho en forma inversamente 
proporcional a los mismos números?
a) 76 b) 42 c) 48 d) 72 e) 60
17. Las edades de siete hermanos son números 
consecutivos. Si se reparte una cantidad de so­
les proporcionalmente a sus edades, el menor 
recibe la mitad del mayor y el tercero 80 000 
soles, ¿cuántos soles recibe el quinto?
a) 64 000 b) 72 000 c) 80 000 
d) 100 000 e) 96 000
18. Dos agricultores tienen 4 y 3 hectáreas de 
terreno que trabajarán en conjunto. Para con­
cluir más rápido contratan a un obrero que 
cobra 70 soles. Se desea saber lo que cada 
uno debe pagar al obrero, si al final los tres 
trabajan igual.
a) 50 soles y 20 soles
b) 40 soles y 30 soles
c) 60 soles y 10 soles
d) 45 soles y 25 soles
e) 60 soles y 10 soles
1 . c 5. c 9. b 13. d
2 . c 6 . a 1 0 . d 14. a
3. a 7. d 11 . c 15. d
4. a 8 . e 1 2 . b 16. a
17. d
18. a
REGLA DE TRES
Es una aplicación de la proporcionalidad donde 
al comparar dos o más magnitudes se determina 
un valor desconocido. Se considera como magni­
tud dependiente a la magnitud que contiene a la 
incógnita.
REGLA DE TRES SIMPLE (R3S)
Resulta de compararse dos magnitudes directa­mente proporcionales o dos magnitudes inversa­
mente proporcionales.
R3SD. Sean A y B dos magnitudes DP.
Entonces = k, luego: 
B
~ = -— (x, es incógnita) 
bi b2
Disposición práctica: 
Magnitudes:
Valores correspondientes
2 a
t r 1t>1
%
x ) b2 ) b.
R3SI. Sean A y B dos magnitudes IP, entonces: 
A x B = k, luego:
bi= xb2 => x = a t —
Disposición práctica: 
Magnitudes:
Valores correspondientes
A) B
a, b,
x ) b2;
bi
REGLA DE TRES COMPUESTA (R3C)
Resulta de compararse más de dos magnitudes. 
Se compara siempre la magnitud dependiente con 
otra, independiente de las demás.
Sean A, B y C tres magnitudes, donde B es la mag­
nitud dependiente (contiene a la incógnita).
Consideremos A y B dos magnitudes DP
a 1 a 2 _x_ _ £2 
b, ~ x ^ b-i ~~ ai 
B y C dos magnitudes IP
. . . (2 )
X ^1b-tC-i = XC2 =* — = —
b, c2
De (1) y (2):
_x_
bi
b, — -
Disposición práctica: 
Magnitudes:
Valores correspondientes
X = bll f
c y iú J z i:
Al compararse una magnitud que hace obra 
(hombres, operarios, obreros, máquinas, 
etc.) con la magnitud tiempo (días, horas, 
h/d, minutos, etc.) siempre serán inversa­
mente proporcionales.
EJERCICIOS RESUELTOS
Una guarnición de 400 soldados situados en 
un fuerte, tienen víveres para 180 días si con­
sume 900 gramos por hombre y por día. Si 
recibe un refuerzo de 100 soldados pero no 
recibirá víveres antes de 240 días, ¿cuál de­
berá ser la ración de un hombre por día para 
que los víveres puedan alcanzarles?
R eso luc ión :
Por regla de tres compuesta:
Soldados días Ración / día H 
400 / 180 / 900 »t
500 ^ 240 ^ x
Luego: x = 900 x
a 500 240
x = 540 gramos
Se emplearon m obreros para ejecutar una 
obra y al cabo de a días hicieron 1/n de aque­
lla. ¿Cuántos obreros hubo que aumentar 
para terminar la obra en b días más?
R eso luc ión :
obreros días 
m a
obra
1
m + x
2 8 | C o lec c ió n El Po s tu la n te
o (n - 1) n
m + x = m x f - x - X 7
b n 1
x = m x § ( n - 1 ) - m ^
x = -^-(an - a - b) 
b
3. Un contratista dice que puede term inar un tra­
mo de autopista en 3 días si le proporcionan 
cierto tipo de máquinas; pero que con 3 má­
quinas adicionales de dicho tipo puede hacer 
el trabajo en 2 días. Si el rendimiento de las 
máquinas es el mismo. ¿Cuántos días em­
pleará una máquina para hacer el trabajo?
R eso luc ión
Suponemos que ¡nicialmente hay N máquinas 
de dicho tipo; entonces:
máquinas días
N t 3 ) ^ N + 3 = N x - |
N + 3 ' 2 * 2
2N + 6 = 3N => N 
Luego: máquinas
H
x = 3 x — => x = 18 
1
4. Quince obreros han hecho la mitad de un tra­
bajo en veinte días. En ese momento abando­
nan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tar­
darán en terminar el trabajo los obreros que 
quedan?
R eso luc ión :
Obreros días
15 ( 20
10 V x /
=> x = 20 X — => x = 30 
10
5. Un reloj se adelanta minuto y medio cada 24 
horas. Después de 46 días 21 horas 20 minu­
tos. ¿Cuánto se adelantó el reloj?
R eso luc ión :
Expresando todo en horas, tenemos:
46 días 21 h 20 min = horas
Luego: tiempo (horas) adelanto mínimo
24 ¿
3376 ( 2 )
3
x = mjn = 1 h 10 min 20 s 
3
6 . Una obra debía terminarse en 30 días em­
pleando 20 obreros, trabajando 8 horas dia­
rias. Después de 12 días de trabajo, se pidió 
que la obra quedase terminada 6 días antes 
de aquel plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros 
se aumentaron teniendo presente que se au­
mentó también en dos horas el trabajo diario?
R eso luc ión :
Inicialmente debían hacer la obra en 30 días;
lo que indica que en un día hacen
1 12 2 — ; entonces en 12 días hacen: — = —
30 30 5
2 3Faltando asi: 1 - — = -p, luego:
5 5
Obreros días h/d obra
20 f 30 
20 + x
f 3 ° ) 8 ) 1 \
V 12 / 10 i 3/5 )
=> 20 + x = 20 x f ^ x — x ~ 
12 10 5
20 + x = 24 = *x = 4
7. Un reloj marca la hora a las 0 horas de un cier­
to día; si se sabe que se adelanta 4 minutos 
cada 12 horas. ¿Cuánto tiempo transcurrirá 
para que nuevamente marque la hora exacta?
R eso luc ión :
Si durante 12 horas adelanta 4 minutos, en­
tonces en un día adelanta 8 minutos.
Así: adelanto n.° días
8 t720 \ x /
=> x = 1 x = 90 días 
8
'[^EJERCICIOS PROPUESTOS" ]
Si 64 obreros pueden construir una carretera 
en 24 días, ¿cuántos obreros podrán hacer la 
misma carretera en 48 días?
A r itm é tic a | 2 9
a) 16 b) 24 c) 32
d) 36 e) 30
2. Carlos puede hacer un trabajo en 18 horas. 
¿En qué tiempo podrá hacer un trabajo 1,4 
veces más difícil?
a) 36,2 horas b) 43,2 horas
c) 25,2 horas d) 40,2 horas
e) 28,2 horas
3. 24 taladros en 8 horas pueden hacer 7680 
agujeros. ¿Cuántos taladros en 9 horas de 
trabajo podrán hacer 7200 agujeros?
a) 20 b) 18 c) 16 d) 24 e) 25
4. Por pintar una pared de 4,5 m por 3,6 m me 
cobran $36. ¿Cuánto me cobrarán por pintar 
tres paredes de 2,4 m por 7,5 m?
a) $90 b) $105 c) $108
d) $111 e) $120
5. Para su comercialización, la harina de trigo
se distribuye en cajas cúbicas de diferentes
dimensiones. Si una caja de 6 dm de arista,
conteniendo harina de trigo, cuesta 216 soles, 
¿cuánto costará una caja de 8 dm de arista?
a) 288 soles b) 360 soles c) 464 soles
d) 512 soles e) 560 soles
6 . Si a obreros pueden hacer una obra en b días 
¿en cuántos días pueden hacer una obra de 
triple dificultad, ei doble de obreros, cada uno 
de ellos de doble habilidad que los anteriores?
a) | b) | b c) b
d) 2b e) 3b
7. A y B pueden hacer una obra én tres días. Si 
A trabaja solo, se demora siete dias. El primer 
día solo trabajó B, y a partir del segundo día 
los dos trabajaron juntos. La cantidad de días 
que demoraron en hacer la obra es:
3 ) 2 y b ) 2 y C ) 4 y
d) 3 y e) 3 y
8 . Un grupo de 12 alumnos resuelve 120
problemas de Física en dos horas. ¿Cuántos
problemas resolverá otro grupo de ocho 
alumnos, el doble de eficientes que los 
anteriores, en cinco horas?
a) 136 b) 100 c) 480
d) 400 e) 800
9. Si ocho bolitas de 0,4 mm de radio pesan 256 
gramos, con siete bolitas del mismo material 
que los anteriores, pero con radio 0,6 mm, 
¿qué peso tendrán?
a) 960 g b) 1000g c) 1020g
d) 1140 g e) 1180 g
10. Treinta obreros pueden hacer una obra en 48 
días. Si 18 de ellos disminuyen su rendimiento 
en su tercera parte, ¿en qué tiempo harían la 
misma obra todo el grupo?
a) 60 . b) 24 c) 36
d) 54 e) 72
11. Juan compra 15 kg de arroz para 18 días para
su familia que está compuesta de 5 personas 
en total. Sin embargo, pasados 6 días llegan 
3 familiares más. ¿Cuánto durará el arroz en 
total?
a) 12 días b) 15 días c) 13,5 días
d) 10 días e) 12,5 días
12. Si Manuel puede hacer 24 problemas en tres 
horas, ¿cuántos problemas cuya dificultad es 
a la de los anteriores como 6 es a 5, podrá 
hacer Manuel en el mismo tiempo?
a) 28 b) 29 c) 24 d) 18 e) 20
13. Sesenta obreros hacen los 3/8 de una obra
en 27 días. Si se retiran 24 obreros y los res­
tantes concluyen la obra, ¿qué tiempo en total 
duró la obra?
a) 75 días b) 72 días c) 45 días
d) 102 días e) 62,5 días
14. Veinticuatro obreros pueden hacer una obra 
en 60 días, si trabajan 9 horas diarias. 20 días 
luego de iniciado el trabajo se enferman 6 
obreros y los restantes trabajan 10 horas dia­
rias hasta terminar la obra. ¿Cuánto duró la 
obra en total?
3 0 | C olección E l Po s tu la n te
a) 48 días b) 60 días c) 72 días
d) 68 días e) 64 días
15. Una secretaria escribe 48 palabras por minu­
to. ¿Cuántas palabras escribirá en 6 minutos, 
si disminuye su velocidad en su cuarta parte?
a ) 108 B) 162 C) 180
d ) 200 E ) 216
16. Tres campesinos pueden cosechar un terreno 
de 80 m2 de área. ¿Cuántos campesinos se­
rán necesarios para cosechar un terreno de 
1,2 hectáreas?
a) 300 b) 540 c) 320
d) 400 e) 450
17. Cuarenta y cinco obreros pueden construir 
600 m de un muro de 1,5 m de alto. ¿Cuántos 
obreros construirán 1150 m de un muro de 1.6 m 
de alto?
a) 84 b) 88 c) 92
d) 96 e) 98
18. Ocho obreros cavan una zanja de 1,6 m de 
diámetro y 12 m de profundidad. ¿Cuántos
obreros podrán cavar una zanja de 2 m de 
diámetro y 24 m de profundidad?
a) 24 b) 25 c) 28 d) 15 e) 18
19. 27 obrerospueden hacer una obra en 42 días, 
si trabajan 8 horas diarias. ¿Cuánto tardarián 
16 obreros, trabajando 7 horas diarias, para 
hacer una obra cuya dificultad es a la anterior 
como 4 es a 3?
a) 72 días b) 84 días c) 88 días
d) 96 días e) 108 días
20. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en 
15 dias. Si luego de haber trabajado 5 días se 
retiran 3 obreros, ¿cuál será el tiempo total de 
duración de ia obra?
a) 12 días b) 15 días c) 17 días
d) 20 días e) 21 días
1 . c 5. d 9. d 13. d 17. c
2 . c 6 . b 1 0 . a 14. d 18. b
3. a 7. d 11 . c 15. e 19. e
4. e 8 . d 1 2 . e 16. e 2 0 . c
PORCENTAJES - MEZCLAS
PORCENTAJES
Regla del tanto por cuanto. En algunas oportu­
nidades es necesario dividir lo que tenemos en 
partes ¡guales para hacer una distribución de estas 
partes.
Ejemplo:
Se tiene una bolsa con 40 manzanas el cual se 
desea dividir en 8 partes iguales y se han de tomar 
6 de ellas.
R eso luc ión :
El procedimiento a seguir es:
Dividiendo 40 en 8 partes iguales.
T -
Tomamos 6 de estas partes:
6(5) = 30
Interpretación:
El 6 por 8 de las 40 manzanas es 30 manzanas. 
Matemáticamente:
6 ( 4 ^ = 30
En general si tenemos N objetos. ¿Cuál será el a 
por b de N?
Se toman a partes
Matemáticamente: a /—
\ b
De aquí podemos señalar que el tanto por cuanto 
viene a ser un procedimiento aritmético que con­
siste en dividir un todo en partes ¡guales y tomar 
tantos de ellos como se Indique.
En la vida diaria el tanto por cuanto más utilizado 
es aquel que divide al todo en 100 partes ¡guales y 
al que se le denomina: tanto por ciento.
Ejemplo:
Calcule el 15 por ciento de 400.
1 5 ( t 7 í 7t ) = 6 0V1 oo /
En general si una cantidad se divide en 100 partes, 
cada parte representa (1/ 100 ) del total a la cual 
llamaremos el 1 por ciento y lo denotaremos: 1%
100 partes ¡guales
1 1 1 1 1 1
100 100 100 100 100 100
Uno por ciento 
Entonces:
A por ciento < > A% < >
60 partes O 6o (— W > 60% O f 
F \ 100 / 5
10 partes O 1 0 Í — W > 10% O - L 
\ 100 / 10
40 partes O 40% < > §
25 partes O 25( — ) < > 25% O 1 
1100/ 4
100 partes O 100% 1
Además:
40% de 400 = |(4 0 0 ) = 160 
5
75% de 560 = |(5 6 0 ) = 420
25% de 900 = -1(900) = 225
15% de 600 = A (600) = '90
65% de 400 = | | ( 4 0 0 ) = 260
Porcentaje. Es el resultado de aplicar el tanto por 
ciento a una cantidad.
Ejemplo:
Halle el 20% de 400
20%(400) = 80
tanto porcentaje 
por ciento
Operaciones con porcentajes
1. a%N + b%N = (a + b)%N
Ejemplos:
• 12%N + 34%N = 46%N
• 118%N + 60%N = 178%N
• 30%N + 11,5%N = 41,5%N
• N + 13%N = 113%N
3 2 | C ole c c ió n El Po s tu la n te
2. x%N - y%N = (x - y)%N 
Ejemplos:
• 74%N - 24% N = 50%N
• 169%N - 29% N = 140%N
• 112%N - 64%N = 48%N
• N - 14%N = 86%N
3. a x (b%N) = (a x b)%N 
Ejemplos:
• 3(50%N) = 150%N
• 4(75 %N) = 300%N = 3N
• 5,5(2%N) = 11 %N
4. El a% del b% del c% de N es: a%b%c%N 
Aplicación comercial
Un comerciante compró un pantalón en S/.50 (P0) 
y fija para su venta un precio de S/.80 (PF). Sin 
embargo lo vende en S/.70 (Pv) debido a que hizo 
una rebaja de S/.10 (R).
Aparentemente está ganando S/.20 (GB), pero esta 
operación le generó gastos por un valor de S/.5, (gas­
tos) por lo cual realmente esta ganando S/.15 (Gn).
GB = S/.20
Gn = S/.15 gastos = SI. 5 R = S/.10
Pe Pv Pf
S/.50 S/.70 S/.80
c Y lo ta /: ........................................ ................................
| Las ganancias (o pérdidas) se representan
l como un tanto por ciento del precio de costo.
| Las rebajas se representan como un tanto
I por ciento del precio fijado.
'> Pv = Pe + ganancia
MEZCLA
Es la reunión de dos o más sustancias (ingredien­
tes) en cantidades arbitrarias conservando cada 
una de ellas su propia naturaleza.
Regla de mezcla. La regla de mezcla se origina 
por el deseo de los comerciantes en determinar
el precio de venta de una unidad de medida de la 
mezcla. Para ello se vale de algunos procedimien­
tos aritméticos, lo cual en su conjunto constituye la 
regla de mezcla.
Ejemplo:
Un comerciante hace el siguiente pedido a un dis­
tribuidor mayorista de café:
Café Cantidad en kg Precio unitario
Extra (E) 50 S/.7
Superior (S) 20 S/.5
Corriente (C) 15 S/.4
Para venderlo a sus clientes el comerciante mezcla 
los tres tipos de café.
¿A cómo debe vender el kg de la mezcla para ga­
nar el 20%?
R eso luc ión :
Para determinar dicho precio de venta el comer­
ciante procede del siguiente modo:
1 Determina el costo de su inversión
m » ] l i f H H
Cantidad (kg): 50 20 15
Precios unitarios: S/.7 S/.5 S/.4
Costos parciales: S/.350 S/.100 S/.60 
Costos totales: S/.510 
Peso total = 50 + 20 + 15 = 85 kg
Calcula el costo por unidad de medida (kg) de 
la mezcla. A este costo por kg se le denomina 
precio medio (Pm) ya que es un precio que no 
genera ni ocasiona pérdida.
Costo por 1 
kg de mezcla
= Pm
S/.510
85
= S/.6
Se observa también que:
S/.4 < S/.6 < S/.7
Precio menor Precio medio Precio mayor
Si comparamos los precios unitarios con el 
precio medio se tiene:
Cantidades
50 kg
E
20 kg
s
Precios unitarios S/.7 S/.5
Precio medio: S/.6 S/.6
Pierde Gana 
Por 1 kg: S/.1 S/.1
15 kg
c
S/.4
S/.6
Gana
S/.2
A r itm é tic a | 3 3
Pero la pérdida y ganancia es aparente ya 
que al final estas se compensan.
Pérdida = Ganancia 
50(1) = 20(1) + 15(2)
S/.50 = S/.50
Sobre el precio medio el comerciante determ i­
na el precio de venta considerando su ganan­
cia respectiva.
Precio de venta = S/.6 + 20%(S/.6) = S/,7,20 
Luego:
El comerciante debe vender el kilogramo de la 
mezcla en S/,7,20 para ganar el 20%.
En general para k sustancias:
H H H - H
Cantidades: C,
Precios unitarios: P-i
Se cumple lo siguiente:
C,
P2
C3
P3
C k
Pk
Precio C ÍP1 + C 2P2 + C 3P3 + ... + CkP|< 
medio = C ,+ C2 + C3 + . . .+ Ck
Mejor aún:
Precio _ Costo total 
medio Peso total
Promedio 
ponderado de 
precios
Precio menor < precio medio < Precio mayor
Ganancia aparente = Pérdida aparente
IV. Precio venta = precio medio + ganancia
Comercialmente la pureza alcohólica se ex­
presa en grados y para ello convencionalmen­
te se tiene que: (%) O (°)
volumen de
Grado de mezcla = alcoho1 puro x (100°) 
volumen total
Ejemplo:
Se mezclan 80 L de alcohol de 25° con 120 L 
de 40°. Calcula el grado de la mezcla.
R eso luc ión :
Se procede de manera análoga que para el 
cálculo del precio medio.
Tipo de alcohol:
I I
Volumen: 80 L 120 L
Grado: ,25° 40°
8 0 (2 5 )+ 120(40)
Grado medio = —— ——-------
80 + 120
En general para k tipos de alcohol:
= 34°
Tipo: 1
Volumen: V, 
Grado: G-i
V 2
G2
V3
G3
Vk
Gk
Grado V|G-| 4- V2G2 ■+■ V3G3 + ... + N^G^
medi° ñ̂ + ^ t w + t t + h
Aleación. Es la mezcla de dos o más metales me­
diante el proceso de fundición. En las aleaciones 
por convencionalismo los metales se clasifican en:
a. Finos. Oro, plata, platino.
b. Ordinarios. Cobre, hierro, zinc.
La pureza de una aleación se determina mediante 
la relación entre el peso del metal fino empleado y 
el peso total de ia aleación, a dicha relación se le 
conoce como la ley de la aleación.
Ejemplo inductivo:
Se tiene una aleación de 36 g de plata pura con 
12 g de zinc, ¿cuál es la ley de la aleación?
R eso luc ión :
Plata■
Peso: 36 g 12 g
Total 
48 g
=> Ley = PesoP1̂ = 36 = Q.750
Peso total 48
La aleación del peso del metal ordinario con el 
peso total se le conoce como la liga de la aleación:
L i g a = Pes° zinc = 12 = 025Q 
Peso total 48
Se deduce que:
Ley + Liga = 0,750 + 0,250 = 1
En general 
Para una aleación:
Peso t 
fino j
rnetaJj] Peso me ta i] 
)0 .:í f | ord inarió 'fl
3 4 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Ley = 
Liga =
Peso metal fino 
Peso total 
Peso metal ordinario
Peso total
III. 0 < ley de la aleación < 1
Comercialmente la ley del oro se expresa en qui­
lates y para ello convencionalmente se establece 
que si la aleación contiene solo oro puro es de 24 
quilates.
Una sortija de 14 quilates significa que el peso 
total se divide en 24 partes iguales y 14 de 
ellos son de oro puro.En el ejemplo anterior vamos a determinar su 
ley en quilates.
Oro
9 g :
Cobre
[13
x 2 l
* 18 
Ley = 18 quilates 
Ley =
Total
12 g
X 2 ) X 2
24 partes
Q 1Q
— . = — ; de donde se obtiene: 
12 24
Ley =
(Peso metal fino) n.° de quilates 
(Peso total) 24
EJERCICIOS RESUELTOS
Un fabricante reduce 4% el precio de los artí­
culos que fabrica. Para que aumente en 8% la 
cifra total de sus ingresos, sus ventas tendrán 
que aumentar en:
R eso luc ión :
Sean P el precio y N el número de artículos; 
entonces:
Ingresos = P x N
Después:
P disminuye en 4%; ahora tiene: 96%P y N 
aumenta en x%; ahora es:
(100 + x)%N 
Para que los Ingresos aumenten en 8%
108 96 (100 + x )
Así: -¡zjg-x PN = j ^ - P x . . . N
100 100 100
10 800 = 9600 + 
1200 = 96x 
x = 12,5%
96x
Se estima que una mezcladora de concreto 
sufre una depreciación de 10% por cada año 
de uso, respecto al precio que tuvo al comen­
zar cada año. SI al cabo de 4 años su precio 
es de S/. 131 220; hallar el costo original de la 
mezcladora.
R eso luc ión :
La depreciación no es sino la pérdida del valor 
del bien. Así, si el costo inicial es de N soles.
Depreciación Queda
1 .er año 10% N 90% N = P
2 .° año 10% P 90% P = R
3.er año 10% R 90% R = S
4 ° año 10% S 90% S
Por dato: — x S = 131 220 
100
— x ^ - x U ; X ^ - x N = 131220 
100 100 100 100
N = S/.200 000
El Ingreso promedio del sector obrero en una 
empresa es de 300 000 mensuales. En el mes 
en curso hay un Incremento de haberes del 
10% del haber anterior más bonificación gene­
ral de 60 000 soles, pero se decreta un des­
cuento del 5% del haber actualizado, profondos 
de reconstrucción. Hallar el promedio actual.
R eso luc ión :
Ingreso actual: 300 000 
1 o
Se Incrementa e n : -------x 300 000 = 30 000
100
Por concepto de bonificaciones 60 000, en­
tonces, su haber actualizado es 390 000.
Pero se descuenta:
5 
100
x 390 000 = 19 500
Entonces recibe:
390 000 - 19 500 = 370 500 soles
A r itm é tic a ¡ 3 5
4. Un mayorista vende un producto ganando 
el 20% del precio de fábrica. Un distribuidor 
reparte estos productos a las tiendas de co­
mercio ganando una comisión del 15% del 
precio por mayor. La tienda remata el artículo 
haciendo un descuento del 10% del precio de 
compra (del distribuidor). ¿En qué porcentaje 
se eleva el precio de fábrica del producto?
R eso luc ión :
Sea PF el precio de fábrica
El mayorista vende en 120% PF al distribuir.
El distribuidor vende en 115% (120%PF) a la 
tienda.
El tendero lo remata en (pierde 10%)
90%[115%(120%PF)j
Es decir; se vende en:
7?7ñx 7HRx W x P F = 124,2%PF 100 100 100
entonces, el PF se ha incrementado en 24,2%.
5. E! presidente de un club de basketball obser­
va que por partido, en promedio, un tercio de 
las entradas se quedan sin vender, pero afir­
ma que todas las entradas se venderían si se 
rebajase en un 30% el precio de la entrada. 
Suponiendo correctas las hipótesis del presi­
dente del club. ¿Qué sucederá?
R eso luc ión :
Sea 3N el total de entradas y P el precio de la 
entrada.
1.° vende; 2N; queda: N 
venta total: 2NP
2.° el nuevo precio es 70% P, entonces: 
venta total = (70%P)(3N) = 2,1 x NP
La recaudación aumenta.
6 . Pedro tiene una casa que vale 100 000 soles 
y se la vende a Juan con una ganancia del 
10%. Juan revende la casa a Pedro con una 
pérdida del 10%, siendo así:
R eso luc ión :
Costo de la casa: 100 000 soles
Pedro vende ganando (10%) o sea en 110 000
Gana 10 000
Juan lo vende a Pedro, perdiendo 10% de su 
costo que es 110 000 .
qo
Luego lo vende en: x 110 000 = 99 000
M 100
Pedro gana 1000 soles más 
Ganancia total: S/.11 000
7. Un arquitecto ha previsto un recubrimiento de 
locetas circulares para una cierta pared. Si to­
das las locetas son ¡guales, ¿cuál es el máxi­
mo porcentaje de área de la pared que puede 
ser cubierto con dichas locetas?
R eso luc ión :
Gráficamente:
a locetas
Largo: L = (2R)b; ancho: A = (2R)a 
Área de la pared: L x A = 4R2ab 
Área de cada loceta: tiR2 
Total de locetas: a x b 
Área cubierta por locetas: ab/iR2
Nos piden: ~ ^ -4 R 2ab = abitR2100
x = 78,5%
Hallar la cantidad de onzas de agua que se 
necesita para rebajar al 30% el contenido de 
alcohol de un frasco de loción de afeitar de 9 
onzas, que contiene 50% de alcohol.
R eso luc ión :
Si hay 9 onzas de 50% de alcohol, entonces 
tiene:
alcohol = 4,5; agua = 4,5
Si aumentamos x onzas de agua, entonces,
por dato:
30 
1 0 0 '
27
-(9 + x) = 4,5 
3x = 45 x
9. Una persona pregunta en una tienda qué des­
cuento le pueden hacer sobre el precio de un 
repuesto, le responde que el 20%; va a otra
3 6 | C o lec c ió n El Po s tu la n te
tienda y compra el mismo repuesto con un 
descuento del 25%; ahorrándose así S/.35. 
¿Cuánto costaba el repuesto?
R eso luc ión :
Sea P el costo del repuesto 
En la 1.a tienda desct.: 20%
En la 2.a tienda desct.: 25%
Ahorro: 5%
Al comprar en la segunda tienda ahorra:
5
100
x P = 35 P = S/.700
10 . Para la construcción de un edificio se compra­
ron ladrillos a S/.1200 el millar. Se inutilizan 
por diversas causas 3600 ladrillos equivalen­
tes al 0.1% del total comprado. ¿Cuánto se 
invirtió en la compra?
R eso luc ión :
Por dato del problema:
0,1 %T = 3600 
T: total de ladrillos 
Entonces:
0,1 
100 '
T = 3600
1000
: 3600
T = 3 600 000; que es equivalente a 3600 mi­
llares.
Como costo/millar ladrillo = 1200 
Costo total = 3600 x 1200 = S/.4 320 000
11. ¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que de­
berá añadirse a 80 litros de alcohol de 96% de 
pureza, para obtener un hectolitro de alcohol 
de 90% de pureza?
R eso luc ión :
Recuérdese un hectolitro tiene 100 litros, en­
tonces para completar faltan solo 20 litros. 
Así:
grado
medio
80 x 96% + 20x% 
100
= 90%
1 2 .
7680 + 20x = 9000 
20x = 1320 « x = 66%
¿Qué cantidad de cobre debe añadirse a una 
barra de plata que pesa 635 g y tiene 0,920 de 
ley, para que resulte una aleación de 0,835 de 
ley?
R eso luc ión :
Cantidad
635
Ley
0,920 - \ r 0,835
Lm = 0,835
635
x
0 _ / Y_ 0,085
835 = 635 x 85
85 ^ 835
13.
x = 64,64 kg
Se hace una mezcla de vinos de S/.70 el litro y 
S/.60 el litro, con agua; la mezcla tiene un pre­
cio de S/.50. Se sabe que la cantidad de agua 
es los 2/5 de la cantidad de vino de S/.60. ¿En 
qué relación está la cantidad de vino de S/.70 
a la cantidad de vino de S/.60?
R eso luc ión :
Consideremos:
Vino (1): x L; de S/.70 y 
Vino (2): 5V L de S/.60
Agua: -|(5V ) = 2V de 0 soles
Luego:
70x + 60(5V) + 0(2V)
= é r t r 1 — = 5 0
70x + 300V = 50x + 350V 
20x = 50V
x
5V
10
20
0,50
14. A 215 litros de un vino que importa a S/,0,40 
c/u, se añaden 5 litros de alcohol de a S/.2.50 
el litro. En cuánto debe venderse el litro de la 
mezcla para ganar el 20% sobre el precio de 
compra.
R eso luc ión :
Tenemos:
C, = 215 L P-, = 0,40
C2 = 5 L P2 = 2,50
2 1 5 x 0 ,4 0 + 5 x 2 ,5 0
98,50 
220 :
220
197
440
A r itm é tic a | 3 7
Como gana el 20% sobre el Pm (que es. lo mis­
mo que Pc)
D _ 1 20 ^ 1 97 
Entonces. Pventa - 100 x 440 : S/. 0,537
15. Si 30 litros de una solución contienen 12 litros 
de alcohol, ¿cuántos litros de agua debemos 
agregar para obtener una solución al 25%?
R eso luc ión :
Si agregamos N de agua se obtiene:
12 O C O / 12 = 1 
30 + N 4
■ = 25%
3 0 + N 
48 = 30 + N =5 N = 18 L
16. Un lingote contiene 5 kg de plata pura y 3 kg 
de cobre. ¿Qué cantidad de plata pura es pre­
ciso agregar a este lingote para fabricar mo­
nedas de plata de S/.5; cuya ley es 0,900?
R eso luc ión :
Tenemos:
Ag = 5 kg J Ley = ^ = 0,625 
Cu = 3 kg
Luego:
Cantidad (kg) 
P
Leyes 
1 0,275
Lm = 0,900
p 0,275 
8 " 0,100
P = 22 kg
0 ,6 2 5 _ / V_ 0,100 
2 7 5 x 8P =
100
[ " e jer c ic io s propuestos" |
1. Vendí un artículo ganando el 24% del costo. 
¿Cuál es el costo, si lo vendí a $217?
a) $165 
d ) $175
b) $172 
e ) $164
c) $170
¿Qué número aumentado en 14% da como 
resultado 45,6?
a) 42 b) 40 c) 36 d) 41 e) 38
3. ¿Qué porcentaje debo disminuir a 450 para 
obtener el 10%menos de 400?
a) 20% b) 16% c) 18% d) 25% e) 15%
4. En una sesión de maestros se vio que el 65% 
trabaja en colegios nacionales, 220 en cole­
gios particulares y 2 0% en colegios particula­
res y nacionales. ¿Cuantos eran en total?
a) 400
d) 700
b) 500 
e) 800
c) 600
Al comprar un artículo me hacen dos des­
cuentos sucesivos de 12% y 2 0%, de manera 
que ahorro $74. ¿Cuál era el precio original 
del artículo?
a) $200 
d) $280
b) $240
e) $250
c) $320
Un futbolista ha hecho 30 goles en 75 par­
tidos. ¿Cuántos goles debe hacer en los 25 
partidos siguientes para que su porcentaje de 
goles por partido aumente en 5%?
a) 12 b) 15 c) 10 d) 16 e) 20
Indica si las siguientes afirmaciones son ver­
daderas (V) o falsas (F), respectivamente:
I. a%(N) + b%(N) = (a + b)%(N)
II. m%(N) - n%(N) = (m -n )% (N )
III. a (b% (N )) = (ab)%(N) 
abMNIV. a%(M) b%(N) =
10 000
c) VFVFa) V W F b) V V W
d) VFFF e) VVFV
Un terreno tiene 500 m2 de área. Vendo el 
20% de dicho terreno y luego el 38% del res­
to. ¿Cuánto usaré para sembrar arroz, si para 
este fin utilizaré la mitad de lo que me queda?
a ) 248 m2 
d) 112 m2
b) 124 m2 
e) 180 rn2
c) 62 m2
El precio de lista de un artículo es $600. Al 
comprarlo me descuentan el 18% y para ven­
derlo gano el 18%. ¿A cuánto lo vendí?
a) $590,25 
d) $585,0
b) $600,00 
e) $575,6
c) $580,56
10. En un vaso preparo ron con gaseosa y limón, 
El 25% de la mezcla es ron y el 80% del vaso 
contiene líquido. ¿Qué porcentaje del vaso es 
limón, si este representa el 10% del ron?
a) 2% b) 1 % c) 0,5%
d) 1,5% e) 2,5%
11. ¿En cuánto excede el a% de b/3 al b% de a/4, 
si ab = 36 000?
a) 30 b) 300 c) 900
d) 1000 e) 3000
12. Un comerciante decide vender un artículo, ga­
nando el 10%. Un cliente acude a comprar y 
solicita un rebaja de 10%. Si el comerciante 
le hace la rebaja solicitada, con lo cual pierde 
S/:200. ¿A cuánto se vendió el artículo?
a) S/.20 000 b) S/.19 800 c)S/.19 000
d) S/.19 700 e) S/.18 900
13. Al dictar mi clase de matemáticas, en la piza­
rra dejo libre a cada extremo el 5% del largo 
y el 4% del ancho. ¿Qué área efectiva de la 
pizarra uso?
a) 78,6% b) 80,4% c) 81,2%
d) 82,8% e) 84%
14. Un depósito está lleno totalmente. Si se ex­
traen 256 litros, su volumen disminuye en 
80%. ¿Cuál es el volumen total?
a) 480 L b) 250 L c) 300 L
d) 350 L e) 320 L
15. La edad de Miguel aumentada en su 75% es 
igual a 63 años. ¿Cuál era su edad hace 7 
años?
a ) 36 años b) 31 años c) 29 años
d) 30 años e) 28 años
16. En una granja de aves, el 40% es de gallinas. 
Si se ha vendido el 20% de gallinas, ¿en qué 
porcentaje ha disminuido el número de aves?
a) 10% b) 6% c) 8% d) 12% e) 7%
17. Un número aumenta sucesivamente en 20%, 
25% y 40%. ¿En qué fracción debe disminuir 
para regresar a su valor original?
3 8 ¡ C o lec c ió n El Po s tu la n te -------------------------------------
a) 11/10 b) 1/11 c) 11/21
d) 1/10 E) 7/11
18. Si el largo de un terreno se acorta en 40%, 
y el ancho se Incrementa en 40%, ¿en qué 
porcentaje varía su área?
a) Aumenta en 12%
b) Disminuye en 12%
c) Aumenta en 16%
d) Disminuye en 16% •
e) No varía
19. En un país la producción aumenta el 10% 
anual. Si en el año 1998 la producción era de 
18 000 unidades, ¿cuál será le producción en 
el año 2001?
a) 20 362 u b) 18 268 u c) 24 398 u
d) 23 958 u e) 26 718 u
20. La dirección ha comprado dos tipos de tizas 
en iguales cantidades. Los profesores usan 
en clases 80% de un tipo y 75% del otro tipo. 
¿Qué porcentaje de la cantidad total se quedó 
sin usar?
a) 45% b) 22,5% c) 15%
d) 30% e) 67,5%
21. Se compran dos latas iguales de leche para 
el desayuno. SI de la primera se consume el 
25% y de la segunda se consume el 50%, 
¿Qué porcentaje del total de la leche compra­
da queda sin consumir?
a) 75% b) 25% c) 62,5%
d) 37,5% e) 32,5%
22. En un aula el 63% del total de alumnos es de 
letras, el 2 % es de arquitectura y el resto es 
de ciencias. Si de los alumnos de ciencias, el 
80% son varones, ¿qué porcentaje del total 
son mujeres que estudian ciencias?
a) 7 b) 14 c) 21
d) 28 e) 35
23. De una cierta cantidad de dinero que tenía, 
me robaron el 12%. Si de lo que me quedaba 
presté el 25%, ¿Qué porcentaje del total de 
dinero que tenía antes del robo me quedará?
A r itm é tic a | 3 9
a) 55% b) 66% c) 88%
d) 62% e) 75%
24. Se sabe que al extraer 40 litros de un depósito 
que estaba lleno hasta el 60%, queda reduci­
do al 50% de su capacidad. ¿Cuál es la capa­
cidad del depósito?
a) 260 L b) 400 L c )1 6 0 L
d) 100 L e) 200 L
25. SI se calcula el 75% de la suma de 1/4 de 256 
con el 60% de los 2/3 de 400, resulta:
a) 172 b) 168 c) 206
d ) 186 e) 602
26. Si al vender un articulo se gana el 50% del 
costo, ¿qué porcentaje del precio de venta se 
debe rebajar para ganar 25% del costo?
a) 25% b) 20% c) 30%
d) T % e)
27. El costo de vida de un país sube cada mes 
en un 20%. Si en enero gastaba una cantidad 
a para vivir, ¿cuánto gastaré en agosto para 
vivir de la misma forma?
a) (0 ,2a )7 b) (1 ,2 )7a c ) ( 1 ,2 )6a
d) a + (0 ,2)7 e) (0 ,2)7 a
28. En un país el 35% d e ja población se encuen­
tra en la capital. En la capital el 6% de las per­
sonas son analfabetos y en el interior el 24% 
de la población son analfabetos. Hallar qué 
porcentaje son los analfabetos con respecto 
al total.
a) 16% b) 17,7% c) 15,6%
d) 19.2% e) 15,8%
29. Compro un articulo en 240 soles y lo vendo a 
312 soles. ¿ qué porcentaje del costo gané?
a) 20% b) 24% c) 30%
d) 33% e) 33,3%
30. Un vendedor logra colocar los 3/4 de su 
mercadería en clientes fijos y un 1/8 en 
clientes eventuales. ¿Qué porcentaje de su 
mercadería aún no ha colocado?
a) 8% b) 10% c) 12,5%
d) 15% e) 16%
tn
w
1 . d 7. b 13. d 19. d 25. b
2 . b
-Q00 14. e 2 0 . b 26. e
> 3. a 9. c 15. c 2 1 . c 27. b
< 4. a 1 0 . a 16. c 2 2 . a 28. b
ü 5. e 11 . a 17. c 23. b 29. c
6. b 12 . b 18. d 24. b 30. c
INTERÉS - DESCUENTO
REGLA DE INTERES
Identificación de los elementos
• Capital de préstamo (C). Llamado común­
mente capital, es la cantidad de dinero que su 
poseedor va a acceder en forma de préstamo 
para obtener ganancias.
Tiempo (t). Es el periodo durante el cual va 
a ceder o imponer un capital. Para calcular el 
interés se considera generalmente:
1 mes comercial tiene 30 días 
1 año comercial tiene 360 días 
1 año común tiene 365 días 
1 año bisiesto tiene 366 días
Interés (I). Es ia ganancia o beneficio que 
produce el capital de préstamo, durante cierto 
tiempo.
Tasa de interés (r%) o rédito. Es la ganancia 
que se obtiene por cada 100 unidades mone­
tarias en una unidad de tiempo. Por ello se ex­
presa generalmente como un tanto por ciento.
i
Ejemplo:
• 5% mensual, significa que por cada mes 
se gana el 5% del capital prestado.
• 2 1% trimestral, significa que por cada tres 
meses se gana el 2 1% del capital.
• Cuando no se indique la unidad de tiem­
po referida a la tasa, se asumirá una tasa 
anual.
Tasas equivalentes
4% bimestral 
6% trimestral 
8% cuatrimestral 
12% semestral 
24% anual 
% diario
30
Monto (M). Es ia suma recibida al final del pe­
ríodo y es igual al capital más el interés que 
genera el mismo.
r% = 2% mensual O
[M = C + 11
Clases de interés
Interés simple. Es cuando el interés o ganan­
cia que genera el capital de préstamo no se
acumula al capital. Con otro ejemplo práctico 
podemos observar un caso de interés simple 
y al mismo tiempo deducir una relación entre 
los elementos que intervienen.
Ejemplo:
Se depositó en un banco S/.4000 durante 3 
años siendo la tasa anual de 10%. ¿Cuánto 
será el interés ganado y el monto obtenido?
R eso luc ión :
C = S/.4000 
t = 3 años 
r% = 10% anual
Cada año se gana: 10%(4000) = S/.400 
Esquema
S/.4000
Interés: S/.400 S/.400 S/.400
Luego al final de los 3 años se tiene: 
Interés = 400 + 400 + 400 
Interés = 3[10%(4000)j = S/.1200 
En general:
Interés = Tiempo x Tasa x Capital
No debemos olvidar que el análisis se hizo 
año por año, porque el interés se prestó con 
una tasa anual, lo cual nos da una idea que