clase02 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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CLASE 2
L ÍMITES LATERALES Y LÍMITES INFINITOS
En esta clase, seguiremos considerando funciones definidas en intervalos o unión de intervalos.
2.1. Lı́mites laterales
Definición 2.1 (Lı́mite por la izquierda de una función en un punto). Sea f : A → R, L ∈ R y
x0 ∈ Ā de modo que existe algún intervalo de la forma ]a, x0[ contenido en A. Decimos que f
tiene lı́mite L por la izquierda en x0 (o cuando x tiende a x0 por la izquierda) si, para cada ε > 0,
existe un δ > 0 (que depende de ε) tal que, si x ∈ A y x0 − δ < x < x0, entonces
∣∣f(x)−L∣∣ < ε.
Denotamos
L = ĺım
x→x−0
f(x).
x x0
Lf(x)
Y
X
L = ĺım
x→x−0
f(x)
X
Y
x0 − δ x0x
δ
Para todo x 6= x0
en este intervalo
L− �
L+ �
L
f(x)
f(x) en este intervalo
Intervalos relacionados con la definición
de lı́mite lateral izquierdo
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Definición 2.2 (Lı́mite por la derecha de una función en un punto). Sea f : A → R, L ∈ R y
x0 ∈ Ā de modo que existe algún intervalo de la forma ]x0, b[ contenido en A. Decimos que f
tiene lı́mite L por la derecha en x0 (o cuando x tiende a x0 por la derecha) si, para cada ε > 0,
existe un δ > 0 (que depende de ε) tal que, si x ∈ A y x0 < x < x0 + δ, entonces
∣∣f(x)−L∣∣ < ε.
Denotamos
L = ĺım
x→x+0
f(x).
X
Y
x0 x
L
f(x)
L = ĺım
x→x+0
f(x)
X
Y
x0 x0 + δx
δ
Para todo x 6= x0
en este intervalo
L− �
L+ �
L
f(x)
f(x) en este intervalo
Intervalos relacionados con la definición
de lı́mite lateral derecho
Teorema 2.3. Sea f : A → R, L ∈ R y x0 ∈ Ā de modo que existan intervalos ]a, x0[ y ]x0, b[
contenidos en A. Se tiene que existe el lı́mite de f cuando x tiende a x0 y L = ĺım
x→x0
f(x), si y solo
si, existen los lı́mites por la izquierda y por la derecha de f , cuando x tiende a x0 por la izquierda
y por la derecha de x0, y
L = ĺım
x→x+0
f(x) = ĺım
x→x−0
f(x).
Observación. El teorema anterior se aplica únicamente en el caso en que ambos lı́mites por izquier-
da y por derecha puedan ser definidos (que no es lo mismo que decir que existan). Consideremos el
lı́mite ĺım
x→0
√
x = 0. Observe que para la función f : [0,+∞[→ R, f(x) =
√
x, no se puede aplicar
la definición de lı́mite por la izquierda para el punto x0 = 0; simplemente ĺım
x→0
√
x = 0 = ĺım
x→0+
√
x,
y no hay ninguna contradicción con el teorema anterior.
Observación. Los teoremas de unicidad del lı́mite (proposición 1.5), álgebra de lı́mites (teore-
ma 1.6) y sandwich (teorema 1.9) también son válidos para lı́mites laterales. Del mismo modo los
ejercicios 1.7 y 1.8, corolario 1.10, proposición 1.11 y las pautas para el cálculo de lı́mites dadas
en la clase anterior.
Ejemplo 2.4. Sea a ∈ R, y f : R \ {0} → R dada por
f(x) =
ß
2x+ 1, x < 0,
x2 + a, x > 0.
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Entonces, ĺım
x→0−
f(x) = 1, ĺım
x→0+
f(x) = a, de modo que para que exista el lı́mite ĺım
x→0
f(x), es nece-
sario y suficiente que a = 1.
2.2. Lı́mites infinitos
Definición 2.5 (Lı́mite infinito +∞ de una función en un punto). Sea f : A → R y x0 ∈ Ā.
Decimos que f tiene lı́mite +∞ en x0 (o cuando x tiende a x0) si, para cada M > 0, existe un
δ > 0 (que depende de M ) tal que, si x ∈ A y 0 < |x− x0| < δ, entonces f(x) > M . Denotamos
entonces
ĺım
x→x0
f(x) = +∞.
X
Y
x x0 x
M
f(x)
No importa que tan grande
sea M , la gráfica siempre
la superará
Definición 2.6 (Lı́mite infinito −∞ de una función en un punto). Sea f : A → R y x0 ∈ Ā.
Decimos que f tiene lı́mite −∞ en x0 (o cuando x tiende a x0) si, para cada N < 0, existe un
δ > 0 (que depende de N ) tal que, si x ∈ A y 0 < |x− x0| < δ, entonces f(x) < N . Denotamos
entonces
ĺım
x→x0
f(x) = −∞.
Ejemplo 2.7. ĺım
x→0
1
x2
= +∞.
Observación. También pueden definirse lı́mites laterales en un punto, a ±∞. Esto se deja como
ejercicio al estudiante.
Ejercicio 2.8. Defina ĺım
x→±∞
f(x) = ±∞ (son cuatro definiciones).
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2.3. Pautas para el cálculo de lı́mites infinitos
Proposición 2.9. Sea I intervalo, sea f : I → R una función y x0 ∈ Ī . Si f(x) > 0 en I y
ĺım
x→x0
f(x) = 0, entonces
ĺım
x→x0
1
f(x)
= +∞.
Demostración. Sea M > 0 cualquiera y definamos ε =
1
M
. Como ĺım
x→x0
f(x) = 0, entonces existe
δ > 0 tal que si x ∈ I y 0 < |x− x0| < δ, entonces |f(x)| < ε = 1/M . Dado que f es positivo en
I , podemos ignorar el valor absoluto y obtener f(x) < 1/M , que equivale a
1
f(x)
> M . Observe
que hemos probado por definición que ĺım
x→x0
1
f(x)
= +∞.
Del mismo modo, tenemos para el caso −∞.
Corolario 2.10. Sea I intervalo, sea f : I → R una función y x0 ∈ Ī . Si f(x) < 0 en I y
ĺım
x→x0
f(x) = 0, entonces
ĺım
x→x0
1
f(x)
= −∞.
Supongamos que tenemos el lı́mite ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
, donde las fórmulas de f y g estan compues-
tas por operaciones algebraicas de polinomios, funciones trigonométricas, exponencial, logaritmo,
raices y valor absoluto. Supongamos que tenemos el caso f(x0) = ĺım
x→x0
f(x) 6= 0 y g(x0) =
ĺım
x→x0
g(x) = 0. Observe que por la proposición y corolario anteriores, ĺım
x→x0
1
g(x)
= ±∞, depen-
diendo del signo de g “cerca” a x0. Luego, tenemos las siguientes posibilidades
1. si f(x0) > 0 y g(x) > 0 “cerca” a x0, entonces ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
= +∞;
2. si f(x0) > 0 y g(x) < 0 “cerca” a x0, entonces ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
= −∞;
3. si f(x0) < 0 y g(x) > 0 “cerca” a x0, entonces ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
= −∞;
4. si f(x0) < 0 y g(x) < 0 “cerca” a x0, entonces ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
= +∞.
Esta pauta también se aplica cuando se consideran lı́mites laterales.
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Observación. Recuerde que ±∞ no son números, por lo tanto, las operaciones algebraicas de
números reales (suma, resta, multiplicación, división) no están definidas para estos. Sin embargo,
a manera de recurso nemotécnico, presentamos la siguiente tabla
ĺım
x→x0
f(x) op ĺım
x→x0
g(x) =
±∞ + ±∞ ±∞
±∞ + ∓∞ indet
L ∈ R + ±∞ ±∞
±∞ · ±∞ ±∞
±∞ · ∓∞ ∓∞
L > 0 · ±∞ ±∞
L < 0 · ±∞ ∓∞
L = 0 · ±∞ indet
±∞ / ±∞ indet
L ∈ R / ±∞ 0
L 6= 0 / 0 ±∞(ver signo)
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